一类经典趋化性模型行波解的存在性

醺　数学物理学报　ｈｔｔｐ：／／ａｅｔａｍｓ．ｗｉｐｍ．ａｃ．ｃｎ　

一类经典趋化性模型行波解的存在性　娄翠娟　杨茵　（华中科技大学数学与统计学院　武汉４３００７４）　

摘要：该文研究了一类经典趋化性模型Ｋｅｌｌｅｒ—Ｓｅｇｅｌ模型行波解的存在性．对Ｋｅｌｌｅｒ　Ｓｅｇｅｌ模　型中的抛物一抛物型偏微分方程组和抛物型方程，该文研究了它们正行波解的存在性和波速．　关键词：趋化性；　Ｋｅｌｌｅｒ—Ｓｅｇｅｌ模型；抛物一抛物型偏微分方程组；抛物型方程；行波解．　ＭＲ（２０１０）主题分类：３５Ｃ０７；３５Ｋ５７　中图分类号：Ｏ１７５．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００３—３９９８（２０１５）０６—１０４４—１５　

１　引言　趋向性描述了微生物在外界条件的刺激下的应激反应，当外界刺激是化学物质时称趋　化性．我们以趋化性为例，讨论微生物应激反应的机理．本文研究了一类经典的趋化性模型　Ｋｅｌｌｅｒ—Ｓｅｇｅｌ模型【　】平面行波解的存在性．此模型的数学描述为　

｛　ｕ　ｔ：＝。Ｖ△．　（ｄ＋Ｖｕ９　－　，ｕ　Ｖ　Ｈ，（　））’　

其中，，“和Ｖ分别表示生物物种种群密度和引起种群趋化性行为的化学物质的浓度．ｄ表示　种群的扩散系数或随机移动，通常ｄ是种群密度的函数．而Ｄ表示化学物质的扩散系数，　日（Ｖ）表示种群可感知到的化学物质浓度的梯度，即灵敏度函数．反馈函数９（ｕ，Ｖ）则描述　了种群对化学物质的回馈反应．　对于上述趋化性模型，很多专家和学者研究了它的行波解．当灵敏度函数Ｈ（　）＝ｌｏｇ（Ｖ）　时，Ｏｔｈｍｅｒ和Ｓｔｅｖｅｎｓ［　】建立了描述粘细菌因化学物质而聚集的模型．Ｋｅｌｌｅｒ和Ｓｅｇｅｌ［３．在　实验中观察到某些细菌沿行波带运动，进而研究了描述这类现象的模型行波解的存在性．在　灵敏度函数Ｈ（Ｖ）＝ｌｏｇ（Ｖ）下，不考虑化学物质自身的扩散（札＝０），他们得到了行波解．　Ｒｏｓｅｎ［　］则推广了反馈函数ｇ的范围，Ｋｅｌｌｅｒ和Ｏｄｅｌｌ［　］也将灵敏度函数推广到Ｈ（ｖ）＝～　一Ｐ．　然而，此时反馈函数的类型依然受到了严格的限制，并且他们的方法不考虑化学物质的扩　散．后来，Ｎａｇａｉ和Ｉｋｅｄａ［。】讨论了９＝一　时的考虑化学物质扩散性的模型行波解的存在　性．Ｈｏｒｓｔｍａｎｎ和Ｓｔｅｖｅｎｓ［７］针对几种灵敏度函数和反馈函数提出了一种构造性方法，以保　

