排队论例题
排队论算例
排队论算例解：先根据每个状态的平衡条件建立状态方程组如下：245)1(5)4(41)1(6)3(21)1(12)2(241)1(1)1(24)1(5)1(6)1(12)1()()1(5)4()1(6)3()1(12)2()1()1()1(3)3(2)4(1)4(2)2(1)3(2)4(2)1(2)2(1)4(1)1(3)1(241=========+++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+==+∑=P P P P P P P P P P P P i P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P i 由正则条件知：解得：076.0)0(8116)4(114.0)0(278)3(171.0)0(94)2(256.0)0(32)1(384.0)0(1)0(81211)0(8116)0(278)0(94)0(32)0()(4===========++++=∑=P P P P P P P P P P P P P P P i P i 由正则条件知：【例题4】求解下列生灭过程的状态指标？解：系统容量有限，即最多可同时容纳3个顾客。
系统中可能容纳0个、1个、2个和3个顾客，即有4个状态。
对于状态0S 有：1032P P =，即：0132P P =对于状态1S 有：120542P P P =+，即：0231P P =对于状态3S 有：3232P P =，即：0192P P =由正则条件可知，13210=+++P P P P ，即：45.00=P 故有：30.00=P 、15.02=P 、10.03=P 。
【例题5】某公路收费入口处设有一收费亭，汽车进入公路必须向收费亭交费。
收费亭的收费时间服从负指数分布，平均每辆汽车的交费时间为7.2s ，汽车的到达率为400辆/h ，服从泊松分布。
试求：（1）收费亭空闲的概率；（2）收费亭前没有车辆排队的概率；（3）收费亭前排队长度超过100m （即排队车辆超过12辆）的概率；（4）平均排队长度；（5）车辆通过收费亭所花费时间的平均值；（6）车辆的平均排队时间？解：显然这是一个M/M/1/∞∞/排队系统，收费亭是服务台，汽车是顾客，汽车向收费亭交费便是接受服务。
排队论练习题
第9章排队论判断下列说法是否正确：（1）若到达排队系统的顾客为泊松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从泊松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为泊松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，…名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布；（4）对M/M/1或M/M/C的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为泊松流；（5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间将少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达的分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分别的方差越大时，顾客的平均等待时间将越长；（10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
M/M/1、某理发店只有一名理发师，来理发的顾客按泊松分布到达，平均每小时4人，理发时间服从负指数分布，平均需6小时，求：（1）理发店空闲时间的概率；（2）店内有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）在店内顾客平均数；（5）在店内平均逗留时间；（6）等待服务的顾客平均数；（7）平均等待服务时间；（8）必须在店内消耗15分钟以上的概率。
、某修理店只有一个修理工，来修理东西的顾客到达次数服从泊松分布，平均每小时4人，修理时间服从负指数分布，平均需6分钟。
求：（1）修理店空闲时间的概率；（2）店内有3个顾客的概率；（3）店内顾客平均数；（4）店内等待顾客平均数；（5）顾客在店内平均逗留时间；（6）平均等待修理时间。
排队论习题及答案
排队论习题及答案排队论习题及答案排队论是概率论和数学统计中的一个重要分支，研究的是随机事件的排队问题。
在现实生活中，我们经常会遇到排队的情况，如等候乘坐公交车、购物结账等。
排队论的研究可以帮助我们更好地理解和优化排队过程，提高效率和服务质量。
下面，我们将介绍几个排队论的习题及其解答。
习题一：某银行有两个窗口，顾客到达银行的时间服从平均到达率为λ的泊松分布，每个顾客在窗口办理业务的时间服从平均服务率为μ的指数分布。
求平均等待时间和平均排队长度。
解答：首先，我们可以根据泊松分布和指数分布的性质，得到顾客到达时间和服务时间之间的关系。
假设顾客到达时间服从泊松分布，到达率为λ，那么两个顾客到达时间之间的时间间隔服从参数为λ的指数分布。
同样，假设顾客的服务时间服从指数分布，服务率为μ，那么两个顾客的服务时间之间的时间间隔服从参数为μ的指数分布。
根据排队论的基本原理，平均等待时间等于平均排队长度除以到达率。
平均排队长度可以通过利用排队论的公式计算得到。
在本题中，根据M/M/2模型，可以得到平均排队长度的公式为：Lq = λ^2 / (2μ(μ - λ))其中，Lq表示平均排队长度，λ表示到达率，μ表示服务率。
接下来，我们可以计算平均等待时间。
根据排队论的公式，平均等待时间等于平均排队长度除以到达率。
所以，平均等待时间的公式为：Wq = Lq / λ综上所述，我们可以通过计算得到平均等待时间和平均排队长度。
习题二：某餐厅有4个服务台，每个服务台的服务时间服从平均服务率为μ的指数分布，顾客到达时间服从平均到达率为λ的泊松分布。
求平均等待时间和平均排队长度。
解答：在这个问题中，我们可以使用M/M/4模型来求解。
根据M/M/4模型，平均排队长度的公式为：Lq = (λ/μ)^4 * (1/(4! * (1 - ρ)))其中，Lq表示平均排队长度，λ表示到达率，μ表示服务率，ρ表示系统繁忙度。
平均等待时间的公式为：Wq = Lq / λ通过计算可以得到平均等待时间和平均排队长度。
排队论举例
经满员 就离去？ 就离去？ Lq Wq = = 1.39 = 0.48h = 28.86 min 2.89 λe
(5) 在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？ 在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？
1 ρ 1 0.75 N P7 = ρ = × 0.757 = 3.71% 1 ρ N +1 1 0.758
= 1 . 89 + 1/0.4 = 4.39 分钟
例 题 解 析 售票处的空闲的概率为0 售票处的空闲的概率为0.0748
平均等待时间 平均逗留时间 95( 队长 L s=3.95(人)
89分钟 分钟， W q=1.89分钟， 39分钟 W s=4.39分钟 70( L q=1.70(人)
例 题 解 析
Ls = m
λ ( + λ )(1 P0 ) Lq = Ls (1 P0 ) = m λ 1 Ls m Ws = = (1 P0 ) m (1 P0 ) λ 1 = Lq Wq = Ws (1 P0 )
某车间有5台机器 台机器， 例3 某车间有 台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数 分布。平均连续运转时间15分钟 有一个修理工， 分钟， 分布。平均连续运转时间 分钟，有一个修理工，修理时间 服从负指数分布，平均每次12分钟 分钟。 服从负指数分布，平均每次 分钟。求： (1) 修理工空闲时间
(1 P0 )
解:(1) ∵ m=5,λ=1/15,μ=1/12,ρ=4/5=0.8 m! i P0 = ∑ ρ i = 0 ( m i )!
m 1
5! 5! 5! 5! 5! 2 3 4 5 = 1 + × 0.8 + × 0.8 + × 0.8 + × 0.8 + × 0.8 3! 2! 1! 0! 4!
