第2章 离散时间信号与系统的频域分析 (2)

x(n) 1 012 3 4 |X(e j)| n
-2
-
0

2
对于离散时间系统—— 时域分析方法采用差分方程描述 频域分析方法则通过Z变换或傅里叶变换实现
本章主要内容： 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换 分析信号和系统的频域特性。 2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2 序列的Z变换 2.3 系统函数与频率响应
本章学习要点

理解离散时间信号的傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform：DTFT）的定义及基本性质 了解序列的Z变换的定义、收敛域及基本性质 掌握系统函数的定义和计算、与差分方程的关系、收敛域 和系统的因果稳定性判别 掌握频率响应的物理意义、计算以及几何确定法

0
(a e
n 0
- j n
1 ) 1 - ae- j
0
(a)
arg[X(e j)]
2


(b)
2

离散时间信傅里叶变换的两个特点： （1）X(ejω)是以2π为周期的ω的连续函数。 （2）当x(n)为实序列时，X(ejω)的幅值| X(ejω) |在0≤ω≤2π
区间内是偶对称函数，相位arg[X(ejω)]是奇对称函数。
-2
-
0 （ b） arg[X(e j)]
2
-2
-
0 （c）

2
图 2.1 RN(n)的幅度与相位曲线
3.实指数序列
x(n) a nu(n) (a为实数, 0 a 1)
其傅里叶变换为
设 a=0.6
|X(e j)|
X (e ) a n e- jn
j n 0
若x(n)为实序列，则 X (e j ) X * (e - j )
Re [X (e j )] Re [X (e - j )] j - j Im [ X ( e )] Im [ X ( e )]
j - j X ( e ) X ( e ) j - j arg[ X ( e )] arg[ X ( e )]
n -
-n -n x ( n ) z x ( n ) z n 0
推论 对于实序列的 DTFT，要画出 X(ejω)的幅频特性，只需 要 X(ejω)半个周期即可，通常在实际中是选择ω∈[0,π ] 的 部分。 5.时域卷积定理 若 FT[ x(n)] X (e j ) ，FT [ y(n)] Y (e j ) w ( n) x ( n) y ( n) 则
n - - jn | x ( n ) e | n -
| x ( n) |

式中的级数才是绝对收敛的，或x(n)的傅里叶变换存在。
二、常用序列的傅里叶变换
1.单位脉冲序列 ( n) 其傅里叶变换为 =1 含义是什么 单位脉冲信 号包含了所有频 率分量，而且这 些分量的幅度和 相位都相同。
e - jN / 2 (e jN / 2 - e - jN / 2 ) e - j / 2 (e j / 2 - e - j / 2 )
e
- j ( N -1) /2
sin N / 2 sin / 2
设N=5，幅度与相位随ω变化曲线
x(n) 1 012 3 4 （a） |X(e j)| n
X 2 (z )
结论
n -1
a z
-
n -n
1 1 - az -1
za
收敛域不同对应于不同的序列。当给出Z变换函数表达 式的同时，必须说明它的收敛域后，才能单值的确定它所对 应的序列。
二、序列的形式与其Z变换收敛域的关系
序列x(n)的形式决定了X(z)的不同的收敛区域 1．有限长序列 这类序列只在有限的区间（n1≤n≤n2）具有非零的有 限值。
W (e j ) FT[ x(n) y(n)] X (e j )Y (e j )
6.频域卷积定理（复卷积定理） 若 FT[ x(n)] X (e j ) ，FT [ y(n)] Y (e j ) 则
1 FT [ x( n) y( n)] X ( e j ) * Y ( e j ) 2
X (e j ) 对 是周期的，但不是共轭对称的。
例2-2 x(n) (-0.9)n - 5 n 5 解： X (e j )不仅对对称，而且是共轭对称。
对实序列，我们只需画出它们从（0-） 间的傅里叶变换的模和相角响应。
2.2 序列的Z变换
序列的傅里叶变换——频域分析； 推广：序列的Z变换——复频域分析。
n1 0 , n2 0
n1 0
n2 0
其Z变换为
X (z)
n n1
-n x ( n ) z
n2
因为X(z)是有限项级数之和，故只需级数的每一项有 界，则级数就收敛，即要求 x(n) |x(n)z-n|<∞ 由于x(n)有界，故要求 |z-n|<∞ n2 显然，在 0<|z|<∞上都满足此条件。 n1 0 n 在n1、n2满足特殊条件下，收敛域还可进一步扩大：
7.帕斯瓦尔（Parseval）定理
1 x(n) 2 n -
2

