52凑微分法(26)

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常微分方程凑微分法

常微分方程凑微分法常微分方程作为数学分析和物理学中非常重要的基础知识，涉及到了一系列的数学理论和方法，其中凑微分法就是其中的一种最常用、最基础的解题技巧。

在本文中，我们将从凑微分法的原理和步骤入手，讲解其具体应用和实现，在实际的数学和物理问题中，通过例题的形式来深入解析凑微分法的精髓和应用。

一、基本原理凑微分法是一种非常简单易懂的解题技巧，其基本思路是通过对微分方程进行一些特定的变换和调整，使得原方程可以化为几个可积的微分表达式，从而达到方便求解的目的。

该方法主要基于微分方程的性质和基本的微积分运算，利用普通微分和降阶的代数运算和技巧，使得原来难以处理的微分方程可以变成一些比较简单的方程，从而可以更加轻松地求解。

具体来说，凑微分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 判定微分方程的阶数和类型，确定需要凑的微分式以及其次数。

2. 通过巧妙的代数运算和微积分操作，将方程中可能的凑微分项进行配对和消去，使得方程变得更加简单。

3. 对更加简单的微分方程进行求解，最终得到原方程的通解或特解。

这三个步骤是凑微分法的核心内容，也是凑微分法能够成功解决大量微分方程问题的关键所在。

二、具体实现在实际的应用中，凑微分法最常用于解决非齐次和高阶微分方程，同时还可以解决一些简单的S型微分方程和变系数微分方程。

下面我们将从不同类型的微分方程出发，介绍凑微分法的具体应用和实现步骤。

1. 非齐次一阶微分方程对于比较简单的一阶非齐次微分方程，凑微分法的应用十分直观和简单，其基本步骤可以概括为：（1）将非齐次方程写成“齐次方程+特解”的形式；（2）找到一个函数v(x)，满足v(x)y’+v’(x)y=p(x)中的v’(x)/v(x)等于齐次方程的解y/h(x)；（3）将v(x)跟上述解h(x)相乘作为新的函数u(x)，得到新的一阶齐次微分方程u'(x)=h(x)；（4）对上述方程求解，得到一阶的齐次解C1，然后将其代入函数u(x)中，得到特解的形式y(x)=C1u(x)+u(x)∫p(x)u^(-2)(x)dx。

凑微分法

（3）不定积分的凑微分法（第一换元法）将引例抽象化，对于具有形如[()]'()f x x dx ϕϕ⎰的不定积分，可利用下面的积分方法：()[()]'()[()]()[()]u x f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ===⎰⎰⎰定理1 设f (u )具有原函数, u =(x )可导, 则有换元公式⎰⎰⎰+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([ϕϕϕϕϕ 其中，'()()F u f u =, 此称为积分形式的不变形，又称为第一换元积分法或凑微分法。

总结：凑微分法的关键是凑成微分'()()x dx d x ϕϕ=的形式，即通过凑成某个函数的微分，进一步的凑成基本积分公式，然后利用基本公式积出来（4）案例讲解例1. 求下列函数的不定积分(1) cos 2xdx ⎰ （一级）(2) 13dx x+⎰（一级）(3) 3(12)x dx -⎰ （一级）解: (1) 11cos 2cos 22cos 22xdx xd x udu ==⎰⎰⎰(令2u x =)11sin sin 222u C x C =+=+注：此题利用凑微分公式122d x dx =，从而凑出了cos sin udu u C =+⎰这个积分公式(2) 1111(3)332dx d x du x x u=+=++⎰⎰⎰(令3u x =+) 11ln ln 322u C x C =+=++注：此题利用凑微分公式(3)dx d x =+，从而凑出了1ln du u C u =+⎰这个积分公式。

