最短路径问题(珍藏版)_201710261614551 (1)
(完整版)最短路径习题
13.4课题学习最短路径问题1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是。
BA②如右图是一个长方体木块，已知AB=3，BC=4，CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
DCA B2．①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
李庄张村②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。
请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。
BAL③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。
3．如图是一个长方体木块，已知AB=5，BC=3，CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
4．现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。
5．如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。
6．正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。
7．在菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。
张村李庄ABCDABAB图(2)8．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为____ ___。
最短路径问题介绍
最短路径问题介绍全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最短路径问题是指在一个带有边权的图中，寻找连接图中两个特定节点的最短路径的问题。
在实际生活中，最短路径问题广泛应用于交通运输、通信网络、物流配送等领域。
通过解决最短路径问题，可以使得资源的利用更加高效，节约时间和成本，提高运输效率，并且在紧急情况下可以迅速找到应急通道。
最短路径问题属于图论中的基础问题，通常通过图的表示方法可以简单地描述出这样一个问题。
图是由节点和边组成的集合，节点表示不同的位置或者对象，边表示节点之间的连接关系。
在最短路径问题中，每条边都有一个权重或者距离，表示从一个节点到另一个节点移动的代价。
最短路径即是在图中找到一条路径，使得该路径上的边权和最小。
在解决最短路径问题的过程中，存在着多种算法可以应用。
最著名的算法之一是Dijkstra算法，该算法由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题，即从一个给定的起点到图中所有其他节点的最短路径。
该算法通过维护一个距离数组和一个集合来不断更新节点之间的最短距离，直到找到目标节点为止。
除了Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法外，还有一些其他与最短路径问题相关的算法和技术。
例如A*算法是一种启发式搜索算法，结合了BFS和Dijkstra算法的特点，对图中的节点进行评估和排序，以加速搜索过程。
Bellman-Ford算法是一种解决含有负权边的最短路径问题的算法，通过多次迭代来找到最短路径。
一些基于图神经网络的深度学习方法也被应用于最短路径问题的解决中，可以获得更快速和精确的路径搜索结果。
在实际应用中，最短路径问题可以通过计算机程序来实现，利用各种算法和数据结构来求解。
利用图的邻接矩阵或者邻接表来表示图的连接关系，再结合Dijkstra或者Floyd-Warshall算法来计算最短路径。
最短路径问题(经典)
最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【十二个基本问题】。
最短路径问题例题与讲解
13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如下图：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不管题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)假设要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想方法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路程最短．利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如下图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如下图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA －CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。