(完整word版)《运筹学》_第六章排队论习题及_答案
《运筹学》第六章排队论习题转载请注明1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
排队论例题
莄几种典型的排队模型螁（1）M/M/1/ / /FCFS单服务台排队模型羁系统的稳态概率P n膈P。
=1 一匸，T = •/「：1为服务强度；P n二（1 螅系统运行指标蒃a.系统中的平均顾客数（队长期望值）Q0螀Ls =' n.Pn a膈b.系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）O0 膆L q 八（n -1）-P ni =0羀C.系统中顾客停留时间的期望值蕿W s卩一九芈d.队列中顾客等待时间的期望值1 P 薇W q=W s -蚂⑵M/M/1/N/ 7FCFS单服务台排队模型薂系统的稳态概率P n1-P f莈R =1 N7, ” 1；P n 1-?—汕1蚃系统运行指标»n。
莄a•系统中的平均顾客数（队长期望值）莀b•系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）蒈c.系统中顾客停留时间的期望值肄d•队列中顾客等待时间的期望值1W q =Ws-~腿（3）M/M/1/ /m/FCFS（或 M/M/1/m/m/FCFS ）单服务台排队模型薈系统的稳态概率P n薄系统运行指标袈a•系统中的平均顾客数（队长期望值）蚇b•系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）祎c.系统中顾客停留时间的期望值 羂d•队列中顾客等待时间的期望值羁⑷M/M/c/ 7 7FCFS单服务台排队模型蚇系统的稳态概率P n二1九k 肃P03卅）1九n— (—)P 0,n^c1c () P o ,n Cc!c '螄系统运行指标蚀a•系统中的平均顾客数（队长期望值）：蒅P o 二市1一m! (m - n)!(丁)nP °,1 乞 n 冬 m螇b •系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）蒄c.系统中顾客停留时间的期望值:膂d •队列中顾客等待时间的期望值:葿［典型例题精解］袇例1 ：在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为20分钟，理发时间服从负指数分布，平均时间为15分钟。
排队论练习题
4．在第一题中，设顾客到达速率增加到12人/小时，这时又增加一个同样熟练的修理工，平均 修理时间也是6分钟。求： （1）店内空闲的概率； （2）店内有两个或更多顾客的概率； （3）计算运行指标L，Lq，W，Wq。
Ls=1.47708 (7) Wq=1.08分钟
Ws=6.08分钟
例10 某车站候车室在某段时间旅客到达服从泊松流分布，平均速度 为50人/小时，每位旅客在候车室内逗留的时间服从负指数分布，平均 停留时间为0.5小时，问候车室内平均人数为多少？ 解：把旅客停留在候车室看做服务，于是就看为M/M/∞/∞/∞
服从负指数分布，平均理发时间为15分钟。求：
（1）顾客来店理发不必等待的概率； （2）理发店内顾客平均数； （3）顾客在理发店内的平均逗留时间； （4）当顾客到达速率是多少时，顾客在店内的平均逗留时间将超过1.25小时。
解：这是一个[M/M/1]:[//FCFS]排队系统
=3，=4，=/=3/4=0.75 （1） P0=1-=1-0.75=0.25 （2） （3） （4） ，=3.2，
解：这是一个[M/M/1]:[//FCFS]排队系统
=4，=10，=/=2/5=0.4 （1） P0=1-=1-2/5=3/5=0.6 （2） P3=3(1-)=0.43×0.6=0.0384 （3） 1-P0=1-(1-)==0.4 （4） （5） （6）
（7）
例7．一个单人理发点，顾客到达服从Poisson分布，平均到达时间间隔为20分钟；理发时间
问题解决：
分三种情况考虑： （1） 当无病人时，三种互不相容事件的概率分别为： （a） 在时间t内没有病人排队，时刻也没有病人到达的概 率为。 （b） 在时间t内有一个病人，内没有顾客到达，但有一位 病人接受诊断后离去的概率为。 （c） 在时间t内没有病人排队，但在时刻内有一位病人到 达，也有一位病人接受诊断后离去的概率为。
排队论习题
排队论习题排队论习题1. 一个车间内有10台相同的机器，每台机器运行时每小时能创造4元的利润，且平均每小时损坏一次。
而一个修理工修复一台机器平均需4小时。
以上时间均服从指数分布。
设一名修理工一小时工资为6元，试求：（i ）该车间应设多少名修理工，使总费用为最小；解:这个排队系统可以看成是有限源排队模型M/M/s/10，已知11,0.25,4,104m λλμρμ====== 设修理工数为s ,由公式()()11010s m n n n n n s m m p m n n m n s s ρρ---==??=+??--??∑∑()11001m q nn ss s s n q n n n L n s p L np L s p =--===-??=++-∑∑∑ 目标函数为min 64s s L =+，用lingo 求解得到1s =，此时平均队长9.5s L =台，又因为当维修工数10s =时平均队长8s L =，说明此模型不合理。
对模型进行修正，由于要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率，才能使系统达到统计平衡。
所以假设一名修理工修复一台机器平均需0.5小时，即设2μ=。
用lingo 求解得维修工数3s =，平均队长，此时的最小费用为35.97元。
（1）程序：model:lamda=1;mu=2;rho=lamda/mu;m=10;load=m*rho;L_s=@pfs(load,s,m);lamda_e=lamda*(m-L_s);min=6*s+4*L_s;endLocal optimal solution found.Objective value: 35.97341Objective bound: 35.97341Infeasibilities: 0.1000005E-09Extended solver steps: 0Total solver iterations: 388Variable ValueLAMDA 1.000000MU 2.000000RHO 0.5000000M 10.00000LOAD 5.000000L_S 4.493352S 3.000000LAMDA_E 5.506648（ii）若要求不能运转的机器的期望数小于4台，则应设多少名修理工；L ，求得应设解：同上，用有限源排队模型求解，增加约束条件4 s4名修理工。
排队论习题集汇总情况_jieda
排队论习题集汇总_解答例1 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。
求1、收费处空闲的概率；2、收费处忙的概率；3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。
根据题意, λ=100辆/小时，μ1=15秒=2401（小时/辆）,即μ＝240（辆/小时）。
因此125240100==μλ=ρ 系统空闲的概率为：583.012712511P 0==-=ρ-= 系统忙的概率为：417.0125)1(1P 10==ρ=ρ--=- 系统中有1辆车的概率为：243.014435127125)1(P 1==⨯=ρ-ρ= 系统中有2辆车的概率为：101.01728175127125)1(P 222==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=系统中有3辆车的概率为： 0422.020736875127125)1(P 333==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
