直线的倾斜角与斜率PPT课件.ppt
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直线的倾斜角与斜率-PPT课件
直线的倾斜角与斜率
选自人教A版必修2 第三章第一节第一课时
历史重现
在17世纪，法国有两位著名的数学家笛卡尔、费马， 他们将平面几何图形和代数知识有机的的结合在一 起，运用平面直角坐标系的坐标来研究一些平面几 何图形的性质和特点。
如何用平面直角 坐标系研究直线 的性质呢？
确定直线的要素
问题1：(1) _两__点____确定一条直线.
思考：斜率的正负与倾斜角大小的关系？
y
l
p
o
x
y
ly
p
o
x
p
o
x
l
y
p
o
l
x
0°＜ ＜ 90°
Fra Baidu bibliotek
= 90°
90°＜ ＜180° = 0°
锐角 k>0
直角 k不存在
钝角 k<0
零度角 k=0
直线的斜率公式的推导
已知直线上的两点p1(x1, y1),p2 (x2, y2 ),且直线
p1 p2与x轴不垂直，即x1 x2,k求直ta线np1 p2的斜率。
当 p1 p2 的位置对调时，k 值又如何呢？
y
y
P1(x1, y1)
P1(x1, y1)
Q(x1, y2 )
P2 (x2, y2 )
o
x
(3)
选自人教A版必修2 第三章第一节第一课时
历史重现
在17世纪，法国有两位著名的数学家笛卡尔、费马， 他们将平面几何图形和代数知识有机的的结合在一 起，运用平面直角坐标系的坐标来研究一些平面几 何图形的性质和特点。
如何用平面直角 坐标系研究直线 的性质呢？
确定直线的要素
问题1：(1) _两__点____确定一条直线.
思考：斜率的正负与倾斜角大小的关系？
y
l
p
o
x
y
ly
p
o
x
p
o
x
l
y
p
o
l
x
0°＜ ＜ 90°
Fra Baidu bibliotek
= 90°
90°＜ ＜180° = 0°
锐角 k>0
直角 k不存在
钝角 k<0
零度角 k=0
直线的斜率公式的推导
已知直线上的两点p1(x1, y1),p2 (x2, y2 ),且直线
p1 p2与x轴不垂直，即x1 x2,k求直ta线np1 p2的斜率。
当 p1 p2 的位置对调时，k 值又如何呢？
y
y
P1(x1, y1)
P1(x1, y1)
Q(x1, y2 )
P2 (x2, y2 )
o
x
(3)
直线的倾斜角与斜率PPT课件
直线
圆
圆
直线
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
A
1
y
A
1．由一点能否确定一条直线吗？
2．观察并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
A
2
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角．
O
x
A2 (1,-1)
Al 44 (l1,2-3)
A
16
例2 从 M(2, 2 )射出一条光线,经过 x轴反射
后过点 N( 8, 3) ,求反射点 ห้องสมุดไป่ตู้ 的坐标
解 ：P设 (x,0)
因为入射角等于反射角
y
KMPKPN
23 2x 8x
解得 x2
N(-8,3) 2 M(2,2)
-2 O 2
x
P
反射点 P (2,0)
A
17
1．直线的倾斜角 2．直线的斜率：
定义 范围
k＝tan （≠90）
k
y2 y1 x2 x1
（其中x1≠x2）
A
18
O
X
O
X
（1）
（2）
. . Y
圆
圆
直线
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
A
1
y
A
1．由一点能否确定一条直线吗？
2．观察并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
A
2
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角．
O
x
A2 (1,-1)
Al 44 (l1,2-3)
A
16
例2 从 M(2, 2 )射出一条光线,经过 x轴反射
后过点 N( 8, 3) ,求反射点 ห้องสมุดไป่ตู้ 的坐标
解 ：P设 (x,0)
因为入射角等于反射角
y
KMPKPN
23 2x 8x
解得 x2
N(-8,3) 2 M(2,2)
-2 O 2
x
P
反射点 P (2,0)
A
17
1．直线的倾斜角 2．直线的斜率：
定义 范围
k＝tan （≠90）
k
y2 y1 x2 x1
（其中x1≠x2）
A
18
O
X
O
X
（1）
（2）
. . Y
2.1.1 倾斜角与斜率课件ppt
α=90°
90°<α<180°
斜率
k>0
不存在
k<0
0
斜率
直线逆时针旋转,倾斜角α在
变化 定值 0°至90°间逐渐增大,斜率 不存在
规律
也逐渐增大,且恒为正数
直线逆时针旋转,倾斜角
α在90°至180°间逐渐
增大,斜率也逐渐增大,且
恒为负数
微思考1
任何一条直线都有倾斜角吗?任何一条直线都有斜率吗?
