高三数学三角函数的相关概念

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专题17 三角函数概念与诱导公式 (教师版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

【考点预测】知识点一：三角函数基本概念1．角的概念(1)任意角：①高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题17三角函数概念与诱导公式定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(4)象限角的集合表示方法：2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．(2)角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒,rad 1801π=︒,π︒=180rad 1．(3)扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数(1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα．(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号αsin R ＋＋－－αcos R＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T ．三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线知识点二：同角三角函数基本关系1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：1cos sin 22=+αα．(2)商数关系：)2(tan cos sin ππααααk +≠=；知识点三：三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Z k k ∈+απαπ+α-απ-απ-2απ+2正弦αsin αsin -αsin -αsin αcos αcos 余弦αcos αcos -αcos αcos -αsin αsin -正切αtan αtan αtan -αtan -口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【方法技巧与总结】1．利用1cos sin 22=+αα可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用αααtan cos sin =可以实现角α的弦切互化．2．“ααααααcos sin cos sin cos sin -+，，”方程思想知一求二．222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα+=++=+222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα-=+-=-22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=【题型归纳目录】题型一：终边相同的角的集合的表示与区别题型二：等分角的象限问题题型三：弧长与扇形面积公式的计算题型四：三角函数定义题题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的题型七：诱导求值与变形【典例例题】题型一：终边相同的角的集合的表示与区别例1．（2022·全国·高三专题练习）与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．245k π+ ，k Z ∈B ．93604k π⋅+，k Z ∈C ．360315k ⋅- ，k Z ∈D ．54k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】【分析】要写出与94π的终边相同的角，只要在该角上加2π的整数倍即可．【详解】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB 错误；又与94π的终边相同的角可以写成92()4k k Z ππ+∈，所以C 正确．故选：C ．例2．（2022·全国·高三专题练习）若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（）A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z B ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】D 【解析】【分析】根据若,αβ终边相同，则2,k k Z βπα=+∈求解.【详解】解：，由图知，角α的取值集合为:()32,2,4421,2,44,4k k Z k k Z k k Z k k Z k k Z ππααπααπππααπααππααπ⎧⎫⎧⎫=+∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫==+-∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭故选：D.【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.例3．（2022·上海市嘉定区第二中学高一阶段练习）设集合{}{}|45180,|135180,A k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒+⋅︒∈，集合{}|4590,B k k Z ββ==︒+⋅︒∈，则（）A ．AB =∅ B ．A BC ．B AD ．A B=【答案】D 【解析】【分析】考虑A 中角的终边的位置，再考虑B 中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.【详解】.45180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =上的角，135180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =-上的角，而4590,k k Z β=︒+⋅︒∈表示终边在四条射线上的角，四条射线分别是射线,0;,0;,0;,0y x x y x x y x x y x x =≥=-≤=≤=-≥，它们构成直线y x =、直线y x =-，故A B =.故选：D.【点睛】本题考查终边相同的角，注意180k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线，而90k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题.（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（）A ．90︒B ．360︒C ．450︒D ．2330︒【答案】AC 【解析】根据终边相同可得角与角之间的关系，从而可得αβ-的代数形式，故可得正确的选项.【详解】因为角α与角45γ+︒的终边相同，故45360k γα ，其中k Z ∈，同理145360k βγ=-︒+⋅︒，其中1k Z ∈，故90360n αβ-=︒+⋅︒，其中n Z ∈，当0n =或1n =时，90αβ-=︒或450αβ-=︒，故AC 正确，令36090360n ︒=︒+⋅︒，此方程无整数解n ；令903060233n =︒+⋅︒︒即569n =，此方程无整数解n ；故BD 错误.故选：AC.（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（）A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈ZD ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z ，逐一判断正误即可.【详解】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z 可知，选项B 中，180αβ+=︒符合题意；选项D 中，()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 符合题意；选项AC 中，可取0,90αβ=︒=︒时显然可见α和β的终边不关于y 轴对称.故选：BD.例6．（2022·全国·高三专题练习）写出两个与113π-终边相同的角___________．【答案】3π，53π-(其他正确答案也可)【解析】【分析】利用终边相同的角的定义求解.【详解】设α是与113π-终边相同的角，则112,3k k Z παπ=-∈，令1k =，得53πα=-，令2k =，得3πα=，故答案为：3π，53π-(其他正确答案也可)【方法技巧与总结】（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．题型二：等分角的象限问题例7．（2022·浙江·高三专题练习）若18045,k k Z α=⋅+∈ ，则α的终边在（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限【答案】A 【解析】【分析】分21,k n n Z =+∈和2,k n n =∈Z 讨论可得角的终边所在的象限.【详解】解：因为18045,k k Z α=⋅+∈ ，所以当21,k n n Z =+∈时，218018045360225,n n n Z α=⋅++=⋅+∈ ，其终边在第三象限；当2,k n n =∈Z 时，21804536045,n n n Z α=⋅+=⋅+∈ ，其终边在第一象限.综上，α的终边在第一、三象限.故选：A.例8．（2022·全国·高三专题练习（理））角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】由题意知，222k k ππαπ<<+，k Z ∈，即可得3α的范围，讨论3k n =、31k n =+、32k n =+()n Z ∈对应3α的终边位置即可.【详解】∵角α的终边在第一象限，∴222k k ππαπ<<+，k Z ∈，则223363k k παππ<<+，k Z ∈，当3()k n n Z =∈时，此时3α的终边落在第一象限，当31()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第二象限，当32()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第三象限，综上，角α的终边不可能落在第四象限，故选：D.例9．（2022·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（）A ．sin2θB ．cos2θC ．sin 2θD ．cos 2θ【答案】C 【解析】表示出第二象限角的范围，求出2θ和2θ所在象限，确定函数值的符号．【详解】因为θ是第二象限角，所以22,2k k k Z ππθππ+<<+∈，则4242,k k k Z ππθππ+<<+∈，所以2θ为第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上，，所以sin 2θ<0.而,422k k k Z πθπππ+<<+∈，2θ是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．故选：C ．例10．（2022·全国·高三专题练习）已知角α第二象限角，且cos cos22αα=-，则角2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】【分析】由α是第二象限角，知2α在第一象限或在第三象限，再由coscos22αα=-，知cos02α≤，由此能判断出2α所在象限．【详解】因为角α第二象限角,所以()90360180360Z k k k α+⋅<<+⋅∈，所以()4518090180Z 2k k k α+⋅<<+⋅∈，当k 是偶数时，设()2Z k n n =∈，则()4536090360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第一象限角；当k 是奇数时，设()21Z k n n =+∈，则()225360270360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第三象限角.；综上所述：2α为第一象限角或第三象限角，因为coscos22αα=-，所以cos02α≤，所以2α为第三象限角．故选：C ．【方法技巧与总结】先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示．题型三：弧长与扇形面积公式的计算例11．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【答案】2sin1;211sin 1tan1-.【解析】【分析】（1）利用弧长公式解决，那么需要算出半径和圆心角；（2）用扇形的面积减去三角形的面积即可.【详解】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1======AC BC BC AC AO OC ，所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积22111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ，故答案为：2sin1；211sin 1tan1-.例12．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CDs AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A B C D 【答案】B 【解析】【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线，即2OD OA OB ===，又60AOB ∠=︒，所以2AB OA OB ===，则OC =2CD =所以()22222CD s AB OA =+=+=故选：B.例13．（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r 的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）ABCD2-【答案】D 【解析】【分析】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果.【详解】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，由题意可得，2112S r α=，21S S =2S r π=，所以()122124S Srαππ==，因为剪下扇形OAB ，所以22r r r παπ-=(3απ=，所以()()()2113244S S απππ====.故选：D.例14．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且1AD =，则扇形OAD 的面积是__________.【答案】6π##16π【解析】【分析】计算AOD ∠，再利用扇形的面积公式求解.【详解】由题意可知，圆O 的半径为1，即1OA OD ==，又1AD =，所以OAD △为正三角形，∴3AOD π∠=，所以扇形OAD 的面积是221112236S r AOD ππ=⨯⨯∠=⨯⨯=.故答案为：6π例15．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π【解析】【分析】设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，根据扇形ABC 的面积S 为22225cm π，由212252rl π=得到rl ，然后由纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解.【详解】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =.由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长260C r l π=+≥==，当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立，所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =，所以()1152BD BD cm π+=，所以()3152BD cm π=，故()10BD cm π=.故答案为：10π例16．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm 2.【答案】121【解析】【详解】24l r +=，则()21142222S lr r r r r ==-=-+，则1,2r l ==时，面积最大为1，此时圆心角2lrα ，所以答案为1；2；1.【方法技巧与总结】（1）熟记弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2（弧度制(0,2]απ∈）（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法题型四：三角函数定义题例17．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角θ的终边过点()1,1A -，则sin()6πθ-=（）ABCD【答案】D 【解析】【分析】由任意三角形的定义求出sin ,cos θθ，由两角差的正弦公式代入即可求出sin()6πθ-.【详解】因为角θ的终边过点()1,1A -，由任意三角形的定义知：sin θθ==sin()sin cos cos sin 666πππθθθ-=-=故选：D.例18．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知角α的终边经过点(-，则()tan sin 232πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．34-C．D【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的定义、诱导公式、二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.【详解】依题意，由三角函数的定义可知tan α=()22sin cos 2sin cos 2tan sin 23sin 22sin sin cos cos 2παπαααααπαπαααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++-=-=-- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭22212sin cos 2tan tan sin cos tan 1ααααααα=--===++故选：D.例19．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin 3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（）A ．3B ．32π-C ．532π-D ．32π-【答案】C【分析】根据三角函数的定义求出tan α，结合诱导公式即可得解，注意角所在的象限.【详解】解：因为角α的终边上一点()sin 3,cos3P ，所以cos31tan 0sin 3tan 3α==<，又cos 30,sin 30<>，所以α为第四象限角，所以23,Z 2k k παπ=+-∈，又因02απ≤≤，所以532πα=-.故选：C.例20．（2022·北京·二模）已知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A 【解析】【分析】根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求sin 2α.【详解】由题设43sin ,cos 55αα==-，而4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-.故选：A【方法技巧与总结】（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值例21．（2022·全国·高三专题练习）如果cos 0θ<，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ-+的化简为_____.【答案】sin θ【解析】【分析】由cos 0θ<，且tan 0θ<，得到θ是第二象限角，由此能化简sin cos cos θθθ-+．解：∵cos 0θ<，且tan 0θ<，∴θ是第二象限角，∴sin cos cos sin cos cos sin θθθθθθθ-+=-+=．故答案为：sin θ．例22．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据sin cos 0αα⋅<可知α是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果.【详解】sin cos 0αα⋅< ，α 是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<；当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意；综上所述：α是第二象限角.故选：B.例23．（2022·浙江·模拟预测）已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要【答案】B 【解析】【分析】利用定义法进行判断.【详解】充分性：当cos 0θ>时，不妨取cos 1,0θθ==时轴线角不成立.故充分性不满足；必要性：角θ为第一或第四象限角，则cos 0θ>，显然成立.故选：B.例24．（2022·重庆·高三开学考试）若tan 0θ>，则下列三角函数值为正值的是（）A ．sin θB ．cos θC ．sin 2θD ．cos 2θ【答案】C 【解析】【分析】结合诱导公式、二倍角公式判断出正确选项.【详解】sin tan 0sin cos 0sin 22sin cos 0cos θθθθθθθθ=>⇒⋅>⇒=>，所以C 选项正确.当5π4θ=时，5ππtan 0,sin 0,cos 0,cos 2coscos 022θθθθ><<===，所以ABD 选项错误.故选：C例25．（2022·全国·高三专题练习（理））我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以根据题意得出cos 0α<、tan 0α<，然后得出sin 0α>，即可得出结果.【详解】因为点()cos ,tan P αα在第三象限，所以cos 0α<，tan 0α<，则sin 0α>，角α的终边在第二象限，故选：B.例26．