广东省广州市2020届高三12月调研测试数学理试题(解析版)
广州市 2020 届高三年级阶段训练 数学(理科)试题 及参考答案
an1
an
1 2n
1 2n1
,
即 2an1
an1
an
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2n
,
所以 an
an1
1 2n
.
(2)解法 1: 由 bn an2 an
16. 3 1, 3 3
2
2
…………………………………………1 分 …………………………………………2 分 …………………………………………3 分 …………………………………………4 分
AC 3PB .
(1)求证: AC PB ; (2)求直线 AC 与平面 PAB 所成角的正弦值.
A
P C
B
19. (12 分)
某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况,从生产线上随机抽取了 80 个零件进行
测量,根据所测量的零件尺寸(单位:mm),得到如下的频率分布直方图: 频率 组距
0.750
C. p q
D. p q
5. 已知函数 f x 满足 f 1 x f 1 x ,当 x 1时, f x x 2 ,则
x
x f x 2 1
A. x x 3或 x 0
B. x x 0 或 x 2
C. x x 2 或 x 0
D. x x 2 或 x 4
理科数学试题 第 1 页(共 5 页)
已知 a 0 , b 0 ,且 a b 1. (1)求 1 2 的最小值;
ab
(2)证明:
ab 2b a2 b2
1
5
.
2
理科数学试题 第 5 页(共 5 页)
广州市 2020 届高三年级阶段训练题 理科数学试题参考答案及评分标准
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题
广东省2020届高三调研测试 数学(理)
2020届高中毕业班调研测试题理科数学一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1、21ii ++= A .3122i - B .1322i - C .32i - D 、112i -2.已知集合A ={x |x 2+2x 一3>0},B ={x |0<x ≤4},则A ∩B = A .{x |一3<x ≤4} B .{x |1<x ≤4} C .{x |一3<x <0或1<x ≤4} D .{x |一3<x <一1或1<x ≤4} 3.已知抛物线C :y =3 x 2,则焦点到准线的距离是 A .16 B .32 C .3 D .134.设3log 5a =,4log 5b =,132c -=,则A .b >c >aB .b >a >cC .a >b >cD .a >c >b5.某学校组织高一和高二两个年级的同学,开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动,利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动.现有来自高一年级的4名同学,其中男生2名、女生2名;高二年级的5名同学,其中男生3名、女生2名.现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生,则选出的4名同学中恰有2名男生,且这2名男生来自同一个 年级的概率是6.函数的部分图象大致是7.《九章算术》是我国最重要的数学典籍,曾被列为对数学发展形响最大的七部世界名著之一。
其中的“竹九节”问题,题意是:有一根竹子,共九节,各节的容积依次成等差数列·已知较粗的下3节共容4升,较瘦的上4节共容3升.根据上述条件,请问各节容积的总和是A 、20122 B 、21122 C 、60166 D 、611668.已知62(1)(1)a x x++的展开式中各项系数的和为128,则该展开式中2x 的系数为A .15B .20C .30D .359.在以BC 为斜边的直角△ABC 中,AB =2,2BE EC =u u u r u u u r ,则AB AE u u u r u u u rg =A 、3B 、73 C 、83D 、2 10·在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中,AB =AD =2,AA 1=3,点E 为棱BB 1上的点,且BE =2EB 1,则异面直线DE 与A 1B 1所成角的正弦值为 A 、52 B 、63 C 、64 D 、7311.将函数g (x )=cos2x 一sin 2x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再把所得各 点向右平移6π个单位长度,最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍,就得到函数()f x 的图象,则下列说法中正确的个数是 ①函数()f x 的最小正周期为2π ②函数()f x 的最大值为2, ③函数()f x 图象的对称轴方程为.④设12,x x 为方程()f x 的两个不相等的根,则12||x x -的最小值为4πA .1·B .2C .3D .412.已知F 1,F 2分别为双曲线C :22126x y -=的左、右焦点,过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ,B 两点(其中点A 在第一象限).设点H ,G 分别为△AF 1F 2,△BF 1F 2的内心,则|HG |的取值范围是二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.曲线32()21f x x x =-++在点(1,f (l ))处的切线方程为14.在产品质量检测中,已知某产品的一项质量指标X N (100,100),且110<X <120的产品数量为5 436件.请估计该批次检测的产品数量是 件。
2020届广州市高三年级调研测试理科数学
且 4a=2
b2
+ 2c2 ,则
S a2
的最大值为_______.
二、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)
已知 {an} 为单调递增的等差数列, a2 + a5 = 18 , a3 a4 = 80 ,设数列 {bn} 满足 2b1 + 22 b2
涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
xOy
中,已知曲线
C
的参数方程为
x=
y=
m+ 1 m ( m 为参数),以原点
m− 1 m
A. 3 C. − 3
B. 3 D. −3
10. 1772 年德国的天文学家 J·E 波得发现了求太阳和行星间距离的法则,记地球距离太阳 的平均距离为 10,可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表:
除水星外,其余各星与太阳的距离都满足波得定则(某一数列现律),当时德国数学家
高斯根据此定则推算,火星和木星之间距离太阳之间 28 应该还有一颗大行星.1801 年,
20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: x2 + y2 = 1(a > 0) 的右焦点 F 到左顶点的距高为 3. a2 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点,过点 F 的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点(A、B 不在 x 轴上),
若 O=E OA + OB ,延长 AO 交圆于点 G 求四边形 AGBE 的面积 S 的最大值.
广州市2020届高三年级阶段性训练题 理科数学参考答案
因为 AB BC ,所以 BO AC . …………………………………………2 分
因为 PO BO O , PO 平面 POB , BO 平面 POB ,
所以 AC 平面 POB .……………………………3 分
因为 PB 平面 POB ,
z
所以 AC PB .……………………………………4 分
故平面 PAB 的一个法向量为 n 1, 1, 3 . ………………………………………9 分
3
则 cos
n, AC
n AC
2
5 .…………………………………………10 分
n AC 2 5 5
记直线 AC 与平面 PAB 所成角为 ,
则 sin cos n, AC
5
.
5
…………………………………………11 分
,
得
an1
1 3 2n
an
3
1 2n1
,…………………………5
分
所以数列
an
1 3 2n1
是公比为
1 的等比数列.
……………………………6 分
由 2S1 a1
1 20
1,
得 a1
1,
则 an
1 3 2n1
a1
1 3 20
1 n1
,
所以 an
4 1 n1
3
1 3 2n1
.
故 bn an2 an
一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数.选择题不给中间分.
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
2020届广东省高三调研(12月)考试数学(理)试题(解析版)
2020届广东省高三调研(12月)考试数学(理)试题一、单选题1.已知集合{|4}A x x =<,{}2|50B x x x =-≤,则A B =( )A .{|04}x x ≤<B .{|5}x x ≤C .{|04}x x <<D .{|0}x x ≤【答案】A【解析】先分别求出集合A 和B ,由此能求出A ∩B . 【详解】因为{|4}A x x =<,{|05}B x x =≤≤,所以{|04}A B x x ⋂=≤<. 故选:A 【点睛】本题考查两个集合的交集的求法,考查二次不等式解法及交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.函数()38x f x =-的零点为( ) A .83B .33log 2C .38D .8log 3【答案】B【解析】由函数零点与方程的根的关系,解方程3x﹣8=0,即可得解. 【详解】由()0f x =,得38x =,即33log 83log 2x ==. 故选:B 【点睛】本题考查了函数零点与方程的根的关系,考查指对互化及对数运算,属简单题. 3.若复数12zi+的虚部为-1,则z 可能为( ) A .16i -- B .16i -+C .13i -D .13i +【答案】C 【解析】设()12za i a i=-∈+R ,利用复数代数形式的乘除运算化简得a 值可得答案 【详解】 依题意可设()12za i a i=-∈+R ,则2(21)z a a i =++-.当21a +=-时,a-=-,217a+=时,213a-=-;当21故选:C.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.4.为了了解运动健身减肥的效果,某健身房调查了20名肥胖者,健身之前他们的体重情况如三维饼图(1)所示,经过四个月的健身后,他们的体重情况,如三维饼图(2)所示.对比健身前后,关于这20名肥胖者,下面结论不正确的是()A.他们健身后,体重在区间(90kg,100kg)内的人增加了2个B.他们健身后,体重在区间[100kg,110kg)内的人数没有改变C.他们健身后,20人的平均体重大约减少了8 kgD.他们健身后,原来体重在区间[110kg,120kg)内的肥胖者体重都有减少【答案】C【解析】利用饼状图逐项分析即可求解【详解】体重在区间[90kg,100kg)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人.故人增加了2个,故A正确;他们健身后,体重在区间[100kg,110kg)内的百分比没有变,所以人数没有变,故B 正确;他们健身后,20人的平均体重大约减少了⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯=;因为图(2)(0.3950.51050.2115)(0.1850.4950.5105)5kg中没有体重在区间[110kg,120kg)内的比例,所以原来体重在区间[110kg,120kg)内的肥胖者体重都有减少,故D正确故选:C【点睛】本题考查识图能力,考查统计知识,准确理解图形是关键,是基础题 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .115πB .140πC .165πD .215π【答案】A【解析】由三视图可知,直观图是由半个球与一个圆锥拼接,即可求出表面积. 【详解】由三视图可知,该几何体由半个球与一个圆锥拼接而成,所以该几何体的表面积251325115S πππ=⨯⨯+⨯=.故选:A 【点睛】本题考查三视图,考查表面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 6.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,我国的(九章算术也有记载,所以,商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”.其中4AB =.D 为弦BC 上一点(不含端点),且ABD ∆满足勾股定理.则AB AD ⋅=( )A .25144B .25169C .16925D .14425【答案】D【解析】先由等面积得AD ,利用向量几何意义求解即可 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==,依题意可得,AD BC ⊥,则AB 在AD 上的投影为||AD ,所以2144||25AB AD AD ⋅==. 故选:D【点睛】本题考查向量的数量积,重点考查向量数量积的几何意义,是基础题 7.已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-,函数()cos g x b ax =-,则()g x 的图象的对称中心为( )A .,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B .,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C .,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D .,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值,得()5cos4g x x =--,利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+,又依题意知()f x 的值域为[5,3]-,所以23a b += 得4a =,5b =-,所以()5cos4g x x =--,令4()2x k k ππ=+∈Z ,得()48k x k ππ=+∈Z ,则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z . 故选:B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质,考查函数的对称中心,重点考查值域的求解,易错点是对称中心纵坐标错写为08.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且54S =,1010S =,则15S =( ) A .16 B .19C .20D .25【答案】B【解析】利用5S ,105S S -,1510S S -成等比数列求解 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,所以5S ,105S S -,1510S S -成等比数列,因为54S =,1010S =,所以1056S S -=,15109S S -=,故1510919S =+=.故选:B 【点睛】本题考查等比数列前n 项性质,熟记性质是关键,是基础题9.若x ,y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +,则a 的取值范围是( ) A .[1,)-+∞ B .(,1]-∞-C .(1,)-+∞D .(,1)-∞-【答案】A【解析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,判断a 的范围即可. 【详解】作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +,所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值,则1a -≤,即1a ≥-.故选:A【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用z 的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.10.