北师版九年级数学上册随堂练习：菱形的判定含答案

北师版九年级数学上册随堂练习：菱形的判定
一．填空题（共8小题，3*8=24）
1.如图，在▱ABCD中，AE是∠DAB的平分线，且交BC于点E，EF∥AB交AD于点F，则四边形ABEF一定是_______．
2.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是.(只填写序号)
3．如图，已知点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，AC的中点，当四边形ABCD的边至少满足条件：____________________时，四边形EFGH是菱形．
4.在▱ABCD中，AB＝5，AC＝6，当BD＝____时，四边形ABCD是菱形．
5．如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD.若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是.(填序号)
6．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是________(只填一个你认为正确的即可)．
7.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD还应满足的一个条件是________．
8.如图，剪两张对边平行且宽度相等的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是________．
二、选择题（共10小题，3*10=30）
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是()
A．AB＝AC B．AD＝BD
C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC
10．如图，要使▱ABCD为菱形，下列添加的条件正确的是（）
A．AC＝AD B．BA＝BC
C．∠ABC＝90°D．AC＝BD
11．图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是()
A．AD＝BC B．AC＝BD
C．AB＝CD D．AD＝CD
12．顺次连接四边形ABCD四条边的中点，所得的四边形是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是() A．平行四边形B．对角线相等的四边形
C．矩形D．对角线互相垂直的四边形
13.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有() A．AC⊥BD B．AB＝BC
C．AC＝BD D．∠1＝∠2
14.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是() A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60°D．∠ACB＝60°
15.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有() A．AC⊥BD B．AB＝BC
C．AC＝BD D．∠1＝∠2
16.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO.添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是()
A．AB＝AD B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO
17．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是()
A．AB＝BE B．BE⊥DC
C．∠ABE＝90°D．BE平分∠DBC
18.如图，在▱ABCD中，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是()
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．BD平分∠ABC D．AC＝BD
三．解答题（共7小题，46分）
19．(6分)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．
20.(6分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别在OA，OB，OC，OD的延长线上，且OA＝AE，OB＝BF，OC＝CG，OD＝DH.求证：四边形EFGH是菱形．
21.(6分)将四边形ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF，若AE∥CF且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC⊥EF，求证：四边形ABCD是菱形．
22．(6分)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，O是AC的中点，且AC⊥EF.求证：四边形AECF 是菱形．
23．(6分)如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD，△BCE，△ACF.
(1)四边形ADEF是什么四边形？为什么？
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？为什么？
(3)当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？
24．(8分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，
BE交AC于F，连接DF.
(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
25．(8分)如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：
(1)∠BOD＝∠C；
(2)四边形OBCD是菱形．
参考答案
1.菱形
2.③
3.AB＝CD(答案不唯一)
4.8
5.②
6.答案不唯一，如AC⊥BD或AB＝BC或BC＝CD等
7.AD＝BC
8.菱形
9-13DBABC
14-18BCBAD
19.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝BF，
∴AE＝CF，∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形
20.证明：∵OA＝AE，OB＝BF，∴EF＝2AB.
同理可得FG＝2BC，HG＝2CD，EH＝2AD.
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∴EF＝FG＝HG＝EH，
∴四边形EFGH是菱形
21.证明：(1)∵AE∥CF，∴∠E＝∠F，
在△ABE与△CDF ＝CF，E＝∠F，＝DF，
∴△ABE≌△CDF
(2)∵△ABE≌△CDF，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥EF，即AC⊥DB，
∴平行四边形ABCD是菱形
22.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，
∵O为AC的中点，∴OA＝OC，又∠AOE＝∠OCF，
∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴▱AECF是菱形
23.解：(1)四边形ADEF是平行四边形．理由如下：
由SAS可证△DBE≌△ABC≌△FEC，
∴AD＝AB＝EF，DE＝AC＝AF，
∴四边形ADEF是平行四边形
(2)AB＝AC≠BC时，四边形ADEF是菱形．理由：
由(1)得AD＝AB＝EF，DE＝AC＝AF，
当AB＝AC，则有AD＝DE，
此时平行四边形ADEF是菱形；
当AB＝AC＝BC，则点A，E重合，无意义
(3)∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在24.证明：(1)先证△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，再证△ABF≌△ADF，可得∠AFD＝∠AFB，进而得到∠AFD＝∠CFE
(2)∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵△ABC≌△ADC，
∴∠ACB＝∠ACD，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形
(3)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由：证△CBF≌△CDF，
∴∠CBF＝∠CDF，又∵BE⊥CD，∴∠EFD＋∠CDF＝90°，
∠BCD ＋∠CBF ＝90°，∴∠EFD ＝∠BCD
25.证明：(1)延长AO 到E ，
∵OA ＝OB ，
∴∠ABO ＝∠BAO ，
又∠BOE ＝∠ABO ＋∠BAO ，
∴∠BOE ＝2∠BAO ，
同理∠DOE ＝2∠DAO ，
∴∠BOE ＋∠DOE ＝2∠BAO ＋2∠DAO ＝2(∠BAO ＋∠DAO)即∠BOD ＝2∠BAD ，
又∠C ＝2∠BAD ，
∴∠BOD ＝∠C
(2)连接OC ，∵OB ＝OD ，CB ＝CD ，OC ＝OC ，
∴△OBC ≌△ODC ，
∴∠BOC ＝∠DOC ，∠BCO ＝∠DCO ，
∵∠BOD ＝∠BOC ＋∠DOC ，∠BCD ＝∠BCO ＋∠DCO ，
∴∠BOC ＝12∠BOD ，∠BCO ＝12
∠BCD ，又∠BOD ＝∠BCD ，∴∠BOC ＝∠BCO ，
∴BO ＝BC ，又OB ＝OD ，BC ＝CD ，
∴OB ＝BC ＝CD ＝DO ，∴四边形OBCD 是菱形。