直线和圆的位置关系A教师版
人教A版高中数学必修二第四章 4.2.1 直线和圆的位置关系
练习： (1)若 直 线 y kx-2k与 圆( x-3)2 y 2 1 恒 有 两 个 交 点,则 实 数 k的 范 围 是 ____; (2)直 线 y kx被 圆 x 2 y2 2所 截 得 的 弦 AB的 长 为 _____; (3 )由 点 M (-1,4 )向 圆 ( x -2 )2 ( y -3)2 1所 引的切线的长是 ______ .
系;如果相,求 交出它们的交.点坐标
法一： 法
y l
B
法二 :比较 d与r的大小C .
A
O
x
弦长问题： 例 2过 .M (3,3)的直 l被x 线 2 圆 y24y2 10 所截得 45 的 ,求弦 直 l的 长 线 方 . 为 程
y
.O
x
M.
切线问题：
例 3从 . P 点 (4,5)向(圆 x2)2y24引切 , 线 求切线 ,并求方 其切程 线长。
1.成为世界上经济增长速度最快的国 家，创 造了世 界经济 增长史 上的新 奇迹。 1.否定商 品经济 的存在 ，否定 市场及 价值规 律对经 济的调 节作用 。 35、生命是以时间为单位的，浪费别 人的时 间等于 谋财害 命;浪费 自己的 时间， 等于慢 性自杀 。—— 鲁迅 36、社会上崇敬名人,于是以为名人的 话就是 名言, 却忘记 了他之 所以得 名是那 一种学 问或事 业--鲁迅 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 ”。 39、事先写出自己所要提出的每点意 见，以 合乎逻 辑的顺 序表达 出来： 言简意 骇，抓 住重点 。 2、人生的成功，不在于拿到一幅好 牌，而 是怎样 将坏牌 打好。 3、人生的路每一个人都要走一趟， 同样是 一条路 每一个 人走起 来却有 着不同 的感受 ，是好 是坏那 就要靠 几分的 机缘与 自己的 抉择。 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 ”。
北师大版数学九年级下册3.6《直线和圆的位置关系》教案2
北师大版数学九年级下册3.6《直线和圆的位置关系》教案2一. 教材分析《直线和圆的位置关系》是北师大版数学九年级下册第3.6节的内容。
本节主要让学生了解直线和圆的位置关系，包括相切和相交两种情况，并掌握判断直线和圆位置关系的方法。
通过本节的学习，学生能够进一步理解直线和圆的性质，为后续解析几何的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了直线、圆的基本性质和相互之间的交点性质。
但对于判断直线和圆位置关系的实践操作能力尚待提高，需要通过实例分析和动手操作，进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生了解直线和圆的位置关系，包括相切和相交两种情况。
2.让学生掌握判断直线和圆位置关系的方法。
3.培养学生的实践操作能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直线和圆的位置关系的判断方法。
2.教学难点：如何运用位置关系解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和动手操作法，引导学生主动探究，合作交流，从而提高学生对直线和圆位置关系的理解和应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片。
2.准备课件和教学道具。
3.安排学生在课前预习相关内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习直线和圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
例如：“直线和圆有哪些基本的性质？它们之间有什么联系？”2.呈现（15分钟）展示直线和圆的位置关系图片，让学生观察并描述它们之间的位置关系。
接着，通过课件演示直线和圆相切、相交的动态过程，引导学生直观地理解两种位置关系。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，分析直线和圆的位置关系。
学生可以利用直尺、圆规等工具进行实际操作，验证理论。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）请学生上台演示刚才的操作，并讲解直线和圆位置关系的判断方法。
其他学生认真听讲，互相交流心得。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用所学知识解决。
人教新课标A版高一数学《必修2》4.2.1 直线与圆的位置关系
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题
2＋y2＝13上， (1) 解法 3 ： ∵ ( － 3,2) 在圆 x 解析: ∴切线方程为－3x＋2y＝13.
即3x－2y＋13＝0.
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
谢谢大家！
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
题后反思： (1)由于过某一定点的直线有两类：斜率存在，斜率不存在，
故过某一点做圆的切线，求切线方程时要分情况讨论．
(2)求切线一般有三种方法：①设切点坐标用切线公式：过圆
(x－a)2＋ (y－b)2＝ r2上一点(x0，y0) 的切线方程为 (x－a)(x0－a) ＋
【提示】
相交、相切、相离
探究点1
直线和圆的位置关系
【问题1】如果直线与圆相交，它们的公共点有几个？如果是相切 或相离又是如何呢？
【提示】
相交2个、相切1个、相离0个
探究点1
直线和圆的位置关系
r d d
r
r d
【提示】
相交⇔d<r；相切⇔d=r；相离⇔d>r
探究点1
直线和圆的位置关系
【提示】
相交⇔方程有2个不同实数解⇔ Δ>0；
(y0 － b)(y － b) ＝ r2 ；②设切线方程，用判别式法；③设切线方程，
用圆心到切线的距离等于半径，但要注意斜率不存在的情况．
典例精讲：题型三：弦长问题 例3 过点P(4，－4)的直线l被圆C:x2+y2－2x－4y－20=0截得的弦AB 的长度为8，求直线l的方程. 分析:设出直线l的方程，由圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长
直线与圆的位置关系(第1课时)(教学课件)高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第一册)
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
因此 =
= 10.
1−2
2
+ 3−0
2
判断直线与圆位置关系的方法：
(1) 代数法：
在平面直角坐标系中, 要判断直线l: Ax+By+C=0与圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0
宋老
的位置关系, 可以联立它们的方程,
人教A版2019选修第一册
宋老
师数
学精
品工 宋老师
作室 数学精
宋老师数学精品工作室
第 2 章直线和圆的方程
品工作
2.5.1直线与圆的位置关系
室
（第1课时）
目
录
01判断直线与圆的位置关系
02求圆的切线方程
宋老
学习目标
师数
学精
品工 宋老师
1. 能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
作室 数学精
∴
2+3−3
2 +1
=3,解得 =
4
−3.
品工作
所求直线l的方程为4 + 3 + 21 = 0
室
②当直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为x=-3，
此时，圆心到直线l的距离为3，符合题意.
综上所述，所求直线l的方程为:4 + 3 + 21 = 0或 = −3.
y
M
.O .
x
E
F
课本练习
位置关系
新知学习
直线与圆的位置关系:
位置关系
图形
d与r的关系
2021人教A版高考数学总复习《直线与圆、圆与圆的位置关系》
故圆心 C(0，0)到直线 l：ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ a2|c＋| b2＝1＝r，故圆 C：x2 ＋y2＝1 与直线 l：ax＋by＋c＝0 相切，故选 A. 答案 A
规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
答案 B
6.(多填题)(2019·浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0 与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________. 解析 根据题意画出图形，可知 A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，
则|AB|＝ （－2－0）2＋（－1－3）2＝2 5，
位置关系 外离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系 __d_＞__R_＋__r_ _d_＝__R_＋__r_ _R_－__r_＜__d_＜__R_＋__r_ _d_＝__R_－__r_ _d_＜__R__－__r_
公切线条数
4
3
2
1
0
[常用结论与微点提醒] 1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋ (y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程 为x0x＋y0y＝r2.