最短路径算法例题
最短路径算法例题最短路径算法是图论中非常重要的算法之一，用于找到两个顶点之间的最短路径。
最短路径问题在实际生活中有很多应用，例如导航系统中的路线规划、网络中的数据传输等。
下面我们给出一个例题来说明最短路径算法的应用。
假设我们有一个城市的地图，其中包含了多个交叉路口和道路，每个道路都有一个权值表示该道路的长度。
我们需要找到从起点到终点的最短路径。
给定以下城市地图示例：```A/2 5/B---3---C| |4 6| |D---1---E```其中，A、B、C、D、E代表交叉路口，数字代表道路的长度。
现在我们要找到从起点A到终点E的最短路径。
我们可以使用Dijkstra算法来解决这个问题。
Dijkstra算法的基本思想是通过不断扩展路径，更新起点到每个顶点的最短路径。
具体步骤如下：1. 初始化距离数组dist，起点到每个顶点的距离初始设为无穷大，起点到自身的距离为0。
2. 选择起点A作为当前顶点，更新起点到A相邻顶点的距离。
对于起点A的相邻顶点B和C，更新dist[B] = 2和dist[C] = 5。
同时将A标记为已访问。
3. 在未访问的顶点中选择距离起点最近的顶点作为当前顶点，这里选择B作为当前顶点。
更新起点到B的相邻顶点D的距离，即更新dist[D] = 6。
同时将B标记为已访问。
4. 重复步骤3，选择距离起点最近的未访问顶点作为当前顶点，直到终点E被标记为已访问。
5. 最终得到起点到终点的最短路径长度为dist[E] = 7。
在本例中，起点到终点的最短路径是A->B->D->E，总长度为7。
最短路径算法是图论中的经典算法之一，有多种实现方式，包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
不同的算法适用于不同的问题场景，选择合适的算法可以提高计算效率。
总结起来，最短路径算法可以帮助我们在图中找到起点到终点的最短路径，解决实际生活中的路径规划问题。
最短路径问题
最短路径问题分两种情况，分别为阶段k=3和k=4:一、阶段:k=3显然，从始点A 到终点E 只有两条路径：A →1B →1D →E,路径距离是10；A →3B →3D →E,路径距离是9.二、阶段：k=4决策：逆序递推k d 1(,)k k x x +表示第k 阶段由初始状态k x 到下一阶段初始状态1k x +的距离。
()k k f x 表示从第k 阶段的k x 到终点E 的最短距离。
（1）阶段k=4有三个初始状态1D 、2D 、3D若最短路径经过1D ，41()f D =3若最短路径经过2D ，42()f D =1若最短路径经过3D ，43()f D =5（2）阶段k=3有两个初始状态1C 、2C若最短距离经过1C ，31()f C =min ｛311(,)d C D +41()f D ，312(,)d C D +42()f D ,313(,)d C D +43()f D ｝=min ｛5，6，8｝=5若最短距离经过2C ，同理，32()f C =min ｛4，5，7｝=4（3）阶段k=2有三个初始状态123B B B 、、若最短距离经过1B ，21()f B =min ｛211(,)d B C +31()f C ，212(,)d B C +32()f C ｝=min{9，7}=7 若最短距离经过2B ，22()f B =min ｛221(,)d B C +31()f C ，222(,)d B C +32()f C ｝=min ｛6，7｝=6若最短距离经过3B ，23()f B = min ｛231(,)d B C +31()f C ，232(,)d B C +32()f C ｝=min{8，9}=8（4）阶段k=11()f A =min ｛11(,)d A B +21()f B ，12(,)d A B +22()f B ，13(,)d A B +23()f B ｝=min ｛10，8，9｝=8故当经过四个阶段时，最短路径距离为8.综合一、二两种情况，可以明显得出最短路径距离是8，其相对应的最佳路径为A →2B →1C →1D →E。
最短路径问题
最短路径问题【基础知识】最短路径问题是一个经典问题，旨在寻找图中两点之间的最短路径，具体有以下几种：1. 确定起点的最短路径问题——即已知起始点，求最短路径；2. 确定终点的最短路径问题；3. 确定起点终点的最短路径问题；4. 全局最短路径问题。
这些问题涉及知识有“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形三边之和大于第三边”、“轴对称”、“平移旋转”等。
