伴随矩阵的性质及特殊矩阵的伴随矩阵
伴随矩阵的性质探讨
伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵的性质探讨第二章伴随矩阵的性质探讨伴随矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念，但教材中及大学学习中所给出的主要应用是在求方阵的逆矩阵上，而关于伴随矩阵本身的性质及其与原矩阵之间的关联，没有系统的讨论和研究．本文主要通过查找现有资料，整理归纳出伴随矩阵的一系列性质．主要研究内容：n阶矩阵A的伴随矩阵的行列式与秩；n阶矩阵A的伴随矩阵的可逆性，对称性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其与原矩阵的关联；伴随矩阵之间的运算性质以及各性质在题目中的综合应用．一．伴随矩阵的定义a11a21设Aij是ｎ阶矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n中元素a的代数余子式，称矩阵...annA11A12 (1)A21A22 (2) (3)为A的伴随矩阵． ...Ann相关内容：《高等代数》（王萼芳石生明版）定义９在一个ｎ阶行列式Ｄ中任意选定Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ），当Ｋ＜ｎ时，在Ｄ中划去这Ｋ行Ｋ列后余的元素按原来的次序组成的ｎ－ｋ级行列式M'称为Ｋ级子式Ｍ的余子式，其中Ｋ级子式Ｍ为选定的Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ）上的K2个元素按照原来的次序组成的一个Ｋ级行列式．（1）如果在M'前面加上符号......ik)(j1j2......jk)后称作Ｍ的代数余子式．二．伴随矩阵的性质a11a21A设...an1a12a22...a22............a1n A11a2nA* A12......ann A1nA21A22 (2) (3)...Ann2.1 伴随矩阵的基本性质定理2.1 ｎ阶矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（即A0），当A可逆时，，其中A*为A的伴随矩阵．设A*为A的伴随矩阵，则AA*A*A AE 证明：由行列式按一行（列）展开的公式0A..................aA kikj A,k1AA AA 0AE...A注：A可逆时，A*AA 1 证毕．2.2 伴随矩阵的行列式A*(i)若A可逆，则A0，由性质１得，AA*AE,两边同时取行列式得即AA*A，又A0, 则A*A（ii）若A不可逆，则A*A0 综上所述，A* A 证毕．2.3伴随矩阵的秩的性质研究矩阵的秩是矩阵的重要特征定义：设在矩阵A中有一个不等于0的ｒ阶子式Ｄ，且所有ｒ＋１阶子式（如果存在的话）全等于0，那么Ｄ称为矩阵A的最高阶非零子式，数ｒ称为矩阵A的秩，记做R(r)．求矩阵A1解：由A14的秩．84＝0，A的一个二阶子式8故R(A)2．定理2.3 n n矩阵A的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n.(《高等代数》王萼芳石生明版)若用R(A)表示矩阵A的秩,则有以下结论:设A是n阶矩阵,则R(A*)1,R(A)n;R(A)n1; R(A)n 1.证明:① R(A)n时,显然A0，由性质2知0,故R(A)n.② R(A)n1时,由定理知A0,性质1知AA*AE0, 即AA*0和A*的列向量全都为方程组AX0的解,又R(A)n1, 则其次方程组AX0的解向量组的和为n(n1) 1. 知A*的列秩为1,即R(A*) 1.i,j1,2,......n）③ R(A)n1,A*中任一元素A（都是0, ij因为A中不存在非零的n1阶子式,故R(A*)0. 证毕．2.4 伴随矩阵的伴随矩阵的性质为n阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,则有特别情况有:当n2时,（A*）*证明:()i)当A可逆时,A0;又由性质1AA*A*A AE知(两边同时左乘（A*）1A*(AA1) 1 A*(当A不可逆时,A0,(A*)*0.2.5 n阶矩阵的伴随矩阵的可逆性可逆的定义:n阶矩阵称为可逆的,如果有AB BA E.(E为单位矩阵)．伴随矩阵可逆性与原矩阵的可逆性有以下联系：性质５可逆的充分必要条件是A*可逆．证明：必要性．由性质１知，AA*A*A AE．若A可逆，则A非退化，即A0.（两边同时消去A,得由以上的可逆定义可知 A*是可逆的．充分性．即证A*可逆，则A可逆，此命题与其逆否命题＂若A不可逆，则A*也不可逆＂是等价的．由矩阵不可逆可知A0,则变为证明若A0,则A*0．这里我们用反正法．假设A*0,则A*可逆．由性质１知AA*AE０（两边同时右乘A*）有AA*(A*)1０得A＝0，所以A*=0，所以A*0与假设的A*0矛盾．故假设不成立，原命题成立．综上所述，A可逆的充分必要条件是A*可逆．证毕．2.6 n阶矩阵A的伴随矩阵的对称性对称定义：矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n为对称矩阵，如果a a，...anni,j1,2,......n，且有A A性质６．若ｎ阶矩阵A是对阵矩阵，则其伴随矩阵A*也为对称矩阵．证明如下：设为对称矩阵，可知A A,aij aji，且Aij Aji，可知A(A).即证得A*为对称矩阵．证毕．性质７．设A非退化，若A*为对称矩阵，则A也为对称矩阵．即证A A'．证明如下：A*对称可知A*(A*)'． A(A1)1(A [(A A'即A为对称矩阵．证毕．2.7 伴随矩阵 A*与原矩阵A的正定性之间的联系A)]((A))矩阵正定的定义：实对称矩阵A为正定的，如果二次型X'AX正定．又有，实二次型f x1,x2,......xn正定，如果对于任意一组不全为零的实数c2,都有f c1,c2,0性质８若ｎ阶矩阵A是正定的，则A*也是正定的．证明：因为A是正定的，所以存在可逆矩阵B，使得 B'AB E, 则(B'AB)*E*E'***'****'又（BAB）BA(B)BA(B)E由正定的定义知A*也是正定矩阵．证毕．2.8 伴随矩阵A*的正交性与其原矩阵n阶矩阵A的正交性的关系矩阵正交的定义：n 阶实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A E．性质9 若A为正交矩阵，则A*也为正交矩阵．证明：A为正交矩阵，知A'A E， A*(A*)'A*(A')*(A'A)*E* E 由正交的定义知，A*也为正交矩阵．证毕．2.9 伴随矩阵A*的特征值的性质性质10 设为n阶矩阵A（A可逆）的特征值，则其伴随矩阵A*的特征值1与的关系为1证明：设是A的特征值，是A的属于特征值A的特征向量．则有A两边同时左乘A*有A*A A*A*由性质１AA*AE知上式变为A A*得A*由A的特征值的性质可知证毕．即为A*的特征值．推广：性质11 若1，2，．．．．．．值，则其伴随矩阵的特征值为ｎ为ｎ阶矩阵A（A可逆）的特征，．．．．．．．（i1,2,......n）是A的特征向量）证明：由题意知有A i i i(i1,2,．．．．．．ｎ两边左乘A*，知A*A i A*i i 即A i iA i ，得为A*的特征值．，．．．．．．即A*的特征值是证毕．．（i1,2,......n）2.10 伴随矩阵的运算性质性质12 (A')*(A*)'.a21证明：设ｎ阶矩阵A...an1a12a22...a22............a1n a2n则 ...annA11A12 (1)A21A22 (2) (3)An1A11(A*)'21......Ann An1A12A22...An2...............Anna11a12'A (1)a21a22 (2)............an1A11(A')*21......ann An1A12A22...An2...............Ann其Aij(i,j1,2,......n)是A中元素aij的代数余子式，由结果分析知(A')*(A*)'．证毕．性质13 设A为n n1阶方阵，k为任意非零常数,则kA证明设A aij，，可知 kannA. kkn1A11n1性质14 (AB)*B*A* 证明：由性质１知，A*知(AB)*AB(AB)1ABB1A1AB*A1B*A* 证毕．......Am(m2)，则推广性质15 ｎ阶矩阵A1,A2，(A1,A2,......Am)(Am)(Am1)......A2A1,证明过程同性质１３的过程．推广性质16 (Am)*(A*)m 证明：令A1A2......Am A，则AA1A2......Am(A1A2......Am)(Am)(Am1)......A2A1(A)．性质１7 上（下）三角矩阵的伴随矩阵仍为上（下）三角矩阵.a11a21a n1a12a22an2,当i j时，aij0.直接计算得，ann证明设A aij n nA0,iA21A220, Ann则A*亦为上三角矩阵.同理可证，若A为下三角矩阵，则A*也为下三角矩阵. 证毕．性质18 若矩阵A与B合同，且A与B可逆，则A*与B*也合同.证明因为A与B合同，所以存在可逆矩阵P使PTAP B.又A与B可逆，则有 ,即CA1CT B 1.其中C P 1.又PTAP PA B,则PC AA1PC BB1,即QTA*Q B*,其中Q PC是可逆矩阵.故A*与B*也合同.三.伴随矩阵的性质在题目中的综合应用41 例3.1 设A00 求(A3E) 1 5040005001300 21 解：A3E0200A3E111 2 又(A3E)0000E1例3.2 设三阶实数矩阵A(A非退化)的特征值为11,24,3 1. 求①2(A1)23A* ②2A*A2的值.此题目应用知识:A1,f(A),A*与A的特征值的关系．解:由题目条件先知为A的特征值,则性质10可知，A*的特征值为为A1特征值,f()为f(A)的特征值．①设x为A的特征向量，则知Ax x，得（2A）x2x，3Ax3则(2(A1)23A*)x(又有A12,31(4)(1) 4. 然后将４代入()，得到式子(将1，2，3分别代入(*)得2(A1)2-3A*的特征向量分别是110，2②设x为A特征向量，则(2A*)x2所以(2A*A2)x(，可知(2A*)的特征值分别为９，１４，－７．故，2A*A2914（-7）-882．。
关于伴随矩阵性质的探讨
关于伴随矩阵性质的探讨1引言矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具．伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类，其理论和应用有自身的特点．设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n a a a a A 1111，()n j i 2,1,= 是A中元素ij a 的代数余子式，称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n A A A A A 1111*为A 的伴随矩阵[]1(176)P ．在大学本科的学习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究．本文分类研究了伴随矩阵的性质，并给出了证明过程，得到一系列有意义的结果．从而使高等代数中的重要概念——伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前．2伴随矩阵的性质2.1伴随矩阵的基本性质 性质1[]2(5253)P P - E A AA A A ==**性质2 若0=A ,则0*=AA . 性质3 1*-=n AA .证明 由性质E A AA =*得E A AA =*， 从而 nA A A =*，两边同时左乘1-A得1*-=n AA ，即为所证．2.2可逆性质性质4 若A 可逆，则1*-=A A A （或*11A A A--=）.证明 由性质1，E A AA =*两边同时左乘1-A 得E A A AA A 1*1--=，即 *111*A A AA A A ---==．性质5 若A 可逆，则*A 可逆且()A A A11*--=.证明 若A 可逆，即0,01*≠=≠-n AA A ，从而*A 可逆又有性质4得()()A A A A A1111*----==．性质6[3](124)P 若A 可逆，则()A A An 2**-=.证明 由性质1得()E A AA ****=，A 可逆，*A 也可逆，两边同时左乘()1*-A 得()()A AAA AA A A n n 2111****----===．性质7[4](181183)P P - 若A 可逆，则()()*11*--=A A .证明 由性质5得()A A A 11*--=, 由性质1得()E A A A 1*11---=. 两边同时左乘A 得()()1*1*1---==A A A A ．2.3运算性质性质8 若A 可逆，k 为非零常数，则()*1*A k kA n -=．证明 由性质1得()()E kA kA kA =*,两边同时左乘()1-kA 得()()()*111111*A k A A k A k A k kA kA kA n n n ------====．性质9 若,A B 均为n 阶可逆方阵，则()***A B AB =．证明 由已知条件可得0≠A ，0≠B ．从而可得0≠AB 也就是AB 可逆得()()()*11*11AB BAAB ABAB ----==，又因为()*1*1111A A B B A B AB -----==，由以上可得()***.AB B A =推论 若1321,,,,-t t A A A A A 均为同阶可逆矩阵,则()*1*2*3*1**1321A A A A A A A A A A t t t t --=．2.4特殊矩阵的伴随矩阵的性质性质10 若A 对称，则*A 亦对称．证明 因为A 是对称的，即,TA A =从而可得()()()()()**111*A A A A A A A A A TTTTT=====---,所以*A 是对称的．性质11 A 可逆，若*A 为对称矩阵，则A 为对称矩阵． 证明由题中所给条件可得()()()()T TT A A A A AA AA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===--------11*11*1111.性质12 单位矩阵E 和零矩阵O 的伴随矩阵均为本身，即00,**==E E ． 性质13 若A 可逆，则()()TT A A **=．证明 由性质1得()E A A A T T T=*，又由A 可逆，故T A 也可逆，两边同时左乘()1-T A 得()()()()()TTTT T T A A A A A A A A *111*====---．性质14 A 为n 阶反对称矩阵，则当n 为奇数时，*A 是对称矩阵；当n 为偶数时，*A 为反对称矩阵.证明 因()()*1*1A A n --=-,A A T -=由上一性质可知，()()()()*1***1A A A A n T T--=-==，所以，当n 为奇数时，()**A A T=，此时*A 是对称矩阵；当n 为偶数时，()**A A T-=，此时*A 是反对称矩阵．2.5伴随矩阵秩的性质性质14 设A 为n ()2≥n 阶方阵，证明 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r nA r n A r ．证明 当秩n A =时，即A 为非奇异时，由于01*≠=-n AA ,故*A 也是非奇异的,即秩 n A =*；当秩1A n =-时，有0A =,于是*0AA A E ==，从而，秩1*≤A ．