多元函数条件极值的解法探讨
多元函数的无条件极值和条件极值
多元函数的无条件极值和条件极值多元函数的无条件极值和条件极值在数学中是重要的概念。
它们帮助我们确定函数的最大值和最小值，并在优化问题中起到关键作用。
在本文中，我们将介绍无条件极值和条件极值的概念，以及如何找到它们。
首先，我们来看无条件极值。
一个多元函数的无条件极值是指在整个定义域上的最大值和最小值。
换句话说，无论函数在哪个点取值，它们的值都是最大或最小的。
要找到一个函数的无条件极值，我们可以使用多元微积分中的极值判定法。
举个例子，假设有一个二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2。
我们想要找到这个函数的无条件极值。
首先，我们计算函数关于 x 和 y 的偏导数，分别是∂f/∂x = 2x 和∂f/∂y = 2y。
然后，我们令这两个偏导数等于零，并解方程组。
解得 x = 0 和 y = 0。
将这些解代入原函数 f(x, y) = x^2 + y^2，我们得到 f(0, 0) = 0。
所以，函数 f(x, y) = x^2 + y^2 在点 (0, 0) 上取得无条件极小值，即最小值为 0。
接下来，让我们来看条件极值。
条件极值是指在给定一组条件下的最大值和最小值。
在求解条件极值时，我们需要使用拉格朗日乘数法。
这个方法允许我们将约束条件纳入考虑，并找到函数在满足约束条件的情况下的最优解。
假设有一个条件极值的例子，我们要最小化函数 f(x, y) = x^2+ y^2，同时满足约束条件 g(x, y) = x + y = 1。
首先，我们定义一个拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y)，其中λ 是拉格朗日乘子。
然后，我们计算L(x, y, λ) 关于 x、y 和λ 的偏导数，并将它们都设为零。
解方程组后，得到 x = 1/2、y = 1/2 和λ = -2。
接下来，我们将这些解代入函数 f(x, y) = x^2 + y^2 中，得到f(1/2, 1/2) = 1/2。
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。
介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。
关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。
函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。
微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。
有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。
举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。
还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。
一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。
多元函数条件极值的求法探讨
F (x, y) = 40x + 20 y - 25 + l (x + y - 25) 5 + x 10 + y
求其对 x, y , l 的一阶偏导数，并使之为零，得方程组
ì ï ï
Fx¢
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一固定正数，
由命题知，当它们相等时其积取最大值，即当
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=
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1 时，x
×
1 y
×1 z
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取得极大值，即
xyz
取得
润最大，最大利润是
L(15,10)=
40 ×15 5 +15
+
20 ×10 10 +10
-
25
=15(千元)。
例 4：要建造一个表面积为 108 的长方体形敞口水池，问水池 的尺寸如何才能使其容积最大。
132 万方数据
多元函数条件极值的求法探讨
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)：
夏滨 四川建筑职业技术学院
管理学家 GUANGLI XUEJIA 2009(11)
参考文献(4条) 1.朱弘毅 高等数学 2001 2.同济大学数学教研室 高等数学 1988 3.侯风波 高等数学 2000 4.廖玉麟 高等数学试题选题解 2001
多元函数条件极值拉格朗日乘数怎么解
多元函数条件极值拉格朗日乘数怎么解1. 转化为无条件极值在讨论多元函数极值问题时，如果遇到除了在定义域中寻求驻点（可能的极值点）外，对自变量再无别的限制条件，我们称这类问题为函数的无条件极值。