收稿日期：２０１４—０６—２３；修订日期：２０１５—０３—１０　Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｏｕｃｕｉｊｕａｎ２００６＠１２６．ｃｏｍ；ｙａｎｇｙｉｎ＠ｍａｉｌ．ｈｕｓｔ．ｅｄｕ．ｃｎ　基金项目：国家自然科学基金（１１０７１１７２，１１４７１１２９）资助　通讯作者　Ｎｏ．６　娄翠娟等：一类经典趋化性模型行波解的存在性　１０４５　证行波解的存在性．　Ｓｃｈｗｅｔｌｉｃｋ和ＨａｒｔⅡｍｔ［８Ｊ定性分析了行波解存在对灵敏度函数和反馈　函数的要求，证明了灵敏度函数的奇性是存在有界行波的必要条件．当模型考虑到细胞的繁　殖和死亡因素时，即使灵敏度函数非奇性，行波解仍然可能存在．黎勇＿９＿在Ｈ（ｖ）一Ｘｖ卜Ｐ　和ｇ（　，Ｖ）＝－－／４０Ｖ　乱时，就Ｄ：０，Ｄ≠０讨论了行波解的存在性．Ｘｕｅ等［１ｏＪ构建了新的　细菌趋化性模型，该模型在灵敏度函数非奇的情况下考虑了细胞间的相关性．他们证明了这　个模型解的全局存在性，从数值方法和解析方法上证明了行波解的存在性．陈学勇等［１１］讨　论了一类基于趋化性现象的强耦合非线性偏微分方程组，利用相轨分析法，得到了该模型行　波解存在的充分条件和必要条件．此外，趋化性模型行波解的稳定性也引起了大量学者的关　注．Ｌｉ和Ｗａｎｇ［　Ｊ证明了一类双曲一抛物型趋化性模型任意幅度行波解的非线性稳定性，　同时，他们也得到了一类由Ｋｅｌｌｅｒ—Ｓｅｇｅｌ模型衍变的遵守守恒律的系统在不假设波强度很小　的前提下，行波解的存在性和非线性稳定性【ｌ３】．Ｍａｒｔｉｎ　Ｍｅｙｒｉｅｓ［１４］研究了奇性灵敏度函数　下带化学物质非线性扩散的Ｋｅｌｌｅｒ—Ｓｅｇｅｌ模型，得到了行波解的存在性，在波的一个指数权　重邻域内的局部适定性和一定条件下的非线性不稳定性．最近Ｗａｎｇ［　］总结了趋化性模型　的行波解情况，包括存在性，波速，渐近衰减率和稳定性等，并且提出了趋化性模型存在的　

一些开放性问题．　

２基本结论　我们研究带动力项的Ｏｔｈｍｅｒ—Ｓｔｅｖｅｎｓ模型．针对当灵敏度函数日（　）＝　Ａ　ｌｏｇ（　）和　ｇ（乱，Ｖ）＝ｕ　一　。　时，分别研究模型（２．１）在Ｄ＝０和Ｄ≠０两种不同情况下的行波　解的存在性　ｒ　ａ　ａ　，“　Ａ　ａ／，ｕ　Ｏｖ、　｛Ｏ。ｔ　Ｔ　Ｏ。ｘ。２　７．ａ　＼＼　ａ　／’￡∈Ｒ，　（２．１）　【　

一　一　。　

其中，丁，Ａ是正常数．反馈函数－９（　，　）中ｕ１表示外界化学物质的自然增长，一ｖａｕｆｌ表示　化学物质对种群的抑制作用．不同于以往所讨论的模型，我们引入的化学物质增长项为钆　，　其中７＞０．记　

札（　，ｔ）＝Ｂ（ｘ—ｃｔ）：Ｂ（∈），　ｖ（ｘ，￡）＝Ｓ（ｘ—ｃｔ）＝ｓ　），　我们寻找模型（２．１）满足下列条件的行波解　（Ｂ（一。。），　（一。。））＝（０，０），　（Ｂ（＋。。），　（＋。。））＝（０，ｓｏ），　这里，Ｓｏ＞０．换言之，我们要寻找下列常微分方程组　ｄＢ　ｄ０Ｂ　Ａ　ｄ，，Ｂ　ｄ　、　ｒ　…一ｌ一一Ｉ　。　ｒ必。　７－　Ｓ　／’　

ｃ筹＝　害　２、　

１ｉｍ（Ｂ（∈），ｓ（　））＝（０，０），　ｌｉｍ．（Ｂ（∈），ｓ（　））一（０，Ｓｏ）．　１０４６　数学物理学报　Ｖｏ１．３５Ａ　的解．　下面是我们对模型（２．１）研究的主要结果．　定理２．１若常数　，　，　满足条件　

Ａ０＜　＜ｌ　７—１＞０，　７＞０，　＝（１一　），ｙ，　０＜　＜　

则存在一个正常数ｓｂ使得系统（２．１）存在单调递增的行波解且满足条件　（Ｂ（一ｏ。），ｓ（一∞））＝（０，０），（Ｂ（＋∞），ｓ（＋。。））＝（０，Ｓｏ）．　此时，波速Ｃ＞０并满足　