从而入射光线的斜率为
1- 1
所以,有 2 =-3,解得
1
kAQ=kAB'=- .
3
5
y=3,点
Q
5
的坐标为(0,3).
方法总结 光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率并不等
于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它们之间是互为相反数的关系.另
外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.
变式训练一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点B(5,7),求点
0－－b
(3)因为ab<0，所以k＝ 1
－0
a
a
＝b<0，倾斜角为钝角．
5. 已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).
(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?
直线的倾斜角与斜率课件PPT
解析： (1)由倾斜角的定义易知，l2 的倾斜角 α2＝90°， α1＜90°，α3＞90°， 所以 α3＞α2＞α1.故选 D.
(2)当 α＝30°时，k＝tan 30°＝ 33；
当
k＝－
3时，其倾斜角为 3
180°－30°＝150°.
答案：
(1)D
(2)
3 3
150°
直线的斜率 自主练透型 (1)已知过两点 A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为 135°，则 y＝ ________； (2)过点 P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为 1，则 m 的值为________； (3)已知过 A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为 1，则 m 的值为________．
斜率 __0_
k＞0 _不__存__在__
k＜0
y2－y1
4.公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 k＝_x_2_－__x_1.
[化解疑难] 1．直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是 90°时， 直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，此时，直线垂直于 x 轴(平行于 y 轴或与 y 轴重合)． 2．当 0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当 90°＜α＜180° 时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大.
解析： (1)直线 AB 的斜率 k＝tan 135°＝－1， 又 k＝－2－3－4y，由－2－3－4y＝－1，得 y＝－5. (2)由斜率公式 k＝4m－＋m2＝1，得 m＝1. (3)当 m＝3 时，直线 AB 平行于 y 轴，斜率不存在． 当 m≠3 时，k＝－m2－－31＝－m－3 3＝1，解得 m＝0. 答案： (1)－5 (2)1 (3)0
直线的倾斜角与斜率ppt课件
13
已知P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2),则直线P1P2的斜率公式：
k=
y2 y1 x2 x1
例1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐
角还是钝角.
(1) A(3,2), B(-4,1) (2) B(-4,1), C(0,-1)
变式: 对于(1) 若求BA两点的斜率呢？ 若把B改为D(2,2)呢？ 若把B改为D(3,4)呢？
问题8. 斜率公式与P1P2两点的顺序有关吗？ 特殊地,当直线与x轴,y轴平行或重合时，结论是否成立？
14
例2. 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别 为1及-3的直线l1及l2.
15
三、小结：1、学完本节课你有哪些收获？ 知识？ 思想？
确定一条直线的方法
两点
斜率公式
一点和倾斜程度
α (几何)，k(代数)
α
K的符号 K的变化
00≤α＜900
正
变大
8
问题5. k与α分别是从代数和几何角度刻画了直线的 倾斜程度。它们之间的关系是怎样的呢？
k=tan α, α的范围：[00,1800) α是锐角时，tan(1800- α)=-tan α
α
K的符号 K的变化
00≤α＜900
正
变大
900＜ α＜
负
变大
1800
直线的倾斜角与斜率.ppt
直线上的一个点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一 条直线．
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何 要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者缺 一不可．
应用举例
高中数学必修 2
例1：请标示出以下直线的倾斜角
y
y
y
O
xO
xO
x
高中数学必修 2
倾斜程度的代数表示
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
如此描述，是否每一条直线都有 倾斜角呢？
O
直线的倾斜角
高中数学必修 2
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴 正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．y
规定：当直线l与x轴平行或 重合时，它的倾斜角为 0o.
