动量与角动量守恒

以杆和子弹为研究系统 系统的合外力矩为0，角动量守恒
1 1 2 lm lm ml 2 3 3m 2Ml
刚体运动:平动+转动。
（1）平动：刚体内任何一条给定的直线在运动 中始终保持方向不变。可用质心代表整个刚体的 运动。
（2）转动：刚体的各个质点在运动中都绕同一直 线（转轴）作圆周运动。
§4.2 刚体的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ轴转动
转轴位置不变，刚体上的每 个质元都以相同的角速度 和角 加速度绕定轴作圆周运动。
方向 ： 右手螺旋法则。
说明：
（1）角动量必须指明对那一个固定点而言。 （2）当质点作圆周运动时，

2 , L rP rmv
（3）单位（SI）： 千克 米2 秒1 kg m2 s 1
L
O
v
r
m
（二）对定点的力矩
定义：
大小：
方向：
M Fr sin
i
线分布， I r d l， 为线密度
2
面分布， I r d s， 为面密度
2
体分布， I r 2 d V， 为体密度
平行轴定理：
与质心平行的转轴，其相应的 转动惯量I与质心轴的转动惯量Ic之 间的关系
I I c md
2
例 1. 求长为 l ，质量为 m 的均匀细杆绕垂直杆 的中心轴的转动惯量，和绕过端点且垂直杆 的转动惯量。
则有
当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持 不变。——动量守恒定律
说明：
（1）某方向所受合外力为零，则此方向 的总动量的分量守恒。
（2）当外力远小于内力，且可以忽略不计
时（如碰撞、爆炸等），可近似应用 动量守恒定律；
（3）是最普遍、最重要的定律之一。
适用于宏观和微观领域。
例1、设炮车以仰角α发射一炮弹，炮车和炮 弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度为 。 求炮车的反冲速度V。设炮车与地面的摩擦可 忽略。
在有心力场中，如万有引力场 、静电 引力场中，角动量守恒。
（五）质点系角动量定理
dL M dt
质点系对某点的角动量对时间的变化率等 于质点系中各质点所受外力对同一点的力矩的 矢量和。——质点系角动量定理
若 M 0，
L 常矢量 -----质点系角动量守恒
例1 如图所示，一半径为R 的光滑圆环置于铅直 平面内。有一质量为 m 的小球穿在圆环上，并可在 圆环上滑动。开始时小球静止于圆环上的 A 点，该 点在通过环心的水平面上，然后从点 A 开始下滑。 设小球与圆环间的摩擦略去不计，求小球滑到 B点时 对环心的角动量和角速度。

思路：质点系水平方向 动量守恒，但总动 量并不守恒。

MV m cos
例2、一个原来静止的原子核，放射性蜕变时 放出一个动量为 Pe 1.2 1022 kg m / s 的电 子，同时还在垂直与此电子方向上放出一个 动量为 P 6.4 1023 kg m / s 的中微子。求蜕 变后原子核的动量。 思路：中微子发现的过程体现 出动量守恒定律是自然 界的基本定律。 质点系动量守恒，即
rdt
0
dr r

在dt时间内， 扫过的面积为
1 d A rdr sin 2 1 r dr 2
单位时间扫过面积为
d A 1 dr 1 r r dt 2 dt 2 L r m 2m 2m
行星的角动量守恒
dA L C', 则 C dt
动量守恒定律
角动量守恒定律使我们能省略中间具 体过程的研究，甚至于在不了解质点间相 互作用的具体形式的情况下，也能得出质 点系的初态和末态间的一些必然关系。
特别是，若质点所受的力一直都沿某一 中心，称之为有心力，我们取该中心为原点， 则质点系受力矩为零，角动量守恒。这给我 们研究有心力问题提供了很大方便 。
例3、用绳系小物块使之在光滑水平面上作圆 周运动（如图），圆半径为r0，速率为υ0。今 缓慢地拉下绳的另一端，使圆半径逐渐减小。 求圆半径至r时，小物块的速率υ是多大？
r
r0
思路：有心力矩
M 0, 则 L C
r0m 0 rm
§4 刚体的转动
§4.1 刚体的运动
一、 刚体模型： 在受力和运动时形状和大小不变，内部 质点间没有相对运动。可看作是由无穷多质 元组成的质点系。 二、刚体的运动
第二章 动量与角动量守恒
§1 动量守恒定律
（一）质点动量定理
根据牛顿第二定律
d mv dP F dt dt
改写为
Fdt dP
当作用时间为 t0 t ，合外力的冲量为
t I Fdt P P0
t0
即
I mv mv0
Pr 为原子核剩余部分,
pr pe p 0
p
pr
2 r
p p
2 e
2
2 2 pe p
(1.2 1022 ) 2 (6.4 1023 ) 2
1.3610 22 kg· m· s 1
6.4 1023 p arct an arct an 22 pe 1 . 2 10 284
L
Li