问题图形在直线l上求一点P，使得PA+PB值最小在直线l上求一点P，使得PA+PB值最小（将军饮马问题）在直线l1、l2上分别求点M、N，使得∆PMN的周长最小直线m//n，在m、n上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小在直线l上求两点M、N（M在左），使MN=a，并且AM+MN+BN的值最小在直线l1、l2上分别求点M、N，使得四边形PQMN的周长最小在直线l1上求点A，在l2上求点B，使PA+PB最小点A、B分别为直线l1、l2上定点，在l1、l2上分别求点N、M，使AM+MN+NB在直线l上求一点P，使|PA−PB|的值最小在直线l上求一点P，使|PA−PB|的值最大在直线l上求一点P，使|PA−PB|的值最大若∆ABC中每一个内角都小于120°，在∆ABC内求一点P，使得PA+PB+PC的值最小）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD+√55BD 的最小值是 .如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC ＝1，BD ＝2，点P 为弧AB 上一动点，求的最小值.。
数学最短路径问题(珍藏版纯word版)
第11讲：轴对称【问题概述】初中数学最值问题是每年中考必出题，更是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．一．【十二个基本问题】在直线l上求一点+PB 值最小。
【问题2】作图在直线l上求一点A+PB 值最小．【问题3】“将军饮马”作图在直线l1 、l2 上分别求点M、N，使△PMN周长最小．【问题 4】作图在直线l1、l2上分别求M 、N ，使四PQMN的周长最小。
直线m∥ n，在m、上分别求点M、N，使m，且AM+MN+BN值最小。
【问题 6】作图在直线l上求两点M、在左），使MN a，并使+MN+NB 的值最小作图l1上求点A，在l2B，使P A+AB值最小．【问题 8】作图A 为l1上一定点，B上；A 为l1上一定点，B 为l2上一定点，在上求点M在l1上求点N作图在直线l上求一点PA－的值最小PB二．“一次对称”常见模型:在直线 l 上求一点 PB PA －的值最大作图在直线 l 上求一点 PB －的值最大 .【问题 12】“费马点”作图ABC 中每一内角都小120°，在△ABC 内求一点P ，使 P A +PB +PC 最小．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.23B. 26C.3D.62．如图，在边长为2 的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（）A.2B.23C.2＋3D. 43．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（）A．120°B．130°C．110°D．140°4．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是__________。
最短路径法计算步骤
最短路径法计算步骤嘿，朋友们！今天咱就来唠唠这个最短路径法计算步骤。
你说这最短路径法啊，就像是在一个迷宫里找最快捷的出路。
想象一下，你站在迷宫的入口，面前有好多条路，你得找到那条能最快带你走到终点的道儿。
第一步呢，就是先把那些节点和边都给整明白咯。
就好比你得清楚迷宫里有哪些岔路口和通道一样。
然后给每个边都标上一个数字，这数字就代表着通过这条边的代价或者距离啥的。
接着呢，咱就从起始点开始，就像你在迷宫里迈出第一步。
然后一点点往外扩散，计算到其他节点的最短距离。
这过程就好像你在探索迷宫，每走一步都要想想是不是离终点更近了。
第三步，不断更新那些距离。
要是发现有更短的路径出现了，那就赶紧把之前的给替换掉。
这就好比你在迷宫里突然发现了一条更近的路，那肯定得赶紧换道儿呀！第四步，一直重复这个过程，直到所有节点都被处理过。
这就像是你把整个迷宫都走遍了，确定了最短的那条路线。
说起来简单，做起来可得仔细咯！就跟你在迷宫里不能瞎走一样，得动脑子，算仔细。
这最短路径法在好多地方都用得着呢！比如你要规划送货路线，那肯定得找最短的路呀，不然多浪费时间和成本呀！你想想看，要是没有这个方法，那不是得瞎碰运气，说不定绕了一大圈才到目的地。
但有了它，咱就能快速准确地找到那条最佳路径。
咱生活中不也经常要找最短路径嘛！比如你每天上班，怎么走路或者坐车最快，这不就是个现实版的最短路径问题嘛！所以说呀，学会这个最短路径法计算步骤，用处可大着呢！总之啊，这最短路径法计算步骤就像是一把钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
大家可得好好掌握，让它为我们的生活和工作带来便利呀！怎么样，是不是觉得挺有意思的？赶紧去试试吧！。
数学最短路径问题讲解
数学最短路径问题讲解数学中的最短路径问题是一个经典的优化问题，主要涉及在图或网络中找到两个节点之间的最短路径。
这类问题在日常生活和工程中有着广泛的应用，如交通路线规划、网络路由、电路设计等。
最短路径问题的常用算法有Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法适用于没有负权重的图，它从源节点开始，逐步找到离源节点最近的节点，直到找到目标节点。
