知识点复习题02——多面体与旋转体
高考数学多面体与旋转体选择题
高考数学多面体与旋转体选择题1. 下列关于多面体的说法正确的是：A. 所有多面体的对角线都是相交的B. 所有多面体的内角和都是360°C. 所有多面体的对角线都相交于一点D. 所有多面体的边数都大于22. 下列关于旋转体的说法正确的是：A. 所有旋转体的体积都是相等的B. 所有旋转体的表面积都是相等的C. 所有旋转体的轴都是垂直的D. 所有旋转体的中心都是对称的3. 下列哪个图形是旋转体？A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 球体4. 下列关于圆锥的说法正确的是：A. 圆锥的底面半径等于母线长B. 圆锥的底面半径小于母线长C. 圆锥的底面半径大于母线长D. 圆锥的底面半径与母线长无关5. 下列关于圆柱的说法正确的是：A. 圆柱的底面半径等于母线长B. 圆柱的底面半径小于母线长C. 圆柱的底面半径大于母线长D. 圆柱的底面半径与母线长无关6. 下列关于圆台的说法正确的是：A. 圆台的底面半径等于母线长B. 圆台的底面半径小于母线长C. 圆台的底面半径大于母线长D. 圆台的底面半径与母线长无关7. 下列关于球体的说法正确的是：A. 球体的直径等于半径的两倍B. 球体的直径小于半径的两倍C. 球体的直径大于半径的两倍D. 球体的直径与半径无关8. 下列哪个图形不是旋转体？A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 圆环9. 下列关于多面体的内角和的说法正确的是：A. 所有多面体的内角和都是360°B. 所有多面体的内角和都是480°C. 所有多面体的内角和都是540°D. 所有多面体的内角和都是600°10. 下列关于旋转体的体积的说法正确的是：A. 所有旋转体的体积都是相等的B. 所有旋转体的体积都与底面半径和高度有关C. 所有旋转体的体积都与底面半径无关D. 所有旋转体的体积都与高度无关11. 下列哪个图形是多面体？A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 球体12. 下列关于多面体的对角线说法正确的是：A. 所有多面体的对角线都是相交的B. 所有多面体的对角线都相交于一点C. 所有多面体的对角线都不相交D. 所有多面体的对角线都与顶点无关13. 下列关于旋转体的表面积的说法正确的是：A. 所有旋转体的表面积都是相等的B. 所有旋转体的表面积都与底面半径和高度有关C. 所有旋转体的表面积都与底面半径无关D. 所有旋转体的表面积都与高度无关14. 下列哪个图形是旋转体？A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 圆环15. 下列关于多面体的边数说法正确的是：A. 所有多面体的边数都大于2B. 所有多面体的边数都等于2C. 所有多面体的边数都小于2D. 所有多面体的边数都与顶点无关16. 下列关于旋转体的轴的说法正确的是：A. 所有旋转体的轴都是垂直的B. 所有旋转体的轴都与底面垂直C. 所有旋转体的轴都与高度垂直D. 所有旋转体的轴都与底面和高度无关17. 下列关于多面体的顶点说法正确的是：A. 所有多面体的顶点都位于对角线上B. 所有多面体的顶点都位于底面上C. 所有多面体的顶点都位于侧面D. 所有多面体的顶点都与对角线无关18. 下列关于旋转体的中心说法正确的是：A. 所有旋转体的中心都是对称的B. 所有旋转体的中心都与底面中心重合C. 所有旋转体的中心都与高度中心重合D. 所有旋转体的中心都与底面和高度无关19. 下列哪个图形是多面体？A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 球体20. 下列关于多面体的内角和的说法正确的是：A. 所有多面体的内角和都是360°B. 所有多面体的内角和都是480°C. 所有多面体的内角和都是540°D. 所有多面体的内角和都是600°21. 下列关于旋转体的体积的说法正确的是：A. 所有旋转体的体积都是相等的B. 所有旋转体的体积都与底面半径和高度有关C. 所有旋转体的体积都与底面半径无关D. 所有旋转体的体积都与高度无关22. 下列哪个图形是旋转体？A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 圆环23. 下列关于多面体的对角线说法正确的是：A. 所有多面体的对角线都是相交的B. 所有多面体的对角线都相交于一点C. 所有多面体的对角线都不相交D. 所有多面体的对角线都与顶点无关24. 下列关于旋转体的表面积的说法正确的是：A. 所有旋转体的表面积都是相等的B. 所有旋转体的表面积都与底面半径和高度有关C. 所有旋转体的表面积都与底面半径无关D. 所有旋转体的表面积都与高度无关25. 下列哪个图形是多面体？A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 球体26. 下列关于多面体的边数说法正确的是：A. 所有多面体的边数都大于2B. 所有多面体的边数都等于2C. 所有多面体的边数都小于2D. 所有多面体的边数都与顶点无关27. 下列关于旋转体的轴的说法正确的是：A. 所有旋转体的轴都是垂直的B. 所有旋转体的轴都与底面垂直C. 所有旋转体的轴都与高度垂直D. 所有旋转体的轴都与底面和高度无关28. 下列关于多面体的顶点说法正确的是：A. 所有多面体的顶点都位于对角线上B. 所有多面体的顶点都位于底面上C. 所有多面体的顶点都位于侧面D. 所有多面体的顶点都与对角线无关29. 下列关于旋转体的中心说法正确的是：A. 所有旋转体的中心都是对称的B. 所有旋转体的中心都与底面中心重合C. 所有旋转体的中心都与高度中心重合D. 所有旋转体的中心都与底面和高度无关30. 下列哪个图形是多面体？A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 球体31. 下列关于多面体的内角和的说法正确的是：A. 所有多面体的内角和都是360°B. 所有多面体的内角和都是480°C. 所有多面体的内角和都是540°D. 所有多面体的内角和都是600°32. 下列关于旋转体的体积的说法正确的是：A. 所有旋转体的体积都是相等的B. 所有旋转体的体积都与底面半径和高度有关C. 所有旋转体的体积都与底面半径无关D. 所有旋转体的体积都与高度无关33. 下列哪个图形是旋转体？A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 圆环34. 下列关于多面体的对角线说法正确的是：A. 所有多面体的对角线都是相交的B. 所有多面体的对角线都相交于一点C. 所有多面体的对角线都不相交D. 所有多面体的对角线都与顶点无关35. 下列关于旋转体的表面积的说法正确的是：A. 所有旋转体的表面积都是相等的B. 所有旋转体的表面积都与底面半径和高度有关C. 所有旋转体的表面积都与底面半径无关D. 所有旋转体的表面积都与高度无关36. 下列哪个图形是多面体？A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 球体37. 下列关于多面体的边数说法正确的是：A. 所有多面体的边数都大于2B. 所有多面体的边数都等于2C. 所有多面体的边数都小于2D. 所有多面体的边数都与顶点无关38. 下列关于旋转体的轴的说法正确的是：A. 所有旋转体的轴都是垂直的B. 所有旋转体的轴都与底面垂直C. 所有旋转体的轴都与高度垂直D. 所有旋转体的轴都与底面和高度无关39. 下列关于多面体的顶点说法正确的是：A. 所有多面体的顶点都位于对角线上B. 所有多面体的顶点都位于底面上C. 所有多面体的顶点都位于侧面D. 所有多面体的顶点都与对角线无关40. 下列关于旋转体的中心说法正确的是：A. 所有旋转体的中心都是对称的B. 所有旋转体的中心都与底面中心重合C. 所有旋转体的中心都与高度中心重合D. 所有旋转体的中心都与底面和高度无关41. 下列哪个图形是多面体？A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 球体42. 下列关于多面体的内角和的说法正确的是：A. 所有多面体的内角和都是360°B. 所有多面体的内角和都是480°C. 所有多面体的内角和都是540°D. 所有多面体的内角和都是600°43. 下列关于旋转体的体积的说法正确的是：A. 所有旋转体的体积都是相等的B. 所有旋转体的体积都与底面半径和高度有关C. 所有旋转体的体积都与底面半径无关D. 所有旋转体的体积都与高度无关44. 下列哪个图形是旋转体？A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 圆环45. 下列关于多面体的对角线说法正确的是：A. 所有多面体的对角线都是相交的B. 所有多面体的对角线都相交于一点C. 所有多面体的对角线都不相交D. 所有多面体的对角线都与顶点无关46. 下列关于旋转体的表面积的说法正确的是：A. 所有旋转体的表面积都是相等的B. 所有旋转体的表面积都与底面半径和高度有关C. 所有旋转体的表面积都与底面半径无关D. 所有旋转体的表面积都与高度无关47. 下列哪个图形是多面体？A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 球体48. 下列关于多面体的边数说法正确的是：A. 所有多面体的边数都大于2B. 所有多面体的边数都等于2C. 所有多面体的边数都小于2D. 所有多面体的边数都与顶点无关49. 下列关于旋转体的轴的说法正确的是：A. 所有旋转体的轴都是垂直的B. 所有旋转体的轴都与底面垂直C. 所有旋转体的轴都与高度垂直D. 所有旋转体的轴都与底面和高度无关50. 下列关于多面体的顶点说法正确的是：A. 所有多面体的顶点都位于对角线上B. 所有多面体的顶点都位于底面上C. 所有多面体的顶点都位于侧面D. 所有多面体的顶点都与对角线无关。
高考数学多面体与旋转体选择题
高考数学多面体与旋转体选择题1. 已知三棱锥S-ABC的底面ABC是边长为a的正三角形，高SD=2，点E、F、G分别是棱SA、SB、SC的中点，且EF=4，求三棱锥S-ABC 的体积。
2. 设四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PD=3，点E、F、G、H分别是棱PA、PB、PC、PD的中点，且EF=4，求四棱锥P-ABCD的体积。
3. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，求圆锥的全面积。
4. 已知圆台的上下底面半径分别为r1和r2，高为h，求圆台的全面积。
5. 已知球体的直径为d，求球体的表面积。
6. 已知球的半径为r，求球的体积。
7. 已知球体的半径为r，求球体的表面积和体积。
8. 已知圆柱的底面半径为r，高为h，求圆柱的全面积。
9. 已知圆柱的底面半径为r，高为h，求圆柱的体积。
10. 已知圆柱的底面半径为r，高为h，求圆柱的表面积和体积。
11. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，求圆锥的表面积。
12. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，求圆锥的体积。
13. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，求圆锥的表面积和体积。
14. 已知圆台的上下底面半径分别为r1和r2，高为h，求圆台的表面积。
15. 已知圆台的上下底面半径分别为r1和r2，高为h，求圆台的体积。
16. 已知圆台的上下底面半径分别为r1和r2，高为h，求圆台的表面积和体积。
17. 已知球的半径为r，求球的表面积和体积。
19. 已知球的半径为r，求球的表面积和体积。
20. 已知球的半径为r，求球的表面积和体积。
21. 已知球的半径为r，求球的表面积和体积。
22. 已知球的半径为r，求球的表面积和体积。
23. 已知球的半径为r，求球的表面积和体积。
24. 已知球的半径为r，求球的表面积和体积。
25. 已知球的半径为r，求球的表面积和体积。
26. 已知球的半径为r，求球的表面积和体积。
27. 已知球的半径为r，求球的表面积和体积。
《多面体与旋转体》知识点
《多面体与旋转体》知识点1、多面体：（1）棱柱的主要性质：①棱柱的所有侧棱都 ，直（正）棱柱的侧棱长等于 。
②棱柱的每一个侧面都是 形，直棱柱的每一个侧面都是形，正棱柱的各个侧面都是 形。
③棱柱中，过不相邻的两条侧棱的截面都是 形。
