湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 22.简单的三角恒等变换学案

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高三数学一轮复习精品学案：第2课时简单的三角恒等变换

第2课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简1．(2017·湖南长沙一模)化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝ . 答案 4sin α解析 2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α) ＝2sin α(1＋cos α)12(1＋cos α)＝4sin α. 2．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ . 答案 12cos 2x解析原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 3．(2018·聊城模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ . 答案 4－3310解析由题意可得，cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310. 4．已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝ . 答案－31010解析由已知可得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－2， ∵α为第二象限角，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝255，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－55，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π4－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π4＝－31010. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．题型二三角函数的求值命题点1 给角求值与给值求值典例 (1)(2018·太原质检)『2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)』·2sin 280°＝ . 答案 6解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°· 2sin 80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°· 2cos 10°＝22『sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)』＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝35，17π12<α<7π4，则sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值为．答案－2875解析 sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1－sin αcos α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝sin 2α1＋tan α1－tan α＝sin 2α·tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α. 由17π12<α<7π4得5π3<α＋π4<2π，又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝35，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－45，tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－43. cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝－210，sin α＝－7210， sin 2α＝725. 所以sin 2α＋2sin 2α1－ tan α＝725×⎝⎛⎭⎫－43＝－2875. (3)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝ . 答案 12解析 ∵α为锐角，∴sin α＝ 1－⎝⎛⎭⎫172＝437.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0<α＋β<π. 又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2， ∴cos(α＋β)＝－1114. cos β＝cos 『(α＋β)－α』＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12. 命题点2 给值求角典例 (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4答案 C解析 ∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010，∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α＋β＝7π4. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为．答案－3π4解析 ∵tan α＝tan 『(α－β)＋β』＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β ＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0， ∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4. 引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝ .答案 π4解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．跟踪训练 (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝ . 答案 268解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋cos α>0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1 ＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝24cos α＝268. (2)(2017·昆明模拟)计算：3cos 10°－1sin 170°＝ . 答案－4解析原式＝3sin 170°－cos 10°cos 10°sin 170°＝3sin 10°－cos 10°cos 10°sin 10°＝2sin (10°－30°)12sin 20°＝－4.(3)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝ . 答案 π3解析由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin 『α－(α－β)』＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 又0<β<π2，故β＝π3. 题型三三角恒等变换的应用典例 (2017·浙江)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )．(1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得 f ⎝⎛⎭⎫2π3＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫－122－23×32×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质，得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．跟踪训练 (1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为．(2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是．答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，又－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1.(2)f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x － 2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2，所以T ＝2π2＝π.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (12分)(2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性．思想方法指导 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数．(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决．规范解答解 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.『5分』所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.『6分』 (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π6，『8分』由y ＝sin x 的图象可知，当2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－5π6，－π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，－π12时，f (x )单调递减；当2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π2，π6，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π4时，f (x )单调递增．『10分』所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减．『12分』。

