线性代数课件3.4

是一个非空集合， 为数域 为数域． 定义 设 V 是一个非空集合，F为数域．如果 对于任意两个元素 α , β ∈ V ，总有唯一的一个
γ =α + β
若对于任一数 k ∈F 与任一元素 α ∈ V ，总有唯
一的一个元素 δ ∈ V 与之对应，称为 k 与 α 的数量积， 与之对应， 数量积， 记作
= (a1 + a2 )cos x + (b1 + b2 )sin x
= A sin( x + B ) ∈ S [ x ].
λ s1 = λ A1 sin ( x + B1 ) = (λ A1 )sin ( x + B1 ) ∈ S[x]
又容易验证， 又容易验证，S[x]中上述的运算满足线性空间定 中上述的运算满足线性空间定 义的条件（ ） 义的条件（1）到（8） ） 是一个线性空间。 ∴ S[x]是一个线性空间。 是一个线性空间
是数的集合， 定义 设 F是数的集合，若其满足 是数的集合 （1） 0, 1 ∈ F ） （2） ∀a, b ∈ F，均有 ） ，
a + b, a − b, a × b, a ÷ b ( b ≠ 0 ) ∈ F
则称 F是一个数域。 是一个数域 是一个数域。 R，实数域 ， Q，有理数域 ， C，复数域 ， 常用数域
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i = 0,1, ⋯, n；n = 0,1, 2, ⋯}
F [x]n = { f ( x ) | f ( x ) ∈F [x] ,
f ( x )的次数小于 n, 或 f ( x ) ≡ 0}
C[a,b] = { f ( x ) | f ( x ) 是闭区间 [ a , b ]上的连续函数
}
与之对应， 元素 γ ∈ V 与之对应，称为元素 α 与 β 的和，记作
( 3) 在V中存在 零元素 θ , 对任何 α ∈ V , 都有 α + θ = α;
(4) 对任何 ∈V , 都存在 的负元素 − α ∈V , 使 α α
(5) 1α = α ;
α + (−α ) = θ ;
(6) λ (µα ) = (λµ )α ;
( 7) (λ + µ )α = λα + µα ;
线性空间的判定方法
（１）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是 一个集合， 人们熟悉的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性。 人们熟悉的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性。 例 F 对向量的加法及数量乘法，构成数域 上的 对向量的加法及数量乘法，构成数域F上的 线性空间，称为向量空间。 线性空间，称为向量空间。 向量空间 例 F
a ⊕1 = a ⋅1 = a
( 4 ) ∀ a ∈ R + , 有负元素 a −1 ∈ R + , 使
a ⊕a = a⋅ a = 1
−1
−1
( 5 ) 1 a = a = a;
1
(6) λ (µ a) = λ a = (a ) = a = (λµ) a
(7)
µ
µ λ
λµ
(λ + µ )
a = aλ +µ = aλ a µ = aλ ⊕ a µ = λ a⊕µ a
+
λ
+
下面一一验证八条线性运算规律： 下面一一验证八条线性运算规律：
(1) a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a
( 2) ( a ⊕ b ) ⊕ c = ( ab ) ⊕ c = ( ab )c = a ⊕ ( b ⊕ c )
( 3 ) R +中存在零元素 1, 对任何 a ∈ R + , 有
（2）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是 一个集合， 常见的加、乘运算，则除了封闭性以外， 常见的加、乘运算，则除了封闭性以外，还必需检验 是否满足八条线性运算规律。 是否满足八条线性运算规律。
例 对正实数的全体 R ，在其中定义加法 ⊕ 及数 乘 ：
+
a ⊕ b = ab, λ a = a
+
F n = {( a1 , ⋯, an ) | ai ∈ F , i = 1, ⋯, n}
× F m×n = {[aij ]m×n | aij ∈ F , i = 1, 2, ⋯, m；j = 1, 2, ⋯, n}
F [x] = { a0 + a1 x + a2 x 2 + ⋯ + an x n ) | ai ∈F ,
λ
( λ ∈ R, a , b ∈ R )
+
证明： 对上述加法与乘数运算构成线性空间。 证明： R 对上述加法与乘数运算构成线性空间。 证明 因为
∀a, b ∈ R + ⇒ a ⊕ b = ab ∈ R +
∀ λ ∈ R, a ∈ R ⇒ λ a = a ∈ R
所以对定义的加法与数乘运算封闭。 所以对定义的加法与数乘运算封闭。
m×n × n
对矩阵的加法及数量乘法，构成数域F上 对矩阵的加法及数量乘法，构成数域 上
的线性空间，称为矩阵空间。 的线性空间，称为矩阵空间。 矩阵空间
