高二数学10月月考试题理
2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C. D. 290x y ++=290x y +-=2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）133. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（）1,,AB a AD b AA c ===BM A. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P率k 的取值范围是（ ）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C .或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CN ND=MN =A .D. 27. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（）MN二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 13.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO14.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===AC M l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u r u u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O P D O Q =l 理由．2024-2025学年重庆市高二上学期10月月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（1l()2,5A 2:240l x y +-=1l ）A. B. 290x y ++=290x y +-=C .D. 290x y ++=290x y +-=【正确答案】B【分析】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.12l k =-【详解】直线的斜截式方程为，则其斜率为，2l24y x =-+2-因为直线过点，且与直线平行，所以，1l()2,5A 2l12l k =-则直线的点斜式方程为，即为．1l()522y x -=--290x y +-=故选：B.2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）(2,2,1)a =- ()4,0,3b = b aA. （4，0，3）B. （4，0，3}C. （2，2，-1）D.591559（2，2，-1）13【正确答案】C【分析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可.【详解】向量在向量上的投影向量为，b a 22224035(2,2,1)22(1)9||||b aaa a a →→→→→→⋅⨯+-⋅=⋅=-++-故选：C3. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ，则等于（ ）1,,AB a AD b AA c ===BMA. B. 1122-+a b c1122++a b cC. D. 1122--+ a b c1122a b c-++ 【正确答案】D【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】因为为与的交点，M 11A C 11B D 所以111111()22BM BB B M AA BD AA AD AB =+=+=+-.111112222AB AD A ca b A =-++=-++故选：D.4. 已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，则以OA ，OB为邻边的平行四边形的面积为（ ）A. 8B. 4C. D. 【正确答案】D【分析】先求出OA ，OB 的长度和夹角，再用面积公式求出的面积进而求得四边形OAB △的面积.【详解】因为O (0，0，0)，A (12)，B-1，2)，所以，OA ==OB ==2),1,2),OA OB ==-，1cos ,2OA OB ==所以sin ,OA OB =以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为1222ABC S =⨯⨯= 故选：D.5. 已知，，，直线l 过点B ，且与线段AP 相交，则直线l 的斜()2,3A -()3,2B --()1,1P 率k 的取值范围是（）A. 或B. 4k ≤-34k ≥1354k -≤≤C.或 D.或34k ≤-4k ≥15k ≤-34k ≥【正确答案】B【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案.BP BA k k k ≥≥,BP BA k k 【详解】如图所示：由题意得，所求直线l 的斜率k 满足，BP BA k k k ≥≥即且，所以．231325k -+≥=---123134k +≤=+1354k -≤≤故选：B ．6. 在棱长为的正四面体中，，，则（ ）3ABCD 2AM MB = 2CNND =MN =A. D. 2【正确答案】B【分析】将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得.MN AB AC AD MN【详解】因为，所以，，2AM MB = 23AM AB=又因为，则，所以，，2CN ND = ()2AN AC AD AN -=- 1233AN AC AD =+ 所以，，122333MN AN AM AC AD AB=-=+-由空间向量的数量积可得，293cos 602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅==因此，1223MN AC AD AB =+-=.==故选：B.7. 如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a 值有关【正确答案】B【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出，即可求解''0D E B F ⋅=【详解】建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，'(0,0,1)D (1,1,0)E a -'(1,1,1)B (0,1,0)F a -，'(1,1,1)D E a ∴=-- '(1,,1)B F a =---，''(1)(1)1()(1)(1)110D E B F a a a a ∴⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=--+=''D E B F∴⊥ 故选：B本题考查空间向量的垂直的定义，属于基础题8. 已知二面角C -AB -D 的大小为120°，CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AB =BD =4，AC =2，M ，N 分别为直线BC ，AD 上两个动点，则最小值为（ ）MN【正确答案】D【分析】将二面角放到长方体中，根据二面角的定义得到，根据C AB D --120CAF ∠=︒几何知识得到最小值为异面直线，的距离，然后将异面直线，的距离MNBC AD BC AD 转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，最后利用等体积求点BC ADE C ADE 到平面的距离即可.C ADE 【详解】如图，将二面角放到长方体中，取，过点作面交C AB D --4CE BD ==E ⊥EF ABD 面于点，ABD F 由题意可知，，所以为二面角的平面角，即AB AF ⊥CA AB ⊥CAF ∠C AB D --，120CAF ∠=︒因为，分别为直线，上的两个动点，所以最小值为异面直线，M N BC AD MNBC 的距离，AD 由题意知，，所以四边形为平行四边形，，CE BD ∥CE BD =CBDE CB DE ∥因为平面，平面，所以∥平面，则异面直线，的DE ⊂ADE CB ⊄ADE CB ADE BC AD 距离可转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，BC ADE C ADE 设点到平面的距离为，则，，C ADE d C ADED CAE V V --=1133ADE CAE S d S AB⋅⋅=⋅⋅ 在直角三角形中，，，所以，CAH 18012060CAH ∠=︒-︒=︒2CA =1HA=，CH EF ==3AF =AE ==直角梯形中，，ABDF FD ==AD ==，DE ==因为，，所以，，222AC AECE +=222AE DE AD +=CA AE ⊥AE DE ⊥，，122CAE S =⨯⨯=12ADE S =⨯= CAE ADE S AB d S ⋅===故选：D.方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 直线，则（）:10l x ++=A. 点在上B. 的倾斜角为(-l l 5π6C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为l l )【正确答案】BC【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；求出直线的斜率，可得出直线的倾斜l l 角，可判断B 选项；作出直线的图象可判断C 选项；求出直线的方向向量，可判断D 选l l 项.【详解】对于A 选项，，所以，点不在上，A 错；2210-++≠ (-l 对于B 选项，直线的斜率为，故的倾斜角为，B 对；lk =l 5π6对于C 选项，直线交轴于点，交轴于点，如下图所示：l x ()1,0-y 0,⎛ ⎝由图可知，直线不过第一象限，C 对；l对于D 选项，直线的一个方向向量为，而向量与这里不共线，Dl )1-)1-(错.故选：BC.10. 下列结论正确的是（）A. 两个不同的平面的法向量分别是，则,αβ()()2,2,1,3,4,2u v =-=-αβ⊥B. 直线的方向向量，平面的法向量，则l ()0,3,0a =α()1,0,2u =//l αC. 若，则点在平面内()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--P ABC D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底,,a b b c c a +++ ,,a b c【正确答案】ACD【分析】根据平面向量的法向量垂直判断A ，根据直线与平面的关系判断B ，根据空间中共面基本定理判断C ，由空间向量基本定理判断D.【详解】因为，所以，故A 正确；()()2,2,13,4,26820u v ⋅=-⋅-=-+-=αβ⊥因为直线的方向向量，平面的法向量，l ()0,3,0a =α()1,0,2u =不能确定直线是否在平面内，故B 不正确；因为，()0,4,82(2,1,4)(4,2,0)2AP AB AC→→=--=---=-所以，，共面，即点在平面内，故C 正确；AP AB ACP ABC 若是空间的一组基底，,,a b b c c a +++则对空间任意一个向量，存在唯一的实数组，d →(,,)x y z 使得，()()()d x a b y b c z c a =+++++于是，()()()d x z a x y b y z c =+++++ 所以也是空间一组基底，故D 正确.,,a b c故选：ACD.11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且ABCDES SA ⊥ABCD ABCD DE ∥，分别是线段的中点，是线段上的一个动点SA 22,,SA AB DE M N ===,BC SB Q DC （含端点），则下列说法正确的是（）,D CA. 存在点，使得Q NQ SB⊥B. 存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60oC. 三棱锥体积的最大值是Q AMN -23D. 当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --【正确答案】ACD【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直判断A 选项；向量法求异面直线所成的角判断选项B ；由，求体积最大值判断C 选项；向量法求Q AMN N AMQV V --=二面角余弦值的变化情况判断选项D.【详解】平面，四边形是正方形，SA ⊥ABCD ABCD 以A 为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，,,AB AD AS,,x y z由，22SA AB DE ===；()()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,1,0A B C D E S N M ∴对于A ，假设存在点，使得，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SB ⊥则，又，()1,2,1NQ m =--()2,0,2SB =-，解得：，()2120NQ SB m ∴⋅=-+=0m =即点与重合时，，A 选项正确；Q D NQ SB ⊥对于B ，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SA 60o，()()1,2,1,0,0,2NQ m SA =--=-，方程无解；1cos ,2NQ SA NQ SA NQ SA ⋅∴===⋅ 不存在点，使得异面直线与所成的角为，B 选项错误；∴Q NQ SA 60o对于C ，连接；,,AQ AMAN 设，()02DQ m m =≤≤，22AMQ ABCD ABM QCM ADQ mS S S S S =---=-当，即点与点重合时，取得最大值2；∴0m =Q D AMQ S △又点到平面的距离，N AMQ 112d SA ==，C 选项正确；()()maxmax 122133Q AMN N AMQ V V --∴==⨯⨯=对于D ，由上分析知：，()()1,2,1,1,1,1NQ m NM =--=-若是面的法向量，则，(),,m x y z =NMQ ()1200m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令，则，1x =()1,2,3m m m =-- 而面的法向量，AMQ ()0,0,1n =所以，令，cos ,m nm n m n ⋅==[]31,3t m =-∈则，而，cos ,m n ==11,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大，Q D C m t 1t 所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，cos ,m n故二面角先变小后变大，D 选项正确.故选：ACD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知点，则直线的倾斜角是______．)(),AB AB 【正确答案】π6【分析】根据已知两点的坐标求得直线的斜率，即可求得答案.AB 【详解】由于，)(),AB故直线的斜率为，AB k ==因为直线的倾斜角范围为，[0,π)故直线的倾斜角是，AB π6故π613.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，P ABCD -PCD ⊥ABCD ABCD ，，点是的中点，点为线段上靠近的三26AB BC ==,⊥=PC PD PC PD O CD E PB B 等分点，则点到直线的距离为______．E AO【正确答案】3【分析】说明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空,,OO OC OP '间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】取的中点为，连接，因为为的中点，所以AB O ',,PO OO AE ',PC PD O =CD ，PO CD ⊥又平面平面，平面平面，平面，PCD ⊥ABCD PCD ABCD CD =PO ⊂PCD 所以平面，平面，所以，⊥PO ABCD OO '⊂ABCD PO OO '⊥又底面是矩形，点是的中点，的中点为，所以，ABCD O CD AB O 'OO CD '⊥以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，O ,,OO OC OP ',,x y z由，得，,,6PC PD PC PD CD ⊥==132PO CD ==所以，()()()3,3,0,3,3,0,0,0,3A B P -点为线段上靠近的三等分点，则，E PB B 22(3,3,3)33PE PB ==- 则，所以，，()2,2,1E ()1,5,1AE =-()3,3,0AO =-则，，||AE ==AO AE AO⋅== 因此点到直线的距离，E AO 3d =故314.如图，在中，，过的中点的动直线与线段ABC V π6,4AC BC C ===ACM l 交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影AB N AMN l 1A MN 1A BCMN 落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．H BC 1A M BCMN【分析】首先求出中边，角的正弦与余弦值，以底面点为空间原点建系（如ABC V AB B B 图1），设点，由，得，求出坐标，由(),,A x y z '(),0,0H x (,0,)A x z ',,A C M 得出满足的关系式，从而可得的范围也即的范围，翻折过程MC AM A M '==,x z z A H '中可得，设，，由向量的数量积为0从而得出关于MN AA '⊥1,,02N a a ⎛⎫⎪⎝⎭[)0,4a ∈x 的表达式，求得的范围，再由线面角的正弦值得出结论．a x 【详解】中，根据余弦定理，π,4C ABC =△，得AB ==sin sin ACABB C =，由知，则，sin B =AC AB <B C <cos B =如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点B ()()4,2,0,6,0,0A C ，点的投影在轴上，即，由(),,A x y z 'A '(),0,0H x x ()(),0,,5,1,0A x z M '，根据两点间距离公式，MC AM A M '==．=22(5)1x z -+= 图1 图2如图2，在翻折过程中，作于点，则，AMN A MN '△≌△AE MN ⊥E A E MN '⊥并且平面，,,AE A E E AE A E ='⊂' A AE '所以平面平面，MN ⊥,A AE AA ''⊂A AE '所以，即，其中．MN AA '⊥0MN AA '⋅=()4,2,AA x z '=--又动点在线段上，设，所以，且．N AB 1,,02N a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭15,1,02MN a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ [)0,4a ∈由，得，0MN AA '⋅= ()()132245210,52,255x a a x a ⎛⎫⎛⎤----==+∈ ⎪ ⎥-⎝⎭⎝⎦又因为，对应的的取值为，即，22(5)1x z -+=z 40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦40,5A H ⎛⎤'∈ ⎥⎝⎦由已知斜线与平面所成角是，1A MBCMN A MH '∠所以．sin A H A MH A M ⎛∠=∈ ⎝'''故斜线与平面1A MBCMN 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15. 已知直线过点.l (2,2)P （1）若直线与垂直，求直线的方程；l 360x y -+=l （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.l l 【正确答案】（1）； 380x y +-=（2）或y x =40x y +-=【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程；l （2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为，代入点P ，即可求得0x y m ++=参数m【小问1详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为360x y -+=3l 13-l ，即；()1223y x -=--380x y +-=【小问2详解】当截距为0时，直线的方程为；l y x =当截距不为0时，直线设为，代入解得，故直线的方程为l 0x y m ++=(2,2)P 4m =-l .40x y +-=综上，直线的方程为或l y x =40x y +-=16. 已知空间中三点，，．(),1,2A m -()3,1,4B -()1,,1C n -（1）若，，三点共线，求的值；A B C m n +（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．AB BCm n +【正确答案】（1）；1-（2）且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩【分析】（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，AB CBR λ∈AB CB λ= 进而求出m 、n ，即可得结果.（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得cos ,AB BC <>，讨论的情况，即可求范围.2(3)2(1)180m n -+--<,AB BC π<>=m n +【小问1详解】由题设，，又，，三点共线，(3,2,6)AB m =-- (2,1,3)CB n =--A B C 所以存在使，即，可得，R λ∈AB CB λ=322(1)63m n λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩210m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以.1m n +=-【小问2详解】由，(2,1,3)BC n =--由（1）知：当时，有；,AB BC π<>=1m n +=-而，的夹角是钝cos ,||||AB BC AB BC AB BC ⋅<>==AB BC角，所以，可得；2(3)2(1)182()260m n m n -+--=+-<m n +13<综上，且不同时成立.13m n +<10m n =-⎧⎨=⎩17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，且，，P ABCD -AB AD ⊥2AD BC =u u u ru u u r已知侧棱平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．