高三数学一轮复习精品学案6：§4.3简单的三角恒等变换

§4.3简单的三角恒等变换知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)两角和与差的余弦公式cos(α-β)=;cos(α+β)=.(2)两角和与差的正弦公式sin(α-β)=;sin(α+β)=.(3)两角和与差的正切公式tan(α+β)= ;tan(α-β)= .2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α=.(2)cos 2α==2cos2α-1=1-2sin2α.(3)tan 2α=____________.3.常用公式的变形(1)tan α±tan β=tan(α±β)·.(2)cos2α=;sin2α=.(3)1+sin 2α=(sin α+)2,1-sin 2α=(-cos α)2.4.形如a sin x+b cos x的式子的化简函数f(x)=a sin x+b cos x(a,b为常数),可化为f(x)=√a2+b2sin(x+φ),其中sin φ=22,cosφ=22.5.常用的数学方法与思想整体代入法、转化化归思想.基础自测1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”).(1)对一切实数α,β,等式sin(α+β)=sin α+sin β恒成立.()(2)计算sin 43° cos 13°+sin 47° cos 103°的结果等于12.()(3)对任意实数α,β,tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ与其变式tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan α tan β)是等价的. ()(4)函数y=sin x+cos x的最大值为2. ()2. sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-√32B.√32C.-12D.123.化简cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β的结果为()A.sin(2α+β)B.cos(α-2β)C.cos αD.cos β4.已知tan(π4+α)=3,则tan α的值为()A.2B.12C.-1D.-35.已知锐角A,B满足tan(A+B)=2tan A,则tan B的最大值为.考点1三角函数式的化简典例1 (1)化简11-tanθ−11+tanθ= .(2)化简sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-12cos 2α·cos 2β= .变式训练 1.化简sin (α+β)-2sinαcosβ2sinαsinβ+cos (α+β).2.化简3√15sin x+3√5cos x.考点2 三角函数式的求值、求角问题命题角度1:知角求值典例2 sin 15°+sin 75°的值是 . 命题角度2:知值求值典例3 已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为 .命题角度3:知值求角典例4已知函数f (x )=12sin 2x sin φ+cos 2x cos φ-12sin (π2+φ)(0<φ<π),将函数f (x )的图象向左平移π12个单位后得到函数g (x )的图象,且g (π4)=12,则φ= ( )A .π6B .π4C .π3D .2π3变式训练1.已知θ为第二象限角,sin θ,cos θ是关于x 的方程2x 2+(√3-1)x+m=0(m ∈R)的两根,则sin θ-cos θ等于 ( )A .1+√32B .1-√32C .√3D .-√32.已知0<β<π4<α<3π4,cos (π4-α)=35,sin (3π4+β)=513,则sin(α+β)= .考点3 形如f(x)=asin x+bcos x(a,b 为常数)形式的函数的求值、求角等综合应用典例5 已知函数f (x )=2sin (x -π3)cos (x -π3)+2√3cos 2(x -π3)−√3. (1)求函数f (x )的最大值及取得最大值时相应的x 的值;(2)函数y=f (2x )-a 在区间[0,π4]上恰有两个零点x 1,x 2,求tan(x 1+x 2)的值.变式训练1.设当x=θ时,函数f (x )=sin x-2cos x 取得最大值,则cos θ= .2.已知函数f (x )=√3sin 2x+cos 2x ,x ∈R . (1)求f (x )的单调递增区间;(2)当x ∈[0,π4]时,求f (x )的取值范围.三角恒等变换中的“变角”技巧及其应用三角恒等变换是高中重要内容,三角恒等变换的常用方法包括化弦、化切、变角、升幂、降幂等,其中“变角”既是三角恒等变换的关键,又是一个难点.下面通过典例来强化“变角”的技巧.典例1 已知cos(α+β)=513,cos β=45,α,β均为锐角,则sin α= . 典例2 求sin7°+cos15°·sin8°cos7°-sin15°·sin8°的值.针对训练1.已知cos(2α-β)=-1114,sin(α-2β)=4√37,0<β<π4<α<π2,则α+β的值为 ( )A .π6 B .π3 C .π2 D .2π32.求证:sin (2α+β)sinα-2cos(α+β)=sinβsinα.——★参考答案★——知识梳理1.(1)cos αcos β+sin αsin βsin αcos β+cos αsin β(2)sin αcos β-cos αsin βsin αcos β+cos αsin β(3)tanα+tanβ1−tanαtanβtanα−tanβ2. (1) 2sin αcos α(2)cos2α-sin2α(3)2tanα1−tan2α3.常用公式的变形(1) (1∓tan αtan β)(2)1+cos2α21−cos2α2(3) cos αsin α基础自测1. (1)×(2)√(3)×『解析』第一个式子要求α+β≠π2+kπ,k∈Z.(4) ×2.D『解析』原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=12.3.C『解析』原式=cos(α-β+β)=cos α.4.B『解析』由tan(π4+α)=3得1+tanα1-tanα=3,解得tan α=12.5.√24『解析』由tan(A+B)=2tan A,得tanA+tanB1-tanAtanB=2tan A,则tan B=tanA2=11tanA+2tanA,因为A为锐角,所以tan A>0,因此1tanA+2tan A≥2√2,所以tan B=tanA1+2tan2A=11tanA+2tanA≤2√2=√24,当且仅当tan A=√22时,等号成立,即tan B的最大值为√24.考点1三角函数式的化简典例1(1) tan 2θ『解析』通分,逆向运用正切函数的二倍角公式.原式=1+tanθ-1+tanθ1-tanθ=2tanθ1-tanθ=tan 2θ.(2)12『解析』利用倍角公式与sin2α+cos2α=1公式转化.sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-12cos 2α·cos 2β=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β−12(cos2α−sin2α)(cos2β−sin2β)=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β−12(cos2α cos2β−cos2α sin2β−sin2α cos2β+sin2α sin2β)=12sin2α sin2β+12cos2α·cos2β+12cos2α sin2β+12sin2α cos2β=12sin2α(sin2β+cos2β)+12cos2α(cos2β+sin2β)=1 2sin2α+12cos2α=12.变式训练1.解原式=sinα·cosβ+cosα·sinβ-2sinα·cosβ2sinα·sinβ+cosα·cosβ-sinα·sinβ=-sinα·cosβ+cosα·sinβcosα·cosβ+sinα·sinβ=-sin(α-β)cos(α-β)=-tan(α-β).2.解原式=3√15sin x+3√5cos x=6√5(√32sinx+12cosx)=6√5(sinx·cosπ6+cosx·sinπ6)=6√5sin(x+π6).考点2三角函数式的求值、求角问题命题角度1:知角求值典例2√62『解析』sin 15°+sin 75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos30°+cos 45°·sin 30°=2sin 45°cos 30°=2×√22×√32=√62.命题角度2:知值求值典例3 3『解析』tan β=tan『(α+β)-α』=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα=17+21-27=3.命题角度3:知值求角典例4 D『解析』先将三角函数整理为12cos(2x −φ),再将函数平移得到g(x)=12cos (2x +π6-φ),且g (π4)=12,即可得到φ的值.∵f(x)=12sin 2x sin φ+cos φ(cos 2x -12)=12sin 2x sin φ+12cos φ cos 2x =12cos(2x −φ),∴g(x)=12cos (2x +π6-φ),∵g (π4)=12,∴2×π4+π6−φ=2kπ(k ∈Z),即φ=2π3−2kπ(k ∈Z),∵0<φ<π,∴φ=2π3.变式训练 1.A『解析』由已知得sin θ+cos θ=1-√32,则2sin θ cos θ=−√32,又θ为第二象限角,所以sin θ−cos θ=√(sinθ+cosθ)2-4sinθcosθ=√(1-√32)2+√3=1+√32.2.5665『解析』cos (π-α)=sin (α+π)=3,∵π<α+π<π,∴cos (α+π4)=−45.∵sin (3π4+β)=513,3π4<β+3π4<π,∴cos (3π4+β)=−1213.∴sin (α+β)=−sin α+π4+β+3π4=−sin (α+π4)cos (β+3π4)+cos (α+π4)sin β+3π4=5665.考点3 形如f (x )=a sin x+b cos x (a,b 为常数)形式的函数的求值、求角等综合应用典例5 解 (1)f (x )=sin (2x -2π3)+√31+cos 2x −2π3−√3=sin (2x -2π3)+√3cos (2x -2π3)=2sin (2x -π3), ∴函数f (x )的最大值为2,此时2x-π3=π2+2k π,k ∈Z , 即x=5π12+k π,k ∈Z .(2)f (2x )=2sin (4x -π3),令t=4x-π3,∵x ∈[0,π4],∴t ∈[-π3,2π3],设t 1,t 2是函数y=2sin t-a 的两个相应零点(即t 1=4x 1-π3,t 2=4x 2-π3), 由函数y=2sin t 的图象性质知t 1+t 2=π,即4x 1-π3+4x2−π3=π,∴x 1+x 2=π4+π6,∴tan(x 1+x 2)=tan (π4+π6)=tan π4+tanπ61-tan π4×tanπ6=1+√33-√33=2+√3.变式训练 1.-2√55『解析』∵f(x)=sin x −2cos x =√5(√55sin x −2√55cos x),令sin α=2√55,cos α=√55,则f(x)= √5sin(x −α),由题意知当x =θ时,f(x)有最大值,则sin(θ−α)=1,即θ−α=π2+2kπ(k ∈Z),∴θ=α+π2+2kπ(k ∈Z),∴cos θ=cos (α+π2+2kπ)=−sin α=−2√55. 2.解 (1)f (x )=√3sin 2x +cos 2x =2sin (2x +π6),由-π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ得−π3+kπ≤x ≤π6+k π,k ∈Z,∴f (x )的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ],k ∈Z .(2)∵x ∈[0,π4],∴2x +π6∈[π6,2π3].∴12≤sin (2x +π6)≤1,∴1≤2sin (2x +π6)≤2. ∴f (x )的取值范围是『1,2』.三角恒等变换中的“变角”技巧及其应用典例13365『解析』把α看作α+β与β的差,再运用两角差的正弦来求解. 由α,β均为锐角,得α+β∈(0,π),又cos(α+β)=513,得sin(α+β)=1213 由cos β=45,得sin β=35,所以sin α=sin 『(α+β)-β』=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=1213×45−513×35=3365.典例2解原式=sin (15°-8°)+cos15°·sin8°cos (15°-8°)-sin15°·sin8° =sin15°·cos8°cos15°·cos8°=tan 15° =tan(60°-45°) =tan60°-tan45°1+tan60°·tan45°高三数学一轮复习11 =2-√3.针对训练1.B『解析』由0<β<π4<α<π2,知π4<α+β<3π4,又cos (2α−β)=−1114, 所以π2<2α−β<π,因此sin (2α−β)=5√314.又sin (α−2β)=4√37, 所以0<α−2β<π2,因此cos(α−2β)=17,cos (α+β)=cos 『(2α−β)−(α−2β)』=cos(2α−β)cos(α−2β)+sin(2α−β)sin(α−2β)=(-1114)×17+5√314×4√37=4998=12,所以α+β=π3. 2.解左边=sin 『(α+β)+α』-2cos (α+β)sinαsinα =sin (α+β)cosα-cos (α+β)sinαsinα=sinβsinα=右边.故sin (2α+β)sinα−2cos(α+β)=sinβsinα成立.。