O
x
直线的倾斜角a的取值范围为：
引入
高中数学必修 2
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位 置由哪些条件确定？
y
P2
O P1
x
问题1
高中数学必修 2
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一
条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的
位置能够确定吗？
y
l
OP
x
问题2
高中数学必修 2
过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，…它 们都经过点P （组成一个直线束），这些直线区
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何 要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者缺 一不可．
应用举例
高中数学必修 2
例1：请标示出以下直线的倾斜角
y
y
y
O
xO
xO
x
高中数学必修 2
倾斜程度的代数表示
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
如此描述，是否每一条直线都有 倾斜角呢？
O
直线的倾斜角
高中数学必修 2
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴 正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．y
规定：当直线l与x轴平行或 重合时，它的倾斜角为 0o.
O
x
直线的倾斜角a的取值范围为：
引入
高中数学必修 2
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位 置由哪些条件确定？
y
P2
O P1
x
问题1
高中数学必修 2
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一
条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的
位置能够确定吗？
y
l
OP
x
问题2
高中数学必修 2
过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，…它 们都经过点P （组成一个直线束），这些直线区
直线的倾斜角与斜率PPT课件
l
x
k y2 y1 0 x2 x1
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
答：斜率不存在， 因为分母为0。
3.斜率公式
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )的直线的斜率公式
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
公式的特点:
y
直线向上的方向
A
B
1
O 1x
与 x 轴正方向 最小正角
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正向所成的最小正角 叫做这
条直线的倾斜角．
y A
规定：当直线和x轴平行或 重合时，它的倾斜角为0°
B
1
倾斜角的范围：0≤<180
O 1x
Y
.p
Y
00 900
.p 900 1800
后过点 N( 8, 3) ,求反射点 P 的坐标
解 ： 设P(x,0)
因为入射角等于反射角
y
K MP K PN
23 2x 8x
解得 x 2
N(-8,3) 2 M(2,2)
-2 O 2
x
P
反射点 P (2,0)
1．直线的倾斜角 2．直线的斜率：
x
k y2 y1 0 x2 x1
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
答：斜率不存在， 因为分母为0。
3.斜率公式
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )的直线的斜率公式
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
公式的特点:
y
直线向上的方向
A
B
1
O 1x
与 x 轴正方向 最小正角
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正向所成的最小正角 叫做这
条直线的倾斜角．
y A
规定：当直线和x轴平行或 重合时，它的倾斜角为0°
B
1
倾斜角的范围：0≤<180
O 1x
Y
.p
Y
00 900
.p 900 1800
后过点 N( 8, 3) ,求反射点 P 的坐标
解 ： 设P(x,0)
因为入射角等于反射角
y
K MP K PN
23 2x 8x
解得 x 2
N(-8,3) 2 M(2,2)
-2 O 2
x
P
反射点 P (2,0)
1．直线的倾斜角 2．直线的斜率：
直线的斜率与倾斜角ppt
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的倾斜角与斜率课件PPT
[归纳升华] 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等， 其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存 在；若求 α 的具体值，可用公式 k＝tan α 求解.
