1 第1课时 对顶角、余角和补角
6.3 余角、补角、对顶角(第1课时)
β α
∠α=1800- ∠ β ∠ β=1800- ∠α
如果两个角的和是一个平角，这两个角 叫做互为补角，简称互补。
其中的一个角叫做另一个角的补角。
判断：
1．如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么∠1、 ∠2、∠3这三个角称为互为余（ ） 错
（析：互余、互补只是对两个角的数量关系而
言的）
C
D
2．两块直角三角板中∠A=90°，
E
∠D=90°，则∠A与∠D互为补角。
F
（对 ）
A
B
（析：互余、互补仅仅表明两个角的数量关系，而与角的位 置无关。 ）
知识抢答
Байду номын сангаас1.填表，看谁答的既快又准！
∠A的度数
500
450
600 n0(0＜n＜90)
∠A的余角
400
0
45
300
900－n0
∠A的补角
∴∠2=90o-∠1
∵∠3与∠4互余
∴∠4=90o-∠3
1
又∵∠1=∠3 2 ∴∠2=∠4（等量减等量差相等）
如果把互余改为互补， ∠2与∠4仍相等吗?
同角（或等角）的余角相等。
同角（或等角）的补角相等。
性质：同角（或等角）的余角相等。
同角（或等角）的补角相等。
几何语言： ∵ ∠1+ ∠ 2=900 ∠ 1+ ∠ 3 = 900 ∴ ∠2 = ∠3 （同角的余角相等）
大小关系是_______∠_2_=，∠理3 由：_____同_角__的__补__角__相_等.
1 23
思维拓展
如图，O是直线AB上的一点，OC平分∠AOB，
北师大版数学七年级下册课件：.1对顶角、余角和补角
O
3
顶角是__•_∠_3___，∠4的对顶角是
_∠_A__O__D_ .
A
C
做一做
如图所示，有一个破损的扇形 零件，利用图中的量角器可以 量出这个扇形零件的圆心角的 度数吗？你能说出所量角的度 数是多少吗？为什么？
1.画出两个角，使它们的和为90°. 2.画出两个角，使它们的和为180°. 3.用自己的语言描述补角余角的定义.
1 两条直线的位置关系 第1课时 对顶角、余角和补角
•情境导 入
生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁。在 大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相 交线和平行线。我们知道：
在同一平面内， 两条直线的位置关系 有相交和平行两种.
在同一平面内， 不相交的两条 直线叫平行线.
•探索新 知
请动手画出两条直线直线AB和直线CD，交于点 O.
4.如图，直线AB、CD相交于点O，OE
把∠BOD分成两部分. （1）图中∠AOC的对顶角是________， ∠E∠OBBO的D邻补角是________. （2∠）A若OE∠AOC=70°，且∠BOE∶ ∠EOD=2∶3，求∠AOE的度数.
解：因为∠AOC=70°， 所以∠BOD=∠AOC=70°， 因为∠BOE∶∠EOD=2∶3， 所以∠BOE=28°， 所以∠AOE=180°－28°=152°.
做一做
• 如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打 红球，反弹后的红球会直接入袋，此时，∠1=∠2.
• 将左图简化为右图，ON与DC相交所成的 ∠DON等于90°，且∠1=∠2.
•在右图中： •（1）有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？ •（2）∠3与∠4有什么关系？为什么？ •（3）∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
2.1第1课时对顶角、补角和余角(教案)
一、教学内容
本节课选自教材第二章第一节，主要教学内容包括：
1.对顶角的定义及性质；
2.补角的定义及性质；
3.余角的定义及性质；
4.判断和证明对顶角、补角、余角；
5.运用对顶角、补角、余角解决实际问题。
二、核心素养目标
1.培养学生几何直观和空间想象能力，通过对顶角、补角和余角的识别与运用，深化对几何图形的认识；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调对顶角的识别和补角、余角的计算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与对顶角、补角和余角相关的实际问题。
2.实验操张或使用量角器来演示对顶角相等和补角、余角的计算。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“对顶角、补角和余角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了对顶角、补角和余角的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些概念的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
(名师整理)最新北师大版数学七年级下册第2章第1节《两条直线的位置关系——对顶角、余角和补角》精品课件
× ）×
√
×
四、余角和补角的性质
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的 红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图2-2抽象成图2-3，ON与DC 交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2。
D
O
C
1
2
34
图2—2
A
N
图2-3
小组合作交流，解决下列问题：在图2—3中 问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？ 问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？ 问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
A
证明： ∵∠1 +∠AOC =180° (平角定义)
∠2 +∠AOC =180°(平角定义) ∴∠1 =180°-∠AOC ∴∠2 =180°-∠AOC ∴∠1 = ∠2 (等式性质)
C
）2 1（ O
B D
算一算
(3)如图，已知∠DOE=90°，AB是经过点O的一条直线。如果 ∠AOC=700，那么∠BOF等于多少度?为什么?
小关系是________∠_2，=∠理3由：______同_角__的__补__角__相. 等
1 23
作业：
如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝∠COF＝90 。 ∠AOF与∠DOE、∠BOF与∠COE有怎样的大小关系？为什 么？
E F
D
A
0
B
C
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
4.不相交的两条直线一定是平行线吗？.