凑微分法和分部积分法学习笔记

（3）一般的选择原则：在选择u(x)与v(x)上，一般来说，有如下规律
反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数相乘，将排在前者令为u(x)，排在后者令为v(x)的导数，一般能简化计算。
4 举例
例1 求下列不定积分
(1) xexdx xdex xex exdx xex ex C
2na2
dx (x2 a2)n1
(x2
x a2)2
2nIn
2na2In1
所以有递推关系式：
In1
1 2na2
(x2
x a2)n
2n 1 2na2
In,n
1,2,
特别地有：
I2
(x2
dx a
2
)2
n
1
1 2a2
x2
x a2
1 2a3
arctan x a
C
例4 求下列不定积分：
(1) ln(1 x)dx x t2,t 0 ln(1 t)dt2
因而要求 u(x)v(x)dx比 u(x)v(x)dx的计算简单才有意义
（2）此法常用于计算两类性质不同函数乘积的不定积分，在计算中关键是u(x)与v(x)的选择问题，选择得当，计算将简
化；否则会更复杂，有时甚至无法求出。如 x cosxdx
令u x, dv cos xdx,即v sin x,则有
1 1 u2
du
arctanu a
C
1 a
arctan
x a
C
(5) xex2 dx 1 ex2 dx2 1 eudu
2
2
1 eu C 1 ex2 C
2
2
(6) f (x) f (x)dx f (x)df (x) udu

凑微分法技巧口诀

凑微分法技巧口诀
这三句口诀是：换元必换限，换限不还原，换顺序必化为重积分。

“换元必换限”中限指的是上下限，也就是函数中自变量的取值范围，这句话意思是换了自变量则必须要重新确定自变量的取值范围。

“换限不还原”意思是自变量的取值范围变化了，则原来函数定义就不需要还原了。

“换顺序必化为重积分”指的是在做重积分运算时，如果要交换x,y的计算顺序则必须先化成二重积分在进行换算。

积分运算法则：
一、凑微分法(第一类换元积分)
当被积函数有一部分比较复杂时，可以通过观察把某些函数放到d的后面（放在d后面的函数会发生变化），使得d后面的函数与前面复杂的被积函数具有相似的结构，最后运用基本积分公式将其求出。

二、换元法(第二类换元积分)
当被积函数比较复杂时，可以通过换元的方法从d后面的函数放一部分到前面来，使其更容易积分。

浅析计算不定积分方法之凑微分

浅析计算不定积分方法之凑微分不定积分是高等数学的基本内容和主要内容，该运算是求导运算的逆过程，而定积分的计算主要是用牛顿—莱布尼茨公式，使用牛顿—莱布尼茨公式的前提是找到被积函数的一个原函数。

因此，不定积分是连接微分学和积分学的纽带。

由于不定积分方法的灵活性和积分结果的不确定性，导致很多学员在计算积分的过程中常常觉得很混乱，找不到一个统一的方法进行计算。

不定积分的常规求解方法主要包括利用基本积分公式直接积分、换元积分法和分部积分法，而经常使用的主要是换元积分法和分部积分法，这两种方法的核心是“凑微分”。

换元积分法中的“凑微分”主要体现在第一类换元积分法中，第一类换元积分法的解题思路是首先利用dx x g )(凑成微分形式)(x du ，然后换元令)(x u u =使复合函数转化为基本初等函数后再利用积分公式求积分，求出积分后再换元。

其中最为关键的一步是凑成微分形式)(x du ，也是学员们感到最困难的一步，因为题目中需要有dx x u )(才能凑成微分形式)(x du ，而)(x u 往往不容易看出来，也就无法凑成微分的形式了，这正是凑微分的核心。

由于“凑微分”方式灵活多样，单靠几个常见的凑微分并不能给学生足够的启示，因此我们将其归结为四种方法，以便学生易于掌握。

1、能化成若干个函数的积分，观察各个函数能否凑微分，找出合适的求解如：求解不定积分时⎰⎰=)(ln ln ln x xd dx x x ，因为⎰==udu dx xx d 1)(ln ，这里的x u ln =。

2、不能化成几个函数的乘积若一个不定积分不能直接化成若干个函数的乘积或可以化成若干个函数的乘积但难以计算，则先观察它是否与某一个不定积分基本公式接近，若接近，则依此不定积分基本公式为目标去靠近从而求解。

如：求不定积分⎰+dx x x 2cos 4sin 时，C x x d x x d x dx x x +-=+-=+-=+⎰⎰⎰)2cos arctan(21)2cos ()2cos (1121)(cos cos 41cos 4sin 222 3、能化成几个因式的乘积但难以凑微分若一个不定积分既不能化成若干个函数的乘积或能化成若干个函数的乘积但难以进行凑微分计算，又不与任何一个不定积分的基本公式接近，则可以先利用恒等变形方法进行转化，然后进行相应求解。