AP ⊥（1）证明：平面ABP ；//CE （2）若，求点P 到平面BCE 的距离．2AB AP AD ===【正确答案】（1）见解析 （2【分析】（1）设为的中点,连接,，利用中位线的性质证明四边形是平F PA BF EF EFBC 行四边形，则可得平面.//CE ABP （2）点为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，A BCE (0,1,2)n =利用点到平面的距离公式即可.【小问1详解】设为的中点，连接,，F PA BF EF是的中点，，E PD 1//,2EF AD EF AD ∴=,且，2,//AD BC AD BC =∴ 12BC AD=，//,EF BC EF BC ∴=四边形是平行四边形，，∴EFBC //CE BF ∴又平面平面,BF ⊂ ,ABP CE ⊂/ABP 平面.//CE ∴ABP 【小问2详解】由于侧棱平面，面，AP ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ，，则以点为坐标原点,以,,所在的直线,AP AB AP AD ∴⊥⊥AB AD ⊥ A AD AB AP 为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系,x y z，，2AD = 112BC AD ∴==，，，，(0,0,2)P ∴(0,2,0)B (1,2,0)C (1,0,1)E ，，，(1,0,0)BC ∴= (0,2,1)CE =- (0,2,2)PB =-设平面的法向量,BCE (,,)n x y z =则有，即，00n BC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x y z =⎧⎨-+=⎩令,则，1y =(0,1,2)n =点到平面的距离.∴PBCE ||||||||||||PB n PB n d PB n PB n ⋅⋅=⋅===⋅18. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且MBC △BM BC ⊥A D MB MC ，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，2BC AM ==△MAD AD PAD △PA AB ⊥PB .PC（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；E PC DE PBD （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角PC G (01)PGPC λλ=≤≤λ的值；若不存在，请说明理由.G AD P --λ【正确答案】（1）证明见解析（2（3）存在，14λ=【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直；PA AD ⊥PA AB ⊥（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值；（3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.14λ=【小问1详解】因为，分别为，的中点，所以.A D MB MC AD BC ∥因为，所以，所以.BM BC ⊥BM AD ⊥PA AD ⊥又，，平面，PA AB ⊥AB AD A ⋂=,AB AD ⊂ABCD 所以平面.PA ⊥ABCD 【小问2详解】因为，，，所以，，两两垂直.PA AB ⊥PA AD ⊥90DAB ∠=︒AP AB AD 以为坐标原点，所在直线分别为轴，A ,,AB AD AP ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，A xyz -依题意有，，，，，，A (0,0,0)()2,0,0B ()2,2,0C D (0,1,0)()0,0,2P ()1,1,1E 则，，，.(2,2,2)PC =- (1,0,1)DE = (2,1,0)BD =-(2,0,2)BP =- 设平面的法向量，PBD ()111,,n x y z =则有()()()()11111111112,1,0,,202,0,2,,220BD n x y z x y BP n x y z x z ⎧⋅=-⋅=-+=⎪⎨⋅=-⋅=-+=⎪⎩令，得，，所以是平面的一个法向量.12y =11x =11z =()1,2,1n = PBD 因为，cos ,DE n DE n DE n⋅〈〉====⋅所以直线与平面DE PBD 【小问3详解】假设存在，使二面角λG AD P --即使二面角G AD P --由（2）得，，(2,2,2)(01)PG PC λλλλλ==-≤≤所以，，.(2,2,22)G λλλ-(0,1,0)AD = (2,2,22)AG λλλ=-易得平面的一个法向量为.PAD ()11,0,0n =设平面的法向量，ADG ()2222,,n x y z =，()()()()()2222222222220,1,0,,02,2,22,,22220AD n x y z y AG n x y z x y z λλλλλλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=-⋅=++-=⎪⎩ 解得，令，得，20y =2z λ=21x λ=-则是平面的一个法向量.()21,0,n λλ=-ADG由图形可以看出二面角，G AD P --故二面角G AD P --则有，1cos ,n，解得，.=112λ=-214λ=又因为，所以.01λ≤≤14λ=故存在，使二面角14λ=G AD P --19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离()11,A x y ()22,B x y ；曼哈顿距离，余弦距离(,)D A B =1212(,)d A B x x y y =-+-，其中（为坐标原点）．(,)1cos(,)e A B A B =-cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉O （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；(1,2)A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭A B (,)d A B (,)e A B （2）若点，，求的最大值；(2,1)M (,)1d M N =(,)e M N （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得P Q :1(1)l y k x -=-l ，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明min min (,)(,)d O PD O Q =l 理由．【正确答案】（1）145（2）1-（3）存在，和1y =y x=【分析】（1）代入和的公式，即可求解；(,)d A B (,)e A B （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式(),N x y (,)1d M N =N ，结合余弦值，即可求解；(),e A B （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，(),D O P 0k =0k ≠(),d O P 即可判断直线方程.【小问1详解】，348614(,)125555d A B +=--+-==，cos(,)cos ,OA OB A B OA OB OA OB⋅=〈〉===；()(),1cos ,1e A B A B =-=-=【小问2详解】设，由题意得：，(,)N x y (,)|2||1|1d M N x y =-+-=即，而表示的图形是正方形，|2||1|1x y -+-=|2||1|1x y -+-=ABCD 其中、、、．()2,0A ()3,1B ()2,2C ()1,1D 即点在正方形的边上运动，，，N ABCD (2,1)OM =(,)ON x y = 可知：当取到最小值时，最大，相应的cos(,)cos ,M N OM ON =<> ,OM ON <>有最大值．(,)e M N 因此，点有如下两种可能：N ①点为点，则，可得；N A (2,0)ON =cos(,)cos ,M N OM ON =<>==②点在线段上运动时，此时与同向，取，N CD ON (1,1)DC =(1,1)ON = 则cos(,)cos ,M N OM ON =<>==的最大值为．>(,)e M N 1【小问3详解】易知，则min (,)D O P (,1)P x kx k -+(,)()|||1|d O P h x x kx k ==+-+当时，，则，，满足题意；0k =(,)()|||1|d O P h x x ==+min (,)1d O P =min (,)1D O P =当时，，0k ≠1(,)()1k d O P h x x kx k x k x k -==+-+=+⋅-由分段函数性质可知，min 1(,)min (0),k d O P h h k ⎛⎫-⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又且时等号成(0)|1|h k =-≥11k k h k k --⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1k =立．综上，满足条件的直线有且只有两条，和．:1l y =y x =关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题.min min (,)(,)d O P D O Q =。
江西省景德镇市乐平市第三中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
江西省景德镇市乐平市第三中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβB ．若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥C ．若αβ⊥，m αβ=I ，n m ⊥，则n β⊥D ．若αβ⊥，m α⊥，则//m β2．用斜二测画法画水平放置的ABC V 的直观图，得到如图所示的等腰直角A B C '''V .已知O '是斜边B C ''的中点，且1A O ''=，则ABC V 的边BC 上的高为（ ）A ．1B ．2C ．D 3．如图，A 是平面α内一定点，B 是平面α外一定点，且AB =AB 与平面α所成角为30°，设平面α内动点M 到点A B ，的距离相等，则线段AM 的长度的最小值为（ ）A ．4B ．C ．2D 4．攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为6m ，高为4m ，则该屋顶的面积约为（ ）A ．215πmB ．230πmC ．224πmD ．220πm5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知11,2AB BC BB ===，E 为11B C 的中点，则异面直线BD 与CE 所成角的余弦值为（ ）A B ．34 C D ．256．已知球O 的半径4OA =，平面α经过OA 的中点，且与OA 所成的线面角为45︒，则平面α截球O 的面积为（ ）A ．16πB ．14πC ．12πD ．10π7．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥P ABC -外接球的半径为（ ）AB ．2CD 8．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为6.已知P 为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P 出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P ，则该质点运动的最短路径长为（ ）A ．9B ．6C ．6πD ．3π二、多选题9．如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥P ABCD -，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是12，公共面ABCD 是一个边长为1的正方形，则（ ）A ．该几何体的体积23B ．直线PD 与平面ABCDC ．异面直线AP 与CC 1D ．存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE ．以下命题中正确的有（ ）A ．点F 的轨迹是一线段B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥D ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为11．如图为清代官员夏日所用官帽､凉帽的形制，无檐，形如圆锥，俗称喇叭式．材料多为藤､竹制成．外裹绫罗，多用白色，也有用湖色､黄色等．不同型号的官帽大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆的直径长）两个指标进行衡量．现有一个官帽，帽坡长20cm ，帽底宽，关于此官帽，下面说法正确的是（ ）A ．官帽轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120︒B ．过官帽顶点和官帽侧面上任意两条母线的截面三角形的最大面积为2C ．若此官帽顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为21600πcmD ．此官帽放在平面上，可以盖住的球（保持官帽不变形）的最大半径为()30cm三、填空题12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1F ，是棱1CC 的中点，平面α过点,A F 且与直线11B D 平行，则平面α截正方体所得截面的周长是.13．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，15,3,4,AB AD AA P ===是线段1BC 上异于1,B C 的一点，则1CP PD +的最小值为.14．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触（如图）．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD 的正四面体ABCD 的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD 内放入一个球，则该球的球半径最大值是．四、解答题15．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面12ABCD AB PA AD AC ===，，，的中点为O ，以AC 为直径的球面交PD 于点M ；(1)求证：AM ⊥平面PCD ；(2)求三棱锥P AMC -的体积.16．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点．(1)求证：直线1BD ∥平面P AC ；(2)求直线1A B 与平面11BDD B 所成的角的正弦值.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形．60DAB ∠=︒，,E F 分别为,AD AB 的中点，且AC PE ⊥．(1)证明：AC PF ⊥．(2)若2PA PD AB ===，求点D 到平面PAF 的距离． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，1,2PA AB BC AD ====．(1)求证：平面PAC ⊥平面PDC(2)求直线EC 与平面P AC 所成角的正弦值． 19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 是AB 的中点.(1)证明：11D E A D ⊥；(2)在棱1DD 上是否存在一点P ，使得//AP 平面1D EC ，若存在，求1DP DD ，若不存在，说明理由；(3)求二面角1D EC B --的正切值.。
河南省南阳市2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第一章，第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设直线的倾斜角为，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．4．直线被圆截得的弦长为（ ）ABCD ．5．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．6．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）A ．B ．C ．D ．:80l x -+=αα=120︒60︒30︒150︒221(0)1x y a a a -=>+a 1214131822124x y m m+=--y m ()2,3()3,4()()2,33,4⋃()2,426y x =+22(2)4x y ++=23y x =F P PF 43323422122:1(0)x y C a b a b +=>>1e 22222:1x y C a b-=2e 22122e e +=112e e +=22211e e =+212e e =7．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，，且的周长为10，则双曲线的焦距为（ ）A ．3BCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆的标准方程可能为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，抛物线的焦点为，过抛物线上一点（点在第一象限）作准线的垂线，垂足为为边长为8的等边三角形．则（ ）A ．B ．C ．点的坐标为D ．点的坐标为11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ）xOy ()222:()()(0),3,0C x a y a a a A -+-=>-C P 2PA PO =a (]0,1[]1,21,3⎡+⎣⎤⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 2F ,A B 12224BF BF AF ==1ABF △C C C 22149x y +=22195x y +=22194x y +=22159x y +=2:2(0)C y px p =>F C P P l ,H PHF △2p =4p =P (P (222:1(0)3x y C b b-=>12,F F P C P ,A B 22(2)1x y -+=CA ．双曲线的渐近线方程为B ．双曲线的离心率C ．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上D．为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为______．13．已知是圆______．14．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知的顶点坐标为．（1）若点是边上的中点，求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程．16．（本小题满分15分）已知动点到点为常数且的距离与到直线的距离相等，且点在动点的轨迹上．（1）求动点的轨迹的方程，并求的值；（2）在（1）的条件下，已知直线与轨迹交于两点，点是线段的中点，求直线的方y x =C e =P C 12PF F △x =PA PB ⋅32()3,1x y (),P m n 22:(4)(4)8C x y -+-=2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F 1F C,P Q 222QF PF =21cos 4PF Q ∠=C ABC △()()()1,6,3,1,4,2A B C ---D AC BD AB P (),0(F t t 0)t >x t =-()1,1-P P C t l C ,A B ()2,1M AB l程．17．（本小题满分15分）已知点，动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围．18．（本小题满分17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程；（2）过定点的动直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等．19．（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆的下顶点，点为椭圆上异于椭圆顶点的动点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点．证明：直线与轴垂直．()()2,0,6,0O A -(),P x y 3PA PO =P C Q (),(0)Q t t t >Q y Q C t 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>20x y +=()1-C C ()0,1P l C ,A B ,M N M N AM BN xOy 2222:1(0)x y C a b a b+=>>C ,A B C D C P C AP BD M BP AD N MN x2024~2025学年度10月质量检测·高二数学参考答案、提示及评分细则1．C 因为直线的斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得又，．故选C ．2．D，解得．3．A 若方程表示为焦点在轴上的一个椭圆，有解得．4．B 圆心，直线被圆截得的弦长为．故选B ．5．D 设点的坐标为，有，故的最小值为．6．A 由，可得．7．C 设点的坐标为，有，整理为，可化为，若圆上存在这样的点，只需要圆与圆有交点，有，解得C ．8．B 设，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得双曲线的焦距为．9．BD 由题意有，故椭圆的标准方程可能为或．10．BD 设抛物线的准线与轴的交点为，由，有:80l x +=k =tan α=0180α︒≤<︒30α=︒=18a =y 20,40,24,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩23m <<()2,0-=P ()00,x y 03344PF x =+≥PF 34222222221222221,1a b b a b b e e a a a a-+==-==+22122e e +=P (),x y =22230x y x +--=22(1)4x y -+=C P C 22(1)4x y -+=22a a -≤≤+13a ≤≤+221,2,4AF m BF m BF m ===13AF m =23410m m m m +++=1m =12AF F △12BF F △224194416048c c c c +-+-+=c =3,2,5a c b ====C 22195x y +=22159x y +=C x Q 60,PHF HFO FQ p ∠=∠=︒=，有，得，点的坐标为．