考点一 直线与圆的位置关系
人教A版高中数学必修二第4章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系
(3)当 d>r，即 |k1＋＋5k|2>1⇒k>－152时，直线与圆相离．
1－1.求实数 b 的范围，使直线 y＝x＋b 和圆 x2＋y2＝2： (1)相交；(2)相切；(3)相离． 解法一：由圆 x2＋y2＝2 得圆心为(0,0)，半径为 2. (1)相交⇔d＝0＋10＋＋1b＝b2<r＝ 2， 解得－2<b<2. (2)相切⇔d＝0＋10＋＋1b＝b2＝r＝ 2， 解得 b＝－2 或 b＝2. (3)相离⇔d＝0＋10＋＋1b＝b2>r＝ 2， 综上得 b<－2 或 b>2.
x1－x22＋y1－y22＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2.
3－1.(2010 年四川)直线 x－2y＋5＝0 与圆 x2＋y2＝8 相交于 A、B 两点，则|AB|＝_2____3.
解析：圆心为(0,0)，半径为 2 2，圆心到直线 x－2y＋5＝ 0 的距离为 d＝ |102＋＋0＋－52|2＝ 5，由|A2B|2＋( 5)2＝(2 2)2，得 |AB|＝2 3.
重点 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切和相离，判定 的方法有两种： (1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根 据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ＞0，则相交； 若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ ＜0，则相离； (2)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断， 若 d＜r，直线与圆相交；若d＝r，直线与圆相切；若 d＞r，直 线与圆相离．
解法三：设切点为(x0，y0)，则所求切线方程为 x0x＋y0y＝ 25，将坐标(1，－7)代入后得 x0－7y0＝25，
由xx002－ ＋7y20y＝0＝2525 ，解得xy00＝ ＝－ 4 3 或xy00＝ ＝－ －34 . 故所求切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.
新教材人教A版选择性必修第一册 2.5.1 直线与圆的位置关系 课件(64张)
际问题．(难点)
情景 导学 探新 知
“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描 述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地 平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．
图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直 线与圆有几种位置关系？
1．直线与圆的三种位置关系
d_＜_r d_＝_r d_＞_r
方 法
代数法：由Axx－＋aB2y＋＋Cy－＝b0，2＝r2
Δ＞__0 Δ＝__0 Δ_＜_0
消元得到一元二次方程的判别式 Δ
思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有 什么特点？
[提示] “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是 从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于 “形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”， 它倾向于“坐标”与“方程”．
(1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断． ( )
(2)过圆外一点作圆的切线有两条．
()
(3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距
离．
()
(4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切． ( )
[提示] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．直线 3x＋4y－5＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是( )
3．用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用_坐__标_和方__程__表示问题 中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代__数__问题；
第二步：通过_代_数__运算，解决_代_数__问题； 第三步：把代__数__运算的结果“翻译”成几何结论．
新教材高考数学第二章直线和圆的方程5-2圆与圆的位置关系练习含解析新人教A版选择性必修第一册
圆与圆的位置关系学习目标 1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．知识点 两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系如下：位置关系 外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|< d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)， C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含思考 根据代数法确定两个圆的位置关系时，若已知两圆只有一个交点，能否准确得出两圆的位置关系？答案 不能. 已知两圆只有一个交点只能得出两圆内切或外切．1．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) 2．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )3．从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )4．若两圆有公共点，则|r 1－r 2|≤d ≤r 1＋r 2.( √ )一、两圆位置关系的判断例1 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14x＋k＝0相交、相切、相离？解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝－2－12＋3－72＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即34＜k＜50或k＜14时，两圆相离．反思感悟判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．跟踪训练1 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离答案 B解析两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为－2－22＋0－12＝17，则R－r<17<R＋r，所以两圆相交，选B.(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．答案 4解析到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝3＋12＋－1－22＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5>4，所以圆A 和圆B 外离，因此它们的公切线有4条． 二、两圆的公共弦问题例2 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，∴圆C 1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r 1＝52， 圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝10. ∴|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10， |r 1－r 2|＝|52－10|， ∴|r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2， ∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)方法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35， ∴公共弦长为l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.方法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴|AB |＝－4－02＋0－22＝2 5.即公共弦长为2 5.反思感悟 两圆的公共弦问题(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练2 (1)两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x ＋2y －40＝0的公共弦的长为( ) A ．5 B ．5 2 C ．10 2 D ．10 答案 D(2)圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长为________．答案23解析 由题意将两圆的方程相减，可得圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 的方程为x ＋y －1＝0.又圆C 3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l 的距离为d ＝|1＋1－1|12＋12＝22， 设圆C 3的半径为r ，由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234，所以弦长为2×232＝23.圆系方程的应用典例 (1)求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程．解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0， 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ.又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3.所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点坐标分别为A (－1，－1)，B (3,3)， 线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y －1＝－(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝－x －1，x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即所求圆的圆心坐标为(3，－1)， 半径为3－32＋[3－－1]2＝4.所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.(2)求过直线x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的交点且与直线y ＝x 相切的圆的方程． 解 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λx ＋y ＋4＝0，得x 2＋(1＋λ)x ＋2(λ－1)＝0.因为所求圆与直线y ＝x 相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3， 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋7x ＋y ＋8＝0.[素养提升] (1)当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果，体现了数学运算的数学核心素养．1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切答案 B解析 化为标准方程：圆O 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆O 2：x 2＋(y －2)2＝4，则O 1(1,0)，O 2(0,2)，|O 1O 2|＝1－02＋0－22＝5<r 1＋r 2，又r 2－r 1<5，所以两圆相交．2．圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2B ．－5C ．2或－5D ．不确定答案 C解析 圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9的圆心为(－2，m )，半径长为3， 圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(m ，－1)，半径长为2. 依题意有－2－m2＋m ＋12＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0， 解得m ＝2或m ＝－5.3．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0答案 C解析 AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A ，B ，D.4．已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是__________________． 