2020年春北师版九年级数学下册教案 1.1 第2课时 正弦与余弦2
2020年春北师版九年级数学下册学案 1.1 第2课时 正弦与余弦
1.1 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦学习目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义. 学习重点：1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 学习难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切.学习方法：探索——交流法. 学习过程：一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2)211122BA C A BA C A 和有什么关系? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答.二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：三、例题：例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.例2、做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一BAC般式表达.四、随堂练习：1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积.3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA= .4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)五、课后练习：1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______.3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____.4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )A.sinA=34B.cosA=35C.tanA=34D.cosB=355、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BCAC等于( )A.34B.43C.35D.456、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等于( )A.43B.34C.45D.547、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是DB ACA ．135B ．1312C ．125D ．512 8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( ) A.tan α<tan β B.sin α<sin β; C.cos α<cos β D.cos α>cos β9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A.CD ACB.DB CBC.CB ABD.CDCB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )mA.100sin βB.100sin βC.100cos β D. 100cos β 11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠A CD.14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos ∠ABD=45.求：s △ABD ：s △BCDBDAC。
北师大版数学九年级下册 正弦、余弦教案与反思
第2课时正弦、余弦原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！古之学者必严其师，师严然后道尊。
欧阳修【知识与技能】1.使学生理解锐角正弦、余弦的定义。
2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
【过程与方法】通过探索正弦、余弦定义，培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.【情感态度】通过探索、发现，培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯. 【教学重点】理解锐角正弦、余弦的定义；会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值. 【教学难点】求直角三角形中锐角的正弦、余弦值.一、情景导入，初步认知操场里有一根旗杆，老师让小明去测量旗杆高度.（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并且已知眼睛距离地面的高度为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了. 你想知道小明是怎样算出的吗？【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望.二、思考探究，获取新知1.想一想：如图(1) 直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？ (2) 11AC BA 和22AC B A 有什么关系？111B C B A和呢？ (3) 如果改变B2在梯子AB1上的位置呢?你由此可得出什么结论？(4) 如果改变梯子AB1的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论？请讨论后回答.【教学说明】通过学生的观察、探索，加上教师的引导，使学生探究一步一步走向深入，并从中体会到探究的乐趣、知识的魅力，应用价值，开拓学生视野，锻炼学生思维，提高学生能力.【归纳结论】在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即：sinA=A ∠的对边斜边∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即：cosA= A ∠的邻边斜边锐角A 的正切、正弦、余弦都是∠A 的三角函数，当∠A 化时，相应的的正切、正弦、余弦值也随之变化.【教学说明】让学生借助正切的概念，自己试着归纳正弦、余弦的概念。
正弦与余弦-北师大版九年级数学下册教案
正弦与余弦-北师大版九年级数学下册教案一、教学目标1.理解正弦和余弦的概念。
2.掌握在直角三角形中，正弦和余弦的计算方法。
3.能够应用正弦和余弦解决实际问题。
二、教学重点和难点1.教学重点：掌握正弦和余弦的计算方法、应用解决实际问题。
2.教学难点：引导学生理解正弦和余弦的概念。
三、教学过程1. 导入新知识本节课的学习目标是正弦和余弦。
让学生回想一下上课学习的三角函数的知识。
三角函数包括哪些？这些函数有什么用处？2. 正弦和余弦的概念1.向学生介绍正弦和余弦的定义和概念，让学生知道正弦和余弦对应的是直角三角形中的两个角。
2.给学生讲解正弦和余弦的符号体系，让学生明白正弦和余弦函数的定义域和值域。
3. 正弦和余弦的计算方法1.告诉学生正弦和余弦的计算方法，并通过几个例题来对计算方法进行讲解。
要求学生严格遵循计算方法执行计算过程。
2.对于计算方法中出现的各种函数，如正切函数、余切函数、弧度制和角度制等，对学生进行简要介绍和说明。
4. 应用正弦和余弦解决实际问题1.先向学生提出一个实际问题，让他们自己探讨思路，并在讨论中引领他们认识正弦函数和余弦函数在实际问题中的应用。
2.分别对正弦函数和余弦函数的应用进行讲解，并让学生举出更多的实际问题，帮助他们进一步认识正弦函数和余弦函数在实际问题中的应用。
5. 练习1.教师在课堂上布置练习题，要求学生在课堂上完成练习。
2.老师可以在课堂上给予学生针对性的指导和帮助，鼓励学生积极去思考，锻炼他们的问题解决能力。
四、作业布置1.布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。
2.布置相关练习题目的同时，合理引导学生形成自主学习的习惯。
五、课后复习让学生合理安排时间，及时复习当天所掌握的知识，巩固知识点，为下一次教学做好准备。
六、课堂资源教师可以配备一些教具，如直角三角形模型、三角函数表等，增强学生学习过程中的 experience.。
九年级数学下册(北师大版)配套教学教案： 1.1.2 正弦与余弦
全新修订版教学设计
（教案）
九年级数学下册
老师的必备资料
家长的帮教助手
学生的课堂再现
北师大版
1.1 锐角三角函数第2课时正弦与余弦
1．理解正弦与余弦的概念；(重点)
2．能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角．(难点)
一、情境导入
如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m，他的相对位置升高了5m.
如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？
在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？
根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了．
二、合作探究
探究点：正弦和余弦
【类型一】直接利用定义求正弦和余弦值
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sin A，cos A.
解析：利用勾股定理求出AC，然后根据正弦和余弦的定义计算即可．
解：由勾股定理得AC＝AB2－BC2＝132－52＝12，sin A＝
BC
AB＝
5
13，cos A＝
AC
AB＝12
13.
