排队论基础及模型(8)
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排队论模型
排队论模型随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。
排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。
随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。
随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。
排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。
排队论就是对排队进行数学研究的理论。
在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。
由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。
但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。
一、医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。
如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。
图1 医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分：1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。
2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。
排队的列数还分单列和多列。
3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。
《运筹学排队论》课件
资源分配
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
排队论基础
Network Laboratory
t时刻， k状态 则：Δ t—Δ t内到达1人概率
Δ t—Δ t内离去1人概率
t+Δt时刻处于k状态（概率 pk(tt)），由下述情 况形成：
t为k-1态，Δt内到达1人，无人离去，概率: p k 1 ( t) t( 1 t) p k 1 ( t) t
Network Laboratory
复杂性：在于随机性——到达与离去（服务 率）均不确定——工作于随机状态 资源少——顾客排队长——服务质量下降 资源多——服务闲置——资源浪费
Network Laboratory
目标：为顾客提供满意服务同时提高资 源利用率。（与统计参数和工作方 式有关）
在通信网的业务分析和性能计算中，排队论 是不可缺少的
k
pk k p0
Network Laboratory
求p0: 用归一化条件
1 pk
k0
(12 )p01 1p0
p01
p0——系统无人概率（空闲率） 1-p0=—系统有人概率（忙概率） 忙 太大不稳
得通解： pkkp0k(1)
无后效性
顾客到达时刻相互独立
不相交区间内到达顾客数相互独立
系统顾客数具有马氏性
稀疏性：
Δ t内到达2个或2个以上顾客概率为0
有限区间内的k为有限，或
p(k)0
Network Laboratory
(1)T内有k个顾客到达的概率
在以上假设下： T内到达顾客数为k
Δ=T/N
............ .....
Network Laboratory
1-Δ t-Δ t
Δ t
t时刻， k状态 则：Δ t—Δ t内到达1人概率
Δ t—Δ t内离去1人概率
t+Δt时刻处于k状态（概率 pk(tt)），由下述情 况形成：
t为k-1态，Δt内到达1人，无人离去，概率: p k 1 ( t) t( 1 t) p k 1 ( t) t
Network Laboratory
复杂性：在于随机性——到达与离去（服务 率）均不确定——工作于随机状态 资源少——顾客排队长——服务质量下降 资源多——服务闲置——资源浪费
Network Laboratory
目标：为顾客提供满意服务同时提高资 源利用率。（与统计参数和工作方 式有关）
在通信网的业务分析和性能计算中，排队论 是不可缺少的
k
pk k p0
Network Laboratory
求p0: 用归一化条件
1 pk
k0
(12 )p01 1p0
p01
p0——系统无人概率（空闲率） 1-p0=—系统有人概率（忙概率） 忙 太大不稳
得通解： pkkp0k(1)
无后效性
顾客到达时刻相互独立
不相交区间内到达顾客数相互独立
系统顾客数具有马氏性
稀疏性：
Δ t内到达2个或2个以上顾客概率为0
有限区间内的k为有限，或
p(k)0
Network Laboratory
(1)T内有k个顾客到达的概率
在以上假设下： T内到达顾客数为k
Δ=T/N
............ .....
Network Laboratory
1-Δ t-Δ t
Δ t
排队论课件MM排队模型
t 0
j是正在忙的服务窗个数
j=i,im 系统顾客数少于等于服务窗数时，所有顾客都在 接受服务 j=m,i>m 系统顾客数大于 服务窗个数时，所有服务窗都在 服务，正在接受服务的顾客数＝服务窗个数
04:37:02
9
第三章 单服务窗排队模型