答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36 解析 设圆C 的半径为r ， 圆心距为d ＝4－02＋－3－02＝5，当圆C 与圆O 外切时，r ＋1＝5，r ＝4， 当圆C 与圆O 内切时，r －1＝5，r ＝6， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16 或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 1解析 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y ＝1a，圆心(0,0)到直线的距离为d ＝1a＝22－32＝1，所以a ＝1.1．知识清单： (1)两圆的位置关系． (2)两圆的公共弦．2．方法归纳：几何法、代数法． 3．常见误区：将两圆内切和外切相混．1．圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋4y －1＝0的位置关系为( ) A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离答案 C解析 由已知，得C 1(－2，－4)，r 1＝5，C 2(－2，－2)，r 2＝3，则d ＝|C 1C 2|＝2， 所以d ＝|r 1－r 2|，所以两圆内切．2．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A ．(1,0)和(0,1) B ．(1,0)和(0，－1) C ．(－1,0)和(0，－1) D ．(－1,0)和(0,1)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1)．3．已知圆C 1：x 2＋y 2－m ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0，若圆C 1与圆C 2有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞121 C ．1≤m ≤121 D ．1＜m ＜121答案 C解析 圆C 1的方程可化为x 2＋y 2＝m (m >0)，则圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝m ； 圆C 2的方程可化为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36，则圆心为C 2(－3,4)，半径r 2＝6. ∵圆C 1与圆C 2有公共点，∴|r 1－r 2|≤|C 1C 2|≤r 1＋r 2， 即|m －6|≤－3－02＋4－02≤m ＋6，∴⎩⎨⎧|m －6|≤5，m ＋6≥5，解得1≤m ≤121.4．(多选)设r >0，圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与圆x 2＋y 2＝16的位置关系不可能是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外离 D ．外切答案 CD解析 两圆的圆心距为d ＝1－02＋－3－02＝10，两圆的半径之和为r ＋4， 因为10<r ＋4，所以两圆不可能外切或外离，故选CD.5．圆O 1：x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与圆O 2：x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线条数为( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条答案 C解析 圆O 1为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121，O 1(3，－8)，r ＝11，圆O 2为(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，O 2(－2,4)，R ＝8， ∴|O 1O 2|＝3＋22＋－8－42＝13，∴r －R ＜|O 1O 2|＜R ＋r ， ∴两圆相交．∴公切线有2条．6．若圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＝2和x 2＋y 2－2by ＋b 2＝1外离，则a ，b 满足的条件是_____________． 答案 a 2＋b 2>3＋2 2解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a ，0)，2和(0，b )，1. 因为两圆外离，所以a 2＋b 2>2＋1， 即a 2＋b 2>3＋2 2.7．已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是_______． 答案 x ＋3y ＝0解析 圆的方程(x －1)2＋(y －3)2＝20可化为x 2＋y 2－2x －6y ＝10. 又x 2＋y 2＝10，两式相减得2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0.8．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．答案 x 2＋y 2－34x －34y －114＝0解析 由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.9．已知圆O 1：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)．若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0， 作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则AH ＝12AB ＝2，所以O 1H ＝r 21－AH 2＝4－2＝ 2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为 |r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.10．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)， 半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时61－m －11＝5， 解得m ＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0， ∴公共弦长为2112－⎝⎛⎭⎪⎫|4×1＋3×3－23|42＋322＝27.11．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A ．(x －5)2＋(y －7)2＝25B ．(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9答案 D解析设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则x－52＋y＋72＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则x－52＋y＋72＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.12．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( ) A．4 B．4 2 C．8 D．8 2答案 C解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝a－b2＋a－b2＝32×2＝8.13．如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是( )A．(－22，0)∪(0,22) B．(－22，22)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,1)答案 A解析∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．|OC|＝a2＋1，由2－1<|OC|<2＋1，得1<a2＋1<3，∴0<|a|<22，∴－22<a<0或0<a<2 2.14．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．答案 4解析 连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt△OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4.15．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是____________________．答案 x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0解析 设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13， 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.16．已知动点P 与两个定点O (0,0)，A (3,0)的距离的比为12. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知圆Q 的圆心为Q (t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围．解 (1)设P (x ，y )，则||AP ＝2||OP ，即||AP |2＝4OP |2， 所以(x －3)2＋y 2＝4(x 2＋y 2)，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4.所以动点P 的轨迹C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)因为点Q 的坐标为(t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，所以圆Q 的半径为t ， 所以，圆Q 的方程为(x －t )2＋(y －t )2＝t 2.因为圆Q 与圆C 有公共点，又圆Q 与圆C 的两圆心距为 ||CQ ＝()t ＋12＋()t －02＝2t 2＋2t ＋1， 所以||2－t ≤||CQ ≤2＋t ，即(2－t )2≤2t 2＋2t ＋1≤(2＋t )2，解得－3＋23≤t≤3.所以，实数t的取值范围是[]－3＋23，3.。
直线与圆位置关系教案
直线与圆位置关系教案【篇一：直线与圆的位置关系(教案)】《直线与圆的位置关系》的教学设计一、教学课题：人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书a版数学②第四章第二节“直线与圆的位置关系”第一课时。
二、设计要点：学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，在前面几节课学习了直线与圆的方程，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去探究用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。
用过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生“用数学”及合作学习的意识。
三、教学目标：1．知识目标：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决相关的问题； 2．能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想； 3．情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。
四、教学重点、难点、关键：（1）重点：用坐标法判断直线与圆的位置关系（2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解（3）关键：展现数与形的关系，启发学生思考、探索。
五、教学方法与手段：1．教学方法：探究式教学法2。
教学手段：多媒体、实物投影仪六、教学过程：1．创设情境，提出问题教师利用多媒体展示如下问题：问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km处，受到影响的范围是半径长为30km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？教师提出：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。
设计意图：让学生从数学角度看日常生活中的问题，体验数学与生活的密切联系，激发学生的探索热情。
2．切入主题，提出课题（1）由学生将问题数学建模，展示平面几何解决方法，得出结论。
最新-2021秋数学人教A版必修2课件：4.2.1直线与圆的位置关系 精品
法二 直线 l 的方程为 y＝ 3x，代入圆 x2＋y2－4y ＝0，
得 x2－ 3x＝0，所以 x＝0 或 x＝ 3， 当 x＝0 时，y＝0，当 x＝ 3，y＝3， 所以 l 与圆的两个交点为(0，0)，( 3，3) 所以直线被圆所截得的弦长为 （ 3）2＋32＝2 3.
由已知条件得直线的斜率为 k＝
Байду номын сангаас
tan 135°＝－1，
所以直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋1)，即 x＋y－1
＝0.
因为圆心为(0，0)，
|－1| 所以|OC|＝ 2 ＝
2 2.
因为 r＝2 2，所以|BC|＝ 所以|AB|＝2|BC|＝ 30.
8－ 222＝ 230，
法二(代数法) 当 α＝135°时，直线 AB 的方程为 y
（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]. 2．利用直线经过圆内一点则直线与圆相交．
[变式训练] 过原点且倾斜角为 60°的直线 l 被圆 x2 ＋y2－4y＝0 所截得的弦长为________．
解析：法一 数形结合．如图，直线与圆交于 O、A， 圆与 y 轴的交点为 O、B； 圆 x2＋y2－4y＝0 的圆心(0，2)
－2＝－(x＋1)，
即 y＝－x＋1，代入 x2＋y2＝8，
得 2x2－2x－7＝0.