方法总结：
在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】已知一个三角函数值求另一个三角函数值
如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝
3
5，求sin B的值．
解析：先由AD＝BC＝5，cos∠ADC＝
3
5及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角。
新版北师大版数学九年级下册教案(全)
第一章 直角三角形的边角关系第1课时§1.1.1 锐角三角函数教学目标1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计➢ 从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。
这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
➢ 师生共同研究形成概念1、 梯子的倾斜程度在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。
这就涉及到倾斜角的问题。
用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。
但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
1） （重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3） 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。
2、 想一想（比值不变）☆ 想一想 书本P 2 想一想 通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。
这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
3、 正切函数 （1） 明确各边的名称 （2） 的邻边的对边A A A ∠∠=tan（3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。
☆ 巩固练习a 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB ABCAB C∠A 的对边∠A 的邻边斜边ABC= ；3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ； b 、 如图，在△ACB 中，tanA = 。
2020新版北师大版数学九年级下册教案(全)
2020新版北师大版数学九年级下册教案(全)第1课时§1.1.1 锐角三角函数教学目标1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质.这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系. 师生共同研究形成概念1、 梯子的倾斜程度在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的.这就涉及到倾斜角的问题.用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的.但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切. 1） （重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3） 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡； 通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础.2、 想一想（比值不变）☆ 想一想 书本P 2 想一想 通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度.当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定.这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关.3、 正切函数 （1） 明确各边的名称 （2） 的邻边的对边A A A ∠∠=tan（3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值.☆ 巩固练习a 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ；3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ； b 、 如图，在△ACB 中，tanA = .（不是直角三角形） （4） tanA 的值越大，梯子越陡 4、 讲解例题A B CAB C∠A 的对边∠A 的邻边斜边ABC例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度.这是上述结论的直接应用.例2 如图，在△ACB 中，∠°，AC = 6，43tan B ，求BC 分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长. 随堂练习5、书本 P 4 随堂练习 小结正切函数的定义. 作业书本 P4 习题1.1 1、2、4.8mα5m 5m β13m AB C第2课时§1.1.2 锐角三角函数教学目标5、 经历探索直角三角形中边角关系的过程6、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明7、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比8、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点重点：理解正弦、余弦函数的定义 难点：理解正弦、余弦函数的定义 教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题上一节课，我们研究了正切函数，这节课，我们继续研究其它的两个函数. ✧ 复习正切函数师生共同研究形成概念 6、 引入书本 P 7 顶7、 正弦、余弦函数 斜边的对边A A ∠=sin ，斜边的邻边A A ∠=cos☆ 巩固练习c 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°，1） sinA = ；cosA = ；sinB = ；cosB = 2） 若AC = 4，BC = 3，则sinA = ；cosA = ；3） 若AC = 8，AB = 10，则sinA = ；cosB = ；d 、 如图，在△ACB 中，sinA = .（不是直角三角形8、 三角函数锐角∠A 的正切、正弦、余弦都是∠A 的三角函数. 9、 梯子的倾斜程度sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越大，梯子越陡 10、 讲解例题 例3 如图，在Rt △ABC 中，∠B = 90°，AC = 200，6.0sin =A ，求BC的长.分析：本例是利用正弦的定义求对边的长. 例4 如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，1312cos =A ，求AB 的长及sinB. 分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长. 随堂练习11、 书本 P 随堂练习 小结正弦、余弦函数的定义.作业 书本 P 6 习题1、 2、3、4、5第3课时§1. 2 30°、45°、60°角的三角函数值教学目标9、 经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义 10、 能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算11、 能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小 教学重点和难点重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算 难点：记住30°、45°、60°角的三角函数值A BC∠A 的对边∠A 的邻边斜边ABC教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题上两节课，我们研究了正切、正弦、余弦函数，这节课，我们继续研究特殊角的三角函数值. 师生共同研究形成概念12、 引入书本 P 8引入本节利用三角函数的定义求30°、45°、60°角的三角函数值，并利用这些值进行一些简单计算.13、 30°、45°、60°角的三角函数值通过与学生一起推导，让学生真正理解特殊角的三角函数值.要求学生在理解的基础上记忆，切忌死记硬背.14、 讲解例题例5 计算：（1）sin30°+ cos45°； （2）︒-30cos 31；（3）︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos ； （4）︒-︒+︒45tan 45cos 60sin 22.分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解. 例6 填空：（1）已知∠A 是锐角，且cosA =21，则∠A = °，sinA = ； （2）已知∠B 是锐角，且2cosA = 1，则∠B = °；（3）已知∠A 是锐角，且3tanA 3-= 0，则∠A = °； 例7 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用. 例8 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，c a 32=，求ca，∠B 、∠A. 分析：本例先求出比值后，利用特殊角的三角函数值，再确定角的大小. 随堂练习15、 书本 P 9 随堂练习 小结要求学生在理解的基础上记忆特殊角的三角函数值，切忌死记硬背. 作业书本 P 9 习题1.3 1、2、3、4、B ABC OD§1.3三角函数的有关计算教学目标：1、经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义．2、能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题． 教学重点1．经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义． 2．能够利用计算器进行有关三角函数值的计算． 教学难点把实际问题转化为数学问题 教学过程： 一、导入新课生活中有许多问题要运用数学知识解决.