随机过程第3章离散鞅论
(优选)随机过程第三章
性质3.1 若随机过程X(t)是 m s 连续的，则
它的数学期望也必定连续，即：
lim E[X (t t)] E[X (t)]
t 0
证 设 Y X (t t) X (t) 是一个随机变量
D [Y ] E [Y 2] E2[Y ]
E [Y 2 ] D [Y ] E2[Y ] E2[Y ]
RX (t t,t t) RX (t t,t) RX (t,t t) RX (t,t)
∴有
lim
t 0
E
X
0
RX
(t
t
,
t
t
)
RX
(t
t
,
t
)
RX
(t,
t
t
)
RX
(t
,
t
)
对于右边极限式，自相关函数 t1,t2 是的函数。
欲使右边极限为零，则需 RX (t1,t2) 中,t1 t2 t ，才能 保证随机过程均方连续。
§3.2 随机过程的连续性
定义：若随机过程X(t)满足lim E [ | X (t t) X (t) |2] = 0， t 0
则称随机过程X(t)于t时刻在均方意义下连续（简称
m s 连续）。
另一方面，由定义知
E
X
(t
t)
X
(t)
2
E X (t t)X (t t) X (t t)X (t) X (t)X (t t) X (t)X (t)
n,m
xn xm 2 0
则必然存在一个随机变量x，使得
。
xn m s x
洛夫准则（又称均方收敛准则）：随机变量
序列 {xn, n 0,1,2,L }均方收敛于x的充要条件是
离散鞅论及应用
离散鞅论及应用一、 基础定义设(,,)P ΩF 为概率空间，整数集合{,1,0,1,}Q =-，I 表示Q 的一个“区间”，指Q 的不间断子集，比如：{1,2,,}I n =，{1,2,3,}I =等。
定义1：设(),n n I ∈F 为单调上升（或下降），指n m ⊂F F ，,,n m I n m ∀∈≤（或n m ⊃F F ）。
设{},n Z n I ∈为随机变量序列，若n Z 关于n F 可测，n I ∈，称{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量。
定义2：设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量，若下两条满足：1. ()n E Z <∞，2. (|),,,n m m E Z Z n m n m I =>∈F 。
则称{},,n n Z n I ∈F 为一个鞅。
若2改写成(|)()n m m m E Z Z Z ≥≤F ，称{},,n n Z n I ∈F 为下鞅（上鞅），合称为半鞅。
定义3设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量，{}n F 下降，若()n E Z <∞，n I ∈且(|),,,n m m E Z Z n m n m I =∀<∈F ，则称{},,n n Z n I ∈F 为一个反鞅。
命题 1.对于区间{1,2,,}I n =,{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量列，则{},,1i i Z i n ≤≤F 为一个鞅，当且仅当{}11,,1n i n i Z i n -+-+≤≤F 为一个反鞅。
定义 4 设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量列，()n E Z <∞，n I ∈，若(|)0,,,n m E Z n m n m I =∀>∈F ，称{},,n n Z n I ∈F 为一个鞅差。
命题2 设{},1n n ≥F 为上升σ域（列），下两条成立：（1） 若{},,1n n Z n ≥F 为一个鞅，则{},,1n n X n ≥F 为一个鞅差，其中1n n n X Z Z -=-（2） 若{},,1n n X n ≥F 为一个鞅差，则{},,1n n Z n ≥F 为一个鞅，其中1nn i i Z X ==∑。
鞅
周生笛
• • • •
鞅的概念 多布—迈耶分解 随机积分 测度变换和鞅表示
概念