（2）填适当的符号，表示下列集合之间的关系：四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体（3）长方体中过一个顶点的三条棱长分别为a 、b 、c,则它的对角线长d= 。
（4）棱锥：① 叫做正棱锥。
②正棱锥各侧棱 ，各侧面是全等的 ，③s s 棱锥截棱锥底=④正棱锥的 、 和 组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的摄影也组成一个 。
（5）面积，体积公式：s 直棱柱侧= ， v 棱柱= ，s 正棱锥侧= ， v 棱锥= ， 2、旋转体：（1）圆柱：平行于底面的截面是 ，轴截面是 ，s 轴截面= ，（2）圆锥：h, r, l 之间的关系式： 。
s s 圆锥截圆锥底= ，轴截面是 ，s 轴截面= ，（3）圆柱侧面展开图是 ，圆锥侧面展开图是 ， s 圆柱侧= = ， s 圆柱全= ，v 圆柱= ， s 圆锥侧= = ， s 圆锥全= ，v 圆锥= ，（4）球：①截面是 ，d, R, r, 之间的关系式 ，②球面上两点的距离：经过两点的大圆在这两点间的一段 的长度。
③ S 大圆= S 球= ，V 球=选择题：1、斜四棱柱的侧面为矩形的个数最多有 （ ）A O 个B 1个C 2 个 D3个 2、若棱住的侧面是全等的矩形，则棱柱是（ ）A ．直棱柱B ．正棱柱C ．正方体D ．底面为菱形的直棱柱 3、若长方体的三条棱长分别是3、5、15，则长方体的对角线的长是（ ） A ．53 B 23 C ．3 D ．不同于以上答案 4、若两球的表面积之比为1：2，则其半径之比为（ ）A 1：2B 1：4C 1：2D 1：22 5、侧棱长为2，底面周长为3的正三棱锥的高是（ ）A ．311 B ．313 C ．339 D ．333 6、各棱长均为1的正三棱锥的全面积为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．367、已知圆柱的轴截面是一个面积为4的正方形，则圆柱的侧面积是（ ）A ．π2B ．π4C ．π6D ．π8 8、圆锥侧面展开图是半径为a 的半圆，这个圆锥的高是（ ）A ．aB ．a 22 C ．a 3 D ．a 23 9、正方体的对角线长为L ，它的全面积是 （ ）A ．2L 2B ．32L C ．12L 2 D ．18L 210、圆柱的一个底面面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A 4πS B 2πS C πS D 3πS11、轴截面为直角三角形的圆锥，侧面积与底面积之比为 （ ）A 2：1B 3：1C 5：1D 2：1 12、正四棱锥底面边长为2，侧面积为8，它的体积为（ ）A334 B 23 C 43 D 83 13、若球的体积增大为原来的8倍，则它的表面积增大为原来的 （ ）A2倍 B 4倍 C8倍 D16倍14、一个棱锥的底面面积为Q ，过它的高的中点作平行于底面的截面，那么截面面积 （ ）A21Q B 31Q C 41Q D 22Q 15、各棱长均相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值为 （ ）A63 B 33 C 23 D 36二、填空题：1、正方体一个面的对角线的长为a ，则正方体的对角线长是__________。
高三立体几何复习讲义：多面体与旋转体
多面体与旋转体一、棱柱1、 由几个多边形围成的封闭的几何体叫做多面体。
2、 两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱。
棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高。
棱柱的基本性质：（1） 棱柱的侧面都是平行四边形。
（2） 棱柱的两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形。
3、 侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱。
侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
性质：（1） 直棱柱侧面都是矩形。
（2） 直棱柱侧棱与高相等。
（3） 正棱柱的侧面都是全等的矩形。
4、 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。
底面是矩形的直棱柱是长方体。
长方体的对角线平方等于三边长的平方和。
5、 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
6、 h V S =⋅棱柱底. 二、棱锥1、有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
棱锥的这个多边形的面叫做底面，其余各个三角形的面叫做侧面。
相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
棱锥的基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么： （1） 侧棱和高被这个平面分成比例线段； （2） 截面和底面都是相似多边形；（3） 截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。
2、如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质：（1） 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
（2） 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。
正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
高考数学复习 多面体与旋转体部分知识梳理及重要题型
2008高考数学复习多面体与旋转体部分知识梳理及重要题型目的要求：对本章简单几何体知识进行梳理和总结，突出知识间的联系，提高学生综合运用知识的能力和逻辑思维能力.内容分析：1、这部分主要涉及棱柱、棱锥、多面体和球的知识.其内容大致可分为定义、分类、性质、面积和体积几个方面.除此之外还有简单多面体的欧拉公式、球面上两点间的球面距离等重要概念、定理，这些知识牵涉的面很广，但并不十分复杂，有些内容可用类比法进行复习.然而复习中一定要弄清楚，不可混淆.2、如果说前节课所复习的知识还是一些立体图形的元件的话，那么本课所复习的内容就是几何体了.应当说，这节课的空间观念更综合、更形象了.复习中也应该重视画图、识图（包括图形的综合和分解）.只有做到这一点，学生才会把图形在头脑中“立体化”.复习中这个任务依然应予以重视.3、球的体积和表面积计算公式所涉及的重要数学思想方法是数学教学的重要内容，但教学目标仅为了解，而且新授不久，因此，在这次复习中不是重点，复习的重点是各种几何体的基本性质.4、与前节课一样，本课作为复习课，应有针对性，所以重点、难点的确定和内容的调整应根据学生学习中掌握的情况而定.教学过程：1、内容小结（1）针对简单几何体的知识内容，教师预先拟订提纲，让学生课前按提纲进行复习.提纲可按教科书的学习要求和需要注意的问题中学习要求拟定.（2）课堂复习中，让学生比较棱柱、棱锥、球三种几何体的形状、表面、截面、面积、体积，比较前两种几何体的分类、直观图的画法.例题1 如图8－3，三棱锥P—ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二面角P —AC —B 为120°，PC=2，AB=23。
（1）求证：AC ⊥BD ；（2）求BD 与底面ABC 所成的角（用反正弦表示）； （3）求三棱锥P —ABC 的体积。
解 （1）如图8－4，取AC 中点E ，连DE 、BE ，则DE ∥PC ， ∵PC ⊥AC ，∴DE ⊥AC 。
多面体与旋转体复习题62.doc
62．圆柱、圆锥、圆台
一、典型例题
1． 矩形ABCD 中，AB ＝3cm,AD=4cm ，以对角线AC 为轴将矩形ABCD 旋转一周，求所得
旋转体的表面积。
[68.74 cm 2]
2． 如图，圆台的上、下底面半径分别为r 和2r ，A O ''，OB 分别为上、下底面的一条半径，
且以O O '为棱的半平面A OA O ''与平面B OB O ''所成的二面角等于1圆台的母线与底面成60角，求①线段B A '的长；②B A '与圆台轴O O '所成的角。
[r 10、arctg 3
21] 3． 圆锥的底面半径为5cm ，高为12cm ，为了使它的内接圆柱的全面积最大，求内接圆柱的
高。
[7
360π] 4． 母线长为1的圆锥体积最大时，求其侧面展开图圆心角。
[
π362] 5． 已知圆锥SO 的轴截面SAB 为等腰直角三角形，Q 为AB 上任一点，C 为QB 的中点，①
证明：OC ∥平面SAQ ；②设C 点到平面SAQ 的距离为7
212，SO ＝2，设三棱锥S －ACQ 的体积为V 1，圆锥SO 的体积为V 2，求21V V 的值。
[π
43] 6． 设圆锥的高为h ，底面半径为r ，它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的4
1，求圆柱的高，并指出r,h 应满足什么相关条件，本题有一解、两解或无解？[r=3h 、0＜r ＜3h 、r ＞3h]
7．。
立体几何考点专题复习（一）多面体、旋转体
⽴体⼏何考点专题复习（⼀）多⾯体、旋转体⽴体⼏何考点专题复习(⼀)——多⾯体、旋转体⼀、多⾯体和旋转体（⼀）直观图（斜⼆测画法）原则：1.x轴、y轴的夹⾓画成45°或135°，⼀般画45°。
z轴竖直向上；2.与坐标轴平⾏的直线依然平⾏；3.与x轴、z轴平⾏的线段长度不变，与y轴平⾏的线段长度变为原来的⼀半。
（切记：除以上3条外没有任何可以确定的量）画图步骤：1.在原图上建⽴坐标系，画出直观图坐标系，定位图形与三坐标轴的交点。
2.画与x轴平⾏的线段。
3.画与y轴平⾏的线段，长度变为原来的⼀半。
4.画与z轴平⾏的线段。
（⼆）⾯积和体积公式：侧⾯积公式与体积公式。
求法：割补法或等体积法都常⽤。
例1．若某⼏何体的三视图单位：如图所⽰．画出该⼏何体的直观图；求此⼏何体的体积和表⾯积．【答案】解：根据三视图画出直观图，如图所⽰；该⼏何体可以看成是⼀个直三棱柱去掉两个等底的⼩三棱锥组成的如图，直三棱柱的体积为，两个⼩三棱锥的体积为，故⼏何体的体积为40．在图中，作于点M，则，，，所以，．于是，，梯形⼜矩形，所以⼏何体的表⾯积为梯形矩形．【解析】本题考查了三视图与⼏何体的直观图的关系，⼏何体的表⾯积以及体积的求法问题．根据三视图得出该⼏何体是底⾯为直⾓梯形的直四棱柱，结合图中数据画出⼏何体的直观图；结合图中数据计算该⼏何体的表⾯积和体积．例2．已知⼀个⼏何体的三视图如图所⽰．求此⼏何体的表⾯积；如果点P，Q在正视图中所处的位置为：P为三⾓形的顶点，Q为四边形的顶点，求在该⼏何体的侧⾯上，从点P到点Q的最短路径的长．【答案】解：由三视图知：此⼏何体是⼀个圆锥加⼀个圆柱，其表⾯积是圆锥的侧⾯积、圆柱的侧⾯积和圆柱的⼀个底⾯积之和底⾯圆半径长a，圆柱⾼为2a，圆锥⾼为a，，圆柱侧，圆柱底，圆锥侧所以表⾯．分别沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧⾯，并展开铺平，如图所⽰，则，所以P，Q两点在该⼏何体的侧⾯上的最短路径的长为．【解析】本题考查三视图、组合体表⾯积公式及旋转体上最短距离问题，属于基础题．由三视图可以还原⼏何体是上⾯⼀个圆锥加下⾯⼀个圆柱，即可求得表⾯积；沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧⾯，并展开铺平，直线距离最短，由勾股定理即可得到答案．⼆、外接球和内切球（⼀）外接球例1.正四棱锥的底⾯积为3，外接球的表⾯积为，则外接球的球⼼到平⾯ABCD的距离为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了正四棱锥以及球的结构特征，球的表⾯积由题意，得到中，，从⽽得到结果．【解答】解：如图，设外接球的球⼼为O，半径为R，正四棱锥的底⾯积为3，，，，外接球的表⾯积为，，，中，，，，，球⼼到平⾯ABCD的距离为．故答案为．（⼆）内切球例1.正三棱锥的⾼为1，底⾯边长为2，正三棱锥内有⼀个球与其四个⾯相切则球的表⾯积为______ ．