4.2一次函数和正比例函数

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2023学年北师大版数学八年级上同步考点训练4-2 一次函数与正比例函数(能力提升)(含详解)

专题4.2 一次函数与正比例函数（能力提升）（原卷版）一、选择题。

1．（2022春•南关区校级月考）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则k的值为（）A．3B．﹣3C．3或﹣3D．k的值不确定2．（2022春•勃利县期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝3．（2021春•南通期中）如图，一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分，则剩余木板的面积（空白部分）y（m2）与x（m）的函数关系式为（0≤x＜5）（）A．y＝10﹣x B．y＝5x C．y＝2x D．y＝﹣2x+104．（2021春•防城区月考）在①y＝﹣8x；②y＝﹣；③y＝+1；④y＝﹣8x2+6；⑤y＝﹣0.5x﹣1中，一次函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2022•市南区校级二模）若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（）A．（2，0）B．（0，3）C．（4，0）D．（2，5）6．（2022春•长葛市期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20B．x＝25C．x＝20或25D．x＝﹣207．（2021•蕉岭县模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+b（m，b均为常数）与正比例函数y＝nx（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程mx＝nx﹣b的解为（）A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝1D．x＝﹣18．（2021秋•霍邱县期中）在下列函数关系中：①y＝kx，②y＝x，③y＝x2﹣（x﹣1）x，④y＝x2+1，⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有（）A．3个B．2个C．4个D．5个9．（2021春•普陀区校级期中）下列函数中，一次函数是（）A．B．y＝﹣2xC．y＝x2+2D．y＝mx+n（m，n是常数）10．（2021秋•碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（1，2），C（5，2），直线l经过点A，它将△ABC分成面积相等的两部分，则直线l的表达式为（）A．y＝﹣2x+6B．y＝﹣2x+8C．y＝2x+8D．y＝﹣x+6二、填空题。

八年级数学上册4.2一次函数与正比例函数教案新版北师大版0726319【教案】

课题：4.2一次函数与正比例函数教学目标：1．理解一次函数和正比例函数的概念；能根据所给条件写出简单的一次函数关系式；2．经历一般规律的探索过程，在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心；经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力；3．体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.教学重点与难点：重点：理解一次函数和正比例函数的概念.难点：能根据所给条件写出简单的一次函数关系式，发展学生的抽象思维能力.课前准备：多媒体课件．教学过程：一、创设情境，引入新课身边的数学：选择哪类收费方式？枣庄移动通信公司推出两种收费标准：A类收费标准：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计.B类收费标准：没有月租费，但通话费按0.25元/min计.1．写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式.2．如果每月平均通话时间为300min，你会选择哪类收费方式？处理方式：提示学生应分别写出A、B两类应缴费用与通话时间之间的关系式.对于问题2学生完成现在还有些难度，教师可只提出问题不做解释，从而引出本节课内容.设计意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了学生熟悉的情景即复习旧知识，又为学习新知识作好铺垫.【板书课题：4.2一次函数与正比例函数】二、自主探究，合作学习活动1：根据所给条件写出简单的一次函数关系式.（多媒体展示）1．某弹簧的自然长度为3cm,在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y 增加0.5cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg 、2kg 、3kg 、4kg 、5kg 时的弹簧的长度,并填入下表:(2)你能写出y 与x 之间的关系式吗?处理方式：学生理解题意，填写表格，写出函数关系式，并进行展示答案。

教师巡视，指导学生解决问题，并对个别学生辅导.2．某辆汽车油箱中原有汽油60L,汽车每行驶50km 耗油6L. （1）完成下表:（2）你能写出耗油量y （L ）与汽车行驶路程x （km ）之间的关系式吗? （3）你能写出油箱剩余油量z （L ）与汽车行驶路程x （km ）之间的关系式吗? 处理方式：让学生独立思考理解题意，填写表格，并写出函数关系式，小组交流后选代表分享收获.教师巡视学生解决问题情况，并对个别学生指导.设计意图：从弹簧的长度、汽车油箱中的耗油量这些实际问题情景出发,使学生亲身参与探索发现，主动的获取知识和技能，并通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.活动2：一次函数的概念.（多媒体展示）请同学们仔细观察这几个关系式：30.5y x =+、325y x =，36025z x =-，它们都有什么共同点？处理方式：积极观察，小组交流，寻找共同点，并在教师的点拨下归纳一次函数的概念. 2．一次函数与正比例函数之间有什么关系？处理方式：积极讨论，明晰联系与区别，代表发言.设计意图：从具体问题的函数关系式出发，恰当地设疑立障, 引导学生互相讨论,大胆猜想,勇于探索,鼓励学生积极思维,总结出一次函数的定义，从而提高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力.一般地,若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b (k ,b 为常数,k ≠0)的形式,则称y 是x 的一次函数(x 是自变量). 特别地，当b =0时，称y 是x 的正比例函数，即表示为 y =kx (k 为常数，k ≠0)的形式.活动3：小试身手（多媒体展示）1.在函数(1)3y x=，(2)5y x =-，(3)4y x =-，(4)223y x x =-，(5)y =(6)12y x =-中是一次函数的是_______,是正比例函数的是_______. 2.若函数(63)44y m x n =++-是关于x 一次函数,则m ，n 应满足的条件是_______；若是正比例函数，则m ，n 应满足的条件是_______.3．当k =_______时，函数28(3)5ky k x-=+-是关于x 的一次函数.处理方式：学生积极主动的解题，完成后进行代表讲解，校正答案.教师巡视学生的做题情况，对个别学习辅导；并对学生的讲解及时点评、鼓励，强调一次函数与正比例函数的概念的理解.尤其强调第（3）题的讲评,学生易忘记k +3≠0的条件,而错误的将答案写成±3.设计意图：通过此环节，了解学生对知识的掌握情况和对知识的应用能力，以便查缺补漏，也使以后师生互动具有针对性.三、范例解析，深化提高例1 写出下列各题中y 与x 之间的关系式,并判断:y 是否为x 的一次函数?是否为正比例函数? （多媒体展示）(1)汽车以60km /h 的速度匀速行驶,行驶路程y (km)与行驶时间x (h)之间的关系； (2)圆的面积y (cm²)与它的半径x ( cm)之间的关系；(3)某水池有水15m³,现打开进水管进水，进水速度为5m³ /h，x h 后这个水池内有水为y m³.处理方式：认真分析题意，列出函数表达式，通过小组交流讨论，学生口答，师生共同评析.例2：我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人某月收入3860元，他应缴个人工资、薪金所得税为（3860-3500）×3%=10.8（元）.（1）当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y （元）与月收入x （元）之间的关系式；（2）某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？（3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？处理方式：学生认真分析题意，列出函数表达式，解答问题，然后小组交流讨论，学生展示答案，进行讲评.教师巡视学生的做题情况，对个别学习辅导；并对学生的讲解及时点评、鼓励. 在例2中的(1)中,易错解为y=3%x.让学生应仔细审题，找准等量关系；(2)、(3)两问是给定自变量的值，求函数数值，这类问题的实质就是解方程.设计意图：通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概念,根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式,让学生体会数学的广泛应用,发展学生的抽象思维能力.四、学以致用，我能我行1．某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费为y元.y是x的一次函数吗?是正比例函数吗？2．甲、乙两地相距100千米，现有一列火车从乙地出发，以80千米/时的速度向丙地行驶.设x（时）表示火车行驶的时间，y（千米）表示火车与甲地的距离，`试写出y与x 之间的关系式子.处理方式：两名学生板演完成，其余同学自主完成.教师巡视学生的答题情况，然后对学生的讲解及时点评、鼓励.设计意图：培养学生运用数学知识解决问题的能力，并从中体验到成功的欣慰与快乐.五、归纳总结，知识沉淀师：这节课大家通过自己的努力和小组的合作，相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写下来。