11．ABC 由题意得，对于选项A ：双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1（舍去），又，故A 正确；则，离心率为B 正确；对于选项C ：设的内切圆与轴相切于点，由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，故C 正确；对于选项D ：设，则，渐近线方程是，则为常数，故D 错误．故选ABC ．12．或 设在轴、轴上的截距均为，若，即直线过原点，设直线为，代入，可得，所以直线方程为，即；若，则直线方程为，代入，则，解得，所以此时直线方程为；综上所述：所求直线方程为或．13．表示点到原点的距离，由，有的取值范围为．14设椭圆的焦距为，有，在中，由余弦定理有，有，可得，有．在中，由余弦定理有可得2,HF p HQ ==28p =4p =P (0bx ±=22(2)1x y -+=()2,01,1b ==1-1,b b y x a ===2c ==c e a ===12PF F △x M 122F M F M a -=M x a =I x a =x a ==()00,P x y 222200001,333x y x y -=-=0x ±=3440x y +-=30x y -=x y a 0a =y kx =()3,113k =13y x =30x y -=0a ≠1x ya a+=()3,1311a a+=4a =4x y +=40x y +-=30x y -=⎡⎣P O 28OC r ==OC OP OC -≤≤+OP ≤≤⎡⎣C 222,,2c PF t QF t ==112,22,43PF a t QF a t PQ a t =-=-=-2PQF △2222(43)4a t t t t -=+-45t a =21886,,555QF a PQ a PF a ===22PF Q QPF ∠=∠12PF F △2c ==c e a ==15．解：（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即．16．解：（1）由题意知，动点的轨迹为抛物线，设抛物线的方程为，则，所以，所以抛物线的方程为，故；（2）设点的坐标分别有，可得有，可得，有，可得直线的斜率为，故直线的议程为，整理为．17．解：（1）由得，，整理得，故动点的轨迹的方程为；（2）点的坐标为且圆与轴相切，圆的半径为，圆的方程为，D AC 3,42D ⎛⎫⎪⎝⎭14103932BD k --==--BD 01(3)9y x 1+=+109210x y -+=167312AB k --==-+AB 27-AB ()2247y x -=--27220x y +-=P C 22(0)y px p =>12p =12p =C 2y x =124p t ==,A B ()()1122,,,x y x y 12124,2,x x y y +=⎧⎨+=⎩211222y x y x ⎧=⎨=⎩222121y y x x -=-212121112y y x x y y -==-+l 12l 11(2)2y x -=-12y x =3PA PO =229PA PO =2222(6)9(2)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦22(3)9x y -+=P C 22(3)9x y -+= Q (),(0)t t t >Q y ∴Q t ∴Q 222()()x t y t t -+-=圆与圆两圆心的距离为，圆与圆有公共点，，即，解得，所以实数的取值范围是．18．（1）解：由渐近线方程的斜率为，有，可得，将点代入双曲线的方程，有，联立方程解得故双曲线的标准议程为；（2）证明：设点的坐标分别为，线段的中点的坐标为，线段的中点的坐标为．设直线的方程为，联立方程解得，联立方程解得，可得，联立方程消去后整理为，∴Q C CQ == Q C 33t CQ t ∴-≤≤+2222|3|(3)(3)t t t t -≤-+≤+012t <≤t (]0,1220x y +=12-12b a -=-2a b =()1-C 22811a b-=222,811,a b a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩2,1,a b =⎧⎨=⎩C 2214x y -=,,,A B M N ()()()()11223344,,,,,,,x y x y x y x y AB D ()55,x y MN E ()66,x y l 1y kx =+1,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩3221x k =-+1,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩4221x k =--5212242212141kx k k k ⎛⎫=--=- ⎪+--⎝⎭221,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2241880k x kx -++=有，可得，由，可知线段和共中点，故有．19．（1）解：设椭圆的焦距为，由题意有：，解得故椭圆的标准方程为；（2）证明：由（1）知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，设点的坐标为（其中，），有，可得，直线的方程为，整理为，直线的方程为，整理为，直线的方程为，联立方程，解得：，故点的横坐标为，直线的方程为， 联立方程，解得：，故点的横坐标为，122841k x x k +=--62441kx k =--46x x =AB MN AM BN =C 2c 22222a b c b c a⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2,1,a b c ===C 2214x y +=A ()2,0-B ()2,0D ()0,1-P (),m n ()()2,00,2m ∈- 2214m n +=2244m n +=BD 121x y +=-112y x =-AD 121x y +=--112y x =--AP ()22ny x m =++()2,2112n y x m y x ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=-⎪⎩24422m n x m n ++=-+M ()22222m n m n ++-+BP ()22ny x m =--()2,2112n y x m y x ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=--⎪⎩42422n m x m n -+=+-N ()22222n m m n -++-又由，故点和点的横坐标相等，可得直线与轴垂直．()()()()()()22222222222222222222m n m n m n m n m n n m m n m n m n m n +++-+-+--++-+-=-++--++-()()()()()()()222222(2)4(2)42442880222222222222m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n ⎡⎤⎡⎤+-+--+-+-⎣⎦⎣⎦====-++--++--++-M N MN x。
山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)
高二数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写济楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第二章~第三章第2节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A.B. C. D.2.已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）A. B.C.D.3.已知椭圆与椭圆有相同的焦点，则（ ）A.B.C.3D.44.已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.5.已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ）A.2B.4C.6D.86.已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围103x --=π6π32π35π6()222:11x C y a a-=>C y =y x=±y =y x =()222:1016x y C b b +=>221125x y +=b =()0,1-22220x y x my +--+=m ()3,∞-+()3,2-()()3,22,∞--⋃+()2,2-M 22:1916x y C -=12,F F C 1122MF F F MF +-=()()2,3,3,2A B ---()1,1P l AB l k是（ ）A.B.C.D.7.当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（ ）A.C.D.8.已知椭圆，若椭圆上的点到直线的最短距离，则长半轴长的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线与直线平行，则的值可以是（）A.0B.2C.D.410.已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（ ）A.的离心率为B.C.的值可以为3D.若的面积为，则11.已知点及圆，点是圆上的动点，则（ ）A.过原点与点的直线被圆截得的弦长为B.过点作圆的切线，则切线方程为C.当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为D.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦α2cos2sin24cos x y ααα+=π2π4π()2222:10x y E a b a b +=>>E 50x y ++=a (]0,2((⎤⎦()240a x y a -++=()()222420a x a a y -+++-=a 2-,A B 22:143x y C +=C 12,F F C O C 12228AF BF +=AB 12AF F V 3212154AF AF ⋅=()4,4P 22:40C x y x +-=Q C O P C P C 3440x y -+=Q PC Q PC 240x y ---=P C ,A B AB 240x y +-=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若方程表示椭圆，则的取值范围是__________.13.已知圆与两直线都相切，且圆经过点，则圆的半径为__________.14.把放置在平面直角坐标系中，点在直线的上方，点在边上，平分，且点都在轴上，直线的斜率为，则点的坐标为__________；直线在轴上的截距为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线及点.（1）若与垂直的直线过点，求与的值；（2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程.16.（本小题满分15分）已知双曲线的顶点为，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积.17.（本小题满分15分）已知圆经过点，且与圆相切于原点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值.18.（本小题满分17分）已知椭圆的上顶点与左，右焦点连线的斜率之积为.（1）求椭圆的离心率；（2）已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线22164x y m m +=--m C 220,220x y x y -+=++=C ()1,1C ABC V A BC ,D E BC AD ,BAC AE BC ∠⊥,A E y AD 40,y AD -+==AC3-C AB x :210l x ay a -+-=()2,2A -l 320x my -+=A m a A ()1,1B -l l ()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P C C A C ,H O OHA V 1C ()2,0-222:480C x y x y +-+=O 1C :20(,l ax by a b a b ++-=)1C ,A B AB l 2C ,C D CD ()2222:10x y C a b a b+=>>45-C C ,A B 6AB =M C ,A B分别与直线交于点为坐标原点，求.19.（本小题满分17分）已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.,MA MB :5l x =,,P Q O OP OQ ⋅,A B P (0PAPBλλ=>1)λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()()()2,0,,2A B a b a -≠-(),A B λ221240x y x +-+=,,a b λQ (),A B OQ O 0,b λ==,a μ(),A B μ参考答案1.A 直线，所以其倾斜角为.故选A.2.D 由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选D.3.C 因为椭圆与㮁圆有相同的焦点.所以，解得或（舍去）.故选C.4.C 由题意可知解得或.故选C.5.B 因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，所以，故，由于，所以.故选B6.A 直线过定点，且直线与线段相交，由图象知，或，则紏率的取值范围是.故选A 7.D 方程可化为变动时，点到该直线的距离，则该直线是圆的切线，所以动直线围成的封闭图形的面积是圆的面积，面积为.故选D.103x --=π6214a +=23a =22213x C y -=y x =()22221016x y C b b +=>221125x y +=216125b -=-3b =3b =-222(1)20,(2)420,m m ⎧-++>⎨-+-⨯>⎩32m -<<-2m >M 22:1916x y C -=12,F F C 212MF MF a -=112222MF F F MF c a +-=-3,4,5a b c ====1122221064MF F F MF c a +-=-=-= l ()312131,1,4,21314PA PA P k k ----==-==--- AB ∴34k …4k -…k (]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭2cos2sin24cos x a y a a +=()2cos2sin22,x a y a α-+=()2,02d ==22(2)4x y -+=2cos2sin24cos x y ααα+=22(2)4x y -+=4π8.C 设直线与，则的方程为，由整理，得，因为上的点到直线的最短，所以，整理得，由椭圆的离心，可知，所以，所以，则，所以.故选C.9.AB 因为两直线平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，当时两直线重合，舍去.故选.10.AD 对于A ，椭圆中，，离心率为，A 正确；对于B.由对称性可得，所以，B 错误；对于C ，设且，则，故，所以C 错误；对于D ，不妨设在第一象限，，则，是，则，则，故，故D 正确.故选AD.11.ACD 圆的标准方程为，圆的半径，对于，直线的方程为0，点到直线，所以直线被圆截得的弦长为正确；对于，圆的过点的切线斜率存在时，设其方程为，即，，解得，此时切线方程为，另一条切线是斜率不存在的切线错误；对于C ，当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线，即为与直线距离为2的图的切线，直线的斜率为2，设该切线方程为，则正确；对于D ，设，，可得切线的方程分别为l 50x y ++=l 30x y ++=22221,30,x y ab x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩()2222222690a b x a x a a b +++-=E 50x y ++=()()422222Δ36490a a baa b =-+-…2290a b +-…E 22112b a -=2212b a =221902a a +-…26a …0a <…222424a a a a ---=-++20a -=2244a a ++=2a =2-2a =-AB 22:143x y C +=2,1a b c ===12c a =21BF AF =222124AF BF AF AF a +=+==(),,B m n n <<0n ≠22143m n +=)2OB ===()24,AB OB =∈A ()00,A x y 12013222AF F S c y =⋅⋅=V 032y =31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭21335,4222AF AF ==-=12154AF AF ⋅=C ()22(2) 4.2,0x y C -+=C 2r =A OP x y -=C OP OP C A =B C P ()44y k x -=-440kx y k --+=234k =3440x y -+=4,x B =Q PC Q PC PC C PC 20x y t -+=2,4t =-±(11,A x y ()22,B x y ,PA PB，将代入两方程得，所以者在直线上，所以直线的方程为，即，D 正确.故选ACD.12.且且也给分） 由题意得，且6—，所以且，所以实数的取值范围是.易知直线与关于轴对称或关于对称，又当圆心在上时，该圆不存在，所以圆的圆心在轴上，设圆的方程为，由题意可知，，整理得，解得或，当时，，当时，.14.（2分）（3分） 直线的方程与直线联立得，因为直线的斜率为3，所以直线的方程为，由，得直线的斜率为0，由，得，所以直线的方程为，与联立得.设直线与轴交于点，点关于直线的对称点为，则点在直线上，所以.联立解得代入，得，所以直线在轴上的截距为15.解：（1）因为直线过点，所以，解得，因为与垂直，()()11122220,20x x y y x x x x y y x x +-+=+-+=()4,4P ()()11122244240,44240x y x x y x +-+=+-+=()()1122,,,A x y B x y ()44240x y x +-+=AB ()44240x y x +-+=240x y +-=()()4,55,6{|46m m ⋃<<5},46m m ≠<<5m ≠60,40m m ->->4m m ≠-46m <<5m ≠m ()()4,55,6⋃220x y -+=220x y ++=x 2x =-2x =-C x C 222()x a y r -+==22730a a -+=12a =3a =12a =r =3a =r =(1,1)AE 0x =AD 40y -+=()0,4A AC -AC 34y x =-+AE BC ⊥BC AD =AD 3AE =BC 1y =34y x =-+()1,1C AB x (),0F t F AD (),G a b G AC b a t =-402b -+=122,a tb ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩34y x =-+t =AB x 320x my -+=()2,2A -6220m --+=2m =-3220x y ++=l所以.（2）解法一，若点与点到直线的距离相等，则直线与的斜率相等或的中点在上，又直钱的斜率为的中点坐标为，所以或.解得或.当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.解法二：因为点与点到直线的距离相等，.解得，当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.16.解：（1）因为双曲线的顶点为，且过点，所以，且，解得的标准方程为.（2）由双曲线方程，得渐近线方程为，，又，所以所以.123,32a a ==A()1,1B -l AB l AB l AB ()211,21AB --=---11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11a =-1121022a a --+-=1a =-1a =1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+A ()1,1B -l =1a =±1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P a =2254161a b -=a b ==C 221188x y -=221188x y -=230x y ±=,OH HA OA ⊥=OH =11542213OHA S OH HA =⨯⨯==V17.解：（1）因为圆与图相切，且点在圆的外部，所以圆与圆外切，则三点共线，图化为.所以圆心，故圆心在直线上.设圆的标准方程为，又圆过原点，则，圆经过点，则，解得，故圆的标准方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心坐标为，由直线化为，所以直线恒过点，易知点在圆的内部，设点到直线的距离为，则，要使取得最小值，则取得最大值，所以，此时.所以，则直线的方程为，即.又圆心到直线的距离，所以.18.解：（1）椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为，由题意可知，即，1C 2C ()2,0-2C 1C 2C 12,,C O C 222:480C x y x y +-+=22(2)(4)20x y -++=()22,4C -1C 2y x =-1C 222()(2)x t y t r -++=1C ()0,0O 225r r =1C ()2,0-222(2)(02)5t t t --++=1t =-1C 22(1)(2)5x y ++-=1C ()1,2-:20l ax by a b ++-=()()210a x b y ++-=L ()2,1P -P 1C 1C l d AB ==AB d 1PC l ⊥121112PC k -==-+1t k =-l ()12y x -=-+10x y ++=2C 10x y ++=d 'CD ==C ()0,b ()(),0,,0c c -45b b c c ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭2245b c =又，所以，即的离心率.（2）由，得，即，所以椭圆的方程为.设，则，即，又，则，因为直线分别与直线交于点，所以，所以.19.（1）解：因为以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，所以，因为为常数，所以，且，所以.（2）解：由（1）知，设，由，所以，，監理得，即，所以，222a b c =+2295a c =225,9c ca a ==C e =6AB =26a =3,2a c b ===C 22194x y +=()00,M x y 2200194x y +=22003649x y -=()()3,0,3,0A B -()()0000:3,:333y yMA y x MB y x x x =+=-+-,MA MB :5L x =,P Q 0000825,,5,33y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()()220000220000163648216641615,5,2525253399999x y y y OP OQ x x x x -⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=+=-= ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-22222222222222||(2)4416||()()22(122)24PA x y x y x xPB x a y b x y ax by a b a x by a b +++++===-+-+--++--+-+22||||PA PB 2λ2240,0a b b -+==2a ≠-2,0,a b λ====()()2,0,2,0A B -(),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--…42890x x --…()()22190x x +-…209x ……由，得，即的取值范围是.（3）证明：若，则以一阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.由点关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称OQ ==209r ……13OQ ……OQ []1,30b =(),A B 2222(2)2()x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()()2,0,,0A B a -2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-,a μ(),A B μ。