（2022·全国·高三专题练习（理））已知sin 0,cos 0αα><，则（）A ．sin 20α>B ．cos20α<C ．tan02α>D ．sin2α<【答案】C 【解析】【分析】由条件得到角α所在的象限，从而得到2α所在的象限，这样就可以得到答案.【详解】由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2α为第一或第三象限角，所以tan02α>．故选：C.例27．（2022·江西南昌·三模（文））若角α的终边不在坐标轴上，且sin 2cos 2αα+=，则tan α=()A ．43B ．34C ．23D ．32【答案】A 【解析】【分析】结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cos α，从而求出sin α，根据sin tan cos ααα=即可求得结果．【详解】22sin cos 13cos 5sin 2cos 2ααααα⎧+=⇒=⎨+=⎩或cos 1α=，∵α的终边不在坐标轴上，∴3cos 5α=，∴34sin 2255α=-⨯=，∴sin 4tan cos 3ααα==．故选：A ．例28．（2022·全国·高三专题练习（理））若α是第二象限角，则下列不等式正确的是（）A ．()cos 0α->B ．tan02α>C ．sin 20α>D ．()sin 0α->【答案】B 【解析】【分析】根据α是第二象限角，分别求出四个选项中角所在的象限，再判断三角函数的符号，即可求解.【详解】对于A ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππ2π2πZ 2k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()cos 0α-<，故选项A 不正确；对于B ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππππZ 422k k k α+<<+∈，当()2Z k n n =∈时，()ππ2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2α是第一象限角，当()21Z k n n =+∈时，()5π3π2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2α是第三象限角，所以2α是第一或第三象限角，所以tan02α>，故选项B 正确；对于C ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，所以2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴，所以sin 20α<，故选项C 不正确；对于D ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππ2π2πZ 2k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()sin 0α-<，故选项D 不正确；故选：B.【方法技巧与总结】正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的例29．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若tan 2θ=-，则2sin 2cos 1θθ+的值为___________.【答案】23-【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函数平方关系可构造正余弦齐次式，分子分母同除2cos θ，代入tan θ即可得到结果.【详解】2222sin 22sin cos 2tan 42cos 12cos sin 2tan 243θθθθθθθθ===-=-++++.故答案为：23-.例30．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知tan 3α=，则22sin 22sin cos2cos -=-αααα___________．【答案】43【解析】【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数齐次式关系求解即可.【详解】解：22222222sin 22sin 2sin cos 2sin 2tan 2tan 23234cos2cos sin tan 33---⨯-⨯====----ααααααααααα．故答案为：43例31．（2022·广东惠州·一模）已知tan 2α=，32παπ<<，则cos sin αα-=（）A B ．C D ．【答案】A 【解析】【分析】由sin tan 2cos ααα==及22sin cos 1αα+=解出sin α与cos α即可求解.【详解】因为sin tan 2cos ααα==，且22sin cos 1αα+=，32παπ<<，所以sin α=cos α=，所以cos sin αα⎛-== ⎝⎭.故选：A.例32．（2022·全国·模拟预测）已知0πA <<，1sin cos 5A A +=，则1sin 21cos 2AA-=+（）A ．132B ．118C ．4918D ．4932【答案】C 【解析】【分析】结合同角的平方关系以及二倍角公式即可求出结果.【详解】由1sin cos 5A A +=及22sin cos 1A A +=，解得4sin 5A =，3cos 5A =-或4cos 5A =，3sin 5A =-.因为sin 0A >，所以4sin 5A =，3cos 5A =-，所以24sin 22sin cos 25A A A ==-，227cos 2cos sin 25A A A =-=-，所以2411sin 2492571cos 218125A A +-==+-，故选：C.例33．（2022·海南·模拟预测）已知角α为第二象限角，tan 3α=-，则cos α=（）A．BC．D【答案】A 【解析】【分析】由角所在的象限及同角三角函数的平方关系、商数关系求cos α即可.【详解】因为α是第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<，由sin tan 3cos ααα==-，22sin cos 1αα+=，可得：cos α=故选：A.例34．（2022·全国·高三专题练习）已知(,22ππα∈-，且212sin 5cos 9αα-=，则cos 2=α（）A ．13B ．79-C ．34-D ．18【答案】B 【解析】【分析】利用同角公式化正弦为余弦，求出cos α的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.【详解】依题意，原等式化为：212(1cos )5cos 9αα--=，整理得：(4cos 3)(3cos 1)0αα+-=，因(,)22ππα∈-，则cos 0α>，解得：1cos 3α=，所以2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：B例35．（2022·全国·高三阶段练习（理））若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．65D ．25【答案】C 【解析】【分析】由已知得sin 3cos θθ=，从而sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，然后由平方关系求得22cos ,sin θθ，进而求得sin cos θθ，求值式应用二倍角公式和平方关系变形后可得结论．【详解】因为sin cos 2sin cos θθθθ+=-，所以sin 3cos θθ=，所以sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，22222sin cos 9cos cos 10cos 1θθθθθ+=+==，21cos 10θ=，从而29sin 10θ=，229sin cos 100θθ=，所以3sin cos 10θθ=，22sin (1sin 2)sin (sin cos 2sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++2936sin sin cos 10105θθθ=+=+=．故选：C ．例36．（2022·广东广州·三模）已知sin cos x x +=()0,πx ∈，则cos2x 的值为（）A ．12B C ．12-D ．【答案】D 【解析】【分析】将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,结合sin cos x x +=求出x 的范围，再利用22cos 2sin 21x x +=求解即可.【详解】解：将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,所以π(,π)2x ∈，又因为sin cos x x +=０，所以π3π(,24x ∈，2x 3π(π,)2∈,又因为sin2x =-12,所以cos2x 故选：D.例37．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin cos 5θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cos θθ-=（）A ．15B ．15-C ．75D ．75-【答案】C 【解析】【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.【详解】()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，242sin cos 025θθ=-<，()0,θπ∈ ，,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，sin cos θθ>，()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=.故选：C例38．（2022·山西晋中·模拟预测（理））若tan 1θ=-，则()cos 1sin 2sin cos θθθθ--等于（）A ．12B ．2C ．1-D ．13-【答案】C 【解析】【分析】化简原式为2tan 1tan 1θθ-+即得解.【详解】解：原式()222cos sin 2sin cos cos cos (sin cos )=sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ-⋅+-=--22cos (sin cos )sin cos θθθθθ-=+2tan 12=1tan 12θθ--==-+.故选：C例39．（2022·湖北·模拟预测）已知()cos 3cos 02πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，则3sin sin sin 2ααπα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．35B ．35C ．310D ．310-【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出tan α，再将原式化简为：32sin sin tan tan 1sin 2αααπαα-=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求解即可.【详解】因为()cos 3cos 02πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以sin 3cos 0αα--=，所以tan 3α=-()232sin 1sin sin sin tan 3sin cos cos tan 110sin 2αααααααπααα--====-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：D.【方法技巧与总结】（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．（2）若无象限条件，一般“弦化切”．题型七：诱导求值与变形例40．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的二倍角的余弦公式，结合诱导公式，即可求得答案.【详解】由题意得：2222πππππ27cos 22cos 12cos 12sin 113326699αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=---=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D ．例41．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为1sin 63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.例42．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））()tan 165-︒=（）A ．2-B ．2-+C ．2D ．2【答案】C 【解析】【分析】先利用诱导公式可得()tan 165tan15-︒=︒，在运用正切两角差公式()tan15tan 4530︒=︒-︒计算．【详解】()()()tan 165tan 18015tan15tan 4530-︒=-︒+︒=︒=︒-︒1tan 45tan 3021tan 45tan 30︒-︒===+︒︒故选：C ．例43．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知2cos sin 022a ππα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()tan -=πα（）A ．2B ．—2C ．12D ．12-【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式五、六可得2sin cos 0αα+=，由同角三角函数的关系可得1tan 2α=-，结合诱导公式二计算即可.【详解】由已知得2sin cos 0αα+=，12sin cos tan 2ααα∴=-∴=-，，∴1tan()tan 2παα-=-=.故选：C【方法技巧与总结】（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化【过关测试】一、单选题1．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（理））中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，13AA =，底面扇环所对的圆心角为2π，弧AD 长度是弧BC 长度的3倍，2CD =，则该曲池的体积为（）A ．92πB ．5πC ．112πD ．6π【答案】D 【解析】【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】不妨设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，由弧AD 长度为弧BC 长度的3倍可知3R r =，22CD R r r =-==，所以1r =，3R =.故该曲池的体积22()364V R r ππ=⨯-⨯=.故选：D.2．（2022·海南中学高三阶段练习）二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示李节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动15︒所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（）A ．π3-B ．π2C ．5π12D ．π3【答案】B【解析】【分析】根据条件得到运行度数为6×15°，化为弧度即可得解.【详解】根据题意，立春是立冬后的第六个节气，故从立冬到立春相应于地球在黄道上逆时针运行了61590︒⨯=︒，所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为π2.故选：B3．（2022·河北·模拟预测）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于23π的扇形，则该圆锥的体积为（）A B ．1627πC D ．1681π【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223r ππ=⨯，从而可求出半径r ，再求出h ，进而可求出其体积【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223r ππ=⨯，解得23r =，所以h ===所以圆锥的体积为22112333V r h ππ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭故选：C4．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θθ+=（）A ．5-B ．5C ．15-D ．15【答案】A 【解析】【分析】由图中的信息可知tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，化简1sin 2cos 2θθ+即可.【详解】由图可知，tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()()()22222cos sin 1sin 2sin cos 2sin cos cos sin cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθ+++++===--+-tantan 1tan 4tan 51tan 41tan tan 4πθθπθπθθ++⎛⎫===+=- ⎪-⎝⎭-；故选：A.5．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））tan195︒=（）A．2-B．2-+C ．2D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式及两角差的正切公式计算可得；【详解】解：()()tan195tan 18015tan15tan 4530︒=︒+︒=︒=︒-︒tan 45tan 301tan 45tan 30︒-︒=+︒︒12==故选：C6．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若21sin2512sin αα+=-，则tan α=（）A ．23-B ．32-C ．23D ．32【答案】C 【解析】【分析】通过“1”的替换，齐次化，然后得到关于tan α的方程，解方程即可【详解】22221sin 2(cos sin )cos sin 1tan 512sin cos sin cos sin 1tan αααααααααααα++++====----,解得2tan 3α=故选：C7．（2022·四川成都·模拟预测（文））已知向量(3cos 2,sin )a αα= ，(2,cos 5sin )b αα=+ ，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若a b ⊥ ，则tan α=（）A ．2B ．-2C ．3D ．34【答案】C 【解析】【分析】由a b ⊥可得向量的数量积等于0，化简可得6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，结合二倍角公式以及同角的三角函数关系式化为226tan tan n 10ta ααα-++=，可求得答案.【详解】由题意a b ⊥可得0a b ⋅= ，即6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，即2226(cos sin )sin cos 5sin 0ααααα-++=，故22226cos sin sin c sin os 0cos αααααα-++=，即226tan tan n 10ta ααα-++=，由于π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 3,tan 2αα==-（舍去），故选：C8．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m =2sin18︒）．A ．4B 1+C ．2D 1【答案】A 【解析】【分析】根据2sin18m ︒=，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和倍角公式，即可求解.【详解】根据题意，可得2sin182cos72m =︒=︒，4sin144cos54︒==︒()4sin 90544cos544cos54cos54︒+︒︒===︒︒.故选：A ．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（）A ．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度B ．1801radπ︒=C ．若sin 0θ>，cos 0θ<，则θ为第二象限角D ．若θ为第二象限角，则2θ为第一或第三象限角【答案】CD 【解析】【分析】对于A ，利用正负角的定义判断；对于B ，利用角度与弧度的互化公式判断；对于C ，由sin 0θ>求出θ的范围，由cos 0θ<求出θ的范围，然后求交集即可；对于D ，由θ是第二象限角，可得222k k ππθππ+<<+，k Z ∈，然后求2θ的范围可得答案【详解】对于A ，经过30分钟，钟表的分针转过π-弧度，不是π弧度，所以A 错；对于B ，1︒化成弧度是rad 180π，所以B 错误；对于C ，由sin 0θ>，可得θ为第一、第二及y 轴正半轴上的角；由cos 0θ<，可得θ为第二、第三及x 轴负半轴上的角.取交集可得θ是第二象限角，故C 正确；对于D ：若θ是第二象限角，所以222k k ππθππ+<<+，则()422k k k Z πθπππ+<<+∈，当2()k n n Z 时，则22()422n n n Z πθπππ+<<+∈，所以2θ为第一象限的角，当21()k n n Z =+∈时，5322()422n n n Z πθπππ+<<+∈，所以2θ为第三象限的角，综上，2θ为第一或第三象限角，故选项D 正确.故选：CD.10．（2022·全国·高三专题练习）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为1S ，圆心角为1α，圆面中剩余部分的面积为2S ，圆心角为2α，当1S 与2S0.618≈（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（）A ．1127.5α=︒B ．1137.5α=︒C．21)απ=D．12αα=【答案】BCD 【解析】【分析】利用扇形的面积公式以及角度制与弧度制的互化即可求解.【详解】设扇形的半径为R，由211122221212R S S R αααα===，故D 正确；由122ααπ+=，。