初中数学知识点精讲精析一次函数与正比例函数

4.2 一次函数与正比例函数学习目标1.理解一次函数和正比例函数的概念。

2.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。

3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力。

知识详解1．一次函数的定义若两个变量x，y之间的关系式可以表示成y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x是自变量）．一次函数的条件：函数是一次函数必须符合下列两个条件：（1）关于两个变量x，y的次数是1；（2）必须是关于两个变量的整式．2．正比例函数的定义对于一次函数y＝kx＋b，当b＝0，即y＝kx（k为常数，且k≠0）时，我们称y是x 的正比例函数．一次函数与正比例函数的关系：需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b＝0，且k≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数．正比例函数的判断：要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y＝kx＋b（k≠0）的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y＝kx（k≠0）的形式．3．根据条件列一次函数关系式列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式．如何列函数关系式：列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量．4．一次函数与正比例函数的联系与区别若两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数，特别地当b＝0时，称y是x的正比例函数，显然正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况．区别：①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；②正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限，但一次函数一般不经过原点，通常情况下要经过三个象限．联系：①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b＝0时，一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例．5．用一次函数解决实际问题函数与我们的生活息息相关，生活中的许多问题可以通过函数得以解决，如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式．写解析式，定自变量的范围：通常确定一个函数，不仅要确定这个函数的解析式，还要确定这个函数的自变量的取值范围．【典型例题】例1. 鲁老师乘车从学校到省城去参加会议，学校距省城200千米，车行驶的平均速度为80千米/时．x小时后鲁老师距省城y千米，则y与x之间的函数关系式为（）A．y=80x-200B．y=-80x-200C．y=80x+200D．y=-80x+200【答案】D【解析】依题意有y=200-80x=-80x+200．例2. 十堰市五堰商场为了增加销售额，推出“五月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡五月份在该商场一次性购物超过50元以上者，超过50元的部分按9折优惠”．在大酬宾活动中，李明到该商场为单位购买单价为30元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（）A．y=27x（x＞2）B．y=27x+5（x＞2）C．y=27x+50（x＞2）D．y=27x+45（x＞2）【答案】B【解析】∵x＞2，∴销售价超过50元，超过部分为30x-50，∴y=50+（30x-50）×0.9=27x+5（x＞2）例3. 等腰三角形顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式及x的取值范围是（）A．y=100-2x（0＜x≤90）B．y=180-x（0＜x＜90）C．y=180-2x（0＜x＜90）D．y=180-x（0＜x≤90）【答案】C【解析】因为三角形内角和为180°，两底角相等，所以可知顶角的度数y与底角的度数x 之间的函数关系式为：y=-2x+180；x取值范围是：0＜x＜90．【误区警示】易错点1：根据条件列一次函数关系式1.小明每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，为了不迟到他加快了速度，以每分45米的速度行走完剩下的路程，设该天小明上学行走t分时行走的路程为S米，则当l5＜t≤25时，s与t之间的函数关系是（）A．s=30tB．s=900-30tC．S=45t-225D．s=45t-675【答案】C【解析】当l5＜t ≤25时，小明的速度为每分45米，从而可得出s 与t 的关系式易错点2：结合实际理解自变量2. 一天老王骑摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油9 L ，行驶了1 h 后发现已耗油1.5 L.(1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求出自变量t 的取值范围；(2)如果摩托车以60 km/h 的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为3 L 时，老王行驶了多少千米？【答案】(1)Q ＝9－1.5t ，由9－1.5t ＝0，得到t ＝6，故t 的取值范围为0≤t≤6.(2)由3＝9－1.5t ，得t ＝4.于是s ＝vt ＝60×4＝240(km)．故老王行驶了240 km.【解析】根据油箱中原有油9 L,1 h 耗油1.5 L ，则t h 耗油1.5t L ，得到行驶t h 后油箱中剩余油量为(9－1.5t)L ，由此可得出函数关系式．【综合提升】针对训练1. 从A 地向B 地打长途电话，通话3分以内收费2.4元，3分后每增加通话时间1分加收1元，若通话时间为x （单位：分，x ≥3且x 为整数），则通话费用y （单位：元）与通话时间x （分）函数关系式是（）A ．y=0.8x （x ≥3且x 为整数）B ．y=2.4+x （x ≥3且x 为整数）C ．y=x-0.6（x ≥3且x 为整数）D ．y=x （x ≥3且x 为整数）2. 如果y 是x 的正比例函数，x 是z 的一次函数，那么y 是z 的（）A ．正比例函数B ．一次函数C ．正比例函数或一次函数D ．不构成函数关系3. 下列问题中，变量y 与x 成一次函数关系的是（）A ．路程一定时，时间y 和速度x 的关系B ．长10米的铁丝折成长为y ，宽为x 的长方形C ．圆的面积y 与它的半径xD ．斜边长为5的直角三角形的直角边y 和x1.【答案】C【解析】由题意得，通话时间不超过3分钟收费均为2.4元，超过3分钟后，每分钟收取1元，x ≥3且x 为整数，故可得函数关系式为：y=2.4+（x-3）=x-0.6（x ≥3且x 为整数）．2.【答案】C【解析】根据正比例函数的定义，得y=kx ，根据一次函数的定义，得x= 1k z+b ，代入即可得出y 与z 的函数关系．3.【答案】B【解析】一次函数y=kx+b 的定义条件是：k 、b 为常数，k ≠0，自变量次数为1．课外拓展巴霍姆之死19世纪俄国文学巨匠列夫·托尔斯泰在《一个人需要很多土地吗？》这本小册子中叙述了这样一个故事。