如求的极值，就是无条件极值问题。
然而在实际中，我们也会遇到另一类问题。
比如，讨论表面积为的长方体的最大体积问题。
若设长方体的三度为, 则体积，同时应满足于是我们的问题的数学含义就是：当自变量满足条件下取何值时能使函数取得最大值。
（这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值）。
一般抽象出来，可表为如下形式：即函数在条件下的取极大（小）值问题。
今后，我们称这种问题为函数的条件极值问题。
对自变量有附加条件的极值称为条件极值。
一般称为目标函数，为约束条件( 或约束方程) 。
对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。
例如上述问题, 由条件, 解得, 于是得 V .只需求 V 的无条件极值问题。
例6 求函数在约束条件下的条件极值。
解由约束条件可解出代入目标函数，有：令得驻点由于当时，，当时，在时取极大值，又当时，由约束条件可解出，而，此例说明条件极值可有如下一种解法：如果能从约束方程中解出一个自变量，代入目标函数后，就可转化为无条件极值。
通过讨论无条件极值可得问题的解答。
但在很多实际问题中，往往不容易从约束条件中解出一个自变量，从而上述方法就失效了。
因此，对条件极值我们应讨论一般解法。
2. 关于条件极值的拉格朗日乘数法在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易。
需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法：要找函数 z = f ( x , y ) 在条件 j ( x , y ) = 0 下的可能极值点, 可以先构成辅助函数 F ( x , y ) = f ( x , y )+ lj ( x , y ) , 其中 l 为某一常数。
然后解方程组.由这方程组解出 x , y 及 l , 则其中( x , y ) 就是所要求的可能的极值点。
多元函数极值判定及应用
多元函数极值判定及应用多元函数的极值判定是求解多元函数在给定约束条件下的最大值或最小值的问题。
在数学分析中，通常利用求导和二阶导数的方法来判定多元函数的极值。
下面将详细介绍多元函数极值判定以及其应用。
一、多元函数的极值判定方法：1. 首先，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，我们需要找到其取得极值的条件。
由于计算多元函数的极值需要对每个自变量求偏导，所以要求多元函数在定义域内函数有定义并且可偏导。
2. 其次，求取多元函数的一阶偏导数并令其等于零，得到方程组。
设f 的极值点为(x1*, x2*, ..., xn*)，则方程组为：∂f/∂x1 = 0, ∂f/∂x2 = 0, ..., ∂f/∂xn = 0。
3. 解方程组，求得极值点(x1*, x2*, ..., xn*)。
4. 接下来，根据二阶求导的结果来判定极值类型：（1）若二阶偏导数的行列式大于零且二阶偏导数主对角线元素大于零，则多元函数在极值点(x1*, x2*, ..., xn*) 处取得极小值；（2）若二阶偏导数的行列式大于零且二阶偏导数主对角线元素小于零，则多元函数在极值点(x1*, x2*, ..., xn*) 处取得极大值；（3）若二阶偏导数的行列式小于零，则多元函数在该点处不存在极值。
二、多元函数极值的应用：多元函数的极值判定在经济学、物理学、工程学等各个领域都有重要的应用。
下面以几个具体例子来介绍多元函数极值的应用。
1. 最小二乘法：在统计学中，我们常用最小二乘法来拟合数据，即通过拟合直线或曲线来描述数据的趋势。
最小二乘法的基本思想是选择一个合适的函数模型，使得模型与实际数据之间的残差平方和最小。
这就可以看作是一个多元函数极值的问题，利用极值点来确定最佳拟合曲线。
2. 生产优化问题：在工程学中，我们常遇到生产优化的问题，即如何在有限的资源条件下获得最大的产出。
这个问题可以用多元函数的极值来解决。
我们设生产函数为f(x1, x2, ..., xn)，表示产出与各个生产因素之间的关系，然后根据生产约束条件求函数的最大值或最小值，得到生产过程中的最优方案。
浅谈多元函数的极值问题
浅谈多元函数的极值问题摘要：最优化问题是近代应用数学的一个新的分支，是一门应用相当广泛的学科，多元函数极值问题是一种简单的最优化问题，一般说来多元函数的极值问题分为无约束极值和有约束极值两大类。
关键词：无约束极值、条件极值、汉森（Hessian ）矩阵。
引言：极值问题分为两类：无约束极值问题和条件极值问题，无约束极值问题又称为无条件极值问题。
例如 求函数61065),(22++-+=y x y x y x f 的极值，就属于无条件极值的问题。