凑微分法文档

凑微分法什么是凑微分法凑微分法（Method of Undetermined Coefficients）是一种常见的微分方程求解方法，特别适用于非齐次线性微分方程。

凑微分法的基本思想是通过猜测一个特解来接近原非齐次方程的解。

这种方法的优点是求解过程相对简单，不需要像变量分离法或常数变易法一样引入任意常数或变量变化。

凭借其简洁的求解过程，凑微分法在得到特解后，可以通过一般解和特解的线性组合求得原方程的通解。

凑微分法的步骤凑微分法的求解步骤如下：1.首先，我们需要根据原方程的形式，猜测一个特解。

特解的形式通常与原方程中的非齐次项相关。

2.将猜测的特解代入原方程，计算出特解的导数、二阶导数等。

3.将特解及其相应导数的表达式带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧。

4.整理右侧的项，得到一个关于未知系数的线性方程。

5.解线性方程得到特解中的未知系数。

6.将特解及一般解的线性组合作为原方程的通解。

凑微分法的示例下面通过一个具体的例子来说明凑微分法的应用。

假设我们要求解非齐次二阶线性微分方程：$$y'' + 3y' + 2y = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$首先我们需要猜测一个特解。

由于原方程右侧包含e−x和$\\sin(2x)$两种函数，我们可以假设特解的形式为$Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)$，其中A、B和C为待定常数。

接下来，我们对特解进行求导，得到：$$y' = -Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) - 2C\\sin(2x)$$$$y'' = Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)$$将特解及其导数带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧，得到：$$(Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)) + 3(-Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) -2C\\sin(2x)) + 2(Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)) = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$ 简化上述方程，整理得到未知系数的线性方程：$$(6A - 2B - 4C)e^{-x} + (3B + 4C)\\sin(2x) - (3A - 2B + 4C)\\cos(2x) = 4e^{-x}+ 5\\sin(2x)$$通过比较左右两侧的系数，我们可以得到未知系数的值：6A−2B−4C=43B+4C=53A−2B+4C=0解上述线性方程组，可以得到A=1，B=1，C=1。

换元积分法凑微分法技巧口诀

换元积分法凑微分法技巧口诀口诀：积上赋下运求解，善用逆向乘商除。

解：1.积分上面简单命题里，带出逆向乘法必有意。

自组合，又亲友，高减低时带出因。

2.赋值上下平衡求解时，联想这个句子里的技巧。

权值求索，留得住，运算借力，还可贷。

平行存在，齐上齐，一正一反相和谐。

3.指数微分积从排列组合开始寻找。

高中低排列贴心插，将其转变成函数之角。

角度求微分来忆流程，再路的幂函数忽略之。

自系换象再组合，离差量，可微变量转换行。

分离变别，连个随探，结果放回。

4.仿佛乘法是底流商，换变逆中处处知。

凑微被乘逆组合右，积术与法要做足。

积图积念以求穷，不数欠陪先乘租。

小心忽略，忆积正负思约法。

5.乘商除，逆中知，积上残下，道理一样。

忆微分里进位，乘积和商都会遇见。

乘子子，或子积，一次一次寻存项目。

求中奇凑，乘一因，再乘租。

遇倒成因，谨记他，乘租逆变这个窍。

商子参差，新逆也寻找。

倒插错了，另寻道。

这个口诀基本概括了换元积分法常见的技巧和注意事项，我们一起来解释一下每句话的含义。

1.积分上面简单命题里，带出逆向乘法必有意。

自组合，又亲友，高减低时带出因。

这句意味着如果积分的被积函数是简单函数或者有特定的形式，可以尝试使用逆向乘法进行换元。

对于一些高次方乘以低次方的多项式，可以尝试进行自组合或者因式分解。

对于一些可以和其他因子合并的函数，如指数函数，也可以尝试进行组合。

2.赋值上下平衡求解时，联想这个句子里的技巧。

权值求索，留得住，运算借力，还可贷。

平行存在，齐上齐，一正一反相和谐。

这句话是在讲述当变量的范围发生变化时，需要将新的变量和旧的变量进行对应，使上下限也能够对应。

同时，要注意到权值的变化，运算的差异以及一些对称关系。

3.指数微分积从排列组合开始寻找。

高中低排列贴心插，将其转变成函数之角。

角度求微分来忆流程，再路的幂函数忽略之。

自系换象再组合，离差量，可微变量转换行。

分离变别，连个随探，结果放回。

这句话是在讲述将指数函数转化为其他函数的技巧。

不定积分之凑微分法

第二讲Ⅰ 授课题目（不定积分）：§5.2 凑微分法 Ⅱ 教学目的与要求：熟练掌握基本的不定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原则。