-
X (e

j
) d
2
信号时域的总能量与频域中的总能量是一样的。
三、MATLAB实现
0 n 10 ，求离散时间傅里叶变换 例2-1 x(n) (0.9)n e jn / 3， 并探讨其周期性。 解：因为x(n)是复值的，它只满足周期性，被唯一地定义在 一个2 周期上。因此，可以在[-2，2]之间的两个周期 中的401个频点上作计算以观察周期性。 n = 0:10; x = (0.9*exp(j*pi/3)).^n; k = -200:200; w = (pi/100)*k; X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k); %用矩阵-向量乘法求DTFT magX = abs(X); angX =angle(X); subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX);axis([-2,2,0,8]); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX/pi);axis([-2,2,-1,1]);
一、序列x(n)的Z变换定义及收敛域
X ( z ) Z [ x(n)]
其中，z是复变量。n -源自x(n)z - n
对于任意给定的序列，使Z变换收敛的z值集合称作收敛 区域。级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件：
-n | x ( n ) z |
n -
一般来说，Z变换将在z平面上的一个环形区域中收敛， 收敛域为
比较：对于实序列中偶对称和奇对称的定义。
xe (n) xe (-n)
xo (n) - xo (-n)
1）任一序列可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列 之和（如是实序列，就是偶对称序列和奇对称序列之和）
x(n) xe (n) xo (n)
1 xe ( n) [ x( n) x * ( - n)] 2 1 xo ( n) [ x( n) - x * ( - n)] 2
其收敛域为
n n1
......
n1 0 Rx- z n 注意：如果n1≥0，即序列是因果序列，Z变换在z=∞处 收敛。 R x - z ——最重要的一种右边序列
jIm[z]
Rx0 Re[z]
图2-7 右边序列及其收敛域（n1<0， |z|=∞除外）
3.左边序列 这类序列是有终无始的序列。即 当n≤n2时，x(n)有值，当n>n2时，x(n)=0。 其z变换为 n2 X (z ) x(n)z - n x(- n)z n
n1 0 n2 0
0 z 0 z
例2-4 x( n) ( n) ，求此序列的Z变换及收敛域。
-n ( n ) z 1
Z [ ( n)]
0 | z |
n -
收敛域是整个z的闭平面。
jIm[z]
0
Re[z]
2.右边序列 这类序列是有始无终的序列。即 当n≥n1时，x(n)有值，当n<n1时， x(n)=0。 x(n) 其Z变换为 X ( z ) x ( n )z - n
x(n)e- jn e- j 2 Mn X (e j )
序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。 4.对称性质
* 设一复序列，如果满足 xe (n) xe (-n) 则称序列为共轭对 称序列。 * x ( n ) x 如果满足 o ，则称序列为共轭反对称序列。 o ( - n)
其收敛域为
n -
n - n2
0 z Rx
注意：如果n2≤0，则收敛域包括z=0， 0 z Rx
jIm[z]
0
Re[z] |z|=Rx+
左边序列及其收敛域（n2>0， |z|=0除外）
4.双边序列 双边序列是从n=-∞延伸到n=+∞的序列。 其Z变换为：
X (z)
2. 1 序列的傅立叶变换的定义及性质
一、序列的傅里叶变换的定义
连续时间信号x(t)的傅里叶变换：
X ( j) FT [ x(t )] x(t )e- jt dt
-

而X(jΩ)的傅里叶反变换定义为 1 -1 jt x( t ) FT [ X ( j )] X ( j ) e d 2 离散时间信号x(n)的傅里叶变换（DTFT）：
二、序列的傅里叶变换的性质
1.线性
设 FT[ x1 (n)] X1 (e j )， FT[ x2 (n)] X 2 (e j )