运筹学-排队论
解：本题属于M/M/1系统
60 3 3 ， 4 ， 15 4
（1）顾客来理发不必等待的概率
p0 1 1 0.75 0.25
（2）理发店内顾客平均数
3 L 3(人) 1 4 3
（3）顾客在理发店内平均逗留时间
M/M/1排队模型练习
练习1. 某车间的工具仓库只有一个管理员，平均有4人/h来 领工具，到达过程为Poisson流；领工具的时间服从负指数 分布，平均为6min。试求 （1）仓库内没有人领工具的概率 （2）仓库内领工具的工人的平均数
（3）排队等待领工具的工人的平均数
（4）工人在系统中的平均花费时间 （5）工人平均排队时间
2 Lq L 0.67 0.4 0.27(人) 1
（4）工人在系统中的平均花费时间
0.67 W 10(min) 4
（5）工人平均排队时间
L
0.27 Wq 4(min) 4
Lq
练习2. 某单人理发店顾客到达为Poisson流，平均到达间隔 为20分钟，理发时间服从负指数分布，平均为15分钟。求： （1）顾客来理发不必等待的概率 （2）理发店内顾客平均数 （3）顾客在理发店内平均逗留时间 （4）若顾客在店内平均逗留时间超过1.25小时，则店主 将考虑增加设备及理发师，那么平均到达率提高多少时 店主才会考虑增加呢？
解：本题属于M/M/1系统
60 4 ， 10 ， 0.4 6
（1）仓库内没有人领工具的概率
p0 1 1 0.4 0.6
（2）仓库内领4
（3）排队等待领工具的工人的平均数
1 1 W 1(小时) 43
【小升初专项训练】6 排队论问题
第6讲排队论问题第一关【例1】小朋友排队做早操，无论从左数还是从右手笑笑都排在第5位，这排小朋友有多少人？【答案】9【例2】几个体操队员排成一队正步向前走，穿黑运动服的队长排在第6个．教练员发令：“向后转”后，穿黑衣服的队长排在第5，这队一共有多少个体操队员？【答案】10【例3】同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起，李华都排在第8个．这一排共有多少个同学？【答案】15【例4】四（1）班全体同学站成一排，当从左往右报数时，小华报：18；当从右往左报数时，小华报：13．那么，该班有学生多少名?【答案】30【例5】明明排队去做操，从前数明明排第9，从后数明明排第4，这排小朋友一共有多少人？【答案】12【例6】小华上体育课，站队时，从前向后数他是第10个，从后向前数他是第15个，这队共有多少人？【答案】24【例7】校外辅导员小王和四（2）班全体同学站成一排报数．从左向右报数，报到15是辅导员；从右向左报数，报到17是辅导员．则四（2）班共有学生多少人？【答案】30【例8】少先队员排队去参观科技馆，从排头数起小明是第10个；从排尾数起，小英是第13个．小明的前面就是小英，这队少先队员共有多少人？【答案】21【例9】中心小学五（2）班上体育课，全班排成一排，星星的位置是：从前面数第十个，从后面数第三十二个，五（2）班有多少名学生？【答案】41【例10】五（1）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等．小华排的位置是：从前面数第5个，从后面数第8个．这个班共有多少个学生？【答案】48【例11】二（1）班同学做早操，全班排4列，每列人数相等，佳佳站在一列中前面数过去是第5个，从后面数过来是第1个，二（1）班一共有多少人？【答案】20【例12】小朋友们去郊游，排成5列纵队走，每列人数同样多，从前面数，小兰排第三，从后面数小兰排第五，算一算一共有多少人去郊游？【答案】35【例13】四三班上操正好排成人数相等的三行，小明排在中间一行，从前从后数都是第八个，全班有学生多少人?【答案】45【例14】同学们进行广播操比赛，全班正好排成相等的6行．小红排在第二行，从头数，她站在第5个位置，从后数她站在第3个位置，这个班共有多少人？【答案】42【例15】三（1）班同学排成三排做早操，三排人数相等．小红排在中间一排．从左往右数，她是第6个；从右往左数，她是第7个，全班共有多少个人？【答案】36【例16】同学们排成正方形队列表演团体操，芳芳站在第3行，从左往右是第8个，从右往左是第9个．这个正方形队列一共有多少人？【答案】256【例17】同学们排队做操，每排的人数和排数正好相等，无论从前数，从后数还是从左数，小红都是第4人，这个队伍共多少人？【答案】49【例18】为庆祝六一，小朋友们排成正方形的队伍，无论从前、从后数，还是从左、从右数，李丽都在第5个，队伍一共有多少个小朋友？【答案】81【例19】小朋友们排成方阵做广播体操，小明恰好站在方阵的正中心，此时无论是从前往后或者从后往前数时他都排在第5个；无论是从左往右或者从右往左数时他都排在第6个．则这个方阵中一共有多少位小朋友？【答案】99【例20】一群鸭子排着队在河里游泳，它们是8只前面有8只，8只后面有8只，8只左面有8只，8只右面有8只，请问河里一共有几只鸭子？【答案】256【例21】同学们排队做操，每行人数同样多，小红的位置从左数起是第3个，从右数起是第3个；从前数起是第3个，从后数起也是第3个．做操的同学共有多少个?【答案】25【例22】体育课上，三（1）班的同学站成方队做广播体操．小敏的位置从左数第3个，从右数第5个：从前数第3个，从后数第6个．三（1）班共有多少人？【答案】56【例23】同学们做操，小红站在左起第5行，右起第7行，从前面数是第6个，从后面数是第4个，每行每列的人数同样多．做操的一共有多少人？【答案】99【例24】同学们参加运动会表演，排成每行人数相等的方阵：“从前面数我是第15个，从后面数我是第6个，从左边数我是第7个，从右边数我是第8个．”这个方阵共有多少名同学？【答案】280【例25】三年级跳集体舞的同学排成一个长方形．小婷站在左起第7列，右起第11列；从前面数她是第8个，从后面数她是第12个，每行的人数一样多，每列的人数也一样多，你知道共有多少人跳集体舞吗？【答案】323【例26】操场上，同学们排成一个长方形队列，小冬的东面有3人，西面有2人，南面有4人，北面有4人．这个队列一共有多少人？【答案】54【例27】学校各年级举行体操比赛，四年级学生排成一个长方形的队伍，小明的位置从左数是第5个，从右数是4个；从前数是第3个，从后数是第5个．四年级共有多少学生参加？【答案】56【例28】同学们排成一方阵做操，从前和左数，小红都是第5个，从后和右数，小红都是第4个．你知道做操的一共有多少人吗？【答案】64【例29】二年1班同学排队做操，小明从前数第6个，从后数第4个，从左数第5个，从右数第3个，他们这班一共多少个人?【答案】63【例30】小金参加一团体操比赛，他在比赛时的位置从左往右数是第8个，从右往左数也是第8个，从前面往后面数是第5个，从后面往前面数是第16个，参加这个团体操比赛的一共有多少人？【答案】300【例31】同学们在做操．小明站在左起第8列，右起第13列；从前面数他是第7个，从后面数是第14个．9每行每列人数同样多．做操的同学一共有多少人？【答案】400【例32】有若干名小学生围成一个圆圈，从某一个学生按1、2、3…开始报数，若按顺时针方向，那么报到小美时，她应该报“15”；若按逆时针方向，小美应报“7”．那么，这群小学生一共有多少名？【答案】20【例33】六（2）班全体同学站成一个圆圈做游戏，从小军数起，按顺时针方向数，小强第27个，按逆时针方向数，小强是第20个，这班有多少名同学?【答案】45【例34】有若干名小朋友围成一个圆圈，从某个同学开始报数．如果沿顺时针方向，那么报到小明时，他应该报“12”；如果沿逆时针方向，那么报到小明时，他应该报“8”．那么这一圈一共有多少名小学生?【答案】18【例35】同学们排队上车，李平的前面有5人，后面有4人．排队的一共有多少人？