过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ,且0FA FB +=,若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点,则双曲线C 的离心率为( ) ABC .2D【答案】C【解析】由0FA FB +=得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴,得2b ac a=+,再结合,,a b c 关系求解即可【详解】因为0FA FB +=,所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点,所以2b a c a =+,即22c a a c a-=+,则c a a -=,故2c e a ==. 故选:C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查,是考查基本知识,属于基础题. 11.已知函数()32cos f x x x =+,()()2()15xxg x e e=--,若1(,0]x ∀∈-∞,2x ∀∈R ,()()12f x a g x +≤,则a 的取值范围是( )A .(,2]-∞-B .40,27⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C .(,3]-∞-D .,2794⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】D【解析】求导,确定max ()(0)2f x f ==,换元,构造函数求出()()2()15x xg x e e =--的最小值,列不等式求解a 即可 【详解】因为()32sin 0f x x '=->,所以()f x 在(,0]-∞上为增函数,所以max ()(0)2f x f ==.令(0)x t e t =>,()2()(1)5h t t t =--,()(1)(35)h t t t '=+-.当503t <<时,()0h t '<;当53t >时,()0h t '>.所以min 552540()1533927h t h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,从而max 40()27g x =-.依题意可得40227a +≤-,即9427a ≤-. 故选:D 【点睛】本题考查函数最值的求解,考查换元法的应用,着重考查导数的应用,是中档题,注意最值的转化.12.在三棱锥P ABC -中,5AB BC ==,6AC =,P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上,且2AD CD =,4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上,则球Q 的半径为( )A .8B .6C .8D .6【答案】A【解析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径,设QM a =,利用QM ⊥平面ABC ,得QM PD ∥ ,在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =,所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r .因为4BO =,所以222(4)3r r -+=,解得258r =.因为321OD OC CD =-=-=,所以8DM ==. 设QM a =,易知QM ⊥平面ABC ,则QM PD ∥.因为QP QB ==即22113625(4)6464a a -+=+,解得1a =.所以球Q 的半径R QB ===. 故选:A【点睛】本题考查球的组合体,考查空间想象能力,考查计算求解能力,是中档题二、填空题13.若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离为8,则P 到x 轴的距离是________. 【答案】6【解析】由抛物线的焦半径公式得则()00,P x y 的坐标,则到x 轴的距离可求.【详解】设点()00,P x y ,则028y +=,即06y =,即P 到x 轴的距离是6. 故答案为:6 【点睛】本题考查抛物线的标准方程,着重考查抛物线定义的应用,是基础题.14.某中学音乐社共有9人,其中高一的同学有4人,高二的同学有3人,高三的同学有2人.他们排成一排合影,则同年级的同学都排在一起的概率为________. 【答案】1210【解析】用捆绑法分析,视三个班为三个元素,再分析高一、高二、高三三个元素的之间的排法数目,进而由分步计数原理计算可得答案. 【详解】由捆绑法可得所求概率23432339941210A A A A P A ==. 故答案为:1210【点睛】本题考查排列、组合的运用及古典概型,涉及分步计数原理的应用,本题实际是相邻问题,可用捆绑法分析求解.15.已知函数2()log )f x x =,则不等式(1)(2)0f x f x ++>的解集为________.【答案】1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】证明()f x 为奇函数,并确定为增函数,去掉函数符号f 列不等式求解 【详解】由题2()log )f x x =定义域为R,2()log )()f x x f x -==-故()f x 为奇函数,则(1)(2)0f x f x ++>等价于(1)(2)f x f x +>-,又()f x 为增函数,所以12x x +>-,解得1,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为:1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查不等式的求解,利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键. 16.在数列{}n a 中,13a =,且()()12(1)22n n n a n a n +-=++- (1){}n a 的通项公式为________; (2)在1a ,2a ,3a ,,2019a 这2019项中,被10除余2的项数为________.【答案】222n a n n =-+ 403【解析】(1)等式两边同除()1n n +构造数列为等差数列即可求出通项公式; (2)利用通项公式及被10除余2 的数的特点即可求解 【详解】(1)因为()()12(1)22n n n a n a n +-=++-,所以122221n n n a a n a n n n+-+--==+ 2+,即12221n n a a n n +---=+,则2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且首项为1,差为2,所以212(1)n a n n-=+- 21n =-,故222n a n n =-+(2)因为(21)2n n n a =-+,所以当n 能被10整除或n 为偶数且21n -能被5整除时,n a 被10除余2,所以8,10,18,20,,2010,2018n =,故被10除余2的项数为201014035+=. 故答案为:222n a n n =-+;403【点睛】本题考查数列的通项,考查构造法,注意解题方法的积累,属于中档题.三、解答题17.如图.四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是直角梯形,BC AD ∥,AB AD ⊥,22AD BC ==,四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形.(1)证明;平面11ABB A ⊥平面ABCD ;(2)求二面角1B CD A --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1)证明1AA ⊥平面ABCD ,再利用面面垂直判定定理证明(2)由(1)知1AA ,AB ,AD 两两互相垂直,故以A 为坐标原点,AB ,A D ,1AA 所在直线分别为x ,y ,z 轴建系,求出两个半平面的法向量,再利用二面角的向量公式求解即可 【详解】(1)证明:因为四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形,所以1AA AD ⊥,1AA AB ⊥. 又AD AB A ⋂=,所以1AA ⊥平面ABCD .因为1AA ⊂平面11ABB A ,所以平面11ABB A ⊥平面ABCD .(2)(法—)由(1)知1AA ,AB ,AD 两两互相垂直,故以A 为坐标原点,AB ,A D ,1AA 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则(0,0,0)A ,1(2,0,2)B ,(2,1,0)C ,(0,2,0)D ,则(2,1,0)CD =-,1(0,1,2)CB =-.设(,,)m a b c =为平面1B CD 的法向量,则120,20,m CD a b m CB b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1a =,则2b =,1c =,所以(1,2,1)m =.又因为1AA ⊥平面ABCD ,所以1(0,0,2)AA =为平面ABCD 的一个法向量.所以1cos ,6m AA 〈〉==因为二面角1B CD A --是锐角.所以二面角1B CD A --的余弦值为6(法二)过B 作BH CD ⊥于H ,连接1B H .由(1)知1BB ⊥平面ABCD ,则1BB CD ⊥, 而1BHBB B =,所以CD ⊥平面1BB H所以1B H CD ⊥从而1BHB ∠为二面角1B CD A --的平面角.12=⨯,即BH =.所以1B H ==故11cos 6BH BHB B H ∠==. 【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要注意向量法的合理运用.18.设函数23()cos sin 2f x x x x =+-,a ,b ,c 分别为ABC ∆内角A ,B ,C 的对边.已知()0f A =,2b =. (1)若a =B ; (2)若2a c =,求ABC ∆的面积. 【答案】(1) 6B π=. (2)【解析】(1)运用二倍角正余弦公式和辅助角公式,化简f (x ),并求得3A π=,再利用正弦定理求得1sin 2B =,可得结论;(2)由三角形的余弦定理得c =结合面积公式,求得b ,c 的关系,即可得到所求三角形的周长. 【详解】 (1)1cos23()2sin 212226x f x x x π-⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭, 因为()0f A =,所以262A ππ-=,即3A π=.因为sin sin a b A B=,所以sin 1sin 2b A B a ==, 因为(0,)B π∈,所以6B π=或56π, 又b a <,所以6B π=.(2)由余弦定理,可得222(2)222cos3c c c π=+-⨯⨯,即23240c c +-=,解得c =(负根舍去),故ABC ∆的面积为11sin 2sin 223bc A π=⨯=【点睛】本题考查三角函数的恒等变换,正弦函数的图形和性质,考查解三角形的余弦定理和面积公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.19.某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况,从该校上一届高三(1)班到高三(5)班随机抽取50人,得到各班抽取的人数和其中本科上线人数,并将抽取数据制成下面的条形统计图.(1)根据条形统计图,估计本届高三学生本科上线率.(2)已知该省甲市2020届高考考生人数为4万,假设以(1)中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.(i )若从甲市随机抽取10名高三学生,求恰有8名学生达到本科线的概率(结果精确到0.01);(ii )已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万,假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<,若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市,求p 的取值范围.可能用到的参考数据:取40.360.0168=,40.160.0007=. 【答案】(1)60%;(2) (i )0.12 (ii ) 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】(1)利用上线人数除以总人数求解;(2)(i )利用二项分布求解;(ii )甲、乙两市上线人数分别记为X ,Y ,得~(40000,0.6)X B ,~(36000,)Y B p .,利用期望公式列不等式求解【详解】(1)估计本科上线率为4678560%50++++=.(2)(i )记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ,由图可知,甲市每个考生本科上线的概率为0.6,则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.(ii )甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ,Y , 依题意,可得~(40000,0.6)X B ,~(36000,)Y B p . 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市, 所以EY EX ≥,即36000400000.6p ≥⨯, 解得23p ≥, 又01p <<,故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查二项分布的综合应用,考查计算求解能力,注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.20.已知圆22260x y ++-=的圆心为1F ,直线l 过点2F 且与x 轴不重合,l 交圆1F 于C ,D 两点,过2F 作1F C 的平行线,交1F D 于点E .设点E 的轨迹为Ω. (1)求Ω的方程;(2)直线1l 与Ω相切于点M ,1l 与两坐标轴的交点为A 与B ,直线2l 经过点M 且与1l 垂直,2l 与Ω的另一个交点为N ,当||AB 取得最小值时,求ABN ∆的面积.【答案】(1) 221(0)82x y y +=≠ (2) 【解析】(1)根据三角形相似得到DE BEAD AC=,得到AE +DE =4,再利用椭圆定义求解即可(2)设1l 的方程为(0)y kx m k =+≠,与椭圆联立,由直线1l 与Ω相切得2282m k =+,由1l 在x 轴、y 轴上的截距分别为mk-,m ,得||AB 表达式,结合基本不等式求得M 坐标及2l ,进而得||MN ,则面积可求 【详解】(1)因为12FC EF ∥,所以12FCD EF D ∠=∠. 又11=F C F D ,所以11FCD F DC ∠=∠,则22EDF EF D ∠=∠, 所以2||ED EF =,从而2111||EF EF ED EF DF +=+=.22260x y ++-=化为22(32y x y ++=,所以21EF EF +==>从而E的轨迹为以1(F,2F为焦点,长轴长为右顶点).所以Ω的方程为221(0)82x y y +=≠.(2)易知1l 的斜率存在,所以可设1l 的方程为(0)y kx m k =+≠,联立22,1,82y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得()222148480k x kmx m +++-=.因为直线l 与Ω相切,所以()()222(8)414480km k m∆=-+-=,即2282m k =+.1l 在x 轴、y 轴上的截距分别为mk-,m ,则||AB ====≥= 当且仅当2228k k =,即2k =±时取等号. 所以当212k =时,||AB 取得最小值,此时26m =,根据对称性.不妨取2k =,m=282143M km x k =-=-+,即3M x =-323M y =-⨯+=.联立22,1,82y x x y ⎧=+⎪⎪⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y,得29160x ++=,则39M N N x x x +=-+=-,解得9N x =-,所以8||3M N MN x =-=,故ABN ∆的面积为1823⨯⨯=【点睛】本题考查了椭圆定义求轨迹方程,考查直线和椭圆的关系,考查基本不等式求最值,确定取得最值时直线方程是关键,属于压轴题.21.