一类经典趋化性模型行波解的存在性
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收稿 日期 ： ２ ０ １ ４ — ０ ６ — ２ ３ ； 修订 日期： ２ ０ １ ５ — ０ ３ — １ ０
Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ： ｌ ｏ ｕ ｃ ｕ ｉ ｊ ｕ ａ ｎ ２ ０ ０ ６ ＠１ ２ ６ ． ｃ ｏ ｍ； ｙ ａ ｎ ｇ ｙ ｉ ｎ ＠ｍａ ｉ ｌ ． ｈ ｕ ｓ ｔ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
关键词 ： 趋化性； Ｋｅ ｌ ｌ ｅ ｒ — Ｓ ｅ ｇ ｅ ｌ 模型；抛物 一 抛物型偏微分方程组；抛物型方程；行波解．
ＭＲ（ ２ ０ １ ０ ） 主题分类： ３ ５ Ｃ ０ ７ ； ３ ５ Ｋ ５ ７ 中图分类号： Ｏ１ ７ ５ ． ２ 文献标识码： Ａ
文章编号：１ ０ ０ ３ — ３ ９ ９ ８ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ６ — １ ０ ４ ４ — １ ５
１ 引言
趋 向性 描述 了微 生物 在外 界条 件 的刺激 下 的应激 反应 ，当外 界 刺激是 化 学物 质 时称趋
化性 ．我们 以趋 化性 为例 ，讨论 微生物 应激 反应 的机理 ．本文 研 究了一类 经典 的趋化性模 型 Ｋ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ — Ｓ ｅ ｇ ｅ ｌ 模型 【 】 平面行波解的存在性．此模型的数学描述为
醺
数学物理学报
ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ａ ｅ ｔ ａ ｍ ｓ ． ｗ ｉ ｐ ｍ． ａ ｃ ． ｃ ｎ
一
类经典趋化性模型行波解 的存在性
娄 翠娟 杨 茵
（ 华 中科技大 学数学与统计学院 武汉 ４ ３ ０ ０ ７ ４ ）
摘要： 该文研究了一类经典趋化性模型 Ｋｅ ｌ ｌ ｅ ｒ — Ｓ ｅ ｇ ｅ ｌ 模型行波解 的存在性．对 Ｋｅ ｌ ｌ ｅ ｒ Ｓ ｅ ｇ ｅ ｌ 模 型中的抛物 一 抛物型偏微分方程组和抛物型方程，该文研究了它们正行波解 的存在性和波速 ．
基金项 目：国家 自然科学基金 （ １ １ ０ ７ １ １ ７ ２ ，１ １ ４ ７ １ １ ２ ９ ）资助 通讯作者
Ｎ ｏ ． ６
娄 翠娟 等 ：一类 经典 趋化 性模 型行 波解 的存 在性
１ ０ ４ ５
证 行波 解 的存 在性 ． Ｓ ｃ ｈ ｗ ｅ ｔ ｌ ｉ ｃ ｋ和 Ｈａ ｒ ｔ Ⅱ ｍｔ ［ ８ Ｊ 定性 分析 了行 波解 存 在对 灵敏 度 函数 和反 馈 函数 的要 求，证 明 了灵 敏度 函数 的奇性是 存在 有界 行波 的必要 条件 ．当模 型考虑 到 细胞的 繁 殖 和死 亡 因素时 ，即使灵敏 度 函数 非奇性 ，行 波解 仍然 可能 存在 ．黎 勇 ＿ ９ ＿ 在 Ｈ（ ｖ ） 一Ｘ ｖ 卜Ｐ 和 ｇ（ ， Ｖ ） ＝ －／ ４ ０ Ｖ 乱时 ，就 Ｄ ：０ ， Ｄ ≠０讨 论 了行波 解 的存在 性 ． Ｘ ｕ ｅ 等 ［ １ ｏ Ｊ 构建 了新 的 细 菌趋化 性模型 ，该模 型在 灵敏 度 函数 非奇 的情况 下考 虑 了细胞 间的相 关性 ．