第一节 损失制M/M/1/1 第二节 等待制M/M/1 第三节 混合制M/M/1/m 第四节 可变服务率的M/M/1 第五节 可变输入率的M/M/1 第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1 第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m 第八节 有差错服务的M/M/1
04:37:02
8
增长率和消亡率的分析
由此，M/M/…型排队模型，在状态时的增长率和消亡率为：
i lim pi ,i 1 (t ) t pi ,i 1 (t ) t lim
t 0(t )
t 0
i lim
t 0
t j t 0(t ) lim j t 0 t
04:37:02
10
第一节 单服务窗损失制排队模型 M/M/1/1
04:37:02
11Байду номын сангаас
排队模型分析
M/M/1/1 t 顾客到达间隔时间为负指数分布，参数为， a(t ) e t 服务窗服务时间为负指数分布，参数为， b(t ) e
损失的顾客
0 1
系统最大顾客数1决定了系统状态为{0,1}
队列长度有限
D= 等待制
队列最大长度
04:37:02
3
M/M/…的排队模型
考虑整个排队系统中顾客数的变化
有顾客到达，系统中顾客数加1 有顾客服务完毕，系统中顾客数减1 总之，顾客的到达和离开致使系统顾客数有变化
j是正在忙的服务窗个数
j=i,im 系统顾客数少于等于服务窗数时，所有顾客都在 接受服务 j=m,i>m 系统顾客数大于 服务窗个数时，所有服务窗都在 服务，正在接受服务的顾客数＝服务窗个数
04:37:02
9
第三章 单服务窗排队模型
第一节 损失制M/M/1/1 第二节 等待制M/M/1 第三节 混合制M/M/1/m 第四节 可变服务率的M/M/1 第五节 可变输入率的M/M/1 第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1 第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m 第八节 有差错服务的M/M/1
04:37:02
8
增长率和消亡率的分析
由此，M/M/…型排队模型，在状态时的增长率和消亡率为：
i lim pi ,i 1 (t ) t pi ,i 1 (t ) t lim
t 0(t )
t 0
i lim
t 0
t j t 0(t ) lim j t 0 t
04:37:02
10
第一节 单服务窗损失制排队模型 M/M/1/1
04:37:02
11Байду номын сангаас
排队模型分析
M/M/1/1 t 顾客到达间隔时间为负指数分布，参数为， a(t ) e t 服务窗服务时间为负指数分布，参数为， b(t ) e
损失的顾客
0 1
系统最大顾客数1决定了系统状态为{0,1}
队列长度有限
D= 等待制
队列最大长度
04:37:02
3
M/M/…的排队模型
考虑整个排队系统中顾客数的变化
有顾客到达，系统中顾客数加1 有顾客服务完毕，系统中顾客数减1 总之，顾客的到达和离开致使系统顾客数有变化
(完整)排队论
5。
2 排队论排队是日常生活和工作中常见的现象,它由两个方面构成，一是要求得到服务的顾客，二是设法给予服务的服务人员或服务机构（统称为服务员或服务台）,顾客与服务台就构成一个排队系统，或称为随机服务系统。
如图5。
5所示。
图5.5 排队系统结构5.2.1 排队论概述1. 排队论研究的基本问题随机性是排队系统的共同特性，顾客的到达间隔时间与顾客所需的服务时间中,至少有一个具有随机性.排队论研究的首要问题是系统的主要数量指标（如：系统的队长（系统中的顾客数）、顾客的等待时间和逗留时间等）的概率特性，然后进一步研究系统优化问题。
与这两个问题相关联的还有系统的统计推断问题。
1) 性态问题（即数量指标的研究）研究排队系统的性态问题就是通过研究系统的主要数量指标的瞬时性质或统计平衡下的性态来研究排队系统的基本特征.2) 最优化问题排队系统的最优化问题涉及排队系统的设计、控制以及系统有效性的度量，包括系统的最优设计（静态最优）和已有系统的最优运行控制(动态最优），前者是在服务系统设置之前,对未来运行的情况有所估计，确定系统的参数，使设计人员有所依据；后者是对已有的排队系统寻求最优运行策略。
其内容很多，有最小费用问题，服务率的控制问题等。
3) 统计推断问题排队系统的统计推断是通过对正在运行的排队系统多次观测、搜集数据，用数理统计的方法对得到的资料进行加工处理，推断所观测的排队系统的概率规律,建立适当的排队模型。
2. 排队系统的基本组成及特征实际中的排队系统是各种各样的，但从决定排队系统进程的因素看，它由3个基本部分组成：输入过程、排队规则和服务机构。
由于输入过程、排队规则和服务机构的复杂多样性,可以形成各种各样的排队模型，因此在研究一个排队系统之前，有必要弄清楚这3部分的具体内容和结构。
1） 输入过程输入过程是说明顾客来源及顾客是按怎样的规律到达系统.它包括3方面内容:①顾客总体（顾客源）数：它可能是有限的，也可能是无限的。
( 数学建模)排队论模型
导出 pn (t ) 满足的微分方程组
p0 (t t ) p0 (t )(1 t ) p1 (t ) t (1 t ) o(t ) p0 (t t ) p0 (t ) p0 (t ) t p1 (t ) t o( t )
(1)流具有平衡性 对任何 a 0和 0 t1 t2 tn , x(a ti ) x(a ) (1 i n) 的分布只取决于 t1 , t2 , , tn 而与 a 无关。 (2)流具有无后效性 对互不交接的时间区间序列 ai , bi (1 i n) ， x (bi ) x ( ai ) 是一组相互独立的随机变量。 (3)流具有普通性 Prx(a t ) x(a) 1
Prx(t ) k
E x (t ) t
k!