7 所以 x1＋x2＝1，x1x2＝－2， 所以|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝
（1＋1）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝ 30.
(2)如图，当弦 AB 被点 P 平分时，OP⊥AB， 因为 kOP＝－2，所以 kAB＝12， 所以直线 AB 的方程为 y－2＝12(x＋1)， 即 x－2y＋5＝0.
高中数学第2章直线和圆的方程2-5-1直线与圆的位置关系分层作业新人教A版选择性必修第一册
所以|PC|min=
=2,
9+16
所以
1
S△PAC 的最小值为2
×
22 -1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
=
3
.
2
所以圆心到直线的距离 d= 22 又
|-2|
d= ,所以|a-2|=2,解得
2
2 2
2
2
= 2.
a=4 或 a=0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
4.若直线ax+by=1与圆O:x2+y2=1相离,则点P(a,b)与圆O的位置关系为( A )
A.点P在圆O内
B.点P在圆O上
C.点P在圆O外
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2
2 +2
∈(0,r),所
9.若P(1,-1)为圆x2+y2-6x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为( B )
A.2x+y+1=0
B.2x+y-1=0
C.x+2y-3=0
D.2x+y-3=0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
P(3,5)与点 A(1,1)的距离|AP|= (3-1)2 + (5-1)2 =2 5,设 B 为切点,由直线 PB
为圆 A 的切线,得到△ABP 为直角三角形,根据勾股定理得
2
2
|PB|= || -|| =
2
(2 5) -22 =4,则切线长为 4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
解析 由题可知,直线l可转化为(x+2)k-y+4=0,所以直线l恒过点A(-2,4).
2.3.3直线与圆的位置关系教案教师版
2.3.3 直线与圆的位置关系学习要求1．掌握直线与圆的三种位置关系．2．会用两种方法来判定直线与圆的位置关系．3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．学法指导通过观察图形，探究出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系是判断直线与圆位置关系的依据，从而理解并掌握判断直线与圆位置关系的方法，感悟数形结合的思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．直线和圆的位置关系有： 相交 、 相切 、 相离 三种位置关系．2．直线与圆位置关系的判定有两种方法：(1)代数法：通过 直线方程与圆的方程 所组成的方程组，根据解的个数来判断．若有两组不同的实数解， 即Δ＞0，则 相交 ；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则 相切 ；若无实数解，即Δ＜0，则 相离 ．(2)几何法：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断．当d ＜r 时，直线与圆 相交 ；当d ＝r 时，直线与圆 相切 ；当d ＞r 时，直线与圆 相离 ．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在初中我们判断直线与圆的位置时，是通过图形看直线与圆有几个交点，当它们有两个公共点时，直线与圆相交；有一个公共点时相切；没有公共点时相离．现在我们学习了直线与圆的方程后，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？本节我们就来探讨这个问题．探究点一 判定直线与圆的位置关系的方法问题1 平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？答：平面几何中，直线与圆有三种位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点．问题2 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？答：(1)如果直线l 和圆C 的方程分别为：Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.可以用圆心C(a ，b)到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C|A 2＋B2与圆C 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系； (2)把直线与圆的交点个数问题转化为直线与圆的方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的解的个数问题， 这样当方程组无解时，直线与圆相离；方程组有一解时，直线与圆相切；方程组有两解时，直线与圆相交．探究点二 直线与圆位置关系的应用例1 已知圆的方程是x 2＋y 2＝2，直线方程是y ＝x ＋b ，当b 为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？解：方法一 所求曲线公共点问题可转化为b 为何值时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2 ①y ＝x ＋b ② 有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题．②代入①，整理得2x 2＋2bx ＋b 2－2＝0.③方程③的根的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b 2－2)＝－4(b ＋2)(b －2)．当－2<b<2时，Δ>0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点；当b ＝2或b ＝－2时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点：当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点．以上分别就是直线与圆相交、相切、相离的三种情况(如图所示)．方法二圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、无公共点的问题，可以转化为b 取何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题．圆的半径r ＝2，圆心O(0,0)到直线y ＝x ＋b 的距离为d ＝|b|2， 当d<r ，即－2<b<2时，圆与直线相交，有两个公共点；当d ＝r ，|b|＝2，即b ＝2或b ＝－2时，圆与直线相切，直线与圆有一个公共点；当d>r ，|b|>2，即b<－2或b>2时，圆与直线相离，圆与直线无交点．小结：判断直线与圆的位置关系一般有两种方法 ：一是利用直线与圆的交点个数；二是利用圆心到直线的距离d 与圆半径长的大小关系．跟踪训练1 已知直线l ：3x ＋y －6＝0和圆心为C 的圆x 2＋y 2－2y －4＝0，判断直线l 与圆的位置关系．解：方法一 由直线与圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0x 2＋y 2－2y －4＝0.消去y ，得x 2－3x ＋2＝0， 因为Δ＝(－3)2－4×1×2＝1>0，所以，直线与圆相交，有两个公共点．方法二 圆的方程配方，得x 2＋(y －1)2＝5，圆心C 坐标为(0,1)，半径为5，圆心C 到直线的距离d ＝|3×0＋1×1－6|32＋12＝510< 5.所以，直线与圆相交，有两个公共点． 例2 已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，求过圆上一点M(x0，y 0)的切线方程(如图)．解：如果x 0≠0且y 0≠0，则直线OM 的方程为y ＝y 0x 0x ， 从而过点M 的圆的切线的斜率为－x 0y 0， 因此所求圆的切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)．化简，得x 0x ＋y 0y ＝x 20＋y 20. 因为点M(x 0，y 0)在圆上，所以x 20＋y 20＝r 2，所以，过圆x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.如果x 0＝0或y 0＝0，我们容易验证，过点M(x 0，y 0)的切线方程也可以表示为x 0x ＋y 0y ＝r 2的形式．因此，所求的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.小结：过一点求圆的切线，应首先判定点与圆的位置关系，若在圆上，则该点即为切点，若在圆外，可根据此点设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即得切线斜率．跟踪训练2 求过点P(1，－7)与圆x 2＋y 2＝25相切的切线方程．解：方法一 将点P(1，－7)代入圆方程得12＋(－7)2＝50>25，∴点P 在圆外. 设切线的斜率为k ，由点斜式得y ＋7＝k(x －1)，即y ＝k(x －1)－7. ①将①代入圆的方程x 2＋y 2＝25，得x 2＋[k(x －1)－7]2＝25，整理得(k 2＋1)x 2－(2k 2＋14k)x ＋k 2＋14k ＋24＝0，Δ＝(2k 2＋14k)2－4(k 2＋1)·(k 2＋14k ＋24)＝0.解得k ＝43或k ＝－34， 再代入①可得切线方程为4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.方法二 设所求切线斜率为k ，∴所求直线方程为y ＋7＝k(x －1)，整理得kx －y －k －7＝0，∵圆心到直线的距离d ＝|0－0－k －7|1＋k 2，且d ＝r.