Bellman-Ford算法则可以处理包含负权重的图，它通过不断地松弛边的权重来找到最短路径。
下面以一个简单的例子来解释最短路径问题：假设我们有一个有向图，其中节点表示城市，边表示道路，边的权重表示两城市之间的距离。
我们要找出从城市A到城市B的最短路径。
首先，我们需要理解最短路径的含义。
最短路径是指从一个节点到另一个节点经过的边的权重之和最小的路径。
如果存在负权重的边，我们需要找到一个路径，使得经过的边的权重之和加上起点的权重（如果起点有权重）最小。
在解决最短路径问题时，我们可以使用图论中的一些基本概念，如路径、权重、源节点、目标节点等。
路径是指从一个节点到另一个节点经过的一系列边，权重是指路径上边的权重之和。
源节点是指我们开始寻找最短路径的节点，目标节点是指我们要找到最短路径的终点。
最短路径问题的求解方法通常包括贪心算法和动态规划。
贪心算法是指每一步都选择当前看起来最优的选择，希望这样的局部最优选择能够导致全局最优解。
动态规划则是将问题分解为若干个子问题，并从子问题的最优解逐步推导出原问题的最优解。
在实际应用中，我们还需要考虑一些特殊情况，如图中存在负权重的环、图中存在负权重的边等。
对于这些情况，我们需要使用特定的算法来处理，如Bellman-Ford算法或Floyd-Warshall算法等。
总之，最短路径问题是一个经典的的问题，它的求解方法有很多种。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的算法来处理最短路径问题。
最短路径问题方法总结
最短路径问题方法总结嘿，咱今儿就来说说这最短路径问题！你说这生活中啊，可不就到处都是找最短路径的事儿嘛。
就好比你要去一个地方，肯定想走最快最省力的路呀，这其实就是个最短路径问题呢。
先来说说在地图上找路吧，你得会看那些弯弯绕绕的线条，这就像在一个大迷宫里找出口。
有时候你看着好像这条路最近，结果走过去发现有个大堵车，或者路不通，这不就傻眼啦！所以啊，不能光看表面，得综合考虑各种因素。
再打个比方，就像你要去拿个东西，摆在面前有好几条路可以走。
你得想想，哪条路上不会有太多阻碍，哪条路能让你最快拿到。
这可不是随随便便就能决定的哦。
解决最短路径问题，有一种常见的方法叫迪杰斯特拉算法。
这名字听着挺拗口吧，但其实不难理解。
它就像是个聪明的导航，能帮你算出从一个点到其他所有点的最短路径。
想象一下，你站在一个路口，这个算法就像个小精灵在你耳边告诉你该往哪边走。
还有一种叫弗洛伊德算法，它能处理更复杂的情况。
就好像你要在一个超级大的网络里找路，这个算法就能帮你找到那些隐藏的最短路径。
咱平常生活里也经常会碰到类似的问题呀。
比如说你每天上班，怎么走路或者坐车能最快到公司，这就是你的最短路径问题。
你得考虑路上的交通情况、换乘次数等等。
再比如你去超市买东西，怎么在货架之间穿梭能最快拿到你要买的东西，这也是个小小的最短路径问题呢。
那怎么才能更好地解决这些最短路径问题呢？首先你得有耐心，不能着急，得仔细分析各种情况。
然后呢，要多积累经验，就像你知道哪条路经常堵车，下次就避开它。
而且啊，有时候最短路径不一定是最好的路径哦。
就像有时候走一条稍微远点但是风景好的路，心情也会变得超好，这不是也很值嘛！总之呢，最短路径问题可大可小，遍布在我们生活的方方面面。
我们要学会用各种方法去找到最合适我们的那条路。
不管是在地图上找路，还是在生活中做选择，都要好好思考，找到属于自己的最短路径。
别总是盲目地走，要学会动脑子呀！大家说是不是这个理儿呢？。
最短路径问题归纳总结
最短路径问题归纳总结本文介绍了数学中的最短路径问题，该问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图中两结点之间的最短路径。
具体的算法形式包括确定起点的最短路径问题、确定终点的最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题和全局最短路径问题。
其中，“将军饮马”、“造桥选址”和“费马点”是该问题的原型。
解决该问题需要涉及知识包括“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”和“平移”等。
在解题思路方面，可以通过找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
本文还列举了十二个基本问题，包括确定起点的最短路径问题、确定终点的最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题、全局最短路径问题、将军饮马、造桥选址等。
对于每个问题，本文都给出了详细的作法和图形原理，以及需要用到的知识原理。
问题6】给定直线m和直线n，求在它们上面的两个点M和N，使得XXX的值最小。
根据垂线段最短的原理，将点A向右平移a个长度得到A'，作A'关于直线m的对称点A''，连A''B，交直线MN于点M，直线NB于点N，使得MN⊥m且MN=a。
