5.1.2垂线2(学案)
5.1.2 垂线(2)
七楼A座办公家园
0m 10m 20m
练1.如图，测量点A到直线m的距离。
A
m
B
1.过点A画出直线m的垂线段AB,垂足为B; 2.用直尺量出垂线段AB的长.
七楼A座办公家园
练2：选择题
已知，P是直线a外一点，则下列说法 中正确的 是：（ ）
A
M
B ∴直线MF为所求 垂线。
CN
FD
七楼A座办公家园
练习3：如果 ∠A+∠B=90°， 且∠A与∠B的度数比为4︰5， 求∠A与∠B的度数。
七楼A座办公家园
练习4：如图、已知∠ AOC=ɑ ，
OA⊥OB于O，OD ⊥ OC于O，则
∠ BOD的度数是
？
A D
O
七楼A座办公家园
C B
练习5、如图，试用直尺或三角板量出： 1.城市A与城市B的距离． 2.城市A，B到大河l的D是 点P到直线 a的距离。
（B）过点P作a 的垂线段PD，则PD是点P到直线 a 的距离。
（C）过点P作直线交 a 于 D ，则线段PD的长 是点P到直线 a 的距离。
（D）过点P作a 的垂线段PD ，则线段 PD的长 是点P 到直线 a 的距离。 七楼A座办公家园
解：∵ AC⊥BC于C，(已知) ∴ AC＜AB．(垂线的性质二) 又∵ CD⊥AD于D，(已知) ∴ CD＜AC．(垂线的性质二) ∵ DE⊥CE于E，(已知) ∴ DE＜CD．(垂线的性质二) ∴ AB＞AC＞CD＞DE．
七楼A座办公家园
拓展应用1
如图：在铁路旁边有一 张庄，现在要建一火车 站，为了使张庄人乘火 车最方便（即距离最近 ），请你在铁路上选一 点来建火车站，并说明 理由。
初二数学：下册第5章相交线与平行线5.1.1_5.1.2相交线垂线学案新版新人教版
5.1.1-2 相交线、垂线班级姓名【学习目标】在两条直线相交的基础上理解邻补角、对顶角的概念，掌握它们的特征并会识别；了解垂直概念，能说出垂线的性质，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.【学习过程】一、自主探究1. 操作：在下面空白处，用直尺画出两条相交的直线.2.(1)在你画出的相交线图形中，共有哪几个角？分别表示出来。
(2)这四个角两两相配，共构成几对角？分别将它们标出来。
(3)观察图形，上面各对角之间存在怎样的位置、大小关系？学生根据观察和度量完成下表：两条直线相交所形成的角分类位置关系数量关系3.如果改变的大小，会改变它与其它角的位置关系和数量关系吗？为什么？4.对顶角有什么性质？写出你的推理过程.二、拓展提升探究操作一：画出三条直线交于一点，找出对顶角和邻补角.PO A B C探究操作二：作出两条直线相交，并且其中的一个角是90°.1.这是两条直线相交的特殊情形，我们给它取一个名字，________.两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____角时，我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____.2．表示方法：垂直用符号“⊥ ”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号.3.作图：根据定义，我们知道要想让两条直线垂直，只要保证有一个角是90°即可. (1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L 的垂线. 思考问题：怎样画图？能画出几条关于L 的垂线？L(2)经过直线L 外一点A 画直线L 的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?A .L 学生通过画图操作,得出垂线性质:4.操作练习：如图根据下列语句画图: (1)过点P 画射线MN 的垂线,Q 为垂足;(2)过点P 画射线BN 的垂线,交射线BN 反向延长线于Q 点; (3)过点P 画线段AB 的垂线,交线AB 延长线于Q 点.P MANPPBA5. 如图，连接直线l 外一点P 与直线l 上各点O ，A,B,C,……,其中l PO （我们称PO 为点P 到直线l 的垂线段）。
新人教版七年级下5.1.2垂线学案
新人教版七年级下5.1.2垂线学案一、课前自主学习： （一）填空题：1.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______. 垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________.2.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________.3.如图（1），直线AB ，CD 相交于点O ，若∠EOD =40°，∠BOC =130°，那么射线OE 与直线AB 的位置关系是 .4.如图（2），如果想要把河水引到水池C 中可过点C 画AB 的垂线段CD ，然后沿CD 开渠，则能使所开的渠最短，这种设计的理论依据是 .5.如图（3），,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____，点B 到AC 的距离是_______，点A 、B 两点的距离是_____，点C 到AB 的距离是________．6.如图（4）将一个长方形纸片一角斜折，使顶点A 落在A ′处，BC 为折痕，BD 平分∠A′BE ，则∠CBD = .（二）选择题：7、如图（5）所示,下列说法不正确的是( )A.点B 到AC 的垂线段是线段AB ;B.点C 到AB 的垂线段是线段ACC.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 8.（6）如图，CA ⊥BE 于A ，AD ⊥BF 于D ，下列说法正确的是（ ） A.α的余角只有∠B B. α的邻补角只有∠DAC C. ∠ACF 是α的余角 D. α与∠ACF 互补9.（7）如图，∠PQR=138°，SQ ⊥QR ，QT ⊥PQ ，则∠SQT 等于（ ） A.42° B.64° C48° D.24°O ED C BAB A αF ED C B A P R TS Q A /E D CB A DC B A OED C B A （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）10.如图（8）所示，直线EO ⊥CD ，垂足为点O ，AB 平分∠EOD ，则∠BOD 的度数为（ C ） A.120° B.130° C135° D140° （三）解答题11.如图（9）所示，已知DO ⊥BO ，OA ⊥CO ，OE 是∠COD 的平分线，∠AOB=120°，求∠DOE 的度数.课前自主学习答案：1.互相垂直，有且只有，垂线段最短；2.点到直线的距离；3.垂直；4.垂线段最短；5.6，8，10，4.8；6.90°；7.C ；8.D ；9.A ；10.C ；11.30°. 课堂互动探究（1）知识要点梳理 知识点一：垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
5.1.2 垂 线(2)
洪湖市老湾回族乡中心学校数学教学案学 段 初中 班 级 七（2） 上课时间 5.7点前 习如图所示的是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是哪条线段的长度呢?型 授新课 教学准备在学校运动会准备中,老师提醒班级的百米运动员,在跑道中要尽量按照直线跑,减少左右摆动.老师的提醒有什么道理呢?(如图所示)教师出示探究问题.然后师生共同进行探究.如图所示,连接直线l 外一点P 与直线l 上的点O ,A 1,A 2,A 3,…,其中PO ⊥l (我们称PO 为点P 到直线l 的垂线段).比较线段PO ,PA 1,PA 2,PA 3,…的长短,这些线段中,哪一条最短?处理方式:(1)通过部分学生演示,其他学生观察记录的方法进行; (2)教师在黑板上画出直线l ,然后画出点P ,将直尺的一端固定在P 处;(3)安排学生上台转动直尺,使它与直线l 相交,记录直尺与l 相交时P 与交点间的线段的长度,并同时观察直尺与直线的位置关系;(4)观察P 点到直线l 上的点的距离的变化,并思考哪条线段最短. 师生共同归纳结论:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.如图所示,PO 的长度是点P 到直线l 的距离,其余线段PA ,PB 等的长度都不是点P 到直线l 的距离,它们都比线段PO 长.[知识拓展](1)垂线是直线;垂线段是特指一条线段;点到直线的距离是指垂线段的长度.(2)“垂线段是距离”或“作出点到直线的距离”都是常见的错误语句.“点到直线的距离”实质上是直线外一点到垂足之间的距离,也可以理解成两点之间的距离,不过要弄清楚是怎样的两点.(补充)如图所示,AD的长度是()A.点B到AC的距离B.点C到AB的距离C.点A到BC的距离D.以上都不对1.点P为直线l外一点,A,B,C为直线l上三点,且PA=8 cm,PB=7 cm,PC=5 cm,则点P到直线l的距离为()A.5 cmB.7 cmC.8 cmD.不大于5 cm解析:依据“垂线段最短”.故选D.2.如图所示,AC⊥BC,AD⊥CD,AB=m,CD=n,则AC的取值范围是()3.如图所示,已知P为直线l外一点,A,B,C为l上的点,且PA⊥l,下列说法中正确的是()A.PA,PB,PC中,PA最短B.PA,PB,PC都是P到l的距离C.线段AB的长是点P到AB的距离D.线段BC的长是点P到AB的距离解析:利用性质“垂线段最短”和点到直线的距离的定义去判断.故选A.4.校园里有一块绿地呈三角形,如图所示,现已测出边BC的长为50 m,要想计算出△ABC的面积,还应测出哪条线段的长度?。
5.1.2垂线(2)导学案
C
A
B
D
A
B C D
E F
(4) (5) (6) 3、如图 6,在线段 AB、AC、AD、AE、AF 中 AD 最短.小明说垂线段最短, 因此线段 AD 的长是点 A 到 BF 的距离,对小明的说法,你认为_________________.
