2018届安徽省芜湖市高三上学期期末考试(一模)数学(文)试题

芜湖市2017-2018学年度第一学期期末学习质量测评高三数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|124}x A x =<≤，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B ⋂=（ ） A ．{|12}x x ≤< B ．{|12}x x <≤ C ．{|02}x x <≤ D ．{|02}x x ≤<2.复数1iz i=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红，黄，蓝，绿，紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ．154.设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要必要条件D ．既不充分也不必要条件5.下图是一个算法的程序框图，当输入值x 为10时，则其输出的结果是（ ）A ．12 B ．2 C ．14D ．4 6.若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞ B ．)2 C.( D ．()1,27.若直线()10,0x ya b a b+=>>过点()1,1，则4a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C.9 D ．108.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A ．2πB ．83π C.103π D ．3π 9.已知定义在R 上的函数()()||21x m f x m R -=+∈为偶函数.记12(log 2)a f =，2(log 4)b f =，()2c f m =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b << C.a c b << D ．c b a <<10.古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ）A ．6天B ．7天 C.8天 D ．9天11.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别为,BC CD 的中点，H 为EF 的中点，沿,,AE EF FA 将正方形折起，使,,B C D 重合于点O ，在构成的四面体A OEF -中，下列结论中错误．．的是（ ）A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF所成角的正切值为C. 四面体A OEF -的外接球表面积为6π D ．异面直线OH 和AE 所成角为60︒12.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若方程()10f x mx -+=恰有四个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(1,)3-- B ．1(1,)2-- C. 31(,)42-- D ．1(2,)2-- 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.函数()sin cos 22f x x x x =+的最小正周期是 ． 14.若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为 ．15.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，顶点(0,)B b 到2F 的距离为4，直线32x a =上存在点P ，使得21F PF ∆为底角是30︒的等腰三角形，则此椭圆方程为 ．16.已知数列{}n a ，令112*1(22)()n n n P a a a n N n-=+++∈，则称{}n P 为{}n a 的“伴随数列”，若数列{}n a 的“伴随数列”{}n P 的通项公式为1+2()n n P n N +=∈，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，则实数k 取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，向量(sin ,sin )m A B =，(cos ,cos )n B A =且sin 2m n C ⋅=.（1）求角C 的大小；（2）若sin sin 2sin A B C +=，且ABC ∆面积为c 的长.18.某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元），空气质量指数API 为x .当0100x ≤≤时，企业没有造成经济损失；当100300x <≤对企业造成经济损失成直线模型（当150x =时造成的经济损失为200S =，当250x =时，造成的经济损失500S =；当300x >时造成的经济损失为2000元； （1）试写出()S x 的表达式：（2）在本年内随机抽取一天，试估计该天经济损失超过350元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有12天为重度污染，完成下面22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均是边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂直，,E F分别为,AB BC 的中点，点M 为线段PQ 的中点.（1）求证：直线//EM 平面PBD ； （2）求点F 到平面AEM 的距离.20.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，在抛物线C 上任取一点A ，过A 做l 的垂线，垂足为E .（1）若||5AF =，求cos EAF ∠的值；（2）除A 外，EAF ∠的平分线与抛物线C 是否有其他的公共点，并说明理由. 21.已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l的参数方程为11x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos p θθ=-.