相交
平行
大家来找茬
1.判断下面说法同一是平否面内正确:
（1）不相交的两条直线叫做平行线。 （ ×）
（2）在同一平面内，不相交的两条线段
余角、补角、对顶角的概念和习题答案
余角和补角和对顶角余角：如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。
∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角。
两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。
两条直线相交,构成两对对顶角。
对顶角相等.对顶角与对顶角相等.对顶角是对两个具有特殊位置的角的名称; 对顶角相等反映的是两个角间的大小关系。
补角的性质：同角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
余角的性质：同角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
注意：①钝角没有余角；②互为余角、补角是两个角之间的关系。
如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角；③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。
只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。
余角与补角概念认识提示：（1）定义中的“互为”一词如何理解如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2 ，同样∠2的余角是∠1 ；如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2 ，同样∠2的补角是∠1。
对顶角余角和补角的定义
对顶角余角和补角的定义
顶角、余角和补角是在几何学和三角学中常见的概念。
顶角指的是两条直线相交时，形成的相对的两个角，这两个角的顶点是同一个点。
余角是指一个角的补角，即与该角相加为90度的角。
而补角则是两个角的和为90度的角。
从几何学的角度来看，顶角是指两条直线相交时形成的相对的两个角，它们共享一个公共顶点。
例如，在一个三角形中，顶角通常指的是三角形的顶点所对的角。
余角是指一个角的补角，也就是与该角相加为90度的角。
例如，如果一个角的度数是x度，那么它的余角就是90度减去x度。
补角是指两个角的和为90度的角。
例如，如果一个角的度数是x度，那么它的补角就是90度减去x度。
从三角学的角度来看，顶角、余角和补角也有特定的定义。
在三角函数中，余角是指角A的余角是90度减去角A的度数。
补角是指两个角的和为90度的角，例如，如果角A的度数是x度，那么角A的补角就是90度减去x度。
这些概念在解题和推导三角函数的过程中经常被用到。
总的来说，顶角、余角和补角是几何学和三角学中非常基础和
重要的概念，它们帮助我们理解角的关系，解决各种几何和三角学问题。
通过理解这些概念，我们能更好地应用它们解决实际问题，并且在数学推导和证明中起到重要的作用。
余角、补角、对顶角
互为余角90°
互为补角180°
通过练习进一步巩固今天所学的知识。培养学生自主学习能力。整理知识，检验目标的实施情况
板书设计
情境创设
1、
2、
例1：……
……
……
例2：……
……
……
习题……
……
……
作业布置
课后随笔
互补，互余是一种特殊的数量关系
答：∠2与∠3相等
因为∠1与∠2互余，∠1与∠3互余
所以∠2=90°—∠1，∠3=90°—∠1
所以∠2=∠3
引导学生交流得出结论，
同角（或等角）的余角相等
同角（或等角）的补角相等。
通过具体情景让学生探索和发现，在不断提出问题和解决问题的氛围中发展空间观念。使学生了解余角、补角的概念和由来，培养学生的观察力和归纳能力
课时编号
备课时间
课题
6.3余角、补角、对顶角（1）
教学目标
1、在具体情景了解余角、补角，概念
2、知道等角的余角相等，等角的补角相等
3、经历观察—操作—说理，交流等过程，进一步发展宽间的观念
教学重点
余角、补角，概念
教学难点
同角(等角)的余角相等，同角(等角)的补角相等
教学过程
教学内容
教师活动
学生活动
用一副三角尺，在实际操作中，演示课本中的图
如果两个角的和是一个直角，这两个的角叫做互为余角，简称互余，其中一个是另一个的余角。
如果两个角的和是一个平角，这两个的角叫做互为补角，简称互补，其中一个是另一个的补角。
思考:同一块三角板上有两个锐角互余吗？
如果∠α+∠β=90°那么∠α与∠β互余
对顶角、余角和补角
为___互__为__余__角__. （3）已知∠α ＝32°，则∠α 的补角为
_____1_4__8_°__，余角为_____5_8_°___.
小试牛刀
1.下列说法正确的是( A )
(A)一个锐角的余角是一个锐角 (B)任何一个角都有余角 (C)若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3 互余 (D)一个角的补角一定大于这个角
1
2
E
D
F
1
2
A
B
C
合作探究
由题目知，∠1=∠2， ∠EDC=90º，小组讨论并回 答下列问题；
问题一：哪些角互为补角？哪些角互为余角？
问题二： ∠3与∠4有打什么关系？为什么？
问题三： ∠ADF与BDE有什么关系？为什么？
E
D
F
性质：
1
2
34
等角或同角的补角相等. A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
等角或同角的余角相等.
C
巩固练习
第2章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系 第1课时 对顶角、余角和补角
学习目标
1.掌握两条直线的位置关系。 2.了解余角，补角，对顶角的定义。 3.掌握余角，补角，对顶角的性质。
请同学们观察这几张图片，图中的线段所在的直线呈 现的位置关系是什么？
探究定义
在生活中，你常见的两条直线有哪些位 置关系？你你能给它下定义吗？
课堂小结
1、对顶角的概念和性质; 2、余角、补角的概念和性质.
谢 谢!