四川省成都2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
成都2024—2025学年度高二上期10月月考数学试卷（答案在最后）注意事项：1．本试卷分第I 卷和第II 卷两部分；2．本堂考试120分钟，满分150分；3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂；4．考试结束后，将答题卡交回．第I 卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．1．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）A ．①随机数法，②抽签法B ．①随机数法，②分层抽样C ．①抽签法，②分层抽样D ．①抽签法，②随机数法2．已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y = ，且//a b r r，那么实数x y +等于（）A ．3B ．-3C ．9D ．-93．若,l n 是两条不相同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A ．若l n ⊥，n β⊥，则l //βB ．若αβ⊥，l α⊥，则l //βC ．若//αβ，l α⊂，则l //βD ．若//l α，//αβ，则l //β4．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA上，且2ON NA =，则MN =（）A ．121232a b c--+B ．211322a b c-++C ．211322a b c-- D ．111222a b c+-5．为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）A ．58或64B ．59或64C ．58D ．596．已知点D 在ABC V 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，正数,x y 满足23DO xOA yOB OC =+- ，则yx 21+的最小值为（）A ．25B ．29C ．1D ．27．现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．C ．6D ．128．如图，四边形,4,ABCD AB BD DA BC CD =====ABD △沿BD 折起，当二面角A BD C --的大小在[,63ππ时，直线AB 和CD 所成角为α，则cos α的最大值为（）A ．16B C ．16D ．8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()2,0,1a =-，()4,0,2b =- ，则12//l l B ．直线l 的方向向量()1,1,2c =-，平面α的法向量是()6,4,1m =- ，则l α⊥C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =- ，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,1,1d = ，平面α的法向量()1,0,1n =，则直线l 与平面α所成角的大小为π310．小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A ．娱乐开支比通信开支多5元B ．日常开支比食品中的肉类开支多100元C ．娱乐开支金额为100元D ．肉类开支占储蓄开支的1311．已知四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点.N M ,是该四面体内切球球面上的两点，P 是该四面体表面上的动点.则下列选项中正确的是（）A.DE 的长为44B.D 到平面ABC 的距离为66C.当线段MN 最长时，PN PM ⋅的最大值为31D.直线OE 与直线AB 所成角的余弦值为33第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是．13．已知(2,1,3),(1,4,2)a b =-=-- ，c (4,5,)λ=，若,,a b c 三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数λ的值为.14．在正方体ABCD A B C D -''''中，点P 是AA '上的动点，Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，则平面BDP 与平面BDQ 所成角余弦值的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（满分13分）15．已知向量()6a m = ,，()1,0,2=b ，()()2R c m =∈ (1)求()a b c ⋅-的值；(2)求cos b c ,；(3)求a b - 的最小值.（满分15分）16．成都市政府委托市电视台进行“创建文明城市”知识问答活动，市电视台随机对该市1565～岁的人群抽取了n人，绘制出如图所示的频率分布直方图，回答问题的统计结果如表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第一组[15，25)500.5第二组[25，35)180a第三组[35，45)x0.9第四组[45，55)90b第五组[55，65)y0.6a b x y的值；（1）分别求出,,,（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人，则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人.-中，ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥（满分15分）17．如图，在四棱锥P ABCDPC=.平面ABCD，直线PA与平面PBC所成的角为45︒，2（1）若E，F分别为BC，CD的中点，求证：直线AC⊥平面PEF；（2）求二面角D PA B--的正弦值.（满分17分）18．随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准.根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图,如图.(1)求a ；(2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？（精确到小数点后2位）（满分17分）19．如图，四面体ABCD 中，2,AB BC BD AC AD DC ======(1)求证：平面ADC ⊥平面ABC ；(2)若(01)DP DB λλ=<<，①若直线AD 与平面APC 所成角为30°，求λ的值；②若PH ⊥平面,ABC H 为垂足，直线DH 与平面APC 的交点为G ．当三棱锥CHP A -体积最大时，求DGGH的值．高二上10月月考数学答案一、单选题：C D C C A B A B二、多选题：AC;BCD;BC3三、填空题：10；5；318:（1）由频率直方图可得，（2）由频率分布直方图可得样本中女性⨯=，所以全市女性50.020.1⨯=，10000000.1100000。
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024—2025第一次阶段性检测数学时量：120分钟 满分：150分得分______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（ ）C.3D.52.无论为何值，直线过定点（ ）A. B. C. D.3.在平行四边形中，，，，则点的坐标为（ ）A. B. C. D.4.已知，则（ ）A. B.C. D.5.直线关于对称的直线方程为（）A. B. C. D.6.已知椭圆：，则（ ）A. B.C.8或2D.87.已知实数满足，则的范围是（ ）A. B. C. D.8.已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ ）A. B. C. D.3i1iz +=+z =λ()()()234210x y λλλ++++-=()2,2-()2,2--()1,1--()1,1-ABCD ()1,2,3A -()4,5,6B -()0,1,2C D ()5,6,1--()5,8,5-()5,6,1-()5,8,5--π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭79-7929-292410x y --=0x y +=4210x y ++=4210x y +-=4210x y --=4210x y -+=C ()22104x y m m +=>m =,x y ()22203y x x x =-+ (4)1y x ++[]2,6(][),26,-∞+∞ 92,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]9,2,4⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭()5,0M l P 4PM =()5,0M ()5,0M 3y x =-2y =430x y -=210x y -+=二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，圆：，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）A.若圆关于直线对称，则B.点到直线C.存在两个不同的实数，使得直线与圆相切D.存在两个不同的实数，使得圆上恰有三个点到直线的距离为10.已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是（ ）A.曲线的方程为B.曲线的方程为C.过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为D.曲线上的点到直线11.在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）A.与B.过，，三点的正方体的截面面积为3C.当在线段上运动时，的最小值为3D.若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.通过科学研究发现：地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放的能量分别为，，则______.13.直线的倾斜角的取值范围是______l 20x y λλ+--=C 221x y +=O C l 2λ=-O l λl C λC l 121F ()()222328x y m m ++=……2F ()()222310x y m -+=-M M C C 22110064x y +=C 2212516x y +=1F x C 325C 4510x ++=ABCD A B C D '-'''M BC AM D B ''A M D 'ABCD A B C D '-'''P A C 'PB PM '+Q B C C B ''EF A C 'QE QF +lg 4.8 1.5E M =+1E 2E 12E E =()243410ax ay +-+=14.如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知两圆和.求：（1）m 取何值时两圆外切？（2）当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长.16.（15分）在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.17.（15分）如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，点为的中点，点为棱上的动点.（1）求证：平面；（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.18.（17分）某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.1F 2F ()222210x y a b a b+=>>12F F 2PF Q 222PF F Q =1PF 222610x y x y +---=2210120x y x y m +--+=45m =A B C △()()cos 2cos 2cos A C b c a B -=-sin sin CA1cos 4B =2b =A BC △P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA AB AD ===ABCDAB AD ⊥B C A D ∥4BC =M PC E BC DM ∥PAB E PDE ADE 23BE（1）由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数；（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，证明：19.（17分）已知动直线与椭圆：交于，两点，且的面积为坐标原点.（1）证明：和均为定值；（2）设线段的中点为，求的最大值；（3）椭圆上是否存在三点D ，E ，G，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.[)70,90[)70,80[)80,90m x 21s n y 22s w 2s ()(){}22222121s m s x w n s y w m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+l C 22132x y +=()11,P x y ()22,Q x y OPQ △OPQ S △O 2212x x +2212y y +P Q M OM PQ ⋅C ODE ODG OEG S S S ===△△△D E G △长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期第一次阶段性检测数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案BAAACCADABDBCDAC1.B 【解析】∵，∴. .故选B.2.A 【解析】由得：，由得∴直线恒过定点.故选A.3.A【解析】设，则，，得.故选A.4.A 【解析】，又，所以.故选A.5.C 【解析】取直线关于对称的直线上任意一点，易知点关于直线对称的点的坐标为，由点在直线上可知，即.故选C.6.C 【解析】椭圆：的离心率为，，解得或.故选C.7.A 【解析】表示函数图象上的点与的连线的斜率，结合图象可知，斜率分别在与（相切时）处取最大值和最小值，()()()()23i 1i 3i 33i i i 2i 1i 1i 1i 2z +-+-+-====-++-z ==()()()234210x y λλλ++++-=()()223420x y x y λ++++-=220,3420x y x y ++=⎧⎨+-=⎩2,2,x y =-⎧⎨=⎩()()()234210x y λλλ++++-=()2,2-(),,D x y z ()5,7,3AB =- (),1,2DC x y z =---()5,6,1D --22πππ17cos 2cos 212sin 1233399ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2π22π33αα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭π2π2π7cos 2cos 2πcos 23339ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2410x y --=0x y +=()00,P x y P 0x y +=()00,Q y x --Q 2410x y --=002410y x -+-=004210x y --=C ()22104x y m m +=>==8m =2m =41y x ++()22203y x x x =-+……()1,4--()0,2()2,2所以的范围是.故选A.8.D 【解析】根据题意，当点到直线的距离时，该直线上存在点使得，此时直线为点的“相关直线”，对于A ，，即，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；对于B ，，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；对于C ，，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；对于D，，点到直线的距离，该直线不是点的“相关直线”.故选D.9.ABD 【解析】直线：过定点，圆：，圆心，半径，对选项A ：直线过圆心，则，解得，故选项A 正确；对选项B ：点O 到直线l的距离的最大值为B 正确；对选项C ：直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，故选项C 错误；对选项D ：当圆上恰有三个点到直线的距离为时，圆心到直线的距离，解得，故选项D 正确.故选ABD.10.BCD 【解析】对A 选项与B 选项，由题意知圆与圆交于点，则，，所以，所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且，，即，，所以，所以曲线的方程为，故A 选项错误，B 选项正确；41y x ++[]2,6M l 4d …P 4PM =l()5,0M 30y x =-=30x y --=M l 4d <()5,0M 2y =M l 0224d =-=<()5,0M 430x y -=M l 4d ==()5,0M 210x y -+=M l 4d ()5,0M l 20x y λλ+--=()2,1P C 221x y +=()0,0C 1r =20λ--=2λ=-PC =l C 1d 34λ=-C l 12C l 12d λ=1F 2F M 1MF m =210MF m =-1212106MF MF F F +=>=M x 210a =26c =5a =3c =4b =C 2212516x y +=对C 选项，通径的长度为，故C 选项正确；对D 选项，设与直线平行的直线为，，将与联立得，令，解得，此时直线与椭圆相切，当时，切点到直线的距离最大，直线的方程为，故曲线上的点到直线D 选项正确.故选BCD.11.AC 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，∴，∴与A 正确；取的中点，连接，，，则，故梯形为过点，，的该正方体的截面，∵，，∴梯形，1632255⨯=4510x ++=l 40x t ++=51t ≠40x t ++=2212516x y +=221004000y t ++-=()22Δ3004004000tt =--=40t =±l 40t =-4510x ++=l 4400x +-=C 4510x ++=A 'A D ''A B ''A A '()0,0,2A ()1,2,2M ()2,0,0D '()0,2,0B '()2,2,0C '()1,2,0AM = ()2,2,0DB''=-cos ,AM D B AM D B AM D B '⋅'''''⋅==AM D B ''C C 'N M N D N 'AD 'M N BC AD ''∥∥M N D A 'A M D 'MN AD '=AM D N ='=M N D A '=∴梯形的面积为，故B 错误；由对称性可知，，故，又由于，，，四点共面，故，当为与的交点时等号成立，故C 正确，设点关于平面的对称点为，连接，当与平面的交点为时，最小，过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，此时，D 错误.故选AC.三、填空题12.1000 【解析】由题知，.13. 【解析】设直线的倾斜角为，当时，直线为，；当时，，当且仅当时取等号， ∴；当时，，当且仅当时取等号， ∴，综上可得.14.【解析】连接，，由点在以为直径的圆上，故.M N D A '1922⨯+=PB PD '='PB PM PD PM '++'=A 'B C D '3PB PM PD PM D M +=+'''=…P A C 'D M 'F B C C B ''F 'EF 'EF 'B C C B ''Q QE QF QE QF +=+'E AD 'F AB G 13EG AD =='2G F '=EF =='11112222lg 4.8 1.59,lg lg 3lg 31000lg 4.8 1.57E E EE E E E E =+⨯⎧⇒-=⇒=⇒=⎨=+⨯⎩π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()243410a x ay +-+=α0α=310x +=π2α=0α>2433tan 44a k a a a α+===+= (3)4a a =ππ,32α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭0α<24333tan 444a k a a a a a α+⎛⎫===+=--+-= ⎪-⎝⎭ (3)4a a -=-π2π,23α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦π2π,33α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦121PF 1QF P 12F F 12PF PF ⊥又，在椭圆上，故有，.