• 简单地讲，一个随机变量的时间序列没有表现出 任何的趋势，就可以称之为 鞅。他是一种用条件 数学期望定义的随机运动形式。 • 如果对于任意的n≥0， Sn 的值包含在 f n 中，就称 Sn f为 适应的。 n • 离散鞅：假定 Sn 是滤波空间｛ ，f , , F ｝的 一个适应过程，若： E(Sn ) , n Z 1. E(Sn1 f n ) Sn , n Z 2. Sn 为离散鞅 则称
0
鞅变换
• 鞅的数学期望形式是基于相应的概率测度的，通过这个， 我们可以通过适当的改变概率测度，把任意的一个随机过 程变换为鞅。
X n M n An , n Z
• 2.多布迈耶定理： (t )t(0,) 是一个 f n 适应的右连续的下 如果 鞅，E(St ) , t, 则对于任何0≤t≤ , (St ) 都 可分解为下列形式： St M t At At Mt 是右连续鞅 是一个可料增量过 程。
t 1 t
• 由定义可知，上式
X t 是一个鞅，并称( M )n 为对M的鞅变换
• 鞅变换提供了一个简单但很有用的判断鞅的方法： 当且仅当对于任意可料随机过程θ，有：
E ( M ) n 0
则,M是一个鞅。
• 简单过程随机积分
0 t0 t1 ,..., tn T
E(Sn f n ) 0
• 由上式知对 Sn 在下一时间内变化的最好预 测就是 0。换句话说，该随机变量的未来运 动方向和大小是不可预测的，这就是所谓 鞅性
多布迈耶分解
• 问题：当市场上不存在套利机会时，所有资产价 格都是均衡价格测度下的鞅。那怎样把原本是上 下鞅的资产价格运动过程变成鞅？ • 1.多布分解定理： • 令 ( X n )nz 为一个 f n 的适应下鞅，则它可以唯一 的分解为一个鞅和可料递增随机序列的和：
随机过程精品课件 (18)
即表示 给出信息集 I t ，就会知道价值 S t
从而 使用不同的信息集I t 就会产生顺序 S t 的不同
的预期。可用条件期望表示成：
E t [ S T ] E [ S T I t ], t T
鞅 设St,t[0,] 是一个随机过程，
证 由条件期望的性质可得
n
E | X n | E |Yk |
且
E( X n1
| Y0 ,,Yn )
k 0
E[( X n
Yn1)
| Y0 ,,Yn ]
E( X n | Y0 ,,Yn ) E (Yn1 | Y0 , ,Yn )
X n EYn1 X n
性质7
{X n}、{Yn} 上鞅
{ X n Yn }上鞅
{X n}、{Yn} 下鞅
{ X n Yn }下鞅
证 对m n有 E[( X m Ym ) | Y0 ,,Yn )]
E(Xm | Y0,,Yn ) E(Ym | Y0 ,,Yn )
{X n} {Yn} 上鞅 X n Yn
其它
证明
（1）与（2）的等价性
一方面 另一方面
n
n
{ n}
{ m}
{ m} (Y0 ,,Ym )
m0
m0
{ n}
{ n}
{ n1}
（2）与（3）的等价性由如下两个等式关系即得
{ n} 1 { n}
{ n} 1 { n}
也为下鞅。
性质4
{X n} 上鞅 {X n} 下鞅
{ X n} 下鞅 { X n} 上鞅
性质5
随机过程的鞅理论基础
随机过程的鞅理论基础随机过程是描述在随机现象下发生的过程的数学工具。
鞅是随机过程理论中的一个重要概念，在概率论和统计学中有着广泛的应用。
鞅是指一个随机过程，其条件期望在给定任何时刻前的信息下都是已知的，即能够在未来给定以往信息来对未来的情况进行合理预测。
鞅理论是随机过程的重要分支，它为我们提供了一种强大的工具，用于研究各种随机现象，比如金融市场、生态系统、通信网络等领域中的随机过程。
随机过程和鞅的定义随机过程是由一系列随机变量组成的数学模型，表示随机现象随着时间的演化。
在一个随机过程中，每个时间点都会有一个随机变量与之对应。
而鞅则是一种特殊类型的随机过程，它满足以下两个条件：1.鞅在任意时刻的期望都是已知的，即给定过去的信息时，可以预测未来的情况。
2.鞅在任意时刻都是渐近有界的，即它在任意时间都不会远离某个固定值。
鞅理论的基本性质和应用鞅具有许多重要的性质和应用，其中一些包括：•停止定理：停止定理指出，如果一个随机过程是鞅，并且在某一时间点停止后仍然是鞅，那么在该时间点后的条件期望与该随机过程的值相等。
•鞅的收敛定理：鞅的收敛定理是鞅理论中的一个基本结果，它描述了鞅序列的极限存在性和性质。
•鞅在金融领域的应用：在金融市场中，鞅理论被广泛应用于定价、风险管理和衍生品定价等方面。