又秩1A n =-,所以至少有一个代数余子式0,ij A ≠ 从而又有秩* 1.A ≥于是，秩*1.A =当秩1A n <-时, 0*=A ，即此时秩*0A =．性质15 设n 阶方阵A 是可逆的，那么*A 可表示为A 的多项式.证明 A 的多项式为()0111a a a f n n n ++++=--λλλλ ．因A 可逆，所以()010≠-=A a n由哈密顿－凯莱定理知()0=A f ，即00111=++++--E a A a A a A n n n ，故()E A E a A a A a n n n =+++----12111 ， 右乘*A ,得()*1211A E a A a A a A n n n =+++---- ， 故()()E a A a AA n n n n 12111*1+++-=---- ．2.6伴随矩阵特征值的性质性质16 若λ为n n A ⨯的一个特征值，则1A λ-为*A 的特征值．证明 由条件知，有非零向量X 满足X AX λ=．则111,X A X A X X λλ---==. 从而11A A X A X λ--=，*1A X A X λ-=，也就是1A λ-为*A 的一个特征值． 2.7自伴随矩阵定义 若*A A =,则称A 为自伴随矩阵.性质17[]5()15P 关于自伴随矩阵的性质：(1) 零矩阵，单位矩阵均为自伴随矩阵；(2) 两自伴随矩阵之积为自伴随矩阵的充分条件为两矩阵可换； (3) 若A 为自伴随矩阵,则()21≥=-n A An ；(4) 若A 为自伴随矩阵,则(1,2,)kA k =也为自伴随矩阵；(5) 若A 为非奇异自伴随矩阵,则1A -也为自伴随矩阵；(6) 若A 为自伴随矩阵，则TA 也为自伴随矩阵． 2.8 伴随矩阵的继承性性质18 设,A B 为n 阶矩阵，则有 （1）若A 与B 等价,则*A 与*B 也等价；（2）若A 与B 合同,且A 与B 可逆,则*A 与*B 也合同；证明 因为矩阵A 与B 合同,则存在可逆矩阵P ,使B AP P T =,又A 与B 可逆,则()1111----=B P A P T,即11--=B C A C T ,其中()TP C 1-=，又B A P =2,则()()11**--=B B C P A A CP T,即**B Q A Q T =,其中C P Q =是可逆矩阵，故*A 与*B 也合同．（3）若A 与B 相似,则*A 与*B 也相似；证明 当A 可逆时,因为A 与B 相似,则B A =,且存在可逆矩阵P ,使得B AP P =-1.又A 与B 可逆,上式两边取逆,得111---=B P A P ,则有()111---=BB P A A P,即**1B P A P =-,说明*A 与*B 相似.当A 不可逆时,由B AP P =-1知,B 也不可逆,所以必存在0>δ,当()δ,0∈t 时,使0,0≠+≠+B tE A tE ,令.,11B tE B A tE A +=+=那么0,011≠≠B A ,且()()PA PP A tE PAP P P tE P AP P tE B tE B 1111111-----=+=+=+=+=则又由,*11*1P A P B -=即()()P A tE P B tE *1*+=+-,上式两端矩阵的元素都是关于t 的多项式,由于当()δ,0∈t 时,对应的元素相等,所以对于任意t 上式都成立.取0=t 时,**1B P A P =-,即*A 与*B 相似.（4）若A 能相似对角化,则*A 也能相似对角化； （5）若A 是正交矩阵,则*A 也是正交的．证明 因为A 为正交矩阵,则E A A A T==,12,于是()()()()()()EE AA AA A AA A A A A A A A T T TTT======--------1111211211**故*A 也是正交矩阵．3 相关例题例1设A 为三阶矩阵,A 的特征值为1,3,5．试求行列式*2A E -． 解 因为135,A =⨯⨯由性质16知道,*A 的特征值分别为1553.，， 于是*2A E -的特征值分别为15213523,32 1.-=-=-=， 故*2133139A E -=⨯⨯=．例2 求矩阵A 的伴随矩阵*A ，其中110430103A -=-． 解 矩阵A 的特征多项式为：()25423-+-=-=λλλλλA E f因 020a =-≠,所以A 可逆.由性质知()()11302826541213*---=+--=-E A AA ．例３ 已知三阶矩阵A 的逆矩阵为1111121113A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,试求伴随矩阵*A 的逆矩阵.解 由性质５得()A A A11*--=，由()11A A --=用伴随矩阵法或初等行变换易求得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=2102101121125A ,又因为23111211111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-A，从而可得()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----===---101022125111*A A A A A .例4 若A ,B 均为偶数阶同阶可逆矩阵，且有相同的伴随矩阵，试证A B =.证明 由性质4得，1*-=A A A , 1*-=B B B ,可知11A A B B --=, 也就是11--=B B A A ,11n n A A B B --=, 由11n n AB --=（n 为偶数可得1n -为奇数）从而B A =.例5 已知三阶矩阵()33⨯=ij a A 满足条件:(1)()3,2,1,==j i A a ij ij ,其中ij A 是ij a 的代数余子式;（2）011≠a ，求A .解 由条件（1）和性质3知,T A A =*,则2*A A AA T===,所以0=A 或1=A .又0212132122111112121111≠++++=+++=n n n a a a a A a A a A a A ，故1=A ．参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京:高等教育出版，1988 [2] 同济大学数学教研室．线性代数3版[M]．北京：高等教育出版，1999 [3] 钱吉林，高等代数题解精粹[M]．北京：中央民族大学出版社，2002[4] 蔡剑芳，钱吉林，李桃生．高等代数综合题解[M].武汉：湖北科技出版社,1986 [5] 王航平，伴随矩阵的若干性质．中国计量学院学报[J].2004,03 [6] 张禾瑞，高等代数[M]．北京：人民教育出版社,1979 [7] 陈景良，陈向晖．特殊矩阵[M]．北京：清华大学出版社,2001 [8] 卢刚,线性代数2版[M].北京：高等教育出版社,2004 [9] 王品超，高等代数新方法[M]．济南：山东教育出版社,2001 [10] 扬子胥，高等代数习题解[M]．济南：山东科学技术出版社,2003 [11] Farkas L,Farkas M.线性代数及其应用[M]．北京：人民教育出版社,1981。
伴随矩阵
数学术语
01 定义
03 特殊求法
目录
02 性质 04 m重
在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵 和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对多维矩阵也存在这个规律。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并 且不需要用到除法。
定义
设矩阵，将矩阵的元素所在的第i行第j列元素划去后，剩余的各元素按原来的排列顺序组成的n-1阶矩阵所 确定的行列式称为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式。
方阵的各元素的代数余子式所构成的如下Байду номын сангаас阵 ： 该矩阵称为矩阵的伴随矩阵 。
性质
伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具，伴随矩阵的一些新的性 质被不断发现与研究。伴随矩阵的一些基本性质如下 ：
（1）可逆当且仅当可逆； （2）如果可逆，则 ； （3）对于的秩有： （4） ； （5） ； （6）若可逆，则 ； （7） ； （8）。 （9）AA = AA = |A|E
（2）当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。
（3）二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素变号 。
m重
设为n阶方阵，则称n阶方阵为的m重伴随矩阵 ，记为：，其中括号为m重。特别地，。
谢谢观看
特殊求法
（1）当矩阵是大于等于二阶时：
主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去 掉所在行列求行列式乘以，，为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始。主对角元素实际上是非 主对角元素的特殊情况，因为 =,所以，一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。
伴随矩阵的性质和应用
伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。
(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。
本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。
关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、 伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。
伴随矩阵的性质及其应用
伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。
(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m重伴随矩阵的相应的性质。
本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。
关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质1、伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。
伴随矩阵的性质及其应用
伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。
(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。
本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。
关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、 伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。
伴随矩阵的性质与应用_考研必看
( )
*
证明 (1) 当秩 ( A) = n 时 A A* = A
n
A ≠ 0 ，由于 AA* = A E ，两边同时取行列式，得 故秩 A* = n . A E得AA* = 0
所以 A* ≠ 0
( )
(2) 当秩 ( A) = n − 1时， A = 0 ，由 AA* =
从而可知 A* 的每一列都是方程组 AX = 0 的解向量,故由此可得 A* ≤ n − 秩( A) = 1 ， 又因为 所以
-2-
k n −1 A21 k n −1 A22 n −1 k A2 n
k n −1 An1 A11 n −1 k An 2 n −1 A12 =k A k n −1 Ann 1n
A21 An1 A22 An 2 n −1 * =k A A2 n Ann
n −1
(
)
*
(A
−1
−A
* *
)
1 * 1 1− A * = − 1 A* = = − A A A A A
*
*
(A )
* *
1− A = A
n −1
A
n−2
*
1.8 A*
( ) = (A )
T
T *
证明 由于 AA* = A* A = A E 所以 又
(A )
* T
AT AT
* T
( ) = (A )
*
* T
AT E = AT A*
* T T *
( )
T
= A A*
T T *
伴随矩阵的性质及其应用
摘要：伴随矩阵在矩阵中占有重要地位，因此，总结伴随矩阵的性质及其相关应用对学习线性代数有很大帮助。
本文就是带着这个目的出发，首先总结一下伴随矩阵的性质，然后用例子的形式来说明伴随矩阵的相关应用。
关键词：伴随矩阵；逆矩阵；行列式中图分类号：o151.2 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2015）36-0195-02设n阶方阵a=a的行列式a的各个元素的代数余子式a所构成的如下矩阵：a=称为矩阵a的伴随矩阵，简称伴随阵。
这个定义可以在文献[1]中找到。
由伴随矩阵的定义及转置矩阵的定义，很容易得到下面的性质：（a）=（a），其中，a表示矩阵a的转置矩阵。
由于矩阵ka的（i，j）元的代数余子式为：（-1）=ka，因此，（ka）=ka.由伴随矩阵的定义及矩阵的乘法运算马上有下面的性质成立：aa=aa=ae （1）其中e为n阶单位矩阵。
若n阶方阵a是非奇异的，即a≠0，此时矩阵a是可逆的。
由（1）得a=a=e结合逆矩阵的定义，有a=，即a=aa，其中a表示矩阵a的逆矩阵。
若n阶方阵a是非奇异的，此时矩阵a是可逆的，由（1）得a=a=e由矩阵逆的定义知：（a）= （2）同时对（1）两边同时取逆，根据逆矩阵的性质有：（a）a=即有（a）= （3）结合（2）、（3）得到伴随矩阵的如下性质：（a）=（a）若对（1）两边同时取行列式，由行列式的相关性质可得：aa=ae=a （4）对于（4）式，若a≠0，则有a=a若a=0，由（1）得，aa=o （5）此时假设a≠0，则矩阵a可逆，在等式（5）两边同时右乘（a）得a=o.由伴随矩阵的定义得a=o，从而有a≠0矛盾，于是有，若a=0必有a=0.居于以上分析，我们很容易得到下面的性质：a=a.设矩阵a为一n阶方阵，现总结其伴随矩阵的性质如下：（1）（a）=（a）；（2）（ka）=ka；（3） aa=aa=ae；（4）a=a.此外，若a还是可逆矩阵，则有如下性质成立：（5）a=aa；（6）（a）=；（7）（a）=（a）.下面举例来说明伴随矩阵性质的应用。
伴随矩阵的性质
编号2009011118毕业论文（设计）（ 2013 届本科）论文题目：伴随矩阵的性质学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：09级本科1班整理姓名：魏瑞继指导教师：俱鹏岳职称：副教授完成日期：2013年 4 月20日目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 ................... 错误!未定义书签。
