垂直于弦的直径
九年级数学垂直于弦的直径
在机械制造中应用
机械制造中的轴心定位
在机械制造中，垂直于弦的直径原理可用于轴心的定位。通过确保轴心与某个参考平面垂直，可以确保机械部件 的精确运动和定位。
机械制造中的切削工具设计
在切削工具的设计中，垂直于弦的直径可用于确定切削刃的角度和形状。这有助于确保切削工具在加工过程中能 够准确地去除材料，并获得所需的表面质量和精度。
九年级数学垂直于弦的直径
目
CONTENCT
录
• 垂直于弦的直径基本概念与性质 • 垂直于弦直径在圆中位置关系 • 垂直于弦直径判定方法 • 垂直于弦直径在几何证明中应用 • 垂直于弦直径在解决实际问题中应
用 • 总结回顾与拓展延伸
01
垂直于弦的直径基本概念与性质
定义及性质介绍
01
定义：垂直于弦的直径是指一 个圆的直径，它垂直于给定弦
80%
问题三
探讨垂径定理在解决实际问题中 的应用，如建筑设计、工程测量 等领域中如何利用垂径定理进行 计算和测量。
THANK YOU
感谢聆听
03
D、∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴DE=CE，故本选项正确；
04
故选C．
03
垂直于弦直径判定方法
利用垂径定理判定
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
判定方法
若一条直径垂直于弦，则该直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。因此， 我们可以通过观察图形或计算来验证这一条件，从而判断一条直径是否垂直于 弦。
解析
连接AC、FC，由于AB是⊙O的直径且AB⊥CD， 根据垂径定理可知弧AC=弧AD。因此， ∠AFC=∠ACF。又因为∠GFC是弧AC所对的圆周角， ∠ACF是弧AD所对的圆周角，所以∠GFC=∠ACF。 因此，∠AFD=∠GFC。
垂直于弦的直径--垂径定理1-条件具备直接用
24.1.2(1.1)垂直于弦的直径--垂径定理1-条件具备直接用一．【知识要点】1.作弦心距构造黄金三角形解题,基本模型：二．【经典例题】1.如图，在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径长．2.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,AB=10,CD=8,那么AE的长为( )A.2B.3C.4D.53. 如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．若⊙O的半径为1，CD则∠ABC的度数是________．6.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.(1)当AB=10,CD=6时,求OE的长;(2)∠OCD的平分线交☉O于点P,连接OP.求证:OP∥CD.三．【题库】【A 】1.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径OB ＝10， 截面圆圆心O 到水面的距离OC ＝6，则水面宽AB ＝ （ ）A.8.B.10.C.12.D.16.2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30º，⊙O的半径为3cm ， 求弦CD 的长. 3如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AB ⊥CD 于点E, 若AB=10,CD=6,则BE 的长是( ).A.4B.3C.2D.1AB CO【B 】1.如图,☉O 的直径AB=12,CD 是☉O 的弦,CD ⊥AB,垂足为P,且BP ∶AP=1∶5,则CD 的长为( ) A.42 B.82 C.25 D.452.如图,AB 是☉O 的弦,AB 长为8,P 是☉O 上一个动点(不与A,B 重合),过点O 作OC ⊥AP 于点C,OD ⊥PB 于点D,则CD 的长为_______________.3.如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AE 的垂直平分线交⊙O 于点C ，CD ⊥AB 于D ，BD ＝1，AE ＝4，则AD 的长为（ ）．A ．33B ．4C ．5D ．52【C 】1.如图,MN 为☉O 的直径,A,B 是☉O 上的两点,过A 作AC ⊥MN 于点C,过B 作BD ⊥MN 于点D,P 为DC 上的任意一点,若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB 的最小值是______________.【D】。
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径简介在数学几何中，弦是圆上的线段，而直径是连接圆的两个点的线段，且经过圆心。
垂直于弦的直径指的是与弦互相垂直的直径。
本文将介绍垂直于弦的直径的性质和相关定理。
垂直于弦的直径的性质1.垂直性质：垂直于弦的直径与弦互相垂直。
也就是说，如果一条直径与一个弦相交，并且与这个弦的交点互相垂直，那么这条直径就是垂直于该弦的直径。
2.关于圆心的性质：垂直于弦的直径通过圆心。
由弦的性质可知，连接弦的两个端点和圆心的线段形成一个三角形，而垂直于弦的直径正好是这个三角形的高。