例如，鞅理论可以用来描述股票价格的演变和预测未来价格走势。
总结随机过程的鞅理论是概率论和统计学中重要的理论分支，它为我们提供了一种强大的工具，用于研究各种随机现象。
鞅的定义和基本性质为我们理解随机过程的特性和行为提供了基础，而鞅在金融领域等实际应用中也发挥着重要作用。
通过深入学习和理解鞅理论，我们可以更好地理解和分析各种随机现象，为实际问题的解决提供有力支持。
随机过程第三章
随机过程的概率密度函数
概率密度函数
对于连续随机过程，其概率密度函数描述了随机过程在各个时间点或位置上的取值的可能性密度。
联合概率密度函数
对于多个连续随机过程的组合，其联合概率密度函数描述了这些随机过程在各个时间点或位置上的取 值的联合可能性密度。
03
随机过程的数字特征
均值函数
总结词
描述随机过程中心趋势的数字特征
泊松过程
定义
泊松过程是一种随机过程，其中事件的 发生是相互独立的，且以恒定的平均速
率在时间上均匀地发生。
应用
在物理学、工程学、生物学等领域都 有应用，如放射性衰变、电话呼叫等。
性质
泊松过程具有无记忆性，即两次事件 发生的时间间隔与它们是否同时发生 无关。
扩展
泊松过程可以推广为更复杂的过程， 如非齐次泊松过程和条件泊松过程。
随机过程第三章
目录
• 随机过程的基本概念 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的数字特征 • 随机过程的平稳性和遍历性 • 马尔科夫链和泊松过程 • 随机过程的应用
01
随机过程的基本概念
随机过程的定义
01
随机过程：一个随机过程是一个定义在概率空间上的
参数集的集合，这个集合的元素是随机变量。
02
马尔科夫链和泊松过程的比较
关联性
马尔科夫链和泊松过程都是随机过程，但它们的 性质和应用场景有所不同。
时间连续性
马尔科夫链可以适用于连续时间，而泊松过程通 常适用于离散时间。
ABCD
状态转移
马尔科夫链关注的是状态之间的转移，而泊松过 程关注的是事件的发生。
应用领域
马尔科夫链在社会科学和生物科学中应用广泛， 而泊松过程在物理学和工程学中更为常见。
随机过程第三章课件
2
状态转移概率
Байду номын сангаас
通过定义状态转移矩阵，可以计算出不同状态之间的转移概率。
3
状态分布
简单随机过程可以有稳定的状态分布，在长期运行时呈现固定的概率分布。
泊松过程介绍
定义和特征
泊松过程是一种连续时间的计数过 程，具有独立增量和固定的平均速 率。
概率分布
应用领域
泊松过程的计数分布服从泊松分布， 可以用于模拟和预测稀有事件的发 生。
平稳分布
如果马尔可夫链的状态分布不随时间变化，称之为 平稳分布。
应用领域
马尔可夫链在金融、生物学、通信等领域有广泛的 应用。
离散时间马尔可夫链
状态空间
离散时间马尔可夫链的状态空间可 以是有限的或无限的。
转移图
状态之间的转移关系可以用转移图 来可视化，更易理解和分析。
平稳分布
离散时间马尔可夫链存在唯一平稳 分布，可以用数值方法求解。
连续时间马尔可夫链
1 指数分布
2 充分条件
3 应用领域
连续时间马尔可夫链的时间 间隔服从指数分布，可以描 述事件发生的间隔时间。
连续时间马尔可夫链需要满 足无记忆性和马尔可夫性才 能成立。
连续时间马尔可夫链常用于 排队论、信号处理和可靠性 分析等领域。
简单随机过程定义
1
定义
简单随机过程是指在离散或连续时间内，随机事件按固定概率发生，无记忆性，且状态空间是有限 的。
泊松过程在交通流量、通信网络和 排队论等领域有广泛的应用。
布朗运动原理解析
1
定义和特征
布朗运动是一种连续时间和连续状态的随机过程，具有随机性和连续性。
2
随机漫步
布朗运动可以看作是随机漫步的连续极限，可以用随机微分方程描述。
随机过程第3章离散鞅论
3.12 Azuma不等式的推广
3.12 Azuma不等式的推广
推广应用 注意不等式的特点
3.13 鞅论的应用(2)
Sn n
拖尾概率 的估计
3.13 鞅论的应用(2)
请注意 ?
鞅的应用要点
几个特定的例题 古典概率的拖尾估计 鞅的构造特点以及注意事项
3.14 连续鞅论介绍
3.14 连续鞅论介绍
3.10 鞅论的应用(1)
关于随机移动 几个基本问题
与结论
仔细研究, 能否利用 古典概率 方法计算讨论?
征集答案
3.10 鞅论的应用(1)
思考?