Ⅲ 教学重点与难点：重点：凑微分法，变量代换法。

难点：凑微分法, 变量代换法。

Ⅳ 讲授内容：一、凑微分法利用基本性质和基本积分公式，可以解决一些较为简单的函数的积分问题。

但是，很多函数是经过复合而成的，无法直接利用公式。

来看下面几个例子。

例1 求dx x ⎰2cos这个不定积分不直接在表.5.1中，因为x 2cos 不是x 2sin 的导数。

解因为x x 2cos 2)2(sin ='而xx 2cos )2sin 21(='，所以cx xdx +=⎰2sin 212cos 。

例2 求dxx ⎰)4sin(3解)4sin(3))4cos(43()4sin())4cos(41()4sin(4])4[cos(x x x x x x =-⇔='-⇔-='按照等价命题 cx dx x +-=⎰)4cos(43)4sin(3例3 求dtt ⎰+12这样想：)(12+='t ，联想到 )(u='，再想到uu u uuu ='⇔=='=')32(2323)()(323233如果12+=t u12))12(31(122)12(12))12(32(33+='+⇔+='+⋅+='+t t t t t t最后一个等式正是我们想要的。

利用等价命题，就可以得到ct dt t ++=+⎰3)12(3112。

在以上的例子中，基本想法是找F 使F f '=具体做法是利用链法则，按f的具体情况凑出了F 。

这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，或叫换元法（integration by substitution ）例4 求dxx x⎰+212如果我们能想到)1(22'+=x x 和),1()(,)(2x x g u u u f +===那么这个不定积分就可以看作⎰⎰'=+dxx g x g f dx x x)())((122如果F 是f的反导数，根据链法则)())(())((x g x g f x g F dxd '=所以，将u 看作是 21x+，由于 cudu u du u f +==⎰⎰2332)(就可以得到 cx dx x x++=+⎰3222)1(3212还可以通过求导数来验证结果是正确的。

