九年级数学上册第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程第2课时公式法的实际应用同步练习新版北
2.3用公式法求解一元二次方程课时训练含答案
第二章 一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程 班级：__________ 姓名：__________ 一、填空题1.配方法解一元二次方程的基本思路是：（1）先将方程配方；（2）如果方程左右两边均为非负数，则两边同时开平方，化为两个__________；（3）再解这两个_________。
2.用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)时：∵a ≠0,方程两边同时除以a 得__________________，移项得__________，配方得_________，即（x +__________）2=__________，当__________时，原方程化为两个一元一次方程__________和__________， ∴x 1=__________,x 2=____________3.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________的值，当__________时，把a ,b ,c 的值代入公式，x 1，2=____________，求得方程的解.4.方程3x 2－8=7x 化为一般形式是_______，a =__________,b =__________,c =__________,方程的根x 1=__________,x 2=__________.二、选择题1.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是A.x 1、2=24312122⨯-± B.x 1、2=24312122⨯-±- C.x 1、2=24312122⨯+± D.x 1、2=32434)12()12(2⨯⨯⨯---±-- 2.方程x 2+3x =14的解是A.x =2653± B.x =2653±- C.x =2233± D.x =2233±- 3.下列各数中，是方程x 2－(1+5)x +5=0的解的有 ①1+5 ②1－5 ③1 ④－5A.0个B.1个C.2个D.3个 4.方程x 2+(23+)x +6=0的解是A.x 1=1,x 2=6B.x 1=－1,x 2=－6C.x 1=2,x 2=3D.x 1=－2,x 2=－3三、用公式法解下列各方程1. 5x 2+2x －1=02. 6y 2+13y +6=03. x 2+6x +9=7四、你能找到适当的x 的值使得多项式A =4x 2+2x －1与B =3x 2－2相等吗？参考答案一、1.一元一次方程 一元一次方程2.x 2+0=+a c x a b x 2+ac x a b -= 222222222442 04 44 2 4)2(a ac b a b x ac b a ac b a b a b a c a b x a b x -=+≥--+-=++ a ac b b a ac b b a ac b a b x 24 24 4422222----+---=+ 3.一般形式 二次项系数、一次项系数、常数项 b 2－4ac ≥0 aac b b 242-±- 4.3x 2－7x －8=0 3 －7 －861457 61457-+ 二、1.D 2.B 3.B 4.D三、1.解：a =5,b =2,c =－1∴Δ=b 2－4ac =4+4×5×1=24＞0∴x 1·2=56110242±-=±-∴x 1=561,5612--=+-x 2.解：a =6,b =13,c =6∴Δ=b 2－4ac =169－4×6×6=25＞0 ∴x 1·2=12513122513±-=±- ∴x 1=－23,x 2=－32 3.解：整理，得：x 2+6x +2=0∴a =1,b =6,c =2∴Δ=b 2－4ac =36－4×1×2=28＞0 ∴x 1·2=2286±-=－3±7 ∴x 1=－3+7,x 2=－3－7四、解：若A =13，即4x 2+2x －1=3x 2－2 整理，得x 2+2x +1=0∴(x +1)2=0,∴x 1=x 2=－1∴当x =－1时，A =13.。
2.3用公式法解一元二次方程(第2课时)-北师大版九年级数学上册教学案
北师大版数学九年级上册第二章第3节用公式法解一元二次方程（第2课时）导学案【教学目标】1．理解一元二次方程根的判别式；2．不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等．教学重点：一元二次方程根的判别式教学难点：理解一元二次方程根的判别式【教学过程】[知识回顾：]一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是：x ＝－b ±b 2－4ac 2a(其中b 2―4ac ≥0)． 这个公式成立的条件是：b 2―4ac ≥0．那么，有没有b 2―4ac ＜0的一元二次方程呢？如果有，这样的方程的解的情况又是怎样的？[问题探究：]对于方程x 2－2x ＋3＝0，有a ＝1，b ＝－2，c ＝3，得b 2―4ac ＝(－2) 2―4×1×3＝－8＜0,不满足b 2―4ac ≥0的条件，所以该方程不能用求根公式求解．事实上，将方程x 2－2x ＝―3，配方，得x 2－2x ＋1＝―3＋1，即(x －1) 2＝－2．∵x 取任何实数时，总有左边＝(x －1) 2≥0,而右边＝－2＜0,∴x 取任何实数时，都不能使(x －1) 2＝－2成立，即方程(x －1) 2＝－2无实数根．也就是方程x 2－2x ＋3＝0无实数根．[归纳总结，得出结论：]对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，(1) 当b 2―4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，（x ＝－b ±b 2－4ac 2a） (2) 当b 2―4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根，（x 1＝x 2＝－b 2a） (3) 当b 2―4ac ＜0时，方程无实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可以由b 2―4ac 来判定．