4.2 一次函数与正比例函数

3
3
y是x的正比例函数．
（来自《点拨》）
知3－练
1 下列说法中正确的是( D )
A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数不是一次函数 C．不是正比例函数就不是一次函数 D．不是一次函数就不是正比例函数
2 若函数y＝(6＋3m)x＋n－4是一次函数，则满足__m__≠_－__2_；若该函数是正比例函数，则满足___m_≠_－___2_且__n_＝__4__；若m＝1，n＝－2，则函数关系式是___y_＝__9_x_－___6___．
（来自教材）
知3－讲
例知4识已点知函数y＝(m－1)x＋1－3m.
(1)当m为何值时，y是x的一次函数？
(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？
解：(1) 根据一次函数的定义可得：m－1≠0，所以
m≠1，即当m≠1时，y是x的一次函数．
(2) 根据正比例函数的定义可得：m－1≠0且
1－3m＝0，所以m＝ 1 ，即当m＝ 1 时，
知3－讲
知识点
例3 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断： y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程 y( km )与行驶时间x (h)之间的关系；
(2)圆的面积y（cm2)与它的半径x (cm)之间的关系；
(3)某水池有水15 m3,现打开进水管进水，进水速度为5 m3/h, x h后这个水池内有水ym3.
式．
1.必做: 完成教材P82，习题T1-T5 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
谢谢欣赏
总结
知1－讲
根据一次函数定义求待定字母的值时，要注意： (1) 函数关系式是自变量的一次式，若含有一次以上

4.2 一次函数与正比例函数北师大版八年级数学上册同步练习1及答案

新版北师大版八年级数学上册第4章《一次函数》同步练习及答案—4.2一次函数与正比例函数（1）
专题一次函数探究题
1.用m根火柴可以拼成如图1所示的x个正方形，还可以拼成如图2所示的2y个正方形，那么用含x的代数式表示y，得______________.
2. 将长为38cm、宽为5cm的长方形白纸按如图所示的方法黏合在一起，黏合部分的白纸宽
为2cm．
（1）求5张白纸黏合的长度；
（2）设x张白纸黏合后的总长为ycm，写出y与x的函数关系式（标明自变量x的取值范围）；
（3）用这些白纸黏合的总长能否为362cm？并说明理由．
参考答案：
1．y=x-【解析】由图1可知：一个正方形有4条边，两个正方形有4+3条边，
∴m=4+3（x-1）=1+3x;由图2可知：一组图形有7条边，两组图形有7+5条边，
∴m=7+5(y-1)=2+5y，所以1+3x=2+5y,即y=x-．
2．解：（1）5张白纸黏合，需黏合4次，重叠2×4=8cm．所以总长为38×5-8=182（cm）.（2）x张白纸黏合，需黏合（x-1）次，重叠2（x-1）cm，所以总长y=38x-2（x-1）=36x+2（x≥1，且x为整数）.
（3）能.当y=362时，得到36x+2=362，解得x=10,即10张白纸黏合的总长为362cm．3．解：（1）由图可以看出图形的周长=上下底的和+两腰长，∴l=3n+2.
（2）n=11时，图形周长为3×11+2=35．。

八年级数学上册_第四章4.2一次函数和正比例函数

表示成 y=kx+b（ k,b为常数，且 k 0 ）的形式，那么称 y是x 的一次函数。（x是自变量， y是因变量） 2．当k=0 时，称 y是x 正比例函数。 3.注意：（1）自变量的指数为一次；
（2）含自变量的式子为整式；
（ 3） k 0 。
拓展提升
当m、n为何值时，函数
y (5m 6) x (m n)
3．把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少x cm，宽不变，矩形面积y（cm2）随x的变化而变化，你能写出 y与x之间的关系式吗？试看看能否写出x的取值范围。
y (10 x) 5 5
y 50 5 x
0 x 10
x0
x
10 x
10
x 10
y=kx+b(k≠0) 解析式(关系式) k,b为常数，k是系数观察以上关系式有何共同特征？ y=3 + 0.5x （1）左边是因变量y，右边是一个常数加 y=0.12x 上或减去一个关于自变量x的整式； y=60-0.12x （2）自变量和因变量的次数都是一次的。 y=50-5x 一般地，如果两个变量x,y 间的函数关系式，可以表示成 y=kx+b（ k,b为常数，且 k≠0 ）的形式，那么称 y是x 的一次函数。（x是自变量, y是因变量）特别地，当b=0 时，称 y是x 正比例函数。记为：y=kx
3 例1、在函数（） 1 y （ , 2）y x 5, （3）y 4 x（ , 4）y 2 x 2 3x, x 1 (2)(3) (5) y x 2,(6) y (7) y=x2 其中是一次函数的是： ___________ 。 x2 (3) 是正比例函数的是 ____________

