3.1.1两角差的余弦公式

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学案4：3.1.1 两角差的余弦公式

3.1.1 两角差的余弦公式学习目标（1）了解两角差的余弦公式的推导过程，通过公式的推导了解角与角之间的内在联系；（2）正确理解与掌握两角差的余弦公式，并会进行化简、求值等应用．学习过程基础预探两角差的余弦公式：cos （α－β）=________________．学习引领两角差的余弦公式对任意的角都成立，是前面学习的诱导公式的一般化．在利用两角差的余弦公式时，运用两角差的三角函数求解问题一般分三步：第一步求某一个三角函数值；第二步确定角所在的范围；第三步得结论求得所求角的值．典例导析题型一：公式的直接应用例1．计算：cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=（）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 题型二：公式的间接应用例2．计算：cos65ºcos35º+cos25ºcos55º=（）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 题型三：公式的综合应用例3．已知α、β、γ∈（0，2π），sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，求β－α的值．随堂练习1．计算：cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=（）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 2．化简cos （x +y ）cos （x －y ）+sin （x +y ）sin （x －y ）的值为（）A ．cos2xB ．cos2yC ．sin2xD ．sin2y3．计算：cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=（）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 4．计算：cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=________．5．化简：cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β）=________． 6．若锐角α、β满足cos α=54，cos （α+β）=53，求cos β的值．参考答案学习过程基础预探cos αcos β+sin αsin β典例导析题型一：公式的直接应用例1．C【解析】cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=cos （80º－35º）=cos45º=22，故选C ．题型二：公式的间接应用例2．D【解析】由于cos25º=sin （90º－25º）=sin65º，cos55º= sin （90º－55º）=sin35º，则cos65ºcos35º+cos25ºcos55º= cos65ºcos35º+sin65ºsin35º=cos （65º－35º） =cos30º=23，故选D ．题型三：公式的综合应用例3．解：由已知，得sin γ=sin β－sin α，cos γ=cos α－cos β，平方相加得（sin β－sin α）2+（cos α－cos β）2=1，即sin 2β－2sin αsin β+sin 2α+cos 2α－2cos βcos α+cos 2β=1，亦即2－2（sin αsin β+cos βcos α）=1，∴－2cos （β－α）=－1，∴cos （β－α）=21， ∴β－α=±3π， ∵sin γ=sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α=3π．随堂练习1．B【解析】cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=cos （75º－15º）=cos60º=21； 2．B3．D 【解析】cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=cos[（38º－x ）－（8º－x ）]=cos30º=23； 4．21 【解析】cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=cos68ºcos8º+sin68ºsin （90º－8º）=cos68ºcos8º+sin68ºsin8º=cos （68º－8º）=cos60º=21. 5．cos （2βα+）【解析】cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β） = cos ［（α－2β）－（2α－β）］= cos （2βα+）. 6．解：由于锐角α满足cos α=54，则sin α=α2cos 1-=2)54(1-=53，又锐角α、β满足cos （α+β）=53，则sin （α+β）=)(cos 12βα+-=2)53(1-=54，所以cos β=cos ［（α+β）－α］= cos （α+β）cos α+ sin （α+β）sin α=53×54+54×53=2524．。

数学必修四第3章 3.1.1 两角差的余弦公式

填一填·知识要点、记下疑难点
两角差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ，其中 α、β 为任意角.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一
两角差余弦公式的探索
问题 1 有人认为 cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举两例加以说明．
研一研·问题探究、课堂更高效
→ → 当 α，β 均为任意角时，α－β 和〈OP，OQ〉的关系是： → → α－β＝2kπ±〈OP，OQ〉，k∈Z . → → → → → → → → (3)向量OP与OQ的数量积OP· OQ＝|OP||OQ|cos〈OP，OQ〉＝ → → cos(α－β)；另一方面，OP 与 OQ 的数量积用点坐标形式表示： → → OP· OQ＝(cos α，sin α)· (cos β，sin β)＝ cos αcos β＋sin αsin β 从而，对任意角 α，β 均有 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. .
π π 所以－2<α－β<－6，所以 cos α＝ 1－sin α＝
2 2
8 15 2 1－17 ＝17， 21 20 2 1－ 29 ＝－29，
sin(α－β)＝－ 1－cos α－β＝－
研一研·问题探究、课堂更高效
所以 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
15 21 8 20 155 ＝17×29＋17×－29＝493.
小结三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、
函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， 1 1 α＝2[(α＋β)＋(α－β)] ，α＝2[(β＋α)－(β－α)] 等．