本节课我们共同探讨运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题—§1.3、三角函数的有关计算 二、讲授新课引入问题1：会当凌绝顶，一览众山小，是每个登山者的心愿.在很多旅游景点，为了方便游客，设立了登山缆车.如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它走过了 200m ，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角030=∠α.那么缆车垂直上升的距离是多少?分析：在Rt △ABC 中，∠α＝30°，AB=200米，需求出BC.根据正弦的定义，sin30°=200BCAB BC =, ∴BC ＝ABsin30°＝200 ×21=100(米).引入问题2：当缆车继续由点B 到达点D 时，它又走过了200 m ，缆车由点B 到点D 的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝45°，由此你能想到还能计算什么?分析：有如下几种解决方案：方案一：可以计算缆车从B 点到D 点垂直上升的高度.方案二：可以计算缆车从A 点到D 点，垂直上升的高度、水平移动的距离.三、变式训练，熟练技能1、一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m ，再爬30°的山坡100 m ，求山高.( sin40°≈0.6428，结果精确到0.01 m)解：如图，根据题意，可知BC=300 m ，BA=100 m ，∠C=40°，∠ABF=30°.在Rt △CBD 中，BD=BCsin40°≈300×0.6428＝192.84(m)；在Rt △ABF 中，AF=ABsin30°=100×21=50(m).所以山高AE=AF+BD ＝192.8+50＝242.8(m).2、求图中避雷针的长度 .（参考数据：tan56°≈1.4826，tan50°≈1.1918)解：如图，根据题意，可知AB=20m ，∠CAB=50°，∠DAB=56°在Rt △DBA 中，DB=ABtan56° ≈20×1.4826＝29.652(m)；在Rt △CBA 中，CB=ABtan50° ≈20×1.1918=23.836(m). 所以避雷针的长度DC=DB-CB ＝29.652-23.836≈5.82(m). 四、合作探究随着人民生活水平的提高， 农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建10m 高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m 长的斜道．(如图所示). 这条斜道的倾斜角是多少？ 探究1：在Rt △ABC 中，BC ＝ m ，AC ＝ m ，sin A ＝ ＝ ． 探究2：已知sinA 的值，如何求出∠A 的大小？已知三角函数求角度，要用到sin －1，cos －1，tan －1”和键．探究3：你能求出上图中∠A 的大小吗？解：sin A ＝41＝ ．（化为小数），三、巩固训练1、如图，工件上有一V 形槽，测得它的上口宽20mm ，深19.2mm ，求V 形角(∠ACB)的大小．(结果精确到1°)2、如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下6.3cm 的A 处，射线从肿瘤右侧9.8cm 的B 处进入身体，求射线的入射角度．3、某段公路每前进1000米，路面就升高50米，求这段公路的坡角．4、一梯子斜靠在一面墙上．已知梯长4m ，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m ，求梯子与地面所成的锐角． 五、随堂练习：P,14 1、2、3、4、 六、作业：p15 1至6题§1.4解直角三角形一、教学目标1.知道解直角三角形的概念、理解直角三角形中五个元素的关系.2.通过综合运用勾股定理，掌握解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力.3．渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯．二、教学重点及难点教学重点：掌握利用直角三角形边角关系解直角三角形教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用三、教学用具准备黑板、多媒体设备.四、教学过程设计一、创设情景引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中倒下，树干断处离地面3米且树干与地面的夹角是30°.大树在折断之前高多少米？由30°直角边等于斜边的一半就可得AB=6米.分析树高是AB+AC=9米.由勾股定理容易得出BC的长为3 米.当然对于特殊锐角的解题用几何定理比较简单，也可以用锐角三角函数来解此题.二、知识回顾问题：1．在一个三角形中共有几条边？几个内角?（引出“元素”这个词语）2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？讨论复习师白：Rt△ABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？总结：直角三角形的边、角关系（板书）(PPT)(1)两锐角互余∠A＋∠B＝90°；(2)三边满足勾股定理a2＋b2＝c2；(3)边与角关系三、学习新课１、例题分析例题1 在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=380，a=8，求这个直角三角形的其它边和角.分析：如图，本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素的位置关系，再分析怎样用合适的锐角三角比解决问题，在本题中已知边是已知角的邻边，所以可以用的锐角三角比是余弦和正切.（板书）解：∵∠C=900∴∠A +∠B=900∴∠A=900－∠B=900－380=520∵cosB=∴ c= =∵tanB=∴b=atanB=8tan380≈6.250另解：∵cotB= ∴b=注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字.２.学习概念定义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.３．例题分析例题2 在Rt△ABC中，∠C=900，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形.分析：本题如图，已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，避免用间接数据求出误差较大的结论.（板书）解：∵∠C=900，∴a2＋b2＝c2∴b=∵sinA=∴∠A 460 0′∴∠B=900－∠A≈900－460 0′=440 0′.例题3（见教材p16）注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字,角度精确到1′.4、学会归纳通过上述解题，思考对于一个直角三角形,除直角外的五个元素中,至少需要知道几个元素,才能求出其他元素？想一想：如果知道两个锐角，能够全部求出其他元素吗？如果只知道五个元素中的一个元素,能够全部求出其他元素吗?归纳结论：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个元素.[说明] 我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．5、请找出题中的错误，并改正已知:如图，在Rt△ABC中, ∠C=90°,由下列条件,解直角三角形:(结果保留根号)§1.5三角函数的应用教学目标：1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.教学重点：1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.教学用具：小黑板三角板教学方法：探索——发现法教学过程一、问题引入：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.二、解决问题：1、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)【作业设计】 1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?2．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：2≈1.4，3≈1.7) Array【板书设计】§1.6 利用三角函数测高教学目标知识与技能目标能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由，能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.过程与方法目标经历活动设计方案，自制仪器过程；通过综合运用直角三角形边角关系的知识，利用数形结合的思想解决实际问题，提高解决问题的能力. 情感与价值观要求通过积极参与数学活动过程，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神. 教学重点、难点设计活动方案、自制仪器的过程及学生学习品质的培养. 教具准备自制测倾器(或经纬仪、测角仪等)、皮尺等测量工具. 教学过程提出问题，引入新课现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的数学知识解决问题.请同学们思考小明在测塔的高度时，用到了哪些仪器? 有何用途? 如何制作一个测角仪？它的工作原理是怎样的？活动一：设计活动方案，自制仪器首先我们来自制一个测倾器(或测角仪、经纬仪等).一般的测倾器由底盘、铅锤和支杆组成.下面请同学们以组为单位，分组制作如图所示的测倾器.制作测角仪时应注意什么?支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确.度盘的顶线PQ 与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ 的交点.当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下. 一个组制作测角仪，小组内总结，讨论测角仪的使用步骤) 活动二：测量倾斜角（1）.把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ 在水平位置.（2）.转动度盘，使度盘的直经对准较高目标M ，记下此时铅垂线指的度数.那么这个度数就是较高目标M 的仰角.问题1、它的工作原理是怎样的？如图，要测点M 的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ 在水平位置.我们转动度盘，使度盘的直径对准目标M ，此时铅垂线指向一个度数.即∠BCA 的度数.