丁　＜　．　注２．１定理２．１中若将（２．３）式改为　一Ａ　—１＞０，　＞０，　＝７，　＝０，　

（２．３）　（２．４）　（２．３　）　则对任意正常数　，问题（２．２）无解．　定理２．２当Ｄ＝０时，若常数　，　，　满足　

Ａ　－　；３＇一１＞０，　＝（１一　）７，　＜０，　（２．５）　

则对任意正常数Ｃ，存在常数　＞０，使得系统（２．１）存在单调递增的行波解，波速ｃ满足　（Ｂ（一。。），ｓ（一。。））＝（０，０），　（Ｂ（＋。。），　（＋∞））＝（０，Ｓｏ）．　我们将在第三章中证明定理２．１，而定理２．２中行波解的存在性证明则是第四章的内容．　

３定理２．１的证明　本定理证明分为两个部分，分别对应Ｄ＞０，Ｄ＝０的不同情形进行讨论．我们先考虑　模型（２．１）在Ｄ＞０下行波解的存在性．我们的证明基于如下事实：对于问题　

Ｘ　Ｅ　Ｒ，ｔ∈Ｒ，　（３．１）　若存在从Ｐ　到０的行波解ｕ（ｘ，ｔ）＝ｐ（∈），则这个行波解一定满足　＋印　＋　）＝０，　∈Ｒ，　（３．２）　ｌ　

ｐ（一。。）＝Ｐ　，ｐ（＋ｏｃ）＝０，　

其中，∈＝Ｘ—ｃｔ，正数Ｃ为行波速度．　首先我们将问题（２．１）的求解转换成讨论问题（３．１）的形式，然后运用下面的已知结果．　引理３．１［１６］若ｆ∈Ｃ　［０，Ｐ　１，ｆ（ｏ）＝ｆ（Ｐ　）＝０，，　（０）＞０，，　（ｐ　）＜０且对于任意的　Ｐ∈（０，Ｐ　），ｆ（Ｐ）＞０，则存在一个唯一的常数ｃ　满足　

２　￣ｖ（０／ｓｕ　ｐ　，　（３．３）　Ｎｏ．６　娄翠娟等。一类经典趋化性模型行波解的存在性　１０４７　使得问题（３．２）有严格递减的解Ｐ当且仅当Ｃ　可以证明（详细见附录），若（Ｂ（　），　（　））是问题（２．２）的解，则　

ｎｍ（Ｂ　），　（∈））＝（０，０）．４　￡｝－ｏ。、　、…　、　

对任意的　，将问题（２．２）的第一个方程从善到＋。。积分，可得　

ｃ　卜　等＋　筹．　

再任意固定　，将方程（３．５）从　ｏ到　积分，可得　Ｂ（ｆ，　）＝Ｃ（　）Ｓ　ｅ一管∈，　其中　＝　Ａ，　）＝　ｅ　．　【专

０Ｊ　

将（３．６）式代入（２．２）式的第二个方程，可得　

一ｃ　ｄＳ：　Ｄ　ｄ２Ｓ

＋　＇（　）Ｓ￣，．Ｙｅ－管　一ｃ　（∈。）Ｓ￣＋Ｘ＃ｅ－管　

为了简化（３．７）式，我们引进新变量Ｙ和函数ｐ（　）．令　＝　Ｄ，ｓ（　）＝　１　ｌｌ￣

．５－　ｐ（　），＝　，　之——，　ｌ之Ｊ　——ｃ　一　ｌ　），　ｔ＝　丁　ｍ　

其中，正常数ｍ，ｋ，２１满足　

＋　＝　于是等式ｆ３＿７）转化为　

（３．４）　（３．５）　（３．６）　

（３．７）　

一ｃ（　＋　１　ｅ“　骞）　＝￡（　＋　骞＋　１　雾）　（　）　１…７－￣－７　（　）（　）叶　ｅ　ｌ（ａ　卜　．　（３．８）　

将（３．８）式两边同除以ｅＩ　，得　一ｃ（　＋　）　

＝Ｅ（　）＋　２１１　ｄＲ　１　ｄ２ｐ／『＇￣　（　）（　）　ｅ（ｆｌ　廿刊　）（　）叶　ｅ　１（０　＿１）刊∈．　（３．９）