关于正规矩阵的一些奇异值不等式
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２ 王 要 缙 果
引理 １ … 设 Ａ， ∈Ｍｏ 为复半 正定 矩阵 ， ∈Ｎ， ： Ｂ 均 则
ｌＡ（ｆ１ Ａ ）１ Ａ ＜ （。 ０ ） ） ０ ＜ ）１Ａ 。 ＜ （Ａ （ ０ （ ０ ）
弓 理 ２ ｌ ‘ 设 ０ｓ ， ） ，∈Ｒ ， ｌｇ 若 ｏｘ＜ ａ ｏｙ 贝 ＜ ） ｄ ｇ ，０ ， 。 定理 １ 设 Ａ， ∈Ｍ Ｂ 均为 正规 矩 阵 ， ∈ Ｎ， ： ｍ 则
ｋ ｋ ｎ
＝
（） ！ ∑Ｙ ＝１ 且∑ １ 若∑ ＿ ｊ ， ， ， …，
ｉ １ ： ｆ １ ： ｉ １ ＝
∑） 则称 ， Ⅲ， 被） ， 控制， ＜） 记为 ， ；
ｉ １ ：
ｋ
ｋ
（） ） 满 ２ 若 ，只 足∑ ， ≤∑） ｋ ， ， 称 被Ｙ 弱 ， ＝ｌ…， 则 下 控制； 为 Ⅲ， 记 ＜ｔ。 ｏ ｙ
由 ２。“ ）・ （ 。 定 ，ｇ（Ｂ ＜ ） 义 ・ Ａ 。 Ａ ｇ ｎ（ 鱼｝ ）ｎ寺 ’ｎ） 血ｃ ＝１（） ’ 血｝ ａ（ ） ｉ Ａ ｎ寺 ｃ ，ｉ （ ， ｉ ｌ （ ｌ Ｉ ） ｌ ＝ ） Ａ ＝ ；ｃ １ 、 （ ＡＡ ＝１ （ ｎ 、 ａ Ａ 鱼子 ｃ ＝ （＇ ＝ Ａｃ ） Ａ ・ ；从 ‘ Ｉ， ， （ … Ｂ ）
鱼 ＝ （告Ａ ］ Ａｃ ｃ Ａ Ａ ） ｉ （ ｌ【 （ ＝ Ａ ） ） Ａ 告 ） 子Ａ ’ 子 （‘ Ａ ａ ） ｍ Ｉ ＝… （ ‘ ＝ ＋ １ ） ・ ； ａ ， ， ｃ （ ｎ Ａ
且 当 ｋ＝ｎｎ上 式等号 成立 。 ｔ － ，
收 稿 日期 ： ０ ７—０ ２０ ９—１ ９
作者简介 ： 曹
月 （９ ７一） １７ ，女 ，２ ０ ０ ５级硕士研究生 ，研究 方向：特殊矩 阵及应用 。
维普资讯 http://www.cqvip.com
・
５ ６－ ６
贵州大学学报 （ 自然科学版 ）
第２ ４卷
、
＝
向
Ａ ＩＡ ） … （ Ａ・ Ａ１
Ｖｏ ． ２ ． ６ １ ４ Ｎｏ ＮＯ ．２ｏ ７ Ｖ ０
文 章编 号
１０ ５ ６ （０ ７ ０ ０ ６ ０ ０ ０— ２９ ２０ ）６— ５ ５— ４
关 于正 规矩 阵 的 一些 奇 异 值 不 等 式
曹 月 ，何 淦 瞳
（ 贵州大学数学系 ， 阳 ５ ０ ２ ） 贵 ５０ ５
量重 排 各 量 为 Ｊ （…… ） 中… ， ＝ １ ，），中 ，新 列 的 分 后 ＝ ，， ， … 其 （（… （）其 ｆ ） ，
【 １ … ］
定义 １
㈤． 文将用 到 以下定义 。 本