ri
O
Z Liz
vi
Li Ri mi i
但我们感兴趣的是研究定 轴转动，即要研究 L z
刚体上质元 i相对于转轴的 角动量为
m i Ri
Li z Li cos Ri mi vi cos ri mi vi mi ri 2
R
例 如图所示.求刚体对O轴的转动惯量.
O
解：
m
l
1 2 1 2 2 I ml MR M (l R) 3 2
M
R
（3）定轴转动定律
根据质点系的角动量定律
质点系对某点的角动量对时间的变化率等 于质点系中各质点所受外力对同一点的力矩的 矢量和。
dL M dt
合外力对于轴的合力矩
（二）质点系的动量定理
n 个质点的质点系，第 i 个质点 受合外力为 Fi ，

t
t0
Fi dt P P0 P
n i 1
系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增 量。——质点系动量定理
（三）动量守恒定律
如果
Fi 0
mi vi 常矢量
i 1 n
O’

一、 角速度矢量：
d 角速度 dt
O
角加速度
d d 2 dt dt
2
距轴r处的质元
速度
v r

r


mi
切向加速度
dv d a r r dt dt
法向加速度
a r
n
2
二、 刚体定轴转动定律
（1）定轴角动量：
质元 i对于O点的角动量为
a R
2mg MR 2mR
例5、AB是放在光滑水平面上的匀质细杆，其 长度为l，质量为M，B端固定于竖直轴O上， 使它可绕轴自由转动。一质量为m的子弹在水 平面内沿与杆相垂直的方向，以速率υ射入A 端，子弹击穿A后速率减为υ/2，其运动方向 不变。求细杆的角速度。
A O
B
F 外力 B O A 内力
(1)法1. 动能定理 思路：
R
O

N
m A mB

1 mgRsin m 2 2 2 gR sin L Rm m R 2 gR sin 2 g sin R R
v
mg
r

(2)法2. 牛二定律 d mgcos m dt d d gcos d dt d gcos d R Rgcosd d
M r F
M
O
r
F
右手螺旋法则。
单位：
牛顿 米N m
SI
M
O
有心力: r // F , 作用线穿过定点 , 对力心的力矩总是为零 。
r
F
（三）质点角动量定理 L r mv
dL d d mv dr r mv r mv dt dt dt dt r F v mv
原子核剩余部分与电子运动方向的夹角为
180 284 151 56
§2 角动量守恒定律 （一）质点的角动量
质点对惯性参考系中某一 固定点O 的角动量。
L
m
L r P r mv
大小：
P
r
O
L rP sin mrvsin
2 0 R
1 2 mR 2
例3、一质量为m半径为R的匀质圆球，求通 过任一直径为轴的转动惯量。 Z 解：
1 2 dI r dm, dm r 2 dz 2
dZ 0 R
1 dI r 4 dz 2 r 2 R2 Z 2
1 I ( R 2 z 2 ) 2 dz R 2 2 m R2 5
d Lz d( I ) Mz I dt dt
（4）角动量守恒定律 若Mz=0，则Lz=c, 角动量守恒
绕某定轴 z 转动的刚体，如果在 z 轴 上所受的合外力矩为零，刚体相对于 z 轴 的角动量不变。——角动量守恒定律 说明：1）定律是瞬时对应关系； 2）M , I , 应是对同一轴而言的
质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于 质点动量的增量。——质点动量定理
冲力、平均冲力
当两个物体碰撞时，它们 相互作用的时间很短，相互 作用的力很大，而且变化非 常迅速，这种力称为冲力。