即|0－0－k －7|1＋k 2＝5， 整理得12k 2－7k －12＝0.解得k ＝43或k ＝－34. 因此切线方程为4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.探究点三 直线截圆所得弦长问题例3 已知过点M(－3，－3)的直线l 被圆x 2＋y 2＋4y －21＝0所截得的弦长为45，求直线l 的方程．解：将圆的方程写成标准形式，得x 2＋(y ＋2)2＝25，所以，圆心的坐标是(0，－2)，半径r ＝5. 因为直线被圆截得的弦长为45， 所以，弦心距为52－52＝5，设过点M 的直线方程为y ＋3＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －3＝0.由弦心距为5，得|0＋2＋3k －3|k 2＋1＝5， 解得k ＝－12，或k ＝2. 所以，所求直线方程有两条，它们的方程分别为x ＋2y ＋9＝0，或2x －y ＋3＝0.小结：涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及圆半径所构成的直角三角形解之，以简化运算．跟踪训练3 已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得弦AB 满足： 以AB 为直径的圆经过原点．解：假设存在且设l 为：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C(1，－2)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m y ＋2＝－－， 得AB 的中点N 的坐标N ⎝⎛⎭⎫－m ＋12，m －12， 由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|.又|AN|＝|CA|2－|CN|2＝9－＋22， |ON|＝⎝⎛⎭⎫－m ＋122＋⎝⎛⎭⎫m －122. 所以9－＋22＝⎝⎛⎭⎫－m ＋122＋⎝⎛⎭⎫m －122， 解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是 ( )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离解析：圆心到直线的距离d ＝112＋－2＝22<1， 又∵直线y ＝x ＋1不过圆心(0,0)，∴选B.2．已知P ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2}，Q ＝{(x ，y)|x 2＋y 2＝2}，那么P∩Q 为( )A ．∅B ．(1,1)C ．{(1,1)}D ．{(－1，－1)}解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2x ＋y ＝2， 得x ＝y ＝1.3．过点M(3,2)作⊙O ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的切线，则切线方程是_____________________．解析：易知所求切线不可能垂直于x 轴，故切线斜率必定存在．设切线方程为y －2＝k(x －3)，即kx －y ＋2－3k ＝0，由|－2k －1＋2－3k|k 2＋－2＝1， 得k ＝512或k ＝0，代入即可求得．课堂小结：1．判断直线与圆的位置关系有两种方法：(1)判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l 与圆C 有公共点．有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离．(2)判断圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系．如果d<r ，直线l 与圆C 相交；如果d ＝r ，直线l 与圆C 相切；如果d>r ，直线l 与圆C 相离．2．圆的切线分三类：(1)过圆上一点的圆的切线；(2)知切线斜率的圆的切线；(3)过圆外一点的圆的切线．。
【高中数学】直线和圆的位置关系说课课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
学情分析
新知应用，深化理解
教学目标
教学重难点
教学过程
深化 理解 逐步突破，总结出两种方法优劣
学目标
教学重难点
教学过程
教材分析
学情分析
课后作业，巩固提高
教学目标
1、书上未讲的例题自己做一遍 2、书上93页课后习题1、2、3
教学重难点
教学过程
➢ 能力层面：数学建模能力，分析概括能力。 ➢ 认知障碍：对于把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法，学生仍
然似懂非懂，因此，应不断强化。
教材分析
学情分析
教学目标
教学重难点
教学过程
（1）理解直线与圆的位置的种类；会用代数法和几何法探讨直线与圆的位置关系，并引导得出结论 会利用结论判断直线与圆的位置关系结合；代数法和几何法探索直线和圆相交时的弦长问题以及坐标 问题，并根据此理解几何法和代数法在解决不同问题的优劣.
（2）从实际问题出发,抽象出直线与圆的位置关系，并会利用直线与圆的位置关系解决相关问题,通过 观察图形，明确数与形的统一性和关联性，感受用数学的意识，体验建模思想；通过全程参与知识的 建构过程，进一步体会“数形结合”、“等价转化”和“由特殊到一般”的数学思想方法.
（3）通过将生活问题数学化，激发同学的兴趣；将数学问题代数化这一过程,让学生感受数学来源于 生活,并体会数学在实际生活中的有用价值 ；在整个学习过程中培养学生积极探索、发现新知、总结 规律的能力.
教学过程
教材分析
学情分析
创设情境，引入新课
教学目标
教学重难点
教学过程
问题：一艘轮船在沿直线返回港口
的途中，接到气象台的台风预报：
台风中心位于轮船正西80km处，受 影响的范围是半径长为30km的圆形 区域.已知港口位于台风中心的正 北40km处。如果轮船不改变航线， 那么它是否会受到台风影响？
名师高中数学人教A版选择性必修直线与圆的位置关系完整版课件
探究 2 “两法”解决求过直线与圆交点的圆的方程问题 解决此类问题有以下两种方法：(1)联立方程组，求出交点坐 标，再根据交点坐标求圆的方程；(2)设圆系方程确定参数，一般 地，过直线 l：Ax＋By＋C＝0 与圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2 ＋E2－4F>0)的交点的圆系方程可设为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋ λ(Ax＋By＋C)＝0，但注意系数 λ 一定要写在直线方程之前．
题型四 弦长问题
例 4 求直线 x－ 3y＋2 3＝0 被圆 x2＋y2＝4 截得的弦长．
【思路分析】 利用几何方法构造关系求解．
【解析】 如图，设直线 x－ 3y＋2 3＝0 与圆 x2＋y2＝4 交于
A，B 两点，弦 AB 的中点为 M，则 OM⊥AB(O 为坐
标原点)，所以|OM|＝
|0－0＋2 12＋（－
题型二 求圆的方程
例 2 求经过直线 且经过点 P(－1，－2)的圆的方程．
【解析】 方法一：解方程组xx＋ 2＋yy＝2＋0，2x－4y－8＝0， 得xy＝ ＝1－，1或xy＝ ＝－ 4. 4， ∴直线与圆交于 A(1，－1)和点 B(－4，4)．
思考题 2 (1)已知圆 C 与直线 x－y＝0 及 x－y－4＝0 都
相切，圆心在直线 x＋y＝0 上，则圆 C 的方程为( B ) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝3 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 (2)已知圆 C 的圆心与点(－2，1)关于直线 y＝x＋1 对称，直
探究 1 解决直线与圆的位置关系问题一般有两种方法： (1)代数法，联立直线与圆的方程，通过方程组解的个数来判 断； (2)几何法，判断圆心到直线的距离和半径之间的关系，确定 直线与圆的位置关系，一般情况下利用几何法更简单．
2020版高中数学课时作业28直线与圆的位置关系新人教A版必修2
课时作业28 直线与圆的位置关系基础巩固1．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D.不确定解析：直线y ＝kx ＋1过点(0，1)，且该点在圆x 2＋y 2＝4内，所以直线与圆相交． 答案：C2．直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B.2或－12C ．－2或－12D.2或12解析：圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0， 可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1.由圆心(1，1)到直线3x ＋4y －b ＝0的距离为|7－b |5＝1，得b ＝2或b ＝12，故选D.答案：D3．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是 ( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选A.答案：A4．过点(1，2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则k 的取值范围是( )A ．k <－3或k >2B ．k <－3或2<k <83 3C ．k >2或－833<k <－3D ．－833<k <－3或2<k <833解析：把圆的方程化为标准方程得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝16－34k 2，所以16－34k 2>0，解得－833<k <833.又因为点(1，2)应在圆的外部，得1＋4＋k ＋4＋k 2－15>0，即(k －2)(k ＋3)>0，解得k >2或k <－3，所以实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833.答案：D5．已知直线l 过点(－2，0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，求直线l 斜率k 的取值范围．