3.长度性质：垂直于弦的直径是所有以弦为直径的圆中最长的直径。
垂直于弦的直径的定理1.定理一：垂直于弦的直径平分弦如果一条直径垂直于计圆的一条弦，那么这条直径将会平分该弦。
即弦的两个端点到直径上的交点的距离相等。
2.定理二：以垂直于弦的直径为直径的圆相切于弦以垂直于弦的直径为直径的圆和原有的圆相切于弦的两个端点。
这意味着，以垂直于弦的直径为直径的圆与原有圆恰好有一个公共的切点。
3.定理三：垂直于弦的直径经过圆心垂直于弦的直径经过圆心，也就是说，垂直于弦的直径的两个端点和圆心三个点共线。
应用举例应用一：判定两条弦是否垂直对于给定的两条弦，如果它们的交点和圆心三点共线，那么这两条弦就垂直。
应用二：平分弦当我们需要将一条弦平分为两段时，可以通过构造垂直于弦的直径来实现。
只需在弦的中点上构造垂直于弦的直径，即可将弦平分为两段。
结论垂直于弦的直径在圆的几何性质中扮演着重要的角色。
它具有许多有趣的性质和定理，对于解决几何问题有着重要的作用。
通过理解垂直于弦的直径的性质，我们能够更深入地理解圆的几何特征，提升解题的能力。
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人教版九年级数学上《垂直于弦的直径》知识全解
《垂直于弦的直径》知识全解课标要求1．经历圆的轴对称性和垂径定理及其推论的探索过程，理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论；2．会运用垂径定理及其推论解决一些证明、计算和作图问题．知识结构内容解析1．圆的对称性圆既是中心对称图形，又是轴对称图形．在⊙O中，将圆周绕圆心O旋转任意一个角度，都能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心O；圆可以绕圆心作任意角度的旋转变换，经过圆心O的任意一条直线，并沿次直线⊙O对折，直线两旁的部分能完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，因为圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．2．垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，如图是直径的基本图形：这个定理的条件有两项：（1）CD是⊙O的直径，AB是弦；（2）CD⊥AB，垂足为E．定理的结论有三项：（1）AE=BE；（2）AD=BD；（3）AC=BC．理解垂径定理要注意以下四点：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其实质是“过圆心”；（2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立；（3）垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了思考的方法和理论依据；（4）垂径定理也可以这样理解：一条直线，如果它具有两个性质：①经过圆心；②垂直于弦，那么这条直线就具有另外三个性质：①平分弦；②平分弦所对的劣弧；③平分弦所对的优弧．3．垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，如图是垂径定理推论的基本图形：其条件有两项：（1）AB过圆心O；（2）AB平分非直径的弦CD与点M，其结论有三项：（1）AB⊥CD于点M，（2）AC=AD；（3）BC=BD．方法规律：垂径定理的内容可以概括为五二三或知二推三，一条直线如果具有：（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，则必然具备其余三条，简称“知二推三”．特别提醒：以上“知二推三”中（3）“平分弦”为条件时，弦一定不能是直径，若是直径，则结论不一定成立，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直；“平分弦”为结论时，弦包括直径，因为垂径定理中的弦就包括直径．重点难点本节的重点是：垂径定理及其应用．教学重点的解决方法：从日常生活现象入手，循序渐进，引导学生归纳出垂径定理的有关内容，借助对垂径定理的探究来归纳出垂径定理的基本图形，学生利用由易到难的练习来加深垂径定理的理解．本节的难点是：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．教学难点的解决方法：从生活中的垂径定理问题入手，让学生体会生活中的垂径定理的应用，并通过垂径定理的探究，逐步掌握垂径定理及其应用，最后通过课堂练习得到巩固．教法导引本节课采用的教学方法是“主体探究式”．整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证．令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理．学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人．学法建议圆是平面几何知识中接触到的唯一的曲线形，因此它在研究问题的方法上与直线形有很大的不同，所以在学习这部分知识时要注意这个问题．另外，这一章的概念和定理较多，学习时要注意阶段性的小结，巩固每一阶段的知识．由于本章要经常用到前面学过的许多知识，综合性较强，所以要不怕困难，才能学好本章．。