根据图形我们不难发现∠BCA+∠ECB ＝90°，而∠MCE+∠ECB=90°，即∠BCA 、∠MCE 都是∠ECB 的余角，根据同角的余角相等，得∠BCA ＝∠MCE.因此读出∠BCA 的度数，也就读出了仰角∠MCE 的度数.问题2、如何用测角仪测量一个低处物体的俯角呢? 和测量仰角的步骤是一样的，只不过测量俯角时，转动度盘，使度盘的直径对准低处的目标，记下此时铅垂线所指的度数，同样根据“同角的余角相等”，铅垂线所指的度数就是低处的俯角.活动三：测量底部可以到达的物体的高度.“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离. 要测旗杆MN 的高度，可按下列步骤进行：(如下图)1.在测点A 处安置测倾器(即测角仪)，测得M 的仰角∠MCE=α.2.量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN ＝l.3.量出测倾器(即测角仪)的高度AC ＝a(即顶线PQ 成水平位置时，它与地面的距离).根据测量数据，就能求出物体MN 的高度.在Rt △MEC 中，∠MCE=α，AN=EC=l ，所以tan α=ECME，即ME=tana ·EC ＝l ·tan α.又因为NE ＝AC ＝a ，所以MN ＝ME+EN ＝l ·tan α+a.活动四：测量底部不可以到达的物体的高度.所为“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.例如测量一个山峰的高度.可按下面的步骤进行(如图所示)：1.在测点A 处安置测角仪，测得此时物体MN 的顶端M 的仰角∠MCE ＝α.2.在测点A 与物体之间的B 处安置测角仪(A 、B 与N 都在同一条直线上)，此时测得M 的仰角∠MDE=β.3.量出测角仪的高度AC ＝BD ＝a ，以及测点A ，B 之间的距离AB=b根据测量的AB 的长度，AC 、BD 的高度以及∠MCE 、∠MDE 的大小，根据直角三角形的边角关系.即可求出MN 的高度.在Rt △MEC 中，∠MCE ＝α，则tan α＝ECME ，EC=a MEtan ；在Rt △MED 中，∠MDE ＝β则tan β＝EDME，ED ＝βtan ME ；根据CD ＝AB ＝b ，且CD ＝EC-ED=b. 所以aMEtan -βtan ME =b, ME=βαtan 1tan 1-bMN=βαtan 1tan 1-b+a 即为所求物体MN 的高度.今天，我们分组讨论并制作了测角仪，学会使用了测角仪，并研讨了测量可到达底部和不可以到达底部的物体高度的方案.下一节课就清同学们选择我们学校周围的物体.利用我们这节课设计的方案测量它们的高度，相信同学们收获会更大. 归纳提炼本节课同学们在各个小组内都能积极地投入到方案的设计活动中，想办法.献计策，用直角三角形的边角关系的知识解释设计方案的可行之处.相信同学们在下节课的具体活动中会更加积极地参与到其中. 课后作业制作简单的测角仪 活动与探究如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD.且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可以直接测得.从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H.可供使用的测员工具有皮尺，测倾器(即测角仪).(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物.设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案.具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量的平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A 、D 间距离，用m 表示；如果测D 、C 间距离，用n 表示；如果测角，用α、β、γ等表示.测倾器高度不计)(2)根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度HG(用字母表示),I 方案1：(1)如图(a)(测四个数据) AD ＝m.CD ＝n ，∠HDM ＝α,∠HAM ＝β (2)设HG ＝x ，HM ＝x-n ，在Rt △HDM 中，tan αDM HM ,DM=.tan αnx -在Rt △HAM 中，tan αAMHM,DM=.tan βn x -∵AM-DM ＝AD ， ∴.tan βn x --.tan αn x -=m, x=.tan tan tan tan βαβα-⋅m +n. 方案2：(1)如图(b)(测三个数据) CD ＝n ，∠HDM ＝α，∠HCG ＝γ. (2)设HG ＝x ，HM ＝x-n ，在Rt △CHG 中，tan γ=CGHG,CG=χtan x ,在Rt △HDM 中，tan αDM HM ,DM=.tan αnx -,∵CG ＝DM. ∴χtan x =.tan αnx -,x=.tan tan tan αχ-y n第二章 二次函数2.1二次函数所描述的关系教学目标：1.理解二次函数的概念；2.能够表示简单变量之间的二次函数的关系. 知识回顾：1、正比例函数的表达式为 一次函数 反比例函数表达式为 .2、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.请问种多少棵树才能达到30000个的总产量？你能解决这个问题吗？ （请列出方程，不用计算） 新知探究：3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.知识运用：4.做一做银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的.也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．Y=________________________________5、总结归纳（1）从以上两个例子中，你发现这函数关系式有什么共同特征？（2）仿照以前所学知识，你能给它起个合适的名字吗？（3）你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗？试试看.【归纳总结】一般地，形如（其中均为常数≠0）的函数叫做.你能举出类似的例子吗？巩固练习P30页随堂练习 1 2布置作业习题2.12.2二次函数的图像与性质1一、教学目标(一)知识与技能1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质． 2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同．(二)过程与方法1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．(三)情感与态度1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点：作出函数y＝±x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y＝±x2的性质.教学难点：由y=x2的图象及性质对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点.三、教学过程分析1、情境引入寻找生活中的抛物线活动目的：2x y=通过让学生寻找生活中的抛物线，让生活走进数学，让学生对抛物线有感性认识，以激发学生的求知欲，同时，让学生体会到数学来源于生活. 2、温故知新复习：(1)二次函数的概念，（2）画函数的图象的主要步骤，（3）根据函数y=x 2列表3、合作学习（探究二次函数y ＝±x 2的图象和性质）活动内容：1. 用描点法画二次函数y=x 2的图象，并与同桌交流.2. 观察图象，探索二次函数y=x 2的性质，提出问题： (1) 你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2) 图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点,并与同伴交流.(3)图象 与x 轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (4)当x<0时,随着x 的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x 取什么值时,y 的值最小?最小值是什么？ 你是如何知道的？3.二次函数y =－x 2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象4.它与二次函数y =x 2的图象有什么关系？与同伴进行交流.5.说说二次函数y =－x 2的图象有哪些性质？与同伴交流. 4、 练习与提高活动内容： 1、已知函数 是关于x 的二次函数.求：（1）满足条件的m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点， 这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？ （3）m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 2、已知点A(1，a )在抛物线y=x 2 上. （1）求A 的坐标；（2）在x 轴上是否存在点P ，使得△OAP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.与同伴进行交流.活动目的： 1.对本节知识进行巩固练习.2.将获得的新知识与旧知识相联系，共同纳入知识系统.3.培养学生整合知识的能力.. 6、课堂小结活动内容：小结：二次函数y=± x 2的性质 根据图形填表：mm x m y 22)1(++=。
北师大版九年级数学下册课件：1.1第2课时正弦和余弦
∴点B的坐标为(4，3)．
B
H
A
(2)∵OA＝10，OH＝4， ∴AH＝6． ∵在Rt△AHB中，BH=3， AB BH2 AH2 = 32 62 =3 5,
cosBAO AH 6 2 5 . AB 3 5 5
B
H
A
课堂小结 1.在Rt△ABC中
A的对边 a (2)∵OA＝10，OH＝4， sin A = B. 斜边 c 解：(1)如图所示，作BH⊥OA， 垂足为H．在Rt△OHB中，
梯子的倾斜程度三角函数的关系：
梯子越陡，倾斜角越大，sin越大，cos越小，tan越大 梯子越缓，倾斜角越小，sin越小，cos越大，tan越小
A
A
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
sin
A
A的对边 斜边
=
a c
tan A a a c sin A b c b cos A
cos
B
B的邻边 斜边
C．2tan α
2
D. tanα
3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐 标为(4，3)，那么cos α的值是( D )
A. 3
B. 4
4
3
3
C. 5
D.