解：圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1， 设直线方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 根据点到直线的距离公式，得|k ＋2k |k 2＋1<1，即k 2<18，解得－24<k <24，即为直线l 斜率的取值范围．能力提升1．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x －y －1＝0上截得的弦长为22，则这个圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16解析：圆心到直线的距离d ＝|2＋1－1|2＝ 2.r 2＝d 2＋(2)2＝4，解得r ＝2，故圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4. 答案：A2．过点(2，1)的直线中被圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0D.x －3y ＋5＝0解析：∵过点(2，1)的直线中被圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5截得的弦长最大的直线经过圆心，∴该直线过点(2，1)和圆心(1，－2)，其方程为y ＋21＋2＝x －12－1，整理得3x －y －5＝0.故选A.答案：A3．若直线mx ＋2ny －4＝0(m ，n ∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)解析：圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2，1)，所以2m ＋2n －4＝0，即m ＋n ＝2，mn ＝m (2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1，当m ＝1时等号成立，此时n ＝1，与“m ≠n ”矛盾，所以mn <1.答案：C4．由直线y ＝x －1上的一点向圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：在直线y ＝x －1上取一点P ，过P 向圆引切线，设切点为A .连接CA .在Rt △PAC 中，|CA |＝r ＝1.要使|PA |最小，则|PC |应最小．又当PC 与直线垂直时，|PC |最小，其最小值为|3－0－1|2＝ 2.故|PA |的最小值为（2）2－12＝1.答案：A5．设直线2x ＋3y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于点A ，B ，则弦AB 的垂直平分线的方程是________．解析：易知所求直线过圆心且与AB 垂直， 圆心坐标为(1，0)．设所求直线方程为3x －2y ＋c ＝0， 则3×1－2×0＋c ＝0，c ＝－3. 即所求直线方程为3x －2y －3＝0. 答案：3x －2y －3＝06．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线l ：x ＋y ＋1＝0的距离为2的点的个数是________．解析：圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，圆半径为22，圆心到直线l 的距离为|－1－2＋1|12＋12＝22＝ 2. 因此和l 平行的圆的直径的两端点及与l 平行的圆的切线的切点到l 的距离都为2，共3个点．答案：37．直线x －y ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝4交于点A 、B ，则|AB |＝________.解析：圆心到直线的距离d ＝|2－0|2＝2，半径r ＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝2 2. 答案：2 28．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．解析：由题意可知圆的圆心为C (1，a )，半径r ＝2， 则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝|2a －2|a 2＋1. 因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝r ＝2. 又|AB |＝2r 2－d 2， 所以222－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a －2|a 2＋12＝2， 即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 答案：4±159．若过点A (4，0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．解析：数形结合的方法．如图1所示， ∠CAB ＝∠BAD ＝30°，图1∴直线l 的倾斜角θ的取值范围为 [0°，30°]∪[150°，180°)． ∴直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 10．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)求过点P (1，2)，且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1，2)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程． 解：(1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)，则由|2－k |k 2＋1＝2，得k 1＝0，k 2＝－43，故所求的切线方程为y ＝2或4x ＋3y －10＝0.(2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2，∴d ＝1，∴1＝|－k ＋2|k 2＋1，∴k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.11.已知实数x 、y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：(1)原方程表示以点(2，0)为圆心，以3为半径的圆，设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.故y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b .当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值， 此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2± 6.故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋4 3. (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.12．已知点P (x 0，y 0)是圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点，过点P 作圆O 的切线，两切点分别为A ，B ，试求直线AB 的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A ，B 在圆上，∴过点A ，B 的两切线方程分别是x 1x ＋y 1y ＝r 2，x 2x ＋y 2y ＝r 2. 又∵点P (x 0，y 0)在两切线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 0＋y 1y 0＝r 2，x 2x 0＋y 2y 0＝r 2. ∴A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都是方程x 0x ＋y 0y ＝r 2的解． ∴直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y －r 2＝0.拓展要求1．若直线l ：kx －y －2＝0与曲线C ：1－（y －1）2＝x －1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－43∪⎝ ⎛⎦⎥⎤43，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞解析：直线l ：kx －y －2＝0恒过定点(0，－2)，曲线C ：1－（y －1）2＝x －1表示以点(1，1)为圆心，半径为1，且位于直线x ＝1右侧的半圆(包括点(1，2)，(1，0))．当直线l 经过点(1，0)时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时k ＝2，直线记为l 1；当l 与半圆相切时，由|k －3|k 2＋1＝1，得k ＝43，切线记为l 2.分析可知当43＜k ≤2时，l 与曲线C 有两个不同的交点，故选A.答案：A2．P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是( )A. 2 B ．2 2 C. 3D.2 3解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1，1)，半径r ＝1.根据对称性可知四边形PACB 的面积等于2S △APC ＝2×12×|PA |×r ＝|PA |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1.要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，|PC |的最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离，即为|3－4＋11|32＋（－4）2＝105＝2，所以四边形PACB 面积的最小值为4－1＝ 3. 答案：C。
新教材高中数学第二章直线和圆的方程：直线与圆的位置关系pptx课件新人教A版选择性必修第一册
可知圆心坐标为(1，1)，半径为1，
直线和圆相切，则
3×1+4×1−b 32+42
＝1，解得b＝2或12.