4：如图，直线 L 表示一条公路，直线 L 上的点 B 表示车站，直线 L 外的点 A 表示村庄。 （1）从村庄 A 到车站 B 筑一条公路，应按怎样的路线筑路，才能使路程最短？ （2）从村庄 A 到公路 L 筑一条公路，应按怎样的路线筑路，才能使路程最短？
2、2、如图∠ACB=90° B （1）分别指出点 A 到直线 BC，点 B 到直线 AC 的距离是哪些线段的长； （2）AC____AB（填“﹥” “﹤”或“=”，依据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ） （3）AC+BC____AB（填“﹥” “﹤”或“=”，依据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ） C （4）三条边 AB、AC、BC 中哪条边最长？为什么？ 三、课堂检测 1.下 说 正 的 ( 列 法 确 有 )
·A
二、课堂探究（24 分钟）
ｌ
（一） 仔细观察测量比较上题中点 A 分别到直线ｌ上三点 C、 E 的距离， D、 你还有什么收获？ 请将你的收获记录下来： _______________________________________________。 简单说成：_________________。 （二）点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离。 注意：垂线是_______，垂线段是一条________，点到直线的距离是一个数量，不能说“垂线段” 是距离，定义中说的是“垂线段的长度” 。因为，距离是一个数量，而“垂 ．． ，而不是“垂线段” 线段”是指一个具体的几何图形。 【范例讲解】 1、 如图：要把水渠中的水引到水池C 中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？ 请画出图来，并说明理由。
《5.1.2垂线》作业设计方案-初中数学人教版12七年级下册
《垂线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次《垂线》的作业设计，使学生能够：1. 理解垂线的概念及其在几何图形中的基本应用；2. 掌握垂线的画法及其在实际问题中的应用；3. 培养学生在解决几何问题时的逻辑思维能力和空间想象力。
二、作业内容作业内容主要围绕垂线的基本概念和性质，以及在具体问题中的应用展开。
具体包括：1. 基础知识练习：要求学生复习垂线的定义、性质和垂线的画法，通过填空题、选择题等形式进行练习。
2. 理解性题目：设计一些涉及垂线在几何图形中的应用问题，如求证两线段垂直、利用垂线求解角度等。
3. 实践操作题：要求学生利用直尺和圆规等工具，实际操作画出垂线，并解决一些与垂线有关的实际问题。
4. 拓展延伸题：设计一些涉及垂线与平行线、三角形等知识点结合的问题，培养学生综合运用知识的能力。
三、作业要求1. 学生需认真审题，明确题目要求，按照题目给出的条件和要求进行作答。
2. 基础题目需熟练掌握，理解性题目需深入思考，实践操作题需动手操作并记录过程。
3. 拓展延伸题需综合运用所学知识，进行深度思考和探究。
4. 作业需整洁、规范，解题过程需清晰明了。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生对垂线概念的理解程度、题目解答的正确性、解题过程的规范性以及实践操作的准确性进行评价。
2. 评价方式：教师批改作业时，需对每道题目进行仔细审阅，给出评分和评语。
同时，可采取学生互评的方式，让学生互相学习、互相进步。
3. 反馈方式：将作业中的典型问题及错误进行归纳整理，通过课堂讲解、小组讨论等方式进行反馈和纠正。
对优秀作业进行展示和表扬，激励学生积极参与。
五、作业反馈1. 教师需对学生在作业中出现的错误进行及时纠正，并指导学生进行反思和总结。
2. 对学生的疑惑和问题进行解答和指导，帮助学生解决学习中的困难。
3. 根据作业情况，调整教学进度和教学方法，更好地满足学生的学习需求。
4. 对学生的作业情况进行总结和分析，为后续教学提供参考和依据。
5.12垂线(2)
E DC B A 石花镇中心学校数学导学案年级：七年级 学 科：数学 主备老师：魏安敏 课题：：5.1.2 垂线（2） 授课教师： 时间：【学习目标】1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念, 培养学生用几何语言准确表达的能力。
毛2.了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离。
【学习流程】（一）复习回顾 （二）新知探究 （三）应用提高 （四）巩固练习 （五）课堂小结 （六）作业布置【复习回顾】1.上学期我们学习过“什么什么最短”的几何知识,还记得吗? 。
2.思考课本P 5图5.1-8中提出问题:要把河中的水引到农田P 处, 如何挖渠能使渠道最短?3.自学课本P 5-6页的内容后，你能解决2中提出的问题吗？若不能，有哪方面的困惑？ 【新知探究】 1．问题转化如果把小河看成是直线L ，把要挖的渠道看成是一条线段，则该线段的一个端点自然是农田P ，另一个端点就是直线L 上的某个点。
那么最短渠道问题会变成是怎样的数学问题？（提示：用数学眼光思考:在连接直线L 外一点P 与直线L 上各点的线段中,哪一条最短?） 2.学具感受自制学具：在硬纸板上固定木条L ，L 外有一点P ，另一根可以转动的木条a 一端固定在点P ，使木条a 与L 相交，左右摆动木条a ，会发现它们的交点A 随之变化,线段PA 长度也随之变化.观察：当PA 最短时,直线a 与L 的位置关系如何?用三角尺检验一下。
3.画图验证(1)画直线L,在L 外取一点P; (2)过P 点出PO⊥L,垂足为O;(3)点A 1,A 2,A 3……在L 上,连接PA 、PA 2、PA 3……;(4)用度量法比较线段PO 、PA 1、PA 2、PA 3……的大小，.得出线段 最小。
4.归纳结论.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， .简单说成: . 5.知识类比(1)垂线段与垂线有何区别联系？(2)垂线段与线段有何区别与联系？6.解决问题：此时你会解决课本P 5图5.1-8中提出的问题吗？在图形中画出“最短渠道”的位置。
5.1.2垂线教案
教学设计一、创设问题情境，导入新课活动1在相交线的模型（如图）中，固定木条a，转动木条b．问题：（1）在相交直线所形成的四个角中，按照两个角的关系分类，•有哪两种类型的角？（2）两条直线所夹角中，如果按照角的大小分类，又有哪几种？（老师在提出问题的过程中，要继续固定木条a，缓缓在转动木条b，也可让学生亲自操作）设计意图：教师要引导学生将实际问题转化为数学问题．•实践是检验真理的唯五标准，在数学的学习上也是这样．几何是在实践中产生的学科，它的定理也是在大量的实际问题的需要中产生的．因此，还几何的本来面貌，让学生把自己的手动起来，凡是能自己动手探索的几何问题，就一定让学生做．学生讨论。
师：在转动木条b的过程中，当转动到木条b和木条a•有一个角是直角的位置时，其余三个角的大小如何？为什么？分组讨论。
师：我们不难发现，这种位置是两条直线的一种非常特殊的情况．它在生活、生产实际中应用比较广，例如书本相邻两条边所在的直线．你还能举一些生活中的实例吗？生：红十字中的夹角．生：十字路口、围棋棋盘上纵横交错的线的夹角，……师：我们今天就来研究这种特殊情况（板书课题）．二、垂线的有关概念多媒体演示（在感性认识的基础上，引导学生得到关于垂线的一些概念）．1．定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，•就说这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．2．符号：“⊥”读作“垂直于”如图，AB⊥CD于O•，•含义：直线AB与直线CD垂直，垂足是O．3．对垂直定义的理解：（1）在垂直的定义中，强调只有一个角是直角就可以了，•不必说四个角都是直角，因为其他三个直角都可推出来．（2）两条直线互相垂直，指两条直线而言，因此，说到垂线，•一定是两条直线的位置关系．（3）定义具有双重性，既是垂直的判定定理，也是垂直的性质定理．•在具体应用时，要注意书写格式，如图，因为AB⊥CD于O（已知），所以∠1=90°（垂直的定义或垂直性质）；因为∠1=90°（已知），所以AB⊥CD于O（垂直的定义或垂直判定）．三、通过实践活动，引导学生发现垂线的第一个性质活动2问题：（1）用三角尺和量角器画已知直线L的垂线，这样的垂线能画出几条？（2）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？（3）经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？（学生在独立思考的基础上以小组为单位探究每个问题，通过动手操作体会垂直的定义，并由此得出垂直的第一个性质．教师可到某一小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助指导学生完成任务，得出垂线的性质及过一点画已知直线垂线的画法和理由．如果有可能的话，还可以让学生板演）师：在图（1）中，过点A，作直线BD的垂线，在图（2）中，过A点分别作BD和DE的垂线．（1） （2）（教师可在学生画出垂线的基础上，总结出用三角板画垂线的基本方法，强调用两条直角边“一贴”：贴住已知直线，“一靠”：靠住已知点再画直线）． 师：过A 点还能作出别的垂线吗？师生共析： ①过A 点作BD 或DE 的垂线有一条； ②过A 点作BD 或DE 的垂线只有一条．在此基础上，又引导学生概括出：垂线的第一个性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注：①“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指“唯一”．②“过一点”的点在直线外，或在直线上都可以． 四、应用举例，变式练习 【例1】（1）画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线．如图（1），请你过点P 画出线段AB 或射线AB 的垂线．（2）如图（2），过A 点AB ，BC 和CA 的垂线．（1） （2） 练习1，如图（1），∠B=90°，过B 作AB 、BC 、CA 的垂线． 练习2，如图（2），过B 作AC 的垂线，过A 作BC 的垂线，过C 作AB 的垂线．练习3，如图（3），过P 作AB 、BC 、CD 和DA 的垂线．（教师讲完例题和练习后，对过已知点，作已知线段的垂线问题加以总结，重点是：有时需要对线段加以延长，作延长线的垂线）． 五、课时小结师生共同总结出本节课所学的内容． 1．理解垂线的意义；2．根据垂线的意义，过一点画一条直线的垂线；3．•理解垂线的第一性质：过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直EDBA5．1．2 垂线（一）一、两条直线相交的一般与特殊情况二、垂线的定义1．定义2．表示方法三、垂线的第一性质四、例题与练习题五、小结。