已知函数2()ln f x bx a x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2a +. (1)讨论()f x 的单调性; (2)当02e a <≤时,证明:222()x f x x e x-<+. 【答案】(1) 见解析 (2)证明见解析【解析】(1)先求导,求出1b =,再分类讨论当0a ≥和0a <时导数的符号变化,即可得出单调性;(2)原不等式即证明22max minln 2x a x e x x -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,构造函数ln ()02a x e g x a x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭和222()(0)x e h x x x-=>,分别求导确定最大值和最小值即可证明【详解】(1)()2a f x bx x'=+,则(1)22f b a a '=+=+, 解得1b =,22()2(0)a x af x x x x x'+=+=>.当0a ≥时,()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上单调递增. 当0a <时,令()0f x '>,得x >()0f x '<,得0x <<. 所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增,在⎛ ⎝上单调递减.(2)证明:要证222()x f x x e x -<+,只要证22ln 2x a x e x x-<.令ln ()02a x e g x a x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭,则2(1ln )()a x g x x'-=, 当()0g x '>时,得0x e <<;当()0g x '<时,得x e >. 所以max ()()ag x g e e==, 令222()(0)x e h x x x -=>,则232(2)()x e x h x x-'-=. 当()0h x '>时,得2x >,当()0h x '<时,得02x << 所以min 1()(2)2h x h == 因为e02a <≤,所以max 1()2a g x e =≤, 又2e ≠,所以22ln 2x a x e x x-<,222()x f x x e x -<+得证.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系,需要分类讨论,考查不等式证明,通常拆分为两个基本函数求最值是常用方法,属于难题.22.在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数),曲线C 的参数方程为3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)已知点P 的极坐标为(2,)π,l 与曲线C 交于,A B两点,求2.【答案】(1)6sin ρθ=;(2)6+.【解析】(1)利用消参数将参数方程化成普通方程,再利用公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化成极坐标方程;(2)将点P 的极坐标化为直角坐标,得点P 为直线参数方程所过的定点,再利用参数的几何意义进行求解. 【详解】解:(1)曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y +-=,即226x y y +=,因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以26sin ρρθ=,即6sin ρθ=,故曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=.(2)将12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(3)9x y +-=,得2(240t t -++=.设A 、B 两点对应的参数分别为1t ,2t,则122t t +=+124t t =.因为点P 的极坐标为(2,)π,所以点P 的直角坐标为(2,0)-,所以212||||6PA PB t t +=++=++=+.【点睛】本题考查曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、直线参数方程参数的几何意义,考查转化与化归思想的应用,求解是要注意利用直线的参数的几何意义解题时,要保证参数方程为标准形式.23.已知函数()7 1.f x x x =-++ (1)求不等式2()10x f x <<的解集;(2)设[]x 表示不大于x 的最大整数,若[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)(2,4)-;(2)(2,1)--.【解析】(1)将函数()f x 的绝对值去掉等价于62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩再分别解不等式并取交集;(2)利用取整函数的定义,将不等式[()]9f x ≤转化为()10f x <,再利用(1)的结论进行求解. 【详解】(1)62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩由()2f x x >得:1,622,x x x <-⎧⎨->⎩或17,82,x x -≤≤⎧⎨>⎩或7,262,x x x >⎧⎨->⎩解得:4x <;由()10f x <,1,6210,x x <-⎧⎨-<⎩或17,810,x -≤≤⎧⎨<⎩或7,2610,x x >⎧⎨-<⎩解得:28x -<<.故不等式2()10 x f x <<的解集为:(2,4)-. (2)依题意可得[()]9f x ≤等价于()10f x <, 由(1)知[()]9f x ≤的解集为(2,8)-. 因为[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立,所以[,9](2,8)a a +⊆-,所以2,98,a a >-⎧⎨+<⎩解得21a -<<-,所以a 的取值范围为(2,1)--. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、取整函数的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想的应用,第(2)问取整函数不等式的等价转化是求解问题的关键.。
2020届广州市高三年级调研测试 理科数学(含详细解析)
C.1
D.6
5.某大学选拔新生补充进“篮球”,“电子竞技”,“国学”三个社团,据资料统计,新生通过考核选拔进
入这三个社团成功与否相互独立,2019 年某新生入学,假设他通过选拔进入该校的“篮球”,“电子竞技”,
1
1
“国学”三个社团的概率依次为 m, , n .已知这三个社团他都能进入的概率为 ,至少进入一个社团的
配送员每单提成 3 元;若Y (400, ) ,配送员每单提成 4 元.小王计划在 A 公司和 B 公司之间选择一
份外卖配送员工作,他随机调查了 A 公司外卖配送员和 B 公司外卖配送员在 9 月份(30 天)的送餐量数
据,如下表:
表 1:A 公司外卖配送员甲送餐量统计
日送餐量 x 单
13
88
4
1
6.答案:B 解析:打印的点分别为 (3, 6), (2,5), (1, 4), (0,3), (1, 2), (2,1) ,
O
π
π
2
其中位于圆 x2 y2 25 内的有 (1, 4), (0, 3), (1, 2), (2,1) ,共 4 个.
1
7.答案:A 解析:知识点:双曲线的焦点到渐近线的距离为 b ,所以 FD b ,又 OF c ,
始由近到远算,第 10 个行星与太阳的平均距离大约是( )
A.388
B.772
C.1540
D.3076
11.已知点 A、B 关于坐标原点 O 对称, AB 1,以 M 为圆心的圆过 A、B 两点,且与直线 2 y 1 0 相
切.若存在定点 P ,使得当 A 运动时, MA MP 为定值.则点 P 的坐标为( )
(2)若将甲乙 9 月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率, (i)分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望; (ii)请利用你所学的知识为小王作出选择,并说明理由.
广东省广州市2020届高三数学调研测试试题答案
广州市2020届高三年级调研测试数学(文科)试题参考答案及评分标准说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一.选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.二.填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.11.3 13.8π 14.1 15.⎡⎢⎣⎦ 三.解答题: 本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分) 解:(1)在△ABC 中,A B C ++=π.………………………………………………………………1分所以coscos 22A C Bπ+-= …………………………………………………………………………2分sin2B ==.………………………………………………………………………3分所以2cos 12sin 2BB =- …………………………………………………………………5分13=.………………………………………………………………………………………7分(2)因为3a =,b =,1cos 3B =,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,………………………………………………………………9分 得2210c c -+=.……………………………………………………………………………………11分 解得1c =.……………………………………………………………………………………………12分17.(本小题满分12分)解:(1)由频率分布直方图可知,[25,30)与[30,35)两组的人数相同,所以25a =人.………………………………………………………………………………………1分且0.08251000.02b =⨯=人.……………………………………………………………………………2分总人数252500.025N ==⨯人.………………………………………………………………………3分(2)因为第1,2,3组共有25+25+100=150人,利用分层抽样在150名员工中抽取6人,每组抽取的人数分别为:第1组的人数为2561150⨯=,…………………………………………………………………………4分 第2组的人数为2561150⨯=,…………………………………………………………………………5分 第3组的人数为10064150⨯=,………………………………………………………………………6分所以第1,2,3组分别抽取1人,1人,4人.……………………………………………………7分 (3)由(2)可设第1组的1人为A ,第2组的1人为B ,第3组的4人分别为1234,,,C C C C ,则从6人中抽取2人的所有可能结果为: (,)A B ,1(,)A C ,2(,)A C ,3(,)A C ,4(,)A C ,1(,)B C ,2(,)B C ,3(,)B C ,4(,)B C ,12(,)C C ,13(,)C C ,14(,)C C ,23(,)C C ,24(,)C C ,34(,)C C ,共有15种.……………………………9分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为:1(,)A C ,2(,)A C ,3(,)A C ,4(,)A C ,1(,)B C ,2(,)B C ,3(,)B C ,4(,)B C ,共有8种.…………………………………………………11分所以恰有1人年龄在第3组的概率为815.…………………………………………………………12分18.(本小题满分14分)(1)证明:在正AMB ∆中,D 是AB 的中点,所以MD AB ⊥.……………………………………1分 因为M 是PB 的中点,D 是AB 的中点,所以//MD PA ,故PA AB ⊥.……………………2分又PA AC ⊥,AB AC A =I ,,AB AC ⊂平面ABC , 所以PA ⊥平面ABC .…………………………………4分因为⊂BC 平面ABC ,所以PA BC ⊥.……………5分又,,,PC BC PA PC P PA PC ⊥=⊂I 平面PAC , 所以⊥BC 平面PAC .………………………………7分 (2)解法1:设点B 到平面DCM 的距离为h ,………8分 因为10PB =,M 是PB 的中点,所以5MB =.因为AMB ∆为正三角形,所以5AB MB ==.……………………………………………………9分 因为4,BC BC AC =⊥,所以3AC =.所以1111143322222BCD ABC S S BC AC ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.…………………………………10分因为23525522=⎪⎭⎫⎝⎛-=MD , 由(1)知//MD PA ,所以DC MD ⊥.在ABC ∆中,1522CD AB ==,所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD .…………………………………………11分因为MCDB BCD M V V --=,……………………………………………………………………………12分所以hS MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131,即11333h ⨯=.……………………………………………………………………13分所以512=h .故点B 到平面DCM 的距离为512.………………………………………………………………14分解法2:过点B 作直线CD 的垂线,交CD 的延长线于点H ,…………………………………………8分 由(1)知,PA ⊥平面ABC ,//MD PA , 所以MD ⊥平面ABC .因为BH ⊂平面ABC ,所以MD BH ⊥. 因为CD MD D =I ,所以BH ⊥平面DCM . 所以BH 为点B 到平面DCM 的距离.………………9分 因为10PB =,M 是PB 的中点,所以5MB =. 因为AMB ∆为正三角形,所以5AB MB ==.……10分因为D 为AB 的中点,所以52CD BD ==.以下给出两种求BH 的方法:方法1:在△BCD 中,过点D 作BC 的垂线,垂足为点E ,则1322DE AC ==.…………………………………………………………………………………11分因为1122CD BH BC DE⨯⨯=⨯⨯,………………………………………………………………12分所以34122552BC DE BH CD⨯⨯===方法2:在Rt △BHD 中,222254BH DH BD +==. ①…………………………11分在Rt △BHC 中,因为4BC =,所以222BH CH BC +=,即225162BH DH ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. ②…………………………………12分由①,②解得125BH =.故点B 到平面DCM 的距离为512.………………………………………………………………14分19.(本小题满分14分)解:(1)因为321212222n n a a a a n -++++=L ,*n ∈N , ①所以当1=n 时,12a =.……………………………………………………………………………1分当2≥n 时,()31212221222n n a a a a n --++++=-L , ② …………………………………2分①-②得,122nn a -=.…………………………………………………………………………………4分所以2nn a =.…………………………………………………………………………………………5分因为12a =,适合上式,所以2n n a =()*n ∈N.………………………………………………………………………………6分(2)由(1)得2nn a =.…………………………………………………………………………………7分所以()()111nn n n a b a a +=--()()122121n n n +=--…………………………………………………8分1112121n n +=---.