1、∠1与∠2有公共顶A 点O 2、角的两边互为反向 延长线
北师大版初中七年级数学下册第二章集体备课教案教学设计含教学反思
第二章相交线与平行线1 两条直线的位置关系第1课时对顶角、余角和补角【知识与技能】在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题.【过程与方法】经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.【情感态度】激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的有关问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学方法予以解决.【教学重点】1.余角、补角、对顶角的概念.2.理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.【教学难点】对“在同一平面内的两条直线”含义的理解.理解等角的余角相等，等角的补角相等.一、情景导入，初步认知向同学们展示一些生活中的图片，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系.【教学说明】数学来源于生活，通过课前开放，引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备.通过亲身经历提炼有关数学信息的过程，可以让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学.二、思考探究，获取新知探究1：相交线、平行线1.从上面的图片中，你能找出两条直线有几种位置关系吗？2.请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，在同一平面内，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？.【归纳结论】同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种；若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线；同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.【教学说明】让学生用两支笔动手操作，不但培养了学生的动手能力，还能让学生更深层次的体会到平行线的含义，进一步明确同一平面内两条直线的位置关系.探究2：对顶角的概念和性质请先画一画：两条直线直线AB和CD，交于点O，再回答下列问题1.观察：∠1和∠2的位置有什么关系？大小有何关系？为什么？小组合作交流，尝试用自己的语言描述对顶角的定义.2.剪刀可以看成两直线相交，那么剪刀在剪东西的过程中，∠1和∠2还保持相等吗？∠3和∠4呢？你有何结论？【归纳结论】两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角.对顶角相等.探究3：余角、补角的概念和性质1.用量角器，量出∠1、∠2、∠3、∠4的度数，观察∠1与∠3有什么关系？2.图中还有哪些角，具有这种关系？【归纳结论】如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.类似的，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.3.打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图抽象成几何图形，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2.小组合作交流，解决下列问题：问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？你还能得到哪些结论？【归纳结论】同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.【教学说明】概括归纳得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，积累数学活动经验.三、运用新知，深化理解1.在下列4个判断中：①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②不相交的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行的两条射线一定相交；④在同一平面内，不平行的两条直线一定相交.其中正确的个数是(D)A.4B.3C.2D.12.如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是60°3.已知∠α=24°，且∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠γ的余角和补角的度数分别为66°，156°.4.判断.（1）一个角有余角也一定有补角.（）（2）一个角有补角也一定有余角.（）（3)一个角的补角一定大于这个角.（）答案：（1）√（2）×（3）×5.填表：从中，你发现一个锐角的补角比它的余角大.答案：表格第一行：58°，148°；第二行：27°37′，117°37′；第三行：90°-x，180°-x；空格：90°.6.已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数.分析：可以利用方程思想解决这道题.解：设这个角为x°，则180-x=4（90-x），∴x=60.答：这个角是60°.7.如图，E、F是直线DG上两点，∠1=∠2，∠3=∠4=90°，找出图中相等的角并说明理由.解：∠5=∠6，理由是：等角的余角相等.8.如图，已知AOB是一直线，OC是∠AOB的平分线，∠DOE是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？哪些角相等？解：互余：∠1与∠2，∠1与∠4，∠2与∠3，∠4与∠3；互补：∠1与∠EOB，∠3与∠EOB，∠4与∠AOD，∠2与∠AOD，∠AOC 与∠BOC，∠AOC与∠DOE，∠BOC与∠DOE.相等：∠AOC=∠BOC=∠DOE，∠1=∠3，∠2=∠4.【教学说明】巩固本节课的知识点，检验学生的掌握程度.四、师生互动，课堂小结1.你学到了哪些知识点？2.你学到了哪些方法？3.你还有哪些困惑？五、教学板书1.布置作业：教材“习题2.1”中第1、2、3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节的教学是非常成功的一节课，学生的积极性、主动性完全迸发，整个课堂完全就是和谐统一的有机整体.仔细想想，从中得出：对于新旧知识具有类似内容的情况可以用类比的方法，这样省时高效；对于几何命题的验证，可通过多种方法证明，如本节的“等角的余角相等”，可以通过测量、叠合法、逻辑证明等方法，这样可以让不同的学生得到清晰而深刻的理解；更重要的是通过本节学习知道说明一个几何命题的过程是怎样的，须经历“猜想—推理—结论”这样一个过程，为以后的学习做了铺垫.第2课时垂直【知识与技能】1.会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线.2.通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用.3.初步尝试进行简单的推理.【过程与方法】通过从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力.【情感态度】激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性.【教学重点】根据点与线之间垂直的线段最短的原理，解决生活中的一些简单问题.【教学难点】根据点与线之间垂直的线段最短的原理，解决生活中的一些简单问题.一、情景导入，初步认知观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？【教学说明】数学来源于生活，通过课前开放，引导学生从身边熟悉的图形出发，既复习了上一节课的知识点——两条直线的位置关系，又体会到生活中存在大量特殊的相交线——垂直，在比较中发现新知，加深了学生对垂直和平行的感性认识，感受垂直“无处不在”.二、思考探究，获取新知1.在上面的三幅图形中，我们找出了一些相交的两条直线，那么它们有什么特殊的位置关系？