【答案】10【例36】小明站在小强身后，小明后面有四个人，小强身前有五个人，这个队伍一共有多少个人？【答案】11【例37】黄老师最近搬到新的工作室．她站在阳台上发现往上看时有3个阳台；往下看时有6个阳台．那么，黄老师所在的这座大楼一共有多少层？【答案】10【例38】四（3）班同学站成两队（同样多）参加升旗仪式，小明前面有12位同学，后面有11位同学，四（3）班共有多少位同学参加升旗仪式?【答案】48【例39】体育课上，淘气前面站3个人，后面站6人．（1）淘气站的这一列一共多少人？（2）从前面数他在第2排，从后面数他在第3排，淘气班级一共有多少人？【答案】（1）10；（2）40【例40】学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排，请问：（1）小悦和同班女生站成一排，她发现自己的左侧有7人，右侧有8人，女生一共有多少人？（2）冬冬和同班男生站成一排，他发现自己是左起第7个，右起第9个，男生一共有多少人？（3）阿奇也在男生队伍里，他发现自己是左起第4个，他的右侧应该有几人？他应该是右起第几人？【答案】（1）16；（2）15；（3）12【例41】爱中、爱华兄弟俩与若干位小朋友排成一行．从左边开始数第18位是爱华；从右边开始数爱中是第8位．这整一行最少有多少人?这时爱中、爱华兄弟俩中间有多少人？【答案】18；6【例42】若干个同学排成一列纵队购买电影票，如果你观察后发现：除了前面的5个同学外，每个同学都要比从他往前数（不包括他）第5位的同学高：除了前面的3个同学外，每个同学都要比从他往前数（不包括他）第3位的同学矮．请问这支队伍最多有几个人？【答案】7【例43】若干名男生站成一排，站好后冬冬的左侧有15人，阿奇恰好在正中间，而且他们两人之间（不包括他们自己）一共有3人，队伍里可能有多少人？【答案】队伍里可能有23人或39人第二关【例44】一共有10只动物．【答案】5【例45】有6只小动物在排队照相，小猫从左边数排第2个，从右边数排第几个？【答案】5【例46】有16名同学排成一列，小芳从后往前数是第7个，她从前往后数是第几个？【答案】10【例47】16名小朋友排成一队，小明在从左往右数第8个，那么从右往左数小明是第几个？【答案】9【例48】有28位小朋友排成一行．从左边开始数第10位是张华，从右边开始数他是第几位？【答案】19【例49】有30位同学排成一行，如果从左边数起第11位是小华，那么从右边数起第几位还应是小华?【答案】20【例50】有35位同学排成一行，如果从左边数起第15位是小华，那么从右边数起第几位还应是小华?【答案】21【例51】有50位同学排成一行，如果从左边数起第23位是小明，那么从右边数起第几位还应是小明?【答案】28【例52】小亮站在班级队伍前排从右数第8的位置，老师要求前排从右向左1、2报数，问小亮报的数是几．【答案】2【例53】54个小朋友排队做游戏，每轮游戏有12个小朋友参加，游戏结束后，这12个小朋友按原来的先后顺序排到队尾，如果游戏开始时，小亮站在队首，当小亮再次站在队首时，已经做了多少轮游戏？【答案】9【例54】28位小朋友排成一行，从左向右数，第10位是张华，张华左边的左边是李明，那么从右向左数，李明是第几位?【答案】21【例55】28位小朋友排成一行，从左向右数，第10位是张华，张华右边的右边是李明，那么从右向左数，李明是第几位?【答案】17【例56】40位小朋友排成一行，从左向右数，第12位是张华，张华左边的左边是李明，那么从右向左数，李明是第几位?【答案】31【例57】40位小朋友排成一行，从左向右数，第12位是张华，张华右边的右边是李明，那么从右向左数，李明是第几位?【答案】27【例58】35位小朋友排成一行，从左向右数，第10位是张华，张华和李明之间有4人，那么从右向左数，李明是第几位?【答案】21或31【例59】50位小朋友排成一行，从左向右数，第15位是张华，张华和李明之间有8人，那么从右向左数，李明是第几位?【答案】27或45【例60】等候公共汽车的人在某站牌处整齐地排成一排，刘强也站在队里，他数了数人数，发现排在他前面的人数是总人数的23，排在他后面的人数是总人数的14，从前往后数刘强排在第几名?【答案】9【例61】明明、历历、东东、方方一起去看电影，坐在同一排，东东紧靠在方方的右边，方方在明明的右边，在历历的左边，你能说出他们四人的顺序么？【答案】他们四人从左到右的顺序为：明明、方方、东东、历历【例62】甲、乙、丙、丁四个小学生站成一横排，他们手中共拿着35枝花．已知站在甲右边的学生共拿着16枝花，站在丙右边的学生共拿着4枝花，站在丁右边的学生共拿着25枝花．请问：手中花最多的人拿着多少枝花？【答案】12【例63】A、B、C、D、E五名学生站成一横排，他们的手中共拿着20面小旗．现知道，站在C左边的学生共拿着11面小旗，站在B左边的学生共拿着10面小旗，站在D左边的学生共拿着8面小旗，站在E左边的学生共拿着16面小旗．五名学生从左至右依次是谁？各拿几面小旗？【答案】五名学生从左到右依次是：ADBCE；各拿小旗：8面、2面、1面、5面、4面【例64】在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有多少种不同排法？【答案】14第三关【例65】15个同学排成一列横队，从左边数起，小林是第11个；从右边数起，小刚是第10个．小林与小刚之间隔几个同学？【答案】4【例66】18名同学拍成一排跑步，从前往后数，亮亮排第8，从后往前数，聪聪排第6，亮亮和聪聪之间有几名同学？【答案】4【例67】19个人排队跳远，从前往后数第17位是小红，第9位是小山，请问小红和小山之间有几位同学？【答案】7【例68】20个小朋友排成一排，从左往右数，芳芳排在第5；从右往左数，明明排在第8．芳芳和明明之间有多少人？【答案】7【例69】20位同学站成一排，从左往右小瓜站在第3个，从右往左小果站在第7个．小瓜和小果之间有多少人?【答案】10【例70】有27幅画在学校画廊展出．在这一行画中，小雅的画从左向右数是挂在第14幅，小胖的画从右向左数挂在第20幅，小雅和小胖的画之间还有多少幅画？【答案】5【例71】运动会闭幕式结束后，大家准备散场，班长小悦让全班同学站成一行清点人数（她自己并不在队伍中）．她先从左往右数，发现冬冬是第25个；然后她又从右往左数，发现阿奇正好是第29个，如果队伍里一共有31个，那么冬冬和阿奇之间有几个人？【答案】21【例72】全班35名学生排成一行，从左边数，小红是第20位，从右边数，小刚是第2l 位．问小红与小刚中间隔着多少名同学？【答案】4【例73】全班35名学生排成一行，从左边数，小红是第20位，从右边数，小明是第22位，小红与小刚中间间隔着多少名同学?【答案】5【例74】全班40名学生排成一行，从左边数，小红是第15位，从右边数，小明是第22位，小红与小刚中间间隔着多少名同学?【答案】3【例75】体育课上老师让42名同学站成一行，冬冬发现有一半人站在他自己的左边；阿奇发现自己是从右往左数的第12个，冬冬和阿奇之间有多少人？【答案】8【例76】全班45名学生排成一行，从左边数，小红是第17位，从右边数，小明是第21位，小红与小刚中间间隔着多少名同学?【答案】6【例77】46个小朋友排成一队，从排头往后数，小刚是第19个，从排尾往前数，小丽是第12个，小丽和小刚中间有多少人？【答案】15【例78】56个小朋友排成一队去春游，从排头数，小刚是第19个，从排尾数，小莉是第12个．小刚与小莉之间有多少个同学?【答案】25【例79】某单位有78个人，站成一排，从左边向右数，小王是第50个，从右边向左数，小张是第48个，则小王和小张之间有多少个人？【答案】18【例80】180个小朋友平均排成两队去春游．小刚和小明在一个队里．从排头往后数，小刚说第49个，从排尾往前数，小明说第58个，你知道小刚和小明中间有几个人？【答案】15【例81】有一组上舞蹈课的学生间隔相等地站成一个圆圈，然后从1开始依次报数．