e
(k 0,1,2,)
故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。
2.Poisson流的发生时间间隔分布
当流(过程) x(t ) : t 0 构成Poisson过程时，就称 为Poisson流。设流发生的时刻依次为 t1 , t2 , , tn ,…， 发生的时间间隔记为 n tn tn1 (n 1,2,) ，其中t0 0 。
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内 流(事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换 台的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时 间内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t） 表示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
最简单流应 x(t ) : t 0 具有以下特征称 5 3二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）
对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过 程为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服 务台的情形，即M／M／1排队系统。
第六章 排队论模型
上述事例中的各种问题虽互不相同，但却都 有要求得到某种服务的人或物和提供服务的人或 机构。排队论里把要求服务的对象统称为“顾 客”,而把提供服务的人或机构称为“服务台”或 “服务员”。不同的顾客与服务组成了各式各样 的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、 若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
12
③随机服务 (RAND) 。即当服务台空闲 时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去 接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就是 一例。 ④优先权服务 (PR)。如老人、儿童先进 车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需要 处理计算机立即中断其他数据的处理等，均 属于此种服务规则。
13
(3)混合制．这是等待制与损失制相结合的一种 服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无 限长下去。具体说来，大致有三种：
16
3、服务台
服务台可以从以下3方面来描述： (1) 服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台有 单服务台和多服务台之分。从构成形式上看，服务台 有：①单队——单服务台式； ②单队——多服务台并联式； ③多队——多服务台并联式； ④单队——多服务台串联式； ⑤单队——多服务台并串联混合式,以及多队列多 服务台并串联混合式等等。 如之前的分类模型图所示。
2
排队论历史：
起源于1909年在丹麦哥本哈根电子公司工作的电话工程 师A. K. Erlang(A.K.爱尔朗)对电话通话拥挤问题的研究工作， 其开创性论文---概率论和电话通讯理论则标志此理论的诞生。 表明了排队论的发展最早是与电话，通信中的问题相联系的， 并到现在也还是排队论的传统的应用领域。近年来在计算机通 讯网络系统、交通运输、医疗卫生系统、各类生产服务、库存 管理等等各领域中均得到广泛的应用。 排队论具体事例：
排队理论(queueing theory)
[编辑]
排队系统模型的基本组成部分
排队系统又称服务系统。服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。服务对象到来的时 刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的。图 1 为一最简单的排队系统模型。 排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。
[编辑]
输入过程
输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾 客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的零件按 规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入 是指在时间 t 内顾客到达数 n（t）服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间 t 内到达 n 个顾客的概率为
在单队单服务台的情况下:
, 多队多服务台可看作是多个单队单服务台。在单队 k 个服务台的情况下:
，
三、超市收银台的优化设计
作为顾客来说，超市收银台越多越好越方便，而就超市经营者来说，增加收银台就要增加投 资。所以应该合理的规划收银台的数量，使得既不会因为收银台的数量过多而造成资源闲置浪
费，也不会因为收银台的数量过少而造成严重的排队现象。因此可对超市收银台进行管理和优化 设计。
Ls = Ls(C)
化简得：
(5)
通过计算机模拟依次算出 LS(1),LS(2),LS(3)…相邻两项之差，看常数落在哪两者之间，从而确 定使顾客损失费用和公司服务成本之和达到最优化服务台个数 C 的最优解 C * 。
1.对超市布局进行合理规划，为顾客营造出温馨，简便的购物环境。让顾客在尽量短的时间 内买到自己想买的商品，提高单位时间内进出超市的客流量，这样既节省了顾客的时间，也使超 市增加了顾客的流量，从而使超市的经营效率得到了提高。对于大型的超市在恰当的位置增加导 购员使一种很好的方法。对于第一次来消费的顾客，导购员的指导就会大量的减少他们的漫无目 的的逗留时间。收银台前的管理也是非常重要的，尽量让等待的顾客按顺序排队，避免过分的拥 挤和混乱。