[特别提醒] 在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k
0
3 3
1
3
－ 3 －1
－
3 3
3．过点 P(0，－2)的直线 l 与以 A(1,1)、B(－2,3)为端点的线段有公共点，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
自主探究 探究 1：若两条直线平行，斜率一定相等吗？
【答案】不一定，垂直于 x 轴的两条直线，虽然平行，但斜率 不存在．
探究 2：若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－1 吗？
【答案】不一定，如果两条直线 l1，l2 中的一条与 x 轴平行(或 重合)，另一条与 x 轴垂直(也即与 y 轴平行或重合)，即两条直线中 一条的倾斜角为 0°，另一条的倾斜角为 90°，从而一条直线的斜率 为 0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．
《直线倾斜角和斜率》课件
倾斜角的取值范围是[0°, 180°)，也可以表示为[0, 03 π)。
来自百度文库
倾斜角的取值范围
01 当直线与x轴正方向之间的夹角为0°时，直线与x 轴重合，斜率不存在。
02 当直线与x轴正方向之间的夹角为90°时，直线与x 轴垂直，斜率无穷大。
02 倾斜角的大小反映了直线的倾斜程度，即斜率的 大小。
直线倾斜角与坐标轴的关系
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
关系图有助于学生理解斜率和 倾斜角之间的数学关系，加深 对直线的倾斜角和斜率概念的 理解。
斜率不存在的直线倾斜角
当直线的倾斜角为90度时，斜率不存在。这是因为此时直线与x轴垂直，在x轴上没 有长度变化。
在实际应用中，斜率不存在的直线通常表示为垂直线，例如建筑物的墙壁或道路的 边缘。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的
05
应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
03
直线倾斜角与斜率的关系
来自百度文库
倾斜角的取值范围
01 当直线与x轴正方向之间的夹角为0°时，直线与x 轴重合，斜率不存在。
02 当直线与x轴正方向之间的夹角为90°时，直线与x 轴垂直，斜率无穷大。
02 倾斜角的大小反映了直线的倾斜程度，即斜率的 大小。
直线倾斜角与坐标轴的关系
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
关系图有助于学生理解斜率和 倾斜角之间的数学关系，加深 对直线的倾斜角和斜率概念的 理解。
斜率不存在的直线倾斜角
当直线的倾斜角为90度时，斜率不存在。这是因为此时直线与x轴垂直，在x轴上没 有长度变化。
在实际应用中，斜率不存在的直线通常表示为垂直线，例如建筑物的墙壁或道路的 边缘。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的
05
应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
03
直线倾斜角与斜率的关系
直线的倾斜角与斜率PPT课件
2．(1)已知直线的倾斜角，求直线的斜率． ①α＝0°；②α＝60°；③α＝90°. 解析： ①因为 tan 0°＝0，所以倾斜角为 0°的直线斜率为 0. ②因为 tan 60°＝ 3，所以倾斜角为 60°的直线斜率为 3. ③因为 tan 90°不存在，所以倾斜角为 90°的直线斜率不存在． (2)求过下列两点的直线的斜率 k 及倾斜角 α. ①P1(－2,0)，P2(－5,3)． ②P1(－2,3)，P2(－2,8)． ③P1(5，－2)，P2(－2，－2)．
1．下列说法中：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②任何一条直线都有唯一的斜率；
③倾斜角为 90°的直线不存在；
④倾斜角为 0°的直线只有一条．
其中正确的有( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析： 由倾斜角定义知①正确；③④不正确；由斜率定义知倾斜角为 90° 的直线斜率不存在，故②不正确．
答案： B
2．直线 l 的倾斜角是斜率为 33的直线的倾斜角的 2 倍，则 l 的斜率为( )
A．1
B. 3
C.2 3 3
D．－ 3
解析： ∵tan α＝ 33，0°≤α<180°， ∴α＝30°，∴2α＝60°， ∴k＝tan 2α＝ 3.故选 B. 答案： B
3．已知点 M(5,3)和点 N(－3,2)，若直线 PM 和 PN 的斜率分别为 2 和－74，
2.1直线的倾斜角和斜率.PPT课件
30
所求
斜率为2的直线，经过点 (3,5),(a,7),(-1，b)三点，则a,b的 值为( C )
A、a=4,b=0 B、a=-4,b=-3
C、a=4,b=- D、a=-4,b=3 3
31
练习
2．在图中的直线l1 , l2 , l3的斜率k1 , k2 , k3的大小
y
关系为 k2>k3>k1
(2) 45 ,135 时，则斜率k的取值范围 (__,_1_)_ [1,)
(3)k 0，1时，则倾斜角的取值范围[0__,_4_5_ ]
(4)k 1，1时，则倾斜角的取值范围[0_,_45__]_ [135 ,180 )
直线
l1 的倾斜角1 =30°，直线
求 l1 , l2 的斜率。
A、B、C三点共线
33
数学应用
问题6：如果直线l上一点P沿x轴方向向右平移2 个单位,再沿y轴方向向上平移4个单位后 仍在直线l上,那么该直线的斜率为多少? 斜率为2
问题7：直线l的斜率为2,将l向左平移1个单位 得到直线l1,则l1的斜率为多少? 斜率为2
问题8：平行直线的斜率之间有怎样的关系?