注意停时 的定义与应
用
3.10 鞅论的应用(1)
理论结果 与直观判定
说明 理由
3.10 鞅论的应用(1)
为什么 上升一步
3.10 鞅论的应用(1)
3.8 上穿不等式及应用
问题简化技巧
3.8 上穿不等式及应用
3.8 上穿不等式及应用
用上 穿的 几何 特征
3.8 上穿不等式及应用
推广
3.8 上穿不等式及应用
收敛性分析
3.8 上穿不等式及应用
3.9 极大值不等式与Doob定理
一些重要的不等式
转化技巧
类似推导
S<0
认真思 考
3.9 极大值不等式与Doob定理
3.14 连续鞅论介绍
关于连续鞅的例子
利用泊松过程构造的鞅 （第4章内容）
利用Brown运动构造的鞅 （第5章内容）
本章重点
鞅的定义与不变量 上鞅,下鞅的定义与分解定理 上鞅,下鞅 与鞅的基本构造方法 几个重要的不等式 停时定义与停时定理的应用例题
随机过程中的条件分布与鞅的计算与应用
实例3：随机游 走模型
实例4：蒙提霍 尔问题
鞅的计算实例
添加标题
定义：鞅是一种特殊的随机过程，其条件分布与非条件分布相等
添加标题 添加标题 添加标题
计算方法：利用条件概率和期望公式进行计算
实例：假设有一个随机过程，其条件分布与非条件分布相等，可以通过 计算条件概率和期望值来得出该随机过程的鞅性质
应用：鞅在金融、统计学等领域有广泛应用，可以用于风险评估和投资 组合优化等
鞅在信息论中的应用
应用：在信息论中，鞅被用 于描述随机信号的统计特性， 如随机游走、布朗运动等
定义：鞅是一种特殊的随机 过程，其未来期望值等于当 前值
优势：鞅具有平稳性和遍历 性，能够提供对随机信号的
深入理解
实例：在通信系统中，利用 鞅理论分析信号的传输质量
和可靠性
鞅在物理中的应用
随机过程在物理学中的应用
条件分布的性质：条件分布具有独立性、对称性、可加性等性质。
条件分布的应用：在统计学、概率论、金融等领域中，条件分布被广泛应 用于各种场景，如回归分析、贝叶斯推断等。
条件分布的计算方法
定义：在给定某 些随机事件或随 机变量的条件下， 另一随机事件的 概率分布。
计算步骤：首先 确定条件，然后 使用概率公式计 算条件概率，最 后得出条件分布。
用。
研究方法不同： 条件分布主要 通过概率论的 方法进行研究， 而鞅主要通过 分析的方法进
行研究。
条件分布与鞅的转换关系
条件分布与鞅的 关系：在随机过 程中，条件分布 与鞅之间存在一 定的转换关系， 即条件分布可以 转换为鞅，鞅也 可以转换为条件
分布。
转换方法：通过 特定的数学公式 和技巧，可以将 条件分布转换为 鞅，或者将鞅转 换为条件分布。
随机过程的鞅不等式应用
随机过程的鞅不等式应用在概率论和随机过程中，鞅是一类特殊的随机过程，具有许多重要的性质和应用。
其中，鞅不等式是鞅理论中的一个重要结论，它在概率论和统计学中有着广泛的应用和意义。
本文将介绍随机过程的鞅不等式及其应用。
什么是鞅在概率论中，鞅是一类特殊的随机过程，通常用来描述随机过程中的平稳性质。
具体来说，一个离散时间的鞅是一个随机过程，对于每个固定的时刻，其数学期望都是已知的，而且在未来的任意时刻，这个数学期望仍然是已知的。
鞅的名称来自法语“鞅”，意为系在工作畜身上防止其逃跑的绳索，表示鞅在一定程度上控制了过程的行为。
鞅不等式随机过程的鞅不等式是鞅理论中的一个重要结果，它给出了随机过程中随机变量的上界和下界的概率估计。
具体来说，设M t是一个鞅，T是一个停时，那么对于任意$t \\geq 0$，下面的不等式成立：$P(\\max_{0 \\leq s \\leq t}M_s \\geq x) \\leq \\frac{E[M_t]}{x}$这个不等式说明了M t的取值超过给定阈值x的概率受到了E[M t]的控制，即鞅的数学期望。
随机过程的鞅不等式在概率论和统计学中有着广泛的应用，特别是在随机过程的极限理论、随机分析和风险管理等领域中。
鞅不等式的应用在金融领域中的应用在金融领域中，随机过程的鞅不等式被广泛应用于风险管理和金融工程中。
例如，通过对金融资产价格的鞅不等式估计，可以对金融市场的波动性和收益率进行预测和控制，从而有效地降低投资组合的风险。
在统计学中的应用在统计学中，随机过程的鞅不等式被用来推导统计量的渐近性质，比如极限定理和大数定律等。
通过鞅不等式的应用，可以更好地理解和分析随机过程中的波动性和收敛性，为统计推断和模型选择提供理论基础。
在信号处理中的应用在信号处理领域中，随机过程的鞅不等式常常用于分析和处理信号的随机性和稳定性。
通过鞅不等式的应用，可以设计出更有效和稳定的信号处理算法，提高信号处理的准确性和性能。
应用随机过程离散鞅
01
收敛速度
离散鞅的收敛速度是指收敛过程 中收敛的快慢程度，通常用收敛 阶数来表示。
02
收敛阶数
收敛阶数越高，表示收敛速度越 快，离散鞅序列在较短的时间内 就能达到收敛状态。
03
收敛速度的影响因 素
离散鞅的收敛速度受到多种因素 的影响，如初始值、步长大小、 鞅的性质等。
离散鞅收敛的应用
金融领域
离散鞅在金融领域中有着广泛的应用，如股票价格模型、 期权定价等。通过离散鞅的收敛性，可以更好地理解和预 测金融市场的动态变化。
离散鞅在计算机图形学中的应用
图像处理