数学三角函数知识点高三

数学三角函数知识点高三三角函数作为高中数学的重要内容之一，是数学的基础，也是计算机科学、物理学、工程学等学科的基础。

在高三数学学习中，三角函数是必须要掌握的知识点之一。

本文将以清晰简明的语言，系统地介绍高三数学中的三角函数知识点。

一、角的概念和表示方法在初中数学中，我们已经学过角的概念，高三数学中的角的概念基本延续了初中的定义。

角的表示方法常用的有度数制和弧度制，其中度数制是我们最常用的表示方法，而弧度制则是更为精确和抽象的表示方法。

1.1 度数制表示法在度数制表示法中，一个角是由一个固定点O和两个射线所围成的。

我们用角度符号°表示角的大小，其中一个直角为90°，一个圆周角为360°。

1.2 弧度制表示法在弧度制表示法中，一个角是由一个固定点O和两个射线所围成的，用弧度符号rad表示。

一个直角的弧度数为π/2 rad，一个圆周角的弧度数为2π rad。

二、三角函数的定义和性质三角函数是数学中的重要概念，它们可以描述一个角的性质和变化规律。

高三数学中，我们主要学习正弦函数、余弦函数和正切函数。

2.1 正弦函数（sin）正弦函数是一个周期函数，它的图像是一条波浪线。

在一个周期内，正弦函数的取值范围为[-1,1]。

正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1,1]。

2.2 余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期函数，它的图像是一条波浪线。

在一个周期内，余弦函数的取值范围也为[-1,1]。

余弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1,1]。

2.3 正切函数（tan）正切函数是一个非周期函数，它的图像是一条无限延伸的直线。

在定义域内，正切函数的取值范围为(-∞, +∞)。

三、三角函数的基本关系和性质高三数学中，我们需要掌握三角函数之间的基本关系和性质，这些关系和性质是解题时的重要工具。

3.1 基本关系正弦函数和余弦函数是三角函数中最基本的两个函数，它们之间有如下关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 13.2 周期性与奇偶性正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期均为2π。

三角函数的概念(原卷版)

5．2．1 三角函数的概念【知识点梳理】知识点一：三角函数定义设α是一个任意角，它的终边与半径是r 的圆交于点(,)P x y ，则22r x y +，那么：（1）y r 做α的正弦，记做sin α，即sin y r α=；（2） x r 叫做α的余弦，记做cos α，即cos x rα=；（3）y x叫做α的正切，记做tan α，即tan (0)yx x α=≠．知识点诠释：（1）三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离22r x y +，那么22sin x y α=+22cos x y α=+，tan yxα=．（2）三角函数符号是一个整体，离开α的sin 、cos 、tan 等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是sin 、cos 、tan 与α的积．知识点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知识点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．知识点三：诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： sin(2)sin k απα+= cos(2)cos k απα+=tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈注意：利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求02π～（或0360︒︒～）范围内角的三角函数值．知识点四、特殊角的三角函数值 0° 30°45°60°90°120°135°150°180°270°6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π sin α 0 12 22 3213222 12 0 1-cos α132 2212 012- 22- 32- 1- 0tan α0 331 33-1- 33- 0【题型归纳目录】题型一：三角函数的定义题型二：判断三角函数值的符号题型三：确定角所在象限题型四：诱导公式（一）的应用题型五：圆上的动点与旋转点【典型例题】题型一：三角函数的定义例1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））设α是第二象限角，(),8P x 为其终边上的一点，且4sin 5α，则x =（） A ．3- B ．4-C ．6-D ．10-例2．（2022·北京市西城外国语学校高三阶段练习）角α的终边上有一点(2,2)P -，则sin α=（） A ．22B ．22-C ．2D ．1例3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知角α的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos αα+的值为（） A ．35 B ．25C ．1或25-D ．25或25-变式1．（2022·山西大附中高三阶段练习（文））已知角x 的终边上一点的坐标为55sin ,cos 66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则角x 的最小正值为（） A ．56πB ．53π C ．6π D ．3π变式2．（2022·江西·崇仁县第二中学高三阶段练习（文））已知点2π(cos ,1)3P 是角α终边上一点，则cos α=（）A 5B ．5C 25D ．3变式3．（2022·全国·高三专题练习）已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin cos 11tan ααα--+的值为（）A ．65-B ．1C ．2D ．3变式4．（2022·全国·高三专题练习）已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（） A ．12B ．1C ．2D ．52变式5．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合的角α的终边上有一点()3,P m ，且()2sin 0m α=≠，求m 的值，并求cos α与tan α的值．变式6．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边在函数()102y x x =->的图像上，求sin α，cos α的值．【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求值的策略（1）已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在α的终边上任选一点(,)P x y ，P 到原点的距离为r （0r >）．则sin y rα=，cos xr α=．已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．（3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．题型二：判断三角函数值的符号例4．（2022·全国·高一课时练习）已知α为第二象限角，则（） A ．sin 0α< B ．tan 0α> C ．cos 0α< D ．sin cos 0αα>例5．（2022·湖北·高一阶段练习）下列各式的符号为正的是（） A ．cos3 B ．5ππsin cos 36⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin2cos2-D ．7πtan8例6．（2022·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习（文））sin 4tan7⋅的值（） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不大于0变式7．（2022·江西省万载中学高一期中）设02πα≤<，如果sin 0α<且cos20α<，则α的取值范围是（） A ．π<α<3π2B ．3π2<α<2π C ．π4<α<34π D ．5π4<α<7π4【方法技巧与总结】三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负．题型三：确定角所在象限例7．（2022·全国·高一课时练习）点()cos2018,sin 2018P ︒︒所在的象限是（） A ．一B ．二C ．三D ．四例8．（2022·福建·莆田二中高三阶段练习）设α角属于第二象限，且cos cos22αα=-，则2α角属于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限例9．（2022·陕西汉中·高一期中）若cos tan 0αα<，且sin cos 0αα<，则α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角变式8．（2022·全国·高三专题练习）若sin 0θ<且tan 0θ<，则角θ所在的象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限变式9．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点(sin ,tan )P αα在第四象限，则角α的终边在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限变式10．（2022·辽宁·高一期末）坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第（）象限. A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【方法技巧与总结】确定角所在象限的步骤（1）判断该角的某些三角函数值的符号；（2）根据角的三角函数值的符号，确定角所在象限．题型四：诱导公式（一）的应用例10．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）17sin 4π=____________．例11．（2022·广西·桂林十八中高一开学考试）13sin 3π=_________.例12．（2022·湖南·高一课时练习） 17tan()3π-＝______.变式11．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））()cos 300-︒=______．变式12．（2022·湖南·()3tan330sin 60︒+︒+-︒．【方法技巧与总结】利用诱导公式一化简或求值的步骤（1）将已知角化为·360k α︒＋（k 为整数，0360α︒≤<︒）或2k πβ＋（k 为整数，02βπ≤<）的形式．（2）将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．（3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的．题型五：圆上的动点与旋转点例13．（2022·湖南益阳·高一期末）在直角坐标系xOy 中，一个质点在半径为2的圆O 上，以圆O 与x 正半轴的交点0P 为起点，沿逆时针方向匀速运动到P 点，每5s 转一圈，则2s 后0P P 的长为（） A ．42sin 5πB ．42cos 5πC ．24sin 5π D ．24cos5π例14．（2022·全国·高一专题练习）点P 从()1,0出发，沿单位圆按逆时针方向运动263π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（） A ．13,22B ．312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．13,2⎛- ⎝⎭D ．321⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭例15．（2022·江西师大附中高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，若点P 从()2,0出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动43π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标是（） A ．(3- B ．(1,3--C ．(3D ．(1,3-变式13．（2022·江西·模拟预测（文））已知单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ，若点Q 的横坐标为12-，则点P 的横坐标为（）A．13B．12C2D3变式14．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，滚珠P，Q同时从点(2,0)A出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，滚珠Q按顺时针方向每秒钟转6π弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．(1)求滚珠P，Q第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；(2)求从出发到第二次相遇滚珠P，Q各自滚动的路程．【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求解【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆交于点132P⎛-⎝⎭，则sinα的值为（）A．3B．12-C3D．122．（2022·江西赣州·高一期末）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin9︒的近似值为（π取近似值3.14）（）A ．0.039B ．0.157C ．0.314D ．0.0793．（2022·四川省平昌中学高一阶段练习）如图，角α的终边与单位圆O 的交点34(,)55A -，则4cos 2sin 5cos 3sin αααα-=+（）A ．203B ．23C ．45D ．203-4．（2022·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆交于点1,3P m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α=（）A ．223B ．13C ．22D ．13±5．（2022·江西上饶·高一阶段练习）赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为α，则sin αcos α的值为（）A ．15B ．25C 5D 256．（2022·北京市第五中学高一期末）在直角坐标系xOy 中，已知43sin ,cos 55αα=-=，那么角α的终边与单位圆O 坐标为（） A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭7．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知α是第二象限角，则（） A ．2α是第一象限角 B ．sin02α>C ．sin 20α<D ．2α是第三或第四象限角8．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy 中，P （x ，y ）（xy ≠0）是角α终边上一点，P 与原点O 之间距离为r ，比值rx叫做角α的正割，记作sec α；比值r y 叫做角α的余割，记作csc α；比值xy叫做角α的余切，记作cot α．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：5sec 4β=-；乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=-；丁：4cot 3β=．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁二、多选题9．（2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是（） A ．sin20α>B ．cos20α>C ．cos02α> D ．tan02α>10．（2022·全国·高一单元测试）下列结论正确的是（） A ．76π-是第三象限角 B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为32πC ．若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则角2α为钝角11．（2022·辽宁朝阳·高一阶段练习）已知角θ的终边经过点(2,3)--，且θ与α的终边关于x 轴对称，则（） A ．21sin 7θ=-B ．α为钝角C ．27cos α= D ．点(tan θ，tan α)在第四象限12．（2022·全国·高一）以原点为圆心的单位圆上一点P 从()1,0出发，沿逆时针方向运动133π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标不可能的是（）A ．312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．312⎫⎪⎪⎝⎭C ．132⎛ ⎝⎭D ．13,2⎛ ⎝⎭三、填空题13．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）角α的终边上有一点()()3,40P a a a ->，则sin α的值为______；14．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边在射线3(0)y x x =≥上，则角α的正弦值为______，余弦值为______．15．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边上有一点()3,P m -，且2sin 4α=，则m 的值为______．16．（2022·全国·高一课时练习）若角θ是第四象限角，则sin cos tan sin cos tan y θθθθθθ=++=______． 17．（2022·江苏盐城·高一期末）已知角α为第一象限角，其终边上一点(),P x y 满足()()222ln 2ln x y x y -=+，则2cos α-sin α=________．四、解答题18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角α的终边经过点()()4,30P a a a -≠，求2sin cos αα+的值.19．（2022·江苏·高一专题练习）已知α角的终边经过点()3,P m ，且满足2sin 4m α=． (1)若α为第二象限角，求sin α值； (2)求cos tan αα+的值．20．（2022·全国·高一课时练习）已知11sin sin αα=-，且lg cos α有意义． (1)试判断角α是第几象限角；(2)若角α的终边上有一点3,5M m⎛⎫⎪⎝⎭，且1OM=（O为坐标原点），求实数m的值及sinα的值．21．（2022·全国·高一课前预习）计算下列各式的值：(1)tan405sin450cos750︒-︒+︒；(2)t 15s25ann3i4ππ⎛⎫-⎝+⎪⎭.。