排队模型(掌握mm1,mmc,mm1k)
排队模型
凯里学院 余英
精选2021版课件
1
模型要点
1、掌握排队模型的基本概念 2、了解常见的分布函数及生灭过程 3、掌握典型排队系统模型的结构及应用
精选2021版课件
2
排队模型的基本概念
一、引言 1、什么是排队模型（排队论）？ 排队论是研究拥挤现象的一门学科。
它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上， 解决有关排队系统的最优化设计（静态）和最 优控制（动态）问题。
19 72 4 8 1 29 106 1 3 1 39 135 2 4 10
20 80 3 1 0 30 109 2 5 0 40 139 4 3 8
21 81 2 2 2 31 114 1 2 0 41 142 1
9
22 83 3 3 2 32 116 8 1 0
精选2021版课件
20
到达间隔分布表
1）、输入过程(顾客到达的方式)
a、顾客的总体（顾客源）的组成可能是有限的，也 可能是无限的；
b、顾客相继到达的时间间隔可以是确定的，也可以 是随机的，对于随机的情形，要知道单位时间内的 顾客到达数或相继到达的间隔时间的概率分布；
c 、输入过程可以是平稳的（描述相继到达的间隔时 间分布和所含参数（如期望值、方差等）都是与时 间无关的），否则成为非平稳的，我们研究平稳的。
到达间隔 次 (分钟) 数
1
6
2
10
3
8
4
6
5
3
6
2
7
2
8
1
9
1
10以上 1
合计 40
服务时间分布表
服务时间 次 (分钟) 数
1
10
2
10
凯里学院 余英
精选2021版课件
1
模型要点
1、掌握排队模型的基本概念 2、了解常见的分布函数及生灭过程 3、掌握典型排队系统模型的结构及应用
精选2021版课件
2
排队模型的基本概念
一、引言 1、什么是排队模型（排队论）？ 排队论是研究拥挤现象的一门学科。
它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上， 解决有关排队系统的最优化设计（静态）和最 优控制（动态）问题。
19 72 4 8 1 29 106 1 3 1 39 135 2 4 10
20 80 3 1 0 30 109 2 5 0 40 139 4 3 8
21 81 2 2 2 31 114 1 2 0 41 142 1
9
22 83 3 3 2 32 116 8 1 0
精选2021版课件
20
到达间隔分布表
1）、输入过程(顾客到达的方式)
a、顾客的总体（顾客源）的组成可能是有限的，也 可能是无限的；
b、顾客相继到达的时间间隔可以是确定的，也可以 是随机的，对于随机的情形，要知道单位时间内的 顾客到达数或相继到达的间隔时间的概率分布；
c 、输入过程可以是平稳的（描述相继到达的间隔时 间分布和所含参数（如期望值、方差等）都是与时 间无关的），否则成为非平稳的，我们研究平稳的。
到达间隔 次 (分钟) 数
1
6
2
10
3
8
4
6
5
3
6
2
7
2
8
1
9
1
10以上 1
合计 40
服务时间分布表
服务时间 次 (分钟) 数
1
10
2
10
8.2 单服务台排队模型
3
排队模型的符号定义为： A/B/C/m/N
A — 顾客到达间隔时间概率分布; B — 服务时间的概率分布; C — 服务台数； m — 顾客源总数 N — 系统内顾客的容量
精选课件ppt
4
排队系统的常见分布
1、泊松分布 设N(Δt)表示在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客 数，是随机变量。当N(Δt)满足下列三个条件时，我们 说顾客的到达符合泊松分布。这三个条件是： (1)平稳性 在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客数 N(Δt)，只与区间长度Δt有关而与时间起点t无关。 (2)无后效性 在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客 数N(Δt)，与t以前到达的顾客数独立。
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24
20人 /小 时24人 /小 时
（5）平均逗留时间
W L 5 0 .2 （ 5小 时 ） 1 5 （ 分 钟 ） 2 0 （6）系统内有n个患者取药的概率
P nn ( 1 ) ( 1 2 2 0 4 ) (2 2 0 4 )n n 1 ,2 ,3 ,
P 1 1 3 . 8 9 % P 2 1 1 . 5 7 % P 3 9 . 6 5 %
1
2
3
4
5
6
≧7
28
29
16
10
6
1
0
x nfn2.（ 1人 /小 时 ） 100
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11
1、原理 判断样本观察频数（A）与理论(期望)频数（T ）
之差是否由抽样误差所引起。
类别或组段 观察频数
理论频数
1
A1
T1
2
A2
T2
…
…
…
k
排队论模型
E[N (t)] = λt ； Var[N (t)] = λt 。
当输入过程是泊松流时，那么顾客相继到达的时间间隔 T 必服从指数分布。这是
由于
P{T > t} = P{[0, t) 内呼叫次数为零} = P0 (t) = e−λt 那么，以 F (t) 表示 T 的分布函数，则有
P{T
≤
t}
=
F (t)
设 N (t) 表示在时间区间 [0, t) 内到达的顾客数（ t > 0 ），令 Pn (t1,t2 ) 表示在时间区
间 [t1,t2 )(t2 > t1 ) 内有 n(≥ 0) 个顾客到达的概率，即 Pn (t1,t2 ) = P{N (t2 ) − N (t1) = n} (t2 > t1, n ≥ 0)
=
⎧1 − e−λt , ⎨
⎩0,
t≥0 t<0
而分布密度函数为
f (t) = λe−λt , t > 0 .