设，则，，，.在中，由勾股定理得，解得，于是，，故.四、解答题15.【解析】（1）由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：，，则圆心分别为，，，解得.（2）当，则，所以两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为：，即，圆心到直线的距离，所以公共弦长.16.【解析】（1）由正弦定理得，所以，所以，化简得，又，所以，因此.（2）由，得，由余弦定理及，又，得，解得，从而.又因为，且，所以.P Q 122PF PF a +=122QF QF a +=2QF m =22PF m =122PF a m =-12QF a m =-3PQ m =1Rt PQF △()()()2223222m a m a m +-=-3a m =223a PF =143a PF =1121tan 2PF k PF F ∠==()()221311x y -+-=()()()22566161x y m m -+-=-<()1,3M ()5,6N =+25m =+45m =4=44<<+()22222611012450x y x y x y x y +----+--+=43230x y +-=()1,3M 43230x y +-=2d l ==()()cos 2cos sin 2sin sin cos A C B C A B -=-cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos A B C B C B A B -=-cos sin sin cos 2cos sin 2sin cos A B A B C B C B +=+()()sin 2sin A B B C +=+πA B C ++=sin 2sin C A =sin 2sin CA=sin 2sin C A =2c a =2222cos b a c ac B =+-1cos 4B =2b =22214444a a a =+-⨯1a =2c =1cos 4B =0πB <<sin B =因此.17.【解析】（1）因为平面，，平面，所以，，又，所以，，两两垂直.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示，则，，，，因为点为中点，所以，，又，，所以，所以，，为共面向量，则在平面内存在直线与平面外的直线平行，所以平面.（2）设，，，，依题意可知，平面的法向量为，设平面的法向量为，则令，则.因为平面与平面所成角的余弦值为，所以，解得或，所以存在点使得平面与平面所成角的余弦值为，或.18.【解析】（1）由题意得：，解得，11sin 1222ABC S ac B ==⨯⨯=△PA ⊥ABCD A D AB ⊂ABCD PA AD ⊥PA AB ⊥AB AD ⊥PA AB A D A AB x A D y AP z ()0,0,2P ()2,0,0B ()0,2,0D ()2,4,0C M PC ()1,2,1M ()1,0,1DM =()0,0,2AP = ()2,0,0AB =1122DM AP AB =+ DM ,AP A BPAB l PAB DM DM ∥PAB ()2,,0E a 04a ……()0,2,2DP =- ()2,2,0DE a =-ADE ()0,0,2AP =PDE (),,n x y z =()220,220,DP n y z DE n x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩1z =2,1,12a n -⎛⎫= ⎪⎝⎭ PDE ADE 232cos ,3AP n AP n AP n ⋅==⋅23=1a =3a =E PDE ADE 231BE =3BE =()100.010.0150.020.0251t ⨯++++=0.03t =设第60百分位数为，则，解得，即第60百分位数为85.（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为，，在的有人，设为a ，b ，c .则样本空间为，.设事件“两人分别来自和”，则，，因此，所以两人得分分别来自和的概率为. （3）由题得：①；②略19.【解析】（1）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，所以，，因为在椭圆上，所以，①又因为，所以由①②得，，此时，.（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意知，将其代入得，其中，即，（*）又，，所以，x ()0.01100.015100.02100.03800.6x ⨯+⨯+⨯+⨯-=85x =[)70,8085220⨯=A B [)80,90125320⨯=()()()()()()()()()(){}Ω,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c =()Ω10n =M =[)70,80[)80,90()()()()()(){},,,,,,,,,,,M A a A b A c B a B b B c =()6n M=()()()63Ω105n M P M n ===[)70,80[)80,9035mx ny m n w x y m n m n m n+==++++l P Q x 21x x =21y y =-()11,P x y 2211132x y +=OPQ S =△11x y ⋅=1x =11y =22123x x +=22122y y +=l l y kx m =+0m ≠22132x y +=()()222236320k x kmx m +++-=()()2222Δ36122320k m k m =-+->2232k m +>122623km x x k +=-+()21223223m x x k -=+PQ ==因为点到直线的距离为，所以又，整理得，且符合（*）式，此时，，综上所述，，，结论成立。
上海市建平中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
上海市建平中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、填空题1．圆22:4O x y +=在点处的切线方程为. 2．抛物线22y x =的焦点坐标是.3．已知函数()f x =R ，则m 的取值范围为．4．已知1F ，2F 是椭圆22193x y+=的两个焦点，过1F 的直线交此椭圆于A ，B 两点．若228AF BF +=，则AB =；5．双曲线222x y k -=的焦距是10，则实数k 的值为．6．设集合{}23A m m =-<，22123x y B m m m ⎧⎪=+=⎨+-⎪⎩是双曲线}，则A B =I．7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,2B b ，双曲线的渐近线上存在一点P ，使得顺次连接,,,A B F P 构成平行四边形，则双曲线C 的离心率为．8．设P 是椭圆2214x y +=第一象限部分上的一点，过P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为M 、N ，则矩形OMPN 的面积的最大值为.9．若直线ax +y +b ﹣1＝0（a ＞0，b ＞0）过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，则11a b+的最小值是．10．已知抛物线对称轴为x 轴．若抛物线上的动点到直线34120x y +-=的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为．11．坐标平面上一点P 到点()1,0A ，(),2B a 及到直线1x =-的距离都相等．如果这样的点P 有且只有两个，那么实数a 的取值范围是．12．已知函数()2f x ax b =-，其中,R a b ∈，()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b的最小值为．二、单选题13．方程210x -+=的两个根可分别作为（ ）A ．椭圆和双曲线的离心率B ．两双曲线的离心率C ．两椭圆的离心率D ．以上皆错14．“222a b R +<”是“圆()()222x a y b R -+-=与坐标轴有四个交点”的（ ）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．非充分非必要条件．15．已知方程()()22222200b x a k x b a b b a ⎡⎤---=>>⎣⎦的根大于a ，则实数k 满足（ ）A ．bk a > B ．b k a < C ．a k b>D ．a k b<16．设曲线E 的方程为2249x y +=1，动点A （m ，n ），B （﹣m ，n ），C （﹣m ，﹣n ），D （m ，﹣n ）在E 上，对于结论：①四边形ABCD 的面积的最小值为48；②四边形ABCD 外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（ ）A ．①错，②对B ．①对，②错C ．①②都错D ．①②都对三、解答题17．已知,αβ是方程24420x mx m -++=的两个实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若()22f x αβ=+，求()f m 的最小值．18．已知p ：点()1,3M 不在圆()()2216x m y m ++-=的内部，q ：“曲线2122:128x yC m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”，s ：“曲线222:11x ym t m t C +=---表示双曲线”．(1)若p 和q 都成立，求实数m 的取值范围； (2)若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围．19．如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2m 的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20m 的正方形.因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P 的移动速度为1.5m/s ，仪器的移动速度为1m/s .若仪器Р与仪器Q 的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q 在仪器P 的“盲区”中.(1)如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD ，仪器Р在点A 处，仪器Q 在BC 上距离C 点4m 处，试判断仪器Q 是否在仪器P 的“盲区”中，并说明理由；(2)如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD ，仪器P 从点A 出发向点D 移动，同时仪器Q 从点C 出发向点B 移动，在这个移动过程中，仪器Q 在仪器Р的“盲区”中的时长为多少？20．如图所示，已知动直线y kx =交圆()2224x y -+=于坐标原点O 和点A ，交直线4x =于点B ，若动点M 满足OM AB =u u u u r u u u r，动点M 的轨迹C 的方程为(),0F x y =．（1）试用k 表示点A 、点B 的坐标； （2）求动点M 的轨迹方程(),0F x y =；（3）以下给出曲线C 的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由．（若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分） ①对称性；②顶点坐标（定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点）； ③图形范围； ④渐近线；⑤对方程(),0F x y =，当0y ≥时，函数()y f x =的单调性．21．已知直线0x y +与椭圆222:1x E y a+=有且只有一个公共点.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆E 上存在不同两点P 、Q 关于直线20x y λ--=对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)椭圆E 的内接四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于椭圆的左焦点，S 是四边形ABCD 的面积，求S 的最小值.。
山东省临沂市兰临沂第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
山东省临沂市兰临沂第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线,若,则( )A.-1或2B.1C.1或-2D.-22.过点的直线与线段MN 相交，，则的斜率的取值范围为( )A.B.C.或D.或3.在三棱柱中,记,点满足,则( )A. B. C. D.4.已知点关于直线对称，则对称点的坐标为( )A. B. C. D.5.已知向量,若共面,则( )A.4B.2C.3D.16.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )7.下列命题中正确的是( )A.点关于平面对称的点的坐标是B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则C.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为12:20,:2(1)20l ax y l x a y +-=+++=12//l l a =(3,3)P l (2,3),(3,2)M N ---l k 1665k ≤≤566k ≤≤65k ≤6k ≥16k ≤65k ≥111ABC A B C -1,,AA a AB b AC c === P 12BP PC =AP = 121333a b c -+ 212333a b c ++212333a b c +-121333a b c ++(2,1)P -10x y -+=(0,1)-(0,2)-(1,1)-(2,1)-(2,1,3),(1,4,2),(1,3,)a b c λ=-=--=,,a b c λ=(2,1)P --:(13)(1)240(R)l x y λλλλ+++--=∈310x y -+=40x y +-=250x y +-=310x y -+=(3,2,1)M yOz (3,2,1)--l (1,1,2)e =- α(6,4,1)m =-l α⊥l α120︒l α30︒D.已知为空间任意一点,四点共面，且任意三点不共线，若，则8.在空间直角坐标系中,,点在平面ABC 内,则当|OH |取最小时，点的坐标是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则( )A.若，则B.若，则C.若,则D.若,则向量在向量上的投影向量10.下列说法正确的是( )A.直线的倾斜角的取值范围是B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.过点且在轴,轴截距相等的直线方程为D.经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程.11.已知正方体的棱长为1,E 为线段的中点,点和点分别满足,其中,则下列说法正确的是( )A.平面AECB.AP 与平面所成角的取值范围为C.D.点到直线的距离的最小值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.O ,,,A B C P 12OP mOA OB OC =-+12m =-O xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C H H 211,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,1,1)(2,1,1),(1,,2)a x b y ==-1,24x y ==-ab ‖1,1x y ==a b⊥1,12x y ==cos ,a b <>= 1,12x y ==ab 112,,333c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭1a =-210a x y -+=20x ay --=(1,2)P x y 30x y +-=()()1122,,,x y x y ()()()()211211x x y y y y x x --=--表示1111ABCD A B C D -1B C F P 11111,D F D C D P D B λμ==,[0,1]λμ∈BP ⊥11BDD B 45,60︒︒⎡⎤⎣⎦PE PF +P 1B C PE =12.在直线上求一点,使它到直线的距离等于原点到的距离,则此点的坐标为________________.13.已知空间向量两两夹角为,且,则__________________.14.如图,两条异面直线a,b 所成的角为,在直线a,b 上分别取点,和点A,F,使,且.已知,则线段的长为_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,三棱柱中,底面边长和侧棱长都等于1,.(1)设,用向量表示,(2)并求出的长度;(3)求异面直线与所成角的余弦值.16.(15分)已知点,_________________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处,并作答(1)求直线的方程;(2)求直线关于直线的对称直线的方程条件①:点关于直线的对称点的坐标为；条件②:点的坐标为，直线过点且与直线PM 平行;210x y -+=:320l x y +-=l ,,a b c 60︒||||||1a b c === |2|a b c -+= θA 'E AA a '⊥AA b '⊥,,A Em AF n EF l '===AA '111ABC A B C -1160BAA CAA ︒∠=∠=1,,AA a AB b AC c === ,,a b c1BC 1BC 1AB 1BC (1,3)P 1l 2:250l x y +-=1l P 1l 1P (1,1)-M (6,2)-1l (2,4)-条件③:点N 的坐标为,直线过点且与直线PN 垂直.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.（15分）已知直线.(1)若坐标原点到直线,求的值;(2)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程.18.(17分)如图,在四棱锥中,底面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,,分别为线段AD,DC,PB 的中点.(1)证明：平面PEF//平面GAC ；(2)求直线GC 与平面PCD 所成角的正弦值.19.(17分)如图1所示中,分别为PA,PB 中点.将沿DC 向平面ABCD上方翻折至图2所示的位置，使得。
四川省遂宁中学校高新校区2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷
四川省遂宁中学校高新校区2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（ ） A ．88分B ．84分C ．85分D ．90分2．已知点1,3A （），5,7B （），则线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为（ ） A ．250x y +-= B ．80x y +-= C ．230x y ++=D ．60x y ++=3．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2GN MG =，现用向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 表示向量OG u u u r，设OG =u u u r x y OA +u u u r OB z +u u u rOC u u u r ，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．111,,333x y z ===B ．111,,336x y z ===C ．111,,366x y z ===D ．111,,633x y z ===4．已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．(][),11,-∞-+∞U B ．[]1, 1-C ．[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．设A ，B 为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A ．若A ，B 是对立事件，则()1P AB =B ．若A ，B 是互斥事件，11(),()32P A P B ==，则1()6P A B +=C ．若11(),()32P A P B ==，且1()3P AB =，则A ，B 是独立事件D ．若A ，B 是独立事件，12(),()33P A P B ==，则1()9P AB =6．已知直线1l ：210x ay -+=，2l ：()10a x y a --+=，则“2a =”是“12//l l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知EF 是棱长为8的正方体的一条体对角线，点M 在正方体表面上运动，则ME MF ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ） A ．48-B ．32-C ．16-D ．08．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与(),x y 与点(),a b 之间的距离的几何问题.已知点()11,M x y 在直线1:2l y x =+，点()22,N x y 在直线2:l y x =上，且1MN l ⊥，结合上述）A B CD ．5二、多选题9．直线l 经过点()3,2-，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能是（ ） A ．320x y += B ．230x y += C ．50x y --=D ．10x y +-=10．下列命题中，正确的是（ ）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()2,0,1a =-r，()4,0,2b =-r ，则12//l l B ．直线l 的方向向量()1,1,2c =-r，平面α的法向是()6,4,1m =-u r ，则l α⊥C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-r ，()3,4,2v =-r，则αβ⊥ D ．直线l 的方向向量()0,1,1d =r ，平面α的法向量()1,0,1n =r，则直线l 与平面α所成角的大小为π311．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，O 、P 分别是,AC SC 的中点，M 是棱SD 上的动点，则（ ）A ．