但在实际中我们常会遇到这样的问题，如要设计一个容量为V 的开口长方体水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，用的材料最少？为此设水箱的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则表面积为 S xy yz xz z y x ++=)(2),,(依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求（0,0,0>>>z y x ），而且还必须满足条件 V xyz =这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题（不带约束条件的极值问题不妨称为无条件极值问题）一：无约束极值与条件极值的关系一些简单的条件极值可以转化成无条件极值，如引言中的条件V xyz =，将z 用V 、x 、y 表示出来即xyVz =，并将其代入表面积公式得 xy xV y V z y x S ++=)(2),,(这样就把条件极值转化成了条件极值了，一些条件极值带有多个条件，按上面方法进行可得到一个多元函数方程组，将其转化成无条件极值，我们可以通过解方程组得到解答，但有一些方程组我们不容易解出，甚至解不出来，这就要利用下面将要的拉格朗日乘数法。
二：无约束极值定义：设n 元函数u=f(X)定义在开集Ω⊂n R 上，如果存在的某邻域U(0X ,δ)⊂Ω，恒有f(X)≤f(0X )，则称点0X 为f 的极大值点； f(X)≥f(0X )，则称点0X 为f 的极小值点。
极大值、极小值统称为极值。
函数取得极值的点称为极值点。
多元函数的极值与条件极值问题的解法分析
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八
多元函数的极值问题
最优路径规划
在地图导航、物流配送等领域， 需要寻找从起点到终点的最优路 径，这也可以通过求解多元函数 的极值来找到最优解。
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何将资 源合理分配以最大化效益，可以 通过求解多元函数的极值来找到 最优解。
在经济模型中的应用
供需平衡问题
在市场经济中，供需关系影响着商品的价格，如何找到供需平衡点， 可以通过求解多元函数的极值来找到。
03
多元函数极值的存在性定理
极值存在定理
定理描述
如果函数在某区域内的二阶导数存在 且连续，则函数在该区域内必存在极 值点。
证明过程
利用二阶导数的性质，通过构建辅助 函数和运用中值定理，证明极值点的 存在性。
稳定点存在定理
定理描述
如果函数在某区域内的所有偏导数存在 且连续，则函数在该区域内必存在稳定 点。
投资组合优化
投资者需要根据市场情况选择不同的投资组合，以最大化收益或最 小化风险，这可以通过求解多元函数的极值来实现。
劳动力市场分析
在劳动力市场中，如何找到最佳的工资和就业率，可以通过求解多 元函数的极值来找到。
在机器学习中的应用
神经网络训练
在机器学习中，神经网络是一种重要 的模型，其训练过程实际上就是求解 多元函数的极值过程，以找到最佳的 权重和偏置。
多元函数的极值问题在数学建模中具有广泛 的应用，如最优化问题、曲线拟合、插值等 。
实际问题解决
在经济学、物理学、工程学等领域，多元函数的极 值问题常常用于解决实际问题，如成本最小化、效 益最大化等。
算法设计与分析
多元函数的极值问题也是算法设计与分析的 重要基础，如梯度下降法、牛顿法等优化算 法的设计与改进。
多元函数的极值问
多元函数条件极值的求解方法
多元函数条件极值求解方法摘要:本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法等九种方法在解多元函数条件极值问题中的运用，较为全面的总结了多元函数条件极值的求解方法，旨在解决相应的问题时能得以借鉴，找到合适的解决方法。
关键词：多元函数；条件极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式Abstract: This paper studies the substitution method, the Lagrange multiplier method, standard substitution method, inequality of nine kinds of method in solving multivariate function extremum problems, the application conditions are summed up the diverse functions of conditional extreme value method, to solve the corresponding problem is able to guide, to find the right solution.Key words: multiple functions; Conditional extreme value; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality时比较困难，解题过程中选择一种合理的方法可以达到事半功倍的效果，大大减少解题时间，拓展解题的思路。
下面针对多元函数条件极值问题总结了几种方法供大家借鉴。
1.消元法对于约束条件较为简单的条件极值求解问题，可利用题目中的约束条件将其中一个量用其他量表示，达到消元的效果，从而将条件极值转化为无条件极值问题。