5.1.2 垂 线教案
5．1.2 垂线(第2课时)教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解垂直的概念．2．理解垂线的性质：经过一点，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线．3．会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．【过程与方法】通过探索、猜测，进一步体会推理的必要性，发展学生初步推理能力．【情感态度与价值观】通过观察、实验、归纳、类比、推断，体验数学活动的趣味性，感受推理过程的严谨以及结论的确定性．二、重难点目标【教学重点】垂直的概念、性质和画法．【教学难点】两条直线互相垂直的性质和画法．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P3～P6的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)垂线1．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90°)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.垂直用“⊥”表示，如a、b互相垂直，则记为：a⊥b或b⊥a.2．下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有①②③④.①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；②两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直；③两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；④两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．3．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．(二)垂线段4．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．即：垂线段最短.5．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.6．如图所示，点A到直线l的距离是(A)A．线段AD的长度B．线段AE的长度C．线段AB的长度D．线段AC的长度环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】(1)如图1，过点P画AB的垂线；(2)如图2，过点P分别画OA、OB的垂线；(3)如图3，过点A画BC的垂线．【互动探索】(引发学生思考)理解画垂线的步骤，根据画垂线的步骤求解．【解答】如图所示．【互动总结】(学生总结，老师点评)垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．【例2】如图所示是一条河的示意图，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．【互动探索】(引发学生思考)根据垂线的性质可得，即过点C作CE⊥AB，再根据“垂线段最短”可得CE最短．【解答】如图所示，沿CE铺设水管能让路线最短．因为垂线段最短．【互动总结】(学生总结，老师点评)在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”来解决．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，直线a、b相交于点A，点B在直线a上，过点B作直线b的垂线，垂足为点C，若∠1＝50°，则∠2的度数为(A)A．40°B．50°C．60°D．140°2．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是(C)A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线3．如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为点C，AC＝3，点P是直线BC上的动点，则线段AP的长不可能是(A)A．2B．3C．4D．54．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，能表示点到直线的距离的线段有5条．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB.(1)过点O画直线MN⊥CD；(2)若点F是(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．【互动探索】(1)根据题意画出直线MN即可；(2)当点F在射线OM上时，根据垂直定义求出∠EOF＝∠BOD，根据对顶角求出∠BOD＝∠AOC，即可求出答案；当点F在射线ON上时，求出∠AOM的度数，根据对顶角求出∠BON的度数，求出∠EOB＋∠BON即可．【解答】(1)如图所示．(2)①当点F在射线OM上时．因为OE⊥AB，MN⊥CD，所以∠EOB＝∠MOD＝90°，所以∠MOE＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°，所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°.②当点F在射线ON上时，如图中点F′.因为MN⊥CD，所以∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，所以∠AOM ＝90°－∠AOC ＝55°， 所以∠BON ＝∠AOM ＝55°，所以∠EOF ′＝∠EOB ＋∠BON ＝90°＋55°＝145°， 即∠EOF 的度数是35°或145°.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了垂线的作法、角的计算、对顶角、垂线等知识点的应用，关键是根据这些性质求出∠EOM 和∠AOM 的度数，题目较好，难度不大，注意分类讨论思想的运用．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)垂线⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫定义作法⎩⎪⎨⎪⎧一落二移三画性质：垂线段最短求最短距离 练习设计请完成本课时对应练习！。
七年级数学下册5.1.2垂线教案(新版)新人教版
一、预习导学（甲）（乙）这是两幅草坪的图案。
在绿色的草坪上，画着两条交叉的道路。
你觉得甲图、乙图那幅更漂亮、更匀称。
这是什么原因？演示自制教具，这两条相交线有没有特殊位置？什么情况下它们的位置特殊？图甲是两条直线相交的一种特殊情况，它在生活、生产实际中应用比较广，你有没有见过？例如：书本相邻的两条边、窗户框相邻的两边、红十字等，因此今天我们就来研究这种特殊情况二、新课探究（一）垂线的定义直线a不动，当直线b转到什么位置时，两条直线互相垂直？转动木条b时，它和不动的木条a互相垂直的位置有几个？当a、b相交有一个角是直角时，其他三个角呢？垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
建筑工人在砌墙时，常用铅垂线来检查所砌的墙面是否和地面（水平面）垂直。
（二）符号表示“⊥”读作“垂直于”如AB⊥CD垂足为O，含义：直线AB与直线CD垂直，垂足是O你能说出由什么条件能知道AB与CD互相垂直吗？∵∠BOC=90º(已知)∴AB⊥CD (垂直的定义)其它三个角中的一个角等于90º,能不能得到AB⊥CD 呢?反过来,如果AB⊥CD,那么可得到什么结论?(填空)∵AB⊥CD于O (已知)∴________________(垂直的定义)（三）垂线的画法（1）已知直线l，有多少条直线与已知直线l垂直？（2）点与直线的位置关系有几种？如图2中，过点A画直线BD的垂线B ·A DAD 图1 B在学生画出垂线的基础上，教师总结出用三角板画垂线的基本方法强调用两条直角边“一贴”：贴住已知直线，“一靠”：靠住已知点再画线并引导学生思考：这样画出的为何是已知直线的垂线?（四）发现垂线的性质在学生熟练地画出各条垂线之后，1、过A点作BD的垂线有没有？2、过A点作BD的垂线有几条？在此基础上，又引导学生概括出：垂线的第一个性质公理：过一点有且只有一条直线与注：①“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指（五）垂线的第二个性质1、量跳远的成绩时有人想多量点，都采取了什么手段？为什麽？2、用刻度尺量一量下列垂线段OP与线段PA、PB、PC的大小PA B O C（1）什么是垂线段？直线外一点与直线上各点连结的所有的线段中，垂线段最短六、点到直线的距离要把水渠的水引到水池C，为了节省人力物力财力，请你十分钟小测1、下列说法是否正确：两条直线相交，有一条角是直角，则两条直线互相垂直。
5.1.2垂线(第二课时)
垂线的第一性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 注意： （1）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指 唯一性。 （2）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以 在已知直线外。 (3)过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段 (或射线)所在直线的垂线.