高考数学一轮复习专题21 简单的三角恒等变换教学案理-人教版高三全册数学教学案

专题21 简单的三角恒等变换1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1．公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin2α2；(2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2. (3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝aa 2＋b 2.高频考点一三角函数式的化简与求值例1、(1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝______________________________________________________________.答案 (1)12cos2x (2)268解析 (1)原式＝124cos 4x －4cos 2x ＋12×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos 2x －124sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝cos 22x 2cos2x ＝12cos2x . 【感悟提升】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．【变式探究】(1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9等于( )A ．－18B ．－116C.116D.18(2)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－43答案 (1)A (2)D解析 (1)原式＝cos π9·cos 29π·cos(－3π＋49π)＝－cos π9·cos 29π·cos 49π·sinπ9sinπ9＝－12sin 29π·cos 29π·cos 49πsinπ9＝－18sin 89πsinπ9＝－18.(2)1＋cos2αsin2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43. 高频考点二三角函数的求角问题例2、(1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4C.π4D ．2k π＋π4(k ∈Z )(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( )A.π8B ．－3π4C.π8或－3π8D.π4或－3π4答案 (1)C (2)B 解析 (1)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.【感悟提升】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数．(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好．【变式探究】 (1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6D.π4答案 (1)C (2)A解析 (1)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.(2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.高频考点三三角恒等变换的应用例3、已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f π＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ1－2a sin θ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.【感悟提升】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．【变式探究】(1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． (2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. (2)f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x ) ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D2.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．3.【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= .【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos42=π【2015高考四川，理12】=+ 75sin 15sin .【答案】2【2015高考浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减区间是．【答案】π，]87,83[ππππk k ++，Z k ∈.【解析】1cos 2sin 23()1)22242x x f x x π-=++=-+，故最小正周期为π，单调递减区间为]87,83[ππππk k ++，Z k ∈. 【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈(I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34上的最大值和最小值. 【答案】(I)π; (II) max ()f x =,min 1()2f x =-. 【解析】(I) 由已知，有112cos2sin 24426x x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36上是减函数，在区间[,]64上是增函数，11(),(),()34624f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34上的最大值为4，最小值为12-. 【2015高考重庆，理18】已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性. 【答案】（1）最小正周期为23；（2）()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减. 【解析】（1）2()sin sin cos sin (1cos 2)22f x x x x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭131333sin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin(2)2232x x x x x,因此()f x 的最小正周期为，最大值为23.（2）当2[,]63x ππ∈时，有023x ππ≤-≤，从而当0232x ππ≤-≤时,即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增，当223x πππ≤-≤时,即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减，综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.（2014·全国卷）直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．【答案】43【解析】如图所示，根据题意，OA ⊥PA ，OA ＝2，OP ＝10，所以PA ＝OP 2－OA 2＝22，所以tan∠OPA ＝OA PA ＝22 2＝12，故tan∠APB ＝2tan∠OPA 1－tan 2∠OPA ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.（2014·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，2]（2014·福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.（2014·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. （2014·天津卷）已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．【解析】(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.（2014·北京卷）如图12，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1)求sin∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图12（2014·福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．【答案】2 3【解析】由BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝4sin 60°23＝1， ∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3. （2014·湖南卷）如图15所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7. 图15(1)求cos∠CAD 的值；(2)若cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】(1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD，故由题设知，cos∠CAD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD .因为cos∠CAD ＝277，cos∠BAD ＝－714，所以sin∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217， sin∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114. 于是sin α＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin∠BAD cos∠CAD －cos∠BAD sin∠CAD＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217 ＝32. 在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝ACsin∠CBA .故BC ＝AC ·sin αsin∠CBA ＝7×32216＝3.（2014·四川卷）如图13所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图13【答案】60【解析】过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt△ADB 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46 m ，∴AB ＝ADsin 67°＝460.92＝50(m)，在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝67°－30°＝37°，AB ＝50 m ，由正弦定理得，BC ＝AB sin 37°sin 30°＝60 (m)，故河流的宽度BC 约为60 m.1．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 B解析由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)． ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2. 2．已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.16B.13C.12D.23答案 A解析因为cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin2α2，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A. 3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( ) A. 118B ．－118 C.1718 D ．－1718答案 D4．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4 答案 A解析 ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.∵sin2α＝55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos2α＝－255. ∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4， ∴cos(β－α)＝－31010， ∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. 又∵α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π， ∴α＋β＝7π4. 5．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 答案 C解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3，由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )， ∴θ＝k π－23π(k ∈Z )． ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π. 由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C. 6．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ的值为________．答案－45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12. ∵sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 7．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为________．答案－210 8．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.答案－73解析 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34. ∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，∴0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0. ∴sin(α－β)＝－1－cos 2α－β＝－74. ∴tan(α－β)＝sin α－βcos α－β＝－73. 9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴．(1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．解 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx＝cos2ωx ＋3sin2ωx＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.(1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )．又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13. 又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos 12x . ∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310.。

2015届高三数学第一轮总复习课件：第21讲简单的三角恒等变换

右边＝1－2sicnos2α2α＝4si2nsαin·c2αos α＝tan2 α，
所以ta1nα2－tanα2＝1－2sicnos2α2α.
8 第八页，编辑于星期五：八点五十二分。五十二分。
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理数
一三角函数式的化简与证明
【例1】已知f(x)＝22tacnos4π4x－－x2scions22xx＋＋12π4. (1)化简f(x)； (2)若f(x)＝25，且x∈(0，π2)，求证：3tan x＝1.
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理数
＝2sicnoπ2s2－2x2x＝2ccooss222xx＝12cos 2x.
12 第十二页，编辑于星期五：八点五十二分。
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理数
(2)证明：由(1)知f(x)＝12cos2x＝25，所以cos2x＝45. 又x∈(0，π2)，所以2x∈(0，π)，从而sin2x＝53. 所以tan x＝csoins xx＝2si2nsixnc2oxs x＝1－sicno2sx2x
＝13× 33＋232× 36＝593.
33 第三十三页，编辑于星期五：八点五十二分。
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理数
3.(2013·重庆卷)4cos 50°－tan 40°＝( C )
A. 2
2＋ 3 B. 2
C. 3
D．2 2－1
34 第三十四页，编辑于星期五：八点五十二分。
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解析：4cos
50°－tan
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【拓展演练2】计算：sin 123°ta4nco1s22°1－2°3－2＝
.
21 第二十一页，编辑于星期五：八点五十二分。
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解析：原式＝ 2cos

湖北省监利县第一中学高三数学一轮复习 24.三角函数的性质学案

湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 24.三角函数的性质学案【学习目标】1．了解周期函数与最小正周期的意义，会求一些简单三角函数的周期． 2．了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性，并会运用这些性质解决问题．预习案2. y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝|ω|. y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝|ω|. 3. (1)求三角函数的最小正周期，应先化简为只含一个三角函数一次式的形式． (2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数单调性，应利用复合函数单调性研究． (3)注意各性质应从图像上去认识，充分利用数形结合解决问题．【预习自测】1．若函数y ＝cos(ωx －π6)(w >0)的最小正周期为π5，则w ＝________.2．比较下列两数的大小．(1)sin125°________sin152°；(2)cos(－π5)________cos 3π5；(3)tan(－3π5)________tan 2π5.3．(1)函数y ＝sin(x ＋π4)的单调递增区间是________ ；(2)函数y ＝tan(12x －π4)的单调递增区间是________ ．4．若y＝cos x在区间[－π，α]上为增函数，则α的取值范围是________．5．函数f(x)＝sin x cos x＋32cos2x的最小正周期和振幅分别是 ( )A．π，1 B．π，2、 C．2π，1 D．2π，2探究案题型一：三角函数的周期性例1. 求下列函数的周期．(1)y＝2|sin(4x－π3)|； (2)y＝(a sin x＋cos x)2(a∈R)；(3)y＝2cos x sin(x＋π3)－3sin2x＋sin x cos x.拓展1. (1)f(x)＝|sin x－cos x|的最小正周期为________．(2)若f(x)＝sinωx(ω>0)在[0,1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是_____．题型二：三角函数的奇偶性例2.判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝cos(π2＋2x)cos(π＋x)； (2)f(x)＝x sin(5π－x) （3）f(x)＝sin(2x－3)＋sin(2x＋3)；（4）f(x)＝cos x 1－sin x1－sin x；（5）y＝sin(2x＋π2)；（6）y＝tan(x－3π)拓展2：将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为 ( )A.3π4B.π4C．0 D．－π4题型三：三角函数的对称性例3.(1)函数f(x)＝sin(2x－π6)的对称中心为 .对称轴方程为．(2)设函数y＝sin2x＋a cos2x的图像关于直线x＝－π6对称，a= ．(3)函数y＝tan(x2＋π3)的图像的对称中心为__________．拓展3. (1)函数y＝sin(2x＋π3)的图像的对称轴方程可能是 ( )A．x＝－π6B．x＝－π12C．x＝π6D．x＝π12(2)函数y＝2cos x(sin x＋cos x)的图像的一个对称中心的坐标是 ( )A．(3π8，0) B．(3π8，1) C．(π8，1) D．(－π8，－1)题型四：三角函数的单调性例4 (1)求函数y＝cos(－2x＋π3)的单调递减区间；(2)求函数y＝sin(π3－2x)的单调递减区间；(3)求y＝3tan(π6－x4)的最小正周期及单调递减区间；(4)求函数y＝－|sin(x＋π4)|的单调递减区间．拓展4：(1)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是A．[12，54] B．[12，34] C．(0，12] D．(0,2] ( )(2)求函数f(x)＝2sin x cos x－2cos2x＋2的单调区间．我的学习总结：（1）我对知识的总结 . （2）我对数学思想及方法的总结。