（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知与直线l 平行的直线'l 过点(2,0)M ，且与曲线C 交于,A B 两点，试求||AB . 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|32|f x x =+. （1）解不等式()4|1|f x x <--；（2）已知1(,0)m n m n +=>，若111||()(0)3x a f x a m n--≤+>恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BBCAD 6-10:CCDBC 11、12：DB 二、填空题13. π 14.9 15.221167x y += 16. 125[,]52 三、解答题17.解：（1）因为sin cos m n A B ⋅=+sin cos sin()sin 2B A A B C =+= 在三角形ABC 中有：sin()sin A B C += 从而有sin 2sin cos C C C =，即1cos 2C =，则60C =︒； （2）由sin sin 2sin A B C +=，结合正弦定理知：2a b c +=又11sin 222S ab C ab ==⨯=36ab = 根据余弦定理可知：2222cos c a b ab C =+-22()34108a b ab c =+-=-解得：6c =18.解：（1）0,0100()3250,1003002000,300x s x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于超过350元”为事件A ，由（1）知：200x >，频数为38，则38()0.38100P A ==. （3）根据以上数据得到如下22⨯列联表：则计算可得22100(1886212)75802030707K ⨯-⨯==⨯⨯⨯10.714 6.635≈>所以有99%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关.19.解：（1）取AD 的中点G ，连接MG 和GE ，则易知//MG PD ，又因为AE EB =，AG GD =，所以EG 为ABD ∆的中位线，所以//EG BD ，且//MG PD ，MGEG G =，所以平面//EMG 平面PBD ，又EM ⊂平面EMG ，所以//EM 平面PBD ； （2）设点F 到平面AEM 的距离为h ， 由题可知，BA ⊥面AQPD ，所以BA AM ⊥，由勾股定理可知，AM ===所以AME ∆的面积122S AE AM =⨯⨯=， 经过计算，有：13M AEF AEF V S AQ -=⨯⨯111112323=⨯⨯⨯⨯= 由M AEF F AME V V --=，和13F AME V S h -=⨯⨯所以3M AEF V h S -===20.解：（1）||15A AF x =+=，∴4A x =，即(4,4)A ±由抛物线的对称性，不防取(4,4)A ∵(1,0)F ，(1,4)E -∴(5,0)AE =-，(3,4)AF =--， ∴cos ||||AE AFEAF AE AF ⋅∠=153555==⨯（2）设00(,)A x y ，∵(1,0)F ，0(1,)E y -，0(2,)EF y =-.由||||AE AF =知EAF ∠的平分线所在直线就是EAF ∆边EF 上的高所在的直线. ∴EAF ∠的平分线所在的直线方程为0002()()0x x y y y ---=.由00022()()04x x y y y y x---=⎧⎨=⎩，消x 得220002420y y y x y --+=. ∵2004y x =，方程化为220020y y y y -+=，即120y y y == 即EAF ∠的平分线与C 只有一个公共点，除A 以外没有其他公共点.21.解：（1）∵323'()3(0)a x af x x x x x-=-=> ①若0a ≤时，'()0f x >，此时函数在(0,)+∞上单调递增；②若0a >时，又33'()0x af x x -==得：x = x ∈时'()0f x <，此时函数在上单调递减；当)x ∈+∞时'()0f x >，此时函数在)+∞上单调递增； （2）由题意知：3ln x a x =在区间(1,]e 上有两个不同实数解，即函数y a =图像与函数3()ln x g x x=图像有两个不同的交点，因为22(3ln 1)'()(ln )x x g x x -=，令'()0g x =得：x =所以当(1x ∈时，'()0g x <，函数在上单调递减当]x e ∈时，'()0g x >，函数在]e 上单调递增；则min ()3g x g e ==，而31127279127()2727ln eg e e e==>，且3()27g e e =<，要使函数y a =图像与函数3()ln x g x x=图像有两个不同的交点，所以a 的取值范围为3(3,]e e .22.解：（1）将cos x ρθ=，sin y θ=cos sin 10θρθ-=， 由22cos 1cos θρθ=-可得22(1cos )2cos ρθρθ-=， 曲线C 的直角坐标方程为22y x =. （2）直线l 的倾斜角为3π，∴直线'l 的倾斜角也为3π，又直线'l 过点(2,0)M ， ∴直线'l的参数方程为12'2'x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（'t 为参数），将其代入曲线C 的直角坐标方程可得23'4'160t t --=，设点,A B 对应的参数分别为''12,t t .由一元二次方程的根与系数的关系知''12163t t =-，''1243t t +=，∴''12||||AB t t =-==23.解：（1）不等式()4|1|f x x <--可化为：|32||1|4x x ++-<①当23x <-时，①式为3214x x ---+<，解得5243x -<<-； 当213x -≤≤时，①式为3214x x +-+<，解得2132x -≤<；当1x >时，①式为3214x x ++-<，无解.综上所述，不等式()4|1|f x x <--的解集为51(,)42-. （2）解：1111()()m n m n m n+=++24n m m n =++≥令1()||()3g x x a f x =--=2||||3x a x --+≤22|()()|||33x a x a --+=+∴max 2()3g x a =+，要使不等式恒成立，只需max 2()43g x a =+≤，即1003a <≤∴实数a 取值范围是10(0,]3.。