OM AP ⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30︒D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值三、填空题12．为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为:5:3k .已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为人.13．已知()2,5M ，()2,4N -，动点P 在直线:230l x y -+=上.则PM PN +的最小值为. 14．已知15个数1x ，2x ，…，15x 的平均数为6，方差为9，现从中剔除1x ，2x ，3x ，4x ，5x 这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数6x ，7x ，…，15x 的方差．四、解答题15．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取100名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组 40,50 ，第2组 50,60 ，第3组 60,70 ，第4组[)70,80，第5组 80,90 ，第6组 90,100 ，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数；(2)已知学生成绩评定等级有A 、B 两个等级，其中成绩不小于60分时为A 级，若从第1组和第3组两组学生中，按照分层抽样方法抽取6人，再从这6随机抽取2人，求所抽取的2人中两人成绩均为A 级的概率． 16．根据下列条件，求直线的一般方程： (1)过点(2,1)且与直线230x y +=平行的直线方程；(2)若()()()0,,,,1135,3A B C ，BAC ∠的角平分线所在直线方程. 17．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是111,,324，答对第二题的概率分别是112,,233.(1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率；(2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.18．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//EF AD BC AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．(1)证明：//BM 平面CDE ；(2)求二面角F BM E --的正弦值．19．在空间直角坐标系Oxyz 中，过点()000,,P x y z 且以(),,u a b c =r为方向向量的直线方程可表示为()0000x x y y z z abc a b c---==≠，过点()000,,P x y z 且以(),,u a b c =r 为法向量的平面方程可表示为000ax by cz ax by cz ++=++． (1)若直线()11:12x l y z -==--与()21:142y z l x ---==都在平面α内，求平面α的方程； (2)在三棱柱111ABC A B C -中，点C 与坐标原点O 重合，点A 在平面Oxz 内，平面ABC 以()1,1,3m =--u r为法向量，平面11ABB A 的方程为38x y z +-=，求点A 的坐标；(3)若集合(){},,2M x y z x y z =++=中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．。
黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1.在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（）A.()2,1,4-- B.()2,1,4 C.()2,1,4--- D.()2,1,4-2.若向量{}123,,e e e 是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得：123a xe ye ze =++ ，我们把有序实数组(),,x y z 叫做基底{}123,,e e e 下向量a 的斜坐标.设向量p 在基底{},,a b c 下的斜坐标为()1,2,3-，则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的斜坐标为（）A.13,,322⎛⎫--⎪⎝⎭B.13,,322⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭ D.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭3.已知两条直线12:410,:20l ax y l x ay +-=++=，则“2a =”是“12l l //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--，点()1,3,0A -在平面α内，若点()2,1,P z -到α的距离为103，则z =（）A.16B.4- C.4或16- D.4-或165.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦6.直线l 过点()2,3A ，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（）A.9B.12C.18D.247.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，5,3,7AB AD AA ='==，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠=∠=︒，则AC '的长为（）A. B.C.D.8.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（）A. B.C. D.2+二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中正确的是（）A.若向量,a b 满足0a b ⋅<，则向量,a b 的夹角是钝角B.若,,OA OB OC 是空间的一组基底，且232OD OA OB OC =-+，则,,,A B C D 四点共面C.若向量{},,a b c 是空间的一个基底，若向量m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D.若直线l 的方向向量为(1,0,3)e = ，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的余弦值为5510.以下四个命题为真命题的是（）A.过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+B.直线()cos 20R x θθ+=∈的倾斜角的范围是π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭C.直线10x y +-=与直线2210x y ++=D.直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-11.如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且//DE SA ，22SA AB DE ===，,M N 分别是线段,BC SB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点,D C ），则下列说法正确的是（）A.不存在点Q ，使得NQ SB⊥B.存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o C.三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）12.已知()()()1,1,0,0,3,0,2,2,2A B C ，则向量AB 在AC上的投影向量的坐标是______．13.当点()2,1P --到直线l ：()()()131240x y λλλλ+++--=∈R 距离的最大值时，直线l 的一般式方程是______．14.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()122311112πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -∅=-∠+∠++∠+∠ ，其中i Q （1i =，2，……，k ，3k ≥）为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面.如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，且2AC =，顶点S 在底面的射影O 为AC 的中点.若该四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，则直线OS 与平面SAB 所成角的正弦值为___________.四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线()():12360m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.（1）若坐标原点O 到直线m ，求a 的值；（2）当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程.16.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ．(2)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18.已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a = ，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b <> .定义a 与b 的“向量积”为：a b ⨯是一个向量，它与向量a ，b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4DP DA ==，E 为AD 上一点，AD BP ⨯=.（1）求AB 的长；（2）若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的余弦值；19.如图①所示，矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -，N 为PB 中点，（1）若平面PAM ⊥平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB 所成角的大小；（2）设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值.哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】B二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）【12题答案】【答案】111,,663⎛⎫ ⎪⎝⎭【13题答案】【答案】3250x y +-=【14题答案】【答案】1323-四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1）14a =-或73a =-（2）370x y -=或120x y -+=【16题答案】【答案】（1）2310x y --=，51(,)77，（2）107.【17题答案】【答案】(1)证明见解析；(2)存在，AM AP 的值为14.【18题答案】【答案】（1）2（2）13-【19题答案】【答案】（1）π6；（2）11。
河南省新乡市原阳县第一高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年高二上期10月月考数学试卷考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的倾斜角是( )A. B. C.D.2.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k 等于( )A. 4B. -4C. 5D. 3.若双曲线离心率为2，过点，则该双曲线的方程为( )A. B. C. D. 4．若圆：与圆：相切，则（ ）A ．9B ．10C ．11D ．9或115．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A 到B 走过的路程为（）AB ．CD ．6．如图，棱长为1的正方体，中M ，N 点，分别是线段，的中点，记E 是线段的中点，则点E 到面的距离为（）10y --=3π-6π-6π3πα(1,2,2)a =-β(2,4,)b k =-- αβ⊥5-2222:1x y C a b-=2221x y -=2213y x -=22531x y -=22126x y -=1C ()()22121x y ++-=2C ()()22256x y r -++=r =()1,0A 10x y ++=()6,5B -1111ABCD A B C D -1BB 1DD 1MC 1ANBA．BCD ．7．已知，，动点P 满足，则点P 的轨迹与圆相交的弦长等于（）A ．BCD8．棱长为2的菱形ABCD 中，，将沿对角线BD 翻折，使A 到P 的位置，得到三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥B ．C ．存在某个位置，使得D ．存在某个位置，使得面BCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．以下四个命题正确的有（）A ．直线与直线B ．直线l 过定点，点和到直线l 距离相等，则直线l 的方程为C ．点到直线D ．已知，则“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件10．下列说法正确的是（）A ．在四面体OABC 中，若，则A ，B ，C ，G 四点共面B ．若G 是四面体OABC 的底面三角形ABC 的重心，则C ．已知平行六面体的棱长均为1，且，则2313()2,0A -()2,0B PAPB=224x y +=60BAD ∠=︒ABD △P BCD -P BCD -CD PC⊥CD PB⊥CP ⊥220x y +-=2410x y ++=()0,1-()3,4A --()6,3B 330x y -++=()1,210x y +-=a R ∈210ax y +-=()120a x ay a +-+=3a =151266OG OA OB OC =-++()13OG OA OB OC=++1111ABCD A B C D -1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒对角线D ．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为11“黄金椭圆”，在椭圆中，，，，分别是椭圆的左、右顶点和上、下顶点，，是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上的动点，则下列选项中，能使椭圆是“黄金椭圆”的有（）A ．轴且B ．C ．四边形的内切圆过D ．非选择题部分三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知椭圆C ：，则椭圆的短轴长为______．13．已知，过定点M 的动直线与过定点N 的动直线相交于点P ，则的最大值是______．14．已知一张纸上画有半径为4的圆O ，在圆O 内有一个定点A ，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C ．则曲线C 上的点到点O 的最大距离为______．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）如图，在正方体中，E 为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．1AC =p mx n y k z =++ (),,m n k p {},,x y z p{},,a b c ()1,2,3p {},,a b a b c -+ 13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭()222210x y a b a b+=>>1A 2A 1B 2B 1F 2F 1PF x ⊥21//PO A B 2121122F F A F A F =1122A B A B 1F 2212A B F B ⊥2221x y +=a R ∈310ax y a --+=310x ay a +--=PM PN 2OA =A 'A 'OA '1111ABCD A B C D -1BB 1A C ⊥11AB D 1CC 1AD E16．（本小题15分）圆C 过点和，圆心C 在直线上．（1）求圆C 的标准方程（2）直线l 经过点，且被圆C 所截得的弦长为4，求直线l 的方程17．（本小题15分）已知O 为坐标原点，是椭圆C：的左焦点，点P 是椭圆的上顶点，以点P 为圆心且过的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆C 的方程（2）斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B两点，求面积的最大值18．（本小题17分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD ，，，BD 是的平分线，且，二面角的大小为60°．（1）若E 是棱PC 的中点，求证：平面PAD（2）求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的夹角的余弦值19．（本小题17分）已知圆O 的方程为，与x 轴的正半轴交于点N ，过点作直线与圆O交于A 、B 两点．（1）若坐标原点O 到直线AB 的距离为1，求直线AB 的方程；（2）如图所示，已知点P(-4,0), 一条斜率为－1的直线交圆于R ，S 两点，连接PS ，PR ，试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．()4,2A ()1,3B 1y x =-()1,1P -()11,0F -()222210x y a b a b+=>>1F x =AOB △P ABCD -PAD ⊥2PA AD ==4BD =AB =ADC ∠BD BC ⊥P AB D --//BE 2216x y +=()3.0M NPS ∠NPR ∠NPS NPR ∠+∠高二年级数学答案一、选择题：1．D 2．D 3．B 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 二、选择题；9．ACD 10．BCD 11．CD三、填空题；1213．4 14．3四、解答题；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，面，则，又，，∴面，则同理，，∴平面（Ⅱ）解法一：以A 为原点，AD 、AB 、分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为a ，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，∴，设直线与平面所成角为θ，则，故直线与平面所成角的正弦值为．BC ⊥11ABB A 1BC AB ⊥11AB A B ⊥1BC A B B = AB ⊥1A BC 11AB A C⊥111B D A C ⊥1111B D AB B = 1A C ⊥11AB D 1AA ()0,0,0A ()10,0,A a =()1,0,D a a 10,,2E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()10,0,AA a = ()1,0,AD a a = 10,,2AE a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1AD E (),,m x y z = 10m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()0102a x z a y z +=⎧⎪⎨⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎩2z =2x =-1y =-()2,1,2m =--1AA 1AD E 11122sin cos ,33m AA a m AA a m AA θ⋅====⋅⋅1CC 1AD E 23解法二：设正方体的棱长为，则，，，， 由余弦定理知，∴，∴，设点到平面的距离为h ，∵，∴，∴，设直线与平面所成角为θ，则．故直线与平面所成角的正弦值为．16．（1）AB 的中垂线方程为，联立，知，则∴圆C 的标准方程是（2）若直线l 的斜率不存在，直线l ：，弦长，成立若直线l 的斜率存在，设直线l ：，圆心C到直线l 的距离为1，，则直线l ：∴直线l ：或17．（1）∴椭圆C 的方程为（2）设，，直线l ：联立方程，得2a 1AD =AE =13ED a =1212222AA D S a a a =⋅⋅=△2221111cos 2AD AE ED EAD AD AE +-∠===⋅⋅1sin EAD ∠=12111sin 32EAD S AD AE EAD a =⋅⋅∠=△1A 1EAD 111A EAD E AA D V V --=221132233h a a a ⋅=⋅⋅43h a =1AA 1AD E 1423sin 23a h AA a θ===1CC 1AD E 2335y x =-351y x y x =-⎧⎨=-⎩()2,1C r =()()22215x y -+-=1x =4=()11y k x +=-134k =3744y x =-1x =3744y x =-a =1c =2212x y +=()11,A x y ()22,B x y y x m=+2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2234220x mx m ++-=∵直线l 交椭圆C 于A ，B 两点 ∴，得，∴弦长又点O 到直线l 的距离∴当，即时取得等号 ∴18．解：（1）取CD 中点F ，连接BF ，EF ∵ ∴，则而B D 是的平分线，则，从而，则，BF 不在平面PAD 内，平面PAD ，则平面PAD E ，F 分别是PC ，CD 的中点，则，EF 不在平面PAD 内，平面PAD ，则平面PAD ，又∴平面平面PAD ∴平面PAD（2）由题知，，又面面ABCD ，得面PAD 则是二面角的平面角，即，是等边三角形，如图建系，，，设平面PAB 的一个法向量为，则，得，令，则()221612220m m ∆=-->23m <1243m x x +=-212223m x x -=2ABx =-=d 1122S AB d =⋅==≤232m =m =max S =BDBC ⊥BF DF =FDB FBD∠=∠ADC ∠FDB ABD ∠=∠FBD ADB ∠=∠//BF AD AD ⊆//BF//EF PD PD ⊆//EF EF BF F= //BEF //BE BA AD ⊥PAD ⊥BA ⊥PAD ∠P AB D --60PAD ∠=︒PAD ∆(P ()1,0B -()0,1,0D ()C ()1,,n x y z =1100n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0y ⎧=⎪⎨=⎪⎩1z =()10,n =同理平面的PCD 一个法向量，设平面PAB 与平面PCD 的夹角为α则∴平面PAB 与平面PCD19．（1）若直线AB 的斜率不存在，距离为3，不符合若直线AB 的斜率存在，设直线AB ：，得∴直线AB 的方程为（2）设直线RS ：，，记，，联立方程，得 ∴，，∴，∴∵，都是锐角 ∴的定值．()1n =-1212cos n n n n α⋅==()3y k x =-1=k =y x =y x =y x m =-+()11,R x y ()22,S x y 111tan 4y k NPR x ==∠+222tan 4y k NPS x ==∠+2216x y y x m⎧+=⎨=-+⎩2222160x mx m -+-=12x x m +=212162m x x -=()12122y y x x m m +=-++=()()21212162m y y x m x m -=-+-+=()1212121244tan tan tan 1tan tan 144y yx x NPS NPRNPS NPR y y NPS NPR x x +++∠+∠∠+∠==-∠⋅∠-⋅++()()()12121212122484161416416x x m x x m m x x x x y y m -+-+++===+++-+NPS ∠NPR ∠0NPS NPR π<∠+∠<4πNPS NPR ∠+∠=。
