线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组 第二课时
线性代数课件 矩阵的初等变换与线性方程组.
定理 2 方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P1 P2 Pl 使AP1P2 Pl
推论1 方阵A可逆的充分必要条件是A ~ E
推论2 mn矩阵A与B等价的充分必要条件是存在 m阶可逆矩阵 P及n阶可逆矩阵Q 使PAQB 若矩阵A可逆 则矩阵(A E)经初等行变换可化为(E A1)
8
基本题型
求矩阵的秩和极大无关组
基本方法 : 用初等列（行）变换将矩阵变 为列（行）阶梯阵。讨论矩阵的秩.
与求向量组的秩和极大无关x=0 有非零解 R(A)<n.
Ax 0
线 性 方 程 组
求 解
1.化系数矩阵为最简形. 2.找等价的方程组.
3.写通解. Ax=b 有解 R(A)=R(B).
Ax b
求 解
1.把增广矩阵B化为最简形. 2. 找等价的方程组. 3.写通解.
10
定理4 n元线性方程组Axb (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b) (2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n 定理5 线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(A b) 定理6 n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是 R(A)n
3
初等矩阵
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 初等矩阵都是可逆的 并且 E(i j)1E(i j) E (i ( k )) 1 E (i ( 1 )) E(ij(k))1E(ij(k)) k
• 初等阵与初等变换的关系 • 左乘------行变换 • 右乘------列变换
r
5
解矩阵方程：基本方法是初等变换.
E, X ， （2）AX=B 用（A，B）
第2章 线性方程组与矩阵初等变换-郑成勇主编教材配套课件
11
−2
r3
−3r2
0
−10
11
−2
11 3
0
11
r2 r3
−3r1 −11r1
0
−30
33
0
0
0 0 6
最后一个矩阵所对应的线性方程组为
0
x1 + 3x2 x1 −10x2
− 3x3 = 1 +11x3 = −2
.
0x1 + 0x2 + 0x3 = 6
方程组最后一个方程显然矛盾，故方程组无解.
矩阵总可以经过若干次初等变换化为它标准形 F
=
Er O
O
O
mn
，
04 其中 r 为行阶梯形矩阵中非零行的行数.
OPTION
Linear Algebra
2.3 矩阵初等行变换解线性方程组
第2章 线性方程组与矩阵初等变换 14
定义2.1 矩阵的秩 将一个矩阵 A化成行阶梯阵后, 其非零行的行数称为矩阵的
a21
a22
阵
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
未 知
x
=
x2
变
量
xn
b1
常 数 列
b
=
b2
bm
Ax = b
a11 a12
增广矩阵
B =[A
b]
=
a21
a22
am1 am2
a1n b1
a2n
b2
amn bm
A = [a1, a2 , , an ] 其中 ai ( i = 1, 2, , n ) 为矩阵 A 的第i 列，则按分块矩阵乘法运算，
矩阵的初等变换课件
0 0 0ห้องสมุดไป่ตู้1 3
0 0 0 1 3
0 0 0 02 06
00 000
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
11
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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
行阶梯矩阵特点： 1 可划出一条 阶梯线，线的下方 全为零； 2 每个台阶 只有一行，台阶 数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第 一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元 ．
①2②
①2②
显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3
7
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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系
同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个 非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换 完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换
21
• 理解线性方程组无解、有惟一解或有无限多个解 的充要条件
• 熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的 方法
2
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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法． 再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程 组有非零解的充分必要条件和非齐次线性 方程组有解的充分必要条件，并介绍用初 等变换解线性方程组的方法．内容丰富， 难度较大.
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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
行阶梯形矩阵：
•各非零行首非零元素分布在不同列 •当有零行时，零行在矩阵的最下端
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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
行最简阶梯形矩阵：
线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组 习题课
二、矩阵的秩及其求法
1、定义： A的秩就是A中最高阶非零子式的阶数.记作R(A)=r.