摘要.. (2)关键词 (2)0引言 (2)1主要结论 (3)1.1伴随矩阵的基本性质 (3)1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (6)1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (7)1.4两伴随矩阵间的关系性质 (8)2应用举例 (9)例1 (9)例2 (10)结束语................................................... 错误!未定义书签。
参考文献 (10)致谢..................................................... 错误!未定义书签。
陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
整理签名：二〇一二年十二月二十日伴随矩阵的性质魏瑞继（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000）摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例.关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵0引言伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广.定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ⨯=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即ij A = (1)i j ij M +-(i,j=1,2,……,n).定义2[2] 方阵()ij n n A a ⨯=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为矩阵A 的伴随矩阵.1主要结论1.1伴随矩阵的基本性质性质1 若A 是n 阶方阵(2)n ≥,那么()r A *= (A)1(A)10(A)1n r n r n r n ⇔=⎧⎪⇔=-⎨⎪⇔<-⎩.证明 （1）⇒）设()r A n *=,设()r A n <,则0A =，AA A E *=0=由()r A n *=知A *为可逆矩阵，从而推得0A =，即A 为零矩阵.于是A *也为零矩阵，与()r A n *=矛盾，所以()r A n =;(2) ⇒）如果()1r A *=,则A *中至少有一个元素ij A ≠0，即A 中至少有一个1n - 阶子式不为0，故()1r A n ≥-.而r(A *) =1<n ，所以()1r A n =-;(3) ⇒）如果()0r A *=,即A *为零矩阵，而A *中元素均为A 中的1n -阶代数余子式，从而A 中的所有1n -阶子式全为0，所以()1r A n <-;性质2[4]若矩阵A 为非奇异阵，k 为常数（k ≠0），则1()n kA k A *-*=. 证明 由A *=1A A -及111()kA A k--=可得 111()()n kA kA kA k A A k*--==⋅=111n n k A A k A ---*=. 性质3 （1）无论A 是奇异阵还是非奇异阵，等式1n A A-*= (2n ≥)成立[5]; （2）设A 为n 阶方阵，则2()n A A A -**=[6].证明 （1）当A 是奇异阵时，0A =，因为A *=1A A -0=为零阵.所以 10A A A *-==，从而等式1n A A -*= (2n ≥)成立.当A 是非奇异阵时，0A *≠，由AA A E *=得n A A A E A *==.所以 1n A A -*=（2n ≥）.（2）当A ≠0时，()A **=111()()n A A A A --*-*==121()n n A A A A A ---=. 当A =0时，知()1r A n ≤-，若()1r A n =-，则()11r A n *=<-.由性质1知r (()A **)=0,从而()A **=0=2n AA - 若()1r A n <-，则r(A *)=0，即A *=0故()A **=0=2n A A -.性质4 设A ，B 为n 阶方阵，则()AB B A ***=.证明 （1）当0A ≠，B ≠0时，由A *=1A A -可得()AB *=11111()AB AB A B B A B B A A B A -----**===.（2）当0A =，B =0时，令()A x xE A =+，()B x xE B =+只要x 充分大，()A x ，()B x 都可逆，所以(()())(())(())A x B x B x A x ***=上式两端矩阵中的元素都是关于x 的多项式，由于两端对应元素相等，所以对应元素是相等的多项式，即上式对任意的x 都成立.特别的取x =0，即得()AB B A ***=.推论 设12,,,s A A A 均为n 阶方阵，则1221()s s A A A A A A ****=.性质5 设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则有220(1)A B 0A 0(1)A 0n n B B ***⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 证明 因为-1-10A 0B 0A0B ⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-1-1AA 00B B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=00n n E E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2n E 所以0A 0B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可逆，且-10A 0B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-1-10B A 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 又有220A 0=(1)=(1)A 00An n B B B -- 由-1A =A A *可得0A 0B *⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-10A 0A 00B B ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=2-1-10B (1)A A0n B ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ =22-1-10(1)A B (1)A A 0n n B B ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=220(1)A B (1)A 0n n B **⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 推论 设A ，B ，C 均为n 阶可逆矩阵，则有 22200(1)A C 00A 000(1)A C B 000(1)C A 00n n n B B C B ****⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 性质6[4] 若A 为n 阶方阵，则()()T T A A **=.证明 (1)当A 为非奇异矩阵时，有A ≠0，T A =A ≠0，10n A A-*=≠即T A ，A *也为非奇异阵.由A *=1A A -可得11()()()T T T A A A A A *--==又 11(A )=A (A )=A (A )T T T T *--因为11A (A )=A A =T T T T E E --=（）所以1(A )T -=1A T -（） 即(A )T *=A T *（）.(2)当A 为奇异阵时，设A = 111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则T A 的第i 行第j 列元素为ij a ，()T A *的第i 行第j 列元素为ij A ，A *的第i 行第j 列元素为ji A ，()T A *的第i 行第j 列元素为 ij A (i,j=1,2,……,n )，所以()T A *= ()T A *.性质7 (1)设A 是n 阶非奇异阵，则111()()A A A A-**-== ; (2)设A 是n 阶非奇异阵，则111()()T T T A A A A*--*⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦. 证明 (1)由A *= 1A A -得 1111111()()()A A A A A A A*-----=== 又11111()()A A A A A-*---== 所以11()()A A -**-= =1A A . (2)由性质6得11()()TT A A *--*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦由(1)得11()()T T A A -**-⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦. 又因为11()()T T T T A A A A E E --===, 所以11()()T T A A --=11()()T T A A -*-*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦即1-1()()T T A A *-*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦ 又11111111()()()()T T T T T A A A A A A A*-------⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 所以111()()T T T A A A A*--*⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦. 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质性质8 若A 是可逆矩阵，λ是其特征值，α是A 的属于特征值λ的特征向量，则 A *的特征值为Aλ，α是A *的属于特征值Aλ的特征向量.证明 因为A 是可逆矩阵，所以λ≠0，在A αλα=两边左乘A *得A A A αλα**= 即 A A A αλα**=. 又AA A E *=， 所以 A E A αλα*= 即1A A A E αλααλ*-==. 所以A λ为A *的特征值，α是A *的属于特征值A λ的特征向量.性质9 设A 是不可逆矩阵，若λ是A 的非零特征值，α是A 的属于λ的特征向量， 则α是A *的属于特征值0的特征向量.证明 由条件可知A αλα=(λ≠0)，两边左乘A *得A A A αλα**= 即A E A αλα*=. 由于A =0，λ≠0，所以0A αα*=⋅即α是A *的属于特征值0的特征向量.推论 设A 是不可逆矩阵，若λ是A *的非零特征值，α是A *的属于λ的特征向量， 则α是A 的属于特征值0的特征向量.1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质性质10[7] (1)若A 是n 阶对称矩阵，那么A *也是n 阶对称矩阵；(2)若A 是n 阶反对称矩阵，那么当n 是偶数时，A *也是n 阶反对称矩阵；当n 是奇数时，A *是n 阶对称矩阵.证明 (1)因为A 是n 阶对称矩阵，所以T A =A .又()()T T A A A ***==，所以A *是n 阶对称矩阵.(2)因为A 是n 阶反对称矩阵，所以T A =A -.又1()()()(1)T T n A A A A ***-*==-=-当n 是偶数时，有1(1)n A A -**-=-，所以A *也是n 阶反对称矩阵；当n 是奇数时，有1(1)n A A -**-=，即()T A A **=，所以A *是n 阶对称矩阵.性质11[8] 若A 是n 阶正定矩阵，则A *也是n 阶正定矩阵 .证明 若A 正定，则A 为对称矩阵，由性质10知A *也为对称矩阵.其次可得A 的所有特征值λ均大于0，由性质8知A *的所有特征值也大于0，即A *为正定矩阵.性质12[9]若A 是正交矩阵，则A *也是正交矩阵 . 证明 设A 是正交矩阵，则有T T A A AA E ==又A *()T A *= 1()()T T A A A A E E E E ****-====所以A *也是正交矩阵.性质13 若A 是上(下)三角矩阵，则A *也是上(下)三角矩阵.证明 设A =()ij a 是上三角矩阵，则当i>j 时，有ij a =0.当i<j 时，ij a 的余子式ij M 为n-1阶的三角行列式，且主对角线上的元素至少有一个为零，所以ij M =0(i<j)，即有ij A =0(i<j).故A *也为上三角矩阵.同理可证，若A 是下三角矩阵，则A *也为下三角矩阵.推论 当A 是对角矩阵时，A *也是对角矩阵.1.4两伴随矩阵间的关系性质性质14 若方阵A 等价于B ，则A *等价于B * .证明 因为A 等价于B ，则存在可逆矩阵P ，Q 使得PAQ B =两边取伴随矩阵得()PAQ B **=即有Q A P B ****=.因为P ,Q 可逆，所以P *，Q *也可逆，因此A *等价于B *.性质15[10] 若A 与B 相似，则A *与B *也相似.证明 当A 可逆时，因为A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP -=B . 两边取行列式得A B =，所以B 也可逆，即111P A P B ---=. 上式两边分别乘以,A B 得111P A A P B B ---=.即1P A P B -**=，所以A *与B *相似.性质16 若A 与B 合同，且A 与B 可逆，则A *与B *也合同.证明 因为A 与B 合同，所以存在可逆矩阵P ，使得T P AP B =.又A 与B 可逆，上式两边取逆，得 1111()T P A P B ----=即1111()T P A P B ----=.令1()T P -=C ，则1T P C -=，所以11T C A C B --=.又由1111()T P A P B ----=得 2P A B ⋅= 所以211T P A C A C B B --⋅= 即()()T P C A P C B **⋅=.令Q=P C ，则T Q A Q B **=所以A *与B *合同.2应用举例例1 设A 、B 、C 均为3阶可逆矩阵，且A =3，B =2，C =5A *=110012009-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B *=400110211⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，C *=500050001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求00000A BC *⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解 由性质5的推论可得000000A B C *⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=99900(1)3(2)0(1)350(1)(2)500C B A ***⎡⎤-⋅⋅-⎢⎥-⋅⋅⎢⎥⎢⎥-⋅-⋅⎣⎦=00601501000C B A ***⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0000003000000000030000000000600060000000001515000000030151500010100000000010200000000090000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 例2 设A =100130225012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A *是A 的伴随矩阵，求1()T A -*⎡⎤⎣⎦. 