【答案】【解析】解：如图，过点P作平⾯ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，是正三⾓形，是BC边上的⾼和中线，D为的中⼼．，，，设球的半径为r，以球⼼O为顶点，棱锥的四个⾯为底⾯把正三棱锥分割为四个⼩棱锥，则，，球的表⾯积为．故答案为：．设球的半径为r，以球⼼O为顶点，棱锥的四个⾯为底⾯把正三棱锥分割为四个⼩棱锥，求出r，由此能求出球的表⾯积．本题考查棱锥的全⾯积和体积的求法，考查球的表⾯积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能⼒的培养．例2.正四⾯体内切球与外接球的体积的⽐为_________．【答案】1：27【解析】【分析】本题是中档题，考查正四⾯体的内切球与外接球的关系，找出两个球的球⼼重合，半径的关系是解题的关键，考查空间想象能⼒，计算能⼒．【解答】解：设正四⾯体为PABC，两球球⼼重合，设为O．设PO的延长线与底⾯ABC的交点为D，则PD为正四⾯体PABC的⾼，底⾯ABC，且，，OD为正四⾯体PABC内切球的半径设正四⾯体PABC底⾯⾯积为S，将球⼼O与四⾯体的4个顶点PABC全部连接，可以得到4个全等的正三棱锥，球⼼为顶点，以正四⾯体⾯为底⾯．每个正三棱锥体积⽽正四⾯体PABC体积，根据前⾯的分析，，所以，，所以，，所以棱长为a的正四⾯体的内切球和外接球的体积之⽐为1：27．故答案为1：三、多⾯体表⾯最短距离例1.在直三棱柱中，底⾯为直⾓三⾓形，，，，P是上⼀动点，如图所⽰，求的最⼩值．【答案】解：在平⾯内，PC在平⾯内，将其铺平后转化为平⾯上的问题解决铺平平⾯、平⾯，如图所⽰计算，，⼜，故是的直⾓三⾓形．C.在中，由余弦定理，得，故．【解析】本题考查了三棱柱的展开图中最短距离问题以及余弦定理，属于中档题，在平⾯内，PC在平⾯内，将其铺平后转化为平⾯上的问题解决铺平平⾯、平⾯，在中，由余弦定理，得．例2.如图所⽰，正四⾯体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上⼀动点，的最⼩值为，则该正四⾯体的外接球⾯积是______．【答案】【解析】解：将侧⾯和展成平⾯图形，如图所⽰：设正四⾯体的棱长为a，则的最⼩值为，．在棱锥中，设底⾯三⾓形BCD的中⼼为M，外接球的球⼼为O，F为BC的中点，则，，．设外接球的半径，则，在中，由勾股定理可得：，解得：．外接球的表⾯积为：．故答案为：．将侧⾯展开，根据的最⼩值可得正四⾯体的棱长，再计算外接球的半径，得出外接球⾯积．本题考查了棱锥的⼏何特征与外接球的表⾯积计算，棱锥侧⾯距离的最值，属于中档题．。
高中数学中的多面体和旋转体
多面体和旋转体是高中数学中的重要概念，它们在几何学中起着重要的作用。
本篇文章将介绍多面体和旋转体的基本概念、性质以及它们在实际生活中的应用。
一、多面体多面体是指由若干个平面多边形围合而成的三维几何体。
每个面都是一个平面多边形，并且相邻两个面的公共边是相交于一点的。
多面体分为凸多面体和凹多面体，如果一个多面体的任何一个面都在另一个面的外部，则这个多面体是凸多面体；否则，这个多面体是凹多面体。
1. 多面体的性质（1）多面体的顶点数V和面数F之间有如下关系：V = F + E - 3，其中E表示边数。
这个公式称为欧拉公式。
（2）多面体的棱数E和面数F之间有如下关系：E = 3F - E - F，这个公式称为欧拉-斯图姆定理。
（3）多面体的对角线数D和面数F之间有如下关系：D = 2F - 4，这个公式称为拉格朗日定理。
2. 多面体的应用（1）多面体在计算机图形学中有着广泛的应用，例如，计算机生成的三维图形通常都是由许多平面多边形构成的。
（2）多面体在机械制造中也有着重要的应用，例如，制造凸轮、齿轮等零件时需要使用凸多面体或凹多面体的概念。
二、旋转体旋转体是指由一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所生成的立体。
曲线称为旋转体的母线，定直线称为旋转体的轴。
1. 旋转体的性质（1）如果一个旋转体的底面是一个圆，则这个旋转体一定是圆柱或圆锥；如果这个圆的半径等于旋转体的底面半径，则这个旋转体是圆柱；否则，这个旋转体是圆锥。
（2）如果一个旋转体的底面是一个椭圆或其他平面曲线，则这个旋转体一定是圆台或球；如果这个椭圆或其他平面曲线是旋转体的底面半径的倍数，则这个旋转体是圆台；否则，这个旋转体是球。
2. 旋转体的应用（1）旋转体在建筑工程中有着广泛的应用，例如，圆柱形和球形建筑物的外壳是由旋转体的概念构成的。
（2）旋转体在油管和通风管道的设计中也有着重要的应用。
多面体与旋转体复习
h
最短路程 h2 4 2r 2
例：用两个平行平面去 截半径为 R的球面，两个截面圆 的半径为 15和24，若两截面间的距离为 27, 求球的半径
设球半径为 r
O1 O2 O O 2
A B B
r 2 152 OO1 2 2 2 r 242 OO2 OO 27 OO 2 1
，点 O
（2）球面被不经过球心的平面截得的圆是小圆，被经过球心的平面截得的圆是大圆 （3）球心和截面圆心的连线 垂直 于截面；
2 2 d R r （4）球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 有下面的关系：
例 ： 已 知 圆 柱 的 底 面径 半 为r , 高 为h, 若 一 只 蚂 蚁 从 某 一 条 母 线 的 一 个 端 点 出 发着 沿圆 柱 表 面 爬 行 一 周该 到母 线 的 另 一 个 端 点 ， 则 蚂 蚁走 所的 最 短 路 程 为 ？
柱、锥、球的结构特征
棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边 形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
顶点
侧面 底面
侧棱
用表示底面各顶点表示棱柱。
一、棱柱的概念与性质： 1、棱柱的概念：
有两个面 互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 2、棱柱的性质： （1）侧棱都相等，侧面是 平行四边形 ；
顶点
S
轴
侧 面
O
B
底面
四、圆锥的概念与性质： 1、圆锥的概念：以直角三角形 ABC（及其内部）绕其 一条直角边AB所在直线 旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥。其中 AB 所在直线叫做圆锥的轴，圆锥用表示它的轴
多面体与旋转体的概念 讲义
多面体与旋转体的概念一、概念整理（一）棱柱与棱锥1、水平放置的平面图形的直观图的“斜二测”画法（1）按右图所示的位置和夹角作三条轴，分别表示铅垂方向，左右方向和前后方向的轴，依次把它们叫做________________________.(2) 规定在z轴和y轴方向上的线段的长度与其表示的真实长度相等，而在x轴方向上,线段的长度是其表示的真实长度的__________。
2、“斜二测”画法的重要性质（1）平行直线的斜二测图__________________；（2）线段及其直线上定比分点的斜二测保持原比例不变。
（三）、旋转体1、旋转体：平面上一条封闭图形所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，定直线叫做______________。
2、圆柱：将_________绕其一条边’OO所在直线旋转一周，所形成的几何体。
(1)圆柱的结构:圆柱的轴：____________；圆柱的母线：____________；圆柱的底面：___________；圆柱的侧面：___________；圆柱的高：____________；(2)圆柱的性质：①底面由与轴垂直的边旋转得到，所以圆柱的底面是圆面且垂直于轴,②轴过两底面圆心且垂直于底面，联接两底面圆心的线段的长等于圆柱的高；③所有母线相互平行，相等且垂直于底面，母线的长等于圆柱的高；④轴截面（经过圆柱的轴的截面）是矩形。
3、圆锥：将_________绕其一条_____边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体。
(1)圆锥的结构：圆锥的轴：_____________；圆锥的母线：____________；顶点：_____________；高：_____________；底面：_____________；侧面：_____________；(2)圆锥的性质：a.底面为圆且垂直于轴；b.c.所有母线都经过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等。
d.轴截面是等腰三角形。
数学必修2一二章知识点整理(含习题)
高中数学必修2第一章空间几何体知识点梳理（一）空间几何体的结构1. 多面体与旋转体：多面体：棱柱、棱锥、棱台；旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球；另一种分类方式：①柱体：棱柱、圆柱；②椎体：棱锥、圆锥；③台体：棱台、圆台；④球简单组合体：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。
2. 棱柱：①直棱柱斜棱柱正棱柱②三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等等。
棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形；③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
3. 棱锥：三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥等等（1）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.（2）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
②正棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高，侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。
③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。
④正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。
4. 圆柱与圆锥：圆柱的轴圆柱的底面圆柱的侧面圆柱侧面的母线5. 棱台与圆台：统称为台体（1）棱台的性质：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.（2）圆台的性质：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.6. 球：球体球的半径球的直径. 球心（二）空间几何体的三视图和直观图1.中心投影平行投影正投影2.三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等。
3.直观图：斜二测画法，直观图中斜坐标系'''x o y，两轴夹角为45︒；平行于x轴长度不变，平行于y轴长度减半。
（三）空间几何体的表面积和体积1.柱体、锥体、台体表面积求法：利用展开图第二章 直线与平面的位置关系基础梳理一、空间中直线与直线之间的位置关系1 平面含义：①没有大小之分，②没有厚度，③平面是平的且可以无限延展的 2．平面的基本性质 (1)那么这条直线上所有的点都在这个平面内．符号表示为,,A l B l l A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩(2)若A ，B ，C 不共线，则A ，B ，C 确定平面α推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 若A l ∉，则点A 和l 确定平面α推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．若m n A =I ，则,m n 确定平面α推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 若m n P ，则,m n 确定平面α (3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条 过这个公共点的直线．,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈I 且(4)公理4：（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