2.矩阵秩的性质 设A: m n 型矩阵,则:
(1)0 R( A) min(m, n);
0, k 0
(2) R( AT ) R( A);
(3) R(kA) R( A),k 0
(4)行阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数．
7.当A等于(
)时,
CH3 初等变换与方程组
a11 a12 a13 a11 3a31 a12 3a32 a13 3a33
Aa21
a22
a23
a21
a22
a23
a31 a32 a33 a31
a32
a33
1 0 0
1 0
A 0 1 0 (B) 0 1
A11 A21 A31 A41
A*
A12
A13 A14
A22 A23 A24
A32 A33 A34
0 A42
A43 A44
R( A* ) 0
例5 设A是n阶矩阵,且A2=E, 证明R(A+E)+R(A-E)=n
证明：由A2=E得： A2 E ( A E)( A E) 0
t
0
0 4 5 2
1 2 －1 1 0 －4 t 2 2 0 0 3 t 0
1 2 1 1 0 4 t 2 2 0 4 5 2
r(A)=2 3 t =0, 即 t =3
例3 设线性方程组
为A的伴随矩阵，且
线性代数-矩阵的初等变换
求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量 的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中 应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等 于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于 其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n， 其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩 阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的 性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全 为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1， 且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。
《线性代数》3.1线性方程组的初等变换
ri krj 表示矩阵第i 行的各元素加上第 j行对应元素的k倍.
2 1 1 1 1 1 2 1 若将方程组①表示为矩阵 B 4 6 2 2 3 6 9 7
对 B 作如下运算
2 4 4 9
第一节 线性方程组的初等变换
一、 线性方程组的初等变换
定义3.1.1 线性方程组的如下变换称为其初等变换：
（1）互换方程组中两个方程的位置；
（2）用一个不为零的常数 k 乘方程组中某一个方程； （3）把某一个方程加上另一个方程的 k 倍.
用 i j 表示互换第 i 个方程与第 j 个方程的位置，
x3 可任意取值.的未知量为自由未知量，写在等号的 右边；把 x1 , x2 , x4 称为非自由变量（基本未知量）.
其中 若令 x3
c, 则方程组的解变为
x1 c 4 1 4 x2 c 3 1 3 x c c 1 0 （其中 c 为任意常数） 3 x 3 0 3 4
1 1 2 1 2 1 1 1 B 2 3 1 1 3 6 9 7
r1 r2 1 r3 2
4 2 2 9
1 1 2 1 2 1 1 1 r2 r3 r3 2 r1 2 3 1 1 r4 3 r1 3 6 9 7
x1 (1) ( 2 ) ( 2 ) ( 3)
把
x3 x2 x3
4 （1） 0 （2） x4 3 （3）
方程组变成一个有4个未知量3个方程的阶梯形的方程组，
线性代数课件第三章
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
矩阵的初等变换与线性方程组的求解教材
原方程组无解
例3
解方程组 3
x1 x1
x2 2 x3 3 x4 13 x2 x3 x4 1
x1 2 x2 x3 x4 8
解 对方程组的增广矩阵B 依次施行下列初等行变换，使 它化为行阶梯形矩阵
1 1 2 3 13 B 3 1 1 1 1
1 2 1 1 8
1 1 2 3 13
最后一个矩阵
1 0
1 1
2 4
3 8
13 33
已是行阶梯形矩阵
0 0 1 2 8
它对应的方程组是
x1
x2 x2
2 4
x3 x3
3 x4 8 x4
13
33
x3 2x4 8
从最后一个方程可得 x3 8 2x4, 其中 x4 可取任意实数．
把 x3 8 2x4 代入第二个方程，得到 x2 1
B 1 4 13 14
0 2 10 12
3 5 4 2 r3 3r1 0 1 5 8
r2 2 1
0 0
2 1 1
3 5 5
2 6 8
1 r3 r2
0 0
2 1 0
3 5 0
2 6 2
这个矩阵的最后一行除最后一个元素不为零外其余元素
都为零，它对应一个矛盾方程 0x1 0x2 0x3 2
．