我们把b 2―4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用“△”（读：delta ）来表示．[例1]不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x 2＋5＝7x ； (2) 4x (x －1)＋1＝0； (3) (x ＋1)(4x ＋1)＝2x ．[跟踪练习1]1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 5x 2＋x ＝7； (2) 25x 2＋20x ＋4＝0； (3) x 2－2x ＋3=0．[例2]若关于x的一元二次方程(k－1) x 2＋2x－2＝0有两个不相等实数根，求k的取值范围．[跟踪练习2]1．关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m≥1C．m≤1D．m＞12．关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定3．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________．4．已知关于x的一元二次方程kx2－2(k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；5．关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有两个实数根，求k的取值范围；[本课知识、方法总结：]1．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作：△＝b2－4ac，(1)当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；即x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b―b2－4ac2a；(2)当△＝0时，方程有两个相等的实数根；即x1＝x2＝－b2a．(3)当△＜0时，方程无实数根．反过来也成立．[拓展延伸：]1．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏总长40m．(1) 鸡场的面积能达到180m2吗？(2) 鸡场的面积能达到200m2吗？(3) 鸡场的面积能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．（提示：设平行于墙的一边为x m）答案例1（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根；[跟踪练习1]1．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程有两个不相等的实数根；例2 解：根据题意，得⎩⎨⎧△＝4－4×(－2)×(k －1)＞0k －1≠0 解得k ＞12且k ≠1． [跟踪练习2]1．D2．A3．k ＜－1144．k 的取值范围是k ＞－13且k ≠0． 5．k 的取值范围是k ≥32且k ≠2． [拓展延伸：]1．解：设平行于墙的一边长为x 米，则垂直于墙的一边长为40－x 2米，鸡场的面积为x ·40－x 2平方米． （1）当x ·40－x 2＝180时，解得 x 1＝20－210，x 2＝20＋210（不合题意，舍去）．∴鸡场的面积能达到180m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为（20－210）米，垂直于墙的一边长为（10＋2010）米．（2）当x ·40－x 2＝200时，解得 x 1＝x 2＝20．∴鸡场的面积能达到200m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为20米，垂直于墙的一边长为10米．（3）当x ·40－x 2＝250时，整理，得 x 2－40x ＋500＝0．∵△＝1600－4×1×500＜0，∴该方程没有实数根．∴鸡场的面积不能达到250m 2．。
北师大版九年级数学上册第二章2.3用公式法解一元二次方程(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用物理抛物线运动的例子来演示一元二次方程的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是常数，且a≠0。它是解决许多现实问题的有力工具，尤其在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何使用公式法解决实际问题中的一元二次方程。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.教学难点
-求根公式中各个参数的代入和计算过程，尤其是根号内判别式的计算；
-理解并应用根的判别式Δ来判断根的性质，包括Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况；
-在实际问题中，如何将问题转化为标准的一元二次方程形式，以便应用求根公式；
-对于系数a、b、c为分数或小数时，如何进行精确计算。
举例：在解决一元二次方程2x² - 5x + 3 = 0时，学生可能会在计算判别式Δ时出错，或者在将分数系数化简为整数时遇到困难。教师需要针对性地解释和演示如何进行这些计算，以及如何避免常见的计算错误。
北师版数学九上第二章 3用公式法求解一元二次方程(共2课时53页)
2×1
2
即
x1 = 9，x2 = -2.
例 解方程 ： （1）x2 -7x -18 = 0； （2）4x2 + 1 = 4x.