他 们证 明了这 个 模型解 的 全局存 在性 ，从数 值方 法和 解析 方法 上证 明 了行 波解 的存 在性 ．陈学 勇等 ［ １ １ ］ 讨 论 了一类 基于趋 化性 现象 的强耦 合非 线性偏 微分 方程 组 ， 利 用相 轨分析 法 ， 得 到 了该模型 行 波解 存在 的 充分 条件 和必要 条件 ．此外 ，趋化 性模 型行 波解 的稳 定性也 引起 了大量 学者 的关 注． Ｌ ｉ 和 Ｗａ ｎ ｇ ［ Ｊ 证 明了一类 双 曲 一 抛物 型趋 化性模 型 任意 幅度行 波解 的 非线性 稳定性 ， 同时 ，他 们也得 到 了一类 由 Ｋｅ ｌ ｌ ｅ ｒ — Ｓ ｅ ｇ ｅ ｌ 模 型衍变 的遵 守 守恒律 的 系统在 不假设 波强 度很 小 的 前提 下，行 波解 的存在 性和 非线 性 稳定性 【 ｌ ３ 】 ．Ｍａ ｒ ｔ ｉ ｎ Ｍｅ ｙ ｒ ｉ ｅ ｓ ［ １ ４ ］ 研 究 了奇性灵 敏度 函数 下 带化 学物 质 非线性 扩散 的 Ｋｅ ｌ ｌ ｅ ｒ — Ｓ ｅ ｇ ｅ ｌ 模 型，得到 了行 波解 的存 在性 ，在 波的一 个指 数权 重 邻域 内的局部 适定 性和 一定 条件 下 的非 线性 不稳 定性 ．最近 Ｗａ ｎ ｇ ［ ］ 总结 了趋 化性 模型 的行波解 情 况 ，包 括存 在性 ，波速 ，渐 近 衰减率 和 稳定性 等 ，并 且提 出了趋化性 模 型存在 的 些开 放性 问题 ．
百度文库
日（ Ｖ ） 表示 种群可 感知到 的化 学物 质浓度 的梯度 ，即灵 敏度 函数．反 馈 函数 ９ （ ｕ ， Ｖ ） 则描述 了种 群对化 学物 质的 回馈 反应 ． 对于上述 趋化性模 型， 很 多专家和 学者研 究了它 的行 波解 ． 当灵敏 度 函数 Ｈ （ ） ＝ｌ ｏ ｇ （ Ｖ ） 时，Ｏ ｔ ｈ ｍｅ ｒ 和 Ｓ ｔ ｅ ｖ ｅ ｎ ｓ ［ 】 建立 了描述 粘细 菌因化学物 质而 聚集的模 型． Ｋｅ ｌ ｌ ｅ ｒ和 Ｓ ｅ ｇ ｅ ｌ ［ ３ ． 在 实验 中观察到 某些细菌 沿行波 带运动 ， 进 而研 究 了描 述这类 现象 的模 型行 波解 的存 在性 ．在 灵 敏度 函数 Ｈ （ Ｖ ）＝ ｌ ｏ ｇ （ Ｖ ）下 ，不考 虑 化学 物质 自身 的扩 散 （ 札＝ ０ ） ， 他 们得到 了行 波解 ． Ｒ ｏ ｓ ｅ ｎ ［ ］ 则推广了反馈函数 ｇ 的范围， Ｋ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ 和Ｏ ｄ ｅ ｌ ｌ ［ ］ 也将灵敏度函数推广到 Ｈ（ ｖ ） ＝～ 一 Ｐ ． 然 而 ，此 时反馈 函数 的类 型 依然 受到 了严格 的 限制 ，并 且他 们 的方法 不考虑 化 学物 质 的扩 散．后来， Ｎ ａ ｇ ａ ｉ 和Ｉ ｋ ｅ ｄ ａ ［ 。 】 讨论了 ９＝一 时的考虑化学物质扩散性的模型行波解的存在 性． Ｈ ｏ ｒ ｓ ｔ ｍａ ｎ ｎ和 Ｓ ｔ ｅ ｖ ｅ ｎ ｓ ［ ７ ］ 针对几 种灵 敏度 函数 和反 馈函数 提 出了一种构 造性 方法 ，以保
｛ ｕ ｔ ： ＝ 。 Ｖ △ ． （ ｄ ＋ Ｖ ９ ｕ － ｕ ， Ｖ ， Ｈ （ ） ） ’
其 中，， “和 Ｖ 分 别表示 生物物种种 群密度 和引起种 群趋化 性行为 的化学物 质 的浓 度 ．ｄ表示 种群 的扩散 系数 或随机 移动 ，通 常 ｄ是 种群 密度 的函数 ．而 Ｄ 表示 化学 物质 的扩散 系数 ，
Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ： ｌ ｏ ｕ ｃ ｕ ｉ ｊ ｕ ａ ｎ ２ ０ ０ ６ ＠１ ２ ６ ． ｃ ｏ ｍ； ｙ ａ ｎ ｇ ｙ ｉ ｎ ＠ｍａ ｉ ｌ ． ｈ ｕ ｓ ｔ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
关键词 ： 趋化性； Ｋｅ ｌ ｌ ｅ ｒ — Ｓ ｅ ｇ ｅ ｌ 模型；抛物 一 抛物型偏微分方程组；抛物型方程；行波解．
ＭＲ（ ２ ０ １ ０ ） 主题分类： ３ ５ Ｃ ０ ７ ； ３ ５ Ｋ ５ ７ 中图分类号： Ｏ１ ７ ５ ． ２ 文献标识码： Ａ
文章编号：１ ０ ０ ３ — ３ ９ ９ ８ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ６ — １ ０ ４ ４ — １ ５
１ 引言
趋 向性 描述 了微 生物 在外 界条 件 的刺激 下 的应激 反应 ，当外 界 刺激是 化 学物 质 时称趋
化性 ．我们 以趋 化性 为例 ，讨论 微生物 应激 反应 的机理 ．本文 研 究了一类 经典 的趋化性模 型 Ｋ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ — Ｓ ｅ ｇ ｅ ｌ 模型 【 】 平面行波解的存在性．此模型的数学描述为
醺
数学物理学报
ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ａ ｅ ｔ ａ ｍ ｓ ． ｗ ｉ ｐ ｍ． ａ ｃ ． ｃ ｎ
一
类经典趋化性模型行波解 的存在性
娄 翠娟 杨 茵
（ 华 中科技大 学数学与统计学院 武汉 ４ ３ ０ ０ ７ ４ ）
摘要： 该文研究了一类经典趋化性模型 Ｋｅ ｌ ｌ ｅ ｒ — Ｓ ｅ ｇ ｅ ｌ 模型行波解 的存在性．对 Ｋｅ ｌ ｌ ｅ ｒ Ｓ ｅ ｇ ｅ ｌ 模 型中的抛物 一 抛物型偏微分方程组和抛物型方程，该文研究了它们正行波解 的存在性和波速 ．
基金项 目：国家 自然科学基金 （ １ １ ０ ７ １ １ ７ ２ ，１ １ ４ ７ １ １ ２ ９ ）资助 通讯作者
Ｎ ｏ ． ６
娄 翠娟 等 ：一类 经典 趋化 性模 型行 波解 的存 在性
１ ０ ４ ５
证 行波 解 的存 在性 ． Ｓ ｃ ｈ ｗ ｅ ｔ ｌ ｉ ｃ ｋ和 Ｈａ ｒ ｔ Ⅱ ｍｔ ［ ８ Ｊ 定性 分析 了行 波解 存 在对 灵敏 度 函数 和反 馈 函数 的要 求，证 明 了灵 敏度 函数 的奇性是 存在 有界 行波 的必要 条件 ．当模 型考虑 到 细胞的 繁 殖 和死 亡 因素时 ，即使灵敏 度 函数 非奇性 ，行 波解 仍然 可能 存在 ．黎 勇 ＿ ９ ＿ 在 Ｈ（ ｖ ） 一Ｘ ｖ 卜Ｐ 和 ｇ（ ， Ｖ ） ＝ －／ ４ ０ Ｖ 乱时 ，就 Ｄ ：０ ， Ｄ ≠０讨 论 了行波 解 的存在 性 ． Ｘ ｕ ｅ 等 ［ １ ｏ Ｊ 构建 了新 的 细 菌趋化 性模型 ，该模 型在 灵敏 度 函数 非奇 的情况 下考 虑 了细胞 间的相 关性 ．他 们证 明了这 个 模型解 的 全局存 在性 ，从数 值方 法和 解析 方法 上证 明 了行 波解 的存 在性 ．