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教学设计

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教学设计一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要介绍了正比例函数和一次函数的定义、性质和应用。

本节课的内容是学生进一步学习函数的基础，对于学生理解函数的概念、掌握函数的性质、提高解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了比例和方程，对比例的概念和方程的解法有一定的了解。

但他们对函数的概念和性质还不够清晰，特别是对于函数图像的理解和应用。

因此，在教学过程中，需要引导学生将已有的知识与函数内容相结合，通过实例和练习让学生感受函数的意义和应用。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解正比例函数和一次函数的定义，掌握它们的性质和图象特征，能运用一次函数和正比例函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例和问题，培养学生的观察、分析和解决问题的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神，使学生感受数学与生活的密切联系。

四. 教学重难点1.重点：正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征。

2.难点：一次函数和正比例函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题情境，引导学生观察、分析和解决问题；通过案例教学，让学生感受数学与生活的联系；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关案例和问题，以便在教学中进行案例分析和问题讨论。

2.准备一次函数和正比例函数的图象和性质的PPT，以便进行讲解和展示。

3.准备一些练习题，以便进行课堂练习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？让学生思考和讨论，引导学生认识到函数是数学建模的基础。

2.呈现（10分钟）介绍正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征，通过PPT展示相关图象，让学生直观地感受函数的性质。

4.2 一次函数与正比例函数(课件)北师大版数学八年级上册

所以y＝x＋2 1是一次函数，但不是正比例函数.
(3)y＝3x2－x(3x－2)
知1－练
解：因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，
所以它是一次函数，也是正比例函数.
(4)
y=－
3 x
因为 y=－ 3x中，－ 3x不是整式，所以它不是一次函数 .
知1－练
方法点拨：判断函数是否为一次函数的方法 : 先看函数关系式是否是整式的形式，再将函数关系式进行恒等变形，然后看它是否符合一次函数关系式 y=k x+b(k ， b 为常数， k ≠ 0)的结构特征 .
为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0).
特别提醒
知1－讲
◆一次函数y＝kx＋b(k ≠0) 的结构特征：
(1)k ≠ 0；
(2)自变量x的次数是1；
(3) 常数项b可以是任意实数.
◆函数是一次函数⇔函数关系式为y＝kx＋b(k，b
是常数，k ≠ 0).
知1－练
例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？
2. 一次函数与正比例函数的关系
知1－讲
(1)正比例函数y＝kx(k 为常数， k ≠ 0)是一次函数y＝kx＋
b(k， b 为常数， k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数
都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
(2)若已知y与x成正比例，则可设函数关系式为y＝kx
(k ≠ 0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数关系式
知2－练
(3)一棵树现在高 50 cm，每个月长高 2 cm， x 个月后这棵树的高度为 y( cm) .
解：由题意，得 y=2x+50，所以 y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数 .

北师大版八上数学4.2一次函数与正比例函数知识精讲

知识点总结变量和常量在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。

函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

自变量取值范围的确定方法1、自变量的取值范围必须使解析式有意义。

当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数;当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数;当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数。

2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。

函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点);第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。

函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

正比例函数一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.正比例函数图象和性质一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点和(1，k)的直线.我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大;当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小.(1)解析式：y=kx(k是常数，k≠0)(2)必过点：(0，0)、(1，k)(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限;k<0时，图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴;|k|越小，越接近x轴正比例函数解析式的确定——待定系数法1.设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)2.把已知条件(一个点的坐标)代入解析式，得到关于k的一元一次方程3.解方程，求出系数k4.将k的值代回解析式一次函数一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0)函数，叫做一次函数. 当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的图象及性质一次函数y=kx+b的图象是经过(0，b)和(-b/k，0)两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移)(1)解析式：y=kx+b(k、b是常数，k≠0)(2)必过点：(0，b)和(-b/k，0)(3)走向：k>0，图像从左往右斜向上;k<0，图像从左往右斜向下；b>0，交y轴正半轴；b=0，交原点；b<0，交y轴负半轴；k>0，b>0;<=>直线经过第一、二、三象限k>0，b<0;<=>直线经过第一、三、四象限K<0，b>0;<=>直线经过第一、二、四象限K<0，b<0;<=>直线经过第二、三、四象限(4)增减性： k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小.(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴;|k|越小，图象越接近于x轴.(6)图像的平移：当b>0时，将直线y=kx图象向上平移b个单位;当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系(1)两直线平行：k1=k2且b1≠b2(2)两直线相交：k1≠k2(3)两直线重合：k1=k2且b1=b2确定一次函数解析式的方法(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式;(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程;(3)解方程得出未知系数的值;(4)将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.一次函数建模函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题. 建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线. 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义. 从图象中获取的信息一般是：(1)从函数图象的形状判定函数的类型;(2)从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义. 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.用函数观点看方程(组)与不等式一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围.一次函数与二元一次方程组(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-(a/b)x++c/b的图象相同.(2)二元一次方程组a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2;的解可以看作是两个一次函数y=(a1/b1)x+c1/b1和y=-(a2/b2)x+c2/b2的图像交点。

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》说课稿

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》说课稿一. 教材分析《一次函数与正比例函数》这一节的内容，主要出现在北师大版八年级数学上册第4章第2节。

本节课的主要内容是让学生了解一次函数与正比例函数的定义、性质及其应用。

在教材中，通过丰富的实例，引导学生从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，进而探究其性质。

教材还提供了大量的练习题，以便学生巩固所学知识。

二. 学情分析在八年级的学生中，他们已经具备了一定的代数基础，对于图形的认识也有一定的了解。

但是，对于一次函数与正比例函数的定义、性质及其应用，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，引导他们从具体的问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，并通过大量的练习，使学生能够熟练地运用所学知识解决实际问题。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生了解一次函数与正比例函数的定义、性质，能够运用一次函数与正比例函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例，引导学生从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，培养学生的抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极向上的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数与正比例函数的定义、性质。