2 x1 x2 x3 4
解 对方程组的增广矩阵 B 依次施行以下初等行变换，使
它化为行阶梯形矩阵．
0 1 1 2
1 1 1 5
1 1 1 5
B
1 1 2
1 2 1
1 2 1
5 0 r1 r2
7 4
1 2
1 2 1
1 2 1
第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组
第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组第三章主要介绍了矩阵的初等变换与线性方程组的关系，以及利用矩阵的初等变换来求解线性方程组的方法。
一、矩阵的初等变换1.矩阵的初等变换包括三种操作：互换两行、用一些非零标量乘以其中一行、将其中一行的若干倍加到另一行上。
2.初等变换的性质：初等变换保持矩阵的秩不变；有逆变换；多次初等变换的结果等于这些变换分别作用于单位矩阵的结果的乘积。
二、线性方程组的解1.线性方程组可用矩阵表示为AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知向量，B为常数列。
2.系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A，B)的秩，即r(A)=r(A，B)。
3.齐次线性方程组与非齐次线性方程组：-齐次线性方程组为AX=0，其中0为零向量。
它总有零解，即使有非零解也有无穷多个。
-非齐次线性方程组为AX=B，其中B不为零向量。
它只有唯一解或无解两种可能。
4.矩阵的秩和线性方程组解的关系：r(A)=n，即系数矩阵A的秩等于未知数的个数，则线性方程组只有唯一解；r(A)<n，则线性方程组有无穷多解或无解。
三、求解线性方程组的方法1.初等变换法：-将线性方程组的系数矩阵A和常数列B增广为(A，B)的增广矩阵。
-利用初等变换将增广矩阵化为行简化形式。
-根据化简后的增广矩阵，确定线性方程组的解。
2.矩阵的逆法：-若系数矩阵A可逆，则可将AX=B两边同时左乘A的逆矩阵A-1，得到X=A-1B。
-利用矩阵的逆可以直接求解线性方程组的解。
3.克拉默法则：-若系数矩阵A可逆，则线性方程组AX=B的解可以表示为Xi=，Ai，/，A，其中Ai是将系数矩阵A的第i列替换为常数列B后所得到的矩阵，A，是系数矩阵A的行列式。
-克拉默法则可以用来求解二元线性方程组和三元线性方程组的解。
综上所述，矩阵的初等变换与线性方程组有着密切的关系。
利用矩阵的初等变换可以简化线性方程组的求解过程，而线性方程组的解与系数矩阵的秩有关。
在求解线性方程组时，可以通过初等变换法、矩阵的逆法或克拉默法则来得到方程组的解。
知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组
知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换是线性代数中的一个重要概念，常用于解线性方程组。
这篇文章将对矩阵的初等变换及其与线性方程组的关系进行详细阐述。
一、矩阵的初等变换的定义和种类矩阵的初等变换是指对矩阵进行的三种基本操作：交换两行，用数乘一个非零常数乘以其中一行，以及把一行的倍数加到另一行上去。
这三种操作都可以表示为可逆矩阵的乘积，因此初等变换不改变矩阵的行秩和行空间。
三种初等变换可以分别表示为：1. 交换两行：用一个单位矩阵的行交换矩阵作用于原矩阵，例如将第i行与第j行交换可以表示为Pij * A，其中Pij为单位矩阵的行交换矩阵。
2.用数乘一个非零常数乘以其中一行：用一个对角矩阵作用于原矩阵，例如将第i行乘以非零常数k可以表示为Di(k)*A，其中Di(k)为对角矩阵。
3. 把一行的倍数加到另一行上去：用一个单位矩阵与其中一倍数的矩阵的和作用于原矩阵，例如将第j行的k倍加到第i行可以表示为Lij(k) * A，其中Lij(k)为单位矩阵与其中一倍数的矩阵的和。
二、矩阵的初等变换和线性方程组的关系解线性方程组的过程中，我们常用到矩阵的初等变换来简化方程组的形式，从而更容易找到方程组的解。
下面以一个简单的线性方程组为例进行说明。
假设有一个线性方程组：a1*x1+a2*x2=b1c1*x1+c2*x2=b2将该线性方程组表示为矩阵形式：A*X=B其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
我们可以通过矩阵的初等变换来简化系数矩阵A，从而简化方程组的求解过程。
1.交换两行：通过交换方程组的两个方程，可以改变线性方程组的次序，从而改变系数矩阵A的排列顺序。
这样做有时可以使系数矩阵更容易进行进一步的变换和求解。
2.用数乘一个非零常数乘以其中一行：通过将一些方程的系数乘以一个常数k，可以改变该方程的形式。
这样做可以使一些系数简化为1，从而更容易求解。
如果系数k为0，则可以直接删除该方程。
3.把一行的倍数加到另一行上去：通过将一些方程的系数与另一个方程相加，可以使两个方程中的一些系数为0，从而进一步简化系数矩阵A。
矩阵的初等变换与线性方程组求解
矩阵的初等变换与线性方程组求解矩阵在数学中扮演着重要的角色，它们被广泛用于各个领域的问题求解。
在矩阵中，初等变换是一种常用的工具，用于改变矩阵的形式，进而帮助我们解决线性方程组的求解问题。
