第八章 恒定电流的磁场(一)

一. 选择题: 1、（基础训练1）［ D ］载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 2 )通有相同电流I ．若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B)π2∶1 (C)π2∶4(D) π2∶8 提示()82,,22135cos 45cos 244,221200020102121ππμπμμ===-⨯⨯⨯==a a B B a Ia IB a IB o o o o 得由2、(基础训练3)［B ］.有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点(如图)的磁感强度B的大小为 (A) )(20b a I+πμ． (B) b b a a I +πln 20μ． (C) b b a b I +πln 20μ． (D) )2(0b a I +πμ．提示：b b a a I r dr a I r rdIdB dr aIdI a b b+======⎰⎰⎰+ln222dI B B B ,B d B ,2P ,)(dr r P 0000πμπμπμπμ的大小为：，的方向也垂直纸面向内据方向垂直纸面向内；根处产生的它在，电流为导线相当于一根无限长的直的电流元处选取一个宽度为点为在距离3、(基础训练4)［ D ］如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B 沿图中闭合路径L 的积分⎰⋅Ll Bd 等于(A)I 0μ． (B)I 031μ． (C) 4/0I μ． (D) 3/20I μ．提示⎰∑⎰=⋅∴=-==∴===⋅LLI l d B II sl I I s l I s l I I I l d B 32322)(R R R I R I 011122112122111L 00μρρρμμ得为两条支路的电阻。

，，其中，而内4、(自测提高1)［ D ］1、无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流．设圆柱体内( r < R )的磁感应强度为B i ，圆柱体外( r > R )的磁感应强度为B e ，则有 (A) B i 、B e 均与r 成正比． (B) B i 、B e 均与r 成反比． (C) B i 与r 成反比，B e 与r 成正比．(D) B i 与r 成正比，B e 与r 成反比．提示：当r<R 时202R IrB πμ=当 r > R 时 rIB πμ20=5、自测提高7［C ］如图，边长为a 的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q 的点电荷．此正方形以角速度ω 绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感应强度大小为B 1；此正方形同样以角速度ω 绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为(A) B 1 = B 2． (B) B 1 = 2B 2．(C) B 1 =21B 2． (D) B 1 = B 2 /4． 提示： 设a OC AO ==，当正方形以角速度ω 绕AC 轴旋转时，一个点电荷形成的等效电流为πω2q I =，在O 点产生的磁感应强度的大小为02I B a μπ==，实际上有两个点电荷同时绕AC 旋转产生电流，在O点产生的总磁感应强度的大小为01222q B aωπ==同理，当正方形以角速度ω 绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为0224q B aωπ==故有122B B =二. 填空题6. （基础训练12）一长直载流导线，沿空间直角坐标Oy 轴放置，电流沿y 正向．在原点O处取一电流元l I d ，则该电流元在(a ，0，0)点处的磁感强度的大小为 204aIdlπμ 方向为Z 轴负方向提示：k aIdl a i j Idl r e l Id B r202020444πμπμπμ-=⨯=⨯= 7、（基础训练13）如图所示，在无限长直载流导线的右侧有面积为S 1和S 2的两个矩形回路．两个回路与长直载流导线在同一平面，且矩形回路的一边与长直载流导线平行．则通过面积为CqS 1的矩形回路的磁通量与通过面积为S 2的矩形回路的磁通量之比为 1:1 提示：设矩形回路的高为l ，则通过面积为S 1的矩形回路的磁通量2ln 2202011πμπμIl ldr r I S d B a a S m =⋅=⋅=Φ⎰⎰ 同理通过面积为S 1的矩形回路的磁通量2ln 22042022πμπμIlldr r I S d B a a S m =⋅=⋅=Φ⎰⎰８（基础训练1７）一质点带有电荷q =8.0×10-10 C ，以速度v =3.0×105 m ·s -1在半径为R =6.00×10-3 m 的圆周上，作匀速圆周运动．该带电质点在轨道中心所产生的磁感强度B =__6.67×10-7（T ），该带电质点轨道运动的磁矩p m =_7.2×10-7（Am 2）___．(μ0 =4π×10-7 H ·m -1) 提示：2;42,2200qvRIS p RqvRIB RqvT q I m ======πμμπ等效的圆电流， ９（基础训练1８）将半径为R 的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去一宽度为h ( h << R )的无限长狭缝后，再沿轴向流有在管壁上均匀分布的电流，其面电流密度(垂直于电流的单位长度截线上的电流)为i ，则管轴线磁感强度的大小是Rihπμ20. 提示： Rihπμ20 利用10、（自测提高13）、一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I ．若作一个半径为R = 5a 、高为l 的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距3a (如图11-52)．则B在圆柱侧面S 上的积分 =⎰⎰⋅SS Bd ______0______．提示：根据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感应线穿入侧面的根数（磁通量为负）与穿出的根数（磁通量为正）相同，代数和为零。