三角函数详细讲解

三角函数详细讲解
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（最常用的单位是弧度制）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。

它也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。

三角函数中的正弦函数、余弦函数和正切函数是最常见的。

这些函数的定义可以通过直角三角形来解释，其中θ是要找的角度，对边是指与θ所对应的直角三角形中的最短边，邻边是指与θ所对应的直角三角形中的最长边，斜边是指三角形的最长边。

正弦函数的定义为sinθ=对边/斜边，余弦函数的定义为cosθ=邻边/斜边，正切函数的定义为tanθ=对边/邻边。

这些函数的值是固定的，不会因为三角形的大小改变而改变。

例如，tan45°的值总是等于1，无论三角形的大小如何变化。

这是因为我们用的是直角三角形，所以每个三角形都有成比例的关系。

三角函数不仅用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。

另外，以三角函数为模版，可以定义一
类相似的函数，叫做双曲函数。

常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。

以上是关于三角函数的详细讲解，如需了解更多信息，建议查阅数学书籍或咨询专业人士。

高三高考数学第一轮复习课件三角函数复习

]
20）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B
、C的对边，4sin2
B
2
C
-cos2A=
7 2
。
（1）求角A的度数；
（2）若a= 3 ，b+c=3，求b和c的值。
解：∴c4∴ocsoc2Aos(21s=A+A2 c-b=co2os122csAb22c)Aa-∴22==c72oA12s=2A60+。1=b272+c2-a2=bc 又∵b+c=3 bc=2
22 3
选A
例4
函数f(x)=cos2(x-
2 3
)+sin2(x-
5 6
)
+msinxcosx的值域为[a,2](x∈R,m>a)求m
值和f(x)的单调增区间。
解：1 f (x1 2 )[ = c 2 1 x c o o 2 2 4 3 x s ) 4 3 ()c s 1 2 co x ( o 2 2x 5 s 3 5 3 ) (s ) m ] 2 m 2( s s2 i2 x i x n
=sin(45。±35。). ∴ Sinα =sin 10。 ,sinβ=sin 80。
∴α=10。 β=80。 cos(2α-β)=cos60。= 1
2
〔三〕单元测试
一、选择题
1〕函数y=
coxs s
|cox|s |s
inx inx|
|ttaaxxnn|的值域是〔A〕
(A) |3,-1| (B) |3,1| (C) |-1,1,3| (D) |-1,1-3|
（2）若x∈[求a的值。
2
,
2
]时，f(x)的最大值为1，
解：（1）f(x)=sin(x+

高三数学三角函数知识点

高三数学三角函数知识点一、概述数学中的三角函数是一个重要的概念，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在高三数学学习中，掌握三角函数的相关知识点可以帮助我们解决各种复杂的几何问题，同时也是高考数学必考的内容。

二、正弦函数与余弦函数1.定义正弦函数(sin)：在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinA=对边/斜边。

余弦函数(cos)：在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosA=邻边/斜边。

2.性质- 正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

- 余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

- 正弦函数与余弦函数的图像均为周期函数，周期为2π或360°。

三、正切函数与余切函数1.定义正切函数(tan)：在直角三角形中，对于一个锐角A，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanA=对边/邻边。

余切函数(cot)：在直角三角形中，对于一个锐角A，余切函数的值等于邻边与对边的比值，即cotA=邻边/对边。

2.性质- 正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。

- 余切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。

- 正切函数与余切函数的图像均为周期函数，周期为π或180°。

四、三角函数的基本关系1.正弦函数与余弦函数的关系- sin(π/2 - A) = cosA- cos(π/2 - A) = sinA2.正切函数与余切函数的关系- tanA = 1 / cotA- cotA = 1 / tanA3.正弦函数与余切函数的关系- sinA / cotA = cosA- cotA / sinA = cosA五、三角函数的图像与性质1.正弦函数与余弦函数的图像- 正弦函数为奇函数，图像关于原点对称。

- 余弦函数为偶函数，图像关于y轴对称。

2.正切函数与余切函数的图像- 正切函数为奇函数，图像关于原点对称。

- 余切函数为奇函数，图像关于原点对称。

新高考数学复习基础知识专题讲义05 三角函数定义及同角三角函数(解析版)