4 5
4.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则sinA = sinB; (2)若sinA=sinB,则∠A = ∠B; (3)若tanA ·tanB=1，则∠A与∠B的关系是__互__余__
（4）如果改变梯子A1B1的倾斜角的大小呢？由此你可得出什么结论？
ห้องสมุดไป่ตู้
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC=200,
A的邻边 b 【问题2】梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？ cos A = ∵BO＝5，sin∠BOA＝ , 斜边 c 【问题1】当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？
北师大版2019-2020年九年级数学下册教案：1.1 第2课时 正弦与余弦1
1.1 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦1．理解正弦与余弦的概念；(重点)2．能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角．(难点)一、情境导入如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m ，他的相对位置升高了5m.如果他沿着该斜坡行走了20m ，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m 呢？在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了．二、合作探究探究点：正弦和余弦【类型一】 直接利用定义求正弦和余弦值在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求sin A ，cos A .解析：利用勾股定理求出AC ，然后根据正弦和余弦的定义计算即可．解：由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝132－52＝12，sin A ＝BC AB ＝513，cos A ＝AC AB ＝1213.方法总结：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题【类型二】 已知一个三角函数值求另一个三角函数值如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC上，AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，求sin B 的值．解析：先由AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35及勾股定理求出AC 及AB 的长，再由锐角三角函数的定义解答．解：∵AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，∴CD ＝3.在Rt△ACD 中，∵AD ＝5，CD ＝3，∴AC ＝AD 2－CD 2＝52－32＝4.在Rt △ACB 中，∵AC ＝4，BC ＝5，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋52＝41，∴sin B ＝AC AB ＝441＝44141. 方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型三】比较三角函数的大小sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( ) A ．tan70°＜cos70°＜sin70° B ．cos70°＜tan70°＜sin70° C ．sin70°＜cos70°＜tan70° D ．cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D.方法总结：当角度在0°<∠A <90°间变化时，0<sin A <1，1>cos A >0.当角度在45°＜∠A ＜90°间变化时，tan A ＞1.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型四】 与三角函数有关的探究性问题在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边(除端点外)上的一点，设∠ADC ＝α，∠B ＝β.(1)猜想sin α与sin β的大小关系； (2)试证明你的结论．解析：(1)因为在△ABD 中，∠ADC 为△ABD 的外角，可知∠ADC ＞∠B ，可猜想sin α＞sin β；(2)利用三角函数的定义可求出sin α，sin β的关系式即可得出结论．解：(1)猜想：sin α＞sin β；(2)∵∠C ＝90°，∴sin α＝AC AD ，sin β＝ACAB.∵AD ＜AB ，∴AC AD ＞ACAB，即sin α＞sin β.方法总结：利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是解题的关键．【类型五】 三角函数的综合应用如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC .(1)求证：AC ＝BD ；(2)若sin C ＝1213，BC ＝36，求AD 的长．解析：(1)根据高的定义得到∠ADB ＝∠ADC ＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到tan B ＝ADBD ，cos ∠DAC＝AD AC ，再利用tan B ＝cos ∠DAC 得到AD BD ＝ADAC，所以AC ＝BD ；(2)在Rt △ACD 中，根据正弦的定义得sin C ＝AD AC ＝1213，可设AD ＝12k ，AC ＝13k ，再根据勾股定理计算出CD ＝5k ，由于BD ＝AC ＝13k ，于是利用BC ＝BD ＋CD 得到13k ＋5k ＝36，解得k ＝2，所以AD ＝24.(1)证明：∵AD 是BC 上的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ABD 中，tan B ＝ADBD，在Rt △ACD 中，cos ∠DAC ＝AD AC .∵tan B ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝ADAC，∴AC ＝BD ；(2)解：在Rt △ACD 中，sin C ＝AD AC ＝1213.设AD ＝12k ，AC ＝13k ，∴CD ＝AC 2－AD 2＝5k .∵BD ＝AC ＝13k ，∴BC ＝BD ＋CD ＝13k ＋5k ＝36，解得k ＝2，∴AD ＝12×2＝24.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题三、板书设计正弦与余弦1．正弦的定义2．余弦的定义3．利用正、余弦解决问题本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.。
2019-2020学年北师大版九年级数学下册教案1.1 第2课时 正弦与余弦1
1.1 锐角三角函数第2课时正弦与余弦1．理解正弦与余弦的概念；(重点)2．能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角．(难点)一、情境导入如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m，他的相对位置升高了5m.如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了．二、合作探究探究点：正弦和余弦【类型一】直接利用定义求正弦和余弦值在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sin A，cos A.解析：利用勾股定理求出AC，然后根据正弦和余弦的定义计算即可．解：由勾股定理得AC＝AB2－BC2＝132－52＝12，sin A＝BCAB＝513，cos A＝ACAB＝1213.方法总结：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】已知一个三角函数值求另一个三角函数值如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝35，求sin B的值．解析：先由AD＝BC＝5，cos∠ADC＝35及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角三角函数的定义解答．解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝35，∴CD ＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC ＝AD2－CD2＝52－32＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝AC2＋BC2＝42＋52＝41，∴sin B ＝AC AB ＝441＝44141 .方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型三】 比较三角函数的大小sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( )A ．tan70°＜cos70°＜sin70°B ．cos70°＜tan70°＜sin70°C ．sin70°＜cos70°＜tan70°D ．cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D.方法总结：当角度在0°<∠A <90°间变化时，0<sin A <1，1>cos A >0.当角度在45°＜∠A ＜90°间变化时，tan A ＞1.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型四】 与三角函数有关的探究性问题在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边(除端点外)上的一点，设∠ADC ＝α，∠B ＝β.(1)猜想sin α与sin β的大小关系； (2)试证明你的结论．解析：(1)因为在△ABD 中，∠ADC 为△ABD 的外角，可知∠ADC ＞∠B ，可猜想sinα＞sin β；(2)利用三角函数的定义可求出sin α，sin β的关系式即可得出结论．解：(1)猜想：sin α＞sin β； (2)∵∠C ＝90°，∴sin α＝ACAD，sin β＝AC AB .∵AD ＜AB ，∴AC AD ＞ACAB，即sin α＞sin β.方法总结：利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是解题的关键．【类型五】 三角函数的综合应用如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC .(1)求证：AC ＝BD ；(2)若sin C ＝1213，BC ＝36，求AD 的长．解析：(1)根据高的定义得到∠ADB ＝∠ADC ＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到tan B ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝ADAC，再利用tan B ＝cos ∠DAC 得到AD BD ＝ADAC，所以AC ＝BD ；(2)在Rt △ACD 中，根据正弦的定义得sin C ＝AD AC ＝1213，可设AD ＝12k ，AC ＝13k ，再根据勾股定理计算出CD ＝5k ，由于BD ＝AC ＝13k ，于是利用BC ＝BD ＋CD 得到13k ＋5k ＝36，解得k ＝2，所以AD ＝24.(1)证明：∵AD 是BC 上的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ABD 中，tan B ＝ADBD，在Rt △ACD 中，cos ∠DAC ＝ADAC.∵tan B ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝AD AC，∴AC ＝BD ；(2)解：在Rt △ACD 中，sin C ＝AD AC ＝1213.设AD ＝12k ，AC ＝13k ，∴CD ＝AC 2－AD 2＝5k .∵BD ＝AC ＝13k ，∴BC ＝BD ＋CD ＝13k ＋5k ＝36，解得k ＝2，∴AD ＝12×2＝24.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题三、板书设计正弦与余弦1．正弦的定义 2．余弦的定义3．利用正、余弦解决问题本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.。
度北师大版九年级数学下册1.1第2课时正弦和余弦课件(共21张)
课堂小测
•1. 如图，在△ABC中，∠C=90°,AB=13，BC=5，则sin A的值是
（）
•A
•A.
B.
C.
D.
B 【解析】由正弦的定义可得 ,
A
C
.
课堂小测
2．在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( •C)
A.
B. 2 C.
D.
【解析】由勾股定理可得AB2=AC2+BC2，
课堂小测
3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD=CD，cos
，
BC=10，则AB的值是（ C ）
• A．9 B．8 C．6 D．3
•提示：先利用余弦求出AC的长度，再利用勾股定理，求出AB的长度即可.
课堂小测
•4．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（B ）
B
•斜
边
•∠A的对
•┌边
A •∠A的邻 C
边
•即在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦.