(2)由直线y＝2x＋5上的点向圆x2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值
为( )
A． 5
B． 6
C．4
D．2
答案：D
解析：设P(x，y)为直线y＝2x＋5上任意一点，|OP|min＝
5 12+22
位置关系．
方法归纳
判断直线与圆位置关系的3种方法
巩固训练1 过三点A(0，0)，B(0，2)，C(2，0)的圆M与直线l：kx－
y＋2－2k＝0的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相交或相切 D．相切或相离
答案：C
题型 2 直线与圆相切问题 例2 (1)过点P(－2，4)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－2y－3＝0相切， 则直线l的方程为( ) A．x＝－2或2x－y＋8＝0 B．x＝－2或x＋2y－6＝0 C．2x－y＋8＝0或x＋2y－6＝0 D．x－2y＋10＝0或2x＋y＝0
共点，则r的取值范围为( )
A．r>2
B．r≥1
C．r≥2
D．0<r≤ 2
答案：C 解析：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝ 1+2 k2≤2，当且仅当k＝0时等号成 立，故只需r≥2即可．
基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线与圆最多有两个公共点．( √ ) (2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．( √ ) (3)若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离.( × ) (4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交.( √ )
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第3讲 直线和圆的位置关系【基础知识精讲】知识点1、直线和圆的三种位置关系：知识点2、切线的判定和性质：1、 判定：（1）当圆心到直线的距离d 等于半径r 时，直线是圆的切线； （2）经过半径外端垂直于的半径的直线，是圆的切线。
2、性质：如果一条直线与圆相切，若满足：（1）过圆心，（2）过切点，（3）垂直于切线．其中任意两个条件，则必满足第三个条件。
知识点3、弦切角定理：弦切角等于所夹弧对的圆周角。
知识点4、切线长定理：从圆外一点向圆所引的两条切线段长相等； 知识点5、圆幂定理： （1）PA ²PB=PC ²PD （相交弦定理）（2）PT ²=PA ²PB=PC ²PD （切割线定理）知识点6、圆与三角形： （1）1902BIC A ∠=+∠o ，()12S a b c r =++ （2）Rt ABC 中，090C ∠=， ()12r a b c =+-注意：(1)“连半径证垂直得切线”。
“作垂直证半径得切线”。
(2)见切线要想到它垂直于过切点的半径；若过切点有垂线则必过圆心；过切点有弦，则想到弦切角定理，想到圆心角、圆周角性质，可再联想同圆或等圆弧弦弦心距等的性质应用。
（3）任意三角形有且只有一个内切圆，圆心为这个三角形内角平分线的交点。
d<rd=rd>r关 系 相交 相切 相离交点个数 两个交点 一个交点 没有交点直线名称 割线 切线 不相交线A P D CB A B T P DCA c b I aCB AcbBCar AD C B A B P【典例精讲】考点1、切线的性质和判定例1、（2011梧州）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为C ．延长AB 交CD 于点E ．连接AC ，作∠DAC=∠ACD，作AF ⊥ED 于点F ，交⊙O 于点G ． （1） 求证：AD 是⊙O 的切线；（2） 如果⊙O 的半径是6cm ，EC=8cm ，求GF 的长．（1）证明：连接OC ．∠OCD=90°．∴∠OCA+∠ACD=90°．∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC ．∵∠DAC=∠ACD ，∠OCA+∠DAC=90°∴∠0AC+∠CAD=90°．∴∠OAD=90°．∴AD 是⊙O 的切线． （2）解：连接BG ；∵OC=6cm ，EC=8cm ， ∴在Rt △CEO 中，OE 2=OC 2+EC 2=100．∴AE=OE+OA=16．∵AF ⊥ED ，∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E ．∴Rt △AEF ∽Rt △OEC ．∴AF ：OC =AE ：OE ．即：AF ：6 =16 ：10 ．∴AF=9.6．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AGB=900． ∴∠AGB=∠AFE ．∵∠BAG=∠EAF ，∴Rt △ABG ∽Rt △AEF ．∴AG ：AF =AB ： AE ． 即：AG ： 9.6 =12： 16 ．∴AG=7.2．∴GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4（cm ）．考点2、圆幂定理：例2、（1）如图，已知PT 是⊙0的切线，PAB 、PCD 是⊙0的割线， BC ∥PT ，连接DA 并延长交PT 与Q 求证：PQ=TQ证明：△QPA~△QDP,PQ 2=QA.QD,TQ 2=QA.QD,PQ=TQ考点3、圆和三角形例3、(2011大庆) 如图，Rt △ABC 的两直角边AC 边长为4，BC 边长为3，它的内切圆为⊙0，⊙0与边AB 、BC 、AC 分别相切于点D 、E 、F ，延长CO 交斜边AB 于点G ．(1)求⊙O 的半径长； (2)求线段DG 的长．提示：（1）1⑵由⑴AD=AF=AC-FC=4-1=3,在正方形OECF 中，CO(即CG)平分∠BCA∴AG/GB=AC/CB 即AG/AB=AC/(AC+CB)∴AG=AB ·AC/(AC+CB)=5×4/(4+3)=20/7∴DG=AD-AG=3-20/7=1/7考点4、圆的综合题型 例4、如图，在半径为4的O 中，AB CD 、是两条直径，M 是OB 的中点，CM 的延长线交O于E ，设()0DE a a =>，EM x =。
①用含x 和a 的代数式表示MC 的长，并求证264120x ax --+=； ②当15a =且EM MC >时，求sin EOM ∠的值；③由图形求出EM 的取值范围，试问：AB 上是否存在一点E ，使EM 的长是方程264120x ax --+=的相等实根，若存在，求出sin EOM ∠的值，若不存在，请说明理由。
解：①△CDE 中，DE 2+CE 2=CD 2,(a )2+(x+CM)2=82,CM=a -64-x,由相交弦定理知：A C P T DB Q A MOED CBB G O E D AC FOP LXyNMBC ADEM.CM=AM.BM,x.CM=6⨯2,CM=x 12,x12=a -64-x,264120x ax --+=②CM=a -64-x=7-x,7-x=x12,x 1=3,x 2=4,EM MC >,∴x=4,sin EOM ∠=415③2<EM <6,△=(a -64)2-4×12=0,a=16,x=23,OE 2=EM 2+OM 2,∠OME=900,sin EOM ∠=23 例5、如图，第一象限内半径为4的⊙C 与y 轴相切于点A ，作直径AD ，过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ，P 为直线l 上一动点，已知直线PA 的解析式为y=kx+6. (1)设点P 的纵坐标为p ，写出p 随x 变化的函数关系式。
(2)设⊙C 与PA 交于点M ，与AB 交于点N ，则不论动点P 处于直线l 上（除点B 以外）的什么位置时，都有△AMN ∽△ABP.请你对于点P 处于图中位置时的两三角形相似，给予证明。