新高考数学复习基础知识专题讲义知识点05 三角函数定义及同角三角函数知识理解一．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z)． (3)弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．二．任意角的三角函数1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．2.三角函数在每个象限的正负如下表：三．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 四．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α； (2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos_αtan_α；cos α＝sin αtan α.考向一角度制与弧度制的转换【例1-1】（2020·全国课时练习）填表（弧度数用含π的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边.【答案】填表见解析，作图见解析【解析】如表，如图：考向分析对应的角的终边分别为图中的射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，OG ，OH ，OI. 【例1-2】（2020·全国课时练习）把下列各弧度化为角度. （1）12π；（2）53π；（3）310π；（4）8π；（5）32π-；（6）56π-. 【答案】（1）15︒；（2）300︒；（3）54︒；（4）22.5︒；（5）270︒-；（6）150︒-.【解析】（1）1801512ππ︒︒⨯=；（2）51803003ππ︒︒⨯=；（3）18054310ππ︒︒⨯=；（4）28180 2.5ππ︒︒⨯=；（5）31802702ππ︒︒-⨯=-；（6）51801506ππ︒︒-⨯=-.【例1-3】（2019·全国高三专题练习）将－1485°改写成2k π＋α(0≤α<π，k ∈Z)的形式是( ) A ．－8π＋4πB ．－10π－4πC ．－8π＋74πD ．－10π＋74π 【答案】D【解析】﹣1485°＝﹣1800°+315°＝﹣10π+74π．故选D【举一反三】1．（2020·全国课时练习）把下列角度化成弧度：（1）36︒；（2）150︒-；（3）1095︒；（4）1440︒. 【答案】（1）5π（2）56π-（3）7312π（4）8π 【解析】（1）361805ππ︒⨯=；（2）51501806ππ-︒⨯=-；（3）73109518012ππ︒⨯=；（4）14408180ππ︒⨯=． 2．（2020·全国课时练习）将下列角度与弧度进行互化. （1）20°；（2）－15°；（3）712π（4）－115π. 【答案】（1）20°＝9π；（2）－15°＝－12π；（3）712π＝105°；（4）－115π＝－396°.【解析】（1）20°＝20180π＝9π. （2）－15°＝－15180π＝－12π.（3）712π＝712×180°＝105°. (4)－115π＝－115×180°＝－396°.3．（2020·全国高三专题练习）把−1125°化成α+2k π(0≤α<2π,k ∈Z)的形式是（） A ．−π4−6πB ．7π4−6πC ．−π4−8πD ．7π4−8π【答案】D【解析】−1125°=−1440°+315°=−8π+7π4，故选D.4．（2019·全国高三专题练习）将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z)的形式是( ) A ．－4π－8πB ．74π－8πC ．4π－10πD ．74π－10π【答案】D【解析】由题意，可知－1485°＝－5×360°＋315°，又π＝180°，则315°＝74π，故－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z)的形式是74π－10π．考向二三角函数定义【例2】（1）（2020·云南）已知角α的终边经过点34(,)55P -，则sin α等于（） A ．45B ．35C ．43-D ．34- （2）（2020·广东）已知角θ的终边上一点(4,3)(0)P a a a ≠，则sin θ=（） A ．45B ．35C ．45±D ．35± 【答案】（1）A （2）D【解析】（1）因为角α的终边经过点34(,)55P -，所以x 34,,155y r =-==，所以4sin 5y r α==，故选：A（2）5OP a == 由三角函数的定义可得333sin 55a a OP a θ===±故选：D 【举一反三】1．（2020·北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)P ，那么sin α的值是（） A ．35B ．34C ．45D ．43 【答案】C【解析】由已知5OP ==，所以4sin 5α．故选：C ． 15．（2020·商南县高级中学）角α的终边过点()3,4P a ，若3cos 5α=-，则a 的值为（） A ．1B ．1-C ．±1D ．5± 【答案】B【解析】由条件可知r OP ==，由三角函数的定义可知3cos 5x r α===-，0a <，解得：1a =-.故选：B 3．（2019·吉林高三月考（文））若点cos ,sin36ππ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan α的值是（）A ．-1B ．1C ．【答案】B【解析】据题意，得1sin62tan 11cos32παπ===.故选：B.考向三三角函数正负判断【例3】（1）（2020·山东高三专题练习）已知cos tan 0θθ⋅>，那么θ是（） A ．第一、二象限角B ．第二、三象限角C ．第三、四象限角D ．第一、四象限角（2）（2020·山东高三专题练习）若α是第二象限角，则点()sin ,cos P αα在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】（1）A （2）D【解析】（1）由cos tan 0θθ⋅>可知cos ,tan θθ同号，即cos tan =sin 0θθθ⋅>，从而θ为第一、二象限角，故选：A（2）因为α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以点()sin ,cos P αα在第四象限，故选D【举一反三】1．（2019·浙江高三专题练习）已知 sin 0θ>且cos 0θ<，则角的终边所在的象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，故选B.2．（2020·全国高三专题练习）若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是（） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】 C【解析】2sin sin tan 0cos αααα=<，cos 0α∴<，又2cos cos 0tan sin αααα=<，则sin 0α<. 因此，角α为第三象限角.故选：C.3．（2020·全国高三专题练习）已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】由cos cos θθ=，可知cos 0θ≥，结合sin cos 0θθ<，得sin 0,cos 0θθ<>，所以角θ是第四象限角，故选:D4．（多选）（2020·全国高三专题练习）对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>，⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角的充要条件为（） A ．①③B ．①④C ．④⑥D ．②⑤ 【答案】BC【解析】若θ为第二象限角，则sin 0θ>，cos 0θ<，tan 0θ<.所以，θ为第二象限角sin 0cos 0θθ>⎧⇔⎨<⎩或sin 0tan 0θθ>⎧⎨<⎩或cos 0tan 0θθ<⎧⎨<⎩.故选：BC.考向四同角三角公式【例4】（1）（2019·全国高三专题练习）已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于（） A ．513B ．－513 C ．512D ．－512（2）（2020·江西景德镇一中）已知2tan 3α=，且2απ<<π，则cos α=（）A ．13-B ．13．13-D ．13【答案】（1）B （2）A【解析】由条件知α是第四象限角，所以sin 0α<，即sin α＝＝＝513-. 故选：B ．（2）2tan 03α=>且2απ<<π，32ππα∴<<，cos 0α∴<，由22sin 2tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩得：cos 13α=-故选：A .【举一反三】1．（2020·海拉尔市蒙古族中学高三学业考试）已知α为第四象限的角，且3cos 5α=，则tan α的值为（） A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【解析】α为第四象限的角，且3cos 5α=，4sin 5α∴===-.4sin 45tan 3cos 35ααα-∴===-.故选：D .2．（2019·北京海淀·101中学高三月考）已知3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan α=那么sin α=（）A ．-．D【答案】B【解析】因为3(,)22ππα∈，sin tan 0cos ααα==>，故3(,)2παπ∈， sin αα=，又22sin cos 1αα+=，解得：sin α=故选：B 3.已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．【答案】见解析【解析】由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α①又sin 2α＋cos 2α＝1②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.考向五弦的齐次【例5】（1）已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为．（2）（2020·固原市五原中学高三）已知tan 2θ=，则2sin sin cos 2θθθ+-= 【答案】（1）3（2）45-（1）原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. （2）因为22sin +cos 1θθ=，sin tan cos θθθ=所以222sin sin cos 2sin sin cos 2cos θθθθθθθ+-=-+-222222sin sin cos 2cos tan tan 2sin +cos tan +1θθθθθθθθθ-+--+-==42244+15-+-==-故选：D.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）已知1tan 3α=-，则2cos sin cos ααα-+的值为（） A ．3-B ．34-C ．43-D ．34【答案】A【解析】由1tan 3α=-，得2cos 2232sin cos 1tan 3αααα---===-++.故选：A.2．（2020·福建省武平县第一中学高三月考）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-等于（） A ．43-B ．54C ．34-D ．45【答案】D【解析】222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos θθθθθθθθθθ+-+-=+22tan tan 24224tan 1415θθθ+-+-===++. 故选：D3．（2020·西藏拉萨中学高三）1tan 2α=，则sin 2α=（） A ．45-B ．35C ．45D ．35【答案】C【解析】1tan 2α=，2222122sin cos 2tan 42sin 21151()2sin cos tan ααααααα⨯∴====+++．故选：C 4．（2020·江苏南京田家炳高级中学）已知tan 2α=，求：（1）sin 2cos sin cos αααα+-；（2）221sin sin cos 2cos αααα+-.【答案】（1） 4 （2）54【解析】（1）sin 2cos tan 2224sin cos tan 121αααααα+++===--- （2）2222221sin cos sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos αααααααααα+=+-+-2222tan 1215tan tan 22224ααα++===+-+- 考向六 sin cos sin cos α±ααα与【例6】（1）（2020·永寿县中学高三开学考试）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（）． A ．79-B ．29-C ．29D ．79（2）（2020·广东华南师大附中高三月考）已知1sin cos 5αα+=，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．247B ．43-或34-C ．34-D ．43- 【答案】（1）A （2）D【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A.（2）由1sin cos 5αα+=，平方可得112sin cos 25αα+=，解得242sin cos 25αα=-，又由2249(sin cos )sin cos 2sin cos 25αααααα-=+-=，因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得sin cos 0αα->，所以7sin cos 5αα-=，联立方程组1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得43sin ,cos 55αα==-，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：D.【举一反三】1．（2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知7sin cos17αα+=，()0,απ∈，则tanα=________.【答案】158-【解析】依题意7sin cos17αα+=，两边平方得4924012sin cos,2sin cos0289289αααα+==-<，而()0,απ∈，所以sin0,cos0αα><，所以23sin cos17αα-====.由7sin cos1723sin cos17αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得158sin,cos1717αα==-，所以sin15tancos8ααα==-.故答案为：158-2．（2020·四川省南充高级中学高三月考（理））已知1sin cos5θθ+=，(0,)θπ∈，则tanθ=________. 【答案】43-【解析】已知1sin cos5θθ+=，平方得()2221sin cos sin cos2sin cos25θθθθθθ+=++=，得12sin cos25θθ=-，∴()222sin cos sin cos2sin cos125252449θθθθθθ-=+-=+=，(0,)θπ∈，sin0,cos0θθ><，7sin cos 5θθ∴-=，7ta sin cos 1sin cos n 571t n 51a θθθθθθ=-=-+=+，解得4tan 3θ=-. 故答案为：43-考向七三角函数线运用【例7】（2020·全国高三专题练习）已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2]π内α的取值范围是（）．A ．35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，当sin cos αα>，可得52244k k πππαπ+<<+，k Z ∈．当tan 0α>，可得222k k ππαπ<<+或3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈． ∴2242k k πππαπ+<<+或5224k k πππαπ+<<+，k Z ∈．当0k =时，42ππα<<或54ππα<<． 02απ，∴42ππα<<或54ππα<<．故选：B ．【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）已知点()cos ,tan P αα在第二象限，则角α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】点()cos ,tan P αα在第二象限，则cos 0tan 0αα<⎧⎨>⎩，所以角α在第三象限.故选：C2．（2020·海伦市第一中学高三期中（文））已知点()cos sin ,sin cos P αααα+-在第三象限，则α的取值范围是（）． A ．()ππ2π,2π42k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．()3π2π,2ππ4k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z C ．()3π5π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z D ．()5π7π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z【答案】D 【解析】()cos sin ,sin cos P αααα+-在第三象限，cos sin 0sin cos 0αααα+<⎧∴⎨-<⎩，2222sin cos sin 1sin sin 0sin 0αααααα⎧⎧>>-∴⇒⎨⎨<<⎩⎩，21sin 2sin 0αα⎧>⎪∴⎨⎪<⎩，sin α∴<，()5π7π2π,2π44k k k α⎛⎫∴∈++∈ ⎪⎝⎭Z．故选：D. 3．（2020·贵州高三其他模拟）已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内的α的取值范围是（）A ．35(,)(,)244ππππB ．5(,)(,)424ππππC ．353(,)(,)2442ππππD ．33(,)(,)244ππππ 【答案】B【解析】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，当sin cos αα>，可得52244k k πππαπ+<<+，k Z ∈．当tan 0α>，可得222k k ππαπ<<+或3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈． ∴2242k k πππαπ+<<+或5224k k πππαπ+<<+，k Z ∈．当0k =时，42ππα<<或54ππα<<．02απ≤≤，∴42ππα<<或54ππα<<．故选：B ．1．（2020·重庆西南大学附中高三月考）下列转化结果正确的是（） A ．60化成弧度是rad 6πB ．rad 12π化成角度是30 C ．1化成弧度是180rad πD ．1rad 化成角度是180π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由180π=得，对于A 选项：60化成弧度是rad 3π，故A 不正确；对于B 选项：rad 12π化成角度是11801512⨯=，故B 不正确；对于C 选项：1化成弧度是180rad π，故C 错误；对于D 选项：1rad 化成角度是180π⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确，故选：D.2．（2020·天津市静海区大邱庄中学高三月考）下列转化结果错误的是（） A ．30化成弧度是6πB ．103π-化成度是600-︒ C ．6730'︒化成弧度是27πD ．85π化成度是288︒ 【答案】C【解析】30化成弧度是6π，A 正确；103π-化成度是600-︒，B 正确； 6730'︒是367.567.51808ππ︒=⨯=，C 错误；85π化成度是288︒，D 正确.故选：C. 3．（2020·江苏高三专题练习）225-化为弧度为()强化练习A ．34πB ．74π-C ．54π-D ．34π- 【答案】C【解析】225225356024ππ=-⋅-=-.故选C 4．（2019·全国高三专题练习）下列结论不正确的是( )A ．3πrad ＝60°B ．10°＝18πrad C ．36°＝5πradD ．58πrad ＝115°【答案】D 【解析】 ∵π＝180°，∴3πrad ＝60°正确，10°＝18πrad 正确，36°＝5πrad 正确，58πrad ＝＝112.5°≠115°，D 不正确．故选D ．5．（2020·浙江温州·高二期中）已知角α的终边上有一点()1,2P -，则tan α的值为（） A ．-2B ．12-C D ．【答案】A 【解析】角α的终边上有一点()1,2P -，2tan 21α-∴==-.故选：A. 6．（2020·江苏镇江·高三期中）已知点51,3tan6P π⎛⎫- ⎪⎝⎭是角θ终边上一点，则cosθ的值为（） A ．12B．12-D．【答案】C【解析】因为53tan 36π⎛=⨯= ⎝⎭(1,P -，所以1cos 2θ==-，故选：C.7．（2020·河南高三月考（文））已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，终边与单位圆交于12P ⎛-⎝⎭，则sin α=（） A．B ．12-C．．2【答案】D【解析】由三角函数的定义，sin y α==.故选：D. 8．（2020·北京人大附中高三月考）已知点5π2cos,16P ⎛⎫⎪⎝⎭是角α终边上一点，则sin α=（） A ．12B．2C ．12-D．2- 【答案】A【解析】由5πcos62=-，可得点()P ，根据三角函数的定义，可得1sin 2α==.故选：A.9．（2020·浙江高二开学考试）已知角α的终边经过点(2,1)P -，则（）A ．sin αB ．sin α=C ．cos α=D ．tan 2α【答案】A【解析】角α的终边经过点(2,1)P -,所以P根据三角函数定义得到：sin 55a α====-，1tan 2α=-；故选A. 10．（2020·开鲁县第一中学高三月考（文））已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin cos αα+的值等于( ) A ．25-B ．45C ．35D ．25【答案】A【解析】因为角α的终边过点()4,3,5P r OP -==，所以利用三角函数的定义，求得34,cos 55sin αα=-=，3422cos 2555sin αα∴+=-⨯+=-，故选A. 11．（2020·宁夏银川二中高三其他模拟）如果角α的终边过点(2sin30,2cos30)︒-︒，则sin α的值等于（）A ．12B ．12-C．D．-【答案】C【解析】由题意()(2sin30,2cos301,︒-︒= ，点(1,到原点的距离2r ==，由定义知sin 2y r α==-故选：C ． 12．（2020·扶风县法门高中高三月考（文））已知α的值是（）A ．3B ．3-C ．1D ．12- 【答案】Ccos 2sin cos sin cos ααααα+=+，因为α为第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以cos 2sin 2sin cos 211sin cos sin cos αααααααα-+=+=-=.故选：C. 13．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边位置在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由于点(tan ,cos )P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<<，所以α在第二象限.故选：B14．（2020·全国高三专题练习（文））已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α在第几象限（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<< 所以角α在第二象限故选：B15．（2020·江苏高三专题练习）若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是第（）象限角. A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】C【解析】由条件知sin α与tan α异号，则α为第二或第三象限角；又cos α与tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.故选：C16．（2020·北京市第十三中学高三期中）已知()0,απ∈，且3cos 5α=-，则tan α=（） A ．43-B ．34-C ．34D ．43 【答案】A【解析】由3cos 5α=-得4sin 5α===±，因为()0,απ∈，所以sin 0α>，所以4sin 5α，所以4sin 45tan 3cos 35ααα===--，故选：A17．（2020·陕西省定边中学高三月考（文））已知tan 4α=，则21cos 28sin sin 2ααα++的值为（）A ．．654C ．4D ．3【答案】B【解析】因为tan 4α=，所以21cos 28sin sin 2ααα++，222cos 8sin 2sin cos αααα+=，228tan 2tan αα+=，228424+⨯=⨯， 654=故选：B 18．（2020·重庆南开中学高三月考）已知tan 2α=，则2221sin 2cos sin 2cos αααα++=-（）A ．32B ．52C ．4D ．5 【答案】D 【解析】22222221sin 2cos sin 2sin cos 2cos sin 2cos sin 2cos αααααααααα++++=--22tan 2tan 25tan 2ααα++==-故选:D 19．（2020·全国高三专题练习（文））已知02πα-<<，1sin cos 5αα+=，则221cos sin αα-的值为( )A ．75B ．257C ．725D ．2425【答案】B【解析】由题意，因为1sin cos 5αα+=，所以112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-，所以()249cos sin 12sin cos 25αααα-=-=，又因为02πα-<<，所以sin 0,cos 0αα<>，所以7cos sin 5αα-=，所以221125cos sin (cos sin )(cos sin )7αααααα==-+-，故选B.20．（2020·全国高三专题练习）（多选）下列转化结果正确的是（）A ．6730'化成弧度是38πB ．103π-化成角度是600-C ．150-化成弧度是76π-D ．12π化成角度是5 【答案】ABD【解析】对于A,3673067.51808ππ'=⨯=,正确;对于B,101018060033πππ-=-⨯=-,正确; 对于C,51501501806ππ⨯-=-=-,错误;对于D,180151212πππ=⨯=,正确.故选ABD 21．（2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且cos 10x θ=，则x =___________. 【答案】1-【解析】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==，解得0x =（舍去），或1x =（舍去），或1x =-， 1x ∴=-.故答案为：1-.22．（2020·湖南高二学业考试）已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________.【答案】35【解析】因为角α的终边经过点(3，4)，所以3cos 5x r α===，故答案：35 23（2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知2sin cos 0αα-=，则2sin 2sin cos ααα-=___________. 【答案】35【解析】由2sin cos 0αα-=，得1tan 2α=，则有222222sin 2sin cos sin 2sin cos tan 2tan 1sin cos tan 1ααααααααααα---==++221123225112⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；故答案为：35. 24．（2020·万载县第二中学高三月考（理））已知角α的终边经过点(,6)P x --，且3cos 5α=-，则11sin tan αα+=________．【答案】12- 【解析】点P 的纵坐标为6-，且3cos 05α=-<．∴角α的终边落在第三象限，4sin 5α∴=-，4tan 3α= 115321sin tan 4442αα∴+=-+=-=-.故答案为：12-. 25．（2020·山东高三专题练习）已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________. 【答案】－2316易知cos α≠0，由sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，得tan 23tan 5αα-+＝－5，解得tan α＝－2316.故答案为：－2316。