课堂小结
•在定义中应该注意的几个问题: •(1) sin A,cos A,tan A 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构 •造直角三角形) . •(2)sin A,cos A,tan A 是三个完整的符号,表示∠A的正弦,余弦,正切,习惯省去 •“∠”这个符号. •(3)sin A,cos A,tan A 都是比值.注意比的顺序,且sin A,cos A,tan A 均大于0,无 •单位. •(4)sin A,cos A,tan A 的值只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长大小无 •关.
A
5
5
B 6D
北师大版初中数学9年级下册1.1 第2课时 正弦与余弦-优课件
AC AB A'C' A'B'
AC A'C ' AB A'B '
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管 三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．
引出定义： 当锐角A的大小确定时，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做
∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
cosAA斜 的边 邻边bc
sinABC6 3， cosBBC 6 3.
AB 10 5
AB 10 5
课堂小结
在Rt△ABC中
sinAA斜 的 边 对边=a c cosAA斜 的 边 邻边=b c
tanA= A的对边 = a A的邻边 b
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐 角(注意数形结合，构造直角三角形).
2.sinA、 cosA是一个比值（数值）.
3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的
边长无关.
4.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.当锐角A变化 时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
5.sinA的值越大，梯子越陡； cosA的值越小，梯子越陡.
典例精析 例 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求 BC的长.
2.sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）.
3.sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角 三角形的边长无关.
•1、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2022年2月11日星期五2022/2/112022/2/112022/2/11 •2、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2022年2月2022/2/112022/2/112022/2/112/11/2022 •3、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着 科学的真正进步。2022/2/112022/2/11February 11, 2022 •4、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2022/2/112022/2/112022/2/112022/2/11
2019-2020年北师大版九年级数学下册教案1.1 第2课时 正弦与余弦2
1.1 锐角三角函数第2课时 正弦与余弦［教学目标］1、 理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
［教学重点与难点］ 在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
［教学过程］ 一、情景创设1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m 后，他的相对位置升高了5m ，如果他沿着该斜坡行走了20m ，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m 呢？2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？ 二、探索活动1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值________；它的邻边与斜边的比值________。
（根据是__________________。
）2、正弦的定义 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________.3、余弦的定义 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。
（你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.___________.4、牛刀小试 根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
5、思考与探索 怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？（1） 如图，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度时，他的位置升高了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。
20m 13m根据正弦、余弦的定义，可以知道：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？sin75°、cos75°呢？sin30°＝_____，cos30°＝_____.sin75°＝_____，cos75°＝_____.（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。
北师大版2019-2020年九年级数学下册教案：1.1 第2课时 正弦与余弦1
1.1 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦1．理解正弦与余弦的概念；(重点)2．能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角．(难点)一、情境导入如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m ，他的相对位置升高了5m.如果他沿着该斜坡行走了20m ，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m 呢？在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了．二、合作探究探究点：正弦和余弦【类型一】 直接利用定义求正弦和余弦值在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求sin A ，cos A .解析：利用勾股定理求出AC ，然后根据正弦和余弦的定义计算即可．解：由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝132－52＝12，sin A ＝BC AB ＝513，cos A ＝AC AB ＝1213.方法总结：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题【类型二】 已知一个三角函数值求另一个三角函数值如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝35，求sin B的值．解析：先由AD＝BC＝5，cos∠ADC＝35及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角三角函数的定义解答．解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝35，∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝AD2－CD2＝52－32＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝AC2＋BC2＝42＋52＝41，∴sin B＝ACAB＝441＝44141.方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型三】比较三角函数的大小sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是()A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D.方法总结：当角度在0°<∠A<90°间变化时，0<sin A<1，1>cos A>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tan A＞1.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型四】与三角函数有关的探究性问题在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC边(除端点外)上的一点，设∠ADC＝α，∠B＝β.(1)猜想sinα与sinβ的大小关系；(2)试证明你的结论．解析：(1)因为在△ABD中，∠ADC为△ABD的外角，可知∠ADC＞∠B，可猜想sinα＞sinβ；(2)利用三角函数的定义可求出sinα，sinβ的关系式即可得出结论．解：(1)猜想：sinα＞sinβ；(2)∵∠C＝90°，∴sinα＝ACAD，sinβ＝ACAB.∵AD＜AB，∴ACAD＞ACAB，即sinα＞sinβ.方法总结：利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是解题的关键．【类型五】三角函数的综合应用如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B＝cos∠DAC.(1)求证：AC＝BD；(2)若sin C＝1213，BC＝36，求AD的长．解析：(1)根据高的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到tan B ＝ADBD ，cos ∠DAC ＝AD AC ，再利用tan B ＝cos ∠DAC 得到ADBD ＝ADAC，所以AC ＝BD ；(2)在Rt △ACD 中，根据正弦的定义得sin C ＝AD AC ＝1213，可设AD ＝12k ，AC ＝13k ，再根据勾股定理计算出CD ＝5k ，由于BD ＝AC ＝13k ，于是利用BC ＝BD ＋CD 得到13k ＋5k ＝36，解得k ＝2，所以AD ＝24.(1)证明：∵AD 是BC 上的高，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ABD 中，tan B ＝ADBD ，在Rt △ACD 中，cos ∠DAC ＝AD AC .∵tan B ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝ADAC ，∴AC ＝BD ；(2)解：在Rt △ACD 中，sin C ＝AD AC ＝1213.设AD ＝12k ，AC ＝13k ，∴CD ＝AC 2－AD 2＝5k .∵BD ＝AC ＝13k ，∴BC ＝BD ＋CD ＝13k ＋5k ＝36，解得k ＝2，∴AD ＝12×2＝24.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题三、板书设计正弦与余弦1．正弦的定义 2．余弦的定义3．利用正、余弦解决问题本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.。