4、按要求作图：分别过三角形三个 顶点作其对边的垂线。
．
A D
（A）线段AB叫做点B到直线AC的距离。
（B）线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离 （C）线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离 （D）线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离 B
C
3、如图所示，有两条高速公路l，m， 点P为公路l上的一个出口，现要经过 点P建一连接两高速公路的一段通道， 欲使炉衬最短，应怎样施工？
D
C
例1、如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线， 若∠1＝35° ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系 垂直 是 。 解： ∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知） C A 1 O B ∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2 ＝ 180°－35°－55° ＝90° ∴OE⊥AB (垂直的定义)
2
D
E
例2：如图 ，已知AB. CD相交于O, OE⊥CD
于O,∠AOC=36°，则∠BOE= D
（A）36° (B) 64°
。
(C)144°
(D) 54°
D O A C B
E
学到了什么? 1. 用三角尺、直尺过一点画一条直线的垂线； 2. 理解了点到直线的距离的概念，并会度量点 到直线的距离。 3. 掌握了垂线的两个性质
Ｐ l m A
．
4、如图，P为ABC的平分 线上一点 B
P
C
5.1.2 垂线(授课典案)
5.1.2 垂线第1课时垂线第2课时垂线段课题第1课时垂线第2课时垂线段授课人教学目标知识技能1.使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念,理解垂线的性质,掌握在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的结论;2.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.数学思考经历观察、操作、分析、概括、交流等学习过程,进一步提高学生的作图能力以及运用数学符号进行逻辑推理的能力.问题解决通过探索垂线的性质,能解决相关的垂线问题,并能够进行适当的说理.情感态度1.通过动手观察、操作、推断、交流等数学活动,进一步发展学生交流、合作的能力及有条理地表达自己思想的能力;2.通过创设情境,利用变式训练等多种教学手段来激发学生的学习兴趣,给学生创造成功的机会,使他们爱学、会学且学会,从而体验成功的快乐.教学重点垂线的概念、画法和垂线的两个性质.教学难点垂线的画法;对点到直线的距离的概念的理解.授课类型新授课课时教具量角器、三角尺、直尺、相交线模型教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】图5-1-28被钉死在十字架上的人是谁?十字架有什么意义?十字架原是罗马帝国处以死刑的刑具,反映了帝国的残暴本性,原为耻辱的记号.上帝之子耶稣为了拯救人类,被人钉于十字架,舍命,流血,牺牲,第三天从死里复活.使一切信他的人,罪得赦免,与神和好,获得永生.从此,活动一: 创设情境导入新课十字架具有了荣耀、得胜的含义,成了耶稣救人的标志、基督教的标志和爱的标志,也被用来作为医疗的标志.该图隐含怎样的几何图形?生活中还有哪些这种图形呢?(书本相邻的两条边、窗户框相邻的两边等)今天我们就来研究这种特殊情况!图5-1-29教师出示相交线的模型(如图5-1-29),演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a,b所成的角∠α是如何变化的?通过耶稣被钉在十字架上引入相交线的模型,并揭示了“十字架”的多重含义.其中渗透了对学生的德育教育,让学生热爱生命,形成博爱的观念,并且十字架中隐含相交线的特殊情况——垂直.活动二: 实践探究交流新知【探究1】垂线的概念1.垂线的定义(1)【课堂引入】中的图5-1-29,木条a不动,当木条b转到什么位置时,两根木条互相垂直?(2)转动木条b时,它和不动的木条a互相垂直的位置有几个?活动二: 实践探究交流新知(3)当a,b相交形成的角中有一个角是直角时,其他三个角的度数是多少?通过模型展示及学生交流应使学生明白:当b的位置变化时,∠α从锐角变为钝角,其中∠α是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠α是直角时,它的邻补角、对顶角都是直角,即直线a,b相交所形成的四个角都是直角,都相等.引导学生概括垂线的定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.辨析:“互相垂直”与“垂线”.“互相垂直”指两条直线的位置关系;“垂线”是指其中一条直线相对另一条直线的命名.如果说两条直线“互相垂直”时,其中一条必定是另一条的“垂线”,如果一条直线是另一条直线的“垂线”,则它们必定“互相垂直”.图5-1-302.垂直的符号表示垂直用符号“⊥”来表示,“⊥”读作“垂直于”.如图5-1-30,直线AB垂直于直线CD,垂足为O,则记为AB⊥CD,垂足为O,一般在图中任意一个直角处作上直角记号.3.用垂线的定义进行推理(1)如图5-1-30,你能说出由什么条件就知道AB与CD互相垂直吗?因为∠BOC=90°(已知),所以AB⊥CD(垂直的定义).(2)如果AB⊥CD,那么可得到什么结论?(填空)因为AB⊥CD于点O(已知),所以∠BOC=90°(或∠AOC=90°或∠AOD=90°或∠BOD=90°)(垂直的定义).1.通过探究,让学生独立思考,动手操作,经历探索过程,发现结论.培养学生归纳探究的能力及逻辑推理能力.活动二: 实践探究交流新知【探究2】垂线的性质1图5-1-31让学生用三角尺或量角器画已知直线的垂线.(1)如图5-1-31,现有一条已知直线AB,分别过直线外一点C和直线上一点D,作直线AB的垂线,你有几种方法?(2)通过上述方法画出的垂线有几条?从中你能发现什么结论?学生独立思考,动手操作,自主探索.经过思考、操作,发现对于问题(1)可以有下列两种方法来画垂线:①用量角器;②用三角尺,如图5-1-32.图5-1-32教师在学生动手操作后演示课件“用三角尺作垂线”,让学生进一步感受画垂线的过程.师生共同总结画垂线的方法:(1)用三角尺:贴直线——过定点——画垂线.用三角尺的两条直角边“一贴”:贴住已知直线,“二靠”:靠住已知点,“三画”:画垂线.(2)用量角器.学生通过思考得到:在同一平面内,经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直.注意:(1)在同一平面内,经过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线,只能画出一条.(2)如过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上.【探究3】垂线的性质22.引导学生总结作垂线的一般方法.3.培养学生的作图能力、说理能力以及思考问题的严谨性.活动二: 实践探究交流新知1.解释概念垂线段:垂线上一点到垂足的线段;点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度.2.问题:(1)如图5-1-33,在灌溉时需要把河AB中的水引到C处,如何挖渠能使渠道最短?图5-1-33(2)从上述探究过程中你能发现什么结论?图5-1-34学生可以自主探究,如图5-1-34,先在直线AB上任取一些点,连接这些点和点C,可以发现所连的这些线段中CD最短,此时CD ⊥AB,于是找到挖渠方案.3.学生归纳:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.注意:垂线是直线;垂线段特指一条线段;点到直线的距离是指垂线段的长度,它是一个数量,是有单位的.活动三: 开放训练体现应用【应用举例】例1如图5-1-35,在给出的图形上,完成下列作图:(1)作出点A到直线BC的垂线段AD,并量出点A到直线BC的距离;(2)过点B作AC的垂线,垂足为E,过点C作AB的垂线,垂足为F;(3)延长DA,你能发现什么有趣的结论?图5-1-351.通过例题让学生学会画线段的垂线,并感受三角形三边上的高所在的直线相交于一点的这一事实.活动三: 开放训练体现应用解:(1)如图5-1-36.测量略.(2)如图5-1-36.(3)直线DA,BE,CF相交于同一点.图5-1-36变式1.在图5-1-37中分别画出点A,B到直线CD的垂线段AE,BF.图5-1-37解:如图5-1-38所示.图5-1-382.如图5-1-39,点A表示小明家,点B表示小明外婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去河边钓鱼,怎样走路程最短,请画出行走路径,并说明理由.图5-1-39 图5-1-40解:行走路径如图5-1-40,从A到B再到C.理由是两点之间线段最短,垂线段最短.2.通过变式练习进一步巩固垂线的概念及作图.活动三: 开放训练体现应用【拓展提升】例2如图5-1-41,一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地,M,N是位于公路两侧的村庄.图5-1-41(1)设汽车行驶到公路AB上的点P位置时,距离村庄M最近;行驶到点Q位置时,距离村庄N最近,请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置;(2)当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB的哪一段,距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远?