高考数学多面体与旋转体选择题
高考数学多面体与旋转体选择题1. 下列关于多面体的说法正确的是（）A. 棱柱的底面和顶面都是平行四边形B. 棱柱的底面和顶面是矩形时，其侧面都是矩形C. 圆柱的侧面展开图是矩形D. 圆柱的侧面展开图是梯形2. 已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则该长方体的对角线长度d为（）A. $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$B. $\sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$C. $\sqrt{a^2 + b^2 + 2ac}$D. $\sqrt{a^2 + b^2 - 2ac}$3. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则该圆锥的体积V为（）A. $\frac{1}{3}\pi r^2h$B. $\frac{1}{3}\pi l^2h$C. $\frac{1}{3}\pi r^2l$D. $\frac{1}{3}\pi l^2r$4. 已知球的半径为R，则该球的表面积S为（）A. $4\pi R^2$B. $2\pi R^2$C. $4\pi R^3$D. $2\pi R^3$5. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的体积V为（）A. $\pi (r1^2 + r2^2)h$B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$D. $\pi (r1^2 - r2^2)^2$6. 已知圆锥的底面半径为r，母线长为l，则该圆锥的侧面积S 为（）A. $\pi rl$B. $\pi l^2r$C. $\pi r^2l$D. $\pi l^2$7. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的侧面积S为（）B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$D. $\pi (r1^2 - r2^2)^2$8. 已知球的半径为R，则该球的体积V为（）A. $\frac{4}{3}\pi R^3$B. $\frac{1}{3}\pi R^3$C. $\frac{4}{3}\pi R^2$D. $\frac{1}{3}\pi R^2$9. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，则该圆锥的侧面积S为（）A. $\pi r^2h$B. $\pi rh^2$C. $\pi rl^2$D. $\pi l^2r$10. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的侧面积S为（）A. $\pi (r1^2 + r2^2)h$B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$11. 已知球的半径为R，则该球的表面积S为（）A. $4\pi R^2$B. $2\pi R^2$C. $4\pi R^3$D. $2\pi R^3$12. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则该圆锥的体积V为（）A. $\frac{1}{3}\pi r^2h$B. $\frac{1}{3}\pi l^2h$C. $\frac{1}{3}\pi r^2l$D. $\frac{1}{3}\pi l^2r$13. 已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则该长方体的对角线长度d为（）A. $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$B. $\sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$C. $\sqrt{a^2 + b^2 + 2ac}$D. $\sqrt{a^2 + b^2 - 2ac}$14. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的体积V为（）A. $\pi (r1^2 + r2^2)h$B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$D. $\pi (r1^2 - r2^2)^2$15. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，则该圆锥的侧面积S为（）A. $\pi r^2h$B. $\pi rh^2$C. $\pi rl^2$D. $\pi l^2r$16. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的侧面积S为（）A. $\pi (r1^2 + r2^2)h$B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$D. $\pi (r1^2 - r2^2)^2$17. 已知球的半径为R，则该球的体积V为（）A. $\frac{4}{3}\pi R^3$B. $\frac{1}{3}\pi R^3$C. $\frac{4}{3}\pi R^2$D. $\frac{1}{3}\pi R^2$18. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则该圆锥的体积V为（）A. $\frac{1}{3}\pi r^2h$B. $\frac{1}{3}\pi l^2h$C. $\frac{1}{3}\pi r^2l$D. $\frac{1}{3}\pi l^2r$19. 已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则该长方体的对角线长度d为（）A. $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$B. $\sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$C. $\sqrt{a^2 + b^2 + 2ac}$D. $\sqrt{a^2 + b^2 - 2ac}$20. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的体积V为（）A. $\pi (r1^2 + r2^2)h$B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$D. $\pi (r1^2 - r2^2)^2$21. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，则该圆锥的侧面积S为（）A. $\pi r^2h$B. $\pi rh^2$C. $\pi rl^2$D. $\pi l^2r$22. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的侧面积S为（）A. $\pi (r1^2 + r2^2)h$B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$D. $\pi (r1^2 - r2^2)^2$23. 已知球的半径为R，则该球的体积V为（）A. $\frac{4}{3}\pi R^3$B. $\frac{1}{3}\pi R^3$C. $\frac{4}{3}\pi R^2$D. $\frac{1}{3}\pi R^2$24. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则该圆锥的体积V为（）A. $\frac{1}{3}\pi r^2h$B. $\frac{1}{3}\pi l^2h$C. $\frac{1}{3}\pi r^2l$D. $\frac{1}{3}\pi l^2r$25. 已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则该长方体的对角线长度d为（）A. $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$B. $\sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$C. $\sqrt{a^2 + b^2 + 2ac}$D. $\sqrt{a^2 + b^2 - 2ac}$26. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的体积V为（）A. $\pi (r1^2 + r2^2)h$B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$D. $\pi (r1^2 - r2^2)^2$27. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，则该圆锥的侧面积S为（）A. $\pi r^2h$B. $\pi rh^2$C. $\pi rl^2$D. $\pi l^2r$28. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的侧面积S为（）A. $\pi (r1^2 + r2^2)h$B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$D. $\pi (r1^2 - r2^2)^2$29. 已知球的半径为R，则该球的体积V为（）A. $\frac{4}{3}\pi R^3$B. $\frac{1}{3}\pi R^3$C. $\frac{4}{3}\pi R^2$D. $\frac{1}{3}\pi R^2$30. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则该圆锥的体积V为（）A. $\frac{1}{3}\pi r^2h$B. $\frac{1}{3}\pi l^2h$C. $\frac{1}{3}\pi r^2l$D. $\frac{1}{3}\pi l^2r$31. 已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则该长方体的对角线长度d为（）A. $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$B. $\sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$C. $\sqrt{a^2 + b^2 + 2ac}$D. $\sqrt{a^2 + b^2 - 2ac}$32. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的体积V为（）A. $\pi (r1^2 + r2^2)h$B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$D. $\pi (r1^2 - r2^2)^2$33. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，则该圆锥的侧面积S为（）A. $\pi r^2h$B. $\pi rh^2$C. $\pi rl^2$D. $\pi l^2r$34. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的侧面积S为（）A. $\pi (r1^2 + r2^2)h$B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$D. $\pi (r1^2 - r2^2)^2$35. 已知球的半径为R，则该球的体积V为（）A. $\frac{4}{3}\pi R^3$B. $\frac{1}{3}\pi R^3$C. $\frac{4}{3}\pi R^2$D. $\frac{1}{3}\pi R^2$36. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则该圆锥的体积V为（）A. $\frac{1}{3}\pi r^2h$B. $\frac{1}{3}\pi l^2h$C. $\frac{1}{3}\pi r^2l$D. $\frac{1}{3}\pi l^2r$37. 已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则该长方体的对角线长度d为（）A. $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$B. $\sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$C. $\sqrt{a^2 + b^2 + 2ac}$D. $\sqrt{a^2 + b^2 - 2ac}$38. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的体积V为（）A. $\pi (r1^2 + r2^2)h$B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$D. $\pi (r1^2 - r2^2)^2$39. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，则该圆锥的侧面积S为（）A. $\pi r^2h$B. $\pi rh^2$C. $\pi rl^2$D. $\pi l^2r$40. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的侧面积S为（）A. $\pi (r1^2 + r2^2)h$B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$D. $\pi (r1^2 - r2^2)^2$41. 已知球的半径为R，则该球的体积V为（）A. $\frac{4}{3}\pi R^3$B. $\frac{1}{3}\pi R^3$C. $\frac{4}{3}\pi R^2$D. $\frac{1}{3}\pi R^2$42. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则该圆锥的体积V为（）A. $\frac{1}{3}\pi r^2h$B. $\frac{1}{3}\pi l^2h$C. $\frac{1}{3}\pi r^2l$D. $\frac{1}{3}\pi l^2r$43. 已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则该长方体的对角线长度d为（）A. $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$B. $\sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$C. $\sqrt{a^2 + b^2 + 2ac}$D. $\sqrt{a^2 + b^2 - 2ac}$44. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的体积V为（）A. $\pi (r1^2 + r2^2)h$B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$D. $\pi (r1^2 - r2^2)^2$45. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，则该圆锥的侧面积S为（）A. $\pi r^2h$B. $\pi rh^2$C. $\pi rl^2$D. $\pi l^2r$46. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的侧面积S为（）A. $\pi (r1^2 + r2^2)h$B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$D. $\pi (r1^2 - r2^2)^2$47. 已知球的半径为R，则该球的体积V为（）A. $\frac{4}{3}\pi R^3$B. $\frac{1}{3}\pi R^3$C. $\frac{4}{3}\pi R^2$D. $\frac{1}{3}\pi R^2$48. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则该圆锥的体积V为（）A. $\frac{1}{3}\pi r^2h$B. $\frac{1}{3}\pi l^2h$C. $\frac{1}{3}\pi r^2l$D. $\frac{1}{3}\pi l^2r$49. 已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则该长方体的对角线长度d为（）A. $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$B. $\sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$C. $\sqrt{a^2 + b^2 + 2ac}$D. $\sqrt{a^2 + b^2 - 2ac}$50. 已知圆台的上下底圆半径分别为r1和r2，高为h，则该圆台的体积V为（）A. $\pi (r1^2 + r2^2)h$B. $\pi (r1^2 - r2^2)h$C. $\pi (r1^2 + r2^2)^2$D. $\pi (r1^2 - r2^2)^2$。
《高考研究系列》之多面体与旋转体-数学试题
《高考研究系列》之多面体与旋转体-数学试题考试内容：棱柱（包括平行六面体）。
棱锥。
棱台。
多面体。
圆柱。
圆锥。
圆台。
球。
球冠。
旋转体。
体积的概念与体积公理。
棱柱、圆柱的体积。
棱锥、圆锥的体积。
棱台、圆台的体积。
球和球缺的体积。
考试要求：(1)理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球及其有关概念和性质。
(2)掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式以及球冠的面积、球缺的体积公式（球缺体积公式不要求记住），并能运用这些公式进行计算。
(3)了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的直观图。
(4)对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面）以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题。
一、选择题如果正方体ABCD－A’B’C’D’的棱长为a,那么四面体A‘－ABD的体积是()(85年(1)3分)(A)(B)(C)(D)如果圆锥的底半径为,高为2,那么它的侧面积是()(89年(3)3分)(A)4π(B)2π(C)2π(D)4π已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是()(89年(8)3分)(A)4(B)3(C)2(D)5如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于()90年(3)3分)(A) (B)(C) (D)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是()(92年(5)3分)(A)6:5 (B)5:4 (C)4:3 (D)3:2长方体的全面积为11,十二条棱长之和为24,则这个长方体的一条对角线长为()(92年(18)3分)(A)2 (B) (C)5(D)6当圆锥的侧面积和底面积的比值是时,圆锥的轴截面顶角是()(93年(3)3分)(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()(93年(13)3分)(A)三棱锥(B)四棱锥(C)五棱锥(D)六棱锥如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是()(93年(14)3分)(A)π(B)π(C)π(D)圆柱正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为()(94年(7)4分)(A)32(B)28(C)24(D)20圆柱过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB＝BC＝CA＝2,则球面面积是()(94年(13)5分)(A)π(B)π (C)4π (D)π正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是()(95年(4)4分)(A)π(B)π(C)2πa2 (D)3πa2将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD＝a,则三棱锥D－ABC的体积为( )(96年(9)4分)(A) (B) (C)(D)母线长为l的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角φ等于()(96年(14)5分)(A)π (B)π(C)π(D)π长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是()(97年(8)4分)(A)20π (B)25π (C)50π (D)200π圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是()(97年(12)5分)(A)<img width=31 height=40src="http://www.cb。
多面体和旋转体(附答案)
第八章多面体和旋转体一、考纲要求1.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆台、球及其有关概念和性质.2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式(球缺体积公式不要求记住)，并能运用这些公式进行计算.3.了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱住、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的直观图.4.对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题.二、知识结构1.几种常凸多面体间的关系2.棱柱、棱锥、棱台的基本概念和主要性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面平行四边形矩形矩形的形状平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分4.面积和体积公式下表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长 .名称侧面积(S侧) 全面积(S全) 体积(V) 棱棱柱直截面周长×l S侧+2S底S底·h=S直截面·l(1)全面积 S 全=3a 2；(2)体积 V=122a 3； (3)对棱中点连线段的长 d=22a ； (4)相邻两面所成的二面角 α=arccos31 (5)外接球半径 R=46a ； (6)内切球半径 r=126a. (7)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 6.旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球的公式表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径. (2)圆锥、圆台某些数量关系②圆锥 圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l ，高为h ，上、下底面半径分别为r ′、r ，则h=lsin α r-r ′=lcos α.③球的截面 用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆. (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.(3)球心和截面距离d,球半径R ，截面半径r 有关系：r=22d R .