2.教学难点：一次函数与正比例函数的图像特征，以及如何从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实例，如商品价格与数量的关系，引导学生思考如何用数学模型来描述这种关系。

2.新课导入：介绍一次函数与正比例函数的定义，并通过实例使学生理解一次函数与正比例函数的关系。

3.性质探究：引导学生通过观察、实验、总结等方法，探究一次函数与正比例函数的性质。

4.应用拓展：提供一些实际问题，让学生运用一次函数与正比例函数的知识解决问题。

4.2一次函数与正比例函数

八年级数学（上）导学案班级姓名学号4.2 一次函数与正比例函数学习目标：1、理解一次函数和正比例函数的概念.2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.学习重点：理解一次函数和正比例函数的概念.学习难点：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.一、复述回顾：（二人小组完成）1.函数的定义是什么？2.函数有哪几种表示方法？二、设问导读：阅读课本P79-80 完成下列问题：1.通过填表发现：当不挂物体时，弹簧长度为___厘米,所挂物体为x千克，弹簧就伸长厘米，则弹簧总长为原长加伸长的长度y=_______________.2.模仿上面方法完成做一做，并进行小组交流. 在这两个例子中自变量和因变量分别是什么？函数关系式在形式上有哪些共同特征？3. 一次函数，正比例函数的概念有什么区别和联系？表达式有什么特征？有何限制条件？4.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？说明理由.①y=-8x ②y=x8-③y=5x2+6 ④y=-0.5x-15.阅读例1、例2，并与同学交流.思考：①例2（1）中的等量关系是___________________.②例2（3）中应先判断月收入的范围，如何判断？三、自学检测：1. 写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）小红去商店买笔记本，每个笔记本2.5元，小红所付买本款y（元）与买本的个数x（个）之间的关系，当x=4时，应付多钱？当y=20时，x的值？解：（2）等腰三角形的周长是18，若腰长为y，底边长为x，则y与x之间的关系.并求出x的取值范围.答：_____（上节出现过此类型题，删除）（3）有一个长为120米，宽为110米的矩形场地准备扩建，使长增加x米，宽增加y米，且使矩形的周长为500米，则y与x的关系，当x=8时，y的值？当y=10时，x的值？解：（4）已删除原题2. 对于函数()422-+-=mxmy中，x是自变量，当m_____时，y是x的一次函数；当=m______时，y是x的正比例函数.四、巩固训练：1.以下函数：①y=2x2+x+1 ②y=2πr ③y=x1④y=(2－1)x ⑤y=－(a+x)(a是常数)⑥s=2t是一次函数的是______，是正比例函数的是_____.2.当k=____时,()kxky k++=21是一次函数.3.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（）（与1可重新组合，删除此题）A.2xy-= B.xy2-=C.21--=xy D.xxy12-=4.下列各关系中，符合正比例关系的是（）A.正方形的周长P和它的一边长aB.距离s一定时，速度v和时间tC.圆的面积S和圆的半径rD.正方体的体积V和棱长a5. 如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P，设∠A=x°,∠BPC=y°,当∠A变化时，求y与x之间的函数关系式，并判断y是不是x的一次函数，指出自变量的取值范围.6. 甲乙两地相距500千米，汽车从甲地以每小时80千米的速度开往乙地.（1）写出汽车离乙地的距离s （千米）与开出时间t(小时)之间的函数关系式，并指出是不是一次函数；（2）写出自变量的取值范围；（3）汽车从甲地开出多久，离乙地为100千米?五、拓展延伸：若函数y=(3m －2)x 2+(1－2m)x(m 为常数)是正比例函数，则m 的值为（）A.m ＞32B.m ＜21 C.m=32 D.m=21 六、我的收获（反思静悟、体验成功）。

八年级数学北师大版上册第4章《4.2 一次函数与正比例函数》教学设计教案

八年级的学生好奇、好动、好表现，应尽量让学生发表自己的想法。

因此本节课既要考虑学生的认知思维特点，也要积极关注学生的已有知识储备。

就现阶段的学生而言，已经掌握了两个变量的关系，能列出变量间的关系表达式，但是借助生活情境，正确将实际问题抽象为函数模型是有一定困难的，因此需要积极引导学生学习好的数学方法，进一步体会变量和函数之间的关系更多说课稿因此在教学过程中教师要充分借助具体情境来激发学生学习兴趣的同时设置问题来引发学生思考，类比观察、探究规律，巧妙地建立概念。

四、教学过程一、情境导入复习上节课学习的函数,教师提出问题:(1)什么是函数?(2)函数有哪些表示方式?(3)在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢? 意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识。

二、探索过程（一）活动一某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.(1)完成下表:0 50 100 150 200 300汽车行驶路程x/km油箱剩余汽油量y/L(2)你能写出x与y之间的关系式吗?(3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢?答案 (1) 100、91、82、73、64、46；(2) x与y之间的关系式为；kx b (,k b 为常数,当0b 时,则汽车油箱中的余油量从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.效果：从两个具体问题的函数表达式出发，互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立障总结出一次函数的定义，3x ,(2)5x ,(3)4x ,(4)223x x , 2x (6)12y x 中是一次函数的是_____,是正比例函数的是意图：对本节知识进行巩固练习。

效果：学生基本能交好的独立完成练习题,收到了较好的教学效果。

4.2 一次函数与正比例函数北师大版数学八年级上册素养提升练习(含解析)