则AM+MN+BN的最小值为A''B+MN。
在直线l上求两点M、N（M在左），使MN=a，并使AM+MN+NB的值最小。
将N点向左平移a个单位得到M。
问题7】给定两条直线l1和l2，求在它们上面的两个点A和B，使得PA+AB的值最小。
根据垂线段最短的原理，作点P关于l1的对称点P'，作P'B⊥l2于B，交l2于A。
则PA+AB的最小值为线段P'B的长。
在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最小。
问题8】给定两条直线l1和l2，求在它们上面的两个点A和B，使得AM+MN+NB的值最小。
根据两点之间线段最短的原理，作点A关于l2的对称点A'，作点B关于l1的对称点B'，连A'B'交l2于M，交l1于N。
最短路径问题和解法
最短路径问题和解法最短路径问题是计算一个图中从一个源点到目标点的最短路径问题，是图论中的重要问题之一。
该问题的解法可以划分为两种：单源最短路径问题和全源最短路径问题。
一、单源最短路径问题单源最短路径问题是指从一个源点出发，计算该源点到其他所有点的最短路径的问题。
解法有两种：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，每次将到源点距离最短的点加入已求出最短路径的点集。
虽然Dijkstra算法只适用于边权值均为正的带权有向图或者无向图，但是它的时间复杂度相比Bellman-Ford算法更优秀，为O(n^2)。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种较为通用的算法，不需要图的属性满足任何特殊要求，但是时间复杂度为O(n^3)，不适用于大规模的图。
算法原理是进行n次松弛操作，查找从源点到其他点的最短路径，其中进行松弛的过程是比较消耗时间的。
二、全源最短路径问题全源最短路径问题是指求解所有点之间的最短路径问题。
解法有两种：Floyd算法和Johnson算法。
3. Floyd算法Floyd算法是一种动态规划算法，算法将所有点对之间的最短路径逐步推进，通过枚举中间点，得到更加精细的状态转移方程和最短路径。
时间复杂度为O(n^3)，因此带来的计算负担较大。
4. Johnson算法Johnson算法目前是解决稠密图最短路径问题的最好算法之一。
Johnson算法先通过引入虚拟点，将原图转化为一个没有负权边的新图，再对新图使用Dijkstra算法进行求解。
该算法的时间复杂度为O(mnlogn)，其中m为边的条数，n为点的个数。
综上所述，最短路径问题是图论中的重要问题之一。
对于单源最短路径问题，Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是常用的解法；全源最短路径问题，Floyd算法和Johnson算法是较为常用的解法。
最短路径问题
最短路径问题在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。
最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。
（1）使用优先队列的Dijkstra算法(重点)Dijkstra算法可用于计算正权图上的单源最短路径，即从单源点出发，到所有结点的最短路，该算法同时适用于有向图和无向图。
Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
最短路径问题(珍藏版)
最短路径问题（珍藏版）【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l上求一点P ，使PA +PB 值最小．连AB ，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为AB ．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为A B ＇．【问题3】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．直线m∥n，在m、n上分别求点M、N，使MNm，且AM+MN+BN值最小．【问题6】图形在直线l上求两点M、N（MN=，并使在左），使a+MN+NB的值最小．【问题7】图形上求点A，在2l上求1B，使PA+AB值最小．【问题8】图形为1l上一定点，B为2l上一定点，在2l上求点M，在1l上求点N，使AM+MN+NB的值最小．【问题9】图形在直线l上求一点P，使P A-的值最小．PB【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使PBP A-的值最大．作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．PBP A-≤AB．PBP A-的最大值＝AB．【问题11】作法图形原理在直线l上求一点P，使PBP A-的值最大．作B关于l的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．