例1 求函数在条件x－y+z=2下的极值.解：由x－y+z=2 解得将上式代入函数，得解方程组得驻点，，在点处，，所以不是极值点从而函数在相应点处无极值；在点处，，又，所以为极小值点因而，函数在相应点处有极小值极小值为.2.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数在条件函数组限制下的极值，若及有连续的偏导数，且Jacobi矩阵的秩为，则可以用拉格朗日乘数法求极值.首先，构造拉格朗日函数然后，解方程组从此方程组中解出驻点的坐标，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.定理1.2.1（充分条件）设点及个常数满足方程组，则当方阵为正定（负定）矩阵时，满足约束条件的条件极小（大）值点，因此为满足约束条件的条件极小（大）值.例2.求椭球在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.解：此椭球在点处的切平面为化简,得此平面在三个坐标轴上的截距分别为：则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积由题意可知，体积存在最小值，要使最小，则需最大；即求目标函数在条件下的最大值，其中，拉格朗日函数为由解得;3. 标准量代换法求含有多个变量的条件极值时,可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,即可将其变为研究标准量与辅助量间的关系.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.例3.设,求的最小值.解：取为标准量,令,则(为任意实数),从而有等号当且仅当, 即时成立，所以的最小值为.4.不等式法4.1 利用均值不等式将目标函数配凑成均值不等式左边或右边的形式，再根据均值不等式中等号成立的充要条件：，求解多元函数条件极值。
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法*齐新社 包敬民 杨东升(西安通信学院数理教研室 西安 710106)摘要 研究多元函数的条件极值问题.针对稳定点的各种不同情形,结合具体实例,给出判断条件极值中稳定点是否取得极值的几种方法.关键词 高阶微分;条件极值;拉格朗日乘数法;稳定点.中图分类号 O172多元函数条件极植的求解,一般是利用拉格朗日乘数法,而问题的难点在于求得稳定点后,如何判断函数究竟在该点是否取得了极值,尤其当稳定点不唯一时难度更大.本文就针对多元函数的条件极值问题总结了几种方法供大家借鉴.1 借助多元函数取得极值的充分条件来判断例1 求函数f (x ,y ,z )=xy z 在条件1x +1y +1z =1r(x ,y ,z ,r >0)下的极值.解 设拉格朗日函数为L (x ,y ,z ,K )=xy z +K (1x +1y +1z -1r),对L 求偏导数并令它们都等于零,则有L x =yz -K x 2=0,L y =zx -K y 2=0,L z =xy -K z2=0,L K =1x+1y +1z -1r =0.易得函数L 的稳定点为x =y =z =3r,K =(3r )4,为了判断f (3r ,3r ,3r )=(3r )3是否为所求极值,我们可以把条件1x +1y +1z =1r看作隐函数z =z (x ,y )(满足隐函数存在定理的条件),并把目标函数f (x ,y ,z )=x y z (x ,y )=F(x ,y )看作函数f =x y z 与z =z (x ,y)的复合函数.这样就可以应用极值充分条件来作出判断.为此计算如下:z x =-z 2x 2, z y =-z 2y2, F x =yz -yz 2x , F y =xz -xz 2y,F xx=2yz 3x 3, F xy =z -z 2y -z 2x +2z 3xy , F yy =2xz 3y 3.当x =y =z =3r 时,54高等数学研究ST U DI ES IN COL L EGE M A T H EM A T ICS V ol.12,N o.2M a r.,2009*收稿日期:2008-04-29.F xx =6r =F yy , F xy =3r , F xx F yy -F 2xy =36r 2-9r 2=27r 2>0,由此可见所求的稳定点为极小值点.评价 当约束条件的方程个数超过一个时,这种方法的使用受到了限制.2 借助二阶微分在稳定点处的符号来判断例2 求函数u =x -2y +2z 在条件x 2+y 2+z 2=1下的极值.解 设拉格朗日函数为L (x ,y ,z ,K )=x -2y +2z +K (x 2+y 2+z 2-1),对L 求偏导数并令它们都等于零,则有L x =2K x +1=0,L y =2K y -2=, L z =2K z +2=0, L K =x 2+y 2+z 2-1.可得P 1(-13,23,-23),K 1=32或者P 2(13,-23,23),K 2=-32,下面借助于二阶微分判断稳定点是否是极值点.