高三数学一轮复习三角恒等变换及应用教案

三角恒等变换及应用tan tan 1tan tan αβα±ααcos ；αα2sin -tan α。

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

二．典例分析(2011·广东高考)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．(1)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2.(2)∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，∴2sin α＝1013，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝65.即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665. 由题悟法两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．(1)已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.(2)(2012·济南模拟)已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7解析：(1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－43，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17. 答案：(1)－75(2)B三角函数公式的逆用与变形应用典题导入(2013·德州一模)已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． (1)∵f (x )＝2cos 2x 2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴周期T ＝2π，f (x )的值域为．(2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵α为第二象限角，∴sin α＝223.∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.由题悟法运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．以题试法2．(1)(2012·赣州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( )A.45B.35 C.32D.35(2)若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．解析：(1)由条件得32sin α＋32cos α＝435，即12sin α＋32cos α＝45. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45.(2)－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2角的变换典题导入(1)(2012·温州模拟)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．(1)由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2. 故tan(β－2α)＝tan ＝tan β－α－tan α1＋tan β－αtan α＝－2－21＋－2×2＝43.(2)因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝2425×22－725×22＝17250. (1)43 (2)17250由题悟法1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； α＝12；β＝12；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α；α＝π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 以题试法3．设tan ()α＋β＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.1318 B.1322C.322D.16解析：选C tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝12cos 2x . 由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．以题试法1．化简⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2. 解：法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cosα2 ＝cos2α2－sin2α2sin α2·co s α2·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2＝2cos αsin α·cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－α2cos αcosα2＝2cos αsin α·cos α2cos αcosα2＝2sin α.法二：原式＝1－tan2α2tanα2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin αsin α2cos αcos α2＝2tan α·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos α·co sα2＝2sin α.三角函数式的求值典题导入(1)(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，则2α＋β＝________.(1)原式＝sin30°＋17°－sin17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin ＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋45×35＝0. 又2α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2.∴2α＋β＝π. (1)C (2)π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2．(2012·广州一测)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×22＝－31010.三角恒等变换的综合应用典题导入(2011·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：2－2＝0.(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45. 两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴2－2＝4sin 2π4－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f (x )的零点的集合．解：由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝0，∴x －π4＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π＋π4(k ∈Z )．故函数f (x )的零点的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k π＋π4，k ∈Z .由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．以题试法3．已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈时，若f (α)＝1，求α的值．解：(1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2 x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1，tan tan 1tan tan αβα±ααcos ； αα2sin -tan α。

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第六节简单的三角恒等变换教案理(含解析)