本文将详细介绍矩阵的初等变换的概念和操作，以及如何利用初等变换来求解线性方程组。
一、初等变换的概念初等变换是指在满足一定规则下对矩阵进行的一系列基本操作。
根据初等变换的不同类型，可以将其划分为三类：交换两行或列、某行或列乘以非零常数、某行或列乘以非零常数后加到另一行或列上。
通过这些操作，我们可以改变矩阵的行列式、秩、高斯消元等性质，从而为线性方程组的求解提供便利。
二、初等变换的操作1. 交换两行或列：通过交换矩阵中任意两行或两列的位置，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。
2. 某行或列乘以非零常数：将矩阵中某一行或列的所有元素乘以一个非零常数，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。
3. 某行或列乘以非零常数后加到另一行或列上：将矩阵中某一行或列的所有元素乘以一个非零常数，并加到另一行或列上，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。
三、利用初等变换，我们可以将线性方程组的系数矩阵通过一系列操作，转化为特殊形式的矩阵。
这个特殊形式的矩阵通常被称为行简化阶梯形矩阵或行最简矩阵。
行简化阶梯形矩阵的主对角线上的元素全为1，并且每个主对角线上方的元素全为0。
得到行简化阶梯形矩阵后，就可以利用高斯消元法等技巧，快速求解线性方程组的解。
通过矩阵变换的过程，我们可以发现行简化阶梯形矩阵的解可以直接得到，而不需要进行繁琐的计算。
四、实例分析为了更好地理解矩阵的初等变换与线性方程组求解的过程，我们来看一个具体的例子。
考虑以下线性方程组：x + y + z = 62x + 3y + 4z = 174x + 5y + 6z = 28将其转化为矩阵形式：( 1 1 1 | 6 )( 2 3 4 | 17 )( 4 5 6 | 28 )接下来，我们利用初等变换将矩阵转化为行简化阶梯形矩阵。
线性代数-矩阵初等变换与线性方程组省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
x1 1 1
x2
c
1
2
x3 1 0
第18页
一些推广：
1． 矩阵方程 AX B 有解 R A R A, B 。 2． AB C ，则 RC min{R A, RB}。 3． 矩阵方程 Amn X nl O 只有零解 R A 0 。
第19页
，（
B2
称为行最简形矩阵）
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
B2 对应的线性方程组为
x1
x2
x3 x3
4 3
x4 3
取 x3 c ，则
x1 c 4
x2 x3
c c
3
x4 3
x1 c 4 1 4
即
x2
c
3
c
1
3
x3 x4
c
0
205
第14页
§4 线性方程组的解 定理 n 元线性方程组 Ax b
1． 无解 R A R A,b 2． 有唯一解 R A R A,b n 3． 有无穷多解 R A R A,b n
第15页
证 设 R A r ，为讨论方便，不妨设增广矩阵经若干次初等行变换变成如下行最简形矩
阵
1 0
第1页
r
定义 若矩阵 A 经有限次初等行变换变成矩阵 B ，则称 A 与 B 行等价，记 A ~ B ；
c
若矩阵 A 经有限次初等列变换变成矩阵 B ，则称 A 与 B 列等价，记 A ~ B ； 若矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B ，则称 A 与 B 等价，记 A ~ B 。
等价关系满足：
0
1
B
A,
b
r
~
0 0
0 0
0 0
矩阵的初等变换与线性方程组的求解【精品推荐ppt】ppt课件
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1, rm-1=qm+1rm（m≥1, rm=d）
x1 x2 3x3 x4 x5 3
例1 求线性方程组
或“－1”，若主对角线上某一元素为“－1”，则该
32xx11
2x2 4x3 5x4 x5 4x3 2x4 3x5
4 4
位填充矩阵C是匹配的。
由
得
的一般解。 B是匹配的，故C只能是n×n矩阵， 从而C′
rm-2=qmrm-1+rm,0<rm<rm-1,
而B的填充矩阵为：
1 0
0
1
0 b1,r1 0 b2,r1
b1,r2 b2,r2
b1n
b2n
C
0
0
1 b b r,r1
r ,r 2
brn
(5)
0 0
0 1 0
0
0 0
00 0
1nn
其所有J－列向量为： r+1=(b1,r+1, …,br,r+1, －1,0, …,0) r+2=(b1,r+1, …,br,r+1,0, －1, …,0)
有解，其增广矩阵A经一系列初等行变换化 为行最简形矩阵B，则B的n×(n+1)单位填充
矩阵பைடு நூலகம்所有“J－列向量”构成方程组(7)的导
出组的一个基础解系，而C的最后一列为方 程组(7)的一个特解。
证明 由定理1，前一结论显然。下证Ｃ的最 后一列为方程组的一个特解。
作齐次线性方程组
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并且 A的标准型中的r由A确定.