解：（2）将原方程化为一般形式，得 4x2-4x + 1 = 0.
这里 a = 4，b = -4，c = 1.
∵ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0，
∴
x
(9) 22
17 = 9 17 ，
4
2. 用公式法解下列方程：【选自教材P43 随堂练习】 （1）2x2 -9x + 8 = 0；（2）9x2 + 6x + 1 = 0 ；
（3）16x2 + 8x = 3； （4） x(x-3) + 5 = 0 .
解：（2）a = 9，b = 6，c = 1.
达标检测
1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：【选自教材P43 随堂练习】 （1）2x2 + 5 = 7x ； （2）4x(x-1) + 3 = 0 ； （3）4 ( y2 + 0.09 ) = 2.4y . （2）将方程化成一般形式：4x2 -4x + 3 = 0； ⊿ = b2 -4ac =(-4)2 -4×4×3 = -24 < 0 方程没有实数根.
b2 4ac 4a 2
(x
+
b 2a
)2
b2 4ac 4a 2
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 当b2 - 4ac ≥ 0 时，
b2 4ac 4a 2
是一个非负数，此时两边开平方，得
x+ b 2a
b2 4ac 4a 2
b b2 4ac x
2a
九年级数学教案--2.3用公式法求解一元二次方程(2)
导学案年级：九年级 上册第二章一元二次方程 第3节用公式法求解一元二次方程（2）学习目标：1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b 2－4ac 对根的情况的判断作用2、能用b 2－4ac 的值判别一元二次方程根的情况预习案课前导学：1. 议一议：一元二次方程ax 2 + bx+c ＝０（ａ≠０）在什么情况下有实数根？在什么情况下没有实数根？尝试练习1.写出求根公式：2.用公式法解一元二次方程 ：（1） x 2-2x =1 （2）4y 2+12y+9=0学习案知识点拨一元二次方程ax 2 + bx+c ＝０（ａ≠０）在求解时， 起着重要的作用，我们可以根据 的值的符号来判断的根的情况，因此，我们把 24b ac -叫做___________________，通常用符号“ （读作delta ，它是希腊字母）”来表示，即 =24b ac -(1)()22004ax bx c a b ac ++=≠-在一元二次方程中，△＝若△＞0 则方程______________________若△ =0 则方程________________若△＜0则方程_______________________（2）()22004ax bx c a b ac ++=≠-在一元二次方程中，△＝若方程有两个不相等的实数根，则__________若方程有两个相等的实数根，则___________若方程没有实数根，则____________课内训练1、不解方程判别下列方程根的情况：（1） x2+3x-1 =0 （2）2y2-3y+4=02、k取什么值时，方程x2－kx +4=0有两个相等的实数根？反馈案基础训练1、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定3下列方程中，没有实数根的方程式（）A.x2=9B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=04、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5、若方程2610-+=有实数根，则k的范围是_____________________。
用公式法解一元二次方程说课稿
2.3用公式法解一元二次方程说课稿今天我说课的内容是北师大版九年级数学上册第二章《2.3用公式法解一元二次方程》。
我主要从教材分析、教法分析、过程分析、板书设计四个方面对本节课作如下说明.一、教材分析（一）教材的地位和作用“一元二次方程的解法”是初中代数的方程中的一个重要内容之一，是在学完一元一次方程、因式分解、数的开方、以及前三种因式分解法、直接开方法、配方法解一元二次方程的基础上，掌握用求根公式解一元二次方程，是配方法和开平方两个知识的综合运用和升华。
通过本节课的教学使学生明确配方法是解方程的通法，同时会根据题目选择合适的方法解一元二次方程。
一元二次方程的解法也是今后学习二次函数和一元二次不等式的基础。
（二）教学目标知识技能方面：理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法解一元二次方程。
数学思考方面：通过求根公式的推导过程进一步使学生熟练掌握配方法，培养学生数学推理的严密性和逻辑性以及由特殊到一般的数学思想。
解决问题方面：结合用公式法解一元二次方程的练习，培养学生快速准确的运算能力和运用公式解决实际问题的能力。
情感态度方面：让学生体验到所有的方程都可以用公式法解决，感受到公式的对称美、简洁美，渗透分类的思想；公式的引入培养学生寻求简便方法的探索精神和创新意识。
（三）教学重、难点重点：掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤；会熟练用公式法解一元二次方程。
难点：理解求根公式的推导过程和判别式二、教学法分析教法：本节课采用引导发现式的自主探究式与交流讨论结合的方法；在教学中由旧知识引导探究一般化问题的形式展开，利用学生已有的知识、多交流、主动参与到教学活动中来。
学法：让学生学会善于观察、分析讨论和分类归纳的方法，提出问题后，鼓励学生通过分析、探索、尝试解决问题的方法，铜锁亲自尝试，使学生的思维能力得到培养。
三、过程分析本节课的教学设计成以下六个环节：复习导入——呈现问题——例题讲解——巩固练习——课时小结——布置作业。
九年级数学上册第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程第2课时课件新版北师大版
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
第二课时
一块矩形菜地的面积是120 m2,如果它的长减少2 m,那么菜地就 变成正方形,则原菜地的长是 12 m.