解 因A =10013022512=14-≠0，所以A 可逆 由性质7可得 11()T T A A A -*⎡⎤==⎣⎦10040014010242061035022⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 结束语这篇论文在伴随矩阵的基本性质的基础上，较为详细地归纳并讨论了伴随矩阵的性质，尤其是将矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系做成了充要条件，并给出了相应的证明，而关于伴随矩阵秩的其它性质还很多，限于篇幅，在此就不一一赘述.但我的学识有限，所做工作仍有许多不足之处.参考文献[1]李明.伴随矩阵秩的研究[J].陕西理工学院学报，2008.6.7-8.文档可能无法思考全面，请浏览后下载![2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.6.第五版.[3]张禾瑞.高等代数同步辅导及习题全解[M].徐州：中国矿业大学出版社，2008.4.[4]陈艳凌，许杰.矩阵A的伴随矩阵A 的性质[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报，2007年第2期，2007.2.151-153.[5]肖翔，许伯生.伴随矩阵的性质[J].上海工程技术大学教育研究，2007.3.52-53.[6]郑群珍，封平华.伴随矩阵的性质及应用研究[J].河南教育学院学报（自然科学版），第20卷第3期，2011.9.13-14.[7]王航平.伴随矩阵的若干性质[J].中国计量学院学报，2004.3.246-247.[8]朱焕，关丽杰，范慧玲.有关伴随矩阵的性质[J].高师理科学刊，第28卷第3期，2008.5.22-23.[9]任化民.伴随矩阵的性质[J].工科数学，第14 卷第1期，1998.2.155-157.[10]孙红伟.伴随矩阵性质的探讨[J].高等函授学报（自然科学版），第20卷第3期，2006.6.37-38.The properties of adjoint matrixWEI Ruiji（School of Mathematics and Statistics,Longdong University Gansu Qingyang745000）Abstract: Adjoint matrix is an important basic concepts in matrix theory, we studied the several classes of adjoint matrix of the matrix,obtain some valuable conclusions and give some applied examples.Key words:Adjoint matrix; Partitioned matrix; Orthogonal matrix; Similar matrix 致谢我的论文是在我的指导老师俱鹏岳副教授悉心指导下完成的，在论文的选题、资料查询及定稿过程中，给予我无私的帮助和悉心的指导，他的教诲将使我终身受益.11 / 11。
伴随矩阵和原矩阵的特征向量的关系
伴随矩阵和原矩阵的特征向量的关系一、伴随矩阵和原矩阵的概念及性质在线性代数中，我们经常会接触到伴随矩阵和特征向量的概念。
先让我们回顾一下这两个概念的定义和性质。
1. 原矩阵和伴随矩阵的定义- 原矩阵: 对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，是A的代数余子式矩阵的转置矩阵。
- 伴随矩阵: 对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，是A的代数余子式矩阵的转置矩阵。
2. 伴随矩阵和原矩阵的性质- 性质1: A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次幂，即det(adj(A)) = |A|^(n-1)。
- 性质2: 若A是可逆矩阵，则其伴随矩阵为A的逆矩阵的常数倍，即A*adj(A) = |A|*I，其中I为单位矩阵。
以上是对原矩阵和伴随矩阵的定义和性质的回顾，接下来我们将探讨特征向量与伴随矩阵的关系。
二、特征向量与伴随矩阵的关系的深入探讨特征向量是线性代数中一个非常重要的概念，它与矩阵的特征值一起描述了矩阵在线性变换中的表现。
现在，我们将深入探讨特征向量和伴随矩阵的关系。
1. 特征向量与伴随矩阵的关系对于矩阵A的特征值λ和对应的特征向量v，我们有以下性质：A*v = λ*v如果我们将上式两端同时乘以矩阵A的代数余子式矩阵的转置矩阵（即A的伴随矩阵adj(A)），则得到：A*adj(A)*v = λ*adj(A)*v根据伴随矩阵的性质，我们知道A*adj(A) = |A|*I，其中|A|为矩阵A 的行列式。
上式可以进一步化简为：|A|*v = λ*adj(A)*v可以看出，特征向量v与矩阵A的行列式|A|以及伴随矩阵adj(A)之间存在着一定的关系。
2. 深入探讨特征向量与伴随矩阵的关系特征向量与伴随矩阵的关系为我们提供了一种从特征值和特征向量出发探讨矩阵性质的途径。
通过将特征向量与伴随矩阵联系起来，我们可以更深入地理解矩阵的结构和性质。
当我们将伴随矩阵代入特征向量的相关公式中进行推导时，我们可以发现特征向量与伴随矩阵之间并不是简单的线性关系，而是涉及到矩阵的行列式等进阶概念。
伴随矩阵的性质及其应用
伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。
(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。
本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。
关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、伴随矩阵的定义定义1.设是矩阵A =中元素的代数余子式，则矩阵A =ij A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211ij a *称为A 的伴随矩阵。
伴随矩阵求法
伴随矩阵求法在线性代数中，矩阵是一个重要的概念，它是由数个数排列成的矩形阵列。
在矩阵的运算中，伴随矩阵是一个非常重要的概念，它可以用来求解矩阵的逆矩阵、解线性方程组等问题。
本文将介绍伴随矩阵的定义、性质和求解方法，希望对读者有所帮助。
一、伴随矩阵的定义伴随矩阵是指一个矩阵的每个元素的代数余子式所组成的矩阵的转置矩阵，也就是说，如果矩阵A的元素a[i][j]的代数余子式为A[i][j]，则A的伴随矩阵记作adj(A)，它的元素为adj(A)[j][i] = A[i][j]。
例如，对于一个3*3的矩阵A，它的伴随矩阵为：adj(A) = |A[1][1] A[2][1] A[3][1]||A[1][2] A[2][2] A[3][2]||A[1][3] A[2][3] A[3][3]|二、伴随矩阵的性质1. 伴随矩阵和原矩阵的乘积等于原矩阵的行列式乘以单位矩阵。
即：A*adj(A) = det(A)*E，其中E为单位矩阵。
证明：根据矩阵的定义，有：A*adj(A) = |a[1][1] a[1][2] ... a[1][n]| * |A[1][1]A[2][1] ... A[n][1]||a[2][1] a[2][2] ... a[2][n]| |A[1][2] A[2][2] ...A[n][2]||... ... ... ... ||a[n][1] a[n][2] ... a[n][n]| |A[1][n] A[2][n] ...A[n][n]|其中，A[i][j]表示矩阵A的元素a[i][j]的代数余子式。
根据代数余子式的定义，有：A[i][j] = (-1)^(i+j) * M[i][j]其中，M[i][j]为矩阵A去掉第i行和第j列后的行列式。
因此有：A*adj(A) = |a[1][1] a[1][2] ... a[1][n]| *|(-1)^(1+1)M[1][1] (-1)^(2+1)M[2][1] ... (-1)^(n+1)M[n][1]||a[2][1] a[2][2] ... a[2][n]| |(-1)^(1+2)M[1][2](-1)^(2+2)M[2][2] ... (-1)^(n+2)M[n][2]||... ... ... ... ||a[n][1] a[n][2] ... a[n][n]| |(-1)^(1+n)M[1][n](-1)^(2+n)M[2][n] ... (-1)^(n+n)M[n][n]|将每一行展开，有：A*adj(A) = (-1)^(1+1)*a[1][1]*M[1][1] +(-1)^(2+1)*a[1][2]*M[2][1] + ... + (-1)^(n+1)*a[1][n]*M[n][1](-1)^(1+2)*a[2][1]*M[1][2] + (-1)^(2+2)*a[2][2]*M[2][2] + ...+(-1)^(n+2)*a[2][n]*M[n][2] ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...(-1)^(1+n)*a[n][1]*M[1][n] + (-1)^(2+n)*a[n][2]*M[2][n] + ... + (-1)^(n+n)*a[n][n]*M[n][n]根据行列式的定义，有：det(A) = a[1][1]*M[1][1] + a[1][2]*M[2][1] + ... +a[1][n]*M[n][1]因此，有：A*adj(A) = det(A)*E2. 如果矩阵A的行列式不等于0，则A的逆矩阵为：A^-1 = (1/det(A))*adj(A)证明：根据矩阵的定义，有：A*A^-1 = E即：A*(1/det(A))*adj(A) = E因此，有：A^-1 = (1/det(A))*adj(A)三、伴随矩阵的求解方法1. 求解伴随矩阵的元素对于一个n*n的矩阵A，求解它的伴随矩阵的元素，需要先求出每个元素的代数余子式，然后将它们组成一个矩阵，并将该矩阵转置得到伴随矩阵。
矩阵的伴随矩阵的性质
矩阵的伴随矩阵的性质数学计算机学院数学与应用数学（师范）2011届方娜摘要:本文首先回顾了伴随矩阵的定义，讨论了伴随矩阵的秩、可逆性、特征值及一些特殊矩阵的伴随矩阵，并加以证明.最后给出了某些性质的简单应用.关键词:伴随矩阵;矩阵的秩; 矩阵的逆; 性质中图分类号：O151.21The properties of Adjoint MatrixAbstract:The concept of the adjoint matrix was firstly reviewed, then the rank, the reversibility, the eigenvalue of the adjoint matrix and adjoint matrices of some special matrices were discussed, with proofs of the properties being given out. Lastly, the simple applications of the properties about adjoint matrix were given out.Key words:adjoint matrix；the rank of the matrix；inverse matrix；property目录1 前言 (1)2 伴随矩阵的定义 (2)3 伴随矩阵的性质 (2)3.1 伴随矩阵的基本性质 (2)3.2 伴随矩阵秩的性质 (3)3.3 伴随矩阵特征值的性质 (4)3.4 特殊矩阵的伴随矩阵的性质 (4)4 伴随矩阵的性质的简单应用 (7)结束语 (8)参考文献 (9)致谢 (9)矩阵的伴随矩阵的性质1 前言矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具.伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类，其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究.本文分类研究了伴随矩阵的性质，并给予证明，得到一系列有意义的结果.从而使高等代数中的概念—伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前.2 伴随矩阵的定义设n 阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a 1111,),2,1,(n j i A ij =是A 中元素ij a 的代数余子式，称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn nn A A A A A 1111*为A 的伴随矩阵.3 伴随矩阵的性质3.1 伴随矩阵的基本性质定理 3.1[1] n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是0≠A ;当A 可逆时,*11A AA =-,其中*A 为A 的伴随矩阵.性质1 设*A 为A 的伴随矩阵,则E A A A AA ==**.证明［2］ 由行列式按一行（列）展开的公式⎩⎨⎧=≠=∑=;,,,01j i A j i A a jk ik nk ⎩⎨⎧=≠∑=.,,,01j i A j i A a nk kj ki ()n j i ,2,1,= 可得 E A A A AA ==**.注：（1）A 可逆时，1*-=A A A ;（2）有时用伴随矩阵来处理有关代数余子式问题.推论3.1 *A 与A 同时可逆或同时不可逆，且A 为n 阶可逆矩阵，则()()AAA A ==--1**1. 性质2 ()11*>=-n AA n .证明 若A 可逆,则0≠A ，由性质1得E A AA =*.两边取行列式，得nnA E A E A AA ===*，也就是nA A A =*. 又0≠A ，则1*-=n AA .若A 不可逆,则()1-≤n A R ［3］,于是A 或0.所以，0*==A A .性质3 设A 为()1>n n 阶方阵，k 为任意非零常数,则()*1*A k kA n -=. 证明 设()ij a A =，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n ka ka ka ka kA1111， ().