离散鞅在图像处理中有一定的应用价值。通过分析图像像素值的随机过程，可以利用离散鞅的性质来 优化图像处理算法，例如图像滤波、边缘检测等。
动画与仿真
在计算机动画和仿真中，离散鞅可以用于模拟自然现象或随机过程。通过模拟随机事件的序列，离散 鞅可以生成逼真的动画效果或仿真结果，提高计算机图形学的表现力和应用价值。
离散鞅理论可以用于构建股票价格模型，通过模拟股票价格的随机 波动，预测未来股票价格的走势。
风险评估
基于离散鞅的股票价格模型可以帮助投资者评估投资风险，通过计 算股票价格的波动率和相关性，评估投资组合的风险水平。
投资策略
离散鞅理论还可以用于制定投资策略，通过分析股票价格的长期趋势 和短期波动，制定买入或卖出的决策。
离散鞅在投资组合优化中的应用
投资组合优化
离散鞅理论可以用于投资组合优化问题的解决，通过模拟资产价格的随机波动，寻找最 优的投资组合配置方案。
风险控制
基于离散鞅的投资组合优化模型可以帮助投资者控制投资风险，通过限制投资组合的波 动率和相关性，降低投资组合的整体风险。
动态调整
离散时间鞅的例子-概述说明以及解释
离散时间鞅的例子-概述说明以及解释1.引言1.1 概述离散时间鞅是概率论中的一个重要概念，是指在离散时间上具有平均值为零的随机过程。
离散时间鞅的研究在概率论、统计学、金融工程等领域具有广泛的应用。
随机过程是指在随机变量的序列上描述的一类随机现象。
离散时间鞅是离散时间上的随机过程，它在每一时刻的条件期望值等于该时刻的值，即具有无条件期望均值为零的特性。
离散时间鞅的研究往往涉及到以下几个方面的内容：首先是鞅的定义，即如何描述离散时间鞅的特性；其次是鞅的性质，包括条件期望的性质、停时和鞅的关系等；最后是鞅的应用，如在金融工程中对离散时间鞅的研究可以用于期权定价、风险管理等方面。
本文将围绕离散时间鞅的定义和性质展开详细的论述。
首先，我们将介绍离散时间鞅的定义，包括正向鞅、反向鞅以及鞅的条件性质。
接着，我们将讨论鞅的性质，包括鞅的停时性质和鞅与停时的关系。
最后，我们将探讨离散时间鞅在实际应用中的一些例子和相关的理论结果。
通过对离散时间鞅的研究，我们可以更好地理解随机过程和随机现象，并将其应用到实际问题中。
通过本文的阅读，读者将对离散时间鞅有一个清晰的认知，并了解其在概率论和相关领域的重要性。
同时，读者也可以通过本文所提供的例子和相关理论结果，将离散时间鞅的概念运用到实际问题中，提升问题的解决能力和分析思维。
1.2 文章结构文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织结构。
本文的结构按照以下几个部分展开：1. 引言部分：在引言部分，首先对离散时间鞅的概念进行概述，介绍离散时间鞅的基本定义和特点。
随后，给出文章的整体结构和每个部分的内容摘要，并明确阐述本文的目的，即为读者提供关于离散时间鞅的例子和应用。
2. 正文部分：正文部分主要分为两个小节。
首先，在2.1节中详细介绍离散时间鞅的定义，包括离散时间鞅的概念、鞅的条件以及离散时间鞅的数学表达形式。
然后，在2.2节中探讨离散时间鞅的性质，如鞅的停时性质、条件期望性质和可变鞅性质。
离散鞅的停时定理
离散鞅的停时定理引言在概率论中，鞅（martingale ）是一种随机过程，它具有无记忆性的特点。
离散鞅是一种离散时间的鞅，它在数学和统计学中有着广泛的应用。
离散鞅的停时定理是研究离散鞅收敛性质和停止时间之间关系的重要结果。
本文将详细介绍离散鞅的概念、停时的定义和性质，并阐述离散鞅的停时定理及其证明过程。
离散鞅的定义与性质离散鞅的定义设(X n )n≥0是一列随机变量序列，(ℱn )n≥0是一个满足ℱ0⊂ℱ1⊂⋯条件的σ-代数序列，则称(X n ,ℱn )n≥0为一个离散鞅，如果对于任意n ，都有E (|X n |)<∞且E (X n+1|ℱn )=X n 成立。
停时的定义与性质停时是一种随机变量，它表示了某个随机过程第一次达到某个状态的时刻。
具体地，设(X n )n≥0是一个随机过程，(ℱn )n≥0是相应的σ-代数序列，则一个随机变量T:Ω→ℕ0∪{∞}称为一个停时，如果对于任意n ，事件{T =n}∈ℱn 。
停时的性质如下：•对于任意n ，事件{T ≤n}=⋃k=0n {T =k}∈ℱn 。
•对于任意n ，事件{T >n}=(⋃k=0n {T =k})c =(⋂k=0n ({T =k})c )∈ℱn 。
• 对于任意n ，事件{min (T,n )=m}=({T =m,m ≤n})∪({T >n,m =n +1,…,∞})∈ℱm 。
离散鞅的停时定理离散鞅的停时定理是关于离散鞅和停时之间关系的重要结果。
具体地，在给定一列随机变量(X n )n≥0和一个停时T 的情况下，离散鞅的停时定理可以表述为：若存在正数c 使得对于任意n ，有E(|X n+1−X n |⋅I (T >n ))≤c 成立，则有E (X T )=E (X 0)。
其中I (⋅)是指示函数。
离散鞅的停时定理的证明离散鞅的停时定理可以通过条件期望的性质来证明。
具体地，我们需要使用以下两个性质：•对于任意两个随机变量Y,Z 和一个σ-代数G ，有E(Y ⋅I (Z ∈G ))=E(E (Y|G )⋅I (Z ∈G ))。
离散鞅论及应用