12345
1.把一个小球以20 m/s的速度竖直向上抛出,它在空中的高度h(m)
与运动时间t(s)满足关系式h=20t-5t2,当h=20时,小球的运动时间为
()
A.20 s
B.2 s
解:设垂直于墙的一边长为x m,得 x(58-2x)=200. 解得x1=25,x2=4. 则平行于墙的另一边长为8 m或50 m. 答:矩形的长为25 m,宽为8 m或矩形的长为50 m,宽为4 m.
关闭
答案
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
九年级数学 用公式法求解一元二次方程》(共21张PPT)
2、解下列方程: (1) x2-2x－8＝0； (2) 9x2＋6x＝8； (3) (2x-1)(x-2) =-1;
1.x1 2; x2 4.
2.x1
2 3
;
x2
4 3
.
3.x1
1;
x2
3. 2
3、不解方程判断下列方程根的情况:
（1）2x2+5=7x
（2）4x（x-1)+3=0
次项系数绝对值一半的平方；
x
b
2
2a
b2 4ac 4a2 .
4.开方:根据平方根意 义,方程两边开平方
当b2 4ac 0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
结论：
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac ≥0时，它的根是：ac＜0时，原方程无解． 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式， 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
【例1】解方程：x2-7x-18=0．
【解析】这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x
7
121 21
7
11 2
,
即：x1=9, x2= -2．
【例2】解方程： 4x2 1 4x
【解析】化简为一般式得
4x2 4x 1 0
这里 a=4, b= -4 , c= 1.
∵b2 - 4ac=( )42 - 4×4×1=0,
2.3用公式法求解一元二次方程
b 4ac ＞0
2
时，方程有两个不相等的实数根。 时，方程有两个相等
b 4ac ＜0
2
所以，我们把b2-4ac叫做一元二次方程 根的判别式，通常用“△”表示。
分组分享活动三: 课堂检测
独立完成：p43. 随堂练习1. 2.
分组分享活动四:小结与收获
北师大版九年级上册第二章
3.用公式法求解一元二次方程
学习目标
1.通过合作探究，得出一元二次方程的求根 公式，并能用公式法熟练解一元二次方程。
2.在探究的过程中总结出如何判断一元二次 方程根的情况。
你能说出用配方法解一元二次方 程的基本步骤和注意事项吗？
所有的一元二次方程都可以用配 方法求解吗？
分组分享活动一:新知探究
先独立完成，再与小组内同学交流你探究过程中存在的问题。
你能用配方法解一元二次方程： ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
结论：
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac≥0时，它的根是：
b b 4ac x 2a
2
当b2-4ac＜0时，原方程无实数解． 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，
通过本节课的学习，你有哪些收获？
作业：p43. 习题2.5 1. 2.