第四章　一次函数2　一次函数与正比例函数基础过关全练知识点1　一次函数与正比例函数的概念1.(2022安徽无为月考)若y关于x的函数y=(a-4)x+b是正比例函数,则a,b应满足的条件是( ) A.a≠4且b≠0 B.a≠-4且b=0C.a=4且b=0D.a≠4且b=02.(2021甘肃兰州期中)下列选项中的y是x的正比例函数的是( )A.正方形的周长y(厘米)和它的边长x(厘米)B.圆的面积y(平方厘米)与半径x(厘米)C.立方体的体积y(立方厘米)和它的棱长x(厘米)D.一棵树现在的高度为60厘米,每个月长高3厘米,x个月后这棵树的高度为y厘米3.已知函数y=(m-3)x m2―8+3是关于x的一次函数,则m= .4.(2021安徽安庆期中)已知函数y=(m-2)x+|m|-2.(1)当m满足什么条件时,y=(m-2)x+|m|-2是一次函数?(2)当m满足什么条件时,y=(m-2)x+|m|-2是正比例函数?5.(2021河北唐山路北期末)已知y+3与x+2成正比例,且当x=3时,y=7.(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)当x=-1时,求y的值;(3)当y=0时,求x的值.知识点2　确定实际问题中的一次函数关系式6.【教材变式·P82T1】张明开车自驾游的时间和路程如下表:时间/时12345路程/千米80160240320400他开车行驶的路程s(千米)与时间t(时)的函数关系式是 ,它 (填“是”或“不是”)正比例函数.7.【新独家原创】某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是3元,现在每桶水的销售价格为8元,如果用x(单位:桶)表示每天的销售量,用y(元)表示每天的利润(利润=总销售额-固定成本-售出水的成本).(1)试写出y与x的函数关系式;(2)因房租比原来便宜,现在固定成本减少了2%,每桶水的进价增加了2元,求此时y与x的函数关系式.8.【教材变式·P96T3】某公司要印制产品宣传材料,有两家印刷厂,甲厂提出:400份以上的部分,每份材料收0.6元印制费,少于或等于400份免费,但要收800元制版费;乙厂提出:每份材料收1.6元印制费,不收制版费.()(1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的函数解析式;(2)印制多少份宣传材料时,两家印刷厂的印刷费用相同?(3)印制800份宣传材料时,选择哪家印刷厂比较合算?能力提升全练9.(2023河北保定乐凯中学期中,6,★☆☆)下列函数中,是正比例函数的是( ) A.y=3x B.y=x2C.y=6 D.y=2x-3x10.(2023广东深圳宝安新安中学期中,20,★★☆)某种子商店销售玉米种子,为惠民促销,推出两种销售方案供采购者选择.方案一:每千克种子价格为4元,无论购买多少均不打折;方案二:购买3千克以内(含3千克)的价格为每千克5元,若一次性购买超过3千克的,则超过3千克部分的种子价格打7折.()(1)请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x(千克)(x>3)和付款金额y(元)之间的函数关系式.(2)王伯伯要买20千克玉米种子,选哪种方案合适?说明理由.(3)李叔叔花36元,最多可买多少千克玉米种子?素养探究全练11.【模型观念】(2021河南郑州四十七中期中)如图,已知长方形ABCD 中,AB=CD=16,BC=DA=24,E为CD边的中点,P为长方形ABCD边上的动点,动点P以4个单位/秒的速度从点A出发,沿A→B→C→E运动,运动到点E时停止.设点P运动的时间为t秒,△APE的面积为y.(1)当t=2时,y的值是 ,当t=6时,y的值是 ;(2)求出点P的运动过程中,y与t之间的函数关系式.答案全解全析基础过关全练1.D　∵y关于x的函数y=(a-4)x+b是正比例函数,解得a≠4且b=0.故选D.∴a―4≠0,b=0,2.A　A选项的关系式为y=4x,y是x的正比例函数;B选项的关系式为y=πx2,y不是x的正比例函数;C选项的关系式为y=x3,y不是x的正比例函数;D选项的关系式为y=3x+60,y是x的一次函数,不是正比例函数.故选A.3.-3解析　由题意得m2-8=1且m-3≠0,∴m=-3.4.解析　(1)由题意得m-2≠0,解得m≠2.(2)由题意得|m|-2=0,且m-2≠0,解得m=-2.5.解析　(1)设y+3=k(x+2)(k≠0),∵当x=3时,y=7,∴7+3=k(3+2),∴k=2,∴y+3=2x+4,即y=2x+1.(2)当x=-1时,y=-1×2+1=-1.(3)当y=0时,2x+1=0,解得x=-1.26.s=80t;是解析　由路程=时间×速度,得s=80t,是正比例函数.7.解析　(1)y与x的函数关系式为y=8x-3x-200=5x-200.(2)y与x的函数关系式为y=8x-5x-200×(1-2%)=3x-196.8.解析　(1)甲厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的函数解析式为y=800(x≤400),0.6x+560(x>400).乙厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的函数解析式为y=1.6x. (2)根据题意可知,当x≤400时,由800=1.6x得x=500(舍去);当x>400时,由0.6x+560=1.6x得x=560.∴印制560份宣传材料时,两家印刷厂的印刷费用相同.(3)当x=800时,甲厂的收费为y=0.6×800+560=1 040(元).当x=800时,乙厂的收费为y=1.6×800=1 280(元).∵1 280>1 040,∴印制800份宣传材料时,选择甲印刷厂比较合算.能力提升全练9.A10.解析　(1)由题意可得,方案一中,购买的种子数量x(千克)(x>3)和付款金额y(元)之间的函数关系式是y=4x.方案二中,购买的种子数量x(千克)(x>3)和付款金额y(元)之间的函数关系式是y=5×3+5×0.7(x-3)=3.5x+4.5.(2)王伯伯要买20千克玉米种子,选方案二合适.理由:当x =20时,方案一的花费为4×20=80(元),方案二的花费为3.5×20+4.5=74.5(元),∵80>74.5,∴王伯伯要买20千克玉米种子,选方案二合适.(3)当y =36时,方案一可以购买玉米种子的质量为36÷4=9(千克),方案二可以购买玉米种子的质量为(36-4.5)÷3.5=9(千克),即李叔叔花36元,最多可买9千克玉米种子.素养探究全练11.解析　(1)当t =2时,AP =4×2=8,所以△APE 的面积y =12×24×8=96.当t =6时,BP =6×4-AB =24-16=8,所以PC =BC -BP =24-8=16,所以△APE 的面积y =24×16-12×16×8-12×16×8-12×24×8=160.(2)①当0≤t ≤4时,点P 在AB 上(如图1),此时AP =4t ,所以△APE 的面积y =12×4t ×24=48t ;②当4<t ≤10时,点P 在BC 上(如图2),此时BP =4t -16,则PC =24-(4t -16)=40-4t ,所以△APE 的面积y =24×16-12×16×(4t -16)-12×(40-4t )×8-12×24×8=-16t +256;③当10<t ≤12时,点P 在CE 上(如图3),此时PE =48-4t ,所以△APE 的面积y =12(48-4t )×24=-48t +576.综上,y 与t 之间的函数关系式为y =48t (0≤t ≤4),―16t +256(4<t ≤10),―48t +576(10<t ≤12).图1图2图3。