离散鞅论及应用离散鞅论及应用一、 基础定义设(,,)P ΩF 为概率空间，整数集合{,1,0,1,}Q =-L L ，I 表示Q 的一个“区间”，指Q 的不间断子集，比如：{1,2,,}I n =L ，{1,2,3,}I =L 等。
定义1：设(),n n I ∈F 为单调上升（或下降），指n m ⊂F F ，,,n m I n m ∀∈≤（或n m ⊃F F ）。
设{},n Z n I ∈为随机变量序列，若n Z 关于n F 可测，n I ∈，称{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量。
定义2：设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量，若下两条满足：1. ()n E Z <∞，2. (|),,,n m m E Z Z n m n m I =>∈F 。
则称{},,n n Z n I ∈F 为一个鞅。
若2改写成(|)()n m m m E Z Z Z ≥≤F ，称{},,n n Z n I ∈F 为下鞅（上鞅），合称为半鞅。
定义3设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量，{}n F 下降，若()n E Z <∞，n I ∈且(|),,,n m m E Z Z n m n m I =∀<∈F ，则称{},,n n Z n I ∈F 为一个反鞅。
命题 1.对于区间{1,2,,}I n =L ,{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量列，则{},,1i i Z i n ≤≤F 为一个鞅，当且仅当{}11,,1n i n i Z i n -+-+≤≤F 为一个反鞅。
定义 4 设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量列，()n E Z <∞，n I ∈，若(|)0,,,n m E Z n m n m I =∀>∈F ，称{},,n n Z n I ∈F 为一个鞅差。
命题2 设{},1n n ≥F 为上升σ域（列），下两条成立：（1） 若{},,1n n Z n ≥F 为一个鞅，则{},,1n n X n ≥F 为一个鞅差，其中1n n n X Z Z -=-（2） 若{},,1n n X n ≥F 为一个鞅差，则{},,1n n Z n ≥F 为一个鞅，其中1nn i i Z X ==∑。
第三章 鞅和鞅表示
例4 证
对任意随机序列{Yn } ，有
1 χ{τ =n} (Y0 ,⋯, Yn ) = 0
所以
n=k n≠k
首页
τ
为停时。
例5
设 A 为 {Yn } 的状态空间 T 的一个子集，
令 即τ ( A)为首次进入A的时刻，
τ ( A ) = min{ n ： Y n ∈ A}
则 τ ( A) 是停时。
证
从 τ ( A) 的定义直接得到
χ {τ ( A ) = n } (Y0 , ⋯ , Yn )
首页
1 若Y j ∉ A, j = 0, ⋯, n − 1, Yn ∈ A = 0 其他 即 τ ( A) 是 停 时 。
注 若令τ ( A) 为最后进入A的时刻，则τ ( A) 不是停时。 原因是要确定 τ ( A) = n ，不仅要看 Y0 , ⋯ , Yn 是否 取值在A中，还需知道全部 Y n + 1 , ⋯ 的情况。 返回
故
E(Xn+1 | Xn , Xn−1,⋯, X0 ) − Xn = p − q
首页
>0 <0 =0
下鞅 上鞅 鞅
三、停时 定义5 定义
设 {Yn } （ n = 0,1,2, ⋯ ）是一随机序列，
τ 是取值 0，1，…， ∞ 的一个随机变量，
若对任意 n ≥ 0 ， 事件 {τ = n} 由 Y , ⋯ , Y 决定， 0 n
第二节 连续时间鞅
一、定义 设 {St ,t ∈[0, ∞]}表示观测由时间t为连续时间随机过程，
{I t , t ∈ [0, ∞ ]}表示随时间流逝可得到的一系列信息集
第3章_随机过程
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通信原理
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第3章 随机过程
3.2 平稳随机过程
3.2.1定义
1.狭义平稳随机过程
假设一个随机过程ξ(t)，如果它的任何n维分布或概率密 度函数与时间起点无关，即对于任意的t 和τ，随机过程ξ(t) 的n 维概率密度函数满足 fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn） =fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） 则称ξ(t)是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
记为 （t） 2
x 2 f1 ( x，t )dx [a (t )]2
称为随机过程ξ(t)的方差。 －－相对于均值的振动程度 。