…………………………………………………………………………10分 所以12n nS b b b =+++L1111111113377152121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ………………………………12分11121n +=--.………………………………………………………………………………14分20.(本小题满分14分)(1)解法1:由MD PD 2=知点M 为线段PD 的中点.……………………………………1分设点M 的坐标是(,)x y ,则点P 的坐标是(),2x y .……………………………………………2分因为点P 在圆422=+y x 上, 所以()2224x y +=.…………………………………………………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x .…………………………………………………………………4分解法2:设点M 的坐标是(,)x y ,点P 的坐标是()00,y x ,由MD PD 2=得,x x =0,y y 20=.……………………………………………………………1分因为点P ()00,y x 在圆422=+y x 上, 所以42020=+y x . ①………………………………………………………………………2分把xx =0,yy 20=代入方程①,得4422=+y x .……………………………………………3分 所以曲线C 的方程为1422=+y x .…………………………………………………………………4分(2)解:因为EB EA ⊥,所以0=⋅.…………………………………………………………5分 所以()2=-⋅=⋅.……………………………………………………………7分设点()11,A x y ,则221114x y +=,即221114x y =-.………………………………………………8分 所以()222221111112114x EA BA EA x y x x ⋅==-+=-++-u u u r u u u r u u u r 221113342224433x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+=-+.……………………………………………………………10分因为点()11,A x y 在曲线C 上,所以122x -≤≤.………………………………………………11分所以21234293433x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭.……………………………………………………………………13分所以BA EA ⋅的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡932,.………………………………………………………………14分21.(本小题满分14分)解:(1)因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-, 所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞.………………………………………………………………1分且1()2(2)f x ax a x '=-+-.………………………………………………………………………2分因为()f x 在1x =处取得极值, 所以()()11220f a a '=-+-=.解得1a =-.…………………………………………………………………………………………3分当1a =-时,1(21)(1)()23x x f x x x x --'=+-=,当102x <<时,()0f x '>;当112x <<时,()0f x '<;当1x >时,()0f x '>.所以1x =是函数()y f x =的极小值点.故1a =-.……………………………………………………………………………………………4分 (2)因为2a a <,所以01a <<.…………………………………………………………………………………………5分由(1)知(21)(1)()x ax f x x -+'=-.因为(0,)x ∈+∞,所以10ax +>.当102x <<时,()0f x '>;当12x >时,()0f x '<.所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增;在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.………………………………7分 ①当102a <≤时,()f x 在2[,]a a 上单调递增,所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-.………………………………………………………9分②当21,21.2aa⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即122a<<时,()f x在21,2a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在1,2a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,所以[]max12()ln21ln22424a a af x f-⎛⎫==--+=--⎪⎝⎭.……………………………………11分③当212a≤,即12a≤<时,()f x在2[,]a a上单调递减,所以[]2532max()()2ln2f x f a a a a a==-+-.…………………………………………………13分综上所述:当12a<≤时,函数()f x在2[,]a a上的最大值是32ln2a a a a-+-;当12a<<时,函数()f x在2[,]a a上的最大值是1ln24a--;当12a≤<时,函数()f x在2[,]a a上的最大值是5322ln2a a a a-+-.…………14分。
2020届广州市高三年级调研测试(理科数学)试题
秘密 ★ 启用前 试卷类型: A2020届广州市高三年级调研测试理科数学2019.12本试卷共5页,23小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号,并将试卷类型(A )填图在答题卡的相应位置上.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图1,已知全集U =Z ,集合{}2,1,0,1,2--=A ,{}4,3,2,1=B ,则图中 阴影部分所表示的集合是A .{}3,4B .{}012,,--C .{}1,2D . {}2,3,42.已知()i1i 12+-=z (i 为虚数单位),在复平面内,复数z 对应的点在A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知3121⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,3log 2=b ,6log 4=c ,则c ,b ,a 的大小关系为A .b c a >>B .c b a =<C .c b a >>D .b c a <<4.已知实数x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+042033022y x y x y x ,则3=-z x y 的最小值为A .7-B . 6-C . 1D . 65.某大学选拔新生补充进“篮球”,“电子竞技”,“国学”三个社团.据资料统计,新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2019年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”,“电子竞技”,“国学”三个社团的概率依次为n m ,31,.已知这三个社团他都能进入的概率为241,至少进入一个社团的概率为43,则=+n m A .21 B . 32 C . 43 D . 1256.如图2,利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆2522=+y x 内的个数为A .3B .4C .5D .67.已知F 为双曲线1:2222=-by a x C 的右焦点,过F 作C 的渐近线的垂线FD ,垂足为D ,且满足12=FD OF (O 为坐标原点),则双曲线的离心率为 A .332 B . 2 C .3 D . 3108.函数()x x x f sin ln +=(ππ≤≤-x 且0≠x )的图象大致是A .B .C .D .9.如图3,在△ABC 中,AB AD ⊥,BD BC 3=,1=AD ,则=⋅AD AC A .3 B . 3C . 3-D . 3-10.1772年德国的天文学家J .E .波得发现了求太阳和行星间距离的法则.记地球距离太阳的平均距离为10,可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表:除水星外,其余各星与太阳的距离都满足波得定则(某一数列规律).当时德国数学家高斯根据此定则推算,火星和木星之间距离太阳28应该还有一颗大行星.1801年,意大利天文学家皮亚齐通过观测,果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带.请你根据这个定则,估算出从水星开始由近到远算,第10个行星与太阳的平均距离大约是A .388B .772C .1540D .307611.已知点A ,B 关于坐标原点O 对称,1=AB ,以M 为圆心的圆过A ,B 两点,且与直线210y -=相切.若存在定点P ,使得当A 运动时,MP MA -为定值.则点P 的坐标为A .⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,0 D .⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,012.已知偶函数()x f 满足()()x f x f -=+44,且当[]4,0∈x 时,()2exx x f -=,若关于x 的不等式()()02>+x af x f 在[]200,200-上有且只有300个整数解,则实数a 的取值范围是A .⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛----223e 4,e 3B .⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛----2123e ,e 3C .⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛----231e 3,e 2 D .⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛----221e 4,e二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知()π,0∈θ,344πtan =⎪⎭⎫ ⎝⎛+θ,则 =+θθcos sin ______________.14.若3⎛⎝n展开式的二项式系数之和为64,则展开式中的常数项的值是 .15.已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长,其外接球体积为1256π,三视 图如图4所示,则其侧视图的面积为 .16.在ABC ∆中,设角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,,记ABC ∆的面积为S ,且22224c b a +=,则2aS的最大值为___________.三.解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22,23题为选考题,考生根据要求做答. (一)必考题:共60分.17.(12分)已知{}n a 为单调递增的等差数列,1852=+a a , 8043=⋅a a ,设数列{}n b 满足23123222224n a n n b b b b ++++=- ,*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项; (2)求数列{}n b 的前n 项和n S .如图5,已知四边形ABCD 是边长为2的菱形,60ABC ︒∠=, 平面AEFC ⊥平面ABCD ,AC //EF .AE AB =,2AC EF =.(1)求证:平面BED ⊥平面AEFC ;(2)若四边形AEFC 为直角梯形,且EA AC ⊥, 求二面角B FC D --的余弦值.19.(12分)某城市A 公司外卖配送员底薪是每月1800元/人,设每月每人配送的单数为X ,若[]300,1∈X ,配送员每单提成3元;若(]600,300∈X ,配送员每单提成4元;若()∞+∈,600X ,配送员每单提成54.元.B 公司外卖配送员底薪是每月2100元/人,设每月每人配送的单数为Y ,若[]400,1∈Y ,配送员每单提成3元;若()∞+∈,400Y ,配送员每单提成4元.小王计划在A 公司和B 公司之间选择一份外卖配送员工作,他随机调查了A 公司外卖配送员甲和B 公司外卖配送员乙在9月份(30天)的送餐量数据,如下表: 表1:A 公司外卖配送员甲送餐量统计表2:B 公司外卖配送员乙送餐量统计(1)设A 公司外卖配送员月工资为()X f (单位:元/人),B 公司外卖配送员月工资为()Y g (单位:元/人),当Y X =且](600,300,∈Y X 时,比较()X f 与()Y g 的大小; (2)若将甲乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率, (ⅰ)分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望; (ⅱ)请利用你所学的知识为小王作出选择,并说明理由.已知椭圆()222103+=>:x y C a a 的右焦点F 到左顶点的距离为3.(1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,过点F 的直线与椭圆C 交于A ,B 两点(A ,B 不在x 轴上),若=+OE OA OB ,延长AO 交椭圆于点G ,求四边形AGBE 的面积S 的最大值.21.(12分)已知函数x k x x x f ln )(2+-=. (1)讨论函数)x (f 的单调性;(2)若)(x f 有两个极值点21,x x ,证明:()()12124f x f x k -<-.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m m y mm x 11(m 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线lsin cos 0θρθ-=.(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程;(2)已知点()0,1P ,直线l 与曲线C 交于B A ,两点,求11+PA PB的值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知()(2)2()f x x a x x x a =--+--. (1)当2a =时,求不等式()0f x <的解集;(2)若(),x a ∈-∞时,()0f x <,求a 的取值范围.。
【试卷】2020届广州市高三年级调研测试 理科数学
1 渐近线的垂线 FD ,垂足为 D ,且满足 FD OF
2 ( O 为坐标原点),则双曲线的离心率为( )
x x1
y y1
i i1
是 i>0? 否 结束
23
A.
3
B.2
C.3
8.函数 f (x) ln x sin x ( ≤ x ≤ 且x 0) 的图象大致是(
),
tan
4
3
,则 sin
cos
.
n
Байду номын сангаас
14.若 3x 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式中的常数项的值是
x
125
15.已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长,其外接球体积为
,
6
三视图如图 4 所示,则其侧视图的面积为
.
16.在△ABC 中,设角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c , 记△ABC 的面积为 S ,且 4a2 b2 2c2 ,
2020 届广州市高三年级调研测试
理科数学
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
1.如图 1,已知全集U Z ,集合 A {2, 1, 0,1, 2}, B {1, 2, 3, 4},则图中阴影部分所表示的集合是
3
24
3 概率为 ,则 m n ( )
4
1
A.
2
2
B.
3
3
C.
4
5
D.