凑微分方法总结

凑微分方法总结
凑微分法，也被称为第一换元法，是一种在积分学中常用的方法。

以下是其一般步骤和注意事项：
1. 识别不定积分中的复合函数部分，尝试将其拆分成基本初等函数。

2. 观察不定积分中的被积函数，尝试将其表示为其他初等函数的导数。

3. 使用初等函数的积分公式，将不定积分转化为容易计算的积分。

凑微分法常见于以下几种情况：
1. 类型一、类型二、类型三的不定积分，这些类型的不定积分可以归纳成特定的形式，当遇到这些形式的不定积分时，可以考虑使用凑微分法。

2. 类型四，应与类型一进行区分，以避免混淆。

3. 类型五，这种情况下的不定积分只有当k为大于1的整数时才适用。

4. 类型六、类型七、类型八，这三种类型是非常常见的，一般通过对数化简来凑微分。

5. 类型九、类型十和类型十一，分别涉及到三角函数、反三角函数和微分关系式的凑微分法。

对于这些特定类型的不定积分，需要记住相应的凑微分公式才能求解。

在运用凑微分法时，需要注意以下几点：
1. 识别被积函数的形式，判断是否适合使用凑微分法。

2. 对于较为复杂的不定积分，可能需要结合其他积分技巧，如变量代换、部分分式分解等，才能成功应用凑微分法。

3. 在使用凑微分法时，需要注意公式的正确性和适用条件，以免出现错误的结果。

4. 对于一些较为特殊的不定积分，可能需要查找特定的凑微分公式或者使用数值方法进行近似计算。

《凑微分法》课件

复合函数与幂函数混合积分
例如，计算积分 $int (x^{2}e^{x})dx$ 时，可以将 $x^{2}e^{x}$ 视为
$frac{d}{dx}(e^{x}x^{2})$ 的微分，从而得到 $e^{x}x^{2}$ 的积分结果。
04
凑微分法的注意事项与技巧
凑微分法的注意事项
观察目标函数形式
凑微分法的数学原理
凑微分法的定义
凑微分法是一种通过观察或变形，将复杂的积分表达式转化为容易计算的积分表达式的技巧。其核心思想是将被积函数进行适当的变形，使其符合某个已知的积分公式的形式，从而简化计算过程。
凑微分法的应用
凑微分法在数学、物理和工程领域中都有广泛的应用。通过凑微分法，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的计算，从而快速得到结果。例如，在求解某些物理问题的过程中，我们经常需要用到凑微分法来计算某个物理量的变化率或累积值。
三角函数凑微分
例如，计算积分 $int sin{x}dx$ 时，可以将 $sin{x}$ 视为 $frac{d}{dx}(cos{x})$ 的微分，从而得到 $-cos{x}$ 的积分结果。
复杂问题的凑微分法实例
多项式与三角函数混合积分
例如，计算积分 $int (x^{2} + sin{x})dx$ 时，可以将 $x^{2}$ 视为 $frac{d}{dx}(x^{3})$ 的微分，将 $sin{x}$ 视为 $frac{d}{dx}(cos{x})$ 的微分，从而得到 $frac{3}{2}x^{2} - cos{x}$ 的积分结果。
微分与积分的互逆关系
微分与积分互为逆运算
微分和积分在数学上是互逆的过程。微分是将函数进行局部线性化，而积分则是求函数与x轴所夹的面积。由于这两个过程具有相反的特性，因此它们可以相互转化。

§5.2 凑微分法(凑法)

ln sin x C
1 (1 x ) C 2
3 2 2
例题7
求 e
3 x
x
dx
2 3 x 解：原式 e d (3 x ) 3
2 3 e 3
x
C
例题8
1 求 dx x ln x
d (ln x) 解：原式 ln x
ln ln x C
例题9
1 求 2 dx 2 x a 1 1 1 解：原式 ( )dx 2a x a x a
1 xa ln C 2a x a
例题10
1 求 2 dx 2 a x 1 1 1 解：原式 ( )dx 2a a x a x
1 ax ln C 2a a x
例题11
求 sin xdx
3
解：原式 (1 cos x)d cos x
sin 2 x C
例题2
1 求 dx 3 2x
1 d (3 2 x) 解：原式 2 3 2x 1 ln 3 2 x C 2
例题3
1 求 2 dx 2 a x x d( ) 1 a 解：原式 a 1 ( x )2 a 1 x arctg C a a
例题4
求 1 a x
2 2
dx
x d( ) a 解：原式 x 2 1 ( ) a x arcsin C a
例题5
求 x e dx
2 x3
1 x3 3 解：原式 e dx 3 1 x3 e C 3
例题6
求 x 1 x dx
2
1 2 2 解：原式 1 x d (1 x ) 2

凑微分

核心：d(uv) udv vdu
物理例题：
一质量为m 的小球上系有线密度为的均匀无
限长细绳，将小球置于水平光滑地面，细绳自然盘绕。现将小球竖直抛出，已知重力加速度
为 g ，分析小球运动过程
v 记竖直上升距离为 x，对于t时刻有速度满足
(m+x)dv vd(m x) (m x)gdt
凑微分
其实就是换元积分的一种
换元积分分为两种：凑微分&分部积分凑微分的基本原理如下：
f(x )g '(x )d x f(x )d [g (x ) ]
例如： sin x cos xdx ?

sin
x
cos
xdx

sin 2x 2
dx

1 4

sin
2xd
2
x

1 4
cos
2x

现在介绍另一思路
例题：
x 1 1dx ? x 1 1
本题中 x 1多次出现，令t x1，得

t t
1 1
dx

2t
t t
1dt 1

2
t

2

t
2
1
dt
然后直接积分即可
试试手：
3
x 1 3x 1
dx
这类没有导数式出现的积分可以尝试对复杂
部分换元
现在介绍凑全微分
d[v(m x)] (m x)gdt
再进行计算（本质：牛顿第二定律）
凑全微分例题：2xydx (x2 y2)dy 0
x(2 ydx xdy) y2dy