让学生运用垂线段最短的性质解决生活中的实际问题,让他们感受到数学来源于生活,从而增加他们学习数学的兴趣.活动四: 课堂总结反思【当堂训练】1.下面四种说法:(1)在同一平面内,过一点有一条线和已知直线垂直;(2)在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直;(3)直线的垂线和直线上的任一线段垂直;(4)对顶角中有一个角是直角时,相邻的边互相垂直.其中说法正确的有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图5-1-42,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是(C)A.∠AOD=∠BOCB.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOED.∠AOD+∠BOD=180°图5-1-423.如图5-1-43是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是线段AP的长度.通过练习进一步巩固所学垂线的概念及性质,且能使教师及时掌握本课教学效果,为后续教学的安排提供依据.活动四: 课堂总结反思图5-1-434.课本第6页练习.课后作业:1.课本第8页习题5.1第3,4,5,6,7题.2.课本第9页习题5.1第10,12题.【板书设计】第1课时垂线第2课时垂线段框架图式总结,更容易形成知识网络.【教学反思】①[授课流程反思]通过耶稣被钉在十字架上引入相交线的模型,并揭示了“十字架”的多重含义.其中渗透了对学生的德育教育,让学生热爱生命,形成博爱的观念,这是对学生进行思想教育非常重要的方法,使学生在学到知识的同时受到了良好的美育、德育教育.活动四: 课堂总结反思②[讲授效果反思]本节采用“引导发现”法鼓励学生自己去发现、分析、解决问题,使学生在自己动手的基础上,发现垂线的性质,又借助于教具、实物、图形,从直观的感性认识发现抽象的概念,使他们成为探求知识的主体,同时还利用边讲边练的教法让学生对新知加以巩固理解.通过变式训练习题、开放性习题帮助学生逐步树立转化的思想和发展性思维.在授课过程中努力遵循由学生置疑——感知——概括——应用的过程,通过学生积极参与、积极思维,使学生从被动的学习转化到主动探索和发现的过程中,使学生能感受到学习与探索的乐趣.③[师生互动反思]④[习题反思]好题题号错题题号回顾反思,找出差距与不足,形成知识及数学体系,更进一步提升教师教学能力.一、自学范围（课本练习） 二、自学目标：1、知道垂线的定义、能过一点画出已经直线的垂线、会用符号表示垂直。
人教版七年级数学下册 5-1-2 垂线(第二课时) 教案
5.1 相交线5.1.2 垂线(第二课时)教学反思教学目标1.理解垂线段的概念.2.掌握垂线段最短的性质.3.体会点到直线的距离的意义，并会度量或计算点到直线的距离.4.学会用本节知识理解生活中的一些现象及解决生活中的一些实际问题.教学重难点重点：“垂线段最短”的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用.难点：对点到直线的距离的概念的理解，垂线段的画法.课前准备多媒体课件、模型教学过程导入新课教师：同学们上节课，我们研究了垂直、垂线、垂线的性质，请分别回答它们各自的定义或内容是什么？学生积极回答，教师给予肯定和表扬.教师：今天这节课我们继续深入学习，研究垂线的性质及点到直线的距离.(板书课题：5.1.2垂线(第二课时))探究新知探究点一：垂线段最短教师：同学们来看下面一个问题，出示教材图5.1-8(如图1所示)，提出问题：要把河中的水引到农田P处，如何挖渠使渠道最短？图1教师：要完美地解决这个问题，我们首先来看第一个问题：如果把上述实际问题抽象成几何图形的话，你们能否画出来？教师引导，学生上台板演，结果如图2所示.图2教师：我们来看第二个问题：在直线上有无数个点，试着取几个点与点P相连(如图3所示)，猜想在P点与直线l上的点连接的线段中，哪条线段最短？这时直线l上的点的位置在什么地方？图3学生发言，指出当点P与直线l上的点的连线与直线l垂直时，点P到直线l的距离最短.也就是，过点P作l的垂线，点P与垂足之间的线段即为最短路线.教师：如果我们规定：当PO⊥直线l时，线段PO是直线l的垂线段，你们能用一句话总结你们观察得出的结论吗？学生展示，教师引导学生总结.设计意图首先引领学生回忆旧知识，加深学生对上节课所学知识的理解，为新知识的学习奠定基础.探究点二：垂线的性质2连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.教师：“垂线段最短”在日常生活中广泛应用，你们还能举出几个例子吗？学生回答，教师给予肯定和表扬.教师：我们学习了垂线段，认识了垂线，这两种图形的区别与联系是什么？学生独立思考后，小组交流，代表发言.垂线段是一条线段，而垂线是一条直线；垂线段是垂线上的一部分.设计意图通过设计分层问题，将实际问题转化成数学问题，结合图形直观演示.使学生对垂线的性质2有初步的认识，从而得出“垂线段最短”这一性质.探究点三：点到直线的距离教师：在以前我们学习了两个点之间的距离，你们知道怎样才能得到两个点之间的距离吗？学生：测量连接两个点的线段的长度.教师：两个点之间的距离是测量两点之间线段的长度，那确定一个点到一条直线的距离，应该测量什么？学生独立思考，小组讨论，展示答案，教师引导得出结论：确定点到直线的距离，应该测量点到直线垂线段的长度.教师：现在你们知道什么是点到直线的距离了吗？学生回答，教师板书：点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度.教师强调：点到直线的距离是长度，而非垂线段.设计意图类比两点间的距离给出点到直线的距离，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量，在教学中注意强调距离是数量，而不能说成垂线段是距离.新知应用例1 如图4所示，∠C＝90°.(1)分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离是哪些线段的长度.(2)AC AB(填“＞”“＜”或“＝”)，依据是.(3)AC+BC＝AB(填“＞”“＜”或“＝”)，依据是.解：(1)AC，BC.(2)＜垂线段最短.(3)＞两点之间，线段最短.例2 (1)如图5所示，小刚准备从C处牵牛到河边AB处饮水，作出小刚(2)如图6所示，小刚从C处牵牛到河边AB处饮水，并且必须先到点D处观察河水水质情况，然后再去牵牛饮水，作出小刚行走的最短路线(不考虑其他因素)，并作出必要说明.师生活动学生先独立思考，教师组织学生交流并适度进行引导评价.7所示.(2)如图8所示，由C处到D处和由D处到C处，依据：两点之间线段最短；由C处到河边，依据：垂线段最短.设计意图通过例题进一步了解垂线段最短和两点之间线段最短的区别.例3 如图9所示，∠BCA＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点P是线段AB上一个动点，点P在运动过程中，PC长度随之发生变化.你能确定PC长度的最大值与最小值吗？师生活动学生先独立分析，再小组交流，教师巡视指导. 解：如图10所示.(1)当点P 运动到与点A 重合时，PC ＝AC ＝4，∴ PC 长度的最大值为4. (2)当点P 运动到CP ⊥AB 时，PC 的长度最小. ∵ S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CP ， ∴ AC ·BC ＝AB ·CP ，∴ 3×4＝5·CP ， ∴ PC ＝125，∴ PC 长度的最小值为125.设计意图通过解决生活中的实际问题，加深学生对垂线段最短的理解.借助“动点”运动问题(课本习题的变式)，不仅加深学生对知识的理解，而且渗透了“等积法”这一解题方法.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.C2.B3.C4.B5.4.8 66.4 10 6.(1)略 (2)略 (3)PM (4)PM ＜OP. 理由：垂线段最短.7.解：(1)如图11所示，连接AC ，BD 交于点H ，则H 为蓄水池的位置.(2)作HG ⊥EF ，如图11所示，沿线段HG 把河水引入蓄水池，开渠最短.理由：过直线外一点与直线上的各点的所有线段中，垂线段最短.(见导学案“课后提升”)参考答案1.A2.解：∵ AC ⊥BC ，∴ AC ＜m. ∵ AD ⊥CD ，∴ AC ＞n ，∴n＜AC＜m.课堂小结1.本节课主要学习了垂线的性质“垂线段最短”和点到直线的距离.2.注意垂线段、垂线概念之间的区别和联系.布置作业教材第8，9页习题5.1第6，10题板书设计。
人教版 5.1.2垂线(2)
B D C
例题
例 .如图，直线AB,CD相交于点O, OE CD, OF AB, DOF 65, 求
BOE和AOC的度数。
F D
A O C E
B
小 结：
作 业：
回顾与思考
作图：已知点P为直线a外一点，过点P 做直线a的垂线，垂足为O。
P
a
O
探究
过直线外一点作已知直线的垂线，连接 这个点与垂足之间的线段叫做垂线段。
如图，线段PO为点P到直线a的垂线段。 P
a O
注意：垂线段为线段，它是垂线的一部分。
探究
如图，连接直线a外一点P与直线a上各 点O,A1,A2，……，B1,B2,……,其中 PO⊥a（线段PO为点P到直线a的垂线段）， 比较各线段的长短，哪一条最短？ P a …… A3 A2 A1 O B1 B2 ……
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短。 （简单说成垂线段最短。）
练习
P
探究
直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。 P a O
如图所示，垂线段PO的长度，叫做点P到直 线a的距离。 注意： 距离是垂线段PO的长度，而不是垂线段 PO。
例题
BAC 为钝角。 1、如图，已知D ABC中，
（1）过A点画BC的垂线；
.