高三数学三角函数的相关概念

ห้องสมุดไป่ตู้
取袋机
[多选]招标采购项目实施的检查内容比较复杂，主要检查的内容包括（）。A．招标文件的使用情况B．招标采购方案内容及其相关影响因素C．招标采购工作进度的符合性D．招标采购工作的人员专业水平E．招标采购过程的相关方信息反馈 [单选]判断行政机关及其他组织能否具备行政主体资格的关键性条件是（）。A.能否实施国家行政管理活动B.是否具有行政主体的法律地位C.能否独立承担法律责任D.能够独立参加行政复议 [单选]铁路平面无线调车A型号电台，在调车作业中，连结员或制动员按下红键时，辅助语音提示为（）。A.停车B.注意减速C.紧急停车（×号×号）D.×号解锁 [判断题]航行中货舱起火，已立即切断通风，施放足量二氧化碳，并长时间闷舱以防复燃.A.正确B.错误 [问答题,案例分析题]阅读下列说明，回答问题1至问题3【说明】某公司要开发一个多媒体辅导系统，该系统准备利用B/S架构，用户通过网上注册、登录，登录成功后，可进行在线学习辅导。 [单选,A2型题,A1/A2型题]患儿，男，8岁，因少尿、血尿5天以急性肾小球肾炎收住入院，近一天呕吐5次，伴头痛、烦躁不安、一过性失明，该患儿可能出现了（）A.严重的循环充血B.高血压脑病C.消化性溃疡D.脑栓塞E.脑膜炎 [单选]高血压脑出血最常见的部位是（）。A.豆状核和丘脑B.内囊和基底节C.蛛网膜下腔D.侧脑室E.大脑髓质 [多选]安装工程一切险专门承保各类安装工程，即在安装和试车考核过程中因自然灾害或意外事故所导致的损失。在这里意外事故通常包括（）。A．火灾B．雷电C．火山爆发D．爆炸E．设计错误 [判断题]记帐方法有单式记帐法和复式记帐法两类，银行会计核算使用复式记帐法。A.正确B.错误 [填空题]()就在近代科学家伽利略去世的1642年，另一位伟大的科学人物诞生了。他出生在英国资本主义上升的时期。 [单选]医院药事管理委员会的组成是（）A.主管院长、药学部门及医务科（部或处）负责人B.主管院长、药学部门负责人C.主管院长、药学部门及有关科、室负责人D.药学部门负责人及下属科、室负责人E.药学部门及有关医技科室负责人 [名词解释]射频识别 [单选]有一复视患者的复视图表现为：同侧垂直复视，右像高，左像低，右下方向复像距离最大，周边物像属左眼，则其麻痹肌可能为()A.左眼外直肌B.右眼上斜肌C.左眼下直肌D.左眼上斜肌E.右眼下直肌 [单选]通过遥控器的以下组合操作来调整标准双轴云台滚转角度（）A、shift键↑+滚转指令←→B、shift键↑+俯仰指令↓↑C、shift键↑+航向指令←→D、shift键↑+油门指令↓↑ [单选,A1型题]关于B超检查在诊断尿路结石方面的价值，下列哪项是错误的（）A.能发现尿路平片不能显示的小结石和透光结石B.能发现结石所致的肾脏结构改变C.可直接显示双肾功能改变D.可用于无尿、慢性肾衰竭患者E.可用于对碘剂过敏或孕妇合并结石患者 [单选]公安消防机构在消防监督检查中，发现生产、储存易燃易爆化学物品的单位等存在重大火灾隐患，单位自身确无能力解决的，应当书面报请（）协调解决。A、上一级公安消防机构B、主管公安机关C、当地人民政府D、主管行政机关 [单选]各种车票的有效期从（）起至有效期最后一日的24时止计算。A.指定乘车日B.购票日C.改签日D.实际乘车日 [单选]根据《招标投标法实施条例》规定，招标文件要求中标人提交履约保证金的，中标人应当按照招标文件的要求提交。履约保证金不得超过中标合同金额的（）。A.5%B.10%C.15%D.20% [单选]以下不是烟酸缺乏症病因的为()A．摄入不足B．排泄过多C．吸收不良D．药物影响 [单选]沙眼是由哪一种微生物所引起的传染性结膜角膜炎()A．细菌B．病毒C．立克次体D．螺旋体E．衣原体 [单选]动脉瘤最有效的治疗方法是（）A.控制高脂饮食B.体育锻炼C.手术切除D.降低血压E.降血脂药物 [问答题,简答题]国库单一账户开设在中央银行可获得哪些财政和宏观经济利益？ [单选]朊毒体可以诱发机体产生()A．细胞免疫B．体液免疫C．补体D．细胞凋亡E．体液免疫和细胞免疫 [判断题]押运驾驶员应按规定带齐证件，严格按照押运路线行驶，遇有情况需改变时，可按备用路线行驶。（）A.正确B.错误 [单选]区别行政违法与行政不当时，行政违法对应的行为是裁量行为和（）。A.意志行为B.羁束行为C.客观行为D.主观行为 [单选]以下跳汰机是按入选煤的粒度加以区分的（）。A、块煤跳汰机B、单段跳汰机C、主选跳汰机D、单槽跳汰机 [名词解释]育种家种子 [多选]下面对于组织纪律的观念的必要性描述正确的是？（）A、因为宾客构成的多样性和复杂性B、因为岗位、部门的不同，员工工作内客、规范要求也各不相同C、因为酒店人员多D、因为酒店要使众多不同素质的员工按规范要求进行工作 [判断题]马氏体的含碳量越高，其硬度越低。（）A.正确B.错误 [单选,B型题]稽留热（）。A.常见于登革热的热型B.常见于伤寒、大叶性肺炎的高热期的热型C.常见于流行性感冒的热型D.常见于败血症、伤寒缓解期的热型E.常见于疟疾、淋巴瘤的热型 [单选]下列关于食管癌病因的描述，哪项是错误的()A．亚硝胺是公认的化学致癌物B．食管癌与病毒感染无关C．真菌与亚硝胺协同致癌D．食管癌与食管的慢性刺激有关E．食管癌常表现家族聚集现像 [单选]雾中航行，每一船舶必须（）。A．缓速行驶B．减速行驶C．以安全航速航行D．以能维持舵效的最小航速航行 [单选]现场浇注基础的顶面应高于地面（），以防下沉，基础表面水平误差不超过士5mm。A.50一60mmB.60一100mmC.100一200mmD.200一300mm [单选,A1型题]显像剂是通过微血管栓塞和拦截的显像方法是（）A.肺通气显像B.心血池显像C.肝胆显像D.肺灌注显像E.骨显像 [单选]低血容量时，肾的生理改变是A.肾血流明显降低B.肾小球后动脉收缩C.肾小球前后动脉收缩D.肾血流出现选择性再分布E.以上均是 [问答题,案例分析题]病历摘要女性，41岁。间断性便后滴少量鲜血2个月，肛门异物感1周。患者2个月前在大便干燥时出现粪便表面带血，无痛，有时便后滴少量鲜血，排便通畅后好转。近1周上述症状加重，并伴肛门异物和排便不尽感。既往体健。查体：发育、营养良好，心肺腹未见异常。肛 [单选]船政造船经历的三个时期分别是：“木船时期”、“()”、“钢船时期”。A、铁船时期B、钢木合构时期C、木铁合构时期D、蒸汽时期 [单选,A2型题,A1/A2型题]护士长每周对病房急救物品完好情况进行检查，这种质量控制手段属于（）A.基础质量控制B.环节质量控制C.过程质量控制D.结果质量控制E.终末质量控制 [多选]高性能商品混凝土配合比设计应遵循下列哪些法则？（）A、最大水泥用量法则B、商品混凝土密实体积法则C、水胶比法则D、最小用水量法则 [单选]根据《中华人民共和国广告法》，期刊不得发布（）。A.酒类广告B.药品广告C.电影或电视节目广告D.烟草广告