垂直于弦的直径-教案
教案：垂直于弦的直径第一章：引言教学目标：1. 了解垂直于弦的直径的概念。
2. 掌握垂直于弦的直径的性质。
教学内容：1. 引入垂直于弦的直径的定义。
2. 解释垂直于弦的直径的性质。
教学步骤：1. 引入垂直于弦的直径的概念，让学生初步了解。
2. 通过示例，解释垂直于弦的直径的性质，让学生理解并能够应用。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的概念和性质的理解。
2. 让学生举例说明如何应用垂直于弦的直径的性质。
第二章：垂直于弦的直径的性质教学目标：1. 掌握垂直于弦的直径的性质。
2. 能够应用垂直于弦的直径的性质解决几何问题。
教学内容：1. 回顾垂直于弦的直径的定义。
2. 讲解垂直于弦的直径的性质。
教学步骤：1. 复习垂直于弦的直径的定义，让学生巩固记忆。
2. 讲解垂直于弦的直径的性质，并通过示例进行解释。
3. 让学生进行练习，巩固对垂直于弦的直径的性质的理解。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的性质的理解。
2. 让学生解决一些应用题，检验其对垂直于弦的直径的性质的掌握程度。
第三章：垂直于弦的直径的证明教学目标：1. 能够理解和证明垂直于弦的直径的性质。
2. 能够运用证明来解决几何问题。
教学内容：1. 讲解垂直于弦的直径的证明方法。
2. 引导学生进行证明练习。
教学步骤：1. 讲解垂直于弦的直径的证明方法，让学生理解证明的过程。
2. 引导学生进行证明练习，让学生巩固证明方法。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的证明方法的理解。
2. 让学生解决一些证明题，检验其对垂直于弦的直径的证明方法的掌握程度。
第四章：垂直于弦的直径的应用教学目标：1. 能够应用垂直于弦的直径的性质解决几何问题。
2. 能够运用证明来解决几何问题。
教学内容：1. 讲解垂直于弦的直径的应用方法。
2. 引导学生进行应用练习。
教学步骤：1. 讲解垂直于弦的直径的应用方法，让学生理解如何应用性质解决几何问题。
2. 引导学生进行应用练习，让学生巩固应用方法。
垂直于弦的直径
④⑤
①②③
注意要点
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备： ① 经过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD， 你能得到什么结论？
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平 分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径，CD⊥AB
O · A
∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
O · A
∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
知识点三：
垂径定理的推论
定理：如图,在下列五个条件中:
① CD是直径(一条直线过圆心) ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
C
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
A
M└
●
B
O
D
垂径定理的推论
条件
①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤
结论
②④⑤ ②③⑤ ②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④ ①②⑤ ①②④
命题
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧． 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧． 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧． 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 分弦和所对的另一条弧． 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦 ，并且平分弦所对的另一条弧． 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
垂直于弦的直径
C
E
B D
CD⊥AB AE=BE
变式一： 求弧AB的四等分点．
m F A E C G B n
D
弧AB的四等分点的典型错误．
错在哪里？
Ｅ
C
Ｍ
G
Ｐ
1．作AB的垂直平分线CD 2．作AT、BT的垂直平分 线EF、GH
Ｎ
强调：等分弧时一定 要作弧所对的弦的垂 直平分线．
O
E
A
D
B
求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定 理转化为直角三角形,从而利用勾股定理 来解决问题.