这种位置关系我们称为什么呢？【归纳结论】两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.通常用“⊥”表示两直线垂直.如图1，记作：AB⊥CD;如图2，记作：l⊥m.2.思考：你能画出两条互相垂直的直线吗？你有哪些方法？（1）你能借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？（2）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？说出你的画法和理由.（3）你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看吧！请说明理由.3.动手画一画：（1）请画出直线m与点A，你有几种画法？（2）过点A画m的垂线，你能画几条？请用自己的语言概括你的发现.【归纳结论】平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.动手画一画.请画出直线l与l外一点P，O是垂足，在l上取点A、B、C，比较PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？【归纳结论】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短.线段PO的长度，叫做点P到l的距离.【教学说明】通过动手画图，可以加深学生对知识的理解，能更好的关注知识的形成过程，这也是促使学生认真审题的重要策略.三、运用新知，深化理解1.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列的结论中正确的个数是（C）①点B到AC的垂线段是线段AB；②线段AC是点C到AB的垂线段；③线段AD是点D到BC的垂线段；④线段BD是点B到AD的垂线段.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是（C）A.垂线最短B.过一点确定一条直线与已知直线垂直C.垂线段最短D.以上说法都不对3.已知线段AB=10cm，在同一平面内，点A，B到直线l的距离分别为6cm，4cm.符合条件的直线l有（C）A.1条B.2条C.3条D.4条4.如图，直线a⊥b，∠1=50°，则∠2=40度.解析：∵a⊥b，∴∠1与∠2互余，∵∠1=50°，∴∠2=90°-∠1=90°-50°=40°5.如图，OA⊥OB，OB平分∠MON，若∠AON=120°，求∠AOM的度数.解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠AON=120°，∴∠BON=120°-90°=30°，∵OB平分∠MON，∴∠MOB=∠NOB=30°，∴∠AOM=90°-30°=60°6.如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M，N是分别位于公路AB两侧的两所学校.（1）汽车在公路上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大？请在图上标出来.（2）当汽车从A向B行驶时，在哪一段上对两学校影响越来越大？在哪一段上对两学校影响越来越小？在哪一段上对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大？解：（1）如图所示：过M作ME⊥AB，过N作NF⊥AB，当汽车行驶到点E处时，对M学校影响最大；当汽车行驶到点F处时，对N 学校影响最大；（2）由A向E行驶时，对两学校影响逐渐增大；由F向B行驶时，对两学校的影响逐渐减小；由E向F行驶时，对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大.【教学说明】可以满足不同层次学生学习的需要，能激发学生认知上的冲突，从而促使他们去探索，去对自身的认知结构进行调整和变革.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.五、教学板书1.布置作业：教材“习题2.2”中第2、3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本课时遵循“开放”的原则，在把握教材编写意图的基础上，进行了再创造.通过重组教材，恰当地创设情境,为学生构建了有效开放的学习环境.教学效果较好.2 探索直线平行的条件第1课时利用同位角判定两条直线平行【知识与技能】1.会识别由“三线八角”所成的同位角.2.掌握直线平行的条件，并能解决一些问题.【过程与方法】经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题.【情感态度】进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力.【教学重点】会识别各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”.【教学难点】判断两直线平行的说理过程.一、情景导入，初步认知1.在同一平面内，两条直线的位置关系是.2.在同一平面内，的两条直线是平行线.3.如教材中P44彩图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹的角为多少度时才能使木条a与木条b平行？你能说明其中的道理吗？【教学说明】教师通过设置问题，层层设疑，在引导学生思考、层层释疑的基础上，既复习旧知识，又做好新知识学习的铺垫，同时也不断激活学生思维、生成新问题，引起认知冲突，从而自然引入新课.二、思考探究，获取新知1.动手操作移动活动木条，完成书中P44的做一做内容.2.改变图中∠1的大小，按照上面的方式再做一做，∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？小组内交流.3.如图，直线AB，CD被直线l所截：具有∠1与∠2，这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的同一侧，在截线的同一旁，相对位置是相同的角，我们把这样的角称为同位角.4.图中还有其他的同位角吗？这些角相等也可以得出两直线平行吗？【归纳结论】两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称“同位角相等，两直线平行”.两直线平行，用符号“∥”表示.如直线a与b平行，记作“a∥b”.5.想一想，如何利用三角板画平行线？小明是这样作的，你认为他作得对不对？你能说明其中的原理吗？6.动手画一画：①你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画几条？②在下图中，分别过C，D画直线AB的平行线EF、GH.那么EF与GH有怎样的位置关系？【教学说明】由浅入深，充分地让学生经历了解决问题的过程，较好的突出了重点，突破了难点.【归纳结论】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.平行于同一条直线的两条直线互相平行.几何语言：∵a∥b，a∥c，∴b∥c （平行于同一条直线的两条直线互相平行）.三、运用新知，深化理解1.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行.2.如图所示，FE⊥CD，∠2＝26°，当∠1＝64°时，AB∥CD.3.如图，当∠1=∠D时，可以得到AD∥BC，其理由是同位角相等，两直线平行.4.如图，已知∠1=∠2,试说明AB与CD的关系.解：AB∥CD.理由：∵∠1=∠2（已知）∠2=∠3（对顶角相等）∴∠1=∠3（等量代换）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）5.如图，若∠1=∠4，∠1+∠2=180°，则AB、CD、EF的位置关系如何？解：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，∴∠1=∠3，∴AB∥CD.又∵∠1=∠4，∴AB∥EF，∴AB∥CD∥EF.6.如图，∠B＝∠C，B、A、D三点在同一直线上，∠DAC＝∠B+∠C，AE是∠DAC的平分线，则AE与BC平行吗？为什么？解：AE∥BC.理由：∵∠DAC＝∠B+∠C，∠B＝∠C,∴∠DAC＝2∠B.∵AE是∠DAC的平分线,∴∠DAC＝2∠1,∴∠B＝∠1,∴AE∥BC.7.如图，BE平分∠FBD，∠ABC=∠C，那么直线FB与AC平行吗？