PBP A-≤AB＇．PBP A-最大值＝AB＇．【问题12】“费马点”作法图形原理△ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．两点之间线段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3D2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD 交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（）A．2B．32C．32+D．4A DEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为，此时C、D两点的坐标分别为．9．已知A（1，1）、B（4，2）．（1）P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；P A 的值最大时P点的坐标；（2）P为x轴上一动点，求PB（3）CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；10．点C为∠AOB内一点．（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．11．（1）如图①，△ABD和△ACE均为等边三角形，BE、CE交于F，连AF，求证：AF+BF+CF＝CD；（2）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由．。
最短路径计算方法
最短路径计算方法
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲最短路径计算方法。
想象一下，你在一个大大的迷宫里，想要找到最快出去的路，那可不是一件容易的事儿啊！但要是有了最短路径计算方法，那就像有了一把神奇的钥匙，能一下子打开迷宫的大门！
比如说，你要去上班，有好几条路可以走。
走这条路可能近一点，但车多；走那条路可能远一点，但比较顺畅。
这时候最短路径计算方法就派上用场啦！它能帮你算出到底走哪条路最省时间。
那怎么来算这个最短路径呢？咱可以用一种叫迪杰斯特拉算法的玩意儿。
听起来好像挺高深莫测的吧？嘿嘿，其实没那么难啦！就好像你在一堆糖果里挑出最好吃的那颗一样，这个算法就是帮你找出最优的路径。
再举个例子，你要送快递，那么多个地点要去，怎么规划路线才最有效
率呢？最短路径计算方法就能告诉你答案！难道你不想拥有这样一个神奇的工具，让自己的工作和生活变得更加轻松高效吗？
还有啊，这种方法在交通运输领域那可是大有用处！就像给城市的交通
规划师装上了一双慧眼，让他们能更好地设计道路，减少大家在路上浪费的时间。
想象一下，如果没有最短路径计算方法，那我们得走多少冤枉路啊！就
像无头苍蝇一样乱转。
所以说，它真的超级重要！
我的观点就是，最短路径计算方法简直就是我们生活和工作中的好帮手，它能让我们更加高效地行动，节省时间和精力。
大家一定要好好去了解和运用它呀！。
最短路径问题
最短路径问题最短路径问题来源于现实生活，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。
问题1、要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你的理由是什么？这个问题很好解决，直接连接AB与l的交点即是，理由：两点之间线段最短问题2、还是上面的问题，若此时A、B两镇位于输气管道的同侧如图所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？通过找对称点，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想。
这样的转化思想在数学中有很多的应用，而最短路径问题的解决原理与“两点之间线段最短”、“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”有密切的关系，“轴对称”是重要的手段之一。
下面提供几个思考题，同学们可以自行参考。
1、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。
2、如图，已知直线MN同侧有两点A、B，在直线MN上求作点P，使得∠APM=∠BPN3、已知牧马营地在P处，牧马人从A地出发要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线。
4、点A、B在直线l同侧，在l上找一点M，使得|AM-BM|的值最小5、点A、B在直线l同侧，在l上找一点M，使得|AM-BM|的值最大6、点A、B在直线l异侧，在l上找一点M，使得|AM-BM|的值最小7、点A、B在直线l异侧，在l上找一点M，使得|AM-BM|的值最小谢谢大家继续为我的微课投票：打开网址 /Works/workslist 搜索姓名：彭鹏飞，点击下面的五个微课为我投票（这个是个教学论坛需要注册，家长朋友们可以用小孩的身份证号进行注册。