先对函数L 求一阶微分d L (x ,y ,z )=d x -2d y +2d z +2K x d x +2K y d y +2K z d z ,二阶微分为d 2L (x ,y ,z )=2K [(d x )2+(d y )2+(d z )2],其符号完全由K 确定,在P 1点,K 1=32>0,故d 2L(x ,y,z )>0,所以P 1为极小值点,对应的极小值为u =-3;在P 2点,K 2=-32<0,故d 2L(x ,y,z )<0,所以P 2为极大值点,对应的极大值为u =3.评价 这种方法具有较强的通用性,但需要熟练掌握高阶微分的知识,在求二阶微分时,特别要注意变量x 和d x 是相互独立的,d x 在第二次微分时相当于常量.3 借助于一些基本不等式来判断例3 求函数f (x ,y,z,t)=x +y +z +t 在条件xyz t =c 4下的极值,其中x,y,z ,t >0,c >0.解 由基本不等式可知,当n 个正数的乘积一定时,这n 个正数的和必有最小值f (x ,y ,z ,t)=x +y +z +t \44xy z t ,当且仅当这n 个正数相等时取到极小值,即函数f (x ,y ,z ,t)=x +y +z +t 在点(c,c,c,c)处取得最小值也是极小值f (c,c,c,c)=4c.评价 这种方法对满足基本不等式结构的特定题目才能起到良好的效果.4 借助于闭区域上连续函数的性质来判断例4 求函数f (x ,y ,z )=xy z 在条件x 2+y 2+z 2=1,x +y +z =0下的极值.解 设拉格朗日函数为L (x ,y ,z ,K ,L )=xy z +K (x 2+y 2+z 2-1)+L (x +y +z ),解方程组L =0,L =0,L =0,z 2-1=0,=0,55第12卷第2期齐新社,包敬民,杨东升:多元函数条件极值的几种求解方法可得六个可能的条件极值点P1(16,16,-26),P2(16,-26,16),P3(-26,16,16),P4(-16,-16,26),P5(-16,26,-16),P6(26,-16,-16),又f(x,y,z)=xy z在有界闭集{(x,y,z)|x2+y2+z2=1,x+y+z=0}上连续,故函数必有最值且最值只可能在这六个可能的极值点处达到,因此函数的极(最)小值为f(P1)=f(P2)=f(P3)=-1 36,极(最)大值为f(P4)=f(P5)=f(P6)=136.评价利用了闭区域上连续函数的性质巧妙的解决了极值判定问题.5将条件极值化为无条件极值借助一元函数求极值的方法加以判断例5求函数f(x,y,z)=xy z在条件x+y=1及x-y+z2=1下的极值.解由两个条件可得x=2-z 22,y=z22,将其带入目标函数f(x,y,z)=xy z中消去变量x和y可得4f(z)=2z3-z5,两边求导可得4f c(z)=6z2-5z4,可得稳定点z1=0,z2=65,z3=-65,由于f d(0)=0,而fÊ(0)=12X0,即z1点的奇数阶导数不为零,所以z1不是函数的极值点;又显然4f d(65)=-1265<0,故函数在z2=65处取得极大值:f(65)=62565;而4f d(-65)=1265>0,故函数z3=-65处取得极小值:f(-65)=-62565.评价将多元函数的极值问题转化为我们熟知的一元函数极值问题使问题变得简单,缺陷在于有些条件极值很难化为无条件极值来解决.总之,条件极值的判断问题是比较复杂的,只有通过一定经验的积累才能很好的把握此类问题的求解方法.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].2版.北京:高等教育出版社.1991.[2]复旦大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社.1978.56高等数学研究2009年3月。
多元函数求极值的方法总结
多元函数求极值的方法总结
（1）多元函数取极值的必要条件：
（2）多元函数取极值的充分条件：
（3）求条件极值的方法：
解决此类问题的一般方法是拉格朗日乘数法：
题型一：求多元函数的极值
例1：（2012年真题)求函数f(x,y)=x*e^(-(x^2+y^2)/2)的极值。
分析：解决本题的方法主要利用多元函数取极值的充分条件。
解：
题型二：多元函数条件极值的求法
求条件极值常用的有两种方法，以求函数f(x,y)在条件
g(x,y)=0下的极值为例：
（1）化为无条件极值
若从条件g(x,y)=0中可解出y=y(x)，再带入z=f(x,y)，则可化为无条件极值。
（2）拉格朗日乘数法
例2：求函数u=x^2+y^2+z^2在约束条件z=x^2+y^2和x+y+z=4下的最大值和最小值。
解题思路：先用拉格朗日乘数法求出可能取得极值的点，然后比较这些可能取得极值的点上的函数值。
解：构造拉格朗日函数:
总结：本题给出了求解条件最值问题的一般方法。
高等数学随堂讲解多元函数极值与其求法
的任何点(x,y)都有:
()
则称函数f(x,y)
在(x0,y0)有极大值 (极小值)
点(x0,y0)称为函数
f (x,y)的极大值点 (极小值点).极大值和极小值统称为
极值, 使得函数取得极值的点称为极值点.