-121-
对于泊松流, λ 表示单位时间平均到达的顾客数,所以 1 就表示相继顾客到达平均 λ
间隔时间，而这正和 ET 的意义相符。
对一顾客的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间，有时也服从
n=2
（2）
-120-
在上述条件下，我们研究顾客到达数 n 的概率分布。 由条件 2o，我们总可以取时间由 0 算起，并简记 Pn (0,t) = Pn (t) 。
由条件 1o 和 2o，有
P0 (t + Δt) = P0 (t)P0 (Δt)
n
∑ Pn (t + Δt) = Pn−k (t)Pk (Δt), k =0
指数分布是单参数 λ 的非对称分布，记作 Exp(λ) ，概率密度函数为：
排队论模型PPT课件
0 0 0
顾客离去
10%
(
调试 0 检验
)
90
%
第8页/共40页
(5)匹配排队模型
煤矿 火车 煤仓
汽车(或火车)
港口
轮船
另外还有
(6)优先权的排队系统 (7)成批排队模型 (8)有限源排队模型
我们讨论(1)(2)两种
第9页/共40页
（三）、建立排队模型步骤 1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间的相互
时解，一般这种瞬时解是难以求得的
第14页/共40页
3.统计平衡下的极限解
实际应用中，关心的是t 时，方程的解称
为
生
灭
lim t
过程微
pn(t) pn
分由p差n' (t)分 0方
程
组
的
极
限
解
。
令
及(9.1)(9.2)式得当S
为有n1限pn状1 态(n集 时n )，pn (9.n11)p式n1 变 0为
2.几种重要的排队模型 (1)单服务台系统
顾客到达
排队
00…00
服务台
(2)多服务台的平衡系统
顾客离去
顾客到达 排队 服务台
00…00
顾客离去
顾客离去 服务台
服务机构
第7页/共40页
(3)串联排队系统
顾客到达 排队 00…00
0
0
顾客离去
M1
M2
…
Mn
0
(4)排队网络模型
顾客到达 排队 00…00
第2页/共40页
输入过程一样，服务时间都是随机的，且我们假设，设
n表示服务员为n个顾客提供服务所需的时间，则服务
运筹学-第十章-排队论
一般来说，排队论所研究的排队系统中，顾客到来的时 刻和服务台提供服务的时间长短都是随机的，因此这样 的服务系统被称为随机服务系统
小结
排队系统又称随机服务系统 ① 有请求服务的人或物； ② 有为顾客服务的人或物； ③ 顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
结构： 顾客到达 ----- 排队 ------ 服务机构服务 ------ 顾客离去
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的 系统，网络排队系统等
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可以由图10-5 加以描述
图10-5 随机服务系统
通常称上图表示的系统为一随机聚散服务系统，任一排队系 统都是一个随机聚散服务系统。 这里，“聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。
所谓随机性则是排队系统的一个普遍特点，是指顾客的 到达情况(如相继到达时间间隔)与每个顾客接受服务的时 间往往是事先无法确切知道的，或者说是随机的。
II
在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
3、其他相关指标
(1)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成 服务的顾客数；
(2)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务 而离去的概率;
（对损失制或系统容量有限而言） (3)服务强度： = /s ；
根据前面的约定，我们将主要分析系统的平稳分布。于是记： Pn ：当系统达到统计平衡时处于状态n的概率（pn(t)）
② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过 某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动 离去，并不再回来。 如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动 离去另找饭店用餐。
③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如 用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区 域的时间为t 时，若在这个时间内未被击落，也就不 可能再被击落了。
小结
排队系统又称随机服务系统 ① 有请求服务的人或物； ② 有为顾客服务的人或物； ③ 顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
结构： 顾客到达 ----- 排队 ------ 服务机构服务 ------ 顾客离去
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的 系统，网络排队系统等
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可以由图10-5 加以描述
图10-5 随机服务系统
通常称上图表示的系统为一随机聚散服务系统，任一排队系 统都是一个随机聚散服务系统。 这里，“聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。
所谓随机性则是排队系统的一个普遍特点，是指顾客的 到达情况(如相继到达时间间隔)与每个顾客接受服务的时 间往往是事先无法确切知道的，或者说是随机的。
II
在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
3、其他相关指标
(1)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成 服务的顾客数；
(2)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务 而离去的概率;
（对损失制或系统容量有限而言） (3)服务强度： = /s ；
根据前面的约定，我们将主要分析系统的平稳分布。于是记： Pn ：当系统达到统计平衡时处于状态n的概率（pn(t)）
② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过 某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动 离去，并不再回来。 如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动 离去另找饭店用餐。
③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如 用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区 域的时间为t 时，若在这个时间内未被击落，也就不 可能再被击落了。
第十章 物流运筹学——排队论
2．排队问题解决 （1）排队问题分析。将每次到达的药品看作一 个客户，每次到达的药品可能有一个品规也可能 有多个品规，每个品规验收员都要进行验收。由 于国药集团医药控股沈阳有限公司物流中心的供 应商分布在全国各地，没有关联性药品到达相互 独立。验收的服务时间由于到达货物的品规数， 到货包装破损情况，药品剂型等的不同每个客户 的验收时间也不同，客户的服务时间可能服从负 指数分布。 （2）客户到达服务观察。从4月12日到7月12 日62个工作日中利用随机抽样原则随机抽取了10 天进行观察，记录每天9个时段内客户到达的数量。
c
ρ
P0
Pc
D
4 0.75 0.0377 0.1272 0.5090
5 0.6 0.0466 0.0945 0.2363
6 0.5 0.0489 0.0495 0.0990
7 0.43 0.0495 0.0215 0.0377
可见，应设置7个站台。
M / M / c / ∞ 排队系统模型（
λ
0 1
案例分析