(3)球冠、球带和球缺①球缺 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆(圆周)叫做球冠的底，垂直于截面 的直径被截得的一段叫做相应球冠的高.球冠也可以看作一段圆弧绕经过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面. 球冠的面积公式 若球的半径为R ，球冠的高为h ，则S 球冠=2πRh其中h 表示球冠的高，R 是球冠所在的球的半径. ②球带 球面在两个平行截面之间的部分叫做球带.球带也可以看作一段圆弧绕它所在的半圆的直径旋转一周所成的曲面. 球带的面积公式 若球的半径为R ，球带的高为h ，则S 球带=2πRh③球缺 用一个平面截球体所得的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径 被截得的线段长叫做球缺的高.球缺的体积公式 若球的半径为R ，球缺的高h ，底面半径为r ，则V 球缺=31πh 2(3R-h)=61πh(3r 2+h 2)三、知识点、能力点提示 (一)多面体例1 如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= .解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh. ∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴S △AEF =41S,V 1=31h(S+41S+41⋅S S)=127ShV 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5.例2 一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++② ①24)(420)(2Z y x zx yz xy由②2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36 ③由③-①得 x 2+y 2+z 2=16即l 2=16 ∵l=4(cm).例3 正四棱锥S-ABCD 中，高SO ＝26，两相邻侧面所成角为γ ，tg 3322=γ,(1)求侧棱与底面所成的角。
立体几何——多面体与旋转体静高中寒暑高考补习班
多面体与旋转体-静安新王牌恒高一对一第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、 三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面的射影是底面三角形的A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心2、 在斜棱柱的侧面中，矩形最多有A 、2个B 、3个C 、4个D 、6个3、 一个正三棱锥底面边长是6，侧棱长为15 ，那么这个三棱锥的体积为A 、9B 、29C 、7D 、27 4、 圆锥轴截面顶角απθπθ，则侧面展开图中心角满足23<<满足 34παπ<<、A B 、23παπ<< C 、παπ<<2 D 、παπ2<<5、 侧棱长为32的正三棱锥V-ABC 中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=400，过A 作截面AEF ，则截面三角形AEF 的最小周长是A 、22B 、6C 、4D 、3126、 圆柱轴截面周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是ππππ3333)4(2)4()2(91)6(l D l C l B l A 、、、、 7、过球面上三点A 、B 、C 的截面和球心距离等于球半径的一半，并且AB=BC=CA=2，则球面面积为916π、A B 、38π C 、π4 D 、964π 8、地球上有甲、乙两个城市，甲在北纬300，东经830，乙在北纬300，西经970，这两个城市在纬度圈上的距离与它们在地球表面上的距离之比为A 、3∶2B 、33∶4C 、4∶33D 、2∶39、直角三角形的三边满足c b a c b a 、、，分别以<<三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体体积记为c b a V V V 、、，则A 、c b a V V V <<B 、a b c V V V <<C 、a c b V V V <<D 、b a c V V V <<第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）10、圆柱的上底半径OA 与下底半径B O '垂直，若OA=1，AB 与O O '所成的角为300，则AB 的长为__________。
高三精品复习资料之多面体与旋转体总结(生)
学科教师辅导讲义学员姓名：年级：高二授课时间：课时数：辅导科目：数学学科教师：王老师学科组长签名组长备注课题旋转体与几何体总结教学目标1)三视图及相关的体积、表面积的简单计算．2)点、直线、平面之间的位置关系．3)空间向量在立体几何中的应用．4)存在型、探究型问题．重点棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的相应特点以及应用，以及相应考点的相应应试技巧难点棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的相应特点以及应用，以及相应考点的相应应试技巧作业作业完成情况：（请家长签字）一、基础自测1.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=41A 1B 1，则多面体P -BCC 1B 1的体积为答案316 2.已知正方体外接球的体积为332π,那么正方体的棱长等于 答案334 3.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 答案 9π4.三棱锥S —ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB =BC =CA =2，则三棱锥S —ABC 的表面积是 . 答案 3+3二、典型例题例1 如图所示，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =a ，BC =b ，BB 1=c ，并且a ＞b ＞c ＞0.求沿着长方体的表面自A 到C 1 的最短线路的长.解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.三个图形甲、乙、丙中AC 1的长分别为：22)(c b a ++=ab c b a 2222+++， 22)(c b a ++=bc c b a 2222+++， 22)(b c a ++=ac c b a 2222+++，∵a ＞b ＞c ＞0,∴ab ＞ac ＞bc ＞0. 故最短线路的长为bc c b a 2222+++.例2 如图所示,半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC =30°)及其体积.解 如图所示,过C 作CO 1⊥AB 于O 1, 在半圆中可得∠BCA =90°,∠BAC =30°,AB =2R , ∴AC =3R ,BC =R ,CO 1=23R , ∴S 球=4πR 2,侧圆锥1A OS =π×23R ×3R =23πR 2,侧圆锥1B OS =π×23R ×R =23πR 2, ∴S 几何体表=S 球+侧圆锥1A O S +侧圆锥1B O S =211πR 2+23πR 2=2311+πR 2, ∴旋转所得到的几何体的表面积为2311+πR 2. 又V 球=34πR 3,1A O V 圆锥=31·AO 1·πCO 12=π41R 2·AO 1 1B O V 圆锥=31BO 1·πCO 12=41BO 1·πR 2∴V 几何体=V 球-（1A O V 圆锥+1B O V 圆锥）=34πR 3-21πR 3=65πR 3. 例3 如图所示，长方体ABCD —''''D C B A 中，用截面截下一个棱锥C —''DD A ，求棱锥C —''DD A 的体积与剩余部分的体积之比.解 已知长方体可以看成直四棱柱''A ADD —''B BC C .设它的底面''A ADD 面积为S ，高为h ，则它的体积为V =Sh . 而棱锥C —''DD A 的底面面积为21S ，高是h , 因此，棱锥C —''DD A 的体积V C —A ′DD ′=31×21Sh =61Sh . 余下的体积是Sh -61Sh =65Sh .所以棱锥C —''DD A 的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.例4 （如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.解 由已知条件知，平面图形中AE =EB =BC =CD =DA =DE =EC =1. ∴折叠后得到一个正四面体.2分方法一 作AF ⊥平面DEC ，垂足为F ，F 即为△DEC 的中心.取EC 的中点G ，连接DG 、AG ， 过球心O 作OH ⊥平面AEC . 则垂足H 为△AEC 的中心. 4分∴外接球半径可利用△OHA ∽△GF A 求得. ∵AG =23，AF =2)33(1-=36，6分在△AFG 和△AHO 中，根据三角形相似可知，AH =33.∴OA =AF AH AG ∙=363323∙=46.10分∴外接球体积为π34×OA 3=34·π·3466=π86. 12分方法二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体 的外接球就是正方体的外接球. 3分 ∵正四面体的棱长为1，∴正方体的棱长为22， ∴外接球直径2R =3·22， 6分 ∴R =46，9分∴体积为π34·346⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=π86.∴该三棱锥外接球的体积为π86. 12分三、知识迁移1.如图所示，在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB =90°，AC =6，BC =CC 1=2.P 是BC 1上一动点，则CP +P A 1的最小值是 . 答案 522.如图所示，扇形的圆心角为90°，其所在圆的半径为R ，弦AB 将扇形分成两个部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，所得旋转体的体积V 1和V 2之比为 答案 1∶13.如图所示，三棱锥A —BCD 一条侧棱AD =8 cm ，底面一边BC =18 cm ，其余四条棱的棱长都是17 cm ，求三棱锥A —BCD 的体积.解 取BC 中点M ，连接AM 、DM ，取AD 的中点N ，连接MN∵AC =AB =CD =BD ，∴BC ⊥AM ，BC ⊥DM ， 又∵AM ∩DM =M ，∴BC ⊥平面ADM ，BC =18， AC =AB =DB =DC =17.∴AM =DM =413，∴NM ⊥AD ，∴MN =83.∴S △ADM =21·MN ·AD =21·83·8=323.∴V A —BCD =V B —ADM +V C —ADM =31×S △ADM ×（BM +CM ）=31×323×18=1923（cm 3）.4.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 中，底面边长为a ,侧棱长为2a .（1）求它的外接球的体积； （2）求它的内切球的表面积. 解 （1）设外接球的半径为R ，球心为O ，则OA =OC =OS ，所以O 为△SAC 的外心，即△SAC 的外接圆半径就是球的半径. ∵AB =BC =a ，∴AC =2a .∵SA =SC =AC =2a ，∴△SAC 为正三角形. 由正弦定理得2R =a a ASC AC 36260sin 2sin ==∠ ，因此，R =36a ，V 球=34πR 3=2768πa 3.（2）设内切球半径为r ，作SE ⊥底面ABCD 于E ，作SF ⊥BC 于F ，连接EF ， 则有SF =22BF SB -=a a a 27)2()2(22=-.S △SBC =21BC ·SF =21a ×27a =47a 2.S 棱锥全=4S △SBC +S 底=（7+1）a 2. 又SE =22EF SF -=22)2()27(a a -=a 26， ∴V 棱锥=31S 底h =31a 2×26a =366a . ∴r =a aa S V 12642)17(663323-=+⨯=棱锥全棱锥,S 球=4πr 2=374-πa 2.