试说明理由.解：FB∥AC.理由如下：∵BE平分∠FBD，∴∠DBE=∠FBE，∵∠DBE=∠ABC，∴∠FBE=∠ABC，∵∠ABC=∠C,∴∠FBE=∠C，∴FB∥AC.【教学说明】进一步激发学生的探究兴趣，学生学会用所学知识解释和解决实际生活中的问题，提高能力.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.五、教学板书1.布置作业：教材“习题2.3”中第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.整节课构建了“以问题研究和学生活动”为中心的课堂学习环境，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点.所以，合理把握教学问题，是保证学生自主、合作、探究的学习方式纵向发展的关键，要克服以完成教学任务为主要目标，不舍得给学生探究时间的倾向，要给学生提供较为充分的思维、探究的时间和空间.第2课时利用内错角、同旁内角判定两条直线平行【知识与技能】1.会识别由“三线八角”构成的内错角和同旁内角.2.经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解决一些问题.【过程与方法】经历观察、操作、想象、图例、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力.【情感态度】使学生在参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学与实际生活的密切联系.【教学重点】弄清内错角和同旁内角的意义，会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”的结论.【教学难点】会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”的结论.一、情景导入，初步认知小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB（如图所示）.他只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1.如图，直线AB，CD被直线l所截如上图，∠4和∠5在截线的两侧，在被截线的内部，具有这样位置关系的角叫做内错角.∠4和∠7在截线的同旁，在被截线的内部，具有这种位置关系的角叫做同旁内角.2.请找出其他的内错角和同旁内角.3.议一议：（1）内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？（2）同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？【归纳结论】两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称“内错角相等，两直线平行”.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称“同旁内角互补，两直线平行”.【教学说明】本环节选取了课本的议一议，采取的方式是先独立思考、探究，再讨论交流，目的是充分发挥每一个学生的积极性，尽可能的找到多种方法，这样合作交流才有更充分的内容，才能够互相启发，博采众长.在学生交流的基础上，教师再利用课件展示，进一步验证结论，从而引导学生得出结论.三、运用新知，深化理解1.如图所示，∠1与∠2是内错角的是（D）2.如图所示，与∠C互为同旁内角的角有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图所示，下列条件中不能判定DE∥BC的是（C）A.∠1=∠CB.∠2=∠3C.∠1=∠2D.∠2+∠4=180°4.如图所示，∠DCB和∠ABC是直线和被直线所截而成的角.答案：AB；CD；BC；同旁内.5.如图所示，∠1=∠2，则∥，理由是.答案：AB；CD；内错角相等，两直线平行.6.如图所示，AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，∠1=∠2，那么EB∥CF吗？为什么？解：EB∥CF.理由如下：∵AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C,∴∠ABC=∠BCD=90°,∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∵∠1=∠2,∴∠3=∠4,∴EB∥CF（内错角相等，两直线平行）.7.如图所示，AB与CD相交于点O，∠A+∠1=110°，∠B+∠2=110°，判断AC与DB的位置关系，并说明理由.解：AC∥DB.理由如下：∵AB与CD相交于点O,∴∠1=∠2,∵∠A+∠1=110°，∠B+∠2=110°∴∠A=∠B,∴AC∥DB.（内错角相等，两直线平行）.8.如图所示，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，且∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？并说明理由.解：AB∥CD.理由如下：∵BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线,∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2,又∵∠1+∠2=90°,∴∠ABD+∠BDC=180°,∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.【教学说明】通过练习及时巩固所学知识，并学会灵活应用.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.五、教学板书1.布置作业：教材“习题2.4”中第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.通过本节课的学习，学生初步了解了内错角和同旁内角，但在三线八角图中，找同位角、内错角、同旁内角就有些混乱了，不过能通过观察内错角、同旁内角度数的变化发现“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”的结论.在实际应用中比较乱，容易出现“同旁内角相等，两直线平行”的错误. 所以在教学中要重点强调.3 平行线的性质第1课时平行线的性质【知识与技能】经历探索平行线性质的过程，掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算.【过程与方法】经历观察、测量、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，能有条理地思考和表达自己的探索过程和结果，从而进一步增强分析、概括、表达能力.【情感态度】在自己独立思考的基础上,积极参与小组活动.在对平行线的性质进行的讨论中,敢于发表自己的看法,并从中获益.【教学重点】理解平行线的性质.【教学难点】学会利用平行线的性质解决实际问题.一、情景导入，初步认知窗户的内窗的两条竖直的边是平行的,在推动过程中,两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠１、∠２有什么数量关系?【教学说明】通过引入生活中的平行线，激发学生的求知欲.二、思考探究，获取新知1.现在我们反过来思考这个问题，如果先知道两条直线平行，对应的同位角、内错角、同旁内角会产生怎样的关系呢？2.已知直线a∥b，测量角的度数,把结果填入表内，并分析各角之间的关系.（1）图中有几对同位角？它们的大小有什么关系？为什么？（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？（4）换一组平行线试一试，你能得到同样的结论吗？【教学说明】通过测量、猜想、验证，让学生在动手探索的过程中感知平行线的性质.【归纳结论】两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简称“两直线平行，同位角相等”.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称“两直线平行，内错角相等”.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简称“两直线平行，同旁内角互补”.三、运用新知，深化理解1.