以国药集团医药控股沈阳有限公司在验收服务 设施配置中的应用，给出排队模型，说明排队理论 在实际当中的应用情况。 • 国药集团医药控股沈阳有限公司物流中心每天 要验收大量的货物，货物到达后需要签收、验收、 入库。现验收组有两人，验收员和理货员各一人， 从2004年4月开始由于到货量增加，验收出现不及 时，经常被内部客户投诉。物流中心为提高客户服 务水平，需要增加验收服务能力，为此需要对验收 排队服务进行以下数量分析作为决策依据。 1．决策目标 （1）降低客户等待时间； （2）降低作业成本。 •
实训设计
• 【实训目标】 实训目标 掌握 M / M / c （包括 c =1）排队模型的各项系 统指标的求解方法。 • 【实训内容与要求 实训内容与要求】 在企业内或流通环节中调查数据，并以此建 立数学模型，利用排队模型计算得出的各项系统 指标来具体分析系统的结构，以获得更好的效益。 • 【成果与检验 成果与检验】 能够建立相应的排队模型，利用以给出的系 统指标公式，给出系统的量化结果。
排队论模型解析
服务机构工作强度=由于服务顾客的时间/服务设施总的服务时间
=1-服务设施总的空闲时间/服务设施总的服务时间
排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主要参 数的统计推断和对排队系统的结构分析，判断一 个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排 队理论进行研究。 2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律 性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分 布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。 3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优 运营（动态优化）。
i e
P{x i} i!
可计算出理论频率、理论频数及项 fi npi
( fi npi )2 npi 见下页表所示
查表知:
(k r 1) 0.05(6) 12.592 6.2815
故可接受泊松分布假设。
15
fi
pi
npi fi-npi (fi-npi)2/npi
1 5
0.015 0.063
每隔1分钟统计一次乘客到达情况，共统计100次，
其结果如表所示，问顾客是否服从普阿松流。
14
状 态 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ≥12 实 际 频 数 fi 1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 0
解：先估计分布的参数λ，由极大似然估计法得：
ˆ x 4.2 ,并根据公式
8
排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究 排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系 统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现 有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。
排队问题的一般步骤： 1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分 布和服务时间分布(可实测)。 2. 研究分析排队系统理论分布的概率特征。 3. 研究系统状态的概率。系统状态是指系统中 顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时刻系统中有 n个顾客的概率，也称瞬态概率。
=1-服务设施总的空闲时间/服务设施总的服务时间
排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主要参 数的统计推断和对排队系统的结构分析，判断一 个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排 队理论进行研究。 2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律 性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分 布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。 3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优 运营（动态优化）。
i e
P{x i} i!
可计算出理论频率、理论频数及项 fi npi
( fi npi )2 npi 见下页表所示
查表知:
(k r 1) 0.05(6) 12.592 6.2815
故可接受泊松分布假设。
15
fi
pi
npi fi-npi (fi-npi)2/npi
1 5
0.015 0.063
每隔1分钟统计一次乘客到达情况，共统计100次，
其结果如表所示，问顾客是否服从普阿松流。
14
状 态 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ≥12 实 际 频 数 fi 1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 0
解：先估计分布的参数λ，由极大似然估计法得：
ˆ x 4.2 ,并根据公式
8
排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究 排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系 统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现 有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。
排队问题的一般步骤： 1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分 布和服务时间分布(可实测)。 2. 研究分析排队系统理论分布的概率特征。 3. 研究系统状态的概率。系统状态是指系统中 顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时刻系统中有 n个顾客的概率，也称瞬态概率。
排队论大学课件8-单服务窗排队模型
书57页
18
4 可变服务率的M/M/1排队模型
服务率会因为系统中的顾客数不同而变化 举例1（有2种服务率的情况）
等待制排队系统，服务率大于到达率时系统才能 进入统计平衡状态
0 1 1 2
n-1
n 1
n+1 2
2
1
1
1
2
2
2
顾客数小于等于n时，采用服务率1
0
1
2
m-1
m
可约、状态有限，因此是个遍历链，必 定存在唯一的平稳分布
11
3.3 M/M/1/m的平稳分布
平衡方程
正则条件： 1
p1 p0 p0 2 p2 p1 p 0 ... m pm p m 1 p 0
k-1 +k-2
k
k+1 +k
+k-1
26
7 单服务窗闭合式排队模型 M/M/1/m/m
顾客到达排队系统间隔时间服从负指数分布 顾客接受服务的时间服从负指数分布，参数为 假定顾客源中单个顾客的到达率为
顾客源中的顾客数m-c (m-c)
系统内的顾客数c
0cm
k 0
k 1
(1 )(
1
)
1
2. 顾客在系统内平均逗留时间
Ws Ls
1
(1 )
1
5
2.4 M/M/1的目标参量
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单通道 Title in 多阶段 here
26
排队系统的四种变形-1
单通道，单阶段
排队
服务台
单通道、单阶段排队系统
单通道 多阶段 排队 服务台 服务台
单通道、多阶段排队系统 27
排队系统的四种变形-2
多通道 单阶段
多通道、单阶段排队系统
多通道 多阶段
多通道、多阶段排队系统
28
4 排队模型 4.1 排队问题的一般表达方式
1 排队论的基本问题 1.1 排队论的主要研究内容
数量指标
研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分 布及其数字特征，了解系统的基本运行特征。
统计推断
检验系统是否达到平稳状态；检验顾客达到间隔 的独立性；确定服务时间分布及参数。
系统优化
系统的最优设计和最优运营问题。
8
1.2 排队论的经济含义
c 1 n c 1
r p0 n!