*111111111*A k A k A k A k A k kA n nn n n n n n n -----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 性质4 ()()TTA A **=证明（法一）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a A 1111，则 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n TA An A A A1111*, 其中()n j i A ij ,2,1,=是A 中元素ij a 的代数余子式.又设()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n T B B B B A 1111*，其中()n j i B ij ,,2,1, =是A 中元素ij a 在T A 中的代数余子式.由于ij a 在A 中的代数余子式与ij a 在T A 中的代数余子式互为转置行列式，故ij ij B A =.从而()()TT A A **=.（法二） 由性质2注（1），()()()()()*111*T T T TTTA A A A A A A A ====---.性质 5 ()***A B AB =证明 由性质1注（1），()()**11111*A B A A B B A B B A AB AB AB =⋅===-----.推广 设n A A A ,,21均为n 阶方阵()1>m ，则()*1*2**21A A A A A A m m =，特别地，()()mm A A **=，m 为正整数.3.2 伴随矩阵秩的性质矩阵的秩是矩阵的重要特性，若以()A R 表示矩阵A 的秩，则有以下结论:定理2［3］设A 是n 阶矩阵，则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1,0;1,1;,*n A R n A R n A R n A R证明 （1）当()n A R =时，0≠A ，由性质2，01*≠=-n AA ,所以()n A R =*.（2）当()1-=n A R 时，有0=A .于是，由0*==E A AA 知*A 的列向量都是方程组0=AX 的解.由于()1-=n A R ，则齐次线性方程组0=AX 的解向量组的秩为1)1(=--n n ，知*A 的列向量组的秩为1，即列秩为1，故()1*=A R .(3) 当()1-<n A R 时，*A 的每一个元素),2,1,(n j i A ij =都是0，因为A 没有不为0的1-n 阶子式，故()0*=A R . 性质6 ()A AA n 2**-=，特别，当2=n 时，()A A =**.证明 当A 可逆，即0≠A 时，由性质1得()()E A A A ****=. 所以，()()A A A AAA A A n n 211****1---=⋅⋅==. 当A 不可逆，即0=A 时，()()0**=A R ,所以()O =**A .因此()A AA n 2**-=.性质7 设n 阶矩阵A 的秩是()2≥n n ，那么存在数k 使得()*2*kA A =.证明 由定理2得，()1*=A R ，于是必存在*A 的一个列向量()Tn a a a 21使得()n n b b b a a a A 2121*⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=. 因此，()()()n n n n b b b a a a b b b a a a A 212121212*⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=()*21121kA b b b a b a a a n n i i i n =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑= ，这里 ∑==ni i i a b k 1.3.3 伴随矩阵特征值的性质性质8 设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值，则λA为*A 的特征值.证明 因为1*-=A A A ，又λ1为1-A 的特征值，故存在非零向量a ，使得a a A λ11=-，即a Aa A A λ=-1，从而a Aa A λ=*，故λA为*A 的特征值.性质9 设n 阶可逆矩阵A 的特征根为n 个非零实数n λλλ ,,21，则*A 的特征根A A A n 11211,,---λλλ .证明 在()n i a Aa i i i ,2,1==λ两边左乘，利用E A A A =*得到i i i a A Aa A **λ=，所以i i i a A a A 1*-=λ故()n i A i ,2,1=λ为*A 的特征值.3.4 特殊矩阵的伴随矩阵的性质性质10 A 可逆的充分必要条件是*A 可逆.证明 必要性 由性质1知，E A A A AA ==**.若A 可逆，则0≠A .所以，E A A A A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**.由可逆矩阵的定义可知*A 可逆.充分性 欲证命题成立，只需证其逆否命题成立.即需证若A 不可逆则*A 也不可逆.即证若0=A 则0*=A .用反证法.假设0*≠A ，则*A 可逆.由0*==E A AA 得，()()O =⇒O =⇒O =--A A A AA 1*1**由伴随矩阵*A 的定义可知O =*A 与0*≠A 矛盾.故假设不成立，原命题成立. 综上所述，A 可逆⇔*A 可逆.性质11 若A 对称，则*A 也对称.证明 设()ij a A =,因为A 是对称的，所以T A A =.因此ji ij a a =且ji ij A A =. 从而，()TA A **=,即*A 是对称的.性质12 设A 可逆，若*A 是对称矩阵，则A 为对称矩阵. 证明 ()()()()()[]T TTT A A A A A A AA AA ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===----------111*11*11*111所以，A 为对称矩阵.性质13 若A 为n 阶反对称矩阵，则当n 为偶数时，*A 仍为反对称矩阵；当n 为奇数时，*A 为对称矩阵.证明 由性质3知，()(),1*1*A A n --=-又A A T -=,由性质4得，()()()()*1***1A A A A n T T--=-==. 所以，当n 为奇数时，()**A A T=,此时*A 是对称方阵; 当n 为偶数时，()**A A T-=，此时*A 是反对称方阵.性质14 上（下）三角矩阵的伴随矩阵仍为上（下）三角矩阵.证明 设()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯nn n n n n nn ij a a a a a a a a a a A 212222111211,当j i >时，0=ij a .直接计算得，()0=ij A ,j i <.即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n A A A A A A A 00022212111*,则*A 亦为上三角矩阵.同理可证，若A 为下三角矩阵，则*A 也为下三角矩阵. 推论2.2 对角矩阵的伴随矩阵仍为对角矩阵. 性质15 若A 为*A 正交矩阵，则*A 也为正交矩阵. 证明 *A 为正交矩阵⇔E AA T =,而()()()E E A A A A A A TTT====******.所以，*A 也为正交矩阵.性质16 若矩阵A 与B 相似，则*A 与*B 也相似.证明 因为A 与B 相似，所以存在可逆矩阵P 使得BP P A 1-=, 于是，()()P B P P P B P P P B P BP P A *1*1*1***1*----====,因此，*A 与*B 也相似.推论 可对角化矩阵的伴随矩阵仍为可对角化矩阵. 性质17 若A 是正定的，则*A 也是正定的.证明 因为A 是正定的，所以存在可逆矩阵P 使E AP P T =,则有()E E AP P T ==**. 而()()()E P A P P A P AP P TTT ===*******,因此，*A 也是正定的.性质18 若矩阵A 与B 合同，且A 与B 可逆，则*A 与*B 也合同.证明 因为A 与B 合同，所以存在可逆矩阵P 使B AP P T =.又A 与B 可逆，则有()()()11111111--------===B P A P P A P APPTTT,即11--=B C CA T .其中1-=P C .又B A P AP P T ==2,则()()11--=⋅⋅B B C P A A C P T,即**B Q A Q T =,其中C P Q =是可逆矩阵.故*A 与*B 也合同.性质19 若A 是对合矩阵，即E A =2,则*A 也是对合矩阵.证明 由E A =2知，1±=A ，所以A 可逆.于是11*--±==A A A A .又由E A =2知，()E A =-21,从而()()()E A A A ==±=--21212*.因此，*A 是对合矩阵.性质20［4］ 设A 是幂等矩阵，即A A =2,若()n A R =或()1-<n A R ，则*A 亦为幂等矩阵.证明 当()1-<n A R 时，O =*A .命题显然成立.当()n A R =时，A 可逆，1=A 且()121--=A A ,即1-A 为幂等矩阵,于是由11*--==A A A A 知*A 为幂等矩阵.性质21［4］设A 是幂幺矩阵，即E A k =，则当1=A 时，*A 为幂幺矩阵；当1-=A 时，*A 为幂负幺矩阵.证明 由于E A k =，所以1±=A ，11*--±==A A A A , 于是()()()E A A A k kk±=±=±=-1*,因此当()E A k=*时，*A 为幂幺矩阵；当()E A k-=*时，*A 为幂负幺矩阵.性质10~21说明的伴随矩阵继承了A 的许多性质，这里所谓的继承是指A 具有某种性质P ，则*A 也具有性质P .这些性质包括矩阵的对称性，正定性，正交性等重要性质，对于这些性质，A 与*A 同时具有或同时不具有，也即*A 具有这些性质的条件是A 也具有这些性质.4 伴随矩阵的性质的简单应用例3.1 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300041003A ，求()12--E A .解 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1000210012E A , 21000210012==-E A , ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2000110022*E A 可得，()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=--=--100021210012212212**1E A E A E A E A .例3.2 已知三阶矩阵()33⨯=ija A 满足条件：（1）)3,2,1,(==j i A a ij ij ，其中ij A 是ij a 的代数余子式； （2）011≠a ，求A .解 由条件（1）知T A A =*,再由性质2得，2*A A A A T ===,所以0=A 或1. 又0212122111112121111≠++=+++=n n n a a a A a A a A a A ，故1=A . 例3.3［3］ 设三阶实可逆矩阵A 的特征值为1,4,1321-=-==λλλ，求： （1）()*2162A A --的特征值；（2）行列式2*32A A +的值.分析 利用*1),(,A A f A -与A 的特征值的关系. 解 设λ为A 的特征值，则λ1为1-A 的特征值，)(λf 为)(A f 的特征值.由性质8，λA 为*A 的特征值.（1） 设λ为A 的特征值，x 是属于λ的特征向量，则x Ax λ=，由此可得()x x A 22122λ=-，x Ax A λ66*=，则 ()()x A x A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--λλ62622*21.又4321==λλλA ，设()λλλ2422-=g ，则()*2162A A --的特征值为()()()26,849,22321==-=λλλg g g . （2）同（1），可求得2*32A A +的特征值为5,46,11-,故()253054611322*-=-⨯⨯=+A A .结束语在学习伴随矩阵时，大家对求伴随矩阵的求法比较熟悉，但往往不会利用伴随矩阵求矩阵的逆，甚至有时候不会求伴随矩阵的秩，特征值并且对一些特殊矩阵的伴随矩阵存在一些疑虑.本文就这些问题进行了讨论，并举例进行了简单的练习，使伴随矩阵这个概念比较完整地呈现在我们面前，为我们以后进一步学习高等代数奠定了理论基础.参考文献［1］张志让，刘启宽.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2008.71.［2］赵建中，叶红萍.伴随矩阵的一些性质［J］.皖西学院学报:2004，20(5):12.［3］郑素文.线性代数与应用［M］.北京：中国水利水电出版社，2005.77-78,232-233.［4］吕兴汉.关于伴随矩阵性质的进一步讨论［J］.中国科技信息:2006（22）:323.致谢本论文是在高艳春老师的悉心指导下完成的.从论文的选题到完成，都倾注了高老师的大量精力和心血.至此论文完成之际，谨向给予我帮助和指导的高老师致以最真挚的感谢！9。
矩阵与它伴随矩阵的关系1