浅谈凑微分法的教学

浅谈凑微分法的教学陈文亚摘要：凑微分法（第一换元法）既是高等数学积分学的重点，又是难点.一般学生在刚开始学习凑微分法时，总会被方法的名字迷惑，认为凑微分法就是求导数或求微分，使得整个学习走向错误的方向，觉得凑微分法非常难学.因此作者根据多年的教学经验，总结了一些方法，让学生理解凑微分，从而掌握凑微分的实质，摒弃原来死套公式的方法，从本质上掌握凑微分法.关键词：不定积分凑微分法第一换元法凑微分法是高等数学中常用的积分方法，也是一种很重要的积分方法，它既是学习第二换元法和分部积分法的基础，又是学习定积分、微分方程、多元函数重积分的基础.虽然凑微分法很重要，但学生在学习这部分内容时就是掌握不好，究其原因主要有以下几个.一、概念混淆，分不清凑微分和微分的本质区别.初学者经常会把凑微分和微分这两个概念混淆，这两个概念虽然字面相近，但两者是互逆运算，微分与导数相关.凑微分实际上是已经知道函数的微分，问的是哪个函数的微分，如微分cosxdx是哪个函数的微分呢？由导数公式（sinx）′=cosx，得到dsinx=cosxdx，我们把这个过程称为凑微分.凑微分概念与原函数非常相似，而原函数全体就是不定积分，从而得到凑微分遵循的是积分原则，但形式是微分，正是这种形式上的差别让学生很难接受凑微分的实质是积分，所以在刚接触凑微分法的时候，学生经常会把公式xdx凑微分成d2x或dx.故老师在讲授新课时，首要任务是讲清楚凑微分与微分的区别，同时要反复强调凑微分的实质是积分，凑微分遵循的原则是积分规律，但形式还是微分.一旦理清了凑微分的内涵，学生在学习凑微分法的时候，就不需要死记那些凑微分的公式，只需记住积分公式，在凑微分的时候写成微分形式即可，从而减轻了学生的记忆负担.在掌握凑微分的概念后，学生在选择函数进行凑微分时，就会有更大的主动性，知道凡是可以积分的函数都可以凑微分，那么函数的选择范围就更大.二、记不住凑微分公式.要想把凑微分法学好，在理解凑微分实质的基础上，还要熟练掌握常用的积分公式，特别是幂函数的积分公式.初学不定积分的同学一般都会背幂函数的积分公式，但不会真正使用，教师可以把幂函数的积分公式的常用形式罗列一下，这有助于学生学习凑微分法.三、面临多个函数可以凑微分，不会选择判断.高等数学教材在讲授凑微分法时，都会通过一些简单、常见的例题给学生总结一些凑微分的公式，学生即使把这些公式背熟，碰到熟悉的会做，一旦形式发生改变，就不会运用这些公式了，究其原因就是不理解为何要凑微分.事实上，凑微分法是复合函数求导法则的逆运算，复合函数求导法则中要对内层函数和外层函数求两次导数，因此凑微分法也要做两次积分，凑微分是对复合函数的内层函数积分，积完分需要换元，故内层函数凑好微分后的形式都会在原不定积分中出现.根据上面的讨论，凑微分法在计算不定积分的时候，选择函数凑微分的依据有两个：（一）可以积分的函数才可以凑微分；（二）选择的函数在凑微分后，微分符号d左面表达式与右面的表达式应该有公共部分.一般来说，只要凑微分后，微分号前后有公共部分，凑微分的选择和变形就是对的.上面的两个依据只是教学生如何选对函数，函数选对了不一定能把积分算出来，因为在凑微分的时候通常要注意两个技巧.第一个技巧是凑微分的时候通常会有系数或负号产生，系数和符号一般都要放在微分号的前面，这样进行第二步换元时，换元对象非常清晰.第二个技巧是在凑完微分后有时还需要做系数的恒等变形或常数的变化.事实上，凑微分法就是反复使用基本积分公式表，学生在学习过程中要紧扣这个关键点，第一步选择哪个函数凑微分，凑成什么形式，都必须依据积分表，不可凭空捏造；第二步微分凑好后，一定要根据凑出来的函数换元，当换元后的形式在积分公式表中找不到时，可能是凑微分对象选择不对，检查微分符号d左右的形式是否有公共部分，如果有，就要根据题目的具体情况对凑出来的函数做系数和常数的恒等变形；如果微分符号左右的形式没有公共部分，这时就要从第一步重新开始选择函数.此外，学生在学习过程中还会把凑微分法和分部积分法混淆，因为分部积分法的第一步也是凑微分，但虽然两种方法的第一步都是凑微分，目的却完全不一样，凑微分法是为了让左右有公共部分，以便换元；而分部积分法则是为了把函数变成？蘩udv形式，而且？蘩udv中左右函数是绝对不会有公共部分的，弄清楚这一点，两者就不会混淆了.参考文献：[1]林瑾瑜.不定积分凑微分法探析.和田师范专科学校学报，2006（41）.[2]龚亚英.谈谈不定积分凑微分法的教学.数学爱好者（教育学术），2008（02）.[3]甘建强.浅谈凑微分法的阶梯方法.东西南北教育观察，2012（05）.[4]侯风波.高等数学（第三版）.高等教育出版社，2010.5.考试周刊2016年27期考试周刊的其它文章高中英语教学案例分析省高职院校会计技能大赛研究线性代数教学过程中的几点改进让图画书阅读滋养孩子的心灵浅议案例教学法在初中政治教学中的运用初高中英语听力教学衔接探究-全文完-。