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)月考数学试卷
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）月考数学试卷一、单选题1310y -+=的倾斜角是（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．1m <- C ．1m ≥-D ．1m >-3．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1m =-r ，平面α的一个法向量为1,1,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若//l α，则x =（ ）A ．52B ．52-C ．12-D ．124．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（ ） A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（ ）A B C ．23D ．126．当点()2,1P --到直线()()():131240l x y λλλλ+++--=∈R 的距离最大时，直线l 的一般式方程是（ ） A ．3250x y +-= B ．2310x y -+= C ．250x y ++=D ．2320x y -+=7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．138．如图，在四裬锥P ABCD -中，PA ⊥平面,90,ABCD BAD BC ∠=o ∥AD ，12,2PA AB BC AD Q ====是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为π3，若点M 是PC 中点，则四棱锥M ADQ -体积的最大值是（ ）A B ．43C D ．1二、多选题9．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为510．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,C AC l D αβ∈⊥∈，BD l ⊥，若2,AC AB BD CD ====，则（ ）A ．直线AB 与CD 所成角的余弦值为45o B ．二面角l αβ--的大小为60oC ．三棱锥A BCD -的体积为D ．直线CD 与平面β11．如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，则（ ）A ．当M 在平面1111D CB A 内运动时，四棱锥M ABCD -的体积是定值 B ．当M 在直线11AC 上运动时，BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M D ．若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN 的三、填空题12．已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A 、()0,0,1B 、()2,2,2C ，则点A 到直线BC 的距离为．13．一条光线从点(4,0)A -射出，经直线10x y +-=反射到圆22:(2)2C x y ++=上，则光线经过的最短路径的长度为．14．已知梯形CEPD 如图1所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．已知当点F 满足(01)AF AB λλ=<<u u u r u u u r 时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为．图1 图2四、解答题15．已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=. (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长. 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11AC 的中点.(1)求异面直线AE 与1B C 所成角的余弦值； (2)求三棱锥1A B CE -的体积.17．已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， (1)若圆心在直线20x y -=上，求圆的标准方程；(2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1:20x y -=的距离最小的圆的方程．18．如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：EF ∥平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的余弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.19．如图，在ABC V 中，,2,AC BC AC BC D ⊥==是AC 中点，E F ､分别是BA BC ､边上的动点，且EF ∥AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥P ACFE -；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正弦值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.。
江苏省盐城市东台市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024年秋东台市第一中学高二年级月考一数学试题（考试时间120分钟 总分150分）命题人：审题人：第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）1．经过，两点的直线的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．2．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ）A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定4．已知圆，圆，则两圆的公切线有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条5．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体。
”事实上，有很多代数问题可以转化可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）A ．B ．CD ．7．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过定点（）()1,3A -()1,1B -45︒60︒90︒135︒30xy +-=260x y -+=230x y +-=4290x y +-=290xy -+=290x y +-=4290x y -+=,a b 1ax by +=221x y +=(),P a b 221:1C x y +=()()222:3449C x y -+-=:l y kx =-2360x y +-=l ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭(),M x y (),N a b y =+3()1,0M -()1,0N 0x y m -+=P 0PM PN ⋅=m (][),22,-∞-+∞ (),-∞+∞[]2,2-⎡⎣22:1C x y +=P 240x y +-=P C ,PA PB ,A B ABA ．B ．C ．D ．二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列说法不正确的是（）A ．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B．不经过原点的直线都可以用方程表示C ．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件D ．直线的倾斜角的取值范围是11．设直线与圆，则下列结论正确的为（）A ．可能将的周长平分B ．若直线与圆相切，则C ．当时，圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1D ．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）12．已知，则P 点关于直线的对称点的坐标为______．13．两条平行直线和间的距离为，则的值分别为______．14．已知圆，从点向圆作两条切线，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为______；点到直线的最大距离为______．四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）已知的三个顶点为，，．（1）求边上的高的直线方程；11,42⎛⎫⎪⎝⎭11,24⎛⎫⎪⎝⎭⎫⎪⎪⎭⎛⎝l ()3,2-l 230x y +=320x y +=50x y --=10x y +-=1x ya b+=210a x y -+=20x ay --=1a =-sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭():4l y kx k =+∈R 22:4C x y +=l C l C k =1k =C l l C ,A B ABC △()2,1P :30l x y -+=Q 230x y -+=340ax y +-=d d ()()2200:4M x x y y -+-=()3,4N M ,NP NQ P Q π3PNQ ∠=M M 34250x y ++=ABC △()4,0A ()2,3B ()4,6C BC AD（2）求过点且与两点距离相等的直线方程．16．（本小题满分15分）已知圆的圆心在轴上，且经过点，．（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．17．已知圆．（1）若满足，求的取值范围；（2）若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求的取值范围；18．（本小题满分17分）已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于两点，为坐标原点．（1）求点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程；（3）当取得最小值时，求的面积．19．（本小题满分17分）．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为．（1）求点的轨迹方程；（2）若，求点的轨迹的方程；（3）过作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值．B AC 、C x ()1,0A -()1,2B C ()0,2P l C ,M N MN =l 22:2O x y +=,x y 222x y +=2y x+:2l y kx =-O ,A B AOB ∠k :20l ax y a -+-=P x y ,A B O P O l l PA PB ⋅AOB △A B 、λ0λ>1λ≠xOy ()1,0A ()2,0B -P 12PA PB=P 1C P PA AQ =Q 2C A 1l 2l Q 2C M N 、P Q 、MPNQ2024年秋东台市第一中学高二年级月考一数学答案第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）题号12345678答案CBBADADA二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）题号91011答案ACABCBCD第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分）．12．1314．；14四、解答题：15．（本小题满分13分）．【解析】（1）由点的坐标，得直线的斜率，由，得直线的斜率，由点斜式方程得直线的方程为，整理得，所以边上的高的直线方程为．（2）由点的坐标，得线段的中点坐标为，①到直线的距离相等，而直线轴，于是直线的方程为；②到与直线平行的直线的距离也相等，而直线轴，此时所求直线方程为，所以过点且与距离相等的直线方程为和．16．（本小题满分15分）．【解析】（1）设的中点为，则，由圆的性质得，所以，得，()2,5-()()223416x y -+-=B C 、BC 633422BC k -==-AD BC ⊥AD 123AD BC k k =-=-AD ()2043y x -=--2380x y +-=BC AD 2380x y +-=A C 、AC E ()4,3,A C BE BE y ⊥BE 3y =,A C AC AC x ⊥2x =B ,A C 2x =3y =AB D ()0,1D CD AB ⊥1CD AB K K ⨯=-1CD K =-所以线段的垂直平分线方程是．设圆的标准方程为，其中，半径为，由圆的性质，圆心在直线上，化简得，所以圆心，，所以圆的标准方程为；（2）由（1）设为中点，则，得，圆心到直线的距离，①当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；②当直线的斜率存在时，设的方程，即，由题意得；故直线的方程为，即；综上直线的方程为或．17．（本小题满分15分）【解析】（1），令，即直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径解得或．即（2）设的坐标分别为，，将直线代入，整理，得，，，，即，当为锐角时，AB 10x y +-=C ()222x a y r -+=(),0C a ()0r r >(),0C a CD 1a =()1,0C 2r CA ==C ()2214x y -+=F MN CF l ⊥FM FN ==C l 1d CF ===l l 0x =1CF =l l 2y kx =+20kx y -+=d 34k =-l 324y x =-+3480x y +-=l 0x =3480x y +-=22:2O x y +=2y k x+=:20l kx y --= l O ∴()0,0O l r =d =≤1k ≤-1k ≥][()2,11,y x+∈-∞-+∞ ,A B ()11,x y ()22,x y :2l y kx =-222x y +=()221420k x kx +-+=12241k x x k ∴+=+12221x x k =+()()224810k k ∆=--+>21k >AOB ∠()()1212121222OA OB x x y y x x kx kx ⋅=+=+--，解得，又，或．故的取值范围为．（用几何法同样得分）18．（本小题满分17分）【解析】（1）直线，整理可得：，可得直线恒过；（2）要使点到直线的距离最大，则，可得，即到直线的距离两边平方可得：，整理得，所以，所以，即．（3）由题意，直线的截距均不为0，由题意和（1）可得，，且、，因为，所以，，所以，仅当时等号成立，所以时取最小值，当，则，，此时的面积为；当，则，，此时的面积为；()()22121226212401k kx x k x x k-=+-++=>+23k <21k >1k <<-1k <<k ()(1- :20l ax y a -+-=()120a x y --+=()1,2P O l OP l ⊥OP ==O l d 224451a a a -+=+()22441210a a a ++=+=12a =-15022x y --+=250x y +-=2,0a A a -⎛⎫⎪⎝⎭()0,2B a -0a ≠2a ≠()1,2P PA ==PB ==124PA PB a a ⎛⎫⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭1a =±1a =±PA PB ⋅1a =()1,0A -()0,1B AOB △121a =-()3,0A ()0,3B AOB △92所以的面积为或．19．（本小题满分17分）【解析】（1）设点，化简可得．（2）设点，，由（1）点满足方程：即 代入上式消去可得的轨迹方程为．（3）设圆心到直线，的距离分别为，则当且仅当时，等号成立因此，四边形面积的最大值为7．AOB △1292(),P x y =()2224x y -+=(),Q x y ()00,P x y P ()202024x y -+=PA AQ= ()()001,1,x y x y ∴--=-0011x x y y-=-⎧⎨-=⎩002x xy y=-⎧∴⎨=-⎩Q 224x y +=O 1l 2l 12,d d 222121d d OA +==12S MN PQ =⋅==()()()22121222448817d d d d ≤-+-=-+=-=12d d =MPNQ。
四川省南充市白塔中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
四川省南充市白塔中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．()()123322a b c a b c +----= （）A ．542a c--B ．5422a b c-+-C ．53722a b c-++D ．59522a b c-+-2．在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是（）A ．必然事件B ．随机事件C ．确定事件D ．不可能事件3．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A ．对立B ．相等C ．相互独立D ．互斥但不对立4．已知空间向量()1,3,5a =- ，()2,,b x y = ，且//a b，则x y -=（）A ．16-B ．16C ．4D ．4-5．若{},,a b c构成空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A ．2,,2b c b b c+- B ．,2,2a a b a b+-C ．,,a b a b c+- D ．,,a b a b c c+++ 6．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是16，14，13，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为A ．3172B ．712C ．2572D ．15727．已知向量()4,3,2a =- ，()2,1,1b = ，则a 在向量b上的投影向量为（）A ．333,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,244⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．333,,422⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,2,28．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =O 为BC 的中点，M 为棱11B C 上的动点，N 为棱AM 上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的取值范围为（）A ．⎣B ．,27⎢⎣⎦C ．,47⎢⎣⎦D ．二、多选题9．已知事件A ，B ，且()0.4,()0.3P A P B ==，则（）A ．如果B A ⊆，那么()0.3P AB =B ．如果B A ⊆，那么()0.4P A B = C ．如果A 与B 相互独立，那么()0.7P A B ⋃=D ．如果A 与B 相互独立，那么()0.42P AB =10．下列事件中，,A B 是相互独立事件的是（）A ．一枚硬币掷两次，A =“第一次为正面”，B =“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A =“第一次摸到白球”，B =“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A =“出现点数为奇数”，B =“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，A =“出现点数为奇数”，B =“出现点数为偶数”11．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，且π3APD APC DPC ∠=∠=∠=，2,3PA PC PD ===，G 为PCD △的重心，M 为BG 的中点．若,BG mPA nPC pPD PT PD λ=++=，则下列结论正确的是（）A ．13m n p ++=-．B ．5PM =C ．若14λ=，则向量,,PM AD GT 共面D ．若BG GT ⊥ ，则16λ=三、填空题12．设向量()1,,3a m = ，()4,1,0b =- ，若a b ⊥，则m =.13．袋中有红球､黑球､黄球､绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，则得到黄球的概率是.14．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，26AB BC ==，PC PD ⊥，PC PD =，点O 是CD 的中点，则线段PB 上的动点E 到直线AO 的距离的最小值为.四、解答题15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACB ∠为直角，侧面11BCC B 为正方形，2BC =，C 1A =.(1)求证：1⊥BC 平面1AB C ；(2)求直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.16．平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，M 为BD 中点，P 为1BB 中点，设AB a=，AD b = ，1AA c = ；(1)用向量a ，b ，c 表示向量PM，并求出线段PM 的长度；(2)请求出异面直线PM 与1AC 所成夹角的余弦值.17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12BC CC M N P ==，，，分别是11CC AB BB ，，的中点.(1)求点M 到平面PCN 的距离.(2)在线段1BB 上是否存在一点Q ，使1AB ⊥平面1A MQ ？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，也请说明理由.18．某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B 类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A 类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B 类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.(1)求小明在第一轮得40分的概率；(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？19．如图①所示，长方形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -．(1)求四棱锥P ABCM-的体积的最大值；(2)若棱PB的中点为N，求CN的长；(3)设P AM D--的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值．。