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
分组分享活动二:探究与应用
先独立完成，然后与正确答案进行对比，并总结方法。
【例1】用公式法解方程：
（1）x2-7x-18=0． 谁能说出用公式法 解一元二次方程的 一般步骤？
（2）4x2+1=4x．
（3）x2-2x+3=0．
你还有哪些发现？
北师大版数学九年级上册 用公式法求解一元二次方程课件(共25张)
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m （m+1）=0． ∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x=0是此方程的一个根， ∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0， ∴m=0或m=-1， ∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9m2+7m-5=3m2+3m+5， 把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5； 把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．
0(a≠0)没有实数根．
练习
参考答案:
1.用公式法解下列方程.
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
2.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三 角形的三边长.
B
A
C
课堂练习
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的 实数根的方程是( A )
x2＝
1－ 2
5
x2＝1－
6 2
.
探究新知
知识模块一 探索一元二次方程的求根公式 (一)自主探究
1.你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
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北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》第2课时示范公开课教学设计
第二章一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第2课时一、教学目标1.通过对学校荒地改造方案的设计，体会用一元二次方程解决实际问题的重要性.2.学会建立一元二次方程模型解决有关面积的问题.3.在解决问题的过程中进一步熟练用公式法解一元二次方程.4.能从题意中分析具体问题情境，发展学生逻辑推理核心素养能力.二、教学重难点重点：分析各图形面积之间的关系，找出等量关系，建立方程模型.难点：能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，对方程的解进行恰当的取舍.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计想一想，你会怎么设计这片荒地？看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？小明的设计方案：如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.解：设小路的宽为x m, 根据题意得：即x2- 14x + 24 = 0.解方程得x1 = 2 , x2 = 12.将x =12 不符合题意舍去.所以小路的宽为2m.结论：小明的这样设计是可行的，但是结果不能取小路的宽为12m.小亮的设计方案：如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？解：设扇形半径为 x m, 根据题意得：216122x ⨯π=， 即 πx 2= 96.解方程得 x 1 =96 5.5≈π，x 2 =96-π(舍去). 所以扇形半径约为5.5m. 结论：小亮的设计方案是可行的. 小颖的设计方案：如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.问题：你能帮小颖计算一下图中x 吗？ 解：设小路的宽为 x m, 根据题意得：()()161216122x x ⨯--= 即 x 2 - 28x + 96 = 0. 解方程得x 1 = 4 , x 2 = 24, x =24 不符合题意舍去. 所以小路的宽为4m.结论：小颖的设计方案是可行的. 【延伸】思考：你还有其他的设计方案吗？ 预设：其他的设计方案：其他的设计方案不止这4种，可以充分调动学生的参与性，只要合理即可.并让学生试着自己验证这些方案的合理性？【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例如图,在一块长为92m ,宽为60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为885m2的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？分析：动画演示：设水渠宽为x m，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为(92 – 2x )m, 宽(60 -x)m.解：设水渠的宽应挖x m .(92-2x)(60 -x)= 6×885教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.在一幅长90 cm、宽40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？2.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25 m)，另三边用木栏围成，木栏长40 m.(1)鸡场的面积能达到180 m2吗？能达到200 m2吗？(2)鸡场的面积能达到250 m2吗？3.如图，圆柱的高为 15 cm ，全面积(也称表面积) 为 200 π cm 2，那么圆柱底面半径为多少？答案：1.解:设金色纸边的宽度是 x cm ．()()409090240272%x x ⨯=++ 解得x 1＝-70(舍去)，x 2＝5 所以，金色纸边的宽度是 5cm ． 2.解: (1)设鸡场的宽为x m ．由题意，得40 - 2x > 0，40 - 2x ≤ 25， 解得：7.5 ≤ x ＜ 20．当鸡场的面积为180 m 2时，列方程得：x (40-2x )＝180， 解得()121010,1010x x =+=-舍去， 即鸡场宽为 (1010+) m 时，鸡场面积达到 180 m 2．当鸡场的面积为200 m 2时，列方程得： x (40-2x )＝200，解得 x 1＝x 2＝10．即鸡场宽为 10 m 时，鸡场面积达到 200 m 2． (2)当鸡场的面积为250 m 2时，列方程得：x (40-2x )＝250，方程无解． 即鸡场面积达不到 250 m 2． 3.解: 设圆柱底面半径为 r cm ．2πr 2＋15×2πr ＝ 200π 解得 r 1＝-20(舍去)，r 2＝5． 所以，圆柱底面半径为 5 cm ．思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第45页题2.6 第4题。