论坛中大家还可以看到很多优秀的教学微课初高中都有，还是很不错的论坛）。
最短路径例题
最短路径例题1. 理解最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题，它主要理解的是从图中一个点到另一个点的最短距离是多少。
图中每个点称为顶点，连接顶点的边可以有权值，权值可以理解为从一个顶点到另一个顶点的距离。
最短路径问题的应用非常广泛，比如GPS定位系统、社交网络中的好友推荐、物流配送等都会用到。
2. 最短路径算法解决最短路径问题的算法有很多种，最为经典的是Dijkstra算法和Floyd算法。
Dijkstra算法是一种单源最短路径算法，适用于权值不为负的有向或无向图，它可以求出从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
而Floyd算法是一种多源最短路径算法，它可以求出任意两个顶点之间的最短路径。
3. 最短路径例题解析我们来看一个具体的例题，这是一个无向图，顶点有A、B、C、D四个，边的权值如下：AB为1，AC为2，AD为5，BC为2，BD为3，CD为1。
我们需要求出从A出发到其他顶点的最短路径。
首先我们可以使用Dijkstra算法来解题。
算法的步骤主要包括初始化距离，选择最短距离的顶点，更新距离等。
1. 初始化距离，设置源顶点A到自身的距离为0，到其他顶点的距离为无穷大。
2. 选择最短距离的顶点，首次选择的就是源顶点A。
3. 更新距离，考察源顶点A的邻接顶点B、C、D，A到B、A到C的距离可以通过边直接得到，分别是1和2。
A到D有一条直接的边，距离是5，但是A可以先到B或C，再到D，这样的距离就可以比5小，所以可以更新A到D的距离。
以此类推，我们可以得到从A出发到B、C、D的最短路径分别是1、2、3。
图示和算法解析清晰地展示了最短路径算法的计算过程，并且对于理解和解决实际中的最短路径问题有很大的帮助。
4. 总结最短路径问题是一个常见且实用的问题，能够有效地解决许多实际问题。
熟悉并掌握这种算法，不仅可以提高解题能力，也可以应用到工程项目和科研任务中。
数学最短路径问题
数学最短路径问题
最短路径问题是初二上学期数学的一个重难点，很多同学看到这种题型可能会没有思路，不知道怎么下手!
寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径，算法具体的形式包括：
①确认起点的最长路径问题 - 即为未知初始结点，谋最长路径的问题。
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求
最短路径的问题。
③确认起点终点的最长路径问题 - 即为未知起点和终点，谋两结点之间的最长路径。
④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。
牵涉科学知识：“两点之间线段最长”，“垂线段最长”，“三角形三边关系”，
“轴对称”，“位移”。
出题背景：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题思路：打听对称点同时实现“八折”转回“直”，近两年发生“三折线”转回“直”等变式问题考查。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平
移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【十二个基本问题】
【问题1】作法图形原理
连AB，与l交点即为P．
两点之间线段最短．PA+PB 最小值为 AB．
在直线l上求一点P，使
PA+PB 值最小．
【问题2】“将军饮马”作法图形原理
作B关于l的对称点B＇两点之间线段最短．
连A B＇，与l交点即为P．PA+PB 最小值为 A B＇．在直线l上求一点P，使
PA+PB 值最小．
【问题3】作法图形原理
分别作点P关于两直线的两点之间线段最短．
对称点P＇和P＇，连P＇P＇，PM+MN+PN 的最小值为在直线l1、l2上分别求点
与两直线交点即为M，N．线段P＇P＇＇的长．M、N，使△PMN 的周长
最小．
【问题4】作法图形原理
分别作点Q、P关于直线
两点之间线段最短．
l1、 l2的对称点Q＇和P＇
四边形PQMN周长的最小
连Q＇P＇，与两直线交点即
值为线段P＇P＇＇的长．在直线l1、l2上分别求点为M，N．
M 、N ，使四边形 PQMN
的周长最小．
- 1 -
【问题5】“造桥选址”作法图形原理
将点A向下平移MN的长
两点之间线段最短．
度单位得A＇，连A＇B，交n
AM+MN+BN 的最小值为
于点N，过N作NM⊥ m于
直线m∥ n，在m、n，A＇B+MN．
M．
上分别求点M、N，使MN
⊥ m，且AM+MN+BN的
值最小．
【问题6】作法图形原理
将点A向右平移a个长度
单位得A＇，作A＇关于l 两点之间线段最短．
的对称点A＇＇，连A＇＇B，交AM+MN+BN 的最小值为在直线l上求两点M、N（M 直线l于点N，将N点向A＇＇B+MN．