高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)

高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)一、基础知识回顾三角函数是高中数学中的重要内容之一。

在这个专题中，我们将回顾三角函数的基础知识，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、性质以及相互之间的关系。

1. 三角函数的定义在直角三角形中，我们定义了三角函数的概念。

对于一个角A，定义了三个比值：正弦函数sinA=对边/斜边，余弦函数cosA=邻边/斜边，正切函数tanA=对边/邻边。

2. 三角函数的周期性我们知道，三角函数具有周期性。

例如，正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。

这意味着在一个周期内，三角函数的值是重复的。

这种周期性使得三角函数在实际问题中具有广泛的应用。

3. 三角函数的性质三角函数有许多重要的性质。

例如，正弦函数和余弦函数是偶函数，即f(x)=f(-x)；正切函数是奇函数，即f(x)=-f(-x)。

此外，三角函数还具有增减性和界值性质。

二、三角函数的图像与性质下面我们将进一步讨论三角函数的图像与性质。

通过对三角函数图像的分析，我们能够更好地理解三角函数的特点和性质。

1. 正弦函数的图像与性质正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振动范围在[-1,1]之间。

正弦函数的图像关于y轴对称，且在0点处取得最小值。

我们可以通过调整系数来改变正弦函数的振幅和周期。

2. 余弦函数的图像与性质余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，振动范围也在[-1,1]之间。

与正弦函数不同的是，余弦函数的图像关于x轴对称，且在0点处取得最大值。

同样地，我们可以通过系数调整来改变余弦函数的振幅和周期。

3. 正切函数的图像与性质正切函数的图像是一条连续的曲线，其值在整个实数轴上变化。

正切函数在某些点上没有定义，这些点是函数的奇点。

我们可以通过系数调整来改变正切函数的振幅和周期。

三、三角函数的应用三角函数在实际问题中有广泛的应用。

在这一部分，我们将介绍一些常见的三角函数应用，并通过例题来加深理解。

高三数学重点复习知识点：三角函数

高三数学重点复习知识点：三角函数查字典数学网高中频道收集和整理了2021年高三数学重点复习知识点：三角函数，以便高中生在高考备考过程中更好的梳理知识，轻松备战。

祝大伙儿寒假欢乐。

.正角、负角、零角、象限角的概念你清晰吗?，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?你明白锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你明白吗?.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化显现专门角。

异角化同角，异名化同名，高次化低次).反正弦、反余弦、反正切函数的取值范畴分别是.你还记得某些专门角的三角函数值吗?.把握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质。

你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规范，可别忘了)，你是否清晰函数的图象能够由函数通过如何样的变换得到吗?.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：(1)函数的图象的平移为左+右-，上+下-;(2)方程表示的图形的平移为左+右-，上-下+;那个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录同时阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,因此内容要尽量广泛一些,能够分为人一辈子、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探究、环保等多方面。

如此下去,除假期外,一年便能够积存40多则材料。

假如学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?(3)点的平移公式：点按向量平移到点，则。

.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，再判定角的范畴)宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

高三数学三角函数的相关概念

我在寻思着怎样度过今天，迷茫惆怅油然涌上心头，在家门口怅惘地眺望天边的高山，思索那远处的地方有没有烦恼。忽然听见有人在喊我，“牛王，你在忙什么？”我随即朝给我说话的人望去，只见一位约摸五十多岁的中等个头的男子牵着一头黑色的小牛，从我家的鱼池坝上过来，我惊喜地睁大眼睛望着沉稳地走来的男子，“你不认识我了？”还没有等我开口回答他，他又用熟悉的热情的声调问我，“噢，周叔叔是你啊，”我瞬间认出了男子，开心地边应答边大步迎了过去。周叔叔满脸喜悦地握住我的手惬意地望着我，我们都很激动，一时不知道说些什么，都笑呵呵地站立着。“叔叔，把牛拴在牛棚里，到屋里休息喝杯水吧，”我欣喜地边说边从周叔叔手上接过缰绳，把牛牵到了牛棚里。

我每天都是这样地度过的，看见种地的乡亲们弯着腰顶着烈日，兢兢业业地、勤勤恳恳地忙碌着，我为它们感到欣慰，我只不过赶着羊群来回地走动着，付出了我的汗水，甚至可以说是我的青春。我没有后悔过，为了生活就必须有自己的活路，就要不停的干活。每天赶着羊群走在田间的小路上的时候，羊群扬起的厚厚灰尘随风飘起，我不禁叹悟，这就是我的生活，这就是我的人生。英利集团
2020年6月14日作于新疆石河子市
乡村纪事
小黑牛
刚把牛棚打扫干净，想给自己找点活干，哥哥去放羊了，母亲到田地里干活了。我心里空落落的，随手捻起一个石子扔向房顶，一群鸽子哗啦地飞向天空，盘旋在我家的房顶上。初夏五月的天空亮晃晃的，朵朵白云象一堆堆棉花安静从容地飘逸着，太阳的光线柔和地照在我的脸上，不炙热也不冰冷，一阵微风拂面而来，整个身体飘飘然的，哪感觉舒服极了。

专题五+5.1三角函数的概念与同角关系课件——2023届高三数学一轮复习

2
cos θ ,则 θ 的终边所在的象限是 ( )
22
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C
2.(2023届江苏南京、镇江学情调查,2)已知点P
cos
2 3
,1是角α终边上一
点,则cos α= ( )
A. 5
5
B.- 5
5
答案 B
C. 2 5
5
D.- 3
2
3.(2022石家庄一模,2)已知角α的终边上一点P的坐标为(-2,1),则cos α的值为( )
22
半径) 4.三角函数的定义 1)任意角三角函数的定义 ①借助单位圆:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆交于点
P(x,y),那么sin α=y;cos α=x;tan α= y (x≠0).
x
②借助终边上点的坐标:设角α终边上任意一点P(原点除外)的坐标为
(x,y),它与原点的距离为r,则sin α= y ,cos α= x ,tan α= y (x≠0).
θ
=( )
A. 2 B.- 2 C. 1 D.- 1
3
3
3
3
答案 A
2.(2022福建龙岩一中月考,3)已知sin(π-α)+sin
6.(多选)(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,9)下列结论正确的是 ( )
A.- 7 是第三象限角
6
B.若tan α=2,则 sin α cos α =3
sin α cos α
C.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为 3
3
2
D.终边经过点(m,m)(m>0)的角的集合是α
|
α
4
A.- 1 B. 1

三角函数知识点归纳总结高三

三角函数知识点归纳总结高三高三数学中的三角函数知识点归纳总结在高三数学中，三角函数是一个重要的知识点，它是解析几何、微积分等学科的基础。

三角函数的内容较为繁杂，但只要掌握了基本的公式和性质，就能够顺利地解决各种问题。

以下是对高三数学中三角函数知识点的归纳总结。

1. 三角函数的定义三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数这六种函数。

其中，正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，其余函数的定义域为实数集减去相应函数零点的集合。

2. 基本公式和性质(1) 正弦函数和余弦函数的基本周期为2π，即sin(x+2π)=sinx，cos(x+2π)=cosx。

(2) 正切函数和余切函数的基本周期为π，即tan(x+π)=tanx，cot(x+π)=cotx。

(3) 正弦函数和余弦函数的和差公式：sin(x±y) = sinxcosy ± cosxsiny，cos(x±y) = cosxcosy ∓ sinxsiny。

(4) 正切函数和余切函数的和差公式：tan(x±y) = (tanx ±tany)/(1∓tanxtany)，cot(x±y) = (c otxcoty∓1)/(coty∓cotx)。

(5) 正切函数和余切函数的互余公式：tanx=cot(π/2−x)，cotx=tan(π/2−x)。

(6) 三角函数的奇偶性：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，tan(-x)=-tanx，cot(-x)=-cotx。