练习1:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A D
F E O C B
练习2. 已知AB，如图，用直尺和圆规求作 这条弧的中点
⌒
作法：⒈ 连结AB. ⒉作AB的垂直平分 线 CD，交弧AB于 点E. 点E就是所求弧AB的中点．
A
Ｔ
B
F
D
Ｈ
变式二：你能确定弧AB的圆心吗？ 方法：只要在圆 弧上任意取两条 a 弦，画这两条弦 的垂直平分线， A 交点即为圆弧的 圆心． C
b
B O
变式三.你能找到原来车轮的圆心吗?
提高练习: 1． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD， AB=12，CD=16，则AB和CD的距离 为 2或14 ． 2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于 点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的 A 长．
B
定理演绎:
C O A E
推论二.
CD⊥AB AE=BE
CD是直径 (或CD过圆心)
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径什么是垂直于弦的直径？在圆的几何学中，直径是两个在圆周上相对点之间的线段，并且经过圆心。
而垂直于弦的直径是指与给定弦垂直的直径。
换句话说，如果一个直径与某条弦垂直相交，那么它就是垂直于弦的直径。
特性和性质1.垂直于弦的直径的性质之一是它们互相垂直。
这意味着，如果两条直径都是垂直于同一条弦，那么这两条直径相互垂直。
2.对于一个给定的圆和一条弦，只有一个垂直于该弦的直径。
这是因为直径经过圆心，且圆心位于弦的垂直平分线上。
3.垂直于弦的直径被称为弦的直径。
这是因为垂直于弦的直径通过弦的中点，并将弦一分为二。
4.对于一个给定的圆，以及圆心处的一点，存在唯一的垂直于通过该点的弦的直径。
这是因为垂直于弦的直径经过圆心。
如何证明一条直径垂直于弦？要证明一条直径垂直于弦，可以使用以下步骤：1.假设有一个圆，以及一条弦和它的中点。
我们需要证明通过该中点的直径是垂直于弦。
2.通过指定的弦的两个端点和圆心绘制弧。
3.连接弧的两个端点与圆心，形成两条半径。
4.根据性质，半径与圆周相切于弦的端点。
5.通过弦的中点绘制一条水平线段，并通过圆心绘制一条垂直线段。
6.证明水平线段与垂直线段相交于直径的一点。
7.由于水平线段与弦平行，且垂直线段与弧相切于弦的端点，因此直径与弦垂直相交。
8.因此，通过弦的中点的直径是垂直于弦的。
垂直于弦的直径的应用垂直于弦的直径的概念在几何学和数学中具有广泛的应用。
以下是几个具体的应用场景：1.圆锥与割线问题：当我们考虑一个锥体与平面相交时，垂直于割线的直径对于计算截面的半径和圆锥的体积非常有用。
2.弦截矩关系：根据垂直于弦的直径的性质，我们可以推导出弦的截矩公式。
截矩是描述截面形状的一个参数，它对于材料的强度和性能分析非常重要。
3.三角函数与圆：在三角函数中，正弦值、余弦值和正切值等与圆相关的概念经常涉及到垂直于弦的直径。
这些概念为我们理解三角函数的图像、计算角度和边长提供了基础。
第07讲 垂径定理
第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。
24.1.2垂直于弦的直径(2)
O
M
B
O
M
B C
N
D
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半 径OC的长。
O D A
C
B
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A 圆心到弦的距离d、弦长a中， D 任意知道两个量，可根据 垂径定理和勾股 定理求出第三个量.
B
E
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
D
E O
C
B
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD, AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,
驶向胜利 的彼岸
交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
B M
E A O
.
D
图中相等的劣弧有:
.
C
F
N
小 结
1、垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所 的两条弧.