9年级数学北师大版上册课件第2章《用公式法求解一元二次方程》
新知导入
一元二次方程的一般形式是：
ax2＋bx＋c = 0(a≠0)
【思考】如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那 么这个根是不是可以普遍适用呢？
新知讲解
你能用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)吗？
方程的两边同除以a，得
移项，得x2
+
b a
x
=___-__ca______
x2 +b x+ c =0 aa
配方法：
x2-2x+3=0 x2-2x=-3
x2-2x+1=-3+1 （x-1）2=-2 ∵不论x为何值，（x-1）2都 不能为负数，∴此方程无解。
公式法： 解：已知a=1，b=-2，c=3. ∵b2-4ac=(-2)2-4×1×3
=-8<0
你能发现什么？
新知讲解
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac<0时，它的根的情 况是怎样的？
∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0
∴ x = -（- 4）± 0 = 1 24 2
即x1=x2=
1 2
新知讲解
公式法解方程的步骤
1.变形:化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断:若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
根，即
x1＝－b＋ 2ba2－4ac，x2＝－b－ 2ba2－4ac；
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等实数根，
即
x1＝x2＝－2ba；
九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题练习2(
九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题练习2（新版）新人教版◆随堂检测1、长方形的长比宽多4cm ，面积为60cm 2，则它的周长为________．2、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块宽的3倍，宽比第一块的长少2米，已知第二块木板的面积比第一块大1082米，这两块木板的长和宽分别是（ ）A 、第一块木板长18米，宽9米，第二块木板长27米，宽16米B 、第一块木板长12米，宽6米，第二块木板长18米，宽10米C 、第一块木板长9米，宽4.5m ，第二块木板长13.5m ，宽7米D 、以上都不对3、从正方形铁片，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，求原来的正方形铁片的面积是多少？4、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．（点拨：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．）•◆典例分析如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ B C A Q P解:◆课下作业 ●拓展提高1、矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2、如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD 的周长为（ ） A、4+ B、12+、2+ D、212++3、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），•另三边用木栏围成，木栏长40m ． （1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 2吗？（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？4、某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，•上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？图② 图①A DC EB（2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？(分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m.)●体验中考1、在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）A 、213014000x x +-=B 、2653500x x +-=C 、213014000x x --=D 、2653500x x --=2、如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）A 、1米B 、1.5米C 、2米D 、2.5米3、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共化了多少元？●挑战能力1.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m ），另三边用木栏围成，木栏长35m 。
九年级数学人教版(上册)第2课时 用公式法解一元二次方程
(1)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”ax2＋ 2cx＋b＝0 必有 实数根．
解：证明：由题意，得 Δ＝( 2c)2－4ab＝2c2－4ab.
∵a2＋b2＝c2， ∴2c2－4ab＝2(a2＋b2)－4ab＝2(a－b)2
≥0，即 Δ≥0.
∴关于 x 的“勾系一元二次方程”ax2＋ 2cx＋b＝0 必有实数 根．
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28.
x＝4±2×328，
x1＝2＋3
7，x2＝2－3
7 .
(4)x(x－4)＝2－8x. 解：x2＋4x－2＝0， a＝1，b＝4，c＝－2，
Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24.
x＝－42±×1 24， x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6.
Δ＝b2－4ac＝(－13)2－4×6×6＝25.
x＝132±×625＝131±25， x1＝32，x2＝23.
(3)3x2－(x＋2)2＋2x＝0. 解：原方程可化为 2x2－2x－4＝0， 即 x2－x－2＝0. a＝1，b＝－1，c＝－2，
Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－2)＝9.
x＝12±×19＝1±23， x1＝2，x2＝－1.
(2)写出此题正确的解答过程．
解：方程化为一般形式，得 x2－5x－1＝0. ∵a＝1，b＝－5，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×1×(－1)＝29.
∴x＝5±2
29 .
∴x1＝5＋2
29，x2＝5－2
29 .