作业：一、选择题1.如图所示，E 、F 分别是边长为1的正方形ABCD 边BC 、CD 的中点， 沿线AF ，AE ，EF 折起来，则所围成的三棱锥的体积为 答案241 2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为214，则这个长方体的体积是 答案3.已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC =2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是 答案 4π4.如图所示，三棱锥P —ABC 的高PO =8，AC =BC =3，∠ACB =30°，M 、N 分别在BC 和PO 上，且CM =x ，PN =2CM ，下面的四个图象中能表示三棱锥N —AMC 的体积V 与x （x ∈（0，3））的关系的是 （ ）答案A5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 答案 24π6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积 是 答案 43二、填空题7.已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于 . 答案 28.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V = . 答案 1+62三、解答题9、已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 为11AC 与11B D 的交点.（1）设1AB 与底面1111A B C D 所成角的大小为α，二面角111A B D A --的大小为β，求证：tan 2tan βα=； （2）若点C 到平面11AB D 的距离为43，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的高.10.如图所示，正△ABC 的边长为4，D 、E 、F 分别为各边中点，M 、N 、P 分别为BE 、DE 、EF 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成了三棱锥以后. （1）∠MNP 等于多少度？（2）擦去线段EM 、EN 、EP 后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？解 （1）由题意，折成了三棱锥以后，如图所示， △MNP 为正三角形，故∠MNP =∠ADF =60°.（2）擦去线段EM 、EN 、EP 后，所得几何体为棱台， 其侧面积为S 侧=S E —ADF 侧-S E —MNP 侧=3×43×22-3×43×12=439.11.如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，BB 1=2，E 是棱CC 1上的点，且CE =41CC 1.（1）求三棱锥C —BED 的体积； （2）求证：A 1C ⊥平面BDE .（1）解 ∵CE =41CC 1=21，∴V C —BDE =V E —BCD =31S △BCD ·CE =31×21×1×1×21=121. (2)证明 连接AC 、B 1C .∵AB =BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥底面ABCD , ∴BD ⊥A 1A . ∵A 1A ∩AC =A ， ∴BD ⊥平面A 1AC . ∴BD ⊥A 1C . ∵tan ∠BB 1C =B B BC 1=21, tan ∠CBE =CB CE =21, ∴∠BB 1C =∠CBE . ∵∠BB 1C +∠BCB 1=90°, ∴∠CBE +∠BCB 1=90°,∴BE ⊥B 1C . ∵BE ⊥A 1B 1，A 1B 1∩B 1C =B 1， ∴BE ⊥平面A 1B 1C ， ∴BE ⊥A 1C . ∵BD ∩BE =B ，BE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ， ∴A 1C ⊥平面BDE .12.三棱锥S —ABC 中，一条棱长为a ,其余棱长均为1，求a 为何值时V S —ABC 最大，并求最大值.解 方法一 如图所示，设SC =a ，其余棱长均为1，取AB 的中点H ，连接HS 、HC ，则AB ⊥HC ，AB ⊥HS ， ∴AB ⊥平面SHC .在面SHC 中，过S 作SO ⊥HC ，则SO ⊥平面ABC . 在△SAB 中，SA =AB =BS =1， ∴SH =23，设∠SHO =θ，则SO =SHsin θ=23sin θ∴V S —ABC =31S △ABC ·SO =31×43×12×23sin θ=81sin θ≤81.当且仅当sin θ=1，即θ=90°时，三棱锥的体积最大. a =2SH =2×23=26，V max =81.∴a 为26时，三棱锥的体积最大为81.方法二 取SC 的中点D ，可通过V S —ABC =31S △ABD ·SC ，转化为关于a 的目标函数的最大值问题，利用基本不等式或配方法解决.。
多面体与球知识点
多面体与旋转体知识要点归纳
二、空间几何体的三视图和直观图
1.中心投影：光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。
中心投影的投影线交于一点。
2.平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。
投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
平行投影的投影线是平行的。
3.三视图
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图。
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图。
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图。
画法：长对正、高平齐、宽相等。
4.直观图（斜二测画法）
（1）画坐标轴：把已知图形中互相垂直的x轴和y轴，在直观图中画成
45（或
135）角的x'轴和y'轴，
（2）画底面：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴和y'轴的线段。
已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不
变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
（3）画侧棱：侧棱的长度与原来几何体的侧棱的长度一样。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多面体与旋转体考试内容：棱柱(包括平行六面体).棱锥.棱台.多面体. 圆柱.圆锥.圆台.球.球冠.旋转体.体积的概念与体积公理.棱柱、圆柱的体积.棱锥、圆锥的体积.棱台、圆台的体积.球和球缺的体积.考试要求：(1)理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球及其有关概念和性质.(2)掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式以及球冠的面积、球缺的体积公式(球缺体积公式不要求记忆)，并能运用这些公式进行计算.(3)了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的直观图.(4)对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题.一、选择题1. (85(1)3分)如果正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，那么四面体A'－ABD 的体积是A.2a 3 B.4a 3C.3a 3D.6a 3 2. (89(3)3分)如果圆锥的底半径为2，高为2，那么它的侧面积是 A.43π B.22π C.23π D.42π3. (89(8)3分)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 A.4 B.3 C.2 D.54. (90(3)3分)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于A.2S SB.πS 2SC.4S S D.πS 4S5. (90上海)设过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别为a ，b ，c ，那么这个长方体的对角线长为 A.222222222222c b a 21D.)c b (a 31C.)c b (a 21B.c b a ++++++++ 6. (90广东)一个圆台的母线长是上下底面半径的等差中项，且侧面积为8πcm 2,那么母线长是 A.4cm B.22cm C.2cm D.2cm7. (91上海)设长方体对角线的长度是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是 A.27332 B.82 C.83 D.1638. (91上海)设正方体的全面积为24cm 2,一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是A.6πcm 3B.34πcm 3C.38πcm 3D.332πcm 39. (91三南)设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为A.63B.23C.33D.210. (91三南)体积相等的正方体、球、等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的全面积分别为S 、S ′、S",那么它们的大小关系是 A.S ＜S ′＜S" B.S ＜S"＜S ′ C.S ′＜S"＜S D.S ′＜S ＜S"CD AB D' A' B' C'11. (92(5)3分)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是 A.6:5 B.5:4 C.4:3 D.3:2 12. (92(18)3分)长方体的全面积为11，十二条棱长之和为24，则这个长方体的一条对角线长为A.23B.14C.5D.6 13. (92上海)下列命题中的真命题是 A.各侧面都是矩形的棱柱是长方体B.有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.各侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥D.