12
6.如图 2,利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点,
2020届广州高三年级12月份调研测试理科数学试题+参考答案
2020届广州高三年级12月份调研测试理科数学一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图1,已知全集U=Z,集合A={-2,-1,0,1,2},集合B={1,2,3,4},则图中阴影部分表示的集合是()A.{3,4}B.{-2,-1,0}C.{1,2}D.{2,3,4}2.已知Z=()ii+-112(i为虚数单位),在复平面内,复数Z对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知3121⎪⎭⎫⎝⎛=a,3log2=b,6log4=c,则a,b,c的大小关系为()A.bca>>B.cba=<C.cba>>D.bca<<4.已知实数yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+423322yxyxyx,则yxz3-=的最小值为()A.-7B.-6C.1D.65.某大学选拔新生补充进“篮球”,“电子竞技”,“国学”三个社团,据资料统计,新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立,2019年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”,“电子竞技”,“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m,31,n,已知三个社团他都能进入的概率为241,至少进入一个社团的概率为43,且m>n.则=+nm()A.21B.32C.43D.1256.如图2,利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为()A.2B.3C.4D.57.已知F 为双曲线12222=-by a x 的右焦点,过F 做C 的渐近线的垂线FD ,垂足为D ,且满足OF FD 21=(O 为坐标原点),则双曲线的离心力为( ) A .332 B .2C .3D .310 8.函数()()0,sin ln ≠≤≤-+=x x x x x f 且ππ的大致图像是( )A .B .C .D .9.如图3,在ABC ∆中,,1,3,==⊥AD BD BC AB AD 则=⋅AD AC ( )A .3B .3C .3-D .-310.1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳的行星距离的法则。
2020届广州市高三年级调研测试(理科数学)试题及参考答案
2020届广州市高三年级调研测试理科数学2019.12本试卷共5页,23小题,满分150分,考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号、并将试卷类型(A )填图在答题卡的相应位置上。
2. 作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须卸载答题卡各题目制定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔盒涂改液,不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图1,已知全集U=Z ,集合A ={-2,-1,0,1,2},集合B={1,2,3,4},则图中阴影部分表示的集合是( ) A .{3,4} B .{-2,-1,0} C .{1,2} D .{2,3,4}A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限A .b c a >>B .c b a =<C .c b a >>D .b c a <<4.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+042033022y x y x y x ,则y x z 3-=的最小值为( )A .-7B .-6C .1D .65.某大学选拔新生补充进“篮球”,“电子竞技”,“国学”三个社团,据资料统计,新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立,2019年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”,“电子竞技”,“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m ,31,n ,已知三个社团他都能进入的概率为241,至少进入一个社团的概率为43,且m >n .则=+n m ( ) A .21B .32 C .43 D .125 6.如图2,利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆x 2+y 2=25内的个数为( ) A .2 B .3 C .4 D .57.已知F 为双曲线12222=-by a x 的右焦点,过F 做C 的渐近线的垂线FD ,垂足为D ,且满足OF FD 21=(O 为坐标原点),则双曲线的离心力为( ) A .332 B .2 C .3 D .310 8.函数()()0,sin ln ≠≤≤-+=x x x x x f 且ππ的大致图像是( )A .B .C .D .9.如图3,在ABC ∆中,,1,3,==⊥AD BD BC AB AD 则=⋅AD AC ( )A .3B .3C .3-D .-310.1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳的行星距离的法则。
高中数学-广东省广州市12月调研测试2024届高三数学答案
2024届广州市高三年级调研测试数学试题参考答案及评分标准评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.题号12345678答案C A C BD D B A二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.题号9101112答案AC ACD BC ABD 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算骤.17.解:(1)因为21=-n n S a ,①当1=n 时,11121=-=S a a ,则11=a ..........................1分当2n ≥时,1121--=-n n S a ,②..........................2分①-②得122-=-n n n a a a ,即12(2)-=≥n n a a n ,..............3分所以{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列..........................4分所以12-=n n a .................................................5分(2)因为122log log 21-==-n n a n ,所以12,1,,--⎧=⎨⎩为奇数为偶数.n n n n b n ........................7分所以21232=++++ n nT b b b b 1321242()()n n b b b b b b -=+++++++ 132********()()[02(22)](222)n n n b b b b b b n--=+++++++=+++-++++ ........................7分(022)2(14)214n n n +-⋅-=+-........................9分22(41).3n n n -=-+...................................10分18.解:(1)设点P 到平面ABCD 的距离为h ,则133B PAD P ABD ABD V V h S --==⋅=△,...................................1分由题可知142ABD S AB BC =⋅=△,...................................2分所以3424P ABD ABDV h S -===△,...................................3分故P 到平面ABCD 的距离为2.....................................................4分(2)取AD 的中点M ,连接PM ,因为PA PD =,所以PM AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =,PM ⊂平面PAD ,PM AD ⊥⊥平面ABCD ........................................5分由(1)知PM = (6)分由题意可得BD =,AD ==,.所以222AD BD AB +=,故AD BD ⊥.法一(坐标法):以D 点为坐标原点,DA 为x 轴,DB 为y 轴,过D 点作PM 的平行线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则)(0,0,22A ,)(2,0,2P ,)(0,2,2-C .......................................7分依题意(0)DC = ,(AP= ,2,0,333AN AP ⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭,所以,0,33DN DA AN ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭.......................................8分设平面NCD 的法向量为1111(,,)x y z =n ,则1100.DC DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,n n 即11110,42220.33x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令11x =,得1(1,1,2)=-n .......................10分又平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)=n 设平面NCD 与平面ABCD 的夹角为θ,则121212cos cos ,3θ=<>===⋅ n n n n n n ,即平面NCD 与平面ABCD 的夹角的余弦值为36..................................................12分法二(几何法):在线段AM 上取点H ,使得2AH HM =,连接NH ,过点H 作HK CD ⊥,垂足为K ,连接NK ...................................7分因为2AN NP =,所以NH ∥PM ,233NH PM ==,..................................8分2122333AH AM AD ===.因为PM ⊥平面ABCD ,所以NH ⊥平面ABCD ,所以NH ⊥CD ,又HK CD ⊥,且HK NH H = ,所以CD ⊥平面NHK ,..................................9分所以CD ⊥NK ,所以∠NKH 是二面角N CD A --的平面角...................................10分在Rt △HDK 中,易知423HD =,∠45KDH =︒,所以4sin 453KH DH =⋅︒=,所以43cos 3HKNKH NK∠===.故平面NCD 与平面ABCD 的夹角的余弦值为36...................................12分19(1)证明:因为C B b A a C c B b sin sin 2sin sin sin =-+,由正弦定理得B bc a c b sin 2222=-+,...........................................1分又因为bca cb A 2cos 222-+=.......................2分所以B bc A bc sin 2cos 2=,即B A sin cos =........................3分又⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A A 2πsin cos ,所以B A sin 2πsin =⎪⎭⎫⎝⎛-.又π),0(∈B A ,,所以B A =-2π或π2π=+⎪⎭⎫⎝⎛-B A .............................4分又2π≠C ,所以A B +=2π.............................................5分(2)解:由(1)知A B +=2π,A A A B A C 22π2πππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=--=...........6分由)π,0(∈C B A ,,,解得⎪⎭⎫⎝⎛∈4π,0A ..................................................7分所以⎪⎫⎛-+⎪⎫ ⎛++=++A A A C B A 22πsin 2πsin cos sin sin cos(别解:因为cos sin sin 2cos cos 2A B C A A ++=+在0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,2cos cos 23A A <+<,所以C B A sin sin cos ++的取值范围为)3,2(.)(ⅱ)当2a >时,,(1e )1e 0-+=-++->,设()()2()ln 1ln 122ax ag x x x a x x =+-=++-,(1,0)x ∈-.当2a >时,开口向上,对称轴,,,所以存在唯一0(1,0)x ∈-,使得0()0q x =,......................9分当0(1,)x x ∈-时,()0q x >,()0g x '>;当0(,0)x x ∈时,()0q x <,从而()0g x '<从而()g x 在区间0(1,)x -递增,在区间0(,0)x 递减,故当0(,0)x x ∈,()(0)0g x g >=,矛盾,舍去......................11分综上,a 的取值范围为(],2-∞.......................12分21.解:(1)由题意可知X 所有可能取值为2,3,4,...............................................1分3133)2(2===X P ,943)3(31223===C A X P ,923)4(333===A X P ................................................4分(其他解法:31)31()2(213=⨯==C X P ,943231()3(21213=⨯⨯==C C X P ,92)3()2(1)4(==-=-==X P X P X P .)则X 的分布列如下:.....................5分(2)设甲一次性购买x 个吉祥物盲盒,集齐三款吉祥物需要的总费用为Z .依题意,x 可取0,1,2,3.方案1:不购买盲盒时,则需要直接购买三款吉祥物,总费用903031=⨯=Z 元.方案2:购买1个盲盒时,则需要直接购买另外两款吉祥物,总费用79302192=⨯+=Z 元........................................6分方案3:购买2个盲盒时,当2个盲盒打开后款式不同,则只需要直接购买剩下一款吉祥物,总费用68301923=+⨯=Z ,323)68(2233===A Z P ;(或323231)68(133=⨯⨯==C Z P )当2个盲盒打开后款式相同,则需要直接购买另外两款吉祥物,总费用983021923=⨯+⨯=Z ,313131)98(133=⨯⨯==C Z P .所以7831983268)(3=⨯+⨯=Z E (元)........................................8分(别解:7838313023230)(3=+⨯⨯+⨯=Z E (元))方案4:购买3个盲盒时,当3个盲盒打开后款式各不相同,则总费用571934=⨯=Z ,9231()57(3334===A Z P ;当3个盲盒打开后恰有2款相同,则需要直接购买剩下一款吉祥物,总费用87301934=+⨯=Z ,323131)87(234=⨯⨯==A Z P ;当3个吉祥物盲盒打开后款式全部相同,则需要直接购买另外两款吉祥物,总费用117601934=+⨯=Z ,91)31()117(3134=⨯==C Z P .所以32519111732879257)(4=⨯+⨯+⨯=Z E (元)...........................11分(别解:3251193913023230)(4=⨯+⨯⨯+⨯=Z E (元))显然1423)()()(Z Z E Z E Z E <<<.综上,应该一次性购买2个吉祥物盲盒.................................12分22.解:(1)法一:设PF 的中点为G ,依题意以PF 为直径的圆内切于圆22:4O x y +=,所以||||22PF GO =-,即||42||PF GO =-,........................1分X 234P319492设2F ,又22||||OG PF =,所以22||||=4||PF PF FF +>=,.............2分所以点P 的轨迹是以2,F F 为焦点,4为长轴长的椭圆,设E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,则2,1c a b ====,所以P 的轨迹方程22:14x E y +=...........................................4分法二:设(,)P x y ,则PF的中点为(,)22x yG ,........................1分依题意得1||2||2OG PF =-2=......................2分4=,........................3分化简得点P 的轨迹方程22:14x E y +=.....................................................4分(2)设1122(,),(,)S x y T x y ,先证明直线ST 恒过定点,理由如下:法一:由对称性可知直线ST 的斜率不为0,所以设直线ST 的方程为:x my n =+.联立直线ST 与E 的方程2214x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,,消去x 得:222(4)240m y mny n +++-=,所以0∆>,即2240m n +->,①12224mn y y m -+=+,212244n y y m -=+.②....................................5分所以直线AS 的方程为:11(1)1x x y y =--,令0y =,解得点M 横坐标111x t y -=-,同理可得点N 横坐标2241x t y --=-,故1212411x x y y --+=--,...................................6分将1122,x my n x my n =+=+代入上式整理得:1212(24)(4)()420m y y n m y y n ++--++-=.③......................7分将②代入③并整理得222220m mn n m n ++--=,.........................8分即,m n 满足方程()(2)0m n m n ++-=.若0m n +=,即n m =-,则直线ST 方程为(1)x m y =-,过点(0,1)A ,不合题意;所以20m n +-=,此时2n m =-,直线ST 的方程为(1)2x m y =-+,所以直线ST 过定点(2,1)Q ..........................10分因为直线ST 过定点(2,1)Q ,且与轨迹E 始终有两个交点,又(0,1)A ,AH ST ⊥,垂足为H ,故点H 的轨迹是以AQ 为直径的半圆(不含点,A Q ,在直线AQ 下方)...........11分设AQ 中点为C ,则圆心)1,1(C ,半径为1.