报5号的学生正对着报23的学生．这群学生的总数是多少人？【答案】52【例82】有一组上舞蹈课的学生间隔相等地站成一个圆圈，然后从1开始依次报数．报8号的学生正对着报34的学生．这群学生的总数是多少人？【答案】36【例83】有一组上舞蹈课的学生间隔相等地站成一个圆圈，然后从1开始依次报数．报14号的学生正对着报46的学生．这群学生的总数是多少人？【答案】64【例84】班里一共有42名学生，站成一圈做游戏，现在从小悦开始数．请问：（1）如果冬冬是顺时针数第26个，阿奇是顺时针数第17个，冬冬与阿奇之间有多少名同学？（2）如果冬冬是顺时针数第22个，阿奇是逆时针数第13个，冬冬与阿奇之间有多少名同学？（3）如果冬冬是顺时针数第27个，阿奇是逆时针数第31个，冬冬与阿奇之间有多少名同学？【答案】（1）8；（2）8；（3）13【例85】从第15棵树数到46棵树，一共有多少棵树？【答案】32【例86】40名同学站成一排报数．从18号到40号都是男生，男生有多少人？【答案】23【例87】一（1）班第一组的同学站成一排，从左往右数1号～9号是男生，11号～15号也是男生，这个小组有多少名男生？【答案】14【例88】一（1）班第一组的同学站成一排，从左往右数1号～15号是男生，32号～40号也是男生，这个小组有多少名男生？【答案】24【例89】小刚从一本书的54页阅读到67页，苏明从95页阅读到135页，小强从180页阅读到237页，他们总共阅读了多少页？【答案】113【例90】甲、乙、丙、丁、戊这五名同学站成一排．已知丙在戊右边2米处，丁在甲右边3米处，丙在丁右边6米处，戊在乙左边3米处．请问：最左边和最右边的同学相距多少米？【答案】10【例91】10名男生排成一队，老师要求每两名男生之间插进一名女生，可以插进多少名女生？【答案】9【例92】28名男生排成一队，老师要求每两名男生之间插进一名女生，可以插进多少名女生？【答案】27【例93】有158个小朋友排成一排，从左边第一个人起（第一个人发一个苹果）每隔一人发一个，然后又从右边起每隔2人发一个香蕉，求没有得到水果的小朋友的人数．【答案】52第四关【例94】甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟，三人同时开始工作．问：加工完七个零件最少需多长时间？【答案】17【例95】甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为5，5，6，7，8，9，10分钟，三人同时开始工作．问：加工完七个零件最少需多长时间？【答案】17【例96】甲、乙两名车工准备在同样效率的2个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为12，12，14，16，16，18，20分钟，三人同时开始工作．问：加工完七个零件最少需多长时间？【答案】54【例97】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级12道题，并且至少有8道题与其它各年级都不同．如果某道题出现在不同年级，最多只能出现3次．本届活动至少要准备多少道决赛试题?【答案】56【例98】5位同学同时找到班主任谈话，每人的谈话时间分别为8、4、2、6、5分钟，现在如何安排他们的谈话次序，使同学们化费的时间总和（每人等的时间和每人谈话的时间）最少？总共时间是多少？【答案】按2、4、5、6、8分钟的顺序进行谈话，用时最少．总共时间是61分钟【例99】理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟．怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？【答案】甲依次给需10，12，20分钟的人理发，乙依次给需15，24分钟的人理发这样安排可以使这五人理发和等候所用时间的总和最少，最少要用128分钟．【例100】车间里有5台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元．问：（1）如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少？（2）如果有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟？【答案】（1）按7、8、10、15、29分钟的顺序修理才能使经济损失最少；（2）修复时间最短为36分钟。
1003运筹学试题排队论部分
第五章 排队论一、填空题1．随机服务系统是由（ ）组成的。
2．随机事件流是（ ）。
3．如果一事件流满足平稳性、（ ）、（ ），就称为最简单流。
4．按照Kendall 的分类方法，对于排队模型X/Y/Z ，其中X 表示（ ），Y 表示（ ），Z 表示（ ）。
5．解排队问题必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，它们是（ ） 等。
6．系统的状态是指（ ）。
7．[逗留时间]=[等待时间]+[ ]8．系统中顾客数=在队列中等待服务的顾客数+（ ）。
9．稳态的物理含义是（ ）。
二、简答题1．简要说明等式)()1(q N L L p -=-μλ的实际含义2．简要解释无后效性。
3．简要解释生灭过程4．简要阐述排队论研究什么？三、计算题1．顾客按普阿松分布到达一个服务台。
如果到达率为每单位时间20个，在t=0时系统是空闲的。
（1）已知在t=15时系统中有10个顾客，求在t=30时系统中有20个顾客的概率（2）在t=10和t=20时系统中的平均顾客数2．汽车按照平均数为每小时90辆的普阿松分布到达快车道上的一个收费关卡。
通过关卡的平均时间（平均服务时间）是38秒，驾驶员埋怨等待时间太久。
主管部门想采用新装置，使通过关卡的时间减少到平均30秒，但这只有在老系统中等待的汽车超过平均5辆，新系统中关卡的空闲时间不超过10%时才是合算的。
根据这个要求，问新装置是否合算？3．某车间的工具库只有一个管理员，平均每小时有4个工人来借工具，平均服务时间为6分钟。
到达为普阿松流，服务时间为指数分布。
由于场地等条件限制，仓库内能借工具的人最多不能超过3个，求：（1）仓库内没有人借工具的概率（2）系统中借工具的平均人数（3）排队等待借工具的平均人数（4）工人在系统中平均花费的时间（5）工人平均排队时间4．假定到达一个电话室的顾客服从普阿松分布，相继两个到达间的平均时间为10分钟，通话时间服从指数分布，平均数为3分钟。
求：（1）顾客到达电话室要等待的概率（2）平均队长（3）当一个顾客至少要等3分钟才能打电话时，邮电局打算增设一台电话机，问到达速度增加到多少时，装第二台电话机才是合理的？（4）打一次电话要等10分钟以上的概率是多少？（5）假定装了第二台电话机，顾客的平均等待时间是多少？。
第九章排队论
第九章排队论1、某混凝土搅拌站只有一套搅拌设备，一直平均每小时有4辆浇灌车来装搅拌好的混凝土，并且每车混凝土平均需要6分钟搅好装上车。
浇灌车的到达次数服从泊松分布，服务时间服从负指数分布。
试求：（1）搅拌站空闲时间的概率；（2）站上有三辆车的概率；（3）站上至少有一辆车的概率；（4）在系统中的平均车辆；（5）在系统中的平均等待装车的车辆；（6）平均逗留时间；（7）车辆平均到达间隔时间；（8）平均等待时间。
2、某建筑工地修理部只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从泊松分布，平均每小时5人，修理时间服从负指数分布，平均需8分钟。
试求修理部不空闲的概率，修理部至少有一个顾客的概率，修理部顾客的平均数，在修理部内平均逗留时间，必须在修理部内逗留12分钟以上的概率。
3、某建筑公司自设卫生所。
每小时到达该所看病的病人平均为4人，而所中仅一位医生，给病人诊断治病的速率平均为每小时5人。