1 1 标准型中的r其实就是标准型的非零行的行数. 3 1 1 例： A 3 1 行阶梯形矩阵的非零行的行数就是矩阵的秩. 3 1 9 8 0 4 4
1. A的k阶子式：
5
矩阵 A中任取k行k列元素按原来的位置构成的k阶行列式.
如上例: 0 1 1 1 0 1 2 0 0 A 0 1 2 列 2 0 0 E 1 1 0 1 1 0 2 0 1 0
0 1 0 1 1 1 2
0 0 1
0 0
解1：
D5
1 0 0
a1 1 0 0
1 a2
1 a2
1 a4
1 a4 0 1
按最后一 列展开 +D4
( 1) a1a 2 a 5 D 4
n
( 1) a 1a 2 a 5 ( 1) a 1a 2 a 4 D 3
1 0 (2) 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
2 2 0 0
3 2 0 0
作业：P79、10（1,3）；12;19
交CH2大作业
下节内容：§3 请大家做好预习！
大作业选讲 CH1-四 计算:
1 a1 －1 D5 0 0 0 a2 1 a2 －1 0 0 0 a3 1 a3 －1 0 0 0 a4 1 a4 －1 0 0 0 a5 1 a5
第n列的第n个元素由两项组成，所以我们可 以首先将第n个元素分成两项再降阶。
技巧
1 a1
a2 0 0
0 a2 0 0
5
0 0 1 来自0 0 a5 a5
0 0 a4 1
4
1 a1 1 0 0
0 0 0 a5
a2 0 0
【推论3】设A是可逆矩阵,则可以只经过初等行变换 化成单位矩阵E. 【证推论3】 因A可逆, 所以A-1也可逆, 由性质2存在初等阵P1,P2,…,Ps,使 A-1= P1P2…Ps 于是有 A-1A=P1,P2,…,PsA=E 这表明,只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵.
记住这个公式，很重要！
注:矩阵A可逆的 充要条件是A与 单位矩阵E等价
行
可得解矩阵方程: AX=B(其中A可逆)的一般方法:
A B
1
想一想
2)
XA B
1
当矩阵A可逆时,如何用初等变换求解矩阵 方程: XA=B ?
例4:设矩阵方程为AX=B,求矩阵X,其中
1 A 3 2 2 , B 4 3 5 2
解: 由于:
A
1 B 3
4.从矩阵A中划去一行得矩阵B,问A与B的秩的关系怎样?
练习题答案：
1.都有可能有。
2.；
1 (1 ) 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 ; 1
3.(1)3；(2)当a+b+c=0，秩为2；当a+b+c≠0时，秩为3； 4. R A R B R A 1
1 1 1
0 0 2
1 1 0
0 1 0
0 0 1
1 r1 r , r3 r 2 2 0 0
1 r1 ( 1 ), r2 ( 1 ), r3 ( 1 ) 2 0 0
mn
型矩阵 A的k阶子式共有 C m C n 个.
k
k
矩阵A的秩：就是A中最高阶非零子式的阶数.记作R(A)=r.
规定：零矩阵的秩为0.
经 算 计 知
R ( A ) 2.
2.矩阵秩的性质 由矩阵秩的定义不难得到：
【 性 质 】设A: m n型矩阵,则:
( 1 ) 0 R ( A ) min( m , n );
1 2 A 1 3 2 4 2 2 1 6 9 7 0 2 4 2 4 5 7 1
求秩只需要将矩阵 化成行阶梯形即可！ 不必化成行最简形。
1 0 0 0
2 8 0 8
1 4 10 4
0 2 4 2
1 4 0 13 0 3 0 13
2 4
2 3
5 1 r2 3 r1 2 0
2 2
2 3
5 17
1 0
1 r2 2
2 1
2 3 2
5 1 2 r2 17 r 2
1 0
0 1
1 3 2
设A为n阶方阵,且3En+4A-4A2=O,则: 【例2】
R(En+2A)+R(3En-2A)=n
【证】由3En+4A-4A2=O得： (En+2A)(3En-2A)=O
再由补充性质(4)得：
R E n 2 A R3 E n 2 A n
又由(En+2A)+(3En-2A)=4En 及补充性质(2)得:
初等变换
O ;
补充：矩阵秩的其他性质
( 1 ) max R ( A ), R ( B ) R ( A , B ) R ( A ) R ( B ); ( 2 ) R ( A B ) R ( A ) R ( B ); ( 3 ) R ( AB ) min R ( A ), R ( B ); ( 4 ) 若 A m n B n l 0 , 则 R ( A ) R ( B ) n; ( 5 ) 设 A 为 n 阶方阵 , 则 R ( A E ) R ( A E ) n .