例1
在点(0,0) 有极小值; 在点(0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
z z z
下,求函数
隐函数
的极值
例7 设电视机厂生产一台电视机的成本为c，每台电视机 的销售价格为p,销售量为x,假设该厂的生产处于平衡状态, 即电视机的生产量等于销售量.根据市场预测, 销售量x与 销售价格p之间有下面的关系: 其中M为市场最大需求量,a是价格系数.同时,生产部门根据 对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c作如下测算: 其中 是只生产一台电视机时 的成本,k是规模系数. 根据上述条件,应如何确定电视机的售价p,才能使该厂获得 最大利润.
➢求法 极值
明确定义域 求驻点和不可导点 最值 判定
比较函数值 最值在内部取得 实际意义
一、多元函数的极值
（一）引言 （二）定义 （三）存在条件 （四）求法
一、多元函数的极值
（一）引言 （二）定义 （三）存在条件 （四）求法
➢定义 设函数z=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)为D的内点. 若存在P0 的某个邻域U(P0),使得对于该邻域内异于P0
➢定义
极值 最值 区别 联系
在x0的邻域内f(x)≥f(x0)(f(x)≤f(x0) 在定义域内f(x)≥f(x0)(f(x)≤f(x0) 局部概念、整体概念
若最值在区间内部取得，则最值一定是一个极值
➢存在条件 必要条件 极值点(可导)
多元函数极值问题的解法研究
大学University 2021年第19期作者简介院徐莉（1984—），女，硕士，金华广播电视大学讲师，研究方向：应用数学和数学教学；周创（1995—），男，硕士，金华广播电视大学助教，研究方向：代数学和数学教学。
多元函数极值问题的解法研究徐莉，周创（金华广播电视大学，浙江金华321000）摘要：近几年，许多学者对多元函数进行了更深入的研究，有关多元函数方面的理论也逐渐完善，应用也越来越广泛。
多元函数极值问题的解法通常是研究的重点，故本文也进行了相关的分析和研究，分别是多元函数极值的概念、多元函数极值的判定、条件极值与拉格朗日乘数法以及多元函数极值问题的几种解法，并分别进行了相应的总结。
关键词：多元函数；极值问题；解法中图分类号：O174.1文献标识码：A 文章编号：1673-7164（2021）19-0145-04多元函数从一元函数演变过来，具有一元函数的某些基本性质，也具有自身的一些特性。
因此，在研究多元函数时应结合一元函数来研究。
解多元函数通常需要研究二元函数[1]。
多元函数极值问题的解法通常是研究的重点，当然也是学习高数的重点，通过阅读大量文献以及结合自身学习函数的实践经验，本文对多元函数极值问题的几种解法进行了分析探讨，并进行了相应的总结。
一、多元函数极值的概念值，也就是指多元函数在给定的范围内或者定义域内的最大值或者最小值。
多元函数的极值，是对于二元函数的极值来定义的。
假设函数z=f （x ，y ）的定义域为D ，P 0（x 0，y 0）是D 内的点，如果存在某个定义域内的领域属于D ，该领域内的点与P 0不同，但是都存在f （x ，y ）<f （x 0，y 0），则称f （x ，y ）在点P 0（x 0，y 0）处有极大值，点P 0（x 0，y 0）称为函数f （x ，y ）的极大值点；反之，则称f （x ，y ）在点P 0（x 0，y 0）处有极小值，点P 0（x 0，y 0）称为函数f （x ，y ）的极小值点[2]。
多元函数求极值 散度
多元函数求极值散度【多元函数求极值与散度】导语：多元函数求极值与散度是微积分中的重要概念，它们在数学建模和实际问题中都有广泛的应用。
本文将深入探讨多元函数求极值和散度的概念、性质和求解方法，并通过实例和图表进行直观解释，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、多元函数求极值1. 从定义出发多元函数的求极值是指在给定约束条件下，找到函数在定义域内使得函数取得最大值或最小值的点。