若到达过程为泊松过程。
服务时间服从负指数分布。
试计算平均在卫生所里等待看病及看病的人数，平均在卫生所里等待看病的人数，平均每位来看病的职工需消耗的时间，平均每位来看病的职工需消耗的等待看病时间，没有职工来看病的概率。
4、设有两个售票亭，现考虑每分钟平均到达6.4人的最简单流，服务时间服从负指数分布，平均每分钟可服务4人。
试求系统中无人的概率，系统中的平均人数，排队等候的平均人数，顾客等候的平均时间。
5、某电信局准备在新建成的国际机场装设电话亭，而电信局的目标是每一个等候电话的概率不超过0.10；使用电话的平均需求率为每小时30人，且为最简单流，使用电话的平均时间为5分钟，且为负指数分布。
应该置多少个电话亭？6、设有两个修理工人，其责任是保证5台灵敏的机器能正常运行。
每台机器平均损坏率为每小时一次，这两位工人能以相同的平均修复率4小时修理机器，求⑴等待修理的机器平均数；⑵机器在系统中的平均台逗留时间。
7、设某电话间顾客按泊松流到达，平均每小时到达6人，每次通话时间平均为8分钟，方差为16分钟，通话时间服从爱尔朗分布。
运筹学课件排队论例题
1.某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为泊松流，平均4人/小时；修理时间服从负指数分布，平均需要6分钟。
试求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内恰有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数；（7）每位顾客平均等待服务的时间；（8）顾客在店内等待时间超过10分钟的概率。
2.某修理店只有一个修理工，且店内最多只能停放3台待修的机器。
设待修机器按泊松流到达修理站，平均每分钟到达1台；修理时间服从负指数分布，平均每1.25分钟可修理1台，试求：（1）顾客损失率；（2）有效到达率；（3）平均队长；（4）平均排队长；（5）平均逗留时间；（6）平均等待时间。
3.设有一工人看管5台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均为15分钟。
当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为12分钟，试求：（1）修理工人空闲的概率；（2）5台机器都出故障的概率；（3）出故障机器的平均数；（4）等待修理机器的平均数；（5）每台机器平均停工时间；（6）每台机器平均待修时间。
4.某售票处有三个窗口，顾客的到达为泊松流，平均到达率为0.9人/分钟；服务时间服从负指数分布，平均服务率为0.4人/分钟。
现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票。
试求：（1）整个售票处空闲的概率；（2）平均排队长与平均队长；（3）平均等待时间；（4）平均逗留时间；（5）顾客到达时必须排队等待的概率；（6）若顾客的排队方式变为到达售票处后可到任一窗口前排队，且入队后不再换队，求（1）~（5）的各个指标，并与前面求出的指标相比较，哪种排队方式更好？5.一个修理工负责5台机器的维修。
每台机器平均2小时损坏一次，又修理工修复一台机器平均需时18.75分钟，以上时间均服从负指数分布。
试求：（1）所有机器均能正常运行的概率；（2）等待维修的机器的期望数；（3）假设该维修工照管6台机器，重新求（1），（2）的数据；（4）假如希望做到至少在一半时间内所有机器都同时正常运行，则该维修工最多看管多少台机器；（5）假如维修工每小时工资为8元，机器不能正常运行时每小时损失为40元，则该维修工应看管多少台机器为合适。
排队论习题
排队论习题排队论习题1、某大学图书馆的一个借书柜台的顾客流服从泊松流，平均每小时50人，为顾客服务的时间服从负指数分布，平均每小时可服务80人，求：（1）顾客来借书不必等待的概率3/8（2）柜台前平均顾客数5/3（3）顾客在柜台前平均逗留时间1/30（4）顾客在柜台前平均等待时间1/802、一个新开张的理发店准备雇佣一名理发师，有两名理发师应聘。
由于水平不同，理发师甲平均每小时可服务3人，雇佣理发师甲的工资为每小时14元，理发师乙平均每小时可服务4人，雇佣理发师乙的工资为每小时20元，假设两名理发师的服务时间都服从负指数分布，另外假设顾客到达服从泊松分布，平均每小时2人。
问：假设来此理发店理发的顾客等候一小时的成本为30元，请进行经济分析，选出一位使排队系统更为经济的理发师。
3、一个小型的平价自选商场只有一个收款出口，假设到达收款出口的顾客流为泊松流，平均每小时为30人，收款员的服务时间服从负指数分布，平均每小时可服务40人。
（1）计算这个排队系统的数量指标P0、L q、L s、W q、W s。
（2）顾客对这个系统抱怨花费的时间太多，商店为了改进服务准备队以下两个方案进行选择。
1）在收款出口，除了收款员外还专雇一名装包员，这样可使每小时的服务率从40人提高到60人。
2）增加一个出口，使排队系统变成M/M/2系统，每个收款出口的服务率仍为40人。
对这两个排队系统进行评价，并作出选择。
4、汽车按泊松分布到达某高速公路收费口，平均90辆/小时。
每辆车通过收费口平均需时间35秒，服从负指数分布。
司机抱怨等待时间太长，管理部门拟采用自动收款装置使收费时间缩短到30秒，但条件是原收费口平均等待车辆超过6辆，且新装置的利用率不低于75%时才使用，问上述条件下新装置能否被采用。
5、有一台电话的共用电话亭打电话的顾客服从λ=6个/小时的泊松分布，平均每人打电话时间为3分钟，服从负指数分布。
试求：（1）到达者在开始打电话前需等待10分钟以上的概率（2）顾客从到达时算起到打完电话离去超过10分钟的概率（3）管理部门决定当打电话顾客平均等待时间超过3分钟时，将安装第二台电话，问当λ值为多大时需安装第二台。
运筹学--第十三章 排队论
３２８习题十三13.1 某市消费者协会一年365天接受顾客对产品质量的申诉。
设申诉以λ＝4件/天的普阿松流到达，该协会每天可以处理申诉5件，当天处理不完的将移交专门小组处理，不影响每天业务。
试求：（1）一年内有多少天无一件申诉；（2）一年内多少天处理不完当天的申诉。
13.2 来到某餐厅的顾客流服从普阿松分布，平均每小时20人。
餐厅于上午11：00开始营业，试求：（1）当上午11：07有18名顾客在餐厅时，于11：12恰好有20名顾客的概率（假定该时间段内无顾客离去）；（2）前一名顾客于11：25到达，下一名顾客在11：28至11：30之间到达的概率。
13.3 某银行有三个出纳员，顾客以平均速度为4人/分钟的泊松流到达，所有的顾客排成一队，服务时间服从均值为0.5分钟的负指数分布，试求：（1） 银行内空闲时间的概率；（2） 银行内顾客数为n 时的稳态概率；（3） 平均队列长Lq ；（4） 银行内的顾客平均数Ls ；（5） 平均逗留时间Ws ；（6） 平均等待时间Wq 。
13.4 某加油站有一台油泵。
来加油的汽车按普阿松分布到达，平均每小时20辆，但当加油站中已有n 辆汽车时，新来汽车中将有一部分不愿等待而离去，离去概率为4n （n ＝0，1，2，3，4）。
油泵给一辆汽车加油所需时间为具有均值3分钟的负指数分布。
（1）画出此排队系统的速率图；（2）导出其平衡方程式；（3）求出加油站中汽车数的稳态概率分布；（4）求那些在加油站的汽车的平均逗留时间。
13.5 某无线电修理商店保证每件送到的电器在一小时内修完取货，如超过一小时则分文不取。
已知该商店每修理一件平均收费10元，其成本平均每件5.50元。
已知送来修理的电器按普阿松分布到达，平均每小时6件，每维修一件的时间平均为7.5分钟，服从负指数分布。
试问：（1）该商店在此条件下能否盈利；（2）当每小时送达的电器为多少件时该商店的经营处于盈亏平衡点。
13.6 某企业有5台车运货，已知每台车每运行100小时平均需维修2次，每次需时20分钟，以上分别服从普阿松及负指数分布。