BS北师大版 九年级数学 下册第二学期春 教学设计 教案 第一章 锐角三角函数 1.1 第2课时 正弦与余弦1
BS 北师大版 九年级数学 下册第二学期春 教学设计 教案 第一章 锐角三角函数1.1 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦1．理解正弦与余弦的概念；(重点) 2．能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角．(难点)一、情境导入如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m ，他的相对位置升高了5m.如果他沿着该斜坡行走了20m ，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m 呢？在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了．二、合作探究探究点：正弦和余弦【类型一】 直接利用定义求正弦和余弦值在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB＝13，BC ＝5，求sin A ，cos A .解析：利用勾股定理求出AC ，然后根据正弦和余弦的定义计算即可．解：由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝132－52＝12，sin A ＝BC AB ＝513，cos A ＝ACAB ＝1213. 方法总结：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题【类型二】 已知一个三角函数值求另一个三角函数值如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，求sin B 的值．解析：先由AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35及勾股定理求出AC 及AB 的长，再由锐角三角函数的定义解答．解：∵AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，∴CD ＝3.在Rt △ACD 中，∵AD ＝5，CD ＝3，∴AC ＝AD 2－CD 2＝52－32＝4.在Rt △ACB 中，∵AC ＝4，BC ＝5，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋52＝41，∴sin B ＝ACAB ＝441＝44141 .方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型三】 比较三角函数的大小sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是()A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D.方法总结：当角度在0°<∠A<90°间变化时，0<sin A<1，1>cos A>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tan A＞1.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型四】与三角函数有关的探究性问题在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC边(除端点外)上的一点，设∠ADC＝α，∠B＝β.(1)猜想sinα与sinβ的大小关系；(2)试证明你的结论．解析：(1)因为在△ABD中，∠ADC为△ABD的外角，可知∠ADC＞∠B，可猜想sinα＞sinβ；(2)利用三角函数的定义可求出sinα，sinβ的关系式即可得出结论．解：(1)猜想：sinα＞sinβ；(2)∵∠C＝90°，∴sinα＝ACAD，sinβ＝ACAB.∵AD＜AB，∴ACAD＞ACAB，即sinα＞sinβ.方法总结：利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是解题的关键．【类型五】三角函数的综合应用如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B＝cos∠DAC.(1)求证：AC＝BD；(2)若sin C＝1213，BC＝36，求AD的长．解析：(1)根据高的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到tan B＝ADBD，cos∠DAC＝ADAC，再利用tan B＝cos∠DAC得到ADBD＝ADAC，所以AC＝BD；(2)在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sin C＝ADAC＝1213，可设AD＝12k，AC＝13k，再根据勾股定理计算出CD＝5k，由于BD＝AC＝13k，于是利用BC＝BD＋CD得到13k＋5k＝36，解得k＝2，所以AD＝24.(1)证明：∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，tan B＝ADBD，在Rt△ACD中，cos∠DAC＝ADAC.∵tan B＝cos∠DAC，∴ADBD＝ADAC，∴AC＝BD；(2)解：在Rt△ACD中，sin C＝ADAC＝1213.设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝AC2－AD2＝5k.∵BD＝AC＝13k，∴BC＝BD＋CD＝13k＋5k＝36，解得k＝2，∴AD＝12×2＝24.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题三、板书设计正弦与余弦1．正弦的定义2．余弦的定义3．利用正、余弦解决问题本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.。
北师大版九年级数学下册第一章：直角三角形的边角关系 第2课时 正弦和余弦(教案设计)
第2课时正弦和余弦教案置疑导入我们在上节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度,并且得出了当倾斜角确定时,其对边与斜边之比随之确定的结论,也就是说这一比值只与倾斜角的大小有关,与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.现在我们提出两个问题:问题1:当直角三角形中的锐角确定之后,其他边之间的比也确定吗?问题2:梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有,是怎样的关系?[说明与建议] 说明:通过回顾正切的有关知识,引导学生运用类比的思想完成本节课的学习任务,为本节课的学习做好准备.启发学生还有其他方法可以判断梯子的倾斜程度,让学生意识到本节课要学习的新知识.建议:留给学生充足的思考时间,让学生积极动脑,为新知识的学习做好铺垫.复习导入上节课,我们研究了“陡”这个字,明确了梯子摆放的“陡”与“缓”是与梯顶到地面的距离以及梯脚到墙角的距离比有关的.如图1-1-25,研究梯子摆放的倾斜程度有两种方法:一是用梯子的倾斜角来刻画,倾斜角越大,梯子越陡;二是用倾斜角的对边与邻边之比(即倾斜角的正切)来刻画,正切值越大,梯子越陡.那么还有没有其他方法来刻画梯子的倾斜程度呢?下面请同学们模拟试验,探究梯子摆放的倾斜程度是否还与梯顶或梯脚到墙角的距离与梯长比有关呢?图1-1-25[说明与建议] 说明:思维往往是从人的动作、活动参与开始的,而动手操作及量一量活动最易激发学生的想象、思维和发现,在量一量活动中增强自己的感性认识与经验,进而上升到理性观察、思考与推理论证.建议:在学生操作时,教师要引导学生进行思考、分析,为进一步的学习积累数学活动经验.教材母题——教材第5页例2如图1-1-26,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sin A=0.6,求BC的长.图1-1-26【模型建立】利用直角三角形的边角关系——三角函数进行边的计算,要抓住两个要点:一是弄清各边之比构成哪个三角函数;二是根据定义正确进行变形,得到计算的式子.【变式变形】,AC=8,求BC的长.1.如图1-1-27,在△ABC中,∠C=90°,sin A=35图1-1-27[答案:6],BC=20,求△ABC的周长和面积.2.如图1-1-28,在△ABC中,∠C=90°,sin A=45图1-1-28[答案:△ABC的周长为60,面积为150]3.如图1-1-29,在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,BC=6,求sin B,cos B,tan B.图1-1-29[答案:sinB=45,cosB=35,tanB=43]4.在△ABC中,∠C=90°,若AB=4AC,求cos A的值.[答案:cosA=1 4 ][命题角度1] 三角函数的定义考查特点:将正弦、余弦、正切与点的坐标、三角形等知识结合,考查对定义的掌握以及综合解决问题的能力.应对策略:计算相应的线段长,从而得到所求的三角函数值.例[怀化中考] 如图1-1-30,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是(C)图1-1-30A.35B.34C.45D.43[命题角度2] 互余两角的三角函数关系在△ABC中,若∠A+∠B=90°,则sin A=cos B,tan A·tan B=1.利用这种关系可以快速地得出结论,避免设未知量表示各边长的较为烦琐的过程.例 [汕尾中考] 在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sin A=35,则cos B 的值是(B)A .45B .35C .34D .43[解析] ∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴cos B=sin A.∵sin A=35,∴cos B=35.故选B .[命题角度3] 同角的三角函数关系对于同角的三角函数,关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系:对任一锐角α,都有sin 2α+cos 2α=1.根据这一关系,当知道了一个三角函数值时,即可求出其他三角函数值. 例 [连云港中考] 在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sin A=513,则cos A 的值为(D) A .512B .813C .23D .1213[解析] ∵sin 2A+cos 2A=1,即(513)2+cos 2A=1, ∴cos 2A=144169,∴cos A=1213或-1213(舍去),∴cos A=1213.故选D .习题答案P4随堂练习1．如图，△ABC 是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗？解：∵AB ＝BC ，BD ⊥AC ， ∴AD ＝DC ＝12AC ＝2.在Rt △DBC 中，tanC ＝BD DC ＝1.52＝34.2．如图，某人从山脚下的点A 走了200 m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55 m ，求山的坡度(结果精确到0.001 m)．解：在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2≈ 192．2888(m)， 故tanA ＝BCAC ≈0.286.即山的坡度约为0.286. P4习题1.11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，AB ＝13，求tanA 和tanB. 解：在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝ 132－52＝12.