矩阵与它伴随矩阵的关系摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一 些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的 关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵1伴随矩阵的定义 设()nn ija A ⨯=,则它的伴随矩阵()n n ijb A ⨯=*,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式.2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则*11A AA =-. 2.3 ()()TTA A **=.证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1*-=T T T A A A =()TA A 1-另一方面， ()()TTA A A 1*-==()TA A 1-由上两式推出 ()()TTA A **=.2.4 ()()1**1--=A A .证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A AA A A 1111*1==---- 又由 E A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**11 故 *A 也可逆，且()A AA 11*=- 从而 ()()1**1--=A A .2.5 ()*1*A a aA n -= (a 为实数).证 设()n n ij a A ⨯=，再设 ()()n n ij b aA ⨯=*，那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1*A a aA n -=.2.6 1*-=n AA ()2≥n .证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式 得 11*--==n nAA A A当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A所以.0*=A 从而也有 1*-=n A A所以对任意n 阶方阵,A 都有.1*-=n AA2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A则秩0*=A .证 当秩,0≠⇒=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==nA I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=⇒-=A n A 0*==I A AA从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A当秩2-=n A ⇒0*=A 所以秩0*=A同理秩2-<n A 时,秩0*=A . 2.8 ()A AA n 2**-=.证 当秩n A =时，A A ,0≠可逆，用1-A 左乘（1）式两边可得1*-=A A A （1） 在（1）式中用A 换*A 得()()A A A A AA A A n n 211****1---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛== （2） 当秩1-≤n A 时，则秩0,1*=≤A A 从而秩()A AA n 2**0-== （3）综合（2）（3）两式，即证()A AA n 2**-=.2.9 若B A ,为n 阶可逆矩阵，则()***A B AB =.证 当()()n B r A r ==时，由()()**111*A B A A B B AB AB AB ===---当()1-<n A r 时，显然有()***0A B AB ==即 ()***A B AB =当(),1-=n A r 则存在初等矩阵,,,,11t s Q Q P P 使得 t s Q Q A P P A 111=这里().0,11-=n E diag A 直接验算可知，若P 是任意初等矩阵，C 是任意方阵，则 ()()*1*1***,CA C A P C PC ==于是()()[]*1121*B Q Q A P P P AB t s =()*1*112P B Q Q A P P t s ==()*1**11P P B Q Q A s t =()*1**1*1P P A B Q Q s t ==*1**1*1**P P A Q Q B s t =但是 *1**1*1*P P A Q Q s t()*1**1*1P P A Q Q s t =()*1*1*11P P Q Q A P s t s -==()*111t s Q Q A P P =*A = 于是 ()***A B AB =2.10 设A 是阶正定矩阵，则*A 是正定矩阵. 证 因为A 是n 阶正定矩阵，则A A T =，且A 的特征值()n i i 2,1,0=>λ又()()**T TA A ==*A ，故*A 为对称矩阵，且*A 的特征值为()n i Ai,,2,1,0 =>λ故为正定矩阵.2.11 若A 是正交矩阵，则*A 是正交矩阵. 证 因为是正交矩阵，则,12=A I A A T =于是()()()()()I I AA A A A A A A A A A TTTT=====------1111211**故*A 也是正交矩阵.2.12 若矩阵A 与B 合同，且B A ,都可逆，则*A 与*B 合同.证 设存在可逆矩阵,P B AP P T = （4） 又B A ,都可逆，对（4）取逆，则有()1111----=B P A P T即 11--=B C A C T （5） 其中 ()TP C 1-=再对(4)取行列式有B A P =2（6） 则由（1）（5）（6）知 ()()11--=⋅⋅B B C P A A C P T即 **B Q A Q T = 其中C P Q =是可逆矩阵 故 *A 与*B 合同2.13 若矩阵A 与B 相似，且B A ,都可逆,则*A 与*B 相似. 证 设存在可逆矩阵,P B AP P =-1 由 I B BB =* ，有1*-=B B B ()111---=AP P AP P P A P A 11--=P A A P 11--=P A P *1-=所以*A 与*B 相似.2.14 若*A 与*B 相似，则*A 与*B 有相同的特征多项式，特征根，行列式，迹，秩.2．15若*A 与*B 相似，且*A ，*B 都可逆，则A 与B 不一定相似. （A 与B 分别为*A 与*B 的原矩阵）证 因为*A 与*B 的秩都是n ，所以*A 与*B 都有1-n 个原矩阵（(),1*-=A A i α()1*-=B B i β，1,2,1-=n i ，其中i i βα,分别是*A ，*B 的所有1-n 次方根.）设秩n A =*且有原矩阵A ，由2.2知()1*-=A A A由2.6知 .1*-=n AA 即 1*-=n A A设*A 的所有1-n 次方根121,,-n ααα ，则有(),1*-=A A i α1,2,1-=n i同理B 也得证.所以A 与B 不一定相似.参考文献:[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007,6.[2]李志慧，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社,2001,6(7). [3]刘学生.线性代数分析[M].北京：高等教育出版社，2005,1(10). [4]卢刚.线性代数(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2003，7(1).The Relationship of Matrix and Adjoint MatrixZhang Ri lian 20091103344College of Mathematics Science, Mathematics and Applied Mathematics，Class 2009Advisor Xiang HuaAbstract:This article gives a definition of adjoint matrix and summarizes some of its properties, adjoint matrix inverse, determinant, transpose, rank. And the relationship of matrix and the adjoint matrix, Two sufficient conditions for the adjoint matrix of similar.Key words: adjoint matrix,determinant, transpose, rank, similar matrix, positively definite matrix。
伴随矩阵的若干性质及应用
伴随矩阵的假设干性质及应用摘要 矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单.关键词 矩阵 伴随矩阵 特征值引言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题.本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵.1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下：()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA ==**可得()AAA =-1*； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA ==**可得1*-=A A A ；例1、已知A 为一三阶矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100310241A ，求()1*-A .解 经计算可得1=A ，所以()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===-1003102411*A A AA .例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且41=A ，求()*132A A --. 解()1111*1432132132------=-=-A A A A A A A 16114141413131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--AA A . 例3、已知A 和B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O O A C ，求C 的伴随矩阵*C . 解 由E C C C CC ==**得， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==------111111*B B A O OA B A B OO A B A B O O A B O O A CC C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有()()*11*--=A A证明 因为 ()E A A AE A AA 1*11*,---==故有，AA A *1=-；又因为A A 11=-从而 ()()E AE A A AA A A11*1**11===----，因0≠A ，故()E A A =-*1*, 所以()()*11*--=A A .例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2311123211A ，求伴随矩阵*A 的逆矩阵. ㈠解 因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 ()A A AAA 11*--==， 而2311123211=-A =8，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------==--3155131518111A A ,所以()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-3155131511*A .㈡此题用性质6可直接得()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------==--315513151*11*A A ，可见简单之处. 1.3 ()*1*A k kA n -= 〔k 为常数〕证明 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211*A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n A A A A A A A A A212221212111所以kA 的1-n 阶子式中每一个元素都是A 中的相对应元素的k 倍，从每一行中提取公因子k ，从而矩阵kA 中每一元素ij ka 的1-n 阶代数余子式就是ij n A k 1-.所以()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---------nn n nn n n n n n n n n n n A k A k Ak A k A k A k A k A k A k kA 121112122112111211111*=1-n k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nnn n A A A A A A A A A212221212111=*1A k n - 故证之.例5、设A 为一个3阶矩阵，且已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=112211123A ，求*41⎪⎭⎫⎝⎛A .解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=513555531332313322212312111*A A A A A A A A A A ，所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛1651611631651651651651631615135555311614141*2*A A .1.4 伴随矩阵的秩的性质 设A 是n 阶矩阵()2≥n ,则秩()=*A ()()(),;1,1;0,1;n A n A n A n =⎧⎪=-⎨⎪<-⎩当秩时当秩时当秩时证明 ()1 当秩()n A =时 0≠A ，由于E A AA =*，两边同时取行列式，得 nA A A =* 所以0*≠A 故秩()n A =*. ()2当秩()01=-=A n A 时，，由0**==AA E A AA 得从而可知*A 的每一列都是方程组0=AX 的解向量,故由此可得()()1*=-≤A n A 秩，又因为 A 矩阵至少有一个1-n 阶子式不为零，故*A 至少有一个元素不为零， 所以 此时秩()1*=A .()3当秩()1-<n A 时，矩阵01*=-A n A 阶子式全为零，故的所有，所以秩()0*=A .性质4在解关于矩阵的题目中用的很广泛，以下的性质5、6、9、16的证明过程中都有用到性质4，从而使证明简单、明了.例6、设()2>n n 阶方阵A ，假设秩()2-=n A 时，则秩()=*A ______.A.nB.1-nC.1D.0解 因为秩()2-=n A ，由以上性质可得秩()=*A 0，故选D.例7、设A 为一四阶矩阵，且*,0000001001001000A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=是A 的伴随矩阵，求秩()()**A.解 因为秩()3=A ，而A 为4阶矩阵，所以 秩()3141*=-<=A ，由以上性质可得 秩()()0**=A .1.5 1*-=n AA证明 ()1当A 可逆时，由于两边同时取行列式，得,*E A AA =nA A A =*，因为0≠A ，两边同时乘以1-A，得1*-=n AA ；()2当A 不可逆时，()1;0*≤=A A 可得秩，则,0*=A从而此时也有 1*-=n AA .例8、已知B A 和都是n 阶方阵，=-==-1*4,2,4B A B A 则. 解 34111*1*221441444------=-⋅⋅===n n n n n n B A B A B A . 1.6()A AA n 2**-= 〔2>n 〕证明 ()1当0≠A A 可逆时，则， 因为,*E A AA = 所以,1*-=A A A 于是 ()()()()**11*111111nAA A A AA A A AA A-------=== =A A A AA A n n211--= ()2当(),1,0*≤=A A A 秩不可逆时，则由此可得 当()()所以此时有所以时，秩,0,02****==>A A n()*2*n A AA -=.例9、已知A 为n 阶可逆矩阵,且3=A ，化简()**1A A --. 