设 ＝ （ １ … ， ）∈ Ｒ ， ，： （ ， ， ， ） Ｙ １… ） ）∈ Ｒ ， ，
ｌＡ（ｆｌ （ ）１ （ ）ｌＡ ０ ） ＜（ Ａ ＜（Ａ ＜（） ｇ ） ０ ０ 告 ０ （ ｇ ｒ ｇ ｇ 。 ｒ ｒ （
证明 注意 到 Ａ ＝Ａ Ａ， Ｂ’ ＝Ｂ 由引理 １ Ａ Ｂ Ｂ ，
珥 （ ）珥 ［ ） ） ｋ Ａ ＝Ａ （ （ ‘ ｋ Ａ Ａ 】
且 当 ｋ＝ ｎ时上式等 号成立 。
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由 义，。ｍ １ ｌ－ ） 证 。 定 ２ ｌ ＜ｇＡ 。 毕 ｇｆ Ａ ｏ（ ｏＢ
由引理 ２与定理 １可得 以下结论 ： 推 论 １ 设 Ａ， ∈Ｍ 为正规矩 阵 ， ∈ Ｎ， ： Ｂ 均 则
（ ） 刚＜“ ＜
）仙 ＜ ） 。仙； ｓ） ｃ ｒ （
摘 要 ：本文 主要利 用奇异值 与特征 值 的 关 系及 复合 矩 阵的相 关性质得 到 了正规 矩阵 的一 些奇
异值 不等 式。 关键词 ：正规矩 阵 ；特征值 ；奇异值 ；复合 矩阵 ；控 制不等 式 中 图分 类号 ：０ ５ １１ 文 献标 识 码 ：Ａ
１ 引 言
在本 文 中 ， Ⅳ表 示 自然 数集 ， 用 表示 所有 ｎ阶复 矩阵所 成 的集 合 。 Ａ ∈Ｍｏ Ａ （ ） … ， Ａ） 设 ， Ａ ， Ａ （ 表
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第２ ４卷 第 ６期
２０ ０７年 １ １月
贵州大学学报 （ 自然科学版 ） Ｊｕ ａ ｏ Ｇ ｉ ｏ ｎｖｒ ｔ Ｎ ｔｒ ｃｅｃｓ ｏｒ ｌ ｆ ｕｚ ｕＵ ｉ ｓｙ（ ａ ａ Ｓｉｎｅ） ｎ ｈ ｅｉ ｕｌ
）ｆ （ ） ＝ ａ ｉ ｃ 『 ａ
（・：１（ （ 一 ，：，ｎ ｉ ｒ ） ｆ Ａ Ａ ）｝１ ． ｂ ） ） （ Ｉ …； ｉ
且 当 ＝ｎ时 上式 等号成立 。
由义， ）（ ｔ ｌ一ｆ １。 定 ２ｇＡ ）＜ｇ ・ ｌ（。 。 Ａ １ 。 Ｉ
ｉ １ ≤ ｉ＝１
ｋ
ｋ
定 … 设０ ， ∈Ｒ， 义２ ） ， 若ｎ ≤ １Ｙ］ ＝ｌ… 则记为ｌｘ ｏ ｇ 若进一 ７ ［， ｉ ， …，， ｏ ＜￣ｏ ｇ ｉＹ； 步满足
ｚ １ ＝ ｌ １
Ｈ ＝ｎ Ｙ 则记 ｏ ＜ｆｙ Ⅲ ， 为ｌｘ ｏ 。 ｇ ｇ
示其特征值 ， Ｊ （ ） … 使 Ａ Ｊ Ｊ Ａ Ｊ Ａ Ａ Ａ （ ） ， （ ）＝（ Ａ ， Ａ （ ）ｏ （ ） …， （ ） Ａ 记 Ａ （ ） …， Ａ ； Ａ ， Ａ 表示其奇异 －
值， 使 （ ） … Ａ （ ）记 （ ）＝ （ （ … ， （ ） 。 Ａ ， Ａ Ａ） Ａ ） 设 ＝ （ 一 ）表示 实数域 上 ｎ维 行 向 ，