5．已知 α 是一元二次方程 x2－x－1＝0 较大的根，则下列对 α
的值估计正确的是( B )
1－ 17 的值为 2 ．
8．用公式法解下列方程： (1)2x(x＋ 2)＋1＝0. 解：原方程可化为 2x2＋2 2x＋1＝0. a＝2，b＝2 2，c＝1，
北师大版九年级数学上册用公式法求解一元二次方程第2课时课件
(1)若此时花圃的面积刚好为45 m2，求此时花圃的长 BC 和宽 AB ； 解：(1)设花圃的宽 AB 为 x 米，则长 BC 为(22－3 x ＋2)米. 根据题意，可得(22－3 x ＋2) x ＝45， 解得 x1＝3， x2＝5， 当 AB ＝3时， BC ＝15＞14，不符合题意，舍去； 当 AB ＝5时， BC ＝9，满足题意. 答：花圃的长 BC 为9米，宽 AB 为5米.
123
第2课时 公式法的实际应用
知识梳理 课时学业质量评价
3. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为14米)， 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃 ABCD ，为了方便出入，在建造篱 笆花圃时，在 BC 上用其他材料做了宽为1米的两扇小门.
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第2课时 公式法的实际应用
知识梳理 课时学业质量评价
第2课时 公式法的实际应用
知识梳理 课时学业质量评价
1. 用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形.设矩形的长为
x cm，则可列方程为( B )
A. x (20＋ x )＝64
B. x (20－ x )＝64
C. x (40＋ x )＝64
D. x (40－ x )＝64
123
第2课时 公式法的实际应用
图3
当堂训练
解：根据题意，得 (16-x)(12-x)=12 ×16×12 ，
或
16
x＋（12－
x
）
x=
1 2
×16×12
，
或12
x＋（16－
x
）
x=
1 2
×16×12
，
或
16
x＋12
x-x2=
北师版数学九年级上册 用公式法求解一元二次方程
∴方程有两个实数根．
能力提升：
在等腰△ABC 中，三边分别为 a，b，c，其中 a = 5， 若关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实 数根，求△ABC 的周长. 解：因为关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 − b = 0 有两个 相等的实数根，
∵ b2 - 4ac = 72 – 4 × 1× (-18 ) = 121 ＞ 0，
∴ x 7 121 7 11.
21
2
即 x1 = -9，x2 = 2 .
2. 解方程 (x - 2) (1 - 3x) = 6. 解：去括号，得 x - 2 - 3x2 + 6x = 6.
化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0. 这里 a = 3，b = - 7，c = 8， ∴ b2 - 4ac = ( - 7 )2 - 4×3×8 = 49 - 96
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法求解一元二次方程
复习引入
1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
一、移常数项；
二、配方[配上
一次项系数 2
2]；
三、写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )；
四、直接开平方法解方程.
2.如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0 ?
（3）x2 − x + 1 = 0，a = 1，b = −1，c = 1， ∴Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1×1 = −3 ＜ 0. ∴方程无实数根．
用公式法求解一元二次方程(第2课时)课件15张北师大版九年级上册数学
合作探究
变式训练 如图，某小区计划在长32米，宽20米的矩形场地 ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AD平行，一条 与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为570平方米，问 小路应为多宽？
合作探究
解:设小路宽为x米，则小路总面积为20x＋20x＋32x－2·x2 ＝32×20－570，整理，得2x2－72x＋70＝0，
由题意得x2＋(10－x)2＝58 . 解得x1＝3，x2＝7. 4×3＝12，4×7＝28. 所以小林应把绳子剪成 12 cm和28 cm的两段.
合作探究
(2)假设能围成.由(1)得x2＋(10－x)2＝48. 化简得x2－10x＋26＝0. 因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0 ，所以此方程没 有实数根， 所以小峰的说法是对的.
预习导学
如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原 空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2 的矩形空地，则原正方形空地的边长是( A )
A.7 m
B.8 m
C.9 m
D.10 m
合作探究
如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条 同样宽的道路，余下部分作为耕地.若耕地面积需要551平方米， 则修建的路宽应为 1 米.
合作探究
变式训练 小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么 剪？
(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于 48 cm2”.他的说法对吗？请说明理由.