解 因为E A A A AA ==**，所以 *11A AA =-，所以 ()()()AA AA A A A A A A A A A AAn n n n 3211111121**1*******1------=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1.7 ()[]5***A B AB =证明 ()1;0,00≠≠≠B A AB 时，此时有当从而有1*1*,--==B B B A A A 可得 ()()**11111*A B A A B B A B B A AB AB AB ====-----()()(),,02E B B E A A AB λλλλ-=-==时，此时考察矩阵当 因为矩阵B A 和的特征值最多只有有限个，因此存在有无穷多个λ，使得 ()()0,0≠≠λλB A ∆由()1得结论可得，()()()()()λλλλ***A B B A = ，令()()()()(),*n n ij h B A ⨯=λλλ ()()()()n n ij k A B ⨯=λλλ** 则由上式得()()λλij ij k h =， ()n j i ,...,2,1,= Θ因为知有无穷多个式成立，使穷多个式成立，从而也就有无使Θ∆λλ但是由于()()λλij ij k h ,都是多项式，因此Θ式对一切都成立λ；特别，当令0=λ时有 ()()()()()()******0000A B A B B A AB ===故证明之.例10、已知A 和B 为三阶可逆矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211212131*A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100310241*B ，求()*1AB -.解 经计算可得()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-10031010411*B ， 所以 ()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--21142113932112121311003101041**1*1A B AB.1.8 ()()**T TA A =证明 由于 E A A A AA ==**所以 ()()()()()TTT T TT T TA A A A E A A A A A *****===又 ()()()()()()()******T T TT TT T TA A A E A A AA A A A ===因此有 ()()**T TA A A A =()1当A 可逆时，则0≠A ， 所以 ()()**T TA A =；()2当A 不可逆时，则0=A ，此时用矩阵A E A 代替矩阵λ-，得 ()()()()**T TE A E A E A E A λλλλ--=--因为矩阵A 的特征值最多只有有限个，因此存在无穷多个λ使得,0≠-E A λ从而有()()()()**T TE A E A λλ-=-令()()()()nn ijTh E A ⨯=-λλ*， ()()()()nn ijT k E A ⨯=-λλ*， ∆所以有 ()()λλij ij k h = ()n j i ,...,2,1,=由此可得存在无穷多个λ使得上式成立，而()()λλij ij k h ,都是多项式，因此上式对一切λ都成立，取0=λ代入∆式时，有 ()()**T TA A =.1.9 伴随矩阵的特征值]5[设矩阵n n A λλλ，，，个特征值有...21；()阵的特征值为为满秩矩阵时，伴随矩当A 1A A A n 11211,...,,---λλλ()2当A 为降秩矩阵时，那么伴随矩阵*A 的n 个特征值至少有1-n 个为0，而且另一个不等于零的特征值假设存在，则等于nn A A A +++...2211.[5]证明 ()1因为A 为满秩矩阵，所以A 为可逆矩阵也即0≠A 1*-=A A A ，此时矩阵A 的特征值均不为零，且1-A 的n 个特征值为,...,1211--λλ,1-n λ，再由1*-=A A A 可得，伴随矩阵有n 个特征值为A A A n 11211,...,,---λλλ；()2 ①当秩()2-≤n A 时，此时，秩()0*=A ，所以0*=A因此 可推得0,0，…,0为伴随矩阵*A 的特征值 此时结论成立.②当秩()1-=n A 时，此时，秩()1*=A ，那么设*A 的特征值为''2'1,...,,n λλλ由假设尔当标准形知，存在可逆矩阵T ，使得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-''1*10**n T A T λλ ， 其中''2'1,...,,n λλλ为*A 的全部特征值因为()1*=A ，不妨设,0 0'2'1===≠n λλλ而则上式为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0...0.........**'1*1λT A T从而 nn A A A trA +++==...2211*'1λ.例11、设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，假设A 有特征值λ，则()E A +3*必有特征值什么?解 由性质知，A 有特征值λ，*A 必有特征值λA，从而()E A +3*必有特征值3⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA +1. 1.10 如果A 是可逆矩阵，且**~,~B A B A 则证明 因为B A ~，则存在可逆矩阵T ，使得 B AT T =-1 把上式两边同时取行列式得B T A T =-1，又由于A 可逆，故0≠A ，从而0≠B ，即B 也是可逆的， 所以，1*1*,--==B B B A A A 由B AT T =-1，则()()111111111---------===B T A T T A T ATT因此 11~--B A 因为B A ~，则B A =把111---=B T A T 两端同时乘以A 得，*1111*1B B B B A T A A T T A T ====-----所以，,**1B T A T =-**~B A .例12、设A 、B 为三阶相似矩阵，A 的特征值为1，1，3，求*B .解 因为A 的特征值为1，1，3， 故3=A ，所以 *A 的特征值为131,31,31=⨯=⨯=⨯A A A ，又因为B A ~，所以**~B A ，所以 *B 的特征值为3，3，1， 所以9*=B .1.11 如果A 是可逆矩阵，且也合同与和合同，则与**B A B A证明 由题中矩阵B A 与合同，因此存在可逆矩阵C ，使[1] B AC C T =，等式两边分别取行列式，得B C A C T = 因为A 是可逆矩阵，所以0≠A ，从而0≠B ，而B A C =2又因为()()11111-----==B C A C ACC TT ， 令()1-=TC T则()()TT TCT 1-==()()11--=C C TT ， 从而11--=B T A T T ， 故是合同的与11--B A ， 从而()11112----==B B T C A A T C B B T A T A C TT 即所以()()**B T C A T C T=，所以**B A 与也合同.2.某些特殊矩阵的伴随矩阵的性质[4]2.1 假设A 是可逆的对称矩阵，则它的伴随矩阵*A 也是可逆的对称矩阵a.已知数量矩阵()0≠k kE ，它的伴随矩阵也是数量矩阵；A 是可逆的，则它的伴随矩阵*A 也是对角矩阵.2.2 假设A 是上〔下〕三角矩阵，且A 是可逆的，则*A 也是上〔下〕三角矩阵例13、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100130211A ，故3=A ，所以A 是可逆的，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300110513332313322212312111*A A A A A A A A A A ，所以*A 是可逆的，且为上三角矩阵.2.3 ()1当n 阶实矩阵A 是半正定时，则它的伴随矩阵*A 也是半正定的证明 由于A 是半正定的，因此存在实矩阵C ，使 C C A T = 从而()()()P P C C C C C C A T TTT ====****** 其中()TC P *=即有实矩阵P ，使得P P A T =* 所以*A 也半正定的.()2当n 阶实矩阵A 是正定矩阵时，则它的伴随矩阵*A 也是正定矩阵证明 由于矩阵A 是正定的，从而可知存在可逆矩阵T ，使 E AT T T = 所以()()()E E T A T T A T AT T TT T ====********即有 ()E T A T T=***所以 *A 也是正定矩阵.2.4 当n 阶矩阵A 为正交矩阵时，则其伴随矩阵*A 也为正交矩阵[7] 证明 由于A 为正交矩阵，从而可知E A A T =，1±=A ， 而E A AA =*，所以11*--±==A A A A 而()()()E A A A A TT=±±=--11**故*A 也是正交矩阵.例14、设正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121A ，易算⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=21212121*A ， 从而可算的()=TA A **E,即*A 也为正交矩阵.2.5 假设A 为幂等矩阵，也就是说满足A A =2，当秩()()1-<=n A n A 或秩时，对应可得矩阵*A 也是幂等矩阵[4]证明 ()1当秩()n A =时，由于A A =2，左式两边同时取行列式，得 A A =2，所以1=A ，由A A =2，又可得12--=A A ；而E A AA =*，1*-=A A A ，从而()()()*11221212*A A A A A A A A A ======-----，即()*2*A A =所以，此时*A 也是幂等矩阵.()2当秩()1-<n A 时，可得秩()0*=A ，所以*A =0，当然有()*2*A A =，所以，此时*A 也是幂等矩阵.小结 本文运用矩阵计算的有关方法和技巧，以及应用已经证明了的关于伴随矩阵的性质，进一步证明了矩阵的伴随矩阵的其它相关性质.这样较广泛深入的理解了伴随矩阵，从而能更好的把伴随矩阵的性质运用到矩阵的学习中，不断升华知识.与伴随矩阵有关的性质还有很多，本文只是对其一部分性质进行说明，需要不断努力去挖掘找到它其它很有价值的性质.也可以把伴随矩阵放到高等代数的其它章节中找到它相应的性质，这需不断的去研究.参考文献：[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].高等教育出版社，2003：177-203[2]贾云峰.矩阵与其伴随矩阵的特征值[J].陕西师范大学继续教育学报，2007年第24卷第1期：98-99[3]乐茂华.高等代数[M].南京大学出版社，2002[4]吕兴汉.关于伴随矩阵性质的进一步讨论[J].中国科技信息，2006年第22期：322-323[5]钱吉林.高等代数题解精粹[M].中央民族大学出版社，2009年10月第二版：100-218[6]邱森.高等代数[M].武汉大学出版社，2008[7]王萼芳.高等代数[M].上海科学技术出版社，1981：271-296[8]姚慕生.高等代数学[M].复旦大学出版社，1995：38-39[9]叶世源.叶家琛等[M].同济大学出版社，1995[10]张禾瑞.高等代数〔第4版〕[M].北京高等教育出版社，1999[11]曾京玲.关于伴随矩阵的几个讨论[J].渭南师范学院学报，2003年增刊：28-29Some Properties and Applications of the Adjoint Matrix Name:Yang Ting Student Number:200740510647Advisor:Ge XintongAbstract Matrix is a very important point in learning higher algebra,while in matrix’s calculations and application adjoint matrix plays an extremely important role.This paper using some techniques and methods in matrix’s calculations,proved some properties of general n order phalanx and some special matrix’s adjoint matrix.These properties are discussed based on the relationship between the original matrix and adjoint matrix,using the study of matrix methods to begin.Through these properties we can have a deeper understand of matrix and adjoint matrix.Moreover,we can use these properties directly to make it simple when we encountered some problems about adjoint matrix.Keywords matrix ;adjoint matrix; eigenvalue;。
线代专题一伴随矩阵
称为矩阵A的伴随矩阵，记为A*.
注：每一个方阵都有伴随矩阵.
例题
10 1 例1 求矩阵 A= 2 1 0 的伴随矩阵A*.
-3 2 -5
解：矩阵A=(aij)的所有代数余子式为
A11
(1)11
1 2
0 5,
5
A12
(1)12
2 3
0 5
10，A13
2 3
1 7， 2
0 A21 2
1 2， 5
d -b -c a
.
口诀：
矩阵可逆的充要条件
A矩阵可逆 A 0 R(A)=n (矩阵是满秩）
101 例 求矩阵 A= 2 1 0 的逆矩阵.
-3 2 -5
10 1 解：因为 |A|= 2 1 0 =20，所以A可逆.
-3 2 -5
A11 A21 A31 -5 2 -1 又因为 A* = A12 A22 A32 = 10 -2 2
，
A13 A23 A33
7 -2 1
所以 A-1= —1 A* = —1 |A| 2
A,
0,
i j i j
则AA*= A*A= |A|E.Ajn
由伴随矩阵的性质， AA* A* A A E.
如果|A|0，
令B 1 A* A
则BA ( 1 A*) A A
= 1 A* A = 1
A
A
AE
=E
因此A可逆，且B 1 A* =A1 A
定理(矩阵可逆的充要条件) n阶方阵A的行列式|A|0，则A可逆，而且A的逆矩阵 A-1= —1 A*， |A|
矩阵A伴随矩阵
-5 10 7 T -5 2 -1
A*= 2 -2 -2 = 10 -2 2
矩阵与它伴随矩阵的关系1