第六节简单的三角恒等变换1．常用的公式变形(1)由(sin α±cos α)2＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝1±sin 2α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±sin 2α ⇒⎩⎨⎧1＋sin 2α＝|sin α＋cos α|，1－sin 2α＝|sin α－cos α|.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(4)sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.2．几个常用的恒等变换(1)万能代换：sin α＝2tanα21＋tan 2α2；cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2；tan α＝2tan α21－tan 2α2.(2)恒等式：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.[小题体验] 1．计算：cos2π8－12＝________. 解析：原式＝2cos 2π8－12＝cosπ42＝24.答案：242．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝45，则tan x ＝________.解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝45，两式展开相加得2sin x cos π4＝75， ①两式相减得2cos x sin π4＝－15， ②①②两式相除得tan x ＝－7. 答案：－71．在三角函数式化简时，要结合三角函数的性质进行考虑，易出现符号的差错． 2．三角恒等变换时，选择合适的公式会简化化简过程．易出现公式的不合理使用． [小题纠偏]1．(2019·镇江调研)已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin 2x ＝13，则sin x －cos x ＝________.解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin x ＜cos x ，又sin 2x ＝13，∴sin x －cos x ＝－sin x －cos x2＝－1－sin 2x ＝－63. 答案：－632．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________.解析：已知等式两边平方得sin α＝45，又450°＜α＜540°，所以cos α＝－35，所以tan α2＝1－cos αsin α＝2.答案：2考点一三角函数式的化简基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.解析：原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.答案：22cos α2．化简：1＋sin θ＋cos θ·⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)．解：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0，所以原式＝－cos θ.[谨记通法]1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．考点二三角函数式的求值题点多变型考点——多角探明[锁定考向]研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．常见的命题角度有： (1)给值求值； (2)给角求值；(3)给值求角．[题点全练]角度一：给值求值1．(2018·启东中学高三测试)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12，若f (α)＝26，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2α＝________.解析：法一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为f (α)＝26，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝13. 法二：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝ 12sin 2x ＋12cos 2x ，因为f (α)＝26，所以sin 2α＋cos 2α＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝cos π4cos 2α＋sin π4sin 2α＝22(cos 2α＋sin 2α)＝22×23＝13. 答案：13角度二：给角求值2．化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. 解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 答案：1角度三：给值求角 3．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β＝________.解析：因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，因为sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2且cos 2α＝－255，又因为sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4.答案：7π4[通法在握]三角函数求值的类型及解题策略(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．[演练冲关]1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝________. 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝14，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.答案：782.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°＝________.解析：原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.答案：－123．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，那么sin 2α＋cos 2α＝________. 解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，知tan 2α＋11－tan 2α＝17，所以tan 2α＝－34.因为2α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin 2α＝35，cos 2α＝－45.所以sin 2α＋cos 2α＝－15.答案：－15考点三三角恒等变换的综合应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1. (2019·睢宁模拟)已知函数f (x )＝3cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2x －12.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，f (x )＝33，求cos 2x 的值．解：(1)函数f (x )＝3cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2x －12＝3sin x cos x ＋1－cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，又f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63，∴cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 sin π6＝63×32－33×12＝32－36. 2．已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋532(其中x ∈R)，求：(1)函数f (x )的单调区间；(2)函数f (x )图象的对称轴和对称中心．解：(1)因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z)．(2)由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)．由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)．[由题悟法]三角恒等变换在研究三角函数性质中的2个注意点(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期．[即时应用](2019·南通中学检测)已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x .(1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (2x 0)的值；(2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域．解：(1)f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62， ∵x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， ∴2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，∴2x 0＝k π－π6(k ∈Z)，∴g (2x 0)＝1＋12sin 4x 0＝1＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝4－34.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1＋12sin 2x＝32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＝32＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴h (x )＝32＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，2.即函数h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·东台期末)已知α∈(0，π)，tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝________. 解析：由α∈(0，π)，tan α＝2＝sin αcos α，得α为锐角，结合sin 2α＋cos 2α＝1，可得sin α＝255，cos α＝55，∴cos 2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×15－1＋55＝5－35.答案：5－352．(2018·苏州高三期中调研)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，则cos 2α＝________. 解析：cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αtan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋1＝－45.答案：－453．(2018·通州期末)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋2α＝________. 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.答案：－794．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝________.解析：原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°cos 20°－sin 20°＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2.答案： 25．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析：由诱导公式得tan(3π－x )＝－tan x ＝2，故2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－36．(2019·宜兴检测)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足4cos 2A2－cos 2(B ＋C )＝72，则角A 的大小为________．解析：由4cos 2A 2－cos 2(B ＋C )＝72，得2(1＋cos A )－cos 2(π－A )＝72，化简得4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12，∵0＜A ＜π，故A ＝π3.答案：π3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金陵中学检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝________. 解析：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α，所以tan α＝sin αcos α＝－1，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 答案：02．(2019·苏州中学模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝35，则tan 2α＝________. 解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝35，可得cos α＝－35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 答案：2473．(2018·通州期中)计算：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________. 解析：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40°＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.答案： 34．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________.解析：由题意得tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α＜0，tan β＜0，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－2π3.答案：－2π35．(2019·如东中学月考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α≤3π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________.解析：∵π2≤α≤3π2，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35＞0，∴3π2＜α＋π4≤7π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－7210，cos α＝－1－sin 2α＝－210， ∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－2425，sin 2α＝2sin αcos α＝725，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝－31250.答案：－312506．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.答案：137．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________. 解析：由tan α＋1tan α＝103，得sin αcos α＋cos αsin α＝103，所以1sin αcos α＝103，所以sin 2α＝35.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos 2α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210. 答案：－2108．(2019·南京模拟)若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α的值为________．解析：∵tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α＝3或tan α＝13(舍去)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋2·1＋cos 2α2＝22sin 2α＋2cos 2α＋22＝22·2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2·cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＋22 ＝22·2tan αtan 2α＋1＋2·1－tan 2αtan 2α＋1＋22 ＝22×69＋1＋2×1－91＋9＋22＝0. 答案：09．(2018·南通调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.求：(1)cos α的值； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4的值．解：(1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫2102＝－7210. 所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－7210×22＋210×22＝－35. (2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－725×22＝－17250. 10．(2019·扬州调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求sin α的值；(2)若cos β＝13，β∈(0，π)，求cos(α－2β)的值．解：(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝7210×22－210×22＝35. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝45，∵cos β＝13，β∈(0，π)，∴sin β＝1－cos 2β＝223，∴cos 2β＝2cos 2β－1＝－79，sin 2β＝2sin βcos β＝2×223×13＝429，∴cos(α－2β)＝cos αcos 2β＋sin αsin 2β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＋35×429＝122－2845.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·启东高三测试)若sin 2α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α＝________.解析：因为sin 2α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，所以sin 22α＝4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，即sin 22α＝4×1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2，所以sin 22α＝2(1＋sin 2α)，解得sin 2α＝1±3，显然sin 2α＝1＋3不成立，所以sin 2α＝1－ 3.答案：1－ 32．化简：cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11＝________.解析：原式＝－cos π11cos 2π11cos 8π11cos 4π11cos 5π11＝－2sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos5π112sinπ11＝－18·si n 16π11cos 5π112sin π11＝sin 5π11cos 5π1116sin π11＝12sin 10π1116sinπ11＝132.答案：1323．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)因为角α的终边经过点P (－3，3)，所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)因为f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，所以g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换1

第六节简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一半角公式1．用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2，tan 2 α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2 α2＝1＋cos α2； tan 2 α2＝1－cos α1＋cos α.2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.易误提醒应用“sin α2＝±1－cos α2”或“cos α2＝± 1＋cos α2”求值时，可由α2所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．必记结论用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[自测练习]1．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A.105 B ．－105 C.155D ．－155解析：∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2.∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 答案：D知识点二辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 易误提醒在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a ，b )所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．[自测练习]2．函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π B.π2 C ．2πD.π4解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴T ＝π. 答案：A3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]．答案：B考点一三角函数式的化简|化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 考点二辅助角公式的应用|(1)函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．[解析] y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] π(2)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.[答案] －255(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．(2)化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时φ的求法：①tan φ＝ba ；②φ所在象限由(a ，b )点确定．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．解：f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .考点三三角恒等变换的综合应用|三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1．三角恒等变换与三角函数性质的综合． 2．三角恒等变换与三角形的综合．3．三角恒等变换与向量的综合．探究一三角恒等变换与三角函数性质的综合1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ<π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 探究二三角恒等变换与三角形的结合2．(2016·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点．(1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1，由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.由b tan B ＋c tan C ＝2a tan A 得b cos B sin B ＋c cos C sin C ＝2a cos A sin A，所以cos B ＋cos C ＝2cos A ＝1，又因为B ＋C ＝2π3，所以cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，所以B ＝C ＝π3. 综上，△ABC 是等边三角形．探究三三角恒等变换与向量的综合3．(2015·合肥模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，1，b ＝(3,0)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，若a·b ＝1.(1)求sin θ的值； (2)求tan 2θ的值．解：(1)由已知得：cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，sin θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4·sin π4＝4＋26.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13得sin θ＋cos θ＝23，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝29，即sin 2θ＝－79，而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－429，∴tan 2θ＝728. 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f (x )的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f (x )的单调区间．(2)首先求出角A 的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC 面积的最大值．[规范解答] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x2＝sin 2x －12.(3分)由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π， k ∈Z ；(4分)由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；(5分)单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(6分) (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.(8分) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(9分) 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，(10分) 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.(11分)所以△ABC 面积的最大值为2＋34.(12分) [模板形成][跟踪练习] 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)已知△ABC 为锐角三角形，A ＝π3，且f (B )＝65，求cos 2B 的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1得 f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝60°，所以⎩⎨⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，即B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，7π6. 由(1)可知f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝65，即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－45，所以cos 2B ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6sin π6 ＝3－4310.A 组考点能力演练1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( ) A.59 B.125 C.95D.512解析：∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－32，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－94＝125.答案：B3．sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.15 B ．－15C.75D ．±15解析：因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±1＋sin 2α，因为sin 2α＝2425，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±75，因为0<α<π2，所以－π4<π4－α<π4，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝75. 答案：C4．(2015·太原一模)设△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C,2tan B 成等差数列，则cos(B －A )＝( )A ．－31010B ．－1010C.1010D.31010解析：由题意得tan C ＝32tan B ，tan A ＝12tan B ，所以△ABC 为锐角三角形．又tan A ＝－tan(C ＋B )＝－tan C ＋tan B 1－tan C tan B ＝－52tan B 1－32tan 2B ＝12tan B ，所以tan B ＝2，tan A ＝1，所以tan(B －A )＝tanB －tan A 1＋tan B tan A ＝2－11＋2×1＝13.因为B >A ，所以cos(B －A )＝31010，故选D.答案：D5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：依题意得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，cos α＋sin α＝26，(cos α＋sin α)2＝⎝⎛⎭⎫262＝118，即1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D.答案：D6．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 答案：127．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12. 答案：128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 39．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合； (2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4.又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z . (2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ，又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π. 10．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2⎝⎛⎭⎫0<α<π4，且a·b ＝73. (1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最值；(2)求2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α的值．解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π， ∴f (x )的最大值是4，最小值是2.(2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73， ∴sin α＝13， ∴2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α ＝21－sin 2α＝423. B 组高考题型专练1．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 2．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 3．(2014·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b .sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.。

2015年高考数学总复习教案：3.6简单的三角恒等变换.

