4.2.1 直线与圆的位置关系(1)

圆标准方程为x2 ( y 1)2 5
980
圆心到直线的距离为：
直线l与圆C相交
d | 016| 5 5 91 2
直线l与圆C相交
2、直线和圆相切
•C2
d r
0
练习：求圆心在原点， 且与直线 4x 3y 35 0 相切的圆的方程。
解：设圆的方程为 x2 y2 r 2 由直线与圆相切得： r 35 7
由 (a 4)(b 4) 8 得 ab 4a 4b 8
y
BD
. 4
M
2E C
-2 O 2 4 A x -2
SAOM a b 2 (a 4) (b 4) 6 24 (2a64)(b 4) 6
当且仅当 a 4 b 4 即 a b 2 2 4 时， (a 4)(b 4) 8 (SAOM )min 4 2 6 .
即
kx y 2k 1 0. 则
k3
2
1 k2
. B
O P
x
k2 6k 7 0 解得 k 7 或 k 1.
故所求切线方程为：y 1 7( x 2) 或 y 1 ( x 2)
即 7x y 15 0 或 x y 1 0 .
(2) | PC | (1 2)2 (2 1)2 10 ,
解：设所求圆的方程为：
y
(x-1)2+(y-3)2=r2
因为圆C和直线3x-4y-7=0相切
所以圆心C到这条直线的距离等 于半径 r 根据点到直线的距离公式，得
C
M
O
x
r | 31 4 3 7 | 16 .
32 (4)2
5
因此，所求圆的方程是 (x－1)2+(y－3)2 256 .
25
练习3 已知点A(a，0) (a 4)，B(0，b) (b 4)，直线AB与圆
x2 y2 4x 4 y 3 0 相交于C、D 两点，且| CD | 2 .
(1) 求 (a 4)(b 4) 的值；(2) 求线段 AB 中点M的轨迹方程；
(3) 求 AOM 面积的最小值 .
解：(1) 由题意知直线 AB :
x y 1 (a 4，b 4 ) ab
即 bx ay ab 0 (a 4，b 4 )
例1.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，过P作⊙C的切线，
切点为A、B。
（1）直线PA、PB的方程；（2）求过P点⊙C切线的长；
（3）求∠APB；
（4）求以PC为直径的方程；
（5）求直线AB的方程。
y
解：
（1）设过 P 圆的切线方程为：y 1 k( x 2)
C. A
x
即为过圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 上一点 M(x0 , y0) 的切线方程 .
结论：过圆(x－a)2+(y－b)2=r2上一点M(x0 , y0)的切线方程： (x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b) = r 2
特别地，过圆x2+y2=r2上点M(x0 , y0)的切线方程：
y
x0 x + y0 y = r2
(x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
方程特征：突出了圆方程形式上的特点.
__________ 代数特征 .
3. 圆心为(a，b)，半径为r 的圆的参数方程为：
x a r cos
y
b
r
sin
( 为参数）
方程特征：直接体现了圆上点的坐标x、y的间接关系.
4.以M(x1, y1)、 N(x2, y2)为直径端点的圆的方程是: (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0
5.
问题1：直线和圆有几种不同的位置 关系？
问题1：直线和圆有几种不同的位置 关系？
由平面几何知识知，直线与圆 有
•C2
•C2
问题2：已知直线和圆的方程，如何 判断其位置关系？
判断直线与圆位置关系的方法： （1）代数法： 直线l:Ax+By+C=0
圆C:x2+ y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 消去x(或y),得到关于x(或y)的一元二次方程， 利用判别式△确定解的情况，判断直线与圆位置关系：
由中点坐标公式得：x a 0 ，y 0 b
即 a 2x，b 2 y
2
2
将它代入 (a 4)(b 4) 8
得（(2xx24)()(y2y2) 4)4 8 ( x 2，y 2)
即为所求线段AB中点的轨迹方程 .