17
3、探究：由两点确定k的直ta线n的 斜率
锐角
能不能构造
y
y2
y1
P2 (x2, y2 )
Q(x2, y1)
所求
斜率为2的直线，经过点 (3,5),(a,7),(-1，b)三点，则a,b的 值为( C )
A、a=4,b=0 B、a=-4,b=-3
C、a=4,b=- D、a=-4,b=3 3
31
练习
2．在图中的直线l1 , l2 , l3的斜率k1 , k2 , k3的大小
y
关系为 k2>k3>k1
(2) 45 ,135 时，则斜率k的取值范围 (__,_1_)_ [1,)
(3)k 0，1时，则倾斜角的取值范围[0__,_4_5_ ]
(4)k 1，1时，则倾斜角的取值范围[0_,_45__]_ [135 ,180 )
直线
l1 的倾斜角1 =30°，直线
求 l1 , l2 的斜率。
A、B、C三点共线
33
数学应用
问题6：如果直线l上一点P沿x轴方向向右平移2 个单位,再沿y轴方向向上平移4个单位后 仍在直线l上,那么该直线的斜率为多少? 斜率为2
问题7：直线l的斜率为2,将l向左平移1个单位 得到直线l1,则l1的斜率为多少? 斜率为2
问题8：平行直线的斜率之间有怎样的关系?
17
3、探究：由两点确定k的直ta线n的 斜率
锐角
能不能构造
y
y2
y1
P2 (x2, y2 )
Q(x2, y1)
2.1.1倾斜角与斜率 课件(共21张PPT)
不同.
新知讲解
直线倾斜角的定义：
y
α' l
l'
3
α3
l2
l1
当直线与轴相交时,以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间
所成的角叫做直线的倾斜角.
1.规定：当直线与轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为0°.
0
2.范围：0°Leabharlann Baiduα<180°
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个 定点
−4
解析:由 = −2− = 3,得 = 3 3 − 5.
课堂小结
1.直线的倾斜角的定义
2.直线的斜率的定义
3.过两点的斜率公式
当直线 l 与x轴相交时，
我们取x轴作为基准，
一条直线的倾斜角
x轴正向与直线 l 向上
的正切值叫做这条
方向之间所成的角α
直线的斜率.
y2 y1
k 叫做直线
有内在联系.
2
0
. P (x ,y )x
思考1 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为.已知直线 经过(0,0)，( ，1)，
那么与点, 的坐标有什么关系？
tan =
1
3
=
3
=
3
y
−
−
0
l
.
. P(
新知讲解
直线倾斜角的定义：
y
α' l
l'
3
α3
l2
l1
当直线与轴相交时,以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间
所成的角叫做直线的倾斜角.
1.规定：当直线与轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为0°.
0
2.范围：0°Leabharlann Baiduα<180°
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个 定点
−4
解析:由 = −2− = 3,得 = 3 3 − 5.
课堂小结
1.直线的倾斜角的定义
2.直线的斜率的定义
3.过两点的斜率公式
当直线 l 与x轴相交时，
我们取x轴作为基准，
一条直线的倾斜角
x轴正向与直线 l 向上
的正切值叫做这条
方向之间所成的角α
直线的斜率.
y2 y1
k 叫做直线
有内在联系.
2
0
. P (x ,y )x
思考1 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为.已知直线 经过(0,0)，( ，1)，
那么与点, 的坐标有什么关系？
tan =
1
3
=
3
=
3
y
−
−
0
l
.