引理 １ … 设 Ａ， ∈Ｍｏ 为复半 正定 矩阵 ， ∈Ｎ， ： Ｂ 均 则
ｌＡ（ｆ１ Ａ ）１ Ａ ＜ （。 ０ ） ） ０ ＜ ）１Ａ 。 ＜ （Ａ （ ０ （ ０ ）
弓 理 ２ ｌ ‘ 设 ０ｓ ， ） ，∈Ｒ ， ｌｇ 若 ｏｘ＜ ａ ｏｙ 贝 ＜ ） ｄ ｇ ，０ ， 。 定理 １ 设 Ａ， ∈Ｍ Ｂ 均为 正规 矩 阵 ， ∈ Ｎ， ： ｍ 则
ｋ ｋ ｎ
＝
（） ！ ∑Ｙ ＝１ 且∑ １ 若∑ ＿ ｊ ， ， ， …，
ｉ １ ： ｆ １ ： ｉ １ ＝
∑） 则称 ， Ⅲ， 被） ， 控制， ＜） 记为 ， ；
ｉ １ ：
ｋ
ｋ
（） ） 满 ２ 若 ，只 足∑ ， ≤∑） ｋ ， ， 称 被Ｙ 弱 ， ＝ｌ…， 则 下 控制； 为 Ⅲ， 记 ＜ｔ。 ｏ ｙ
由 ２。“ ）・ （ 。 定 ，ｇ（Ｂ ＜ ） 义 ・ Ａ 。 Ａ ｇ ｎ（ 鱼｝ ）ｎ寺 ’ｎ） 血ｃ ＝１（） ’ 血｝ ａ（ ） ｉ Ａ ｎ寺 ｃ ，ｉ （ ， ｉ ｌ （ ｌ Ｉ ） ｌ ＝ ） Ａ ＝ ；ｃ １ 、 （ ＡＡ ＝１ （ ｎ 、 ａ Ａ 鱼子 ｃ ＝ （＇ ＝ Ａｃ ） Ａ ・ ；从 ‘ Ｉ， ， （ … Ｂ ）
鱼 ＝ （告Ａ ］ Ａｃ ｃ Ａ Ａ ） ｉ （ ｌ【 （ ＝ Ａ ） ） Ａ 告 ） 子Ａ ’ 子 （‘ Ａ ａ ） ｍ Ｉ ＝… （ ‘ ＝ ＋ １ ） ・ ； ａ ， ， ｃ （ ｎ Ａ
且 当 ｋ＝ｎｎ上 式等号 成立 。 ｔ － ，
收 稿 日期 ： ０ ７—０ ２０ ９—１ ９
作者简介 ： 曹
月 （９ ７一） １７ ，女 ，２ ０ ０ ５级硕士研究生 ，研究 方向：特殊矩 阵及应用 。
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贵州大学学报 （ 自然科学版 ）
第２ ４卷
、
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向
Ａ ＩＡ ） … （ Ａ・ Ａ１
Ｖｏ ． ２ ． ６ １ ４ Ｎｏ ＮＯ ．２ｏ ７ Ｖ ０
文 章编 号
１０ ５ ６ （０ ７ ０ ０ ６ ０ ０ ０— ２９ ２０ ）６— ５ ５— ４
关 于正 规矩 阵 的 一些 奇 异 值 不 等 式
曹 月 ，何 淦 瞳
（ 贵州大学数学系 ， 阳 ５ ０ ２ ） 贵 ５０ ５
量重 排 各 量 为 Ｊ （…… ） 中… ， ＝ １ ，），中 ，新 列 的 分 后 ＝ ，， ， … 其 （（… （）其 ｆ ） ，
【 １ … ］
定义 １
㈤． 文将用 到 以下定义 。 本