(7) 三角函数的周期性：有些三角函数的周期不是基本周期2π或π，而是它们的倍数，如sin3x和cos3x的周期为2π/3。

3. 三角函数的图像(1) 正弦函数和余弦函数的图像：它们的图像都是周期性的波形，正弦函数的图像在坐标系的x轴正半轴上方，余弦函数的图像在坐标系中x轴上。

(2) 正切函数和余切函数的图像：它们的图像分别是以x轴和y轴为渐近线的一组双曲线。

高三数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第一节三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式课

＝tanα.
4.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式.
h
3
•关注热点
•1.三角函数的定义及应用是本节考查重点，注意三角函数值符号的确定．
•2.同角三角函数关系式常用来化简、求值，是高考热点．
•3.利用诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点．
•4.主要以选择题、填空题的形式考查.
－α)＝
－.tanα
•(5)公式五
cosα，tan( －c，osαtan(π
sin(π2－α)＝ cosα ，cos(2π－α)＝ sinα .
h
11
(6)公式六 sin(π2＋α)＝ cosα ，cos(2π＋α)＝－sinα .
即 α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号；π2±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦) 函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
∴－sinα＝－2cosα.
∴sinα＝2cosα，即 tanα＝2.
(1)原式＝5ttaannαα－＋42＝5×2－2＋4 2＝－16.
h
32
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα＝sins2iαn＋2α＋2sicnoαsc2αosα ＝tanta2αn＋2α＋2ta1nα＝85.
h
33
化简ssiinn[kkπ＋－1απc＋osα[]kc－os1kππ－＋αα](k∈Z)．
终边在 y 轴上的角的集合为{α|α＝kπ＋π2，k∈Z}；
终边在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k2π，k∈Z}．
h
14

高考数学中的三角函数三倍角公式

高考数学中的三角函数三倍角公式高考数学中的三角函数是一门难度较高的学科，对于学生来讲，需要全面、系统地掌握它的知识点。

在三角函数中，三倍角公式是重要的理论基础之一，本文将从三倍角公式的定义、性质、应用等方面进行论述，帮助学生更好地掌握这一知识点。

一、三倍角公式的定义在高中阶段，学生已经学习了基本的三角函数知识，包括正弦、余弦、正切等。

而三倍角公式是在这一基础上推导出来的重要公式。

三倍角公式中涉及到的三角函数有正弦、余弦、正切，它们的三倍角公式分别如下：sin 3θ = 3sinθ - 4sin^3θcos 3θ = 4cos^3θ - 3cosθtan 3θ = (3tanθ - tan^3θ) / (1 - 3tan^2θ)这些公式看起来十分繁琐，但实际上它们都是基于基本三角函数公式而来的。

二、三倍角公式的性质1. 奇偶性三倍角公式的奇偶性与基本的三角函数公式相同。

具体来讲，正弦和正切是奇函数，余弦是偶函数。

因此，sin 3θ和tan 3θ均为奇函数，cos 3θ为偶函数。

2. 单调性随着θ的增大，三倍角公式的值也会随之增大或减小，因此它们的单调性与基本三角函数公式相同。

3. 周期性三倍角公式的周期与基本三角函数公式相同，都是2π。

4. 范围由于三倍角公式是基于基本三角函数公式推导而来的，因此它们的取值范围也与基本三角函数公式相同。

具体来讲，正弦和余弦在[-1,1]之间取值，而正切的取值范围为全体实数。

三、三倍角公式的应用三倍角公式是基础知识，但在数学和物理等领域中有广泛应用。

1. 微积分在微积分中，三倍角公式被应用于解决极限、导数以及积分等问题。

通过三倍角公式，我们可以得到某些复杂函数的导数或积分式，从而简化计算。

2. 物理在物理学中，三倍角公式被广泛应用于解决与振动、波动、波长以及频率等有关的问题。

尤其是计算机图形学、信号处理等领域中，三倍角公式更是被频繁使用。

3. 工程在工程学中，三倍角公式各种相关的计算问题也都得到了广泛应用。

高三有哪些定理知识点

高三有哪些定理知识点在高三数学学科中，有许多重要的定理知识点，这些定理不仅是数学理论的基石，而且在解题过程中起着至关重要的作用。

下面将介绍几个高三数学中的常见定理知识点。

一、三角函数的基本关系定理三角函数是高中数学中非常重要的概念之一，而三角函数的基本关系定理是几个关键的三角函数公式的总称，包括正弦定理、余弦定理和正切定理。

这些定理在解决三角形相关问题时非常有用。

其中，正弦定理表示为：在任意三角形ABC中，有a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)；余弦定理表示为：在任意三角形ABC 中，有c²=a²+b²-2abcos(C)；正切定理表示为：在任意三角形ABC 中，有tan(A)=(a/b)。

二、中线定理中线是三角形的三条特殊线段之一，有利于了解三角形三边的关系。

中线定理是指在任意三角形ABC中，三角形三边之和等于两倍的中线所对应的边长，即AB+BC+CA=2(MA+MB+MC)。

其中，M表示中点，A、B、C分别表示三角形的三个顶点。

三、角平分线定理角平分线是指将一个角分为两个相等的角的直线。

角平分线定理是指在三角形ABC中，角A的平分线将边BC分成两段，那么这两段的比等于与这个角相对的两边的比，即AB/AC=BD/DC。

其中，D表示角A的平分线与边BC的交点。

四、垂直平分线定理垂直平分线是指将一条线段垂直分成两段相等的线段的直线。

垂直平分线定理是指在三角形ABC中，边AB的垂直平分线上的任意点到A、B两点的距离相等，即AD=BD。

其中，D表示边AB的垂直平分线与边AB的交点。

五、同位角定理同位角是指两条平行线被一条截线所交的内角和对应角相等。

同位角定理是指在两条平行线AB和CD被一条截线EF所交的情况下，对应角∠A和∠E、∠B和∠F、∠C和∠D互相等于，即∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠D。

这些定理知识点在高三数学学习中扮演着重要的角色，能够帮助学生更好地理解和解决数学问题。

三角函数高三知识点

三角函数高三知识点三角函数是数学中的重要概念，在高三数学学习中也是一个关键的知识点。

本文将全面介绍三角函数的相关知识，包括定义、性质和应用。

希望通过本文的介绍，能够帮助读者更好地理解和掌握三角函数的内容。

一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义如下：1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是一个周期函数，用sin表示，定义为在直角三角形中，对于给定角的正弦值等于对边的长度与斜边的长度之比。

2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数也是一个周期函数，用cos表示，定义为在直角三角形中，对于给定角的余弦值等于邻边的长度与斜边的长度之比。

3. 正切函数（tangent function）：正切函数是一个无穷函数，用tan表示，定义为对于给定角的正切值等于对边的长度与邻边的长度之比。

二、三角函数的性质三角函数有许多重要的性质，下面介绍几个常用的性质：1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

3. 反函数关系：正弦函数和余弦函数是一对反函数，tan(x)=sin(x)/cos(x)。

三、三角函数的应用三角函数在数学中有广泛的应用，以下是三个常见的应用场景：1. 几何学：三角函数在几何学中被广泛应用，例如求解三角形的边长和角度、计算图形的面积和体积等。

2. 物理学：三角函数在物理学中的应用也很重要，例如描述物体振动的运动规律、计算力学问题中的作用力和分力等。

3. 工程学：在工程学中，三角函数可以用于测量和计算建筑、机械等方面的问题，例如测量高楼的高度和角度、设计机械传动系统等。

总结：三角函数是高三数学中的重要知识点，它们的定义、性质和应用都非常关键。

通过学习三角函数，我们可以更好地理解和解决各种数学、物理和工程学中的问题。

高三数学三角函数的相关概念

能力·思维·方法
1.若α是第三象限的角，问α/2是哪个象限的角?2α是哪个象限的角? 【解法回顾】各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、二、
三、四象限inα=m (|m|≤1) ，求tanα.
【解题回顾】此类例题的结果可分为以下三种情况. (1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解. (2)已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，有两解. (3)已知角α的三角函数值是用字母表示时，要分象限讨论 .α分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方关系的那个三角函数值符号，一般有四解.
2010届高考数学复习强化双基系列课件
17《三角函数的相关概念》
• 要点·疑点·考点 •课前热身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误解分析
要点·疑点·考点
1.角的概念的推广所有与α角终边相同的角的集合S={β|β＝α+k· 360°，k∈Z} 2.弧度制任一个已知角α的弧度数的绝对值 |α|＝l/r ( l是弧长，r是半径 ) ， 1° ＝ π/180 弧度， 1rad=(180/π)°≈57.30° ＝ 57°18′ 弧长公式l=|α|r，扇形面积公式S＝1/2lr 3.任意角三角函数的定义设α是一任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，P与原点距离是r，则sinα=y/r，cosα=x/r ， tanα=y/x， cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y.
要点·疑点·考点
4.同角三角函数的基本关系式 ①倒数关系：sinαcscα＝1，cosαsecα＝1 ， tanαcotα ＝1 ②商数关系：tanα=sinαcosα，cotα＝cosαsinα ③平方关系：sin2α+cos2α＝1，1+tan2α=sec2α，1+cot2α =csc2α

高三数学三角函数的知识点

高三数学三角函数的知识点数学作为一门重要的学科，是高中阶段学生所必修的科目之一。

其中，三角函数是数学中的重要概念之一，它是解决几何问题和建立数学模型的重要工具。

本文将介绍高三数学中关于三角函数的一些基本知识点。

1. 弧度与角度的转化弧度和角度是描述角度大小的两种不同方式。

弧度是角度的一种度量单位，表示弧所占的圆的半径长度。

常用符号为rad。

角度是根据一圆被等分成的360个部分进行度量的。

弧度和角度之间可以通过以下公式进行转化：角度 = 弧度× (180/π)弧度 = 角度× (π/180)2. 正弦函数、余弦函数和正切函数在三角函数中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最常用的三个函数。

以一个角θ来定义，其中θ是一个锐角，其同边为直角三角形的斜边与这个角的比值。

正弦函数（sinθ）= 直角三角形斜边与斜边对应的直角边的比值。

余弦函数（cosθ）= 直角三角形斜边与斜边对应的直角边的比值。

正切函数（tanθ）= 直角三角形斜边对应的直角边与斜边对应的直角边的比值。

这三种函数在解决几何问题和建立数学模型时具有广泛的应用。

3. 周期性和对称性三角函数具有周期性和对称性的特点。

以正弦函数为例，它的周期是2π，即sin(θ + 2π) = sinθ。

对于余弦函数，其周期也是2π，即cos(θ + 2π) = cosθ。

而正切函数的周期是π，即tan(θ + π) = tanθ。

在数学建模中，这种周期性和对称性的特点可以用来描述循环或重复出现的现象。

4. 三角函数的用途三角函数在实际应用中有广泛的应用。

在物理学中，三角函数常用来描述波动、振动和周期性现象。

在工程学中，三角函数可用于建立数学模型，解决实际问题。

在计算机图形学中，三角函数可用于图像旋转、缩放和变形等操作。

此外，三角函数还在航海、导航、天文学等领域发挥着关键作用。

5. 三角函数的识记公式为了简化计算和解决问题，我们需要掌握一些三角函数的识记公式。

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