. P(
直线的倾斜角与斜率讲义 ppt课件
分别为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4 。
y
l3
l1
A3 (1,2) A1 (1,1)
O
x
A2 (1,-1)
Al44 (l12,-3)
ppt课件
21
例2 从 M(2, 2 )射出一条光线,经过 x轴反射
后过点 N( 8, 3) ,求反射点 P 的坐标
解 ： 设P(x,0)
l1
l２
l３
ppt课件
13
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
的定义 k ＝tanα求出直线的斜率；
如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜 角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直 线的斜率呢？
探究： 已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），
求直线P1P2的斜率?
(2).过点C的直线 l 与线段ＡＢ有公共点， 求 l 的斜率k的取值范围
y
解：（1）k AB
1 2 4 3
1 7
锐角
B
A
kBC
1 1 0 (4)
1 2
钝角
O
x
kCA
1 2 03
1
锐角
C
（2）k [1,+) (-,- 1]
2
y
l3
l1
A3 (1,2) A1 (1,1)
O
x
A2 (1,-1)
Al44 (l12,-3)
ppt课件
21
例2 从 M(2, 2 )射出一条光线,经过 x轴反射
后过点 N( 8, 3) ,求反射点 P 的坐标
解 ： 设P(x,0)
l1
l２
l３
ppt课件
13
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
的定义 k ＝tanα求出直线的斜率；
如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜 角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直 线的斜率呢？
探究： 已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），
求直线P1P2的斜率?
(2).过点C的直线 l 与线段ＡＢ有公共点， 求 l 的斜率k的取值范围
y
解：（1）k AB
1 2 4 3
1 7
锐角
B
A
kBC
1 1 0 (4)
1 2
钝角
O
x
kCA
1 2 03
1
锐角
C
（2）k [1,+) (-,- 1]
2
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o
0
O
X
O
X
（3）
（4）
例1：已知点 A（3，2），B（-4，1），C（0，1），
(1).求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角是锐角还是钝角
(2).过点C的直线 l 与线段ＡＢ有公共点， 求 l的斜率k的取值范围
y
解：（1）k AB
1 2 4 3
1 7
锐角
B
A
kBC
1 1 0 (4)
后过点 N( 8, 3) ,求反射点 P 的坐标
解 ： 设P(x,0)
因为入射角等于反射角
y
K MP K PN
23 2x 8x
解得 x 2
N(-8,3) 2 M(2,2)
-2 O 2
x
P
反射点 P (2,0)
1．直线的倾斜角 2．直线的斜率：
定义 范围
k＝tan （≠90）
k
y2 y1 x2 x1
（其中x1≠x2）
l
x
k y2 y1 0 x2 x1
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
答：斜率不存在， 因为分母为0。
3.斜率公式
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )的直线的斜率公式
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
公式的特点:
tan
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
o x2 x1 x
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
k tan y2 y1 y2 y1
x1 x2 x2 x1
当直线与坐标轴平行或重合时,上述公 式还适用吗？
P1 (x1, y1 ) y o
P2 (x2 , y2 )
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
（1）＝0；
（2）＝30；
（3）＝135；
（4）＝120．
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
的定义 k ＝tanα求出直线的斜率；
如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜 角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直 线的斜率呢？
探究： 已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），
求直线P1P2的斜率?