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第3章 随机过程
4.协方差与相关函数－－随机过程不同时刻取值之间的相 互关系 衡量随机过程ξ(t)在任意两个时刻t1和t2上获得的随机变量 ξ(t1)和ξ(t2)的统计相关特性时，常用协方差函数B(t1，t2)和相 关函数R(t1，t2)来表示。 （1）相关函数 ξ(t1)和ξ(t2)的二阶原点混合矩
概率论：随机变量分析－－分布函数和概率密度
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第3章 随机过程
3.1.1 随机过程的分布函数
１. 分布函数和概率密度 （1）一维描述 ●一维分布函数 随机过程ξ(t)任一时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，则随机 变量ξ(t1)小于等于某一数 值 x1的概率 F1（x1，t1）=P[ξ(t1) ≤x1] 叫做随机过程ξ(t)的一维分布函数。 （3.1.1）
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应用随机过程 离散鞅
设{Fn，n 0}是F上的上升的 子代数列. 随机过程{Xn， 定义： n 0}称为关于{Fn，n 0}的鞅， 如果{Xn }是{Fn }适应的， E(|Xn |)
并且对任意的n 0，有 <，
(2)如果{Xn , Fn ,n 0},{Yn , Fn ,n 0}是两个下鞅,a,b是两个常数，
(3， )如果{Xn , Fn ,n 0},{Yn , Fn ,n 0}是两个上鞅,则
{min{Xn ,Yn }, Fn ,n 0}是上鞅.
注：用Xn 表示一个赌徒在第n此赌博后所拥有的赌资. 由鞅的
n
若Xi，i 0，的均值 0，证明： {Sn }是下鞅. 若Xi，i 0，的均值 0，证明： {Sn }是上鞅. 若Xi，i 0，的均值 0，证明： {Mn =Sn n}是鞅.
我们证明： {Sn }是鞅. 实际上是证明 {Sn }是关于{Fn }的鞅, 注： 这里的Fn ( X1, X 2 ,...X n ). 证明见黑板.
(Y0，Y1，...,Yn )的函数， EXn ，并且
E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn，
其中Xn =max{0，Xn }，Xn =max{0，-Xn }.
如果随机过程{Xn，n 0}关于{Yn，n 0}，既是下鞅又是下鞅， 则称之为关于{Yn，n 0}的鞅. 此时
定义知，就平均而言，他在下一次赌博结束时的赌资=现在所 有的赌资，与他过去的输赢无关. 这正表达了鞅所具有的一种
“无后效性”,体现了博弈的公平.
例题： 设{Xi，i 0}是一列零均值独立同分布的r.v.列，且
鞅论总结范文
鞅论总结引言鞅论是概率论和随机过程的重要分支之一，它研究的是随机过程中随时间变化的加权平均值的极限行为。
在现代数学中，鞅论被广泛应用于金融工程、风险管理、统计学等领域。
本文将对鞅论的基本概念、主要结果和应用进行总结和介绍。
什么是鞅？在鞅论中，我们首先需要了解什么是鞅。
鞅是指具有“无记忆性”的随机过程，即在给定过去的信息下，未来的预期值等于当前的值。
换句话说，鞅是一种没有趋势的随机过程。
具体来说，对于一个离散时间鞅（discrete-time martingale），其定义为一个随机过程{X_t}，其中t表示时间，满足以下条件：1.对于所有的t，X_t是可测的（measurable）；2.对于所有的t，X_t的期望存在且有限（E[|X_t|] < ∞）；3.对于任意的s ≤ t，条件期望（conditional expectation）满足 E[X_t |F_s] = X_s，其中F_s表示t时刻之前的信息集合。
类似地，对于连续时间鞅（continuous-time martingale），定义也类似，只是时间变量是连续的。
鞅的性质鞅的定义给出了它的基本性质。
此外，鞅还具有其他一些重要的性质，如鞅的停时是一个鞅、鞅的和仍然是一个鞅等等。
下面介绍其中几个常见的性质：•鞅的停时是一个鞅：如果{X_t}是一个鞅，{τ}是一个停时（stopping time），那么{X_{τ∧t}}也是一个鞅，其中τ∧t表示τ和t的较小值。
•鞅的和仍然是一个鞅：如果{X_t}和{Y_t}都是鞅，那么它们的和{X_t + Y_t}也是一个鞅。
•鞅的递归式：对于一个鞅{X_t}，如果存在一个可测函数f，使得X_t+1 = f(X_t, X_{t-1}, …)，那么{X_t}是一个鞅。
这些性质为我们研究鞅的行为和性质提供了有力的工具和方法。
鞅论的应用鞅论在金融工程和风险管理中有着广泛的应用。
例如，在期权定价中，使用鞅论方法可以导出期望增值过程，从而计算期权的价值。
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3.12 Azuma不等式的推广
3.12 Azuma不等式的推广
推广应用 注意不等式的特点
3.13 鞅论的应用(2)
Sn
n
拖尾概率 的估计
3.13 鞅论的应用(2)
请注意 ?