C
（2）画出点C到AB的垂线段
A
（3）画点B到AC的垂线段
B
练习
如图，BAC 90, AD BC, 垂足为D, 则下列结论：
（1）AB与AC互相垂直； （2）AD与BD互相垂直； （3）点C到AB的垂线段是线段AB； （4）点A到BC的距离是线段AD; （5）线段AB的长度是点B到AC的距离； （6）线段AC是点C到AB的距离。
平泉县二中七年级数学下册第五章相交线与平行线5.1相交线5.1.2垂线(2)教案新版新人教版3
5．1.2 垂线(2)1．了解垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义．2．学会度量点到直线的距离．重点垂线段最短的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用．难点对点到直线的距离的概念的理解．一、创设情境，引入新课教师展示课本图5.1－8，提出问题：要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？学生看图、思考．教师以问题的形式，启发学生思考．问题1：上学期我们曾经学过什么最短的知识，还记得吗？问题2：如果把渠道看成是线段，它的一个端点自然是P，那么另一个端点的位置呢？把江河看成直线l，那么原问题就是怎么连线的数学问题．学生说出：两点之间，线段最短．二、尝试活动，探索新知学生能在教师的引导下用数学眼光思考：在连接直线l外一点P与直线l上各点的线段中，哪一条最短？教师演示教具，给学生直观的感受．如图：在硬纸板上固定木条l，l外有一点P，转动的木条a一端固定在点P.使木条l与a相交，左右摆动木条a，l与a的交点A随之变化，线段PA的长度也随之变化．PA最短时，a与l的位置关系如何？用三角尺检验．教师引导学生画图操作：学生看图总结，得出结论：(1)画出直线l及l外的一点P；(2)过P点作PO⊥l，垂足为O；(3)点A1、A2、A3……在l上，连接PA1、PA2、PA3……(4)用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……的长短．教师请同学们与组内的同学进行充分的配合，讨论相应的结论，并选派代表发言．教师引导学生交流，得出垂线的另一个性质．教师板书：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．三、尝试反馈，理解新知关于垂线段，教师引导学生思考：(1)垂线段与垂线的区别与联系；(2)垂线段与线段的区别与联系．结合课本图形(图5.1－9)，深入认识垂线段PO: PO⊥l，∠POA1＝90°，O为垂足，垂线段PO与其他线段PA1、PA2……相比，长度是最短的．教师根据两点间的距离的意义给出点到直线的距离命名．教师板书：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．教师强调，在图5.1－9中，PO的长度是点P到直线l的距离，PA1、PA2……的长度都不是点P到直线l的距离．四、提升练习判断下列说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果错误，请订正．(1)直线外一点与直线上一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离；(2)如图，线段AE的长是点A到直线BC的距离；(3)如图，线段CD是点C到直线AB的距离．【答案】(1)错误，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；(2)正确；(3)错误，线段CD的长是点D到直线BC的距离．五、课堂小结本节课学习了哪些新的知识，对于垂线段的理解有没有什么收获？是不是学会了如何作出垂线段？你还有哪些没有解决的问题呢？大部分学生经历观察、操作、想象、归纳、交流等活动，进一步发展空间观念，培养用几何语言准确表达的能力并且了解垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义，但是度量点到直线的距离的方法掌握得还不够好．1.4 有理数的加法和减法第1课时有理数的加法【知识与技能】1.经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数的加法法则.2.运用有理数加法法则熟练地进行加法运算.【过程与方法】在教师创设的熟悉情境与学生探索法则的过程中，通过观察结果的符号及绝对值与两个加数的符号及其绝对值的关系，培养学生的分类、归纳、概括的能力.【情感态度】通过师生交流、探索，激发学生的学习兴趣、求知欲望，养成良好的数学思维品质.【教学重点】理解和运用有理数的加法法则.【教学难点】理解有理数加法法则，尤其是理解异号两数相加的法则.一、情景导入，初步认知1.下列各组数中，哪一个较大？-3与-2；3与-3；-3与0；-2与+1；-4与-3.2.一位同学在一条东西方向的跑道上，先向东走了20米，又向西走了30米，能否确定他现在的位置位于出发点的哪个方向，与原来出发的位置相距多少米？若向东记为正，向西记为负，该问题用算式表示为 .【教学说明】我们已经熟悉正数的运算，然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围.这里先让学生回顾在具体问题中感受正数和负数的加法运算.二、思考探究，获取新知1.动脑筋：如下图，在一条东西向的笔直的马路上，任取一个点O，若把向东走1km 记为1，则向西走1km记为-1.小丽从点O出发，先向西走了2km，然后继续向西走了3km，两次行走后，小丽从O点向哪个方向走了多少千米？2.根据你所列出的等式，观察等号两边的两个加数的符号、绝对值与结果的符号、绝对值之间有什么关系.你能归纳两个负数相加的运算法则吗？【归纳结论】两个负数相加，结果是负数，并且把它们的绝对值相加.3.计算：（1）（-8）+（-12）（2）（-3.75）+（-0.25）4.探究：在一条东西向的笔直的马路上，任取一个点O，若把向东走1km记为1，则向西走1km 记为-1.（1）小亮从点O出发，先向东走了4km，然后掉头向西走了1km，小亮两次走的效果等于从点O向哪个方向走了多少千米？（2）小刚从点O出发，先向东走了1km，然后掉头向西走了3km，小刚两次走的效果等于从点O向哪个方向走了多少千米？（3）根据具体的情境列出算式，并利用数轴写出这两个算式的结果.5.上面我们列出了两个有理数相加的算式，并根据它们的具体意义得出了它们相加的和.但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们总不能一直用这种方法.现在请同学们仔细观察比较这2个算式，你能从中发现有理数加法的运算法则吗？也就是结果的符号怎么定？绝对值怎么算？【归纳结论】异号两数相加，当两数的绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.6.说一说：（1）互为相反数的两个数相加，和为多少？（2）一个数与0相加，和为多少？【归纳结论】互为相反数的两个数相加得0；一个数与0相加，得这个数.7.你能根据有理数的加法推出相反数的另一种说法吗？【归纳结论】如果两个数的和等于0,那么这两个数互为相反数.【教学说明】引导学生借助数轴分析，教师关注学生在活动中的表现，可以根据学生的实际情况给予适当点拨和引导，鼓励学生大胆发表自己的意见，最后形成统一的认识.三、运用新知，深化理解1.教材P21例2.2.下列说法正确的是（B）A.两数之和必大于任何一个加数B.同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加C.两负数相加和为负数，并把绝对值相减D.异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把绝对值相加3.如果│a+b│=│a│+│b│成立，那么（D）A.a，b同号B.a，b为一切有理数C.a，b异号D.a，b同号或a，b中至少有一个为零4.计算：（1）15＋（-22）（2）（-13）＋（-8）（3）（-0.9）＋1.51 （4）12 23⎛+-⎫⎪⎝⎭解：-7，-21，0.61，-1 67.数轴上的一点由原点出发，向左移动2个单位长度后又向左移动了4个单位，两次共向左移动了几个单位？解：（-2）＋（-4）＝-6.答：这个点共向左移动了6个单位.9.用算式表示：温度由-5℃上升8℃后所达到的温度.解：-5＋8＝3（℃）10.已知|2a-1|+|5b-4|=0，计算下题：（1）a的相反数与b的倒数的相反数的和；（2）a的绝对值与b的绝对值的和.