例 F [x]对多项式的加法及数与多项式的数量乘 对多项式的加法及数与多项式的数量乘 上的线性空间， 多项式空间。 法，构成数域F上的线性空间，称为多项式空间。 构成数域 上的线性空间 称为多项式空间 例 F [x]n对多项式的加法及数与多项式的数量乘 法，构成数域F上的线性空间，也称为多项式空间。 上的线性空间， 多项式空间。 构成数域 上的线性空间 也称为多项式空间 例 C [ a, b ] 对函数的加法与实数和函数的数量乘 上的线性空间。 函数空间。 法，构成实数域 R上的线性空间。称为函数空间。 上的线性空间 称为函数空间
一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广。 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广。 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 线性空间是为了解决实际问题而引入的， 某一类事物从量的方面的一个抽象， 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间， 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题。 问题。
⇒ 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02
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2．负元素是唯一的 证明 假设 α 有两个负元素 β 与 γ ， 那么
α + β = 0, α + γ = 0
则有
β = β + 0 = β + (α + γ )
= (β + α ) + γ
= 0+γ = γ
元素 α 的负元素记为 − α 。 ▌
例 n 次多项式的全体
{ p = a n x n + ⋯ + a1 x + a 0 a n , ⋯ , a1 , a 0 ∈ R , 且 a n ≠ 0} 对于通常的多项式加法 和乘数运算不构成线性 空 间。
∵
0 p = 0 xn + ⋯ + 0 x例 正弦函数的集合
不构成线性空间。 不构成线性空间。 对给定的两种向量运算封闭， 解 Rn 对给定的两种向量运算封闭，但对Rn 中的 非零向量 x
1•x＝θ ≠x •
▌
不满足线性空间定义中的条件（5），所以Rn 对给定 不满足线性空间定义中的条件（ ），所以 ）， 的两种向量运算不构成线性空间。 的两种向量运算不构成线性空间。
λ λ λ
(8) λ (a ⊕ b) = λ (ab) = (ab) = a b
= aλ ⊕ bλ = λ a ⊕ λ b
对所定义的运算构成线性空间。 所以 R + 对所定义的运算构成线性空间。
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例 R n 对于通常的向量加法及如下定义的数乘 •
λ • ( x1 ,⋯, x n ) = (0, ⋯ ,0 )
(8) λ (α + β ) = λα + λβ 。
说明 1．凡满足以上八条规律的加法及数乘运算， 凡满足以上八条规律的加法及数乘运算， 称为线性运算； 称为线性运算； 线性运算 2．线性空间中的元素不一定是有序数组； 线性空间中的元素不一定是有序数组； 3．判别线性空间的方法：若一个集合，对于 判别线性空间的方法：若一个集合， 定义的加法和数乘运算不封闭， 定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八 条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间。 条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间。
δ = kα
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律， 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律， 就称为数域F上的线性空间： 上的线性空间 那么 V 就称为数域 上的线性空间： 对 α , β , γ ∈ V , λ , µ ∈F，总有 ，
(1) α + β = β + α ;
( 2)
(α + β ) + γ = α + (β + γ );
3． 0α = 0;
(− 1) α
= −α ; λ 0 = 0
证明 ∵ α + 0α = 1α + 0α = (1 + 0)α = 1α = α
∵ α + (− 1)α = 1α + (− 1)α = [1 + (− 1)]α = 0α = 0
∴ 0α = 0
∴
(− 1 )α
= −α
λ 0 = λ [α + (− 1)α ] = λα + (− λ )α
= [λ + (− λ )]α = 0α
=0
▌
4．如果 λα = 0，则 λ = 0 或 α = 0 ． 1 1 证明 假设 λ ≠ 0 , 那么 (λα ) = ⋅ 0 = 0 。 λ λ 又