(3)是否存在使△AMN 的面积等于25128的K 值？若存在，请求出符合的K 值，若不存在，请说明理由.解：（1）∵y 轴和直线l 都是⊙C 的切线，∴OA ⊥AD ，BD ⊥AD ；又∵OA ⊥OB ，∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°，∴四边形OADB 是矩形； ∵⊙C 的半径为4，∴AD=OB=8；∵点P 在直线l 上，∴点P 的坐标为（8，p ）；又∵点P 也在直线AP 上，∴p=8k+6；（2）连接DN ．∵AD 是⊙C 的直径，∴∠AND=90°，∵∠ADN=90°-∠DAN ，∠ABD=90°-∠DAN ，∴∠ADN=∠ABD ，又∵∠ADN=∠AMN ， ∴∠ABD=∠AMN ，∵∠MAN=∠BAP ，∴△AMN ∽△ABP ； （3）存在．理由：把x=0代入y=kx+6得：y=6，即OA=BD=6，AB 2= AD 2+BD 2= 82+62=102，∵S △ABD=21 AB •DN=21AD •DB ，∴DN=AD ³BD ：AB =8³6：10 =24：5 ， ∴AN 2=AD 2-DN 2=82-（524 ）2=251024 ，∵△AMN ∽△ABP ， ∴S △AMN ：S △ABP =（AN ：AP ）2，即S △AMN=（AN ：AP ）2•S △ABP=AN 2S △ABP ：AP 2， 当点P 在B 点上方时，∵AP 2=AD 2+PD 2=AD 2+（PB-BD ）2=82+（8k+6-6）2=64（k 2+1）， 或AP 2=AD 2+PD 2=AD 2+（BD-PB ）2=82+（6-8k-6）2=64（k 2+1）， S △ABP=21 PB •AD=21（8k+6）³8=8（4k+3）， ∴S △AMN=AN 2S △ABP:AP 2=1024³8(4k+3): 25³64(k2+1) =128(4k+3):25(k2+1) =128:25 ，整理得：k 2-4k-2=0，解得k1=2+6，k2=2-6 ，当点P 在B 点下方时，∵AP 2=AD 2+PD 2=82+（6-8k-6）2=64（k2+1）， S △ABP=21 PB •AD=21[-（8k+6）]³8=-8（4k+3）， ∴S △AMN=AN 2S △ABP ： AP 2=-1024³8(4k+3) ：25³64(k 2+1) =128：25 化简得：k 2+4k+4=0，解得：k 1=k 2=-2，综合以上所得，当k=2± 6 或k=-2时，△AMN 的面积等于128：25点评：本题主要考查了梯形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P 点的不同位置进行分类求解．【名书²名校²竞赛²中考在线】 1、（成都）．如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作O 的切线，与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF EF =；（2）求证：PA 是⊙O 的切线；（3）若FG BF =，且⊙O 的半径长为32，求BD 和FG 的长度．（1）证明：BC ∵是O 的直径，B E 是O 的切线， E B B C ⊥∴．又A D B C ⊥∵，A D B E ∴∥． 易证B F C D G C △∽△，F E C G A C △∽△． B F C F E F C F D G C GA G C G ==∴，．BF EFDG AG =∴． G ∵是A D 的中点，D GA G =∴．B F E F =∴． （2）证明：连结A O A B ，．BC ∵是O 的直径，90B A C ∠=∴°． 在R t B A E △中，由（1），知F 是斜边B E 的中点，A F F B E F ==∴．F B AF A B∠=∠∴．又O A O B =∵，A B OB A O ∠=∠∴．BE ∵是O 的切线，90E B O ∠=∴°． 90E B O F B A A B O F A B B A O F A O ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°，PA ∴是O 的切线． （3）解：过点F 作F H A D ⊥于点H ．B D A D F H A D ⊥⊥∵，，F H BC ∴∥．由（1），知F B A B A F ∠=∠，B F A F =∴．由已知，有B F F G =，A F F G =∴，即A F G △是等腰三角形． F HA D ⊥∵，A HG H =∴．D GA G =∵，2D G H G=∴，即12H G D G =． 90F H B D B F A D F B D ∠=∵∥，∥，°，∴四边形B D H F 是矩形，B D F H =． F H B C ∵∥，易证H F G D C G △∽△．F H FGH G C D C G D G ==∴，即12B D F G H GCD C G D G ===． O ∵的半径长为32，62B C =∴．1262B D B D B D C DB C B D B D ===--∴．解得22BD =． OD G C AE FB P OD GCA EFBPＨ22B DF H ==∴．12F G H G C G D G ==∵，12FG CG =∴．3C F F G=∴． 在R t F B C △中，3C F F G =∵，B F F G=，由勾股定理，得222C F B F B C =+． 222(3)(62)F G F G =+∴．解得3F G =（负值舍去）．3F G =∴． ［或取CG 的中点H ，连结D H ，则2C G H G=．易证A F C D H C △≌△， F GH G =∴，故2C G F G =，3C F F G=． 由G D F B ∥，易知C D G C B F △∽△，2233C D C G F G C B C F F G ===∴．由622362BD -=，解得22B D =．又在R t C F B △中，由勾股定理，得222(3)(62)F G F G =+，3F G =∴（舍去负值）．2、（成都）．如图，已知⊙O 的半径长为2，以⊙O 的弦AB 为直径作⊙M ，点C 是⊙O 优弧AB上的一个动点（不与点A ，点B 重合）．连结AC BC ，，分别与⊙M 相交于点D ，点E ，连结DE ．若23AB =．（1）求C ∠的度数； （2）求DE 的长；（3）如果记tan (03)ADABC y x x DC∠==<<，，那么在点C 的运动过程中，试用含x 的代数式表示y ．解：（1）连结O B O M ，．则在R t O M B△中，2O B =，3MB =， 1O M ∴=．12OM OB =，30O B M ∴∠=．60M O B ∴∠=． 连结O A ．则120A O B ∠=．1602C A O B ∴∠=∠=．3分（2）在C D E △和CBA △中， C D E C B A ∠=∠，E C D A C B ∠=∠，C D E C B A∴△∽△．DE DCAB BC∴=． 连结BD ．则90B D CA D B ∠=∠=．在R t B C D △中，60B C D ∠=，30C B D ∴∠=．2B C D C ∴=．12D C BC ∴=．即12D E A B =．1123322D E A B ∴==⨯=． 3分[或：点C 在A B上移动，C ∴∠恒为60，D E长始终不变．当点C 移动到B O延长线与O交点处时，可求得1s i n 302332D EA B ==⨯=．]（3）连结A E ．CEBMAD OABC DEF GOA B 是M 的直径，90A E BA E C ∴∠=∠=． 由A Dx D C =，可得A D x D C =，(1)A C A D D C x D C=+=+． 在R t A C E△中， c o s C E A C E A C ∠=，s in A EA C E A C∠=，1c o s (1)c o s 60(1)2C E A CA C E xD C x D C∴=∠=+=+； 3s i n (1)s i n 60(1)2A E A C A C E x D C x D C =∠=+=+．又由（2），知2B C D C =．112(1)(3)22B E BC C ED C x D C x D C ∴=-=-+=-． 3分 在R t A B E△中， 3(1)3(1)2t a n 13(3)2x D CA E x ABC B E x xD C ++∠===--，3(1)(03)3x y x x +∴=<<-．1分3、（成都）．如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ． (1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；(3)若3(22)O G D E ⋅=-，求⊙O 的面积。