矩阵与它伴随矩阵的关系摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等.关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵1伴随矩阵的定义设,则它的伴随矩阵,其中 ()n n ij a A ⨯=()nn ij b A ⨯=*ji ij A b =为中的代数余子式.(),,,3,2,1,n j i =ij A A ij a 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系2.1 .I A A A AA ==**2.2 若A 非奇异，则.*11A AA =-2.3 .()()TTA A **=证 当可逆时，，且也可逆.A 1*-=A A A T A 故 =()()1*-=TT T A A A ()TA A 1-另一方面， =()()TTA A A 1*-=()T A A 1-由上两式推出 .()()TTA A **=2.4 .()()1**1--=A A 证 当可逆时，，且也可逆.A 1*-=A A A 1-A 故 ()()A AA A A 1111*1==----又由 E A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**11故 也可逆，且*A ()A AA 11*=-从而 .()()1**1--=A A 2.5 (为实数).()*1*A a aA n -=a 证 设，再设 ，()nn ij a A ⨯=()()n n ij b aA ⨯=*那么为行列式中划去第行和第列的代数余子式阶行列式，ij b aA j i 1-n 其中每行提出公因子后，可得a ji n ij A ab 1-=()n j i ,2,1,=由此即证.()*1*A a aA n -= 2.6 .1*-=n AA ()2≥n 证当可逆时，由于 两边取行列式A ,1*-=A A A 得 11*--==n nAA A A 当不可逆时，这时秩A ,0=A 1*≤A 所以从而也有 .0*=A 1*-=n AA 所以对任意阶方阵都有n ,A .1*-=n AA 2.7 当秩时，则秩.当秩时则秩.，当秩n A =n A =*1-=n A 1*=A 2-≤n A 则秩.0*=A 证 当秩那么由上面的（1）式有,0≠⇒=A n A 0*≠==nA I A AA 所以 即秩,0*≠A nA =* 当秩 ,01=⇒-=A n A 0*==I A AA 从而秩 又因秩所以至少有一个代数余子式,1*≤A ,1-=n A ,0≠ij A 从而秩于是秩,1*≥A ,1*=A 当秩所以秩2-=n A ⇒0*=A 0*=A 同理秩时,秩.2-<n A 0*=A 2.8 .()A AA n 2**-=证 当秩时，可逆，用左乘（1）式两边可得n A =A A ,0≠1-A （1）1*-=A A A 在（1）式中用换得A *A（2）()()A A A A AA A A n n 211****1---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==当秩时，则秩1-≤n A 0,1*=≤A A 从而秩 （3）()A AA n 2**0-== 综合（2）（3）两式，即证.()A AA n 2**-=2.9 若为阶可逆矩阵，则.B A ,n ()***A B AB = 证 当时，由()()n B r A r == ()()**111*A B A A B B AB AB AB ===--- 当时，显然有()1-<n A r ()***0A B AB == 即 ()***A B AB = 当则存在初等矩阵使得(),1-=n A r ,,,,11t s Q Q P P ts Q Q A P P A 111= 这里直接验算可知，若是任意初等矩阵，C 是任意方().0,11-=n E diag A P 阵，则()()*1*1***,CA C A P C PC == 于是()()[]*1121*B Q Q A P P P AB t s = ()*1*112P B Q Q A P P t s == ()*1**11P P B Q Q A s t = ()*1**1*1P P A B Q Q s t ==*1**1*1**P P A Q Q B s t = 但是 *1**1*1*P P A Q Q s t()*1**1*1P P A Q Q s t = ()*1*1*11P P Q Q A P s t s -== ()*111t s Q Q A P P = *A = 于是()***A B AB =2.10 设是阶正定矩阵，则是正定矩阵.A *A 证 因为是阶正定矩阵，则，A n A A T =且的特征值又=，A ()n i i 2,1,0=>λ()()**T TA A =*A故为对称矩阵，且的特征值为*A *A ()n i Ai,,2,1,0 =>λ故为正定矩阵.2.11 若是正交矩阵，则是正交矩阵.A *A 证 因为是正交矩阵，则,12=A IA A T =于是()()()()()II AA AA A A A A A A A TTTT=====------1111211**故也是正交矩阵.*A 2.12 若矩阵与B 合同，且都可逆，则与合同.A B A ,*A *B 证 设存在可逆矩阵 （4）,P B AP P T = 又都可逆，对（4）取逆，则有B A ,()1111----=B P A P T即 （5）11--=B C A C T 其中()TP C 1-= 再对(4)取行列式有 （6）B A P =2则由（1）（5）（6）知 ()()11--=⋅⋅B B C P A A C P T即 **B Q A Q T =其中是可逆矩阵C P Q = 故 与合同*A *B 2.13 若矩阵与B 相似，且都可逆,则与相似.A B A ,*A *B 证 设存在可逆矩阵 ,P BAP P =-1 由 ，I B BB =* 有 1*-=B B B ()111---=APP AP P P A P A 11--=P A A P 11--=PA P *1-= 所以与相似.*A *B 2.14 若与相似，则与有相同的特征多项式，特征根，行列式，迹，*A *B *A *B 秩.2．15若与相似，且，都可逆，则与B 不一定相似. （与B 分*A *B *A *B A A 别为与的原矩阵）*A *B 证 因为与的秩都是，所以与都有个原矩阵（*A *B n *A *B 1-n ，，其中分别是，(),1*-=A A i α()1*-=B B iβ1,2,1-=n i i i βα,*A 的所有次方根.）*B 1-n 设秩且有原矩阵，由2.2知n A =*A ()1*-=A A A 由2.6知 即 .1*-=n AA 1*-=n A A 设的所有次方根，则有*A 1-n 121,,-n ααα (),1*-=A A i α1,2,1-=n i 同理B 也得证.所以与B 不一定相似.A 参考文献:[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007,6.[2]李志慧，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社,2001,6(7).[3]刘学生.线性代数分析[M].北京：高等教育出版社，2005,1(10).[4]卢刚.线性代数(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2003，7(1).The Relationship of Matrix and Adjoint MatrixZhang Ri lian 20091103344College of Mathematics Science, Mathematics and Applied Mathematics ，Class 2009Advisor Xiang HuaAbstract :This article gives a definition of adjoint matrix and summarizes some of its properties, adjoint matrix inverse, determinant, transpose, rank. And the relationship of matrix and the adjoint matrix, Two sufficient conditions for the adjoint matrix of similar.Key words : adjoint matrix, determinant, transpose, rank, similar matrix, positivelydefinite matrix。
伴随矩阵的运算法则
伴随矩阵的运算法则伴随矩阵是在线性代数中一个重要的概念。
它在矩阵的应用中有着广泛的应用，无论是求逆矩阵、求解线性方程组还是求解特征值等问题中都有着重要的作用。
伴随矩阵的运算法则也是研究伴随矩阵的基础。
下面将对伴随矩阵的运算法则进行详细的讲解。
首先，我们来回顾一下伴随矩阵的定义。
给定一个n阶方阵A，它的伴随矩阵记作Adj(A)，定义为A的代数余子式矩阵的转置矩阵。
其中，矩阵A的代数余子式是指将矩阵A中的一些元素aij划去后，剩下元素组成的(n-1)阶子阵的行列式乘以(-1)^(i+j)。
接下来，我们来介绍伴随矩阵的一些基本运算法则。
运算法则一：伴随矩阵的乘法法则设A，B为n阶方阵，则有以下性质成立：（1）Adj(AB) = Adj(B)Adj(A)（2）Adj(A^k) = [Adj(A)]^k ，其中k为正整数（3）若A可逆，则有A^-1 = (1/det(A))Adj(A)，其中det(A)表示A的行列式运算法则二：伴随矩阵与常数的乘法法则设A为n阶方阵，k为常数，则有以下性质成立：（1）Adj(kA) = k^(n-1)Adj(A)运算法则三：伴随矩阵的转置法则设A为n阶方阵，则有以下性质成立：（1）[Adj(A)]^T = Adj(A^T)运算法则四：伴随矩阵的转置法则设A，B为n阶方阵，则有以下性质成立：（1）[Adj(A)]^-1 = Adj(A^-1)（2）[Adj(A^T)]^-1 = Adj((A^-1)^T), 其中A为可逆方阵运算法则五：伴随矩阵的行列式法则设A为n阶方阵，则有以下性质成立：（1）det(Adj(A)) = [det(A)]^(n-1)运算法则六：伴随矩阵的逆乘法法则设A，B为n阶方阵，若AB为可逆方阵，则有以下性质成立：（1）[Adj(AB)]^-1 = [Adj(A)]^-1[Adj(B)]^-1以上是关于伴随矩阵的一些基本运算法则。
这些法则在伴随矩阵的应用中起着重要的作用。
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从 上 面 的 性 质 可 以看 出 ， 为 伴 随 矩 阵 Ａ 因 是 由 方 阵 ４ 唯 一 确 定 的 ， 以 ， 随 矩 阵 所 伴
有继承性．
、 、 ● ● ●
．
对 方 阵 Ａ 的 很 多 性 质 都 具
证 明 （ ） Ａ Ｂ 均 可 逆 时 ， Ｂ 也 可 逆 ， 推 论 １可 １ 当 ， Ａ 由 得 ：Ａ ） ＝ＩＢＩ Ａ ）－ （ Ｂ Ａ （ Ｂ ＝（ 曰ｌ 。 ） Ｉ １ 。 （ ＡＩ ）＝Ｂ Ａ ．
（ ） ＝ Ｉ Ｉ Ａ． 上 得 证 ． Ａ 综 三 、 随矩阵 Ａ 伴 的 引 申性 质
１ ．基 本 性 质 Ａ ＝Ａ Ａ Ａ＝Ｉ Ｅ ４Ｉ ．
注意
上 面的恒等式对于任意方 阵（ 论可逆 与否 ） 不 都
成 立 ， 是 伴 随 矩 阵 的 基 本 性 质 ， 有 关 伴 随 矩 阵 的 运 算 和 它 在
（ ＝
ＣＩ Ａ＊
ＡＣ ＊） Ｂ ｃ．
０
故 （ ） ＝（ ） ． ～ Ａ
又 （ ）～ ＝（… ） Ａ，
４ Ａ 和 Ｃ分 别 为 ｍ 和 ｎ阶方 阵 ， ． Ｂ为 ｎ×ｍ 阶 矩 阵 ， 则
～
． ｃ
） ， ．
数 学 学 习与 研 究
２ １ ．７ ００ １
＝
式 Ａ 伴 随矩阵 Ａ 是 由 方 阵 ４唯 一 确 定 的 ， 们 之 间 有 很 它
多 必 然 联 系 ， 得 伴 随 矩 阵 在 矩 阵 理 论 中 占有 十 分 重 要 的 使 地 位 ， 此 ， 究 伴 随 矩 阵 的 性 质 也 就 十 分 必 要 了 ． 文 首 因 研 本 先 研 究 了伴 随矩 阵 的 基 本 性 质 、 算 性 质 以及 引 申 性 质 ， 运 接 着 探 讨 了一 些 特 殊 矩 阵 的 伴 随 矩 阵．
（ ） ＝（ ， ＝（ ）， Ａ Ａ ） Ａ 而
（ ） ＝（ ＝（ ） ｎ） ＝（ ） 故 （ ） ：（ ） ． ， Ａ ４ Ａ可 逆 时 ， ・ （ ） ＝（ ） 一 Ａ Ａ ・
证 明 因 Ａ 可 逆 时 ， ＝ｌ Ａ ＡＩ Ａ～， 则 （ ） ＝ Ｉ 一 Ａ一 Ａ）＝Ｅ， Ａ一 ＡＩ （１ ｌ
地 对 ＝０也 成 立 ， （ Ｂ） ＝Ｂ ． 即 Ａ Ａ ３（ ． ） ＝（ ） ． Ａ
ｒ Ａ ２
（ ＝ 。 Ａ
３ Ａ 和 Ｃ分 别 为 ｍ 和 ｎ阶 方 阵 ， ． Ｂ为 ｍ×ｎ阶矩 阵 ， 则
证明
因 Ａ ＝（ ：（ ＝（ ） 则 ０） Ａ） ，
一
Ｉ ＂ ｉ ＡＩ
Ｉ Ａ
Ａ
・
、
伴 随 矩 阵
的 基 本 性 质 及 推 论
（ ） Ａ不 可 逆 时 ， 』） ２ 当 （ ≤ｎ一１ ｌ ＝０ 南 推 论 ３ 得 ４ ， ＡＩ ， ， （ ）＜ Ａ ｎ一１ 进 而 Ｒ（ Ａ ） ）＝０ 则 （ ） ＝ ， 满 足 ， （ ， Ａ ０也
四 、 殊 矩 阵 的 伴 随 矩 阵 特
（ ） Ａ Ｂ至少 有一 个 不可 逆 时 ， 虑 矩 阵 Ａ ２ 当 ， 考 ＝Ａ—
ｘ Ｂ ＝Ｂ — Ｅ， Ｅ， 。 ｘ 因 ， 只 有 有 限 个 特 征 值 ， 使 Ｉ Ｉ ， 则 ４ ＝０
ｌ Ｉ ０的 只 有 有 限 个 ， 取 充 分 大 的 ， ｌ １ ０ Ｂ。 ＝ 可 使 Ａ ≠ ，
１ Ｉ ， （ ） （ Ｂ。 ＝Ｂ＊ ， ［ Ａ — Ｂ。≠０ 由 １ 得 Ａ。 ） ｌ Ａ 即 （ Ｅ）（ — Ｂ Ｅ ］ ＝（ ｘ （ ， 式 两端 的 矩 阵元 素 都 为 ） Ｂ— Ｅ） Ａ— Ｅ） 上 的 多 项 式 ， 多 项 式 相 等 意 味 着 取 任 意 值 时 都 相 等 ， 别 则 特
价 ／ 似／ 同． 相 合
式Ｉ Ｉ Ｍ 中划 去第 行 第 ｉ 的 代 数 余 子 式 （ 列 ｎ一１阶行 列 式 ） ，
如 果 每 行 提 出 公 因子 后 ， ｂ 有 ：
由此 证 得 （ ） ＝ Ｍ 一
２ （ Ｂ） ＝Ｂ ． ．Ａ Ａ
Ａ ，ｉ （， ＝１ ２ … ， ） ，， ｎ ，
专 题 研 究
酶 释
．
ｔ１ １ ０ ｔ
● －
●
●
随 瞧 畦震 尽
给 定 一 个 ｎ阶 方 阵 Ａ＝（ … ， Ａ的伴 随 矩 阵 Ａ ＝ ａ） 则
瞻 熊随 瞧 匡
４３６ ） ７ ０ １ 即 （ ） 。 Ａ ） ， ‘ ＝（ ４
５ Ａ ） ＝ Ｊ 一 Ａ ．（ Ａｌ ．
２ ．推 论 １ Ａ可 逆 时 ， ：
３ ．推 论 ２： ｌ
＝ｌ ‘． Ａｌ 。
上 （ ） 角 阵／ 零 （ 等 ） 阵 ／ 交 阵． 下 三 幂 幂 矩 正 ２ 若 ｎ阶 方 阵 Ａ为 反 对 称 阵 ， 当 ｎ为 奇 数 时 伴 随 矩 ． 则 阵 为 对 称 阵 ， ｎ为 偶 数 时 伴 随 矩 阵 为 反 对 称 阵 ． 当
◎ 邓俊 兰 （ 阳 师 范 学 院 数 学 与 统 计 学 院 南
・
（ 』） ４
＝（ … ， 中 ， 方 阵 Ａ 的 元 素 ｎ 的 代 数 余 子 Ａ， ） 其 是
证明 （） １ 当 可 逆 时 ，
（ ） ＝（１ ＝ Ｉ 。 Ａ一 ） Ａ ＡＩ ） Ａ一 ＡＩ （ 。
Ｉ＝ｌ 一‘ ＡＩ ．
二 、 随矩 阵 Ａ 伴 的运 算 性 质
１ 为 任 意 常 数 ， Ｍ ） ＝ ． ． （ 一 Ａ
证明 设 Ａ ＝（ “ … ， ａ） （ ） ＝（ … ， ｂ 为 行 列 ６） 则
３ ．若 方 阵 Ａ 为正 定 阵 ， 伴 随 矩 阵 Ａ 则 也 为 正 定 阵 ． ４４ 与 Ｂ 等 价 ／ 似 ／ 同 ， 伴 随 矩 阵 Ａ ． 相 合 则 与 Ｂ 也 等
理 论 中起 着 十分 重 要 的 作 用 ， 它 可 以 容 易 推 出 以 下 两 条 从
推论．
１ ．若 方 阵 Ａ 为 可 逆 阵 ／ 称 阵／ （ ） 角 阵／ 零 对 上 下 三 幂 （ 等 ） 阵／ 交 阵 ， 伴 随 矩 阵 幂 矩 正 则 也 为 可 逆 阵／ 称 阵 ／ 对