2019年高考数学一轮复习课时分层训练26平面向量的概念及线性运算

课时分层训练(二十六) 平面向量的概念及线性运算A 组 基础达标一、选择题1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( )A ．①B ．③C ．①③D ．①②A [根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．]2．(2018·武汉调研)设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是( )【导学号：79140147】A ．a 与－λa 的方向相反B ．|－λa |≥|a |C ．a 与λ2a 的方向相同D ．|－λa |≥|λ|aC [A 中，当λ＜0时，a 与－λa 方向相同，故A 不正确；B 中，当－1＜λ＜1时，|－λa |＜|a |，故B 不正确；C 中，因为λ2＞0，所以a 与λ2a 方向相同，故C 正确；D 中，向量不能比较大小，故D 不正确，故选C.]3．(2017·广东东莞二模)如图4­1­1所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )图4­1­1A ．c ＝3b －1aB ．c ＝2b －aC ．c ＝2a －bD ．c ＝32a －12bA [因为AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋32AB →＝OA →＋32(OB →－OA →)＝32OB →－12OA →＝32b －12a ，故选A.] 4．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a⊥bB ．|a |＝|b |C ．a∥bD ．|a |＞|b |A [法一：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2. ∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a⊥b . 故选A.法二：在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a⊥b .故选A.]5．(2017·河南中原名校4月联考)如图4­1­2所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )图4­1­2A.58B.14 C ．1 D.516A [DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.] 二、填空题6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC→＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________．平行四边形 [由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →， 所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．]7．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.12[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎨⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.]8．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.【导学号：79140148】12 －16 [∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →. ∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16.]三、解答题9．如图4­1­3，在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.图4­1­3[解] AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . 10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．[解] (1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →. 又∵AB →与BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD →＝e 1－4e 2，∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF →＝λBD →(λ∈R )， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，即⎩⎨⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12. B 组 能力提升11．(2017·河北衡水中学三调考试)在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )【导学号：79140149】A ．－4B ．－1C ．1D ．4B [根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎨⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎨⎧n ＝2，m ＝－1，故选B.] 12．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [如图，∵D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.]13．(2017·辽宁大连高三双基测试)如图4­1­4，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.图4­1­423 [因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1.因为BC ＝3，所以BH ＝13BC . 因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM→＝λAB →＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.]14．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ).【导学号：79140150】(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. [证明] (1)若m ＋n ＝1， 则OP →＝mOA →＋(1－m )OB → ＝OB →＋m (OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线． 又∵BP →与BA →有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎨⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。