北师大版八年级上册第4.2一次函数与正比例函数(教案)

另外，教学过程中，我对学生们的鼓励和表扬还不够，导致部分学生在面对困难时显得不够自信。在以后的教学中，我要更加关注学生们的情感需求，多给予鼓励和支持，帮助他们建立自信心。
最后，课后我会对今天的课堂教学进行总结，找出不足之处，不断优化教学方法，以提高教学效果。同时，我也会关注学生们的反馈，了解他们在学习过程中的需求和困难，以便更好地调整教学内容和进度。
5.情感与价值观：通过数学知识在实际生活中的应用，让学生体会数学的价值，增强学习数学的兴趣和信心，培养积极向上的学习态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数概念的理解：强调一次函数y=kx+b（k≠0）中，k和b的含义及其对图像的影响，确保学生理解函数表达式中每个参数的核心作用。
-图像与性质的关联：通过分析一次函数的图像，让学生掌握斜率k的正负与图像走势的关系，以及截距b在图像上的表现。
-正比例函数的特殊性：明确正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0的情况，理解其图像始终通过原点的特点。
-函数应用能力的培养：通过实际问题的引入，让学生学会将现实问题抽象为一次函数模型，并运用函数性质解决问题。
举例：讲解一次函数的应用时，可以引用实际案例，如“小明骑自行车旅行，速度恒定，时间为t小时，行程为s公里，建立s与t的函数关系”。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，用尺子和直角坐标系，让学生们手动绘制一次函数的图像。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的斜率k和截距b这两个重点。对于难点部分，我会通过案例和图像来帮助大家理解，比如斜率k如何影响图像的斜率和y值的变化。

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要包括一次函数和正比例函数的定义、性质和图象。

这一部分内容是学生学习函数的基础，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了初中数学的一些基本概念和运算，对于图象和方程有一定的认识。

但是一次函数和正比例函数的概念和性质可能对学生来说较为抽象，需要通过具体例子和实际问题来帮助学生理解和掌握。

三. 教学目标1.理解一次函数和正比例函数的定义和性质。

2.学会绘制一次函数和正比例函数的图象。

3.能够运用一次函数和正比例函数解决实际问题。

四. 教学重难点1.一次函数和正比例函数的定义和性质。

2.绘制一次函数和正比例函数的图象。

3.运用一次函数和正比例函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过实际问题和具体例子引导学生理解和掌握一次函数和正比例函数的概念和性质，通过绘制图象和解决实际问题来巩固知识。

六. 教学准备1.教学PPT或者黑板。

2.教学案例和实际问题。

3.绘图工具，如直尺、圆规等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一次函数和正比例函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？引导学生思考如何用数学模型来解决这个问题。

2.呈现（15分钟）通过PPT或者黑板，呈现一次函数和正比例函数的定义和性质，结合实际例子进行解释和说明。

引导学生积极参与，提出问题和困惑。

3.操练（15分钟）让学生分组合作，通过绘制一次函数和正比例函数的图象来加深对概念和性质的理解。

可以给出一些具体的函数表达式，让学生根据性质来判断图象的形状和位置。

4.巩固（10分钟）通过解决一些实际问题，让学生运用一次函数和正比例函数的知识。

可以设置一些选择题、填空题或者解答题，检查学生对知识的掌握情况。

5.拓展（10分钟）引导学生思考一次函数和正比例函数的应用场景，例如：经济学中的成本和收益模型、物理学中的速度和时间模型等。

一次函数与正比例函数北师大版数学初二上册教案

一次函数与正比例函数北师大版数学初二上册教案一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b，其中x 是自变量，y是因变量。