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时简单的三角恒等变换(对应学生用书(文、(理51～52页考情分析考点新知灵活掌握公式间的关系，能运用它们进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明．能运用三角函数各种公式进行恒等变换以及解决综合性问题.1. (必修4P115复习题7(2改编函数y＝cos4x＋sin4x的最小正周期为________．答案：解析：y＝cos4x＋sin4x＝2(cos4x＋sin4x＝2＝2cos，故T＝＝.2. 在△ABC中，若cosA＝，cosB＝，则cosC＝________.答案：解析：在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，cosA＝＞0，cosB＝＞0，得0＜A＜，0＜B＜，从而sinA＝，sinB＝，所以cosC＝cos[π－(A＋B]＝－cos(A＋B＝sinA·sinB－cosA·cosB＝×－×＝.3. (必修4P113练习3(2改编已知cosθ＝，且270°＜θ＜360°，则sin＝________，cos＝________．答案：－解析：∵ 270°＜θ＜360°，∴ 135°＜＜180°.∴ sin＝＝＝；cos＝－＝－＝－.4. (必修4P115复习题5改编已知sinα＝，α是第二象限角，且tan(α＋β＝1，则tan2β＝________．答案：－解析：由sinα＝且α是第二象限角，得tanα＝－，∵ (α＋β－α＝β，∴ tanβ＝tan[(α＋β－α]＝＝7.∴ tan2β＝＝－.5. (必修4P115复习题1(1改编已知sin2α＝，且α∈，则sin4α－cos4α＝________．答案：－解析：sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝－cos2α＝－＝－.三角函数的最值问题(1 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式① y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ，其中cosφ＝，sinφ＝ .② y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．③ y＝可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式或sinx＝f(y(cosx＝f(y的形式，由正、余弦函数的有界性求解．(2 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式① y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为cosx的二次函数式．② y＝asinx＋(a、b、c>0，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．[备课札记]题型1三角形中的恒等变换例1已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sin2＋cos＝，求角C的大小．解：由sin2＋cos＝，得＋cos＝，整理得cos＝0.因为在△ABC中，0 π，所以 0< < .所以cos＝，从而＝，即C＝.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝b .求角A的大小．解：由已知，得2sinAsinB＝sinB，且B∈，∴ sinB≠0，∴ sinA＝，且A∈，∴ A＝.题型2角的构造技巧与公式的灵活运用例2求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．解：(解法1因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°＋sin10°cos(30°＋10°＝sin210°＋＋sin10°·(cos10°－sin10°＝(sin210°＋cos210°＝.(解法2设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x－y＝cos80°－cos20°－＝－sin50°－＝－cos40°－.因此2x＝，故x＝.求sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值．解：sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°＝(1－cos40°＋(1＋cos160°＋sin20°cos(60°＋20°＝1－cos40°＋(cos120°cos40°－sin120°sin40°＋sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°＝1－cos40°－cos40°－sin40°＋sin40°－sin220°＝1－cos40°－(1－cos40°＝.题型3三角函数的综合问题例3函数f(x＝sinsin＋sinxcosx(x∈R．(1 求f的值；(2 在△ABC中，若f＝1，求sinB＋sinC的最大值．解：(1 f(x＝sinsin＋sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝sin，所以f＝1.(2 因为f＝1，所以sin＝1.因为0＜A＜π，所以A＋＝，即A＝.sinB＋sinC＝sinB＋sin＝sinB＋cosB＝sin.因为0＜B＜，所以＜B＋＜，所以＜sin≤1，所以sinB＋sinC的最大值为.已知a＝(cosx＋sinx，sinx，b＝(cosx－sinx，2cosx，设f(x＝a·b.(1 求函数f(x的最小正周期；(2 当x∈时，求函数f(x的最大值和最小值．解：(1 f(x＝a·b＝(cosx＋sinx·(cosx－sinx＋sinx·2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝＝sin.∴f(x的最小正周期T＝π.(2 ∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，∴当2x＋＝，即x＝时，f(x有最大值；当2x＋＝，即x＝时，f(x有最小值－1.1. (2013·苏州期末已知θ为锐角，sin(θ＋15°＝，则cos(2θ－15°＝________．答案：解析：因为θ为锐角，且sin(θ＋15°＝∈，所以θ＋15°∈(45°，60°，2θ＋30°∈(90°，120°，所以cos(2θ＋30°＝1－2sin2(θ＋15°＝1－2×＝－，从而sin(2θ＋30°＝＝，所以cos(2θ－15°＝cos[(2θ＋30°－45°]＝cos(2θ＋30°cos45°＋sin(2θ＋30°sin45°＝－×＋×＝.2. 函数f(x＝cos·cos(x＋的最小正周期为________．答案：π解析：∵ f(x＝－sinx·(cosx－sinx＝－sin，∴ T＝π.3. 计算：＝________．答案：解析：＝＝＝＝sin30°＝.4. 设α、β∈(0，π，且sin(α＋β＝，tan＝，则cosβ＝________．答案：－解析：∵ tan＝，∴ tanα＝＝＝，而α∈(0，π，∴ α∈.由tanα＝＝及sin2α＋cos2α＝1得sinα＝，cosα＝；又sin(α＋β＝<，∴ α＋β∈(，π，cos(α＋β＝－.∴ cosβ＝cos[(α＋β－α]＝cos(α＋βcosα＋sin(α＋βsinα＝－×＋×＝－.1. 已知函数f(x＝sincos＋cos2－.(1 若f(α＝，α∈(0，π，求α的值；(2 求函数f(x在上最大值和最小值．解：(1 f(x＝sinx＋－＝(sinx＋cosx＝sin.由题意知：f(α＝sin＝，即sin＝.∵α∈(0，π，即α＋∈，∴α＋＝，即α＝.(2 ∵－≤α≤π，即0≤α＋≤，∴f(xmax＝f＝，f(xmin＝f(π＝－.2. 已知ω＞0，a＝(2sinωx＋cosωx，2sinωx－cosωx，b＝(sinωx，cosωx．f(x＝a·b.f(x图象上相邻的两个对称轴的距离是.(1 求ω的值；(2 求函数f(x在区间上的最大值和最小值．解：f(x＝a·b＝(2sinωx＋cosωxsinωx＋(2sinωx－cosωxcosωx＝2sin2ωx＋3sinωxcosωx－cos2ωx＝1－cos2ωx＋sin2ωx－(1＋cos2ωx＝(sin2ωx－cos2ωx＋＝sin＋.(1 因为函数f(x的图象上相邻的两个对称轴间的距离是，所以函数f(x的最小正周期T＝π，则ω＝1.(2 ω＝1，f(x＝sin＋.∴ x∈，∴ 2x－∈，则当2x－＝－，即x＝0时，f(x取得最小值－1；当2x－＝，即x＝时，f(x取得最大值.3. 设函数f(x＝(sinωx＋cosωx2＋2cos2ωx(ω＞0的最小正周期为.(1 求ω的最小正周期；(2 若函数y＝g(x的图象是由y＝f(x的图象向右平移个单位长度得到，求y＝g(x的单调增区间．解：(1 f(x＝(sinωx＋cosωx2＋2cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋sin2ωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝sin＋2，依题意得＝，故ω的最小正周期为.(2 依题意得g(x＝sin ＋2＝sin＋2，由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z，故y＝g(x的单调增区间为(k∈Z．4. 设函数f(x＝sinxcosx＋cos2x＋a.(1 写出函数f(x的最小正周期及单调递减区间；(2 当x∈时，函数f(x的最大值与最小值的和为，求a的值．解：(1 f(x＝sin2x＋＋a＝sin＋a＋，∴ T＝π.由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得＋kx≤x≤＋kπ.故函数f(x的单调递减区间是(k∈Z．(2 ∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.∴－≤sin≤1.当x∈时，原函数的最大值与最小值的和为＋＝，∴ a＝0.1. (1 三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．(2 三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．2. 三角恒等式的证明主要从两方面入手：(1 看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化．(2 看函数：统一函数，向结果中的函数转化．请使用课时训练(A第6课时(见活页．[备课札记]。