2、垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直 径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 3、垂径定理及其推论： 如果一条直线，满足下列 五个条件：①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平 分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 中的任意两个，就能推出另外的三个结论. 4、重要结论：圆中两条平行弦所夹的弧相等.
∵ OE⊥AD =π(OA2－OB2) ∴由勾股定理得 =π(AE2－BE2 ) OA2=AE2+OE2,OB2=BE2+OE2 = π(32－22 )=5π ∴OA2－OB2=AE2－BE2 答:圆环面积为5πcm2.
已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的 弦AD交小圆于B，C两点. ⑴求证：AB＝CD ⑵如果AD=6cm，BC=4cm，求圆 环的面积.
垂直于弦的直径-PPT课件
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
Ｃ
Ｏ
垂径定理：
Ａ
ＥＢ
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
推论：
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
几何语言：已知：CD是直径, CD⊥AB
求证：AE=BE
A⌒D=B⌒D. A⌒C =B⌒C
·O
E
A
B
D
证明：连接OA,OB
在Rt△OAE和Rt△OBE中，
OA=OB，OE=OE ∴Rt△OAE≌Rt△OBE.（HL)
∴AE=BE. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴点A和点B关于CD对称.
⌒⌒
⌒⌒
∴ AC和BC重合, AD和BD重合.
答：⊙O的半径为5cm.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
37.4m
C
7.2m
A
D
B
R
O 问题 ：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的 中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到
0.1m).
解决求赵州桥拱半径的问题
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
垂径定理及其推论
圆部份知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线通过圆心，而且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，而且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可归纳为： 过圆心 垂直于弦直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2：在同圆或等圆中，若是两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都别离相等。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：若是三角形一边上的中线等于这边的一半，那么那个三角形是直角三角形。
点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么有： d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外。
过三点的圆一、不在同一直线上的三个点确信一个圆。
二、通过三角形的三个极点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做那个三角形的外心。
直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
若是⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
垂直于弦的直径课件
04
垂直于弦的直径与勾股定理 的关系
勾股定理的表述
勾股定理
在一个直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法
利用相似三角形的性质、四边形面积 的计算、代数方法等。
垂直于弦的直径与勾股定理的联系
垂直于弦的直径是直角三角形斜 边的中线。
根据勾股定理，直角三角形斜边 的中线长度等于斜边的一半。
在航海学中，勾股定理用于确定 船只的位置和航向，例如确定船
只与陆地之间的距离和角度。
05
垂直于弦的直径在现实生活 中的应用
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，垂直于弦的直径 可以用于确定桥梁的承重能力和 稳定性，确保桥梁的安全性和可
靠性。
建筑设计
在建筑设计中，垂直于弦的直径可 以用于确定建筑物的结构强度和稳 定性，保证建筑物的安全和耐久性 。
答案
$( - frac{sqrt{3}}{3},frac{sqrt{3}}{3})$
题目
已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，直线l过 点$(a,b)$且与圆C交于A，B两点，$angle AOB = 120^{circ}$（O为坐标原点），则实数r的取值范围是 ____．
感谢您的观看
THANKS
弦
连接圆上任意两点的线段 。
直径
经过圆心，并且两端点都 在圆上的线段。
性质
弦的中垂线经过圆心
垂直于弦并且经过圆心的线段称为弦 的中垂线，它也经过圆心。
弦被直径平分
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的 部分。
弦与直径形成的角为直角
垂直于弦的直径与弦形成的角为直角 ，即弦与直径垂直。
有关垂直于弦的直径简单介绍
C
构造等腰三角形，利 用等腰三角形的性质 和勾股定理解释
A
P
.