所以||||11OH OC ≥-=-,当且仅当点H 在线段OC 上时,故||OH 1-.....................................12分法二:①当直线ST 斜率存在,设直线ST 的方程为y kx m =+.联立直线ST 与椭圆E 的方程2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,,消去x 得:222(14)8440k x kmx m +++-=,所以0∆>,即22410k m +->,①122814km x x k -+=+,21224414m x x k-=+.②....................................5分所以直线AS 的方程为:11(1)(1)x y y x -=-,(备注:若直线AS 方程写成1111y y x x --=,需另外考虑10x =的情形,可参考方法四①.)令0y =,解得点M 横坐标111x t y -=-,同理可得点N 横坐标2241x t y --=-,所以1212411x x y y +=---,....................................6分即122112(1)(1)4(1)(1)x y x y y y -+-=---,将1122,y kx m y kx m =+=+代入上式,得221212(42)(14)(1)()4(1)0k k x x k m x x m +++-++-=,..............................7分将②代入上式,得222224(1)8(42)(14)(1)4(1)01414m kmk k k m m k k--+++-+-=++.整理得22221(1)(21)0km k m m m k m -+-+=-+-=,.............................8分所以12m k =-.(其中1m =时,直线:1ST y kx =+过点A ,不符合题意,舍去.)直线ST 的方程为:(12)y kx k =+-恒过定点(2,1)Q .②当直线ST 斜率不存在,此时1111(,),(,)S x y T x y -,同理可得1111411x x y y +=----,即21112xy =-,又221114x y +=,解得10x =或12x =.若10x =,则,S T 中必有一点与A 重合,不符合题意;若12x =,则,M N 重合,也不符合题意..........................................9分综上,所以直线ST 过定点(2,1)Q ...........................................10分后略,同法一.法三:①若直线,AS AT 的斜率均存在,即10x ≠,20x ≠,则1111AS y k x t -==-,22114AT y k x t -==-故1212411x x y y +=---....................................5分依题意直线ST 不经过点A ,设直线:(1)1ST mx n y +-=,椭圆E :2222220444[(1)1]44(1)8(1)x y x y x y y =+-=+-+-=+-+-,....................................6分联立ST 与E 的方程22(1)14(1)8(1)0mx n y x y y +-=⎧⎨+-+-=⎩,,得224(1)8(1)[(1)]0x y y mx n y +-+-+-=,整理得22(48)(1)8(1)0n y m y x x +-+-+=,除以2(1)y -,得2(48)8()011x x n my y +++=--,...................................7分因为1122(,),(,)S x y T x y 满足上式,故由韦达定理得12128411x xm y y +=-=---,解得12m =....................................8分所以直线1:(1)12ST x n y +-=恒过定点(2,1)Q ....................................9分②若直线AS 或AT 的斜率不存在时,易求直线:1ST y x =-,过点(2,1)Q .综上,所以直线ST 过定点(2,1)Q ...........................................10分后略,同法一.法四:①当0t =时,易知直线0AM x =:;直线114AN y x =-+:.AM ,AN 分别与轨迹E 的方程联立求得(0,1)S -,83(,)55T ,故直线:1ST y x =-.....................................5分②当4t =时,同理求得直线:1ST y x =-.③当0,2,4t ≠时,直线:AM 1xy t+=,联立直线AM 与轨迹E 的方程,消去y 得2242(04t x x t t+-=,所以1284t x t =+(S 异于A ),所以11218114y x t t -=-+=++....................6分同理得22228(4)8,1(4)4(4)4t x y t t --==+-+-+.....................................7分所以直线ST 的斜率221222128[(4)4]8(4)8[(4)4]8(4)(4)ST y y t t k x x t t t t ---+++==--+--+24(2)t =-,....................................8分所以直线ST 的方程为2228481()4(2)4ty x t t t +-=-+-+①2222248(2)841()(2)(2)444(2)t t y x x t t t t --=--⋅=--++-综上,所以直线ST 过定点(2,1)Q ..........................10分后略,同法一.。
广州市2020届高三上学期12月调研测试数学(理)试题附答案解析
A.388
B.772
C.1540
D.3076
2
11.已知 点 A,B 关于 坐标 原点 O 对称 , AB 1 ,以 M 为圆 心的 圆过 A,B 两点 , 且 与直 线 2 y 1 0 相 切, 若存 在 定点 P, 使得 当 A 运 动时 , MA MP 为 定值 ,
关于 x 的不等式 f 2 x af x 0在 200,200上有且只有 300 个整数解,则实数 a
的取值范围是
A.
3e
3 2
,4e
2
B.
3e
3 2
,e
1 2
C.
2e1
,3e
3 2
D.
e
1 2
的大小关系为(
)
A. a c b
B. a b c
C. a b c
D. a c b
2x y 2 0
4.已知实数 x, y 满足 3x y 3 0 ,则 z x 3y 的最小值为(
)
x 2 y 4 0
A.-7
B.-6
C.1
,4e
2
二.填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知 0, ,tan 4 ,则 sin cos __________.
4 3
14. 若 3x 1 n 展开式的二项式系数之和是 64,则展开式中的常数项的值
A.{3,4}
B.{-2,-1,0} C.{1,2}
广东省广州市2022届高三12月调研测试数学(理)试题 Word版含答案
隐秘 ★ 启用前 试卷类型: A2022届广州市高三班级调研测试 理科数学2021.12 本试卷共5页,23小题, 满分150分。
考试用时120分钟。
留意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2.作答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦洁净后,再选涂其他答案。
写在本试卷上无效。
3.第Ⅱ卷必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必需写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必需保持答题卡的洁净。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,1,2,3A =-,{}230B x x x =->,则AB =A .{}1-B .{}1,0-C .{}1,3-D .{}1,0,3-2.若复数z 满足()12i 1i z +=-,则z =A .25B .35C.5D3.在等差数列{}n a 中,已知22a =,前7项和756S =,则公差d =A .2B .3C .2-D .3-4.已知变量x ,y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,,,则2z x y =+的最大值为A .0B .4C .5D .65.912x x ⎛⎫-⎪⎝⎭的开放式中3x 的系数为 A .212-B .92-C .92D .2126.在如图的程序框图中,()i f x '为()i f x 的导函数,若0()sin f x x =,则输出的结果是 A .sin x -B .cos xC .sin xD .cos x -7.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点M 为1CC 的中点,点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点,平面BMN 交1AA 于点Q ,则AQ 的长为 A .23B .12C .16D .138.已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切,则实数k 的值为A .ln 2B .1C .1ln 2-D .1ln 2+9.某学校获得5个高校自主招生推举名额,其中甲高校2名,乙高校2名,丙高校1名,并且甲高校和乙高校都要求必需有男生参与,学校通过选拔定下3男2女共5个推举对象,则不同的推举方法共有 A .36种B .24种C .22种D .20种10()0ϕϕ>个单位,所得图象对应的函数恰为奇函数,则ϕ的最小值为 A .6πB .12πC .4π D .3π 11.在直角坐标系xOy 中,设F 为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,P 为双曲线C 的右支上一点,且△OPF 为正三角形,则双曲线C 的离心率为 ABC.1+ D.212.对于定义域为R 的函数()f x ,若满足① ()00f =;② 当x ∈R ,且0x ≠时,都有()0xf x '>;③ 当120x x <<,且12x x =时,都有()()12f x f x <,则称()f x 为“偏对称函数”.现给出四个函数:()32132f x x x =-+;()2e 1xf x x =--;()()3ln 1,0,0;2,x x f x x x ⎧-+≤⎪= ⎨>⎪⎩ ()411,0,2120,0.xx x f x x ⎛⎫+≠ ⎪-⎝⎭=⎧⎪=⎨⎪⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A .0B .1C .2D .3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知向量(),2x x =-a ,()3,4=b ,若a b ,则向量a 的模为________.14.在各项都为正数的等比数列{}n a 中,若201822a =,则2017201912a a +的最小值为________. 15.过抛物线C :22(0)y px p => 的焦点F 的直线交抛物线C 于A ,B 两点.若6AF =,3BF =,则p 的值为________.16.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积为________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必需做答.第22、23题为选考题,考生依据要求做答. (一)必考题:共60分. 17.(本小题满分12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足2a =,cos (2)cos a B c b A =-. (1)求角A 的大小;(2)求△ABC 周长的最大值.18.(本小题满分12分)如图,已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形,PA ⊥底面ABCD ,EDPA ,且22PA ED ==.(1)证明:平面PAC ⊥平面PCE ;(2)若直线 PC 与平面ABCD 所成的角为o45,求二面角D CE P --的余弦值.19.(本小题满分12分)某基地蔬菜大棚接受水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示,该地周光照量X (小时)都在30小时以上,其中不足50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周.依据统计,该基地的西红柿增加量y (百斤)与使用某种液体肥料x (千克)之间对应数据为如图所示的折线图.(1)依据数据的折线图,是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系?请计算相关系数r 并加以说明(精确到0.01).(若75.0||>r ,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照把握仪商家为该基地供应了部分光照把握仪,但每周光照把握仪最多可运行台数受周光照量X 限制,并有如下关系:周光照量X (单位:小时) 3050X << 5070X ≤≤ 70X >光照把握仪最多可运行台数321若某台光照把握仪运行,则该台光照把握仪周利润为3000元;若某台光照把握仪未运行,则该台光照把握仪周亏损1000元.以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率,商家欲使周总利润的均值达到最大,应安装光照把握仪多少台?附:相关系数公式∑∑∑===----=ni ini ini iiy yx x y yx x r 12121)()())((,参考数据55.03.0≈,95.09.0≈.20.(本小题满分12分)EDBCAPx y (百斤)54386542(千克)O如图,在直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221y x a b +=()0a b >>的上焦点为1F ,椭圆C 的离心率为12,且过点1,3⎛ ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程;(2)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B (B 不在y 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与x 轴交于点H ,若110F B F H •=,且MO MA =,求直线l 的方程.21.(本小题满分12分)已知函数()ln bf x a x x=+()0a ≠.(1)当2b =时,若函数()f x 恰有一个零点,求实数a 的取值范围;(2)当0a b +=,0b >时,对任意121,,e e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,有()()12e 2f x f x -≤-成立,求实数b 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答,假如多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩,(α为参数),将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩,后得到曲线2C .在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=.(1)说明曲线2C 是哪一种曲线,并将曲线2C 的方程化为极坐标方程;(2)已知点M 是曲线2C 上的任意一点,求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值. 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数()||f x x a =+. (1)当1=a 时,求不等式()211f x x ≤+-的解集;(2)若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ,且[]2,1A -⊆,求a 的取值范围.2022届广州市高三班级调研测试理科数学试题答案及评分参考评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,假如考生的解法与本解答不同,可依据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步消灭错误时,假如后继部分的解答未转变该题的内容和难度,可视影响的程度打算后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;假如后继部分的解答有较严峻的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分.一.选择题二.填空题13.10 14.4 15.4 16.11π三、解答题 17.(1)解法1:由已知,得cos cos 2cos a B b A c A +=.由正弦定理,得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=,…………………………………………1分 即sin()2sin cos A B C A +=.…………………………………………………………………………2分 由于sin()sin()sin A B C C π+=-=,…………………………………………………………………3分 所以sin 2sin cos C C A =.………………………………………………………………………………4分 由于sin 0C ≠,所以1cos 2A =.………………………………………………………………………5分 由于0A <<π,所以3A π=.…………………………………………………………………………6分 解法2:由已知依据余弦定理,得()222222222a c b b c a a c b ac bc+-+-⨯=-⨯.……………………1分 即222b c a bc +-=.……………………………………………………………………………………3分所以2221cos 22b c a A bc +-==.………………………………………………………………………… 5分由于0A <<π, 所以3A π=.…………………………………………………………………………6分(2)解法1:由余弦定理2222cos a b c bc A =+-,得224bc b c +=+,………………………………………………………………………………………7分即2()34b c bc +=+.……………………………………………………………………………………8分由于22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,………………………………………………………………………………………9分所以223()()44b c b c +≤++.即4b c +≤(当且仅当2b c == 时等号成立).……………………………………………………11分 所以6a b c ++≤.故△ABC 周长a b c ++的最大值为6.………………………………………………………………12分 解法2:由于2sin sin sin a b c R A B C ===,且2a =,3A π=,所以b B =,c C =.…………………………………………………………………8分所以)2sin sin a b c B C ++=++22sin sin 3B B π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦………………………9分 24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.……………………………………………………………………10分由于203B π<<,所以当3B π=时,a b c ++取得最大值6. 