高中数学教案学案简单的三角恒等变换含习题答案与解析.doc

高中数学教案学案简单的三角恒等变换学习目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________；(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)．2．公式的逆向变换及有关变形(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝sin 2α2sin α；(2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________；升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________；变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 1．(2010·陕西)函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( ) A ．－3,1 B ．－2,2C ．－3，32D ．－2，323．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( )A ．－1B ．－12 C.12D ．14．(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( )A ．有最大值12，最小值0B ．有最小值12，无最大值C ．既无最大值也无最小值D ．有最大值12，无最小值考点一三角函数式的化简例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．举一反三1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫－11π12的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．考点二三角函数式的求值例2 已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．举一反三2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin (α＋π4)cos (2α＋4π)的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．考点三三角恒等式的证明例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析表达式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f (x )的值域．举一反三3 求证：sin 2x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .例 (12分)(2010·江西)已知函数f (x )＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．【答题模板】解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋cos x sin x sin 2x ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x2＝12⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，[3分] 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤π8，3π4，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤0，5π4，[4分]所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，[5分] 从而得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.[6分](2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m2cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －m 2cos 2x＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋12，[8分] 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.[10分] 所以35＝12⎣⎡⎦⎤45＋35(1＋m )＋12，[11分] 解得m ＝－2.[12分] 【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2，α2是α4的二倍角等． (3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·平顶山月考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 ( ) A.13 B ．－13 C.16 D ．－162．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于 ( ) A.1318 B.1322 C.322 D.16。

高二数学简单的三角恒等变换教案(通用11篇)

高二数学简单的三角恒等变换教案（通用11篇）高二数学简单的三角恒等变换教案 1教学目标1、理解并掌握基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差公式。

2、能够运用三角恒等式进行简单的三角恒等变换。

3、培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

教学重点1、三角恒等式的理解和记忆。

2、三角恒等变换的方法和步骤。

教学难点三角恒等式的灵活运用和复杂三角表达式的化简。

教学准备1、多媒体课件，包含三角恒等式、例题和练习题。

2、黑板和粉笔。

教学过程一、导入新课复习上节课内容，回顾三角函数的定义和性质。

提出问题：如何利用已知的三角函数公式推导出新的三角恒等式？二、新课讲解1、讲解三角恒等式的基本概念，介绍和差化积、积化和差等公式。

2、通过实例演示如何使用三角恒等式进行三角恒等变换。

3、引导学生总结三角恒等变换的.一般方法和步骤。

三、课堂练习布置一些简单的三角恒等变换练习题，让学生尝试运用所学知识解决问题。

教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予适当的提示和帮助。

四、巩固提升分析一些较复杂的三角恒等变换问题，引导学生思考如何灵活运用三角恒等式进行化简。

鼓励学生相互讨论，分享解题思路和方法。

五、课堂小结总结本节课的重点内容，强调三角恒等变换的重要性和应用价值。

布置课后作业，要求学生完成一些三角恒等变换的练习题，以巩固所学知识。

教学反思本节课通过实例演示和课堂练习，使学生初步掌握了三角恒等变换的基本方法和步骤。

但在处理较复杂问题时，部分学生仍显得不够熟练，需要进一步加强练习和指导。

在今后的教学中，可以设计更多具有针对性的练习题，帮助学生巩固和提高三角恒等变换的能力。

同时，也要注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。

高二数学简单的三角恒等变换教案 2理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括正弦、余弦、正切的和差公式，二倍角公式，半角公式等。

能够运用三角恒等变换解决一些简单的三角函数化简、求值及证明问题，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

简单的三角恒等变换(公开课学案)

《简单的三角恒等变换》学案
一、学习目标：
1、理解并掌握和(差) 公式和倍角公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想和方法，发展学生的数学运算素养；
2、能熟练利用公式进行简单的恒等变形,初步体会三角恒等变换在数学中的应用，发展学生的逻辑推理素养. 二、学习过程
（一）回顾：大家已经学过的三角公式主要有哪些？
（二）典例讲解
（三）变式训练
（四）总结整理
通过这节课的学习你有什么收获和感悟？你能否从知识、方法、思想等层面分别概括总结一下？三、目标检测。

湖北省监利县第一中学高三数学第一轮复习导学案：第22课时简单的三角恒等变换

【学习目标】1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【课本导读】1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin2α＝；(2)cos2α＝＝－1＝1－；(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)． 2．半角公式：(1)sin α2＝； (2)cos α2＝； (3)tan α2＝＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α＝；α2＝；3α＝都适用．4．由cos2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α可得降幂公式：cos 2α＝；sin 2α＝；升幂公式cos2α＝＝ . 【教材回归】1．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( )A.1＋m 2B.1－m 2 C ．± 1＋m 2 D. 1＋m 22．设sin2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________． 3．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是________． 4．已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin2θ的值为________． 5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45【授人以渔】题型一：求值例1 求值：(1)sin18°cos36°；(2)2cos10°－sin20°cos20° (3)sin10°·sin50°·sin70°. (2) 1＋cos20°2sin20°－2sin10°·tan80°例2 （1）已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，则cos2αsin π4＋α＝________. (2)已知cos(π4－α)＝35，－3π2<α<－π2.则cos(2α－π4)= (3)若cos(π4＋x )＝35，1712π＜x ＜74π，求sin2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．题型二化简例3（1）已知函数f(x)＝1－x1＋x.若α∈(π2，π)，则f(cosα)＋f(－cosα)可化简为________．(2)化简sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos2α·cos2β.(3)已知f (x )＝1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＋1－cos x －sin x 1－sin x ＋cos x 且x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，且x ≠k π＋π，k ∈Z .①化简f (x )；②是否存在x ，使得tan x 2·f (x )与1＋tan 2x 2sin x相等？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．题型三：证明例5 已知sin(2α＋β)＝2sin β，求证：tan(α＋β)＝3tan α.。