Pn
n
(0 n c) (n c)
1 r n p0 c n c gc !
36
例1
一个码头，设待卸货船到达时间间隔服从 负指数分布，平均到达 2 艘/小时；服务台 是1台吊车，卸货时间服从负指数分布， 平均每 20 分钟可卸一艘货船，当被占用 时，新到货船只能停在码头等待。求在平 稳状态下码头上货船的平均数；等待卸货 船只的平均数；每艘货船在码头的平均停 留时间；货船平均需等待多长时间可以开 始卸货。
排队规则的3种类型
等待制
混合制
排队规则
损失制
24
等待制的四种类型
等待制
先到先服务 FCFS
后到先服务 LCFS
随机服务 RS
最短处理时间 SPT
25
3.4 服务员数量
排队系统中的常见变形
Title in 多通道 here 单阶段
Title in 多通道 here 多阶段
排队系统
Title in 单通道 here 单阶段
0
1 2 3
10
28 29 16
4
5 ≥6
10
6 1
合计
100
解：
这也是一个M/M/1排队问题 （1）计算平均到达率
nf
100
n
2.1(人 / 时)
平均手术时间
tf T
t
平均服务率
1 u 2.5(人/时) 0.4
41
100
0.4(时/人)
（2）取=2.1，=2.5，通过统计检验方法认为 病人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手 术时间服从参数为2.5的指数分布。
3
引导案例-2 医院排队系统
4
形形色色的排队系统
达到的顾客 出故障的机器 修理技工 病人 电话呼叫 进港货船 入水库河水 达到机场上空的飞机 刑事案件 达到路口的车辆 来犯敌机 要求服务的内容 修理 领取修配零件 诊断（或治疗） 通话 装（卸）货 放水、调整水位 降落 侦破 通过路口 截击 服务的机构 修理技工 发放修配零件的管理员 医生（或治疗设备） 交换台 装（卸）货码头（泊位） 水闸、管理员 跑道 刑侦部门 交通信号灯 我防空部队
18
3.2.2 指数分布
当顾客以完全随机的方式到达服务实 施时，相邻到达间隔时间服从指数分 布，但平均到达率不变； 随机服务时间服从指数分布，但平均 服务率不变；
19
（负）指数分布的形式
相对频率 ％
指数分布 （时间）
0
时间 图 负指数分布 20
（负）指数分布的概率密度函数
f(t) λe λt
一般形式： X / Y / C
X —顾客相继达到时间间隔的概率分布； Y —服务时间的概率分布； C—服务台的个数；
29
4.2 一些特殊排队模型
指数分布
模型 分布 1 2 3 4 服务 到达 排队 顾客源 阶段 分布 规则 服务时 队列 间分布 长度 指数 常数 指数 指数 无限 典型例子 模型表 示
4.4 模型参数计算-1（ M/M/1）
系统利用率
正在接受服务的顾客平均数
系统中的平均顾客数
系统中等待的平均顾客数
Lq Ls Wq Ls r
Ls Ws u
r
顾客平均逗留时间
顾客平均等待时间
1 Wq Ws u
n
1 Ls Ws u
排队问题的核心问题实际上就是对不 同因素做权衡决策。管理者必须衡量 为提供更快捷的服务（如更多的车道、 额外的降落跑道、更多的收银台）而 增加的成本和相应的等待造成的费用 之间的关系。
9
服务成本与等待成本的权衡（成本－效益平衡）
总成本
最小值 服务成本 成本
等待成本
最佳能力
排队分析的目的是使顾客等待成本与服务能力成本 这两项成本之和最小
图 泊松分布
17
泊松分布的概率密度函数
(T ) n e T PT (n) n! T：单位时间段；:到达率 n：单位时间段内到达的人数
如果一个系统的平均到达率是每分钟有3个顾 客到达（ =3），求1分钟内有5个人到达的 概率 (n 5, T 1)
(3 1)5 e31 35 e3 P (5) 2.025e3 0.101 1 5! 120
排队论
教学目的：了解排队论的经济含义； 排队系统的一般概念和简单的排队系 统；了解排队问题的计算机仿真。
1
学习内容