D
· O
B
• 第三步，现在我们知道直径CD和弦AB是垂直的. 请思考：如果把圆沿直径CD所在的直线对折，弦 AB的两个端点会怎样？线段AP和线段BP有怎么 样的数量关系？这说明什么问题？同时弧AD和弧 BD，弧AC和弧BC有怎样的数量关系？为什么呢？
∴ AD=17.2 ∵ OA OD AD
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
问题三：求作弧AB的四等分点。
C m n
F
A
E
G
B
D
问题四：
你能破镜
m
n
C
重圆吗？
注意：不能做两 条平行弦的垂直 平分线 作图依据：
有关垂直于弦的直径简单介绍垂直于弦的直径圆o的直径ab垂直于弦是直径直径是圆中最长的弦弦是直径吗圆中两垂直弦的问题圆o的直径ab与弦cd证明直径是最长的弦弦的垂直平分线经过
重点 垂直于弦的直径所具有的性质以及证明. 难点 利用垂直于弦的直径的性质解决实际问 题. 关键 探 索 并 证 明 垂径定理及利用垂径定理解 决一些实际问题.
解:作 OC ⊥ AB 于 C, 由垂径定理得: AC=1/2 AB=0.5 × 16=8 由勾股定理得:
8
C
10 8
OC OB2 BC2 102 82 6
CD=OD-OC=4
D
如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦AC=8，D
⌒ 是AC的中点，连结CD，求CD的长。 B
练 一 练
《垂直于弦的直径》课件 八年级数学
垂直于弦的直径
【例2】已知：如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的 弦AB交小圆于CD两点.求证：AC=BD.
【解析】此题可用三角形全等来证明， 构造△AOC与△BOD即可；但是若利用垂 径定理来证明 会更简单.
垂直于弦的直径
5.如图1,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的 取值范围____3_≤__O_P_≤__5_________.
C
C
O
A
B
DOE
A
PB
A
D
B
图1
图2
图3
6.已知:如图2,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么
拱形的半径____1_0_____m.
7.如图3,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB, CD=CE, 则 »AC 与B»C 的大小关系是____相__等_________.
垂直于弦的直径
8．圆中两弦CD与AB互相垂直,垂足为E, 若DE=3厘米, EC=7厘米,则圆心到AB的距离OF是___2____厘米． 9. P为⊙O内一点, PO=3cm, 过P的最短弦为8cm, 则过P 的最长弦的长等于__1_0_c_m__． 10. AB⊥CD,垂足为E， CD为⊙O直径, 且AB=20, CE=4, 那么⊙O的半径是_1_4_._5_．
ห้องสมุดไป่ตู้
问题： 1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧 形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦 的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径.（精确到0.1米）
垂直于弦的直径课件ppt
OC=8cm，则AB=
；
O
45
┌
A
D
8
30°
B
C
第7页，共16页。
巩固训练
一弓形弦长为 4 c6m，弓形所在的圆的半径为7cm，则 弓形的高为＿＿＿＿.
C
C
A
D
B
O
O
A
D
B
第8页，共16页。
4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P 是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP 、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于
O
A
D
B
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上
的一个动点，那么OP长的取值范围是
。 3cm≤OP≤5cm
第12页，共16页。
5
3
4C
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最
短的弦等于 2 5 c m .
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短 弦长为2厘米，则OM的长是多少？
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦 所对的两条弧。
C
·O
AE D
第1页，共16页。
∵ CD是直径， CD⊥AB
∴ AE=BE, A⌒C ⌒ A⌒D ⌒
B
=BC, =BD.
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧。
C
·O AE
D
第2页，共16页。
∵ CD是直径， AE=BE
∴ CD⊥AB,A⌒C ⌒ A⌒D ⌒
B
=BC, =BD.
垂径定理的本质是
满足其中任两条，必定 同时满足另三条
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作出如 AB图的，中已点知， A说B出，你请的你作利法用. 尺规作图的方法
A
B
A
B
1.连接AB；
2.作AB的中垂线，交 A B于点C， 点C就是所求的点.
解决下列问题 ：
1.某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥
下面水面宽度AB为7.2米，桥的最高处点C离
归纳小结、布置作业.
小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性.
作业：第88页练习，习题24.1 第1题，第8 题，第9题.