(3)
SAOM
1 2 | OA | | yM
|
1ab 22
1 ab 4
若直线l的斜率不存在，即l : x 3
A
•C
此时不满足弦长为 4 5
DM • B
设直线l : y 3 k(x 3),即kx y 3k 3 0
圆心到直线距离为 d | 2 3k 3 | 1 k2
(| 2 3k 3 |)2 (2 5)2 25 2k 2 3k 2 0
1 k2
证明：设 P(x，y) 是切线上的任意一点， P(x , y )
连 PC ，则在Rt△PMC中，
M ( x0 , y0 )
CM CP | CM | | CP | cos r 2
( x0 a ，y0 b) ( x a，y b) r 2
C(a , b )
O
∴ ( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2
A
. B
O
x
P
（5） 解 方 程 组(7xx1y)21(5y02)2
2
A
12 ，9 55
x y1 0
( x
1)2
(y
2)2
2
B（0，1）
k AB
9 5
1
12 5
0
1 3
直线AB的方程为 y 1 x 1. 3
即 x 3 y 3 0.
解2： ∵ 以PC为直径的圆过 A、B y
解
方
程
组 x2 ( x
16 9 圆的方程为 x2 y2 49
3、直线和圆相交
直线与圆截得的弦长为l 圆心到直线的距离为d 圆的半径为r
r2 d 2 ( l )2 2
•C A
D B
例2：已知过点M (3,3)的直线l被圆x2 y2 4y 21 0 所截得的弦长为4 5,求直线l方程
解：圆的标准方程为 x2 ( y 2)2 25
① d＜r 直线l与圆C相交；
② d＝r 直线l与圆C相切；
.
③ d＞r 直线l与圆C相离.
例1：已知直线l : 3x y 6 0，圆C : x2 y2 2y 4 0,
判断直线l与圆C的位置关系。
y
解法一：
C.
联立
y 6
x
2
y2
3x 2
y
4
得： 0
解法二：
O
x
x2 3x 2 0
① △＞0 方程有两不等实根 直线l与圆C相交； ② △＝0 方程有两个相等实根 直线l与圆C相切；
③ △＜0 方程无实数根 直线l与圆C相离.
•C2
•C2
•C2
判断直线与圆位置关系的方法：
（2）几何法：直线l: Ax+By+C=0 圆C: (x－a)2 + (y－b)2=r2
利用圆心到直线的距离d与半径r的关系， 判断直线与圆位置关系：
P(x , y )
M ( x0 , y0 )
y
P(x , y )
M ( x0 , y0 )
O
x
C(a , b )
O
x
即 则由题意
即 | k 1 2 2k 1 | 2 k 2 (1)2
故所求切线方程为：7x y 15 0 或 x y 1 0 .
则过切点A、过切点B的切线方程为：
4.2.1 直线与圆的位置关系（1）
圆的方程
1. 圆心为(a，b)，半径为r 的圆的标准方程为：
(x a)2 ( y b)2 r2
方程特征：明确给出了圆的大小（半径）和圆的位置（圆心）. __________ 几何特征 .
2. 圆的一般方程为：x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
当直线过圆心时，弦长 最长， 最大值为2r 10
当CM l时，弦长最短， 最小值为2 25 CM 2 2 15
•C
M•
取值范围为[2 15 ,10]
求证：过圆(x－a)2+(y－b)2=r2上一点M(x0 , y0)的切线方程：
(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b) = r 2 y
PA : (x1 1)(x 1) ( y1 2)( y 2) 2 PB : (x2 1)( x 1) ( y2 2)( y 2) 2
∵ 切线 PA、PB 都过点 P (2，-1)
∴ 有 x1 3y1 3 0
①
x2 3y2 3 0
②
x 3y 3 0
练习2. 求以C(1，3)为圆心，并且和直线 3x－4y－7=0 相切的圆的方程。
例2：已知过点M (3,3)的直线l被圆x2 y2 4y 21 0 所截得的弦长为4 5,求直线l方程
2k 2 3k 2 0
k 1 或k 2
A
2
直线方程为 x 2y 9 0或2x y 3 0
•C DM •
B
思考： 直线l与圆所截得的弦长的取值范围是多少？
思考： 直线l与圆所截得的弦长的取值范围是多少？
y
又由圆: ( x 2)2 ( y 2)2 5，且 | CD | 2 . 知圆心到直线AB的距离 d 2，
BD