如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE=125°,则∠DBC的度数为（A）A.55°B.65°C.75°D.125°2.如图，直线c与直线a、b相交，且a//b，则下列结论：(1)∠1=∠2；(2)∠1=∠3；(3)∠3=∠2中正确的个数为（D）A.0B.1C.2D.33.如图，已知：DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC和∠BDC的度数.解：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD.∵∠ACB＝50°，∴∠BCD=25°.∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD=25°.∵DE∥BC，∴∠BDE+∠B=180°.∴∠BDE=180°-∠B=110°.∴∠BDC=∠BDE-∠EDC=110°-25°=85°.【教学说明】通过练习及时巩固平行线的三条性质.四、师生互动，课堂小结通过刚才的应用，大家能谈一谈今天学习的平行线有哪些性质？五、教学板书1.布置作业:教材“习题2.5”中第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.平行线的性质是几何证明的基础，教学中注意基本的推理格式的书写，培养学生的逻辑思维能力，鼓励学生勇于尝试，在课堂上，力求体现学生的主体地位，把课堂放交给学生，让学生在动口、动手、动脑中学习．第2课时平行线的判定与性质的综合应用【知识与技能】经历掌握平行线性质与判定的过程，能用它们进行简单的推理和计算.【过程与方法】经历观察、测量、推理、交流等活动，进一步提高推理能力.【情感态度】通过学习平行线性质和判定直线平行条件的联系与区别，让学生懂得事物既是普遍联系又是相互区别的辩证唯物主义思想．【教学重点】平行线的三条性质及简单应用.【教学难点】平行线的性质与平行线判定方法的区别.一、情景导入，初步认知在前几节课我们探究了如何去判别两条直线是平行的，即平行线的判定.下面我想请同学来回答一下有哪些方法可以判定两条直线平行？二、思考探究，获取新知请用学过的同位角、内错角、同旁内角的概念及两直线平行的条件填空：（1）因为∠1=∠5(已知)；所以a∥b（）.（2）因为∠4=∠(已知)；所以a∥b（内错角相等，两直线平行）.（3）因为∠4+∠=180°(已知)；所以a∥b（）.【教学说明】判定平行线的条件和平行线的性质是互逆的,对初学者来说易将它们混淆．因此,复习判定直线平行的条件能为后面学习性质做好准备.三、运用新知，深化理解1.见教材52例1、例2、例3，2.如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的平分线（D）A.互相垂直B.互相平行C.互相重合D.以上均不正确3.如图已知∠1＝∠2，∠BAD＝∠BCD，则下列结论(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)∠B＝∠D；(4)∠D=∠ACB中正确的有（C）A.1个B.2个C.3个D.４个4.如图，如果∠1=∠2，那么∠2+∠3=180°吗？为什么？解：∵∠1=∠2，∴L1∥L2. ∴∠2+∠3=180°.5.如图，AB∥CD，BF∥CE，则∠B与∠C有什么关系？请说明理由.解：∵AB∥CD，∴∠B=∠1.∵BF∥CE，∴∠C=∠2.∵∠1+∠2=180°，∴∠B+∠C=180°.即∠B与∠C互补.6.如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，试探索∠BEF与∠EFC之间的关系，并说明理由.解：∠BEF=∠EFC.理由如下：分别延长BE.DC相交于点G.。
2.1 对顶角、余角和补角 北师版七年级数学下册教案
第二章 相交线与平行线课题 对顶角、余角和补角【学习目标】1．经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念，推理能力和有条理的表达能力． 2．在具体情景中了解余角、补角、对顶角及其性质，并能运用这些性质解决一些生活中的实际问题． 【学习重点】余角、补角、对顶角的性质及应用． 【学习难点】补角、余角的性质．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．方法指导：在图形中正确找到对顶角，利用对顶角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系，然后结合已知条件进行转化．一、情景导入 生成问题旧知回顾：1．同一平面内，两条直线的位置关系是怎样的？ 答：相交或平行．2．如图，两条直线AB ，CD 相交于O ，图中小于平角的角有几个？它们之间有何联系？答：图中小于平角的角有四个：∠AOC 、∠BOC 、∠BOD 、∠AOD ，每相邻两角互补．二、自学互研 生成能力知识模块一 对顶角的定义及性质阅读教材P 38－39，完成下列问题： 1．什么是相交线？什么是平行线？答：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．2．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？解：∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线，∠1＝∠2，理由：∵∠1＋∠BOC ＝180°，∠2＋∠BOC ＝180°，∴∠1＝∠2.【归纳】在两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点并且两边互为反向延长线的两个角叫对顶角．范例1.如下图所示的各图中，∠1和∠2是对顶角的图形是( D )A B C D 仿例1.如图，三条直线相交于点O ，则∠1＋∠2＋∠3＝( C )A.90° B ．120° C ．180° D ．360°学习笔记：同角或等角的补(余)角相等时用等式基本性质可证明．仿例2中设出这个角并表示余角或补角是常用解题方法．行为提示：在群学后期，教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示、有补充、有质疑、有评价穿插其中．学习笔记：检测可当堂完成．仿例2.如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，∠1＝40°，∠BOC ＝110°，求∠2的度数．解：∠2＝70°.知识模块二 余角和补角什么是互为补角？什么是互为余角？答：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角．范例2.如图，∠DON ＝∠90°，且∠1＝∠2. (1)有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？ (2)∠3与∠4有什么关系？为什么？(3)∠AOC 与∠BOD 有什么关系？为什么？解：(1)互为补角：∠1与∠AOC ，∠2与∠BOD ；互为余角：∠1与∠3，∠2与∠3，∠2与∠4，∠1与∠4；(2)∠3＝∠4.理由：∵∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，且∠1＝∠2，∴∠3＝∠4；(3)∠AOC ＝∠BOD .理由： ∵∠AOC ＋∠1＝180°，∠BOD ＋∠2＝180°，且∠1＝∠2，∴∠AOC ＝∠BOD .【归纳】同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等． 仿例1.(重庆中考)已知∠A ＝65°，则∠A 的补角等于( C ) A ．125° B ．105° C ．115° D ．95° 仿例2.一个角的余角与这个角的补角之和为180°，则这个角的度数为__45°__．三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 对顶角的定义及性质 知识模块二 余角和补角四、检测反馈 达成目标 见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺 1．收获：________________________________________ 2．存在困惑：______________________________________。
第1课时 对顶角、余角和补角
►
知识点二
对顶角的概念及性质