鞅的应用要点
几个特定的例题 古典概率的拖尾估计
鞅的构造特点以及注意事项
3.14 连续鞅论介绍
3.14 连续鞅论介绍
第三章
离散鞅论 (3)
教师：樊平毅教授 清华大学电子工程系
3.8 上穿不等式及应用
请注意
3.8 上穿不等式及应用
b
a
定义的特点
上穿两次的观察窗 口 一个简图
3.8 上穿不等式及应用
上穿次数 的估计
为什么会有此结果? 物理意义?
问题思考
为什么下鞅要研究上穿不等式?
相应上鞅需要研究上穿不等式吗? 为什么? 按简单的推理可知,上鞅如何处理? 你能够想象到上穿不等式的应用是什么?
3.8 上穿不等式及应用
问题简化技巧
3.8 上穿不等式及应用
3.8 上穿不等式及应用
用上 穿的 几何 特征
3.8 上穿不等式及应用
推广
3.8 上穿不等式及应用
收敛性分析
3.8 上穿不等式及应用
3.9 极大值不等式与Doob定理
一些重要的不等式
转化技巧
类似推导
S<0
认真思 考
3.9 极大值不等式与Doob定理
3.9 极大值不等式与Doob定理
下鞅构造模 式的首次应 用
3.9 极大值不等式与Doob定理
定理的证明从略
思考问题
你认识的随机不等式还有哪些?请列举. 上述几个不等式,在理论分析或科研中你 们应用过哪个? 举例说明. 你如何看待这些公式? 给出你的观点.
3.10 鞅论的应用(1)
问题: 试用古典概率 方法分析计算?
古典概率分 析中的典型 应用事例
3.10 鞅论的应用(1)
3.10 鞅论的应用(1)
分类讨论
对称性处理
3.10 鞅论的应用(1)
对称性处理
3.10 鞅论的应用(1)
为什么不用
问题提示与思考:
因为一阶统计量中难以找到和时间指标n 有关的明确关系式. 高阶统计量是否可行? 为什么在本题目中采用书上定义的统计量?
表现形式 的差别
3.11 Azuma不等式
特殊的 不等式
不 等 式 的 特 点
3.11 Azuma不等式
3.11 Azuma不等式
3.11 Azuma不等式
3.11 Azuma不等式
不等式的 特点 它实际上是一种 拖尾概率估计
3.11 Azuma不等式
为什么? 直接应用引理1, 但又有一点不同
总结归纳
3.10 鞅论的应用(1)
请看注解
鞅的应用思考要点
如何构造鞅使之满足题目要求? 如何应用停时定理? 停时定理的结论出现问题时如何处理? 如何看待对称随机移动问题? 如果随机移动是非对称的,其结果又如何?
3.11 Azuma不等式
凸函数的 特点与应用ຫໍສະໝຸດ 3.11 Azuma不等式
3.10 鞅论的应用(1)
关于随机移动 几个基本问题 与结论
仔细研究, 能否利用 古典概率 方法计算讨论?
征集答案
3.10 鞅论的应用(1)
思考?
注意停时 的定义与应 用
3.10 鞅论的应用(1)
理论结果 与直观判定
说明 理由
3.10 鞅论的应用(1)
为什么
上升一步
3.10 鞅论的应用(1)
3.14 连续鞅论介绍
关于连续鞅的例子
利用泊松过程构造的鞅 （第4章内容）
利用Brown运动构造的鞅 （第5章内容）
本章重点
鞅的定义与不变量 上鞅,下鞅的定义与分解定理 上鞅,下鞅 与鞅的基本构造方法 几个重要的不等式 停时定义与停时定理的应用例题
3.11 Azuma不等式
迭代运算
加上引理2
3.11 Azuma不等式
3.11 Azuma不等式
应用要点提示
3.11 Azuma不等式
要点
推广应用
3.11 Azuma不等式
Doob鞅出现了
3.12 Azuma不等式的推广
简化条件, 推广应用
3.12 Azuma不等式的推广
注意引理的应用