在左），使MN=a，并使左平移a个单位得M．
AM+MN+NB 的值最小．
【问题7】作法图形原理
作点P关于l1的对称点点到直线，垂线段最短．
2
于B，交PA+AB P
P＇，作 P＇B⊥l 的最小值为线段＇在l1上求点A，在l2上求l2于A．B的长．
点B，使PA+AB值最小．
【问题8】作法图形原理
作点A关于l2的对称点
两点之间线段最短．
A＇，作点 B 关于l1的对
AM+MN+NB 的最小值为
A 为l1上一定点，
B 为l2上称点B＇，连A＇B＇交l2于
线段A＇B＇的长．
一定点，在l2上求点M，M，交l1于 N．
在l1上求点N，使
AM+MN+NB 的值最小．
【问题9】作法图形原理
垂直平分上的点到线段两
连AB，作AB的中垂线与端点的距离相等．
在直线l上求一点P，使直线l的交点即为P．
PA - PB ＝0．
PA - PB 的值最小．
、
【问题10】作法图形原理
三角形任意两边之差小于
作直线AB，与直线l的交第三边．PA - PB ≤AB．
在直线l上求一点P，使点即为P．
PA - PB 的最大值＝AB．
PA - PB 的值最大．
【问题11】作法图形原理
三角形任意两边之差小于
作B关于l的对称点B＇
第三边．PA - PB ≤AB＇．作直线A B＇，与l交点即
在直线l上求一点P，使为P．
PA - PB 最大值＝AB＇．
PA - PB 的值最大．
【问题12】“费马点”作法图形原理
所求点为“费马点”，即
满足∠APB＝∠BPC＝∠
APC＝120°．以 AB、AC 两点之间线段最短．
为边向外作等边△ABD、PA+PB+PC 最小值＝CD．△ABC中每一内角都小于△ACE，连CD、BE相交
120°，在△ABC内求一点于P，点P即为所求．
P，使 PA+PB+PC 值最小．
【精品练习】
1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有
一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）
A D A．2 3 B．2 6 C．3D． 6 P
E
B C
2．如图，在边长为 2 的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD 交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（）
A．2 B．2 3
C．2+ 3 D．4
- 3 -
3．四边形 ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°
，∠C ＝70°，在 BC 、CD 上分别找一点 M 、N ，使△AMN 的周长最小时， ∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）
A ．120°
B ．130°
C ．110°
D ．140°
4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4 2 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，M 、N 分别是 AD 和 AB
上的动点，则 BM +MN 的最小值是
．
5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点 B 、C 重
合），且 ED ＝AE ，则线段 AE 的取值范围是 ．
6．如图，∠AOB ＝30°，点 M 、N 分别在边 OA 、OB 上，且 OM ＝1，ON ＝3，点 P 、Q 分别在边 OB 、OA 上，则 MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平
方，即 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有 AC 2 + BC 2 = AB 2
）
7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B ( 6 3 ，0)．
OC 平分∠AOB ，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA ＋MN 的最小值是______．
- 4 -
8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为，
此时C、D两点的坐标分别为．
9．已知A（1，1）、B（4，2）．
（1）P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；
（2）P为x轴上一动点，求PA PB的值最大时P点的坐标；
（3）CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；
10．点C为∠AOB内一点．
（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．
- 5 -。