公共顶点 如果两个角有____________ ，且它们的两边互为 反向延长线 ，那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角． ____________ 相等 ． 性质：对顶角________
第1课时
对顶角、余角和补角
►
知识点三
互为余角、互为补角的概念
余角 ．如 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为________ 补角 ． 果两个角的和是180°，那么称这两个角互为________
第1课时
对顶角、余角和补角
重难互动探究
探究一 对顶角性质的运用
例1 [教材补充例题] 如图2－1－5所示，直线AB，CD，EF相
交于点O，且∠AOC＝80°，∠1＝50°，求∠2的度数．
图2－1－5 [解析] 先求∠COE的度数，再利用对顶角的性质解答．
第1课时
对顶角、余角和补角
解：因为∠AOC＝80°，∠1＝50°，
数 学
新课标（BS） 七年级下册
第1课时
对顶角、余角和补角
探 究 新 知
► 活动1 知识准备
OE ，线段 1．如图 2－1－1，线段 OA 反向延长得射线________ CD ． CD 向两端延长得直线________
图 2－1－1
第1课时
对顶角、余角和补角
2．如图2－1－2所示，从O点出发有OA，OB，OC，OD四条射 6 个角． 线，则图中有____
注意：(1)互余关系与互补关系是指两个角之间的关系，如 ∠α ＋∠β ＋∠γ ＝90°，则∠α ，∠β ，∠γ 不可以说是互 余关系，同样∠1＋∠2＋∠3＝180°，也不可以说∠1，∠2， ∠3是互补关系；
(2)互余(互补)关系只是一种数量关系，只要两个角的和为
第一节 余角与补角、对顶角
第一节 余角、补角与对顶角1.互为余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。
注：互为余角仅仅表明了两个角之间的度量关系，与角的位置无关。
2.互为补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。
注：和是平角，说明了互为补角仅仅表明了两个角之间的度量关系，与角的位置无关。
3.对顶角直线AB 与CD 相交于点O ，∠AOC 与∠BOD 有公共顶点O ，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。
注:(1)两条直线相交；(2)有公共顶点；(3)无公共边（4）对顶角是成对的，是具有特殊位置的两个角。
4.角的重要性质：（1）同角或等角的余角相等。
（2）同角或等角的补角相等。
（3）对顶角相等。
例1：判断题（1）.若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余.（ ） （2）.若∠A 与∠B 互补，则∠A +∠B =180°.（ ）（3）.若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3互补.（ ） （4）.若∠AOB +∠BOC =180°，则点A 、O 、C 必在同一直线上.（ ） （5）.若∠α+∠β+∠γ=90°，则∠α、∠β、∠γ互余.（ ）例2：如图1，直线l 1与l2相交，∠1=50°，则∠2=_________，∠3=_________.图1 图2例3：如图2，直线AB 与CD 相交于O 点，且∠AOD =90°，则∠AOC =_________=_________=_________=_________.例4：如图3，若AO ⊥CO ，BO ⊥DO ，∠BOC=150°，则∠DOC=________，∠AOD =________.图3 图4 图5AOBCA BCODOBA C例5：如图4，直线AB 与CD 相交于O ，∠EOD =90°，正确填写下列两角关系的名称.∠1与∠2:______________________ ∠2与∠3:______________________ ∠2与∠4:______________________ ∠1与∠4:______________________ 例6：如图5，AO ⊥BO ，直线CD 经过点O ，∠AOC =30°，求∠BOD 的度数. 例7：两条直线相交于一点，则共有对顶角的对数为（ ）A.1对B.2对C.3对D.4对例8：下面说法正确的个数为（ ）①对顶角相等 ②相等的角是对顶角 ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角 ④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等A.1个B.2个C.3个D.4个例9：若∠1和∠2互余，∠2与∠3互余，∠1=40°，则∠3等于（ ）A.40°B.130°C.50°D.140°例10：如图，∠1和∠2是对顶角的图形有（ ）A.（1）（3）B.（2）（3）C.（3）D.（3）（4）例11：如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COB ，:4:1AOD DOC ∠∠=,AOF ∠的度数。
第2章 2.1 第1课时 对顶角、补角和余角
14．观察下图，并回答下列问题：
(1)两条直线相交于一点，有 2 三条直角相交于一点，有 四条直线相交于一点，有
对对顶角；
6 对对顶角； 12
对对顶角；
(2)根据第(1)问总结规律，n 条直线相交于一点，有多少对对顶角？ (3)根据第(2)问发现的规律，试求出 10 条直线相交于一点，有多少对对顶 角？
B．40° D．80°
2．如果 α 与 β 互为余角，则( D ) A．α＋β＝180° C．α－β＝90° B．α－β＝180° D．α＋β＝90°
3．已知∠α 是锐角，∠α 与∠β 互补，∠α 与∠γ 互余，则∠β－∠γ 的值等 于( C ) A．45° C．90° B．60° D．180°
4． 如图所示， 直线 a、 b、 c 两两相交， ∠1＝3∠3， ∠2＝75° ， 则∠4＝ 25° .
9．如图，直线 AB、CD 相交于点 O，若∠1∶∠2＝1∶4，则∠1＝ 36° ， ∠3＝
144° .
10．如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，∠AOD＝150° ，∠DOE＝80° ， 则∠AOF＝
50° .
11．如图所示，直线 AB、CD 相交于点 O，∠DOE＝∠BOD，OF 平分∠ AOE，若∠AOC＝28° ，求∠EOF 的度数．
自我诊断 1. 下面各图中∠1 和∠2 是对顶角的是( B )
余角和补角 如果两个角的和是 180° 或等角的补角 相等 ． 自我诊断 2. 1.(常德中考)若一个角为 75° ，则它的余角的度数为( D ) A．285° C．75° B．105° D．15° ，那么称这两个角互为补角．如果两个角的和
是 90° ，那么称这两个角互为余角．同角或等角的余角
相等 ；同角
对顶角、余角和补角
探讨一
1、归纳对顶角的概念与性质. 定义：有_公__共__顶点,且两边互为反向延长线的两个 角叫做_对__顶__角___. 性质：对顶角_相__等__.
例题分析：
下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°， ∠BOC＝110°，求∠2的度数．
2、两直线的位置关系与对顶角
【归纳】 1.概念：(1)如果两个角的和是_9_0_°__,那 么称这两个角互为余角. (2)如果两个角的和是_1_8_0_°__,那么称这两个角互为 补角. 2.性质：同角或等角的余角_相__等__,同角或等角的补 角_相__等__.
【思考】 1.任何角都有余角吗？ 提示：由余角的定义可知，只有小于直角的角才有余角. 2.“相等的角是对顶角”这句话对吗？ 提示：不对，对顶角是与两角的位置有关系的，必须是 有公共顶点,且两边互为反向延长线的两个角叫对顶角.
巩固训练 1.同一平面内有三条直线，如果只有两条互相平 行，那么它们的交点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解析】选C.同一平面内有三条直线，如果只 有两条互相平行，那么第三条直线与这两条直 线相交,所以共有2个交点.
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2.下列各图中,∠1与∠2互为对顶角的是( )
【解析】选C.对顶角必备的两个要素：有公共的 顶点，两边互为反向延长线.