大纲内容 基本概念 知识要点 排队系统 泊松分布、负指数分布
排队系统
排队模型的运用 排队问题的仿真
排队系统的一般指标
M/M/1、M/M/C Excel 仿真
2
引导案例-1 银行排队系统
38
例2
某医院手术室根据病人就诊和完成手 术时间的记录，任意抽查100个工作 小时，每小时来就诊的病人数n的出 现次数如表6所示。又任意抽查了100 个完成手术的病例，所用时间t出现 的次数如下表所示。试分别用公式、 excel和仿真求解：
39
到达病人数
到达病人数 n 出现次数 fn
手术时间
为病人完成手术 时间t/小时 0.0~0.2 0.2~0.4 0.4~0.6 0.6 ~1.8 0.8~1.0 1.0~1.2 >1.2 合计 出现次数 ft 38 25 17 9 6 5 0 100 40
系统利用率 正在接受服务的顾客平均数 系统中等待的平均顾客数 系统中的平均顾客数 顾客平均逗留时间 顾客平均等待时间
，C 1 C
r
Lq
2
2u (u )
Ls Lq r Ls Ws
Wq
Lq
34
常数服务时间能将系统的平均顾客数砍掉一半
4.4 模型参数计算-3（ M/M/C）-1
：单位时间段内到达的顾客数量
t：时间间隔
21
表 下一个到达的顾客的时间间隔的概率
（1） t（分钟）
（2） 分钟内到达的概率
（3） 分钟内到达的概率 0 0.39
下一个顾客在大于等于t 下一个顾客在小于等于t
0 0.5
1.00 0.61
1.0
1.5 2.0
0.37
0.22 0.14
0.63
0.78 0.86
10
2 排队论概述 2.1 基本概念
概念
在队列中，等待服务的顾客（customer）和服务台 （server）就构成了一个排队系统（queuing system）。
本质
研究服务台与顾客之间服务与接收服务的效率问题。
总体目标
以最少的服务台满足最多的客户需求。
11
2.2 排队系统的一般形式
排队可以是有形的队列，也可以是无 形的队列。排队可以是人，也可以是 物。
服务系统 顾客源 排队结构 排队规则 服务规则
顾客到来
服 务 机 构
顾客离去
12
3 排队问题的特征
总体来源 到达与服务模式 排队纪律（服务顺序）
服务员数量（通道）
13
3.1 总体来源
分析排队问题所用方法取决于潜在顾 客数量是否有限。
潜在顾客数量
本章讨论的重点 无限顾客源
例如：排队等候 公共汽车的乘客 人数 14
备注：设＝ 1
22
3.2.3 泊松分布和指数分布的关系
泊松分布与指数分布可以互相推导得 到。泊松分布的期望值和方差相等， 都为 ；指数分布期望值为1/ ,方差 为1/ 2 。 相邻顾客到达时间间隔服从指数分布， 单位时间段内到达的顾客数服从泊松 分布。
23
3.3 排队纪律/排队规则/服务顺序
37
解：
这是一个典型的M/M/1排队问题
2
60 u 3 20
r 2 1 3
2 Ls 2(艘) u 3 2
2 4 Lq Ls r 2 (艘) 3 3
Ws
Ls
2 1(小时) 2
4 Lq 3 2 Wq (小时) 2 3
则称 ｛N（t），t ≥0 ｝为Poisson 过程，其对 应的分布为泊松分布（ Poisson 分布）。
16
泊松分布的形式
相对 频度
0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00
泊松分布 （比率）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 每单位时间顾客数
5
为什么会出现排队现象？
顾客
������
������
顾客排队 服务设施
顾客离开
假定每小时平均有4位顾客到达，服务人员为每位顾客的平 均服务时间为15分钟。如果顾客到达的间隔时间正好是15分钟， 而服务人员为每位顾客的服务时间也正好是15分钟，那么，就 只需要一名服务人员，顾客也根本用不着等待。 在以下情况将出现排队现象： ������ ������ 平均到达率高于平均服务率 顾客到达的间隔时间不一样（随机）