排队论练习题
例1 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。
求1、收费处空闲的概率；2、收费处忙的概率；3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。
根据题意, λ=100辆/小时，μ1=15秒=2401（小时/辆）,即μ＝240（辆/小时）。
因此125240100==μλ=ρ 系统空闲的概率为：583.012712511P 0==-=ρ-= 系统忙的概率为：417.0125)1(1P 10==ρ=ρ--=- 系统中有1辆车的概率为：243.014435127125)1(P 1==⨯=ρ-ρ= 系统中有2辆车的概率为：101.01728175127125)1(P 222==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=系统中有3辆车的概率为：0422.020736875127125)1(P 333==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=例2 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为200辆/小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒/辆。
求L 、Lq 、W 和Wq 。
根据题意，λ=200辆/小时，μ=240辆/小时，ρ=λ/μ=5/6。
)(7590W W )(90)(025.020024011W 17.45L L 511L 65q 65q 565秒秒小时=⨯=ρ===-=λ-μ==⨯=ρ==-=ρ-ρ=例3．设公用电话通话的持续时间平均为3分钟，一个人等待打电话的平均忍耐时间也是 3分钟。
求一个公用电话可以支持的最大呼叫量。
解：设为M/M/1模型。
平均服务时间：31)(==μts E 分钟 （隐含c ，每个呼叫的平均时间为3分钟）平均服务率：31=μ呼叫/分钟 （隐含c ）平均等待时间： 3)()(=-=λμμλw E 分钟故一个公用电话可以支持的最大呼叫量为： 613132=+=μλμ呼叫/分钟 此时：5.0==μλρ例4．分组交换网中所有信道（链路、线路）容量加倍，每个用户的数据量也加倍。
排队论习题解
排队论习题解10.1某修理店只有一个修理工人, 来修理的顾客到达次数服从普阿松分布,平均每小时3人,修理时间服从负指数分布,平均需10分钟, 求(1) 修理店空闲时间概率; (2) 店内有4个顾客的概率; (3) 店内至少有一个顾客的概率; (4) 在店内顾客平均数; (5) 等待服务的顾客平均数; (6) 在店内平均逗留时间; (7) 平均等待修理(服务)时间;(8) 必须在店内消耗15分钟以上的概率.04440s q s q 60M /M /1//3 6.1031(1)p 1162111(2)p (1)(1)()223211(3)1p 1223(4)L 1()631312(5)L ()632111(6)()633112(7)()636(8)1-F()W W λμρρρλμλρλμλμλρμλω∞∞====-=-==-=-=-=-====--⋅===--===--===--解：该系统为（）模型，，；；；人；人；小时；小时；1515-(6-3)--(-)6020eee .μλω⨯===11(1)(2)(3)23211(4)(5)2211(6)(7)(8)3615.15-20答：修理店空闲时间概率为；店内有三个顾客的概率为；店内至少有一个顾客的概率为；店内顾客平均数为1人；等待服务顾客平均数为人；在店内平均逗留时间分钟；平均等待修理时间为分钟；必须在店内消耗分钟以上的概率为e10.22015(1)(2)(3)(4) 1.25M /M /1.603(/20λ==设有一单人打字室，顾客的到达为普阿松流，平均到达时间间隔为分钟，打字时间服从指数分布，平均时间为分钟，求顾客来打字不必等待的概率；打字室内顾客的平均数；顾客在打字室内平均逗留时间；若顾客在打字室内的平均逗留时间超过小时，则主人将考虑增加设备及打字员，问顾客的平均到达概率为多少时，主人才会考虑这样做？解：该题属模型人小时0s s s 60)4(/).1531(1)p 11443(2)L 3()4311(3)1()431(4)1.2511.25 3.23.230.2(/).4W W μρλμλμλμλλλ===-=-====--===--=>-≥>-=-Q ，人小时；人；小时；；，，人小时1(1)(2)3(3)41(4)0.2/.答：顾客来打字不必等待的概率为；打字室内顾客平均数为人；顾客在打字室内平均逗留时间为小时；平均到达率为人小时时，店主才会考虑增加设备及打字员 10.3 汽车按平均90辆/h 的poission 流到达高速公路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时间为38s 。
排队论习题集汇总_jieda
排队论习题集汇总_解答例1 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。
求1、收费处空闲的概率；2、收费处忙的概率；3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。
根据题意, λ=100辆/小时，μ1=15秒=2401（小时/辆）,即μ＝240（辆/小时）。
因此125240100==μλ=ρ 系统空闲的概率为：583.012712511P 0==-=ρ-= 系统忙的概率为：417.0125)1(1P 10==ρ=ρ--=- 系统中有1辆车的概率为：243.014435127125)1(P 1==⨯=ρ-ρ= 系统中有2辆车的概率为：101.01728175127125)1(P 222==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=系统中有3辆车的概率为：0422.020736875127125)1(P 333==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几种典型的排队模型
（1） M/M/1/ / /FCFS 单服务台排队模型 系统的稳态概率P n
P 。
=1 -匚 —，/「：：1为服务强度；巳=（1 -讨訂。
系统运行指标
a. 系统中的平均顾客数（队长期望值）
°° & L s 八 n.P n ：
S y n —
b. 系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）
00
p ）
Lq 八（n -1）R ：
i 卫
“一丸
c. 系统中顾客停留时间的期望值
1 叫=E[W]：
d. 队列中顾客等待时间的期望值
1 P
W q =叫
q s --■■
⑵M/M/1/N/
:/FCFS 单服务台排队模型
系统的稳态概率P n
1 _ p
1 _ P
F 0 N7
~ 1 ；
R
N7
"
, n ：：：
N 1 _ 1
—.：
系统运行指标
a. 系统中的平均顾客数（队长期望值）
b. 系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）
c. 系统中顾客停留时间的期望值
d. 队列中顾客等待时间的期望值
1。
W^W s--
⑶M/M/1/ 7m/FCFS （或M/M/1/m/m/FCFS ）单服务台排队模型 系统的稳态概率P n
系统运行指标
a. 系统中的平均顾客数（队长期望值）
b. 系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）
P
宀丄_)i
i =0
(m -i)! J
m!