高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第六节简单的三角恒等变换教案含解析

第六节简单的三角恒等变换考点一三角函数式的化简基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．化简：cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π8－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π8＝________. 解析：原式＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π42－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π42＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π42＝－22sin 2x . 答案：－22sin 2x 2．化简：＋sin θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.∵0＜θ＜π，∴0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0，∴原式＝－cos θ.[谨记通法]1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．如“题组练透”第2题．考点二三角函数式的求值题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．常见的命题角度有： (1)给值求值； (2)给角求值；(3)给值求角．[题点全练]角度一：给值求值1．(2018·宁波十校联考)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3，则sin 2α的值为( )A ．－45B ．45C ．－35D ．35解析：选B 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝3，所以tan α＝12.所以sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝114＋1＝45. 2．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫255＋55＝31010. 答案：31010角度二：给角求值3．化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. 解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.答案：1角度三：给值求角4．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β＝( )A ．π4B ．－π4C ．3π4D ．－3π4解析：选D 因为tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13＜1，所以0＜α＜π4，又因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＜1，所以0＜2α＜π4，所以tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－171＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝1.因为0＜β＜π，所以－π＜2α－β＜π4，所以2α－β＝－3π4，故选D.[通法在握]三角函数求值的3类求法(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．[演练冲关]1.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1B ．－1 C.12D ．－12解析：选D 原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.2．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A ．118 B ．－118C ．1718D ．－1718解析：选D cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718，故选D.3．(2019·慈溪模拟)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝________. 解析：因为α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 答案：17250考点三三角恒等变换的综合应用重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·北京高考)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 依题意，得πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)．[由题悟法]三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察函数的角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．[即时应用](2019·温州模拟)已知函数f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝4cos π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2π3＋1＝4×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝－2.(2)因为f (x )＝4cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋1 ＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x －32sin x ＋1＝－2cos 2x －3sin 2x ＋1 ＝－3sin 2x －cos 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x ＝( )A ．1825 B ．725 C ．－725D ．－1625解析：选C ∵sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，∴sin 2x ＝－725.2．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝( )A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33解析：选Asin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 3．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( )A ．1B ． 3C ． 2D ．2解析：选C 原式＝cos 220°－sin 220°－＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝2，故选C.4．(2018·杭州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( )A ．－7210B ．7210C ．－210D ．210解析：选D 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ) ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210. 5．(2018·浙江三地市联考)在△ABC 中，已知cos A ＝45，tan(A －B )＝－12，则tan C＝________.解析：在△ABC 中，因为cos A ＝45，所以tan A ＝34.因为tan(A －B )＝－12，所以tan(B－A )＝12，所以tan B ＝tan(B －A ＋A )＝B －A ＋tan A 1－B －A A ＝12＋341－12×34＝2.所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－34＋21－34×2＝112.答案：112二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3等于( )A ．－34B ．－14C ．34D ．14解析：选B ∵a ⊥b ，∴a·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14.2．已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜2α＜π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．－211D ．211解析：选A 由题意，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－taα－β1＋tan 2αα－β＝－2.3.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12B.32C. 3D. 2 解析：选C 原式＝－－sin 20°sin 70°＝2cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.4．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2 D.3π4解析：选A 由题意知，sin A ＝－2cos B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sinC ，在等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C 得tanB ＋tanC ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.5．若tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210 B.210C.5210 D.7210解析：选A ∵sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 2α＋22cos 2α＝22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－210. 6．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x ＋cos 2x 的单调递增区间为________，最大值为________．解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＋cos 2x ＝12cos 2x －32sin 2x ＋cos 2x ＝32cos 2x －32sin 2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π≤2x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z ，最大值为 3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z37．(2019·柯桥模拟)设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β＝________.解析：因为tan α2＝12，所以tan α＝2tanα21－tan 2α2＝11－14＝43.又因为α∈(0，π)，所以sin α＝45，cos α＝35.因为sin(α＋β)＝513＜sin α，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos(α＋β)＝－1213.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1213×35＋513×45＝－1665.答案：－16658.3tan 12°－3212°－＝________. 解析：原式＝3· sin 12°cos 12°－3212°－＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23－2cos 24°sin 12°cos 12° ＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 答案：－4 39．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4. 10．(2019·绍兴模拟)已知函数f (x )＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，且f (x 0)＝12，求f (2x 0)的值．解：(1)因为f (x )＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x 0－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 又因为f (x 0)＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π3＝12，所以2x 0－π3＝π2，即2x 0＝5π6. 所以f (2x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π6－π3＝－34. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5， ∴原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5 ＝tan α＋tan π5tan α－tan π5. 又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tan π5＋tan π52tan π5－tan π5＝3. 2．(2019·桐乡模拟)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞2)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则A ＋B ＝________. 解析：由题可得，tan A ＋tan B ＝－3a ＜－6，tan A tan B ＝3a ＋1＞7，所以tan A ＜0，tan B ＜0，所以A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0.因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3a 1－a ＋＝1，且A ＋B ∈(－π，0)，所以A ＋B ＝－3π4. 答案：－3π4 3．(2019·杭州模拟)已知函数f (x )＝sin 2x －2cos 2x ＋m 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0. (1)求函数f (x )的解析式及最大值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝325，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．解：(1)∵f (x )＝sin 2x －cos 2x －1＋m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋m －1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8－π4＋m －1＝0，解得m ＝1， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，当2x －π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π8＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值 2. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝325，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45， ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋22·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210.。

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湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 22.简单的三角恒等变
换学案
【学习目标】
1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
2. 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 预习案
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝；(2)cos 2α＝＝－1＝1－；
(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2
)． 2．半角公式：(1)sin
α2＝； (2)cos α2＝； (3)tan α2＝＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α
. 3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α＝；α2＝；3α＝都适用．
4．由cos2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α可得降幂公式：cos 2α＝；sin 2α＝；升幂公式cos2α＝＝ .
【预习自测】
1．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为 ( ) A.
1＋m 2 B.1－m 2 C ．± 1＋m 2 D. 1＋m 2
2．设sin2α＝－sin α，α∈(
π2，π)，则tan2α的值是________．
3．函数f (x )＝sin 2(2x －
π4)的最小正周期是________．
4．已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59
，那么sin2θ的值为________．
5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ
＝ ( )
A．－4
5
B．－
3
5
C.
3
5
D.
4
5探究案
题型一：求值
例1.求值：
(1)sin18°cos36°； (2)2cos10°－sin20°
cos20°
(3)sin10°²sin50°²sin70°.(4) 1＋cos20°
2sin20°
－
2sin10°²tan80°
例2.（1）已知cos(π
4
－α)＝
12
13
，α∈(0，
π
4
)，则
cos2α
sin
π
4
＋α
＝________.
(2)已知cos(π
4
－α)＝
3
5
，－
3π
2
<α<－
π
2
.则cos(2α－
π
4
)=
(3)若cos(π
4
＋x)＝
3
5
，
17
12
π＜x＜
7
4
π，求
sin2x＋2sin2x
1－tan x
的值．
题型二化简
例3.（1）已知函数f(x)＝1－x
1＋x
.若α∈(
π
2
，π)，则f(cosα)＋f(－cosα)可化简为
________．
(2)化简sin2α²sin2β＋cos2α²cos2β－1
2
cos2α²cos2β.
(3)已知f(x)＝1＋cos x－sin x
1－sin x－cos x
＋
1－cos x－sin x
1－sin x＋cos x
且x≠2kπ＋
π
2
，k∈Z，且x≠kπ＋π，
k∈Z.
①化简f(x)；
②是否存在x，使得tan x
2
²f(x)与
1＋tan2
x
2
sin x
相等？若存在，求x的值；若不存在，请说明理
由．
题型三：证明
例4.已知sin(2α＋β)＝2sinβ，求证：tan(α＋β)＝3tanα.
拓展：(1)求证：tan2x＋
1
tan2x
＝
2 3＋cos4x
1－cos4x
(2)若tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
我的学习总结：
（1）我对知识的总结 . （2）我对数学思想及方法的总结。