定积分凑微分法

定积分凑微分法
“定积分凑微分法”作为当今建筑设计行业中重要的数学方法，广泛应用于日常的设计中。

它建立在微积分的基础上，可以在设计过程中准确的计算它们之间的关系，从而得出塑性力学下实体的位移、速度和加速度等物理量。

定积分凑微分法受到建筑学界的广泛重视，由于其在设计过程中，可以准确的模拟结构的尺度变化，并积累更多的工程经验和技术参数，为工程施工提供必要的参考标准。

定积分凑微分法有着十分重要的作用，它可以用来分析建筑结构与外部力学荷载的相互作用，从而判断出建筑结构设计的预期安全性及稳定性。

将建筑模型和力学模型混合起来，以达到检查结构设计的预期效果，也可以更加合理地分析建筑物的构成，并以此为基础，制定出更科学的建筑设计法则。

同时，定积分凑微分法也可以用于检验建筑物的耐久性。

它可以根据构造物的材料性能和物理参数，准确分析建筑物结构在多种冲击力下的变形及变形承载力，这有助于提高工程施工的效率，并为工程施工预防意外，降低发生灾难的可能性奠定充分的基础。

总之，定积分凑微分法不仅可以帮助建筑设计师有效模拟建筑物的结构，而且对于工程施工和建筑物的维护保养也起到了重要作用。

它的实用性和丰富性，让它在建筑领域逐步担纲重任，获得了广泛赞誉。

不定积分怎么凑微分法

不定积分怎么凑微分法
微分法是求解不定积分的一种方法，是一种重要的数学工具。

它把不定积分（以及定积分）看作导数的反函数，以帮助解决某些学科（物理学、化学、经济学）中相关的复杂问题。

要用微分法求解不定积分，就必须充分了解定积分的基本概念，如积分的定义、应用、性质及转归。

我们需要了解不定积分和分部积分的基本概念，如定义、定应用、分部积分的概念和方法。

如果想要更好的理解不定积分的概念，可以把不定积分的解写成分部积分的形式。

要了解几何形式的不定积分的解法，如实数型函数和多项式函数的解法。

其中，多项式函数可以解析分解成一个个温和的小函数，这样就可以把问题简化成容易解决的形式。

对于实数型函数的解法中，可以用数值解积分的方法，这就是微分法的手段，同时也可以用统计学和概率论的方法来解决。

可以用微分法来求解不定积分，即把不定积分看作导数的反函数，把函数的导数展开到不定积分中，这样就可以用不定积分中的公式来求解。

总之，微分法是求解不定积分非常有效的一种方法，它可以把复杂的问题简化成容易解决的形式，可以用数值解积分的方法，也可以用统计学和概率论的方法来解决，同时可以把函数的导数展开到不定积分中，以求出不定积分的解。