11、（自测提高17）、如图所示，在宽度为d 的导体薄片上有电流I 沿此导体长度方向流过，电流在导体宽度方向均匀分布．导体外在导体中线附近处P 点的磁感应强度B的大小为)(220R r r RIB ≤=πμ)(20R r rIB ≥=πμ20021ln 222R R II B d S dr r μμϕππ→→=⋅==⎰⎰ dI20μ提示：dI i B 002121d r r P μμ==∴电流，，故可视为无限大平面《因为，点到薄片的距离为设三.计算题 12．（基础训练21）一根无限长导线弯成如图形状，设各线段都在同一平面内(纸面内)，其中第二段是半径为R 的四分之一圆弧，其余为直线．导线中通有电流I ，求图示中O 点处的磁感应强度． 解: B 1=B 4=0 方向垂直纸面向里方向垂直纸面向里方向垂直纸面向里13．（基础训练22）一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I ．今取一矩形平面S (长为l ，宽为R 2)，位置如图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量．解：根据安培环路定理，在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感应强度的大小为：因此，穿过导体内矩形截面的磁通量为001102124RI Id rdr R μμππΦ=Φ=∙=⎰⎰ （详见同步辅导与复习自测例题12-3）在导体外穿过导体外矩形截面的磁通量为I 俯视图RI R I B 8412002μμ=⨯=RI R I B πμπμ2)135cos 45(cos 42003=︒-︒=R I R I B B B B B πμμ28004321+=+++=πμπμφ82ln 200Il Il +=故总的磁通量为14．（基础训练23）. 如图所示，半径为R ，线电荷密度为λ (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动，求轴线上任一点的B的大小及其方向．解: 圆线圈的总电荷 λπR q 2= ,转动时等效的电流为λωωπλπR R T q I ===/22， 代入环形电流在轴线上产生磁场的公式得2/32230)(2y R R B B y +==ωλμ 方向沿y 轴正向。

15、（基础训练25）. 一无限长的电缆，由一半径为a 的圆柱形导线和一共轴的半径分别为b 、c 的圆筒状导线组成，如图所示。

在两导线中有等值反向的电流I 通过，求： (1)内导体中任一点(r<a)的磁感应强度； (2)两导体间任一点(a<r<b)的磁感应强度；(3)外导体中任一点(b<r<c)的磁感应强度； (4)外导体外任一点(r>c)的磁感应强度。

解：用安培环路定理⎰∑=⋅LL l d B 内求解I 0μ。

磁感应强度的方向与内导线的电流成右手螺旋关系。

其大小满足：∑=内L r B I 20μπ （r 为场点到轴线的距离）(1)202202,2 :a IrB r aI r B a r πμππμπ=∴=⋅< (2)I r B b r a 02 :μπ=<<， rIB πμ20=∴ (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=<<I b c b r I r B c r b )()(2 :22220ππμπ ()()222202b c r r c I B --=∴πμ(4)0B 02:=∴=⋅>，r B c r π［选作题］ 16．（基础训练26）均匀带电刚性细杆AB ，线电荷密度为λ，绕垂直于直线的轴O 以ω 角速度匀速转动(O 点在细杆AB 延长线上)．求：(1) O 点的磁感强度0B ； (2) 系统的磁矩m p；(3) 若a >> b ，求B 0及p m ．解：（1）将带电细杆分割为许多电荷元。

在距离o 点r 处选取长为dr 的电荷元，其带电 dr dq λ=该电荷元随细杆转动时等效为圆电流为：dr dq T dq dI πωλωπ2/2===它在o 点产生的磁感应强度为方向垂直于纸面向内。

,42000dr r r dIdB πωλμμ==根据⎰=00B d B，0B 的方向也是垂直于纸面向内，0B 的大小为aba dr r B ba a+==∴⎰+ln 4400πωλμπωλμ （2） dq 所等效的圆电流dI 的磁矩为dr rSdI dp m πλωπ22==,方向垂直于纸面向内； 根据⎰=m m p d p，m p 的方向也是垂直于纸面朝内，m p的大小为()[]33262a b a dr r p ba am -+==∴⎰+ωλπλωπ （3）a>>b 时，AB 杆可近似看作点电荷：电量为b λ，等效的圆电流：πωλ2b I = 在o 点产生的磁感应强度为abaIB πωλμμ4200==∴ 系统的磁矩 2222ba ab IS p m ωλππωλ===∴。