y
如图，α为锐角
y2
P2 (x2, y2 )
y1
Q(x2, y1)
P2P1Q,
P1(x1, y1)
o x1
x2 x
在RtP2P1Q中
k
tan
tan P2P1Q
QP2 P1Q
y2 x2
y1 x1
如图α为钝角，
180 ,
y tan tan(180 )
y2
P2 (x2, y2 )
1 2
钝角
O
x
kCA
1 2 03
1
锐角
C
（2）k [1,+)U(-,- 1]
2
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率
分别为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4 。
y
l3
l1
A3 (1,2) A1 (1,1)
O
x
A2 (1,-1)
Al44 (l12,-3)
例2 从 M(2, 2 )射出一条光线,经过 x轴反射
直线
圆
圆
直线
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
y
A
1．由一点能否确定一条直线吗？
2．观察并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角．
O
X
O
X来自百度文库
（1）
（2）
. Y p 90 o
O
X
. Y p 0o
O
X
（3）
（4）
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升 高 量
前进量
坡度
铅直高度 水平长度
结论：坡度越大，楼梯越陡．
直线的斜率定义 倾斜角不是 90 的直线，它的倾斜角的正
切值叫做这条直线的斜率，通常用 k 表示，即
练习一
k＝tan ．
(1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
Y
.p
00 900 Y K>0
. 900 1800
p
K<0
O
X
O
X
（1）
（2）
Y
. K不存在 Y
p 90o
.p
K=0
y
直线向上的方向
A
B
1
O 1x
与 x 轴正方向 最小正角
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正向所成的最小正角 叫做这
条直线的倾斜角．
y A
规定：当直线和x轴平行或 重合时，它的倾斜角为0°
B
1
倾斜角的范围：0≤<180
O 1x
Y
.p
Y
00 900
.p 900 1800
0
O
X
O
X
（3）
（4）
例1：已知点 A（3，2），B（-4，1），C（0，1），
(1).求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角是锐角还是钝角
(2).过点C的直线 l 与线段ＡＢ有公共点， 求 l的斜率k的取值范围
y
解：（1）k AB
1 2 4 3
1 7
锐角
B
A
kBC
1 1 0 (4)
后过点 N( 8, 3) ,求反射点 P 的坐标
解 ： 设P(x,0)
因为入射角等于反射角
y
K MP K PN
23 2x 8x
解得 x 2
N(-8,3) 2 M(2,2)
-2 O 2
x
P
反射点 P (2,0)
1．直线的倾斜角 2．直线的斜率：
定义 范围
k＝tan （≠90）
k
y2 y1 x2 x1
（其中x1≠x2）
l
x
k y2 y1 0 x2 x1
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
答：斜率不存在， 因为分母为0。
3.斜率公式
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )的直线的斜率公式
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
公式的特点:
tan
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
o x2 x1 x
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
k tan y2 y1 y2 y1
x1 x2 x2 x1
当直线与坐标轴平行或重合时,上述公 式还适用吗？
P1 (x1, y1 ) y o
P2 (x2 , y2 )
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
（1）＝0；
（2）＝30；
（3）＝135；
（4）＝120．
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
的定义 k ＝tanα求出直线的斜率；
如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜 角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直 线的斜率呢？
探究： 已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），
求直线P1P2的斜率?
y
如图，α为锐角
y2
P2 (x2, y2 )
y1
Q(x2, y1)
P2P1Q,
P1(x1, y1)
o x1
x2 x
在RtP2P1Q中
k
tan
tan P2P1Q
QP2 P1Q
y2 x2
y1 x1
如图α为钝角，
180 ,
y tan tan(180 )
y2
P2 (x2, y2 )
1 2
钝角
O
x
kCA
1 2 03
1
锐角
C
（2）k [1,+)U(-,- 1]
2
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率
分别为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4 。
y
l3
l1
A3 (1,2) A1 (1,1)
O
x
A2 (1,-1)
Al44 (l12,-3)
例2 从 M(2, 2 )射出一条光线,经过 x轴反射
直线
圆
圆
直线
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
y
A
1．由一点能否确定一条直线吗？
2．观察并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角．
O
X
O
X来自百度文库
（1）
（2）
. Y p 90 o
O
X
. Y p 0o
O
X
（3）
（4）
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升 高 量
前进量
坡度
铅直高度 水平长度
结论：坡度越大，楼梯越陡．
直线的斜率定义 倾斜角不是 90 的直线，它的倾斜角的正
切值叫做这条直线的斜率，通常用 k 表示，即
练习一
k＝tan ．
(1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
Y
.p
00 900 Y K>0
. 900 1800
p
K<0
O
X
O
X
（1）
（2）
Y
. K不存在 Y
p 90o
.p
K=0
y
直线向上的方向
A
B
1
O 1x
与 x 轴正方向 最小正角
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正向所成的最小正角 叫做这
条直线的倾斜角．
y A
规定：当直线和x轴平行或 重合时，它的倾斜角为0°
B
1
倾斜角的范围：0≤<180
O 1x
Y
.p
Y
00 900
.p 900 1800