分线吗？并简述理由；
(2)如图②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE
与∠DCB是否相等？并简述理由；
(3)在(2)的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？并简述理由 解析：(1)首先根据直角三角板的特点得到 ∠ACD＝90°，∠ECB＝90°.再根据角平 分线的定义计算出∠ECD和∠DCB的度数 即可； (2)∠ACE与∠DCB相等，根据“等角的余角 相等”即可得到答案； (3)根据角的和差关系进行等量代换即可．
数学：6.3余角、补角、对顶角(第1课时)教案(苏科版七年级上)
设 计 意 图
通过不同 的练习强 化学生对 概念的理 解
⑵想一想：同一个角的补角与它的余角之间有怎样的 数量关系？（设∠α = n°，则∠α 的余角为 90°—n° ∠α 的补角＝180°—n°，∠α 的补角比∠α 的余角大 90°） ⑶试一试： （例题）已知 3 组角： A：10°，55°，75°，100°，145° B：35°，80°，105°，125°，170° C：10°，15°，35°，55°，115° ① 对 A 组中的每一个角，在 B 组中找出它的补角，并 用线连接 ② B 组中哪些角的余角在 C 组中？分别找出这些角， 并用线连接 3.如图，∠AOB =30°，∠BOC=60°，∠COD=30°，则 ∠AOB 与∠BOC 的关系是__________，∠BOC 与∠COD 的 关系是__________， 而∠AOB ____∠COD （填 “<” 或 “=” 或“ > ” ） 。所以我们可以得到猜想：同一个角的余角 ______。请你说明这句话的正确性。 课本 P159 例 1 想一想：∠1 与∠2 互补，∠3 与∠4 互补， ∠1=∠3，那么∠2 与∠4 有怎样的关系？ 为什么？ 归纳：同角（或等角）的余角相等 同角（或等角）的补角相等。 一. 应用拓展 1. 一个角的补角的余角等于这个角的 数。 2.如图， O 是直线 AB 上一点， ∠AOE+∠FOD=90° OB 平分 ∠COD，图中与∠DOE 互余的角 有哪些？与∠DOE 互补的角有哪些？
教师活动内容、方式
四.回顾反思 经过本课的学习，你有那些体会： （1）学习了余角、补角的概念 （2）学了等角（同角）的余角相等 等角（同角）的补角相等 （3）经历“观察——猜想——说理”的认识过程，发 展了空间观念和有条理的表达能力。 五.作业 见同步检测
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第1课时
对顶角、余角和补角
重难互动探究
探究问题一 例1 对顶角性质的运用
如图 2 － 1 － 5 所示，直线 AB ， CD ， EF 相交于点 O ，且
∠AOC＝80°，∠1＝50°，求∠2的度数．
图2－1－5 [解析] 先求∠COE的度数，再利用对顶角的性质解答．
第1课时
对顶角、余角和补角
解：因为∠AOC＝80°，∠1＝50°，
对顶角、余角和补角
2．探究余角及其性质
(1)在三角尺中，有一个角是90°，那么其余两个角的和是
90° ____________ ． (2)如图2－1－4所示，两块三角尺进行如下操作后，∠1＋
90° ∠2＝___________ ．
图2－1－4 ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点二、三
第1课时
对顶角、余角和补角
注意：(1)互余关系与互补关系是指两个角之间的关系，如 ∠α ＋∠β ＋∠γ ＝90°，则∠α ，∠β ，∠γ 不可以说是互 余关系，同样∠1＋∠2＋∠3＝180°，也不可以说∠1，∠2， ∠3是互补关系；
(2)互余(互补)关系只是一种数量关系，只要两个角的和为
90°(180°)，则两角就是互余(互补)关系，与两角的位置无关 .
第1课时
对顶角、余角和补角
►
知识点四
互为余角、互为补角的性质
相等 ，同角(或等角)的补角____ 相等． 同角(或等角)的余角_______ 解读：同角的余角相等指的是两个角是同一个角的余角，那 么这两个角相等；而等角的余角相等指的是两个角分别是两个 相等角的余角，那么这两个角相等．
第1课时
对顶角、余角和补角
第1课时
对顶角、余角和补角
[ 归纳总结] 涉及几何中角的大小的计算时，利用方程知识 求解是最常用的方法，这会使计算过程简洁明了．
第1课时Biblioteka 对顶角、余角和补角解法二：可直接设未知数，用一元一次方程来解． 设这个角的余角的度数为 x，则这个角的补角的度数为 90°＋ x. 1 根据题意，得 x＝ (90°＋x)－10°， 3 1 x＝30°＋ x－10°，解得 x＝30°. 3 则 90°＋x＝90°＋30°＝120°. 即这个角的余角是 30°，这个角的补角是 120°.
第1课时
对顶角、余角和补角
探 究 新 知
► 活动1 知识准备
1．如图2－1－1，角的顶点是____ B ，边是__________ 射线BA 和 射线BC ____________________ ．
图2－1－1
第1课时
对顶角、余角和补角
2．如图2－1－2所示，从O点出发有OA，OB，OC，OD四条射 6 个角． 线，则图中有____
新 知 梳 理
► 知识点一 相交线与平行线
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线． 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
[ 注意] “在同一平面内”这个前提条件不可缺少，因为在
空间里存在既不相交也不平行的两条直线．因此，初中阶段研 究的平行关系是指在同一平面内．
第1课时
对顶角、余角和补角
图2－1－2
第1课时
对顶角、余角和补角
► 活动2
教材导学
用量角器量出图中∠ 1 ，∠ 2 ，∠ 3 ，∠ 4 的度数，这些角度 之间有什么关系？
[答案] 度数略 相等：∠1＝∠3，∠2＝∠4. 互补：∠1与∠2，∠3与∠4，∠1与∠4，∠2与∠3.
第1课时
对顶角、余角和补角
图2－1－3
第1课时
所以∠COE＝∠AOC－∠1＝80°－50°＝30°，
所以∠2＝∠COE＝30°.
[归纳总结] 对顶角的特征： (1)是两个角；(2)有一个公共点；
(3)角的两边互为反向延长线 ，所以两条直线相交 ，就构成
了两对对顶角； (4)对顶，说明了两个角的位置关系．
第1课时
对顶角、余角和补角
探究问题二
互为余角和互为补角的性质的运用
1 例 2 一个角的余角比这个角的补角的 还小 10°，求这个角的 3 余角及这个角的补角．
第1课时
对顶角、余角和补角
解： 解法一：可间接设未知数，列一元一次方程来解． 设这个角的度数为 x，则这个角的余角的度数为 90°－x，这个 角的补角的度数为 180°－x. 1 根据题意，得 90°－x＝ (180°－x)－10°， 3 1 90°－x＝60°－ x－10°， 3 x＝60°， 则 90°－x＝30°，180°－x＝120°. 即这个角的余角是 30°，这个角的补角是 120°.
►
知识点二
对顶角
公共顶点 如果两个角有____________ ，且它们的两边互为 反向延长线 ，那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角． ____________ 相等 对顶角________ ．
第1课时
对顶角、余角和补角
►
知识点三
互为余角、互为补角的概念
余角 ．如 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为________ 补角 ． 果两个角的和是180°，那么称这两个角互为________