∴tanA ＝BC AC ＝125，tanB ＝AC BC ＝512.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，tanA ＝512，求AC.解：在Rt △ABC 中， ∵tanA ＝BC AC ，BC ＝3，∴512＝3AC ，∴AC ＝365.3．观察你们学校、你家或附近的楼梯，哪个更陡？ 解：略．4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA 与tanB 有什么关系？ 解：tanA ＝BC AC ，tanB ＝AC BC ，tanA·tanB ＝BC AC ·ACBC＝1. P6随堂练习1．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求sinB ，cosB ，tanB. 解：如图，过点A 作AD ⊥BC ， 则BD ＝DC ＝12BC ＝3.在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝4, sinB ＝AD AB ＝45， cosB ＝BD AB ＝35，tanB ＝AD BD ＝43.2．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，BC ＝20，求△ABC 的周长和面积．解： 在Rt △ABC 中， ∵sinA ＝BC AB ＝45，BC ＝20，∴45＝20AB ，∴AB ＝25.∴AC ＝AB 2－BC 2＝252－202＝15. ∴△ABC 的周长为20＋15＋25＝60， △ABC 的面积为12AC·BC ＝150.P6习题1.21．如图，分别求∠α和∠β的正弦、余弦和正切．解：由题意可得，x 2＝92－⎝⎛⎭⎫3652， 解得x ＝275.∴sinα＝2759＝35，sinβ＝3659＝45；cosα＝3659＝45，cosβ＝2759＝35；tanα＝275365＝34，tanβ＝365275＝43.2.如何用正弦、余弦、正切来刻画梯子的倾斜程度？ 解：略．3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA 与cosB 有什么关系？ 解：sinA ＝cosB.理由如下：如图， 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，则sinA ＝a c ， cosB ＝a c ，∴sinA ＝cosB.4．在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CD 是AB 边上的中线，BC ＝8，CD ＝5，求sin ∠ACD ，cos ∠ACD 和tan ∠ACD.解：如图，在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，CD 为AB 边上的中线， CD ＝5， ∴AB ＝2CD ＝2DB ＝2AD ＝10. ∴AC ＝AB 2－BC 2＝102－82＝6. ∴sin ∠ACD ＝ sinA ＝BC AB ＝810＝45，cos ∠ACD ＝ cosA ＝AC AB ＝610＝35，tan ∠ACD ＝ tanA ＝BC AC ＝43.5．在△ABC 中，∠BAC>90°，AB ＝5，BC ＝13，AD 是BC 边上的高，AD ＝4，求CD 和sinC.如果∠BAC<90°呢？解：若∠BAC>90°，如图， 在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝52－42＝3， ∴CD ＝BC －BD ＝13－3＝10.在Rt △ACD 中， AC ＝AD 2＋CD 2＝42＋102＝229， ∴sinC ＝AD AC ＝4229＝22929.若∠BAC<90°，如图， 在Rt △ABD 中， BD ＝AB 2－AD 2＝52－42＝3, ∴CD ＝BC ＋BD ＝13＋3＝16.在Rt △ACD 中， AC ＝AD 2＋CD 2＝42＋162＝417， ∴sinC ＝AD AC ＝4417＝1717.专题一 锐角三角函数的概念1．（2014广东省广州市）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（ ）．（A ）（B ）（C ）（D ）2．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 是直线CD 上一点，若DP ＝1，则tan ∠BPC 的值是 _．3．（2014贵州省毕节市）如图是以△ABC 的边为直径的半圆O ，点C 恰在半圆上，过C 作CD ⊥AB 交AB 与D ，已知cos ∠ACD =35，BC =4，则AC 的长为（ ）A.1B.203C.3D.1634．（2012,，鄂州）如图，□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若AE =4，AF =6，sin ∠BAE =31,则CF = .O CA专题二 正切、正弦、余弦的实际应用5．如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8 cm(如箭头所示)，则木桩上升了（ ）. A ．8tan20°cm B ．8t an20 cm C ．8sin20°cm D ．8cos20°cm6. （2012，德阳）某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B 处，那么tan ∠ABP ＝（ ）.A ．21 B ．2 C ．55 D ．552AB α梯子C7．生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬，现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC．（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）状元笔记：【知识要点】锐角三角函数的定义及应用.【方法技巧】锐角三角函数是在直角三角形中定义的，求锐角三角函数值或者要用三角函数值必须在直角三角形中进行，通常有两种方法：（一）构造直角三角形；（二）等角代换，即在已有的直角三角形中找到与所求角相等的角.参考答案1．D2．23或2 ［解析］此题的最大特点是没有图形，故可以联想到可能存在多种情况．因为点P在直线CD上，PD＝1，所以点P可以在点D的两侧，如图甲、乙所示，故有两个答案．3．D4．6 ［解析］∵sin ∠BAE =31，AE =4，∴ CD =AB =23，连接AC ， ∴△ABC ≌△CDA ，∴ABC S ∆=CDA S ∆，即21 BC •AE =21 CD •AF ，∴BC =AD =229, ∴DF =6，则CF =223.5．A ［解析］设木桩上升了h cm ，则8h = tan 20°，即h =8 tan 20°.6．A ［解析］在△P AB 中，∠APB ＝60°＋30°＝90°，P A ＝20，PB ＝60×32＝40，故tan ∠ABP ＝214020==PB PA ． 7．解：由题意知，当α越大，梯子的顶端达到的最大高度越大.因为当50°≤α≤70°时，能够使人安全攀爬，所以当α＝70°时AC 最大．在Rt △ABC 中，AB ＝6米，α＝70°，sin70°＝AC AB，即0.94≈6AC，解得AC ≈5.6.答：梯子的顶端能达到的最大高度AC 约为5.6米.数学素养提升。
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1.1 锐角三角函数
第2课时 正弦与余弦
［教学目标］
1、 理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
［教学重点与难点］ 在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
［教学过程］ 一、情景创设
1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m 后，他的相对位置升高了5m ，如果他沿着该斜坡行走了20m ，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m 呢？
2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？
二、探索活动
1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值________；它的邻边与斜边的比值________。
（根据是__________________。
）
2、正弦的定义 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，
我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，
即：sinA ＝________=________.
3、余弦的定义 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,
我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，
即：cosA=______=_____。
（你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.___________.
4、牛刀小试 根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
5、思考与
探索
怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？
20m
13m
（1）如图，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度时，他的位置升高了约
0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。
根据正弦、余弦的定义，可以知道：
sin15°＝0.26，cos15°＝0.97
（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？
sin75°、cos75°呢？
sin30°＝_____，cos30°＝_____.
sin75°＝_____，cos75°＝_____.
（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。
（4）观察与思考：
从sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？
____________________________________________________________。
从cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？
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当锐角α越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？
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6、锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________。
三、随堂练习
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AC＝12，BC＝5，则sinA＝_____，
cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____。
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，tanB=________,
cosB=______,sinB=_______
四、请你谈谈本节课有哪些收获？
五、拓宽和提高
已知在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c＝5：12：13，
试求最小角的三角函数值。