解：略.【教学说明】通过这组练习，让学生进一步巩固有理数加法的法则，达到熟练程度.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题1.4”中第1、2题.在课上学生基本能掌握有理数加法法则并能运用，但是做题时很不理想，主要表现在：1.个别学生的书写很乱.2.符号不确定.3.对绝对值的相加减不是很清楚.4.对绝对值和相反数会混为一谈.5.个别学生的计算结果错误.针对这种原因的措施：首先在讲解时特别强调计算步骤，首先要确定最终得数的符号，其次再算绝对值（同号相加，异号相减），并且确定好的符号一定要带到最后，做题时一定要细心，其次在学生的书写上下功夫，再次在课上让学生多上黑板展示，讲解，尽量让学生在课上就把所学知识掌握，课后再加练习，出现做题问题及时纠正引导，加深学生对有理数加法法则的理解，课后练习中出现的问题做个别指导.第2章有理数【基本目标】引导学生自己回顾本章内容，以独立思考和小组讨论的学习方式，以便学生自己梳理知识，形成知识的联系，使新旧知识成为一个有机的整体．【过程与方法】通过小结与复习加深对正负数、相反数、绝对值概念的理解,通过练习，进一步提高学生的计算能力和解决简单实际问题的能力．【情感态度】培养学生反思意识，进一步体会数学来源于生活，应用于生活．【教学重点】1.相关概念、法则、运算律的理解与掌握；2.有理数混合运算的法则的应用及有理数的混合运算技巧.【教学难点】1.应用有理数的运算解决实际问题.2.解题技巧的灵活性和解题思路的全面性和多样性.一、知识框图，整体把握【教学说明】以框图的形式对本章内容做一个形象的解读，便于学生对本章的知识脉络有一个形象的了解，对各知识点之间的关系有一个形象的把握.二、释疑解惑，加深理解通过提问的方式回顾本章的主要内容，采用独立思考与同伴讨论的学习方式，让学生通过思考回答问题，加深对本章知识的理解．根据学生实际情况，教师给予适当的引导、归纳．1.为什么要引入负数？举出实例说明正数和负数在表示相反意义的量时的作用．现实生活中存在很多个有相反意义的量，如：向东5米与向西5米，零上2℃与零下2℃，收入100元与支出100元，低于海平面150米与高出海平面800米……用正数表示其中一种量，负数表示和它相反意义的量，这样既简单又明白．例如吐鲁番盆地的海拔高度为-155m，表示吐鲁番盆地的海拔高度是低于海平面155m．2.数的范围从正整数、零和正分数扩充到有理数后，增加了哪些数？减法中哪些原来不能进行的运算可以进行了？增加了负整数、负分数，解决了原来“小数不能减去大数”的问题，现在任何有理数都可以进行减法运算．3.怎样用数轴表示有理数？数轴与普通直线有什么不同？怎样用数轴解释绝对值和相反数？任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点不是都表示有理数，这一点，以后我们将要学习．数轴是一条特殊的直线，是规定了正方向、原点和单位长度的直线．原点、正方向、单位长度也称数轴的三要素，缺一不可．数轴上与原点的距离相等的两个点所表示的数是互为相反数．4.怎样比较有理数的大小？有理数的大小比较方法有两种；一是利用数轴，在数轴上较左边的点比右边的点所表示的数小；二是用绝对值，两个负数，绝对值大的反而小．正数大于零，负数小于零．5.有理数的加法与减法有什么关系？乘法与除法呢？有理数的减法可以转化为加法，转化的桥梁是相反数，减去一个数等于加上这个数的相反数，同样，除法可以转化为乘法，转化的桥梁是倒数，除以一个数（不为0），等于乘以这个数的倒数．有理数的混合运算都可以转化为加法与乘法．6.有理数满足哪些运算律？交换律：a+b=b+a，ab=ba结合律：（a+b）+c=a+（b+c）（a·b）·c=a（bc）分配律：（a+b）·c=ac+bc其中a、b、c表示任意有理数．合理使用运算律，可以使计算更简便.三、典例精析，温故知新例1 填空：（1）在知识竞赛中，如果＋10分表示加10分，那么扣20分可表示成；（2）某人转动转盘，如果沿逆时针转5圈记作＋5圈，那么沿顺时针转12圈可表示成；（3）某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准0.02g记作＋0.02g，那么-0.03g 可表示成 .分析：本题主要是考查同学们运用正负数表示相反意义的量的能力.点评：怎样利用生活中的常见量表示正负数，理解正负数，练习本题时还需要再做一次认真的总结.例2 填空：（1）若m，n互为相反数，则m+ n ＝；（2）-2006的倒数是；（3）-（-3）= ；（4）-|-2|的倒数是 .分析：相反数、倒数的概念，注意符号.点评：初学代数，首先必须确保性质符号的准确.例3 如图，数轴上两点所表示的两数（）A.和为正数B.和为负数C.积为正数D.积为负数分析：本题重在考查能否应用数形结合思想及数轴上的点所提供的信息进行判别.点评：本题考查的是数轴的知识及运算符号的确定.例4 下列四个运算中，结果最小的是（）A.1＋（-2）B.1-（-2）C.1×（-2）D.1÷（-2）分析：注意在计算时要先确定符号，再按法则进行计算.点评：本题考查的是有理数的加减乘除运算法则以及有理数大小的比较.例5 如果a<0,b>0,a+b<0，那么下列关系式中正确的是（）A.a>b>-b>-aB.a>-a>b>-bC.b>a>-b>-aD.-a>b>-b>a分析：本题可利用特殊值法，根据条件可令a和b等于某数.点评：本题也可以运用画数轴的方法，利用数形结合的思想来解决问题. 例6 计算下列各题：（1）-1+5×（-2）-（-4）2÷（-8）;（2）34-83-81+21-14.分析：对于有理数的混合运算，要注意运算顺序和运算法则.点评：在进行混合运算时，能用运算律简便运算的一定要用运算律来进行运算.例7计算下列各题：分析：本题主要考查有理数乘法的交换律、结合律、分配律的运用.应用运算律可以简化运算，同时也可提高做题的速度，减少计算量.点评：对于乘法分配律a（b＋c）＝ab＋ac有两种运用方法，一种是顺用公式，如上题中的(1)，另一种是逆用公式，如上题中的(2)，在做题时，应具体问题具体分析.例8神舟六号飞船，在平安飞行115小时23分后重返神州. 用科学记数法表示神舟六号飞船飞行的时间是秒（精确到千位）.分析：a×10x中a的取值范围是1≤a<10，底数10的指数n等于所表示的整数位数减去1.点评：本题考查的是科学记数法及其运算，由于数字较大，计算时很容易出错，因此一定要特别当心，没有特别说明的话，建议此题用计算器来解决.例9(-8)2014+(-8)2013能被下列数整除的是（）A.3B.5C.7D.9分析：本题重在考查转化思想，因为直接计算显然不大可能，因此可把原式转化为82014-82013，运用了乘方的意义及乘法分配律.点评：从(-8)2014+(-8)2013到7×82013的运算，只要掌握了乘方的概念，我们就会发现这是一道看似超纲的，其实却没超纲的好题.四、拓展训练，巩固提高1.如果x<0,y>0,且x2=4,y2=9,则x+y= .2.大于-4而小于＋3的整数是 .3.a为最小的正整数，b为a的相反数的倒数，c为相反数等于本身的数，则(a+b)×5+4c= .4.已知|a-1|+|2-b|=0，则a100-5b .5.认真算一算:6.已知有理数a,b,c 在数轴上的位置如图所示且|a|=|b|.（1）求a+b 与b a 值; （2）判断b+c,a-c,bc,ac 及c b c a --的符号； （3）化简|a|-|a+b|-|c-a|+|c-b|.【教学说明】学生独立完成练习，体会知识点的运用变化，提高思维和解题能力，提高综合解题能力.完成本课时对应的练习.全章复习的目的是使学生进一步系统掌握基础知识、基本技能和基本方法，进一步提高综合运用数学知识灵活地分析和解决问题的能力.因此，在选择教学内容时我们注意了下面两个方面：第一，既加强基础，又提高能力和发展智力；第二，既全面复习，又突出重点.本节课是有理数全章的复习课，所以教学中抓住了有理数的概念和有理数的运算这两个主要内容.这是有理数的基础知识，也是复习的重点.此外，还通过典型例题的分析，让学生熟练地利用数轴来解题，以提高他们对数形结合思想的认识，以及分析问题、解决问题的能力.。
人教版七年级数学下册5.1.2《垂线》教案
如图
(1)现有一条已知直线AB，分别过直线外一点C和直线上一点D，作AB的垂线，你能有几种方法？
(2)通过上述方法画出的垂线有几条？从中你能发现什么结论？
学生独立思考，动手操作，自主探索.经过思考､操作，发现对于问题(1)可以有下列几种方法来画垂线:
用度量法，用量角器；
用三角板，如图:
教师在学生动手操作后演示课件“用三角板作垂线”，让学生进一步感受画垂线的过程.