这些点称为极值点。
2. 如何确定极值点（1）必要条件通过对多元函数求偏导数，并令其为0，可以得到函数的驻点。
然后结合二阶导数、边界条件等，可以判断驻点是否为极值点。
（2）充分条件根据函数的二阶偏导数矩阵（Hessian矩阵）的正负性，可以确定极值的类型：正定为极小值，负定为极大值，不定为鞍点。
3. 实例分析考虑一个二元函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们想要求解在圆形区域x^2 + y^2 ≤ 4上的最大值和最小值。
求偏导数∂f/∂x = 2x和∂f/∂y = 2y，并令其为0。
解得x = 0，y = 0，则(0, 0)是函数的唯一驻点。
通过计算二阶偏导数矩阵，我们可以确定(0, 0)是一个极小值点。
二、散度1. 定义散度是描述矢量场在某一点上的流入流出情况的物理量。
对于一个二维矢量场F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))，其散度定义为div(F) = ∂P/∂x + ∂Q/∂y。
2. 物理解释散度大于0时，表示矢量场从该点流出，散度小于0时表示矢量场流入该点，散度为0时表示该点无流入流出。
3. 实例分析考虑一个二维平面上的矢量场F(x, y) = (-y, x)，我们想要求解该矢量场在圆形区域x^2 + y^2 ≤ 4上的散度分布。
根据散度的定义，我们可以计算得到div(F) = ∂P/∂x + ∂Q/∂y = 2。
该矢量场在整个圆形区域上的散度都为2，表示矢量场从该区域的每一点流出。
三、对求极值和散度的个人观点和理解1. 求极值的意义求极值是数学中重要的问题之一，它能够帮助我们找到函数的最优解，从而优化问题的求解过程。
如何通过多元函数的极值解决高考数学中的问题
如何通过多元函数的极值解决高考数学中的问题数学是一门既具有理论性又具有实用性的科学。
初中和高中阶段，数学是学生们最需要投入时间和精力去学习的科目之一。
高考数学中，多元函数是一个较为难以掌握的知识点，但是如果我们能够深入理解多元函数的极值，就能够更好地解决高考数学中的问题。
多元函数是指含有多个自变量的函数，例如：f(x,y), g(x,y,z)等。
同样的，多元函数也会有一个相应的极值，即函数的取值最大或最小的点。
在高考数学中，我们常常需要利用多元函数的极值来解决一些难题。
首先，我们来看一个典型的应用问题：在半径为R的圆盘上，找到距离圆心的最大值。
首先，我们需要建立多元函数模型。
在这个例子中，我们可以定义f(x,y)为(x,y)点到圆心的距离，即f(x,y) = √(x²+y²)。
那么我们需要求解f(x,y)的最大值，即在圆盘上找到一个点，使得f(x,y)最大。
此时，我们就需要利用多元函数极值的方法来解决这个问题。
根据多元函数的极值定义，我们可以通过求解函数f(x,y)的一阶偏导数和二阶偏导数，来求得函数的驻点和判定极值。
具体地，我们需要首先求出∂f/∂x和∂f/∂y，并且令它们等于0，求得驻点，然后我们需要求解二阶偏导数，通过计算得出这个点是极大值还是极小值，从而得到解答。
回到圆盘问题中，我们需要求解的就是函数f(x,y)的极大值。
我们可以先求出一阶偏导数：| 这里的求导过程略去不谈|。
其中，a、b是f(x,y)的极值点的横纵坐标。
我们还需要检验这个点是否为极大值。
接下来，我们再求出二阶偏导数，根据海森矩阵的规则，得出的结果是负数，说明这个点就是函数f(x,y)的极大值点。
以上的思路和方法，可以帮助我们解答和解决高考数学中的很多题目，例如极值问题、最值问题、优化问题等等。
具体在高考中的应用，我们可以通过平面几何、立体几何、求极限等多种形式进行考察。
例如，在立体几何中，我们需要求一个长方体体积的三分之一最大值，我们可以建立多元函数模型V = (xyz)/3，其中x,y,z是长方体的三个边长。
多元函数求极值问题
多元函数求极值问题今天来讨论多元函数求极值问题，在Logistic回归⽤⽜顿迭代法求参数会⽤到，所以很有必要把它研究清楚。