设 ＝ （ １ … ， ）∈ Ｒ ， ，： （ ， ， ， ） Ｙ １… ） ）∈ Ｒ ， ，
ｌＡ（ｆｌ （ ）１ （ ）ｌＡ ０ ） ＜（ Ａ ＜（Ａ ＜（） ｇ ） ０ ０ 告 ０ （ ｇ ｒ ｇ ｇ 。 ｒ ｒ （
证明 注意 到 Ａ ＝Ａ Ａ， Ｂ’ ＝Ｂ 由引理 １ Ａ Ｂ Ｂ ，
珥 （ ）珥 ［ ） ） ｋ Ａ ＝Ａ （ （ ‘ ｋ Ａ Ａ 】
且 当 ｋ＝ ｎ时上式等 号成立 。
Leabharlann Baidu
由 义，。ｍ １ ｌ－ ） 证 。 定 ２ ｌ ＜ｇＡ 。 毕 ｇｆ Ａ ｏ（ ｏＢ
由引理 ２与定理 １可得 以下结论 ： 推 论 １ 设 Ａ， ∈Ｍ 为正规矩 阵 ， ∈ Ｎ， ： Ｂ 均 则
（ ） 刚＜“ ＜
）仙 ＜ ） 。仙； ｓ） ｃ ｒ （
摘 要 ：本文 主要利 用奇异值 与特征 值 的 关 系及 复合 矩 阵的相 关性质得 到 了正规 矩阵 的一 些奇
异值 不等 式。 关键词 ：正规矩 阵 ；特征值 ；奇异值 ；复合 矩阵 ；控 制不等 式 中 图分 类号 ：０ ５ １１ 文 献标 识 码 ：Ａ
１ 引 言
在本 文 中 ， Ⅳ表 示 自然 数集 ， 用 表示 所有 ｎ阶复 矩阵所 成 的集 合 。 Ａ ∈Ｍｏ Ａ （ ） … ， Ａ） 设 ， Ａ ， Ａ （ 表
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２０ ０７年 １ １月
贵州大学学报 （ 自然科学版 ） Ｊｕ ａ ｏ Ｇ ｉ ｏ ｎｖｒ ｔ Ｎ ｔｒ ｃｅｃｓ ｏｒ ｌ ｆ ｕｚ ｕＵ ｉ ｓｙ（ ａ ａ Ｓｉｎｅ） ｎ ｈ ｅｉ ｕｌ
）ｆ （ ） ＝ ａ ｉ ｃ 『 ａ
（・：１（ （ 一 ，：，ｎ ｉ ｒ ） ｆ Ａ Ａ ）｝１ ． ｂ ） ） （ Ｉ …； ｉ
且 当 ＝ｎ时 上式 等号成立 。
由义， ）（ ｔ ｌ一ｆ １。 定 ２ｇＡ ）＜ｇ ・ ｌ（。 。 Ａ １ 。 Ｉ
ｉ １ ≤ ｉ＝１
ｋ
ｋ
定 … 设０ ， ∈Ｒ， 义２ ） ， 若ｎ ≤ １Ｙ］ ＝ｌ… 则记为ｌｘ ｏ ｇ 若进一 ７ ［， ｉ ， …，， ｏ ＜￣ｏ ｇ ｉＹ； 步满足
ｚ １ ＝ ｌ １
Ｈ ＝ｎ Ｙ 则记 ｏ ＜ｆｙ Ⅲ ， 为ｌｘ ｏ 。 ｇ ｇ
示其特征值 ， Ｊ （ ） … 使 Ａ Ｊ Ｊ Ａ Ｊ Ａ Ａ Ａ （ ） ， （ ）＝（ Ａ ， Ａ （ ）ｏ （ ） …， （ ） Ａ 记 Ａ （ ） …， Ａ ； Ａ ， Ａ 表示其奇异 －
值， 使 （ ） … Ａ （ ）记 （ ）＝ （ （ … ， （ ） 。 Ａ ， Ａ Ａ） Ａ ） 设 ＝ （ 一 ）表示 实数域 上 ｎ维 行 向 ，