数学必修4人教A教案导学案：任意角(教、学案)

1. 1.1任意角一、教材分析“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念，它又是学好本章教学内容的关键。

它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础上，进行的推广。

它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。

并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。

二、教学目标1.理解任意角的概念；2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。

三、教学重点难点1．判断已知角所在象限； 2．终边相同的角的书写。

四、学情分析 五、教学方法1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课. 2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备七、课时安排：1课时 八、教学过程 （一）复习引入：1．初中所学角的概念。

2．实际生活中出现一系列关于角的问题。

（二）新课讲解：1．角的定义：一条射线绕着它的端点O ，从起始位置OA 旋转到终止位置OB ，形成 一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。

说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α． 2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。

说明：零角的始边和终边重合。

3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

例如：30,390,330- 都是第一象限角；300,60-是第四象限角。

（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

例如：90,180,270等等。

说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”。

因为x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。

4．终边相同的角的集合：由特殊角30 看出：所有与30 角终边相同的角，连同30角 自身在内，都可以写成30360k +⋅()k Z ∈的形式；反之，所有形如30360k +⋅()k Z ∈的角都与30角的终边相同。

从而得出一般规律：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈ ，即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。

5．例题分析：例 1 在0 与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1）120-（2）640 （3）95012'-解：（1）120240360-=-，所以，与120-角终边相同的角是240，它是第三象限角； （2）640280360=+，所以，与640 角终边相同的角是280角，它是第四象限角； （3）95012129483360''-=-⨯，所以，95012'-角终边相同的角是12948'角，它是第二象限角。

例2 若3601575,k k Z α=⋅-∈ ，试判断角α所在象限。

解：∵3601575(5)360225,k k α=⋅-=-⋅+ (5)k Z -∈ ∴α与225终边相同， 所以，α在第三象限。

例3 写出下列各边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式360720β-≤≤ 的元素β 写出来： （1）60； （2）21-； （3）36314'．解：（1）{}|60360,S k k Z ββ==+⋅∈ ，S 中适合360720β-≤≤ 的元素是601360300,60036060,601360420.-⨯=-+⨯=+⨯=（2）{}|21360,S k k Z ββ==-+⋅∈，S 中适合360720β-≤≤的元素是21036021,211360339,212260699-+⨯=--+⨯=-+⨯=（3）{}|36314360,S k k Z ββ'==+⋅∈S 中适合360720β-≤≤ 的元素是36314236035646,363141360314,36314036036314.''-⨯=-''-⨯=''+⨯=（三）反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。

（课堂实录） （四）发导学案、布置预习。

九、板书设计 十、教学反思以学生的学习为视角，可以对这节课的教学进行如下反思：（1）学生对课堂提问，回答是否积极？学生能否独立或通过合作探索出问题的结果？（2）学生处理课堂练习题情况如何？可能的原因是什么？（3）教学任务是否完成？下面我们着重分析一下提问的效果。

在回答教学设计中的各项提问时，大多数学生存在一定困难，特别是“问题1：任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα的近似值．”和“问题5：现在，角的范围扩大了，由锐角扩展到了0°~360°内的角，又扩展到了任意角，并且在直角坐标系中，使得角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境中，你认为，对于任意角α，sin α怎样定义好呢？”对于问题1，除了由于时间久而遗忘有关知识外，学生不熟悉独立地由一个锐角α，构造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因，他们更习惯于在给定的直角三角形中解决问题。

对于问题5，教师强调“在坐标系下怎么样？”后，有学生开始尝试回答。

这说明这个问题要求的思维概括水平较高，学生仅利用锐角三角函数的有关知识，难以形成当前研究任意角三角函数的思想方法。

因此，教师必须要提供必要的脚手架。

在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!十一、学案设计(见下页)1.1.1任意角课前预习学案一、预习目标1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；3、能用集合和数学符号表示象限角；4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角. 二、预习内容1．回忆：初中是任何定义角的？一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。

旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o ” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？2.角的概念的推广： 3．正角、负角、零角概念 4.象限角思考三个问题：1.定义中说：角的始边与x 轴的非负半轴重合，如果改为与x 轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？（1）4200； （2）-750； （3）8550； （4）-5100. 5.终边相同的角的表示 三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角a 终边相同的角（包括角a ）的表示方法； 学习重难点：重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。

难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。

二、学习过程例1. 例1在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2.写出终边在y 轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.（三）【回顾小结】 1.尝试练习（1）教材6P 第3、4、5题.（2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。

注意: （1）k Z ∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍.2.学习小结(1) 你知道角是如何推广的吗? (2) 象限角是如何定义的呢?(3)你熟练掌握具有相同终边角a 的表示了吗? (四)当堂检测1．设第一象限的角｝＝锐角｝，的角｝　小于{G {F 90{o ==E ，，那么有（）．A ．B ．C ．（） D ．2．用集合表示：（1）各象限的角组成的集合． （2）终边落在轴右侧的角的集合．3．在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）；（2）；（3）．3.解：（1）∵∴与 角终边相同的角是角，它是第三象限的角；（2）∵∴与 终边相同的角是，它是第四象限的角；（3）所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角．课后练习与提高1. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？2. 下列命题正确的是： （ ）（A ）终边相同的角一定相等。

（B ）第一象限的角都是锐角。

（C ）锐角都是第一象限的角。

（D ）小于090的角都是锐角。

3. 若a 是第一象限的角，则2a -是第 象限角。

4.一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _．5.集合M ＝{α=k o90⋅，k ∈Z}中，各角的终边都在（ ） A ．轴正半轴上， B ．轴正半轴上，C ．轴或 轴上， D ． 轴正半轴或 轴正半轴上6.设，C ＝{α|α= k180o+45o,k ∈Z} ，则相等的角集合为_ _．参考答案1. 解：2小时40分=38小时，48038'180-=⨯-∴故分针走过的角为480。

2. C3. 一或三4.5. C6. _B ＝D ，C ＝E。