回想⼀下，⼀元函数求极值问题我们是怎样做的？⽐如对于凹函数，先求⼀阶导数，得，由于极值处导数⼀定为零，但是导数等于零的点不⼀定就有极值，⽐如。
所以还需要进⼀步判断，对函数继续求⼆阶导得到，因为在驻点处⼆阶导数成⽴，所以在处取得极⼩值，⼆阶导数在这⾥的意义就是判断函数局部的凹凸性。
在多元函数中求极值的⽅法类似，只是在判断凹凸性这⾥引⼊了⼀个矩阵，叫做Hessian矩阵。
如果实值多元函数在定义域内⼆阶连续可导，那么我们求它的极值，⾸先对所有求偏导，即得到个⽅程如下通过这个⽅程可以解得驻点，这个驻点是⼀个长度为的⼀维向量。
但是我们仅仅得到这个驻点，其实在这个驻点有3种情况，分别是：局部极⼤值，局部极⼩值和⾮极值。
所以接下来要做的事就是判断这个驻点属于这3个中的哪⼀个。
所以就引⼊了Hessian矩阵，也就是说它⽤来判断在多元函数的凹凸性问题。
Hessian矩阵是⼀个多元函数的⼆阶偏导数构成的⽅阵，描述了函数的局部曲率，常⽤于⽜顿迭代法解决优化问题。
例如对于上⾯的多元函数，如果它的⼆阶偏导数都存在，那么Hessian矩阵如下如果函数在定义域内⼆阶连续可导，那么的Hessian矩阵在定义域内为对称矩阵，因为如果函数连续，则⼆阶偏导数的求导顺序没有区别，即有了Hessian矩阵，我们就可以判断上述极值的3种情况了，结论如下（1）如果是正定矩阵，则临界点处是⼀个局部极⼩值（2）如果是负定矩阵，则临界点处是⼀个局部极⼤值（3）如果是不定矩阵，则临界点处不是极值接下来继续学习如何判断⼀个矩阵是否是正定的，负定的，还是不定的。
⼀个最常⽤的⽅法就是顺序主⼦式。
实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的各顺序主⼦式都⼤于零。
由于这个⽅法涉及到⾏列式的计算，⽐较⿇烦！对于实⼆次型矩阵还有⼀个⽅法，描述如下实⼆次型矩阵为正定⼆次型的充要条件是的矩阵的特征值全⼤于零。
多元函数求极限方法
多元函数求极限方法多元函数求极限是高等数学中的重要内容之一，它与微积分、数学分析等领域密切相关。
在学习多元函数求极限的过程中，我们需要掌握一些基本方法和技巧。
下面，我将介绍几种常用的多元函数求极限方法。
一、直接代入法直接代入法是求解多元函数极限最简单的方法之一。
当我们需要求解一个多元函数在某个点处的极限时，可以先将这个点的坐标代入到这个函数中，从而得到一个实数值。
如果这个实数值存在且唯一，那么这个实数就是该多元函数在该点处的极限值。
例如，对于二元函数f(x,y) = (x^2+y^2)/(x+y)，当(x,y) = (1,1)时，我们可以直接将(1,1)代入到f(x,y)中得到：f(1,1) = (1^2+1^2)/(1+1) = 1因此，在点(1,1)处，该二元函数的极限值为1。
二、夹逼定理夹逼定理是判断多元函数是否收敛以及计算其极限值的重要工具。
夹逼定理通常用于那些难以直接计算或者无法使用其他方法计算出来的多元函数极限。
夹逼定理的核心思想是，如果一个多元函数可以被两个已知的函数“夹逼”在中间，而这两个函数的极限值相等，那么这个多元函数的极限值也应该等于它们的极限值。
例如，对于二元函数f(x,y) = sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2)，我们可以使用夹逼定理来求解它在点(0,0)处的极限。
首先，我们定义两个二元函数g(x,y)和h(x,y)，使得：g(x,y) = (x^2+y^2)/sin(x^2+y^2)h(x,y) = 1显然，在点(0,0)处，g(x,y)和h(x,y)都等于1。
因此，我们可以将f(x,y)表示为：h(x,y) ≤ f(x,y) ≤ g(x,y)当x和y趋近于0时，g(x,y)趋近于1，而h(x,y)趋近于1。
因此，根据夹逼定理，f(x,y)在点(0,0)处的极限值也应该等于1。
三、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是一种常用于计算多元函数积分、求解多元函数最大值和最小值以及判断多元函数是否可积等方面的工具。