正比例函数是一次函数的特别形式，即一次函数y=kx+b中，假设b=0，即所谓“y 轴上的截距”为零，那么为正比例函数。

以下是我整理的一次函数与正比例函数北师大版数学初二上册教案，欢送大家借鉴与参考!4.2一次函数与正比例函数：教案二、教学任务分析《一次函数》是义务教育课程标准北师大版试验教科书八年级(上) 第四章《一次函数》的其次节.本节内容支配了1个课时：让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能依据确定信息写出简洁的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点相识现实世界的意识和实力.与原传统教材相比，新教材更注意借助生活中的实际背景，让学生经验一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念;同时，新教材调整了学问的支配依次，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作为一次函数特别状况给出来的.本节课教学目标分析是：(1)理解一次函数和正比例函数的概念;(2)能依据所给条件写出简洁的一次函数表达式.(3)经验一般规律的探究过程，开展学生的抽象思维实力;(4)经验从实际问题中得到函数关系式这一过程，开展学生的数学应用实力.(5)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的亲密联系，激发学生学数学、用数学的爱好.(6)在探究过程中体验胜利的喜悦，树立学习的自信念.本节课教学重点是：理解一次函数和正比例函数的概念.本节课教学难点是：能依据所给条件写出简洁的一次函数表达式,开展学生的抽象思维实力.三、教学过程设计本节课设计了七个环节: 第一环节:复习引入;其次环节：新课讲解并描述;第三环节：稳固练习;第四环节：学问提高;第五环节：反应练习;第六环节：课堂小结;第七环节：布置作业.第一环节：复习引入内容：复习上节课学习的函数,老师提出问题:(1)什么是函数?(2)函数有哪些表示方式?(3)在现实生活中有很多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢?意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的留意力,这里采纳了“复习旧学问,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识.效果：问题(1)(2)学生都能快而准的答复,问题(3)是在一个开放的环境中答复,学生不能很精确的表述出来,可让学生相互补充,也可老师进展补充、完善.通过学生亲身经验了感受函数在生活中的运用过程,初步形成数学建模的思想,感受胜利的喜悦,充分表达了本节课的情感、看法目标.假设课堂气氛比拟沉闷,也可由老师先举例,让学生来列函数表达式,激发学生的学习激情,再让学生举例:(如可补充如下习题)①假设某学生骑自行车的速度为10km/h,那么他骑自行车用的时间t(h)和所走过的路程s之间的关系是什么?②上网费用是2元/小时,那么上网t(小时),费用y(元)的关系式是什么?《4.2一次函数与正比例函数》同步测试1.以下变量之间的改变关系不是一次函数的是( )A.圆的周长和它的半径B.圆的面积和它的半径C.2x+y=5中的y和xD.正方形的周长C和它的边长a2.以下说法中不正确的选项是( )A.一次函数不必须是正比例函数B.不是一次函数就必须不是正比例函数C.正比例函数是特别的一次函数D.不是正比例函数就必须不是一次函数3.假设函数y=x+3+b是正比例函数，那么b=____.4.对于函数y=(k-3)x+k+3，当k=____时，它是正比例函数;当k____时，它是一次函数.5.确定一次函数y=2x+1，当x=0时，函数y的值是____.6.把式子3x-y=2写成y=kx+b的形式，那么y= ，其中k=____，b=____.当x=-2时，y=____;当y=0时，x= .7.火车“动车组”以250千米/时的速度行驶，那么行驶的路程s(千米)与行驶时间t(小时)之间的函数关系式是，它是函数.(填“正比例”或“一次”)8.某城市的出租车收费标准如下：3公里内起步价为10元，超过3公里以后，以每公里2.4元记价.假设某人坐出租车行驶x公里，付给司机19.6元，那么x= .9.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过视察可以发觉：第4个图形中，火柴棒有____根，第n个图形中，火柴棒有根，假设用y表示火柴棒的根数，x表示正方形的个数，那么y与x的函数关系式是，y是x的____函数.4.2一次函数与正比例函数：课后练习1.确定一个正比例函数的图象经过点(-2，4)，那么这个正比例函数的表达式是2.确定一次函数y=kx+5的图象经过点(-1，2)，那么k=一次函数与正比例函数北师大版数学初二上册教案。

4.2 一次函数与正比例函数八年级上册数学北师大版

所以当 m=0 时,函数是一次函数.
4.已知函数 y=(3-m)x+2m-4.
（1）当 m 为何值时，函数是正比例函数？
（2）当 m 为何值时，函数是一次函数？
分析：（1）由正比例函数的定义可知：
①3-m≠0；②2m-4=0.
（2）由一次函数的定义可知：3-m≠0.
5.甲乙两地相距 150 公里，张三驾驶私家车从甲地开往乙地，
课堂小结
若两个变量x,y间的对应关系可以表示成 y=kx+b（k，
b 是常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.
一
次
例函
函数
数与
正
比
定义
一次函数y=kx+b（k，b 是常数，k≠0），当 b=0 时，
变为 y=kx，这时称y是x正比例函数.
①寻找等量关系（有时直接将公式当做等量关
列一次函
数关系式
寻找等量关系（有时直接将公式当做等量关
系).
用字母表示自变量和因变量，根据等量关系
列出等式.
将等式变形，写成一次函数的一般形式.
随堂练习
1.拖拉机开始工作时，油箱中有油 36 L，如果每小时耗油4 L，
那么油箱中剩余油量 y L 与工作时间 x h 之间的函数表达式
是 y = 36- 4x ，自变量 x 的取值范围是 0 ≤ x ≤ 9 ，当 x=4 时，
y=kx+b（k注意：一次函数y=kx+b(k≠0)有三个特征:①k≠0;
②自变量x的次数是1;③常数b可以是任意实数.
知识点二正比例函数：一次函数y=kx+b（k，b 是常数，k≠0），
当 b=0 时，变为 y=kx，这时称y是x正比例函数.

4.2一次函数与正比例函数

收获乐园
1、通过本节课的学习你有哪些收获？
一次函数：y=kx+b(k,b为常数， k≠0 ）
当b=0时
正比例函数: y=kx (k为常数， k≠0 ）
2、你还想知道有关函数的哪些知识？
达标检测
1、下列函数中y是x的一次函数的有 ( （2）（3） )
（2）y 2 - 1x 1 （4）y x 2、等腰三角形的周长18cm，底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的函数关系式为 y=18—2x ，它是一次函数。
（ 1 ）y x 2 5 （3）y -2 x
3、函数y=(m+1)x+(m-2),当m ≠-1 时，它是一次函数，当m= 2 时，它是正比例函数函数，
学以致用
某电信公司手机的B类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分钟交费0.4元. （1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式；（2）某手机用户这个月通话时间为152分，他应缴费多少元？（3）如果该手机用户本月预交了200元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？
布置作业
课本P186 知识技能1、2
拓展作业：从下面两个式子中任选一个设置一个问题情境，使其满足你所选择的函数关系式。（1）y=60x （2）y=120—40x
(2) y是x的函数吗？ (3) 你能写出y与x之间的关系式吗？
y=0.5x+3
汽车中的数学
2.某辆汽车油箱中原有油 60升,汽车每行驶50千米耗油6升.
(1) 完成下表：
汽车行使路程x/千米耗油量y（升）油箱剩余油量Z/升
0 0 60
50 6 54
100 150 200 300 18 12 24 36 48 42 36 24

4.2一次函数和正比例函数

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