2020版高考数学大二轮复习专题三立体几何第二讲空间向量与立体几何限时规范训练理
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第二讲 空间向量与立体几何
1．(2019·合肥二模)如图，三棱台ABC EFG 的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，
CB ＝2GF ，BF ＝CF .
(1)求证：AB ⊥CG ；
(2)若BC ＝CF ，求直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值． 解析：(1)证明：取BC 的中点为D ，连接DF .
由ABC EFG 是三棱台得，平面ABC ∥平面EFG ，从而BC ∥FG . ∵CB ＝2GF ，∴CD 綊GF ，
∴四边形CDFG 为平行四边形，∴CG ∥DF . ∵BF ＝CF ，D 为BC 的中点， ∴DF ⊥BC ，∴CG ⊥BC .
∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ， ∴CG ⊥AB .
(2)连接AD .由△ABC 是正三角形，且D 为中点得，AD ⊥BC . 由(1)知，CG ⊥平面ABC ，CG ∥DF ， ∴DF ⊥AD ，DF ⊥BC ， ∴DB ，DF ，DA 两两垂直．
以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz . 设BC ＝2，则A (0,0，3)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，3，32，B (1,0,0)，G (－1，3，0)，
∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，－32，BG →＝(－2，3，0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3
2，3，32.
设平面BEG 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．
由⎩⎪⎨⎪⎧
BG →·n ＝0BE →·n ＝0
，可得⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ＋3y ＝0，
－32
x ＋3y ＋3
2z ＝0.
令x ＝3，则y ＝2，z ＝－1，∴n ＝(3，2，－1)． 设AE 与平面BEG 所成角为θ，
则直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值为sin θ＝|cos 〈AE →，n 〉|＝
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪AE →·n |AE →|·|n |＝64.
2.(2019·湖南五市十校联考)如图，在四棱锥P ABCD 中，PA
⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝22，BC ＝42，PA ＝2.
(1)求证：AB ⊥PC ；
(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D 的大小为45°，如果存在，求出
BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
解析：(1)证明：由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由AD ＝CD ＝22，BC ＝42，可得△
ABC 是等腰直角三角形，即AB ⊥AC ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，又PA ∩AC ＝A ，所以AB ⊥平面PAC ，所以AB ⊥PC .
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，C (22，
22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)，B (22，－22，0)，PD →
＝(0,22，－2)，AC →＝(22，22，0)，AP →
＝(0,0,2)．
设PM →＝tPD →(0 ＝(0,22t ，－2t )， 所以AM →＝AP →＋PM → ＝(0,22t,2－2t )． 设平面MAC 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨ ⎪⎧ n ·AC →＝0，n ·AM →＝0， 即⎩⎨ ⎧ 22x ＋22y ＝0， 22ty ＋(2－2t )z ＝0， 则可取n ＝⎝ ⎛ ⎭⎪⎫1，－1，2t 1－t . 又m ＝(0,0,1)是平面ACD 的一个法向量， 所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n | |m ||n | ＝ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪2t t －12＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2t t －12 ＝cos 45°＝22，解得t ＝12，即点M 是线 段PD 的中点． 此时平面MAC 的法向量n ＝(1，－1，2)，M (0，2，1)，BM → ＝(－22，32，1)． 设BM 与平面MAC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，BM → 〉|＝|n ·BM → ||n ||BM →| ＝269. 所以存在PD 的中点M 使得二面角M AC D 的大小为45°，且BM 与平面MAC 所成角的正弦值为269 . 3.(2019·郑州二模)如图，等腰直角△ABC 中，∠B ＝90°，平面ABEF ⊥平面ABC,2AF ＝AB ＝BE ，∠FAB ＝60°，AF ∥BE . (1)求证：BC ⊥BF ； (2)求二面角F CE B 的正弦值． 解析：(1)证明：∵等腰直角△ABC 中，∠B ＝90°，∴BC ⊥AB ， ∵平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC ＝AB ， ∴BC ⊥平面ABEF ， ∵BF ⊂平面ABEF ，∴BC ⊥BF . (2)由(1)知BC ⊥平面ABEF ， 故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz ， 设2AF ＝AB ＝BE ＝2， ∵∠FAB ＝60°，AF ∥BE . ∴B (0,0,0)，C (0,2,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3 2，0，32，E (－1,0，3)， EC → ＝(1,2，－3)，EF → ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫5 2，0，－ 32，BC → ＝(0,2,0)， 设平面CEF 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，