故△ABC 周长a b c ++的最大值为6.………………………………………………………………12分18.(1)证明:连接 BD ,交 AC 于点O ,设PC 中点为F , 连接OF ,EF .由于O ,F 分别为AC ,PC 的中点, 所以OF PA ,且12OF PA =,由于DE PA ,且12DE PA =,所以OFDE ,且OF DE =.………………………………………………………………………1分所以四边形OFED 为平行四边形,所以OD EF ,即BD EF .………………………………2分由于PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以PA BD ⊥. 由于ABCD 是菱形,所以BD AC ⊥. 由于PA AC A =,所以BD ⊥平面PAC .…………………………………………………………4分 由于BDEF ,所以EF ⊥平面PAC .………………………………………………………………5分由于FE ⊂平面PCE ,所以平面PAC ⊥平面PCE . ………………………………………………6分 (2)解法1:由于直线 PC 与平面ABCD 所成角为o45,所以 45=∠PCA ,所以2AC PA ==.………………………………………………………………7分 所以AC AB =,故△ABC 为等边三角形. 设BC 的中点为M ,连接AM ,则AM BC ⊥.以A 为原点,AM ,AD ,AP 分别为x y z ,,轴,建立空间直角坐标系xyz A -(如图).则()20,0,P ,()01,3,C ,()12,0,E ,()02,0,D , ()21,3-=,PC ,()11,3,-=CE ,()10,0,=DE .…………………………9分设平面PCE 的法向量为{}111,,x y z n =,则0,0,PC CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即11111120,0.y z y z +-=++=⎪⎩ 11,y =令则112.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以)=n .……………………………………………………………10分设平面CDE 的法向量为()222,,x y z =m ,则0,0,DE CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即22220,0.z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令21,x =则220.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以()=m .…………11分设二面角D CE P --的大小为θ,由于θ为钝角,所以cos cos ,4θ⋅=-=-==-⋅n m n m n m.所以二面角D CE P --的余弦值为46-.…………………………………………………………12分 解法2:由于直线PC 与平面ABCD 所成角为45,且⊥PA 平面ABCD ,所以45PCA ∠=,所以2==AC PA .………………………………………………………………7分 由于2AB BC ==,所以∆ABC 为等边三角形. 由于⊥PA 平面ABCD ,由(1)知//PA OF , 所以⊥OF 平面ABCD .由于⊂OB 平面ABCD ,⊂OC 平面ABCD ,所以⊥OF OB 且⊥OF OC . 在菱形ABCD 中,⊥OB OC .以点O 为原点,OB ,OC ,OF 分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系-O xyz (如图).则(0,0,0),(0,1,2),(0,1,0),((-O P C D E ,则(0,2,2),(3,1,1),(3,1,0)=-=--=--CP CE CD .……………………………………………9分 设平面PCE 的法向量为111(,,)x y z =n ,则0,0,CP CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11111220,0.y z y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令11=y ,则111,1.y z =⎧⎨=⎩,则法向量()0,1,1=n .……………10分设平面CDE 的法向量为222(,,)x y z =m ,则0,0,CE CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即222220,0.y z y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令21=x ,则220.yz ⎧=⎪⎨=⎪⎩则法向量()1,=m .………………………………………………11分设二面角--P CE D 的大小为θ,由于θ为钝角,则cos cos ,4θ⋅=-=-==-⋅n m n m nm.所以二面角--P CE D 的余弦值为4-.…………………………………………………………12分19.解:(1)由已知数据可得24568344455,455x y ++++++++====.……………………1分由于51()()(3)(1)000316ii i xx y y =--=-⨯-++++⨯=∑,………………………………………2分,52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i i x x………………………………………………3分==.…………………………………………………4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑.………………5分由于0.75r >,所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. …………………………………………6分 (2)记商家周总利润为Y 元,由条件可知至少需安装1台,最多安装3台光照把握仪.①安装1台光照把握仪可获得周总利润3000元.………………………………………………………7分 ②安装2台光照把握仪的情形:当X >70时,只有1台光照把握仪运行,此时周总利润Y =3000-1000=2000元, 当30<X ≤70时,2台光照把握仪都运行,此时周总利润Y =2×3000=6000元,故Y 的分布列为所以20000.260000.85200EY =⨯+⨯=元. ………………………………………………………9分③安装3台光照把握仪的情形:当X >70时,只有1台光照把握仪运行,此时周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元, 当50≤X ≤70时,有2台光照把握仪运行,此时周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元, 当30<X ≤70时,3台光照把握仪都运行,周总利润Y =3×3000=9000元, 故Y 的分布列为所以10000.250000.790000.14600EY =⨯+⨯+⨯=元. ………………………………………11分 综上可知,为使商家周总利润的均值达到最大应当安装2台光照把握仪.…………………………12分20.解:(1)由于椭圆C 的离心率为12,所以12c a =,即2a c=.……………………………………1分又222+a b c =,得22=3b c ,即2234b a =,所以椭圆C 的方程为2222134y x a a +=. 把点1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代人C 中,解得24a =.………………………………………………………………2分 z OyxPACBDE所以椭圆C 的方程为22143y x +=.……………………………………………………………………3分 (2)解法1:设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为+2y kx =,由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=.…………………………………………………………4分 设(),A A A x y , (),B B B x y ,则有0A x =,21234B kx k -=+,…………………………………………5分所以226834B k y k -+=+. 所以2221268,3434k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭……………………………………………………………………………6分由于MO MA =,所以M 在线段OA 的中垂线上, 所以1M y =,由于2M M y kx =+,所以1M x k =-,即1,1M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.………………………………7分 设(,0)H H x ,又直线HM 垂直l ,所以1MH k k =-,即111H k x k=---.…………………………8分所以1H x k k =-,即1,0H k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.……………………………………………………………………9分又()10,1F ,所以21221249,3434k k FB k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭,11,1F H k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 由于110F B F H ⋅=,所以2221249034341k k k k k k --⎛⎫⋅-= ⎪+⎝⎭-+,………………………………………10分 解得283k =.……………………………………………………………………………………………11分 所以直线l的方程为23y x =±+.………………………………………………………………12分解法2:设直线l 的斜率为k ,则直线l 方程+2y kx =,由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=,…………………………………………………………4分 设(),A A A x y ,(),B B B x y ,则有0A x =,21234B kx k -=+.…………………………………………5分所以226834B k y k -+=+. 所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭,()1,1H F H x =-.…………………………………………………6分由于110F B F H ⋅=,所以21234H kx k -⋅+2249034k k --=+,解得29412H k x k -=.………………………7分 由于MO MA =,所以()22222M M M M x y x y +=+-,解得1M y =.………………………………8分所以直线MH 的方程为219412k y x k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.………………………………9分联立22,194,12y kx k y x k k =+⎛⎫-=--⎧ ⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎩ 解得()22920121M k y k +=+.…………………………10分 由()229201121M k y k+==+,解得283k =.……………………………11分 所以直线l的方程为23y x =±+.……………………………………12分21.解:(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞.当2b =时,()2ln f x a x x =+,所以()222a x af x x x x+'=+=.…………………1分① 当0a >时,()0f x '>,所以()f x 在()0,+∞上单调递增,…………………2分取10e ax -=,则211e 1e 0a a f --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,……………………………………3分(或:由于00x <<01e x <时,所以()200001ln ln ln 0ef x a x x a x a a a =+<+<+=.) 由于()11f =,所以()()010f x f <,此时函数()f x 有一个零点.………………4分②当0a <时,令()0f x '=,解得x =当0x <<()0f x '<,所以()f x在⎛ ⎝上单调递减;当x >()0f x '>,所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.要使函数()f x有一个零点,则02af a ==即2e a =-.………………………5分综上所述,若函数()f x 恰有一个零点,则2e a =-或0a >.……………………6分 (2)由于对任意121,,e ex x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,有()()12e 2f x f x -≤-成立,由于()()()()12max min f x f x f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,所以()()max min e 2f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.……………………………………………7分 由于0a b +=,则a b =-.所以()ln b f x b x x =-+,所以()()11bb b x b f x bx x x---'=+=. 当01x <<时,()0f x '<,当1x >时,()0f x '>,所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,在(]1,e 上单调递增,()()min 11f x f ==⎡⎤⎣⎦,………………8分由于1e ebf b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e bf b =-+,所以()()max 1max ,e e f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎡⎤⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭.……………9分 设()()1e e e2e bbg b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >,则()e e220bbg b -'=+->=.所以()g b 在()0,+∞上单调递增,故()()00g b g >=,所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭.从而()max f x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+.……………………………………………10分 所以e 1e 2b b -+-≤-即e e 10bb --+≤,设()=e e 1bb b ϕ--+()0b >,则()=e 1bb ϕ'-.当0b >时,()0b ϕ'>,所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增.又()10ϕ=,所以e e 10b b --+≤,即为()()1b ϕϕ≤,解得1b ≤.……………………………11分 由于0b >,所以b 的取值范围为(]0,1.…………………………………12分22.解:(1)由于曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数),由于2.x x y y '=⎧⎨'=⎩,,则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩,.………………………2分所以2C 的一般方程为224x y ''+=.………………………………………3分所以2C 为圆心在原点,半径为2的圆.………………………………4分所以2C 的极坐标方程为24ρ=,即2ρ=.……………………………5分(2)解法1:直线l 的一般方程为100x y --=.……………………………6分曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d απ-==.…………8分 当cos +=14απ⎛⎫⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时,d2.……9分 当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时,d+10分 解法2:直线l 的一般方程为100x y --=.…………………………………6分 由于圆2C 的半径为2,且圆心到直线l 的距离252|1000|=--=d ,……………7分由于225>,所以圆2C 与直线l 相离.……………………………8分所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ,最小值为225-=-r d .…10分23.解:(1)当1=a 时,()|1|=+f x x .…………………………………………1分①当1x ≤-时,原不等式可化为122x x --≤--,解得1≤-x .………………2分 ②当112x -<<-时,原不等式可化为122+≤--x x ,解得1≤-x ,此时原不等式无解.……3分③当12x ≥-时,原不等式可化为12+≤x x ,解得1≥x .……………………4分 综上可知,原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x .……………………………5分(2)解法1:①当3a ≤时,()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩……………………6分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--, 由于[2,1]-⊆A ,所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩,,解得1a ≤.………………………………………………………7分②当3a >时,()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩………………………………8分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--,由于[2,1]-⊆A ,所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩,,解得5a ≥.………………………………………………………9分综上可知,a 的取值范围是(][),15,-∞+∞.………………………………………………………10分解法2:由于|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-,……………………7分 所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a .所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---.…………………………………………………………8分由于[2,1]-⊆A ,所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩,,解得1a ≤或5a ≥.所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞.………………………………………………………………10分。
【答案】2020届广州市高三年级调研测试 理科数学
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
D
A
C
B
A
D
A
B
C
D
4
13
2
14
135
15
6
16
10
5
6
1.答案:A 解析:阴影部分所表示的集合为{x | x B且x A} {3, 4} .