线性代数
矩阵的初等变换与线性方程组 第2课时
CH3 初等变换与方程组
温故而知新
(一)矩阵的三种初等变换及性质; (二)矩阵的等价、矩阵的化简; (三)三种初等矩阵、方阵可逆的充要条件; (四)用初等变换求逆矩阵、解矩阵方程.
【性质2】矩阵A可逆的充要条件是:存在有限个初等阵 P1，P2，…,Pk，使: A=P1P2…Pk. 【证】 充分性:设有初等阵P1，P2，…,Pk , 使 A=P1P2…Pk. 因初等阵是可逆矩阵, 且可逆阵的积还是可逆阵,所以A可逆。 必要性：设A是可逆阵，所以A经初等变换可以化成标准型F. 从而经有限次初等变换可以将F变成A， 即存在有限个初等阵P1,P2,…,Pl,Pl+1,…,Pk,使: A= P1P2…PlFPl+1…Pk,
12 17 2
所以:
1 12 1 17 X A B 3 2 2
§2 矩阵的秩
矩阵的秩的概念与性质
用 初 等 变换 求矩 阵 的 秩
问题与思考
一、矩阵的秩及其求法
复习:
Er 任一矩阵都可经初等变换化成标准型 O O O
即矩阵经初等变换后其秩不变．
反之成立吗?
注： 若存在可逆矩阵 、 Q , 使 PAQ B , 则 R( A) R( B ). P
二.用矩阵的初等变换求矩阵的秩
一般方法： 1）将A用初等变换化为行阶梯形矩阵； 2）R(A)等于A的行阶梯形矩阵的非零行数。 例1：求矩阵A的秩，其中: 解：
( 1 ) n 阶方阵 A 的秩 R ( A ) n A E n ; En ; ( 2 ) m n 型矩阵 A 列满秩 A O
初等变换 初等变换
( 3 ) m n 型矩阵 A 行满秩 A E m
问题与思考答案:
因为R(A)= 1,故A中二阶以上子式全为零.因 此A中第一行与第二行元素对应成比例:
1 2x 2 y 1 3
即: x
3 2
,y6。
四、练习题 1. 在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r-1阶子式?有没有等
于0的r阶子式? 1 . 2.把下列矩阵化为行最简矩阵:2 (1 )
R E n 2 A R3 E n 2 A R4 E n n
综合两式结果得：
R E n 2 A R3 E n 2 A n
证毕
三、问题与思考
1 设矩阵: A 2 x 0 2 y 0
CH3 初等变换与方程组
1 若R(A)=1,确定A中参 3 数x与y的数值. 0
0 0 1 0 0 1 2
=A-1
2.用初等变换解矩阵方程
设矩阵方程为: AX=B,其中A可逆,则矩阵X=A-1B。 设: A-1 =P1P2…Ps (Pi为初等矩阵) 得:
由 A-1A=E; A-1B= X; P1P2…PsA=E， P1P2…PsB=X
1) A B E
A
1
0 1 0
0 0 1
2 1
1 2
1 1
1 2
0 0 1 2
E
A
1
注: 也可用初等列变换求可逆矩阵的逆:
A 1) 令矩阵 E A 列 E 2) 做初等列变换 1 E A
0 2 0 3 3 0 4 1 1 3 1 ; (2) 2 3 3 1 0 a 1 1 b 0 1 c 3 3 5 4 1 2 3 2 0 3 4 2 1 1 3 4
1 2 1 0 1 3.求下列矩阵的秩: (1 ) 1 1 1 1 ; ( 2 ) 0 1 2 1 2 1
(2) R( A
T
) R ( A );
0, k 0 ( 3 ) R ( kA ) R ( A ), k 0