水面的高度2.4米. 现在有一艘宽3米，船舱
顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这
里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由.CA NhomakorabeaB
解决下列问题 ：
2.银川市某居民区一处圆形下水管道破 裂，修理人员准备更换一段新管道．如下左 图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管 道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内 径多大的管道?
24.1.2 垂直于弦的直径
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直 径对折，重复做几次，你发现了什么？由 此你能得到什么结论？(课件：探究圆的 性质)
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都 是它的对称轴.
第一步，在一张纸上任意画一个⊙ O，沿 圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部
分重合；
第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙ O上任取一点A，过点A作 CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两 条折痕的交点，即垂足；
第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另
一点B.
如图， AB 所在圆的圆心是点O，
过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦 AB=16 m，求此圆的半径.
怎么越来越差……”女奴隶Ｉ．什琦珀魔女：“不让你看看我的真功夫，你个小怪物就不知道什么是高科技……”壮扭公主：“牛屎插上再多的大蒜也变不了空间站 ！你的业务实在太垃圾了！”女奴隶Ｉ．什琦珀魔女：“我让你瞧瞧我的『粉宝斧魔水闸掌』，看你还竟敢小瞧我……”壮扭公主：“嘿嘿！那我让你知道知道什么 是真正名牌的原野！欣赏欣赏什么才是顶级原版的肥妹！认真崇拜一下纯天然的壮扭公主！！”女奴隶Ｉ．玩了一个，妖体马飞凌空翻七百二十度外加呆转九百周的震撼招式。接着像亮紫色的万喉戈壁豹一样怒咒了一声，突然搞了个倒 地抽动的特技神功，身上瞬间生出了六十只活像粉丝般的深红色脚趾……紧接着扭动飘浮的特像瓜秧样的手臂一吼，露出一副典雅的神色，接着晃动青兰花色鸭掌样 的手掌，像湖青色的黑脸部落驼般的一叫，阴森的紧缩的墨绿色床垫形态的眼睛 顿时伸长了八十 倍，水绿色熏鹅一样的簸箕彩玉短裤也猛然膨胀了六十倍！最后转起 浅绿色茄子似的脑袋一颤，变态地从里面喷出一道神光，她抓住神光华丽地一摆，一套亮晶晶、亮光光的兵器『白光毒仙马妖鞭』便显露出来，只见这个这件宝器儿 ，一边抽动，一边发出“嗷哈”的余音……。飘然间女奴隶Ｉ．什琦珀魔女音速般地整出一个俯卧狂跳闪龙虾的怪异把戏，，只见她变异的腿中，变态地跳出四十簇 荒原珍珠牙猩状的枕头，随着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女的摇动，荒原珍珠牙猩状的枕头像龙虾一样在双手上悠闲地安排出片片光柱……紧接着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女又 使自己老态的脸飘舞出深黑色的花篮味，只见她水青色木偶般的面罩中，突然弹出三十道螺壳状的仙翅枕头毽子，随着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女的颤动，螺壳状的仙翅 枕头毽子像死鬼一样，朝着壮扭公主极像紫金色铜墩般的脖子神跃过来……紧跟着女奴隶Ｉ．什琦珀魔女也斜耍着兵器像香皂般的怪影一样向壮扭公主神跃过去杏仁色的灰唇河滩鹰一样疯叹了一声，突然耍了一套倒立扭曲的特技神功， 身上忽然生出了八十只美如树枝一般的深黄色翅膀！紧接着旋动睡意朦胧的眼睛一叫，露出一副美妙的神色，接着抖动酷似钢铁般的手臂，像纯白色的绿臀城堡鸡般 的一挥，时尚的圆润光滑的下巴猛然伸长了七十倍，如同明黄色飘带一样的围巾也顿时膨胀了八十倍。最后摆起神盔模样的棕褐色短发一扭，萧洒地从里面窜出一道 幻影，她抓住幻影粗野地一颤，一套青虚虚、灰叽