湖南省常德市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
湖南省常德市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．直线3210x y +-=的一个方向向量是（ ） A ．()2,3-B ．()2,3C ．()3,2-D ．()3,22．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若2156OM OA OB OC λ=++u u u u r u u u r u u u r u u u r，则A ，B ，C ，M 四点共面的充要条件是（） A ．1730λ=B ．1330λ=C ．1730λ=- D ．1330λ=-3．直线l 过圆C ：22650x y y +-+=的圆心，并且与直线20x y ++=垂直，则直线l 的方程为（ ）A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=4．在四面体P ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直且相等，E 是AB 的中点，则异面直线AC 和PE 所成角为（ ） A ．3π B ．4π C ．23π D ．6π 5．两条平行直线230x y -+=和340ax y -+=间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ）A ．6a =，d =B ．6a =-，dC ．6a =-，d =D ．6a =，d =6．已知两点A (3，2)和B (－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则实数m 的值为（ ）A ．－6或12B ．－12或1C ．－12或12D ．0或127．空间直角坐标系O xyz -中，经过点()000,,P x y z ，且法向量为(),,m A B C =u r的平面方程为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=，经过点()000,,P x y z 且一个方向向量为()(),,0n μυωμυω=≠v的直线l 的方程为000x x y y z z μυω---==，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3570x y z -+-=，经过()0,0,0的直线l 的方程为321x y z==-，则直线l 与平面a 所成角的正弦值为（ ）A B C D 8．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（ ） A ．(4][4)-∞-⋃+∞，， B ．(22)-，C ．3[8]2-， D ．(4)+∞，二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=10．已知()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -，()1,2,4P ，则下列说法正确的有（ ）A ．AB u u u r与AC u u u r 夹角的余弦为12B ．ABC V 的面积为C ．平面ABC 的一个法向量()1,1,1n =rD ．四面体P ABC -的体积为7311．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝60°，将△ABD 沿对角线BD 翻折到△PBD 位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45°B ．存在某个位置，使得PB ⊥CDC ．当二面角P ﹣BD ﹣C 的大小为90°时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC三、填空题12．已知空间向量,,a b c r r r 两两夹角均为60o ，其模均为1，则2a b c +-=r r r .13．已知直线():22l y k x =-+，当k 变化时，点()1,2P -到直线l 的距离的取值范围是. 14．平面直角坐标系上有(1,1),(3,0)A B 两点，直线l 的方程为280x y +-=，直线l 上有一点P ，PA PB +最短，则P 点的坐标为 .四、解答题15．已知(),4,1a x =r ，()2,,1b y =--r ，()3,2,c z =-r ，//a b r r ，b c ⊥r r，求：(1)a r ，b r，c r ；(2)a c +r r 与b c +r r夹角的余弦值.16．已知直线:3260l x y --=.（1）若直线1l 过点()1,2M -，且1l l ⊥，求直线1l 的方程； （2）若直线，且直线2l 与直线l 之间的距离为13，求直线2l 的方程.17．已知ABC V 的顶点()2,8C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++=. (1)求顶点A 和B 的坐标； (2)求ABC V 外接圆的一般方程.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ．2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点（Ⅰ）求证：//DM平面PAB．（Ⅱ）是否存在点E，使得二面角P DE B--的余弦值为23？若存在，求出线段BE的长度；若不存在，说明理由．19．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合(如图所示).将矩形折叠，使点A落在线段DC上．（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程;（2）当20k-≤时，求折痕长的最大值．。
山东省青岛市西海岸三校联考2024-2025学年高二10月月考数学试题
山东省青岛市西海岸三校联考2024-2025学年高二10月月考数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和为33nn S =+，则5a =（）A ．162B ．81C ．243D ．4862．某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（）A ．110分B ．115分C ．116分D ．120分3．从2名男生和2名女生中任选2人参加某项社会公益活动，则选出的2人中至少有1名女生的概率是（）A ．12B ．23C ．34D ．564．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，公差0d <，573a a =．若n S 取得最大值，则n 的值为（）A ．6或7B ．7或8C ．8或9D ．9或105．在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若52b =，则111219222log log log b b b +++ 等于（）A ．5B ．5-C ．9D ．9-6．已知甲袋中有标号分别为1,2,3,4的四个小球，乙袋中有标号分别为2,3,4,5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件A 表示“第一次取出的小球标号为3”，事件B 表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件C 表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件D 表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（）A ．A 与C 相互独立B ．A 与B 是对立事件C ．C 与D 是对立事件D ．B 与D 相互独立7．已知公差非零的等差数列{}n a 满足38a a =，则下列结论正确的是（）A ．110S =B ．*11()110N n n S S n n -=≤≤∈,C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥8．正项等比数列{a n }中，存在两项,m n a a (m ，n *N ∈)使得2116m n a a a =，且7652a a a =+，则1m +25n的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8二、多选题9．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失，2011~2020年每年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法不正确的是（）A ．自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加B ．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年C ．2018年上半年的票房收入增速最大D ．2020年上半年的票房收入增速最小10．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()11nn n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（）A ．21n a n =-B ．当n 为奇数时，2322n T n n =-+-C ．2284n T n n=+D ．数列910nn a ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的最大项为第10项11．已知函数{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，111,22,n n n a n a a n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，则（）参考公式：公比1q ≠的等比数列{}n a 的前n 项和为()111n n a q S q-=-.A ．{}2n a 为等比数列B ．202420232a a ->C ．20242015S <-D ．202420252S S -<三、填空题12．已知数列满足12a =，若122n n S a +=+，则的通项公式为.13．若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是.14．已知数列{}n a 满足132a =，()2*11n n n a a a n +=-+∈N ，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，设x ∈R ，[]x 表示不大于x 的最大整数.则[]2023S =.四、解答题15．（1）统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于80分的频率为0.60.估计该班学生数学成绩的平均分和中位数；（2）已知事件A ，B 相互独立，试证明它们的对立事件A ，B 相互独立.16．已知数列各项均为正数，且12a =，221122n n n n a a a a ++-=+.(1)求的通项公式；(2)记数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项的和为n S ，求n S .17．某中学高二年级开设五门大学先修课程，其中属于数学学科的有两门，分别是线性代数和微积分，其余三门分别为大学物理，商务英语以及文学写作，年级要求每名学生只能选修其中一科，该校高二年级600名学生各科选课人数统计如下表：选修课程线性代数微积分大学物理啇务英语文学写作合计选课人数180x120y60600其中选修数学学科的人数所占频率为0.6，为了了解学生成绩与选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行分析.(1)求x 和y 的取值以及抽取的10人中选修商务英语的学生人数；(2)选出的10名学生中恰好包含甲乙两名同学，其中甲同学选修的是线性代数，乙同学选修的是大学物理，现从线性代数和大学物理两个学科中随机抽取3人，求这3人中正好有甲乙两名同学的概率.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a >，且11122n n n n n n a S a S a a +++-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()122121n n n n a a b +=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：13n T <.19．定义：从数列{}n a 中随机抽取m 项按照项数从小到大的顺序依次记为12,,,m k k k a a a ()12m k k k <<< ，将它们组成一个项数为m 的新数列{}n b ，其中()1,2,,i i k b a i m == ，若数列{}n b 为递增数列，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”；(1)已知数列{}n a 满足42,1,3,52,2,4,6n n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，数列{}n b 是{}n a 的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的{}n b ﹔(2)已知数列{}n a 是项数为m 的等比数列，其中3m ≥，若数列{}n b 为1，16，81，求证：数列{}n b 不是数列{}n a 的“3项递增衍生列”；(3)已知首项为1的等差数列{}n a 的项数为14，且141105i i a ==∑，数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”，其中114m ≤≤．若在数列{}n b 中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m 的最大值．。
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鹿泉一中2016—2017学年度第一学期10月月考试卷
高二理科数学
第I卷
一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( ) A．7 B．15 C．25 D．35
2、命题“对任意，都有”的否定为（）
A、对任意，都有
B、不存在，都有
C、存在，使得
D、存在，使得
3、从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球，那么事件“至少有一个白球”的互斥事件（）
A至多一个白球 B至少有一个红球 C都是红球 D恰有2个白球
4．已知椭圆的方程为，则此椭圆的长轴长为（）
A. 8
B. 4
C. 6
D. 3
5、若是的充分不必要条件，则是（）条件。
A、充分不必要
B、必要不充分
C、充要
D、既不充分也不必要
6、如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，
则x，y的值分别为( )
A．2, 5 B．5, 5 C．5, 8 D．8, 8
7.总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）
A.08
B.07
C.02
D.01
8、已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）
A．4 B．5 C．7 D．8
9、如果执行如图所示的程序框图，输出的S＝110，那么判断框内应填入的条件是( )
A．k＜10? B．k≥11?C．k≤10? D．k＞11?
10、设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P 到椭圆左焦点的距离为（）
A．4 B．3 C．2 D．5
11．下列说法错误
．．的是（）
A．命题“若则”的逆否命题为：“若,则”．
B．“”是“”的充分不必要条件．
C．若且为假命题，则、均为假命题．
D．命题：存在使得．则：任意，均有．
12、有三个兴趣小组，甲乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）
A B C D
13、在区间上随机选取一个数X,则X≤1的概率为（）
A B C D
14、已知点P为椭圆 (a>b>0)上一点，F1、F2分别为其左、右焦点，且PF1⊥PF2 , ∠PF1F2=30。
则e= ( )
A、B、C、D、
第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
15、把二进制数1010化为十进制数为。
16、某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y＝b x＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为。
17、在区间上随机取一个实数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率
为。
18、过椭圆 (a＞b＞0)的左顶点A作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B.若AM＝MB，则该椭圆的离心率为__________．
三、解答题：共60分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
19.（分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
(1)求图中的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数()之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数。
20.（12分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点.（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设点，若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
21、（12分）已知命题p：函数f(x)＝(2a－5)x是R上的减函数；命题q：在x∈(1,2)时，不等式x2－ax＋2<0恒成立，若p∨q是真命题，求实数a的取值范围．
22、（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点、的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线l:y=x+1与C交于A、B两点。
（1）求C的方程。
（2）求的面积。
23．（12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班身高不低于173cm的同学中随机抽取两名,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
鹿泉一中2016—2017学年度第一学期10月月考
高二理科数学答案
一、选择题：BDCAB CDDCA CABB
二填空题：
15、10 16、 65.5万元 17、 18、
三、解答题
19.(12分)解：(1)。
(2)平均分为。
(3)数学成绩在内的人数为人，数学成绩在外的人数为人。
答：(1)；(2)这100名学生语文成绩的平均分为；(3)数学成绩在外的人数为人。
20.（12分）解：(1)由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴. 又椭圆的焦点在轴上, ∴椭圆的标准方程为.
(2)设线段的中点为,点的坐标是，
由，得，由点在椭圆上,得,
∴线段中点的轨迹方程是.
21.（12分）解：p：∵函数f(x)＝(2a－5)x是R上的减函数∴0<2a－5<1，故有<a<3.
q：由x2－ax＋x<0得ax>x2＋2，∵1<x<2，且a>在x∈(1,2)时恒成立，又∈[，3]，∴a≥3.
p∨q是真命题，故p真或q真，所以有<a<3或a≥3.
所以a的取值范围是a>.
22、（12分）解：1）据题意可知点P的轨迹为椭圆，设所求椭圆方程为：(a>b>0)，则
，所椭圆方程为：
设点O到直线l的距离为d,则：，，
联立方程组：得：
由弦长公式得：
23. （12分）解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于
之间。
因此乙班平均身高高于甲班;
(2)
甲班的样本方差为
＝57 （3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）
（181，178）（181， 179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）
(178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；
；。