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是正四棱台 14. (92三南)在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AB ＝BC ＝a ，AA ′＝2a ，那么A 点到直线A ′C 的距离等于A.362 aB.263 aC.323a D.36a15. (92三南)有一条半径为2的弧，度数是60°,它绕过弧中点的直径旋转得一个球冠，那么这个球冠的面积是 A.4(2－3)π B.2(2－3)π C.43π D.23π 16. (92三南)若等边圆柱的体积是16πcm 2，则其底面半径为A.432cmB.4cmC.232cmD.2cm17. (93(3)3分)当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时，圆锥的轴截面顶角是A.45°B.60°C.90°D.120° 18. (93(13)3分)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是．． A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 19. (93(14)3分)如果圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是A.3)61(πB.3)31(π C.3)41(π D.4π)41(320. (93上海)设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 乙：底面是矩形的平行六面体是长方体； 丙：直四棱柱是平行六面体； 以上命题中真命题的个数是： A.0 B.1 C.2 D.321. (94(7)4分)圆柱正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 A.323 B.283 C.243 D.20322. (94(13)5分)圆柱过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是 A.916π B.38π C.4π D.964π 23. (95(4)4分)正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是A.3a 2πB.2a 2π C.2πa 2 D.3πa 224. (95上海)设棱锥的底面面积为8cm 2，那么棱锥的中截面(过棱锥高的中点且平行于底面的截面)的面积是 A.4cm 2 B.22cm 2 C.2cm 2 D.2cm 225. (96(9)4分)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D －ABC的体积为A.6a 3B.12a 3C.12a 33D.12a 2326. (96(14)5分)母线长为l 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角φ等于A.322π B.332π C.2π D.362π 27. (97(8)4分)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 A.202π B.252π C.50π D.200π28. (97(12)5分)圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积是A.332πB.23πC.637πD.337π29. (98(8)4分)已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A.120°B.150°C.180°D.240° 30. (98(9)4分)如果棱台的两底面积分别为S ，S'，中截面积是S 0，那么A.2')('00SS S B S S S =+= C.2S 0＝S ＋S' D.S 02＝2SS' 31. (98(10)4分)向高为H 的水瓶中注水，注满为止，h 的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是 A. B. C. 32. (98(13)分)球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆面积为4π，那么这个球的半径为A.43B.23C.2D.333. (99(7)4分)若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 A.63cm B.6cm C.2318cm D.3312cm34. (99(10)4分)如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF＝23，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为 A.29 B.5 C.6 D.215 35. (99(12)5分)如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分成上下两个圆台，它们的侧面积之比为1:2，那么R ＝ A.10 B.15 C.20 D.2536. (2000安徽(5)4分)一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是 A.1:3 B.2:3 C.1:2 D.2:9 37. (2000⑶5分)一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是 A.23 B.32 C.6 D.638. (2000⑼5分)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是A.ππ221+B.ππ441+C.ππ21+D.ππ241+39. (2000⑿5分)如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为A.arccos 321B.arccos 21C.arccos21 D.arccos42140. (2000上海(14)4分)设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：⑴若a∥α，b∥α，则a∥b； ⑵若a∥α，a∥β，则α∥β； ⑶若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 41. (2001(3)5分)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是A ．6πB ．π33C ．3πD ．9π二、填空题1. (86(13)4分)在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0，0)，(1，0)，(2，1)，(0，3)，则这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积为___________.2. (87(15)4分)一个正三棱台的下底和上底周长分别为30cm 和12cm ，而侧面积等于两底面积之差，则斜高为_________.注:满足条件“侧面积等于两底面积之差”的三棱台不存在，只有“压缩”成平面图形方可，而此时所求“斜高”实为内、外两正方形(上、下底)对应边的距离.3. (90(20)3分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若E ，F 分别为AB ，AC 中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1，V 2的两部分，那么V 1:V 2＝______.4. (90上海)已知圆锥的中截面周长为a,母线长为l ，则它的侧面积等于____ 5. (91(18)3分)已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于________.6. (91(20)3分)在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝a ，那么这个球面的面积是_________.7. (91上海)一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，则这个圆柱的体积与球的体积的比值为___________8. (91三南)在体积为V 的三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，已知S 是侧棱CC ′上的一点，过点S 、A 、B 的截面截得的三棱锥的体积为V ′,那么过点S 、A ′、B ′的截面截得的三棱锥的体积为__________9. (91三南)已知圆台的上下底面半径分别为r 、2r ，侧面积等于上下底面面积之和，则圆台的高为__________10. (92上海)已知圆台下底面半径为8cm,高为6cm ，母线与底面成45°角，那么圆台的侧面积为_________(cm 2)(结果保留π) 11. 如(92上海)图，直平行六面体A ′C 的上底面ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，侧面为正方形，E 、F 分别为A ′B ′、AA ′的中点，M 是AC 与BD 的交点，则EF 与B ′M 所成的角的大小为_________(用反三角函数表示) 12. (92三南)已知三棱锥A －BCD 的体积为V ，棱BC 的长为a ，面ABC 和面DBC 的面积分别为S 、S ′，设面ABC 和面DBC 所成二面角为α，则sin α＝_____________ 13. (93(20)4分)在半径为30m 的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光成圆锥形，其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，其高度应为______(精确到0.1m) 14. (93上海)已知圆台的上下底半径分别是10cm 和20cm ，他的侧面展开后所得扇形的圆心角是180°,那么圆台的侧面积是______cm 2(保留π)15. (94(19)4分)设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线AB 的距离为3，AB 和圆锥轴的距离为1，则该圆锥的体积为________.16. (94上海)有一个实心圆锥体的零件，它的轴截面是边长为10cm 的等边三角形，现在要在它的整个表面镀上一层防腐材料，已知每平方厘米的工料价格是0.10元，则需要费用_____元17. (95(17)4分)已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的BACDD'C' B'A'M F E角为3π，则圆台的体积与球的体积之比为________. 18. (95上海)把圆心角为216°，半径为5分米的扇形铁皮焊成一个锥形容器(不计焊缝)，那么容器的容积是_________立方分米(结果保留两位小数)19. (96上海)如图，在正三角形ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D 、H 、G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的几何体的体积为V ，则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值是___________ 20. (96上海)把半径为3cm ，中心角为π的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为_________cm 3(结果保留π)21. (97上海)设正四棱锥底面边长为4cm ，侧面和底面所成的二面角为60°，则这个棱锥的侧面积为___________cm 2 22. (98(18)4分)如图:在直四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，当底面四边形ABCD 满足条件_______时，有A ′C ⊥B ′D ′.(注:填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形) 23. (99上海)若四面体各条棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是__________(只需写出一个可能的值)24. (2000安徽(16)4分)右图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长是_________.25. (2000安徽(18)4分)在空间，下列命题正确的是____________.(注：把你认为正确的命题的序号都填上)①如果两条直线a 、b 分别与直线l 平行，那么a ∥b②如果一条直线a 与平面β内的一条直线b 平行，那么a ∥β ③如果直线a 与平面β内的两条直线b 、c 都有垂直，那么a ⊥β ④如果平面β内的一条直线a 垂直平面γ，那么β⊥γ26. (2000⒃4分)如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是__________________.(要求：把可能的图的序号都．填上) 27. (2000上海(7)4分)命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且_________的三棱锥是正三棱锥.28. (2001(13)4分)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 ．29. (2001北京(13)4分)已知球内接正方体的表面积为S ，那么球体积等于__________。