(1 i)2 2i 2i(1 i) 2i(1 i)
cos m, n
.
m n 19
19
11 由图可知,二面角 B FC D 为钝角,所以二面角 B FC D 的余弦值为 .
19
z E
F
E F
B x
A D
O Cy
G A
D
O
B
C
方法二:几何法:
由(1)知 BD 平面 AEFC ,所以 BD FC ,
a4
8 ,所以 d
10
a4
a3
2
, a1
a3
2d
4
,
an a1 (n 1)d 4 2(n 1) 2n 2 .
(2) 2b1 22 b2 23b3 2n bn 22n2 4
①
当
n≥
2
时,
2b1
22 b2
23 b3
(0,
2)
时,
f (x) 0,
f
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2020届广州市高三年级调研测试理科数学2019.12 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图1,已知全集U=Z,集合A={-2,-1,0,1,2},集合B={1,2,3,4},则图中阴影部分表示的集合是()A.{3,4}B.{-2,-1,0}C.{1,2}D.{2,3,4}2.已知Z=()ii+-112(i为虚数单位),在复平面内,复数Z对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知3121⎪⎭⎫⎝⎛=a,3log2=b,6log4=c,则a,b,c的大小关系为()A.bca>>B.cba=<C.cba>>D.bca<<4.已知实数yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+423322yxyxyx,则yxz3-=的最小值为()A.-7B.-6C.1D.65.某大学选拔新生补充进“篮球”,“电子竞技”,“国学”三个社团,据资料统计,新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立,2019年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”,“电子竞技”,“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m,31,n,已知三个社团他都能进入的概率为241,至少进入一个社团的概率为43,且m>n.则=+nm()A.21B.32C.43D.1256.如图2,利用该算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为()A.3B.4C.5D.67.已知F 为双曲线12222=-by a x 的右焦点,过F 做C 的渐近线的垂线FD ,垂足为D ,且满足OF FD 21=(O 为坐标原点),则双曲线的离心率为( ) A .332 B .2C .3D .310 8.函数()()ln sin ,0f x x x x x ππ=+-≤≤≠且的大致图像是( )A .B .C .D .9.如图3,在ABC ∆中,,1,3,==⊥AD BD BC AB AD 则=⋅AD AC ( )A .3B .3C .3-D .-310.1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳的行星距离的法则。
记地球距离太阳的平均距离为10,可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表: 星名 水星 金星 地球 火星 木星 土星 与太阳的距离47101652100除水星外,其余各星与太阳的距离都满足波得定则(某一数列规律),当是德国数学家高斯根据此定则推算,火星和木星之间距离太阳28还有一颗大行星,1801年,意大利天文学家皮亚齐用过观测,果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带。
请你根据这个定则,估算从水星开始由近到远算,第10个行星与太阳的平均距离大约是 A .388 B .772 C .1540 D .3076 11.已知点A,B 关于坐标原点O 对称,1=AB ,以M 为圆心的圆过A,B 两点,且与直线012=-y 相切,若存在定点P ,使得当A 运动时,MP MA -为定值,则点P 的坐标为A .⎪⎭⎫ ⎝⎛410,B .⎪⎭⎫ ⎝⎛210,C .⎪⎭⎫ ⎝⎛-410,D .⎪⎭⎫ ⎝⎛-210,12.已知偶函数()x f 满足()()x f x f -=+44,且当[]4,0∈x 时,()2x xe x f -=,若关于x 的不等式()()[]200,20002->+在x af x f上有且只有300个整数解,则实数a 的取值范围是A .⎥⎦⎤ ⎝⎛----2234,3e eB .⎥⎦⎤ ⎝⎛----2123,3e eC .⎥⎦⎤ ⎝⎛----2313,2e eD .⎥⎦⎤ ⎝⎛----2214,e e二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知()344tan 0=⎪⎭⎫⎝⎛+∈πθπθ,,,则=+θθcos sin __________. 14.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+13展开式的二项式系数之和是64,则展开式中的常数项的值是__________.15.已知某三棱锥的侧棱长大于底边长,其外接球体积为6125π,三视图如图3所示,则其侧视图的面积为__________.16.在△ABC 中,设角A ,B ,C 对应的边分别为c b a ,,,记△ABC 的面积为S ,且22224c b a +=,则2aS的最大值为__________.三.解答题:共70分。
解答应些出文字说明证明过程或演算步骤。
第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22,23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)已知{}n a 为单调递增的等差数列,1852=+a a ,8043=⋅a a ,设数列{}n b 满足42222233221-=++++n a n n b b b b Λ,*∈N n .(1)求数列{}n a 的通项;(2)求数列{}n b 的前n 项和n S .18.(12分)如图5,已知四边形ABCD是变成为2的菱形,∠ABC=60°,平面AEFC⊥平面ABCD,EF∥AC,AE=AB,AC=2EF.(1)求证:平面BED⊥平面AEFC;(2)若四边形AEFC为直角梯形,且EA⊥AC,求二面角B-FC-D的余弦值。
19.(12分)某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元/人,设每月每人配送的单数为X,若X∈[1,300],每单提成3元,若X∈(300,600),每单提成4元,若X∈(600,+∞),每单提成4.5元,B公司配送员底薪是每月2100元,设每月配送单数为Y,若Y∈[1,400],每单提成3元,若Y∈(400,+∞),每单提成4元,小想在A公司和B公司之间选择一份配送员工作,他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份(30天)的送餐量数据,如下表:表1:A公司配送员甲送餐量统计日送餐量x(单)13 14 16 17 18 20天数 2 6 12 6 2 2表2:B公司配送员乙送餐量统计日送餐量x(单)11 13 14 15 16 18天数 4 5 12 3 5 1(1)设A公司配送员月工资为f(X),B公司配送员月工资为g(Y),当X=Y且X,Y∈[300,600]时,比较f(X)与g(Y)的大小关系(2)将甲乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率(i)计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E(X)和E(Y)(ii)请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.20.(12分)已知椭圆()013222>=+a y a x C :的右焦点F 到左顶点的距离为3. (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 是坐标原点,过点F 的直线与椭圆C 交于A,B 两点(A,B 不在x 轴上),若OB OA OE +=,延长AO 交椭圆与点G ,求四边形AGBE 的面积S 的最大值.21.(12分)已知函数().ln 2x k x x x f +-=(1)讨论函数()x f 的单调性;(2)若函数()x f 有两个极值点21,x x ,证明:()().24111k x f x f -<-\\(二).选考题:共10分,请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(10分)【选修4—4:坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=m m y m m x 11(m 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为.03cos sin 3=--θρθρ (1)求曲线C 和直线l 的直角坐标系方程; (2)已知()1,0P 直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,求PBPA 11+的值23. 【选修4—5:不等式选讲】(10分) 已知()()().22a x x x a x x f --+--= (1)当2=a 时,求不等式 ()0<x f 的解集; (2)若()a x ,∞-∈时,()0<x f ,求a 的取值范围.答案解析一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.答案:A 解析:由图可知,阴影部分表示(C U A )∩B ={3,4} 2.答案:C 解析:22(1)112i i i Z i i ---===--+,对应点为(-1,-1),在第三象限 3. 答案:D 解析:3121⎪⎭⎫ ⎝⎛=a <012⎛⎫⎪⎝⎭=1,3log 2=b >2log 2=1,6log 4=c 4log 4>=1,所以,a 最小,6log 4=c =221log 6log 62=,因为36>,所以,b >c ,所以,b c a <<4.答案:A 解析:不等式组表示的平面区域如下图所示,目标函数经过点A (2,3)时,取得最小值为-7,故选A 。
5. 答案:C 解析:依题意,有:11324mn =,即18mn =,又1-1(1)3-(1-m )(1-n )=43, 即5()8mn m n -+=-,解得:153884m n +=+=,故选C 。
6.答案:B 解析:点有:(-3,6),i =5,(-2,5),i =4, (-1,4),i =3, (0,3),i =2, (1,2),i =1, (2,1),i =0,结束,共有6个点,圆x 2+y 2=25内的点有4个,选B 。
7. 答案:A 解析:设F (c ,0),双曲线的渐过线为:b y x a =±,因为OF FD 21=,|FD |=22||bc a b +=12c ,解得:223a b =,离心率为:221c b e a a==+=3328.答案:D 解析:()()f x f x -=,为偶函数,函数图象关于y 轴对称,故排除B ,x π=时,()ln f ππ=>1,排除C ;当02x π<≤时,()ln sin f x x x =+是增函数,当2x ππ<≤时,lnx 递增,sinx 递减,故选D 。
9.答案:A 解析:,AD AB ⊥0AB AD =u u u r u u u r g AC AD ⋅u u u r u u u r =()AB BC AD AB AD BC AD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g =BC AD u u u r u u u r g=3BD AD u u u r u u u r g =3()AD AB AD -u u u r u u u r u u u r g =23||AD u u u r =310.答案:B 解析:7-4=3×1,10-7=3×1,16-10=6=3×2,即第4个:16=10+3×2 28-16=12=3×22,即第5个:28=16+3×22 52-28=24=3×23,即第6个:52=28+3×23 100-52=48=3×24,即第7个:100=52+3×24 依次类推:第8个:100+3×25=196,第9个:196+3×26=388,第10个:388+3×27=772,选B11. 答案:C 解析:设M (x ,y ),圆M 与直线012=-y 相切,圆M 的半径R =|21|2y -, 1=AB ,又点A 、B 关于原点O 对称, 所以,|AO |=12在直角三角形AOM 中,2222(21)1()44y x y -=++,解得:2x y =-,M 点的轨迹2x y =-是以点(0,-14)为焦点,14y =为准线的抛物线,定点P 为(0,-14),|MP |=14y -,|MA |=R =|21|2y -=122y -,|MA |-|MP |=122y --(14y -)=14为定值。