陈学 勇等 ［ １ １ ］ 讨 论 了一类 基于趋 化性 现象 的强耦 合非 线性偏 微分 方程 组 ， 利 用相 轨分析 法 ， 得 到 了该模型 行 波解 存在 的 充分 条件 和必要 条件 ．此外 ，趋化 性模 型行 波解 的稳 定性也 引起 了大量 学者 的关 注． Ｌ ｉ 和 Ｗａ ｎ ｇ ［ Ｊ 证 明了一类 双 曲 一 抛物 型趋 化性模 型 任意 幅度行 波解 的 非线性 稳定性 ， 同时 ，他 们也得 到 了一类 由 Ｋｅ ｌ ｌ ｅ ｒ — Ｓ ｅ ｇ ｅ ｌ 模 型衍变 的遵 守 守恒律 的 系统在 不假设 波强 度很 小 的 前提 下，行 波解 的存在 性和 非线 性 稳定性 【 ｌ ３ 】 ．Ｍａ ｒ ｔ ｉ ｎ Ｍｅ ｙ ｒ ｉ ｅ ｓ ［ １ ４ ］ 研 究 了奇性灵 敏度 函数 下 带化 学物 质 非线性 扩散 的 Ｋｅ ｌ ｌ ｅ ｒ — Ｓ ｅ ｇ ｅ ｌ 模 型，得到 了行 波解 的存 在性 ，在 波的一 个指 数权 重 邻域 内的局部 适定 性和 一定 条件 下 的非 线性 不稳 定性 ．最近 Ｗａ ｎ ｇ ［ ］ 总结 了趋 化性 模型 的行波解 情 况 ，包 括存 在性 ，波速 ，渐 近 衰减率 和 稳定性 等 ，并 且提 出了趋化性 模 型存在 的 些开 放性 问题 ．
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日（ Ｖ ） 表示 种群可 感知到 的化 学物 质浓度 的梯度 ，即灵 敏度 函数．反 馈 函数 ９ （ ｕ ， Ｖ ） 则描述 了种 群对化 学物 质的 回馈 反应 ． 对于上述 趋化性模 型， 很 多专家和 学者研 究了它 的行 波解 ． 当灵敏 度 函数 Ｈ （ ） ＝ｌ ｏ ｇ （ Ｖ ） 时，Ｏ ｔ ｈ ｍｅ ｒ 和 Ｓ ｔ ｅ ｖ ｅ ｎ ｓ ［ 】 建立 了描述 粘细 菌因化学物 质而 聚集的模 型． Ｋｅ ｌ ｌ ｅ ｒ和 Ｓ ｅ ｇ ｅ ｌ ［ ３ ． 在 实验 中观察到 某些细菌 沿行波 带运动 ， 进 而研 究 了描 述这类 现象 的模 型行 波解 的存 在性 ．在 灵 敏度 函数 Ｈ （ Ｖ ）＝ ｌ ｏ ｇ （ Ｖ ）下 ，不考 虑 化学 物质 自身 的扩 散 （ 札＝ ０ ） ， 他 们得到 了行 波解 ． Ｒ ｏ ｓ ｅ ｎ ［ ］ 则推广了反馈函数 ｇ 的范围， Ｋ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ 和Ｏ ｄ ｅ ｌ ｌ ［ ］ 也将灵敏度函数推广到 Ｈ（ ｖ ） ＝～ 一 Ｐ ． 然 而 ，此 时反馈 函数 的类 型 依然 受到 了严格 的 限制 ，并 且他 们 的方法 不考虑 化 学物 质 的扩 散．后来， Ｎ ａ ｇ ａ ｉ 和Ｉ ｋ ｅ ｄ ａ ［ 。 】 讨论了 ９＝一 时的考虑化学物质扩散性的模型行波解的存在 性． Ｈ ｏ ｒ ｓ ｔ ｍａ ｎ ｎ和 Ｓ ｔ ｅ ｖ ｅ ｎ ｓ ［ ７ ］ 针对几 种灵 敏度 函数 和反 馈函数 提 出了一种构 造性 方法 ，以保
｛ ｕ ｔ ： ＝ 。 Ｖ △ ． （ ｄ ＋ Ｖ ９ ｕ － ｕ ， Ｖ ， Ｈ （ ） ） ’
其 中，， “和 Ｖ 分 别表示 生物物种种 群密度 和引起种 群趋化 性行为 的化学物 质 的浓 度 ．ｄ表示 种群 的扩散 系数 或随机 移动 ，通 常 ｄ是 种群 密度 的函数 ．而 Ｄ 表示 化学 物质 的扩散 系数 ，