n
R 二时 UWE
c. 系统中顾客停留时间的期望值
d. 队列中顾客等待时间的期望值
⑷M/M/c/ / /FCFS 单服务台排队模型 系统的稳态概率P n
系统运行指标
a. 系统中的平均顾客数(队长期望值)：
b. 系统中排队等待服务的平均顾客数(排队长期望值)
c. 系统中顾客停留时间的期望值：
d. 队列中顾客等待时间的期望值：
［典型例题精解］
例1 :在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为 20分钟，理发时间服从负指数分
布，平均时间为15分钟。
求: (1)
顾客来理发不必等待的概率； (2)理发馆内顾客平均数；
(3)顾客在理发馆内平均逗留时间；
(4)如果顾客在店内平均逗留时间超过
1.25小时，则店主将考
虑增加设备及人员。
问平均到达率提高多少时店主才能做这样考虑呢？ 例2 :某机关接待室只有一位对外接待人员，每天工作 10小时，来访人员和接待时间都是随机的。
若来访人员按普阿松流到达，其到达速率
■ =7人/小时，接待时间服从负指数分布，其服务速率
J
=7.5人/小时。
现在问：
(1) 来访者需要在接待室逗留多久？等待多长时间？ (2) 排队等待接待的人数。
(3) 若希望来放者逗留时间减少一半，则接待人数应提高到多少？
例3:某电话亭有一部电话，打来电话的顾客数服从泊松分布，相继两个人到达时间的平均时间为 10分钟，通话时间服从指数分布，平均数为 3分钟。
求：
(1) 顾客到达电话亭要等待的概率； (2) 等待打电话的平均顾客数；
(3) 当一个顾客至少要等 3分钟才能打电话时，电信局打算增设一台电话机，问到达速度增加到 多少时，装第二台电话机才是合理的？
(4) 打一次电话要等10分钟以上的概率是多少？ 例4 :单人理发馆有6把椅子接待人们排队等待理发。
当
6把椅子都坐满时，后来到的顾客不进店就
离开。
顾客平均到达率为 3人 /小时，理发需时平均15分钟。
求系统各运行指标。
例5:某一个美容店系私人开办并自理业务，由于店内面积有限，只能安置
3个座位供顾客等候，
一旦满座则后来者不再进店等候。
已知顾客到达间隔与美容时间均为指数分布，平均到达间隔 80min ，平均美容时间为50min 。
试求任一顾客期望等候时间及该店潜在顾客的损失率。
例6 :病人以平均每小时 8人的速率来到只有一名医生的诊所，候诊室有 9把座椅供病人等候，对每
名病人诊断时间平均 6min 。
计算：
（ 1）开诊时间内候诊室满员占的时间比例；
P o
=［「丄(_)k
.丄 J(—)c
； 7 k!『e!1 --
P n =
n me
n! J
| 汀％nx
c!c
（2）求下述情况的概率
a. 有一个病人；
b. 有2个病人在候诊室外排队。
例7：某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间15分钟，有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟。
求：（1）修理工空闲的概率；（2）五台机器都出故障的概率；（3）出故障的平均台数；
（4）等待修理的平均台数；（5）平均停工时间；（6）平均等待修理时间；
（7）评价这些结果。
例8：一个机修工人负责3台机器的维修工作，设每台机器在维修之后平均可运行5天，而平均修理一台机器的时间为2天，试求稳态下的各运行指标。
例9：一个工人负责照管6太自动机床，当机床需要加料、发生故障或刀具磨损时就自动停车，等待工人照管。
设每台机床平均每小时停车一次，每次需要工人照管的平均时间为0.1h 。
试分析该系统的运行情况。
例10：某售票厅有三个窗口，顾客的到达服从普阿松过程，平均到达率每分钟=0.9 人，服务（售票）
时间服从负指数分布，平均服务率每分钟=0.4 人。
现设顾客到达后排成一队，依次向空闲的窗口购票，求系统的运行指标。
例11：某商店收款台有3名收款员，顾客到达为每小时504人，每名收款员服务率为每小时240人，设顾客到达为泊松输入，收款服务时间服从负指数分布，求解。
例12：某银行有3个出纳员，顾客以平均速度为4人/ 分钟的泊松流到达，所有的顾客排成一队，出纳员与顾客的交易时间服从平均数为0.5 分钟的负指数分布，试求：
（1）银行内空闲时间的概率；（ 2 ）银行内顾客数为n 时的稳态概率；
（3）平均队列长；（4）银行内的顾客平均数；（5）在银行内的平均逗留时间；
（6）等待服务的平均时间。
[ 考研真题]
例1：为开办一个小型理发店，目前只招聘了一个服务员，需要决定等待理发的顾客的位子应设立多少。
假设需要理发的顾客到来的规律服从泊松流，平均每4分钟来一个，而理发的时间服从指数分布，平均3分钟一个人，如果要求理发的顾客因没有等待的位子而转向其他理发店的人数占理发的人数的7%时，应该安放几个供顾客等待的位子？
例2：工件按泊松流到达服务台，平均间隔时间为10分钟，假设对每一工件的服务所需时间服从负指数分布，平均服务时间8分钟。
求：
1. 工件在系统内等待服务的平均数和工件在系统内平均逗留时间；
2. 若要求在90%的把握使工件在系统内的逗留时间不超过30分钟，则工件的平均服务时间最多是多
少？
3. 若每一工件的服务分两段，每段所需时间都服从负指数分布，平均都为4分钟，在这种情况下，
工件在系统内的平均数是多少？
例3：某机关接待室，接待人员每天工作10小时。
来访人员的到来服从泊松分布，每天平均有90人
到来，接待时间服从指数分布，平均速度为10人/ 小时。
试求排队等待接待的平均人数；等待接待
的多于2人的概率，如果使等待接待的人平均为两人，接待速度应提高多少？
例4：经观察，某海关入关检查的顾客平均每小时到达10人，顾客到达服从泊松分布，关口检查服
务时间服从负指数分布，平均时间是5分钟，试求：
1．顾客来海边不用等待的概率；
2．海关内顾客的平均数；
3．顾客在海关内平均逗留时间；
4．当顾客逗留时间超过1.2 小时时，则应考虑增加海关窗口及人数，问平均到达率提高多少时，管理者才作这样的打算。