主要培养学生的作图能力以及思考问题的严谨性.
(2)如图，直线AB､CD相交于点O，OE⊥AB，且
∠DOE=3∠COE，求∠AOD的度数.
(3)如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M､N是分别位于公路两侧的村庄.
设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到Q点时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置；
当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段，距离M､N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远？
教师活动:
在学生思考或表述过程中，及时提醒学生用规范的语言进行表述，以此训练学生的逻辑推理能力，同时考察学生的几何直观.
在本次活动中，教师应关注:
(1)学生画出两条相交线的几何图形，用语言准确描述；
本问题的解决，再一次让学生体会:
(1)数学与生活的密切联系；
(2)学生的作图能力的训练；
(3)垂线段最短的知识；
(4)两点之间距离的定义；
问题(2)培养学生的说理习惯.
学生在探索的过程中会遇到困难出现问题，通过合作学习加以解决.
活动5看谁做得快(共12道题，见课件)
活动6小结本节课内容
1.垂线的定义；
5.1.2垂线(2)
ED C BA 七 年 级 数 学 试 用 教 学 案1.垂线段：从直线外一点引一条直线的 线，这点和 之间的线段叫做垂线段。
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短。
3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离。
二.量学 自测------互查------互教1．判断正误,如果正确,请说明理由,若错误,请订正.(1)直线外一点与直线上一点之间的线段的长度是这一点到这条直线的距离.（）(2)如右图,线段AE 的长是点A 到直线BC 的距离.（）(3)如右图,线段CD 的长是点C 到直线AB 的距离.（） 2、体育课上，老师测量某同学的跳远成绩的依据是（ ）A ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行B ．两点之间线段最短C ．垂线段最短D ．两点之间确定一条直线 三.助学 展示------反馈------导学1.垂线段与垂线的区别和联系：垂线段是一条线段，而垂线是一条直线；垂线段是垂线上的一部分。
2. 垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
四.用学 自测------反馈------点拨1.如左图,AC ⊥BC,C 为垂足,CD ⊥AB,D 为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C 到AB 的距离是_______,点A 到BC 的距离是________,点B 到CD 的距离是_____,A 、B 两点的距离是_________.D CB A2.如右图，∠ACB=∠D=90°，则三条线段AB 、AD 、AC 按从小到大的排列顺序是 ，理由是 .五.测学 自测------反馈------点拨1.如右图，直线AB.CD 相交于点O ，OE 平分∠COB ，FO ⊥EO,∠AOD=70°.(1)求∠EOB 的度数.(2)OF 平分∠AOC 吗？为什么？2.如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶,M,N•分别是 位于公路AB 两侧的村庄,设汽车行驶到P 点位置时,离村庄M 最近,行驶到Q 点位置时,•离村庄N 最近,请你在AB 上分别画出P,Q 两点的位置.N MB A。
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5.1.2 垂线（2）学案
【学习目标】：了解垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义，并会度量点到直线的距离。
【学习重点】：“垂线段最短”的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用。
【学习难点】：对点到直线的距离的概念的理解。
【学习方法】：尝试学习、小组合作
一、快乐回顾
1.上学期我们曾经学过什么最短的知识？
线段的性质：。
2.思考课本P5图5.1-8中提出问题:要把河中的水引到农田P处, 如何挖渠能使渠道最短?
如果把小河看成是直线L，把要挖的渠道看成是一条线段，则该线段的一个端点自然是农田P，另一个端点就是直线L上的某个点。
那么最短渠道问题会变成是怎样的数学问题？（提示：用数学眼光思考:在连接直线L外一点P与直线L 上各点的线段中,哪一条最短?）
二、合作探究
1. 垂线段的性质
在硬纸板上固定木条L，L外有一点P，另一根可以转动的木条a一端固定在点P，使木条a与L相交，左右摆动木条a，会发现它们的交点A随之变化,线段PA 长度也随之变化.观察：当PA最短时,直线a与L的位置关系如何?用三角尺检验一下。
画图验证：
(1)画直线L,在L外取一点P;
(2)过P点出PO⊥L,垂足为O;
(3)点A1,A2,A3……在L上,连接PA、PA2、PA3……;
(4)用度量法比较线段PO、PA1、PA2、PA3……的大小，
得出线段最小。
归纳结论：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， .简单说成: .
2. 点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
（注意：在上图中,PO的长度是点P到直线L的距离,其余结论PA、PA2……长度都不是点P到L的距离.）
如果课本P5图5.1-8中比例尺为1:100000,试计算农田P到小河的距离有多远？
E D C B A 1. 判断对错，并说明理由：.
(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点
到这条直线的距离.
(2)如图,线段AE 是点A 到直线BC 的距离.
(3)如图,线段CD 的长是点C 到直线AB 的距离.
四、尝试练习二
1.如图，AC ⊥BC ，C 为垂足，CD ⊥AB ，D 为垂足,BC=8，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6，AC= 6，那么点C 到AB 的距离是_______，点A 到BC 的距离是________，点B 到CD 的距离是_____，A 、B 两点的距离是_________。
（第
2题） （第3题）
2. 如图,在线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF 中AD 最短.小明说垂线段最短, 因此线段AD 的长是点A 到BF 的距离,对小明的说法,你认为对吗？
五、师生合作
4.在图(2)中分别画出点A 、点B 到直线CD
的垂线段AE 、BF ．
C B A F
E D C B A
1.如图OE⊥OF，∠EOD和∠FOH互补，求∠DOH的度数。
E
O F D H
七、学生课堂反思、小结
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。
八、快乐小测
1.将一张长方形的白纸如图形式的折叠，使D到落 D/处，
E到落E/处，并且BD/与BE/在同一直线上，那么AB与BC
的位置关系是。