合作探究
解:(1)设其中一个正方形的边长为 x cm ，则另一个正方形 的边长为(10－x)cm.
北师版初中数学九年级上册精品教学课件 第2章一元二次方程 第2课时用公式法求解一元二次方程的实际应用
解方程,得 x1=6,x2=10(不合题意,舍去).
5
5
则 2x=3,3x=2.
5
5
3
2
故每个横、竖彩条的宽度分别为 cm, cm.
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【方法归纳】
列一元二次方程解答面积问题,一般需用面积公式作为等量关系来列方程,
关键是正确地用含未知数的代数式来表示边长.如果图形的面积不易直接
求得,可以利用本题中的“平移法”或“割补法”,将分散的图形集中在一起,组
10
则每个竖向彩条的宽为 3x cm,AB=(20-6x)cm,AD=(30-4x)cm(0<x< ),
所以矩形 ABCD 的面积为(20-6x)(30-4x)=24x2-260x+600 0 < <
根据题意,得
24x2-260x+600=
3
10
3
.
1
1- 3 ×20×30.
整理,得 6x2-65x+50=0.
A.500元
B.600元
C.700元
D.800元
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2.如图,矩形ABCD的面积是28,边AB的长比AD的长大3,则AD的长是
4
.
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3.如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为
400米2的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?
解 设AB=x米,根据题意,得x(100-4x)=400,
整理得x2-25x+100=0,解得x1=20,x2=5.
当AB=20米时,BC=20米;
当AB=5米时,BC=80米>25米,舍去.
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第2课时公式法的实际应用知识点公式法在实际生活中的应用
1．在一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原正方形铁皮的边长为()
A．10 cm B．13 cm C．14 cm D．16 cm
2．如图2－3－2所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19 m)，另外三边利用学校现有总长38 m的铁栏围成．
(1)若围成的自行车车棚的面积为180 m2，试求出自行车车棚的长和宽．
(2)能围成面积为200 m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
图2－3－2
1
2x < 4x－4，
3．当x满足不等式组{（x－6）)时，方程x2－2x－5＝0的根是()
1 1
（x－6）>
3 2
A．1± 6 B. 6－1 C．1－6 D．1＋6
4．一幅长20 cm、宽12 cm的图案如图2－3－3所示，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为3∶2.设竖彩条的宽度为x cm.
(1)求图案中三条彩条所占的面积；
2
(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
5
图2－3－3
5．在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上建造一座花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．
图2－3－4
2
(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的知识说明理由；
(2)你还有其他的设计方案吗？请在图2－3－5中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．
图2－3－5
3
1．D
2．解：(1)设AB＝x m，则BC＝(38－2x)m，
根据题意列方程，得
x(38－2x)＝180，
解得x1＝10，x2＝9.
当x＝10时，38－2x＝18；
当x＝9时，38－2x＝20，而可利用的墙长为19 m，不合题意，舍去．
答：若围成的自行车车棚的面积为180 m2，则自行车车棚的长和宽分别为18 m，10 m.
(2)不能．理由：根据题意列方程，得x(38－2x)＝200，
整理，得x2－19x＋100＝0，
Δ＝b2－4ac＝(－19)2－4×100＝－39＜0，
故此方程没有实数根．
因此不能围成面积为200 m2的自行车车棚．
3．D
3
4．解：(1)根据题意，可知横彩条的宽度为x cm.
2
3 3
∴图案中三条彩条所占的面积为20×x＋2×12×x－2×x×x＝(－3x2＋54x)cm2.
2 2
2
(2)根据题意，得－3x2＋54x＝×20×12.
5
整理，得x2－18x＋32＝0，
解得x1＝2，x2＝16(不合题意，舍去)．
3 ∴x
＝3.
2
答：横彩条的宽度为3 cm，竖彩条的宽度为2 cm.
5．解：(1)不符合．
4
理由：设符合条件的小路的宽度均为x m，
1 根据题
意，得(16－2x)(12－2x)＝×16×12，
2
解得x1＝2，x2＝12(不合题意，舍去)，∴x＝2.
∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m.
(2)答案不唯一，如图：
左图中取上边的中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半；右图中有横、竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4 m时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半．
5。