3.1.1两角和(差)的余弦公式

co s 1 5 co （ 4 5 3 0 ) s co s 4 5 co s 3 0 2 2 3 2

c o s 1 5 c o （ 6 0 4 5 ) s co s 1 5 co（ 4 5 3 0 ) s

你会算 co s 1 5 吗？
思考：
有一座小山坡 O A ,O A 长为 a， A C O C , 且 AO C = 15 o ,求坡脚线 O C的长度？
A
a
15
O
o
C
解：在 R t A O C 中， O C A O co s 1 5 a co s 1 5
o
o
co s 1 5 co （ 6 0 4 5 ) s co s 6 0 co s 4 5 1 2 2 2
co s co s co s sin sin sin 2 2 2
所以有 co s sin 2
例6.已知 cos = 求 cos .
1 17
， )=cos(
47 51
， , 0

2
解 : 由 sin , , , 得 3 2
cos 1 sin
3
2
2 1 3
2

5 3
3 由 cos , , ,得 5 2
sin 1 cos
两角和的余弦公式
C

Hale Waihona Puke 两角和与差的余弦公式co s

3.1.1 两角差的余弦公式

3.1.1 两角差的余弦公式班级：姓名：编者：陆祖银审阅：高一数学备课组问题引航2、两角差的余弦公式是什么？3、两角差的余弦公式的使用条件是什么？自主探究βα,，其终边与单位圆相交于B A ,两点，那么OA = ,OB = .(尝试用βα,的三角函数值表示,的坐标)2、如图，观察与的夹角θ与βα,的关系θ= .3、利用向量夹角计算公式表示θcos = .4、通过坐标运算，大家发现了什么？ .5、两角差的余弦公式：)cos(βα-= .6、简记符号： .7、两角差的余弦公式的使用条件：βα,都是 .互动探究（1）︒15cos ；（2）︒75cos .例题2：已知53sin =α，),2(ππα∈，1312sin -=β，)23,(ππβ∈，求)cos(βα-的值。

当堂检测1.已知βα,均为锐角，且552cos =α，1010cos =β，则βα-的值为多少？2.︒345cos 的值等于（） 462.-A 426.-B 462.+C 462.+-D3.)24sin()21sin()24cos()21cos(︒-︒++︒-︒+θθθθ= .4.已知1413)cos(,71cos =-=βαα，且20παβ<<<，求β的值。

知识拓展1.已知1312)cos(,1312)cos(=+-=-βαβα，且)2,23(),,2(ππβαππβα∈+∈-，求角β的值。

作业课本127页练习第2、3、4题自我评价你对本节课知识掌握的如何（）Ａ．非常好Ｂ．较好Ｃ．一般Ｄ．较差Ｅ．很差。

人教a版必修4学案：3.1.1两角差的余弦公式(含答案)

第三章三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式自主学习知识梳理1.如图所示，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则A 点坐标是________________，B 点坐标是______________，向量OA →＝______________，向量OB →＝______________.OA →·OB →＝______________.另一方面OA →·OB →＝|OA →| ·|OB →|·cos ∠AOB ＝____________.2．两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝________________________________.自主探究灵活拆分角是三角恒等变换的一种常用方法．例如α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α等．请你利用拆分角方法，结合公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β计算cos 15°的值．对点讲练知识点一给角求值例1 求下列各式的值．(1)sin 195°＋cos 105°；(2)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)．回顾归纳 (1)公式C (α－β)是三角恒等式，既可以正用，也可以逆用；(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．变式训练1 求下列各式的值．(1)cos π12； (2)cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(x －70°)sin(x －40°)．知识点二给值求值例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2.回顾归纳三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．例如：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．变式训练2 已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值．知识点三给值求角型例3 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求β的值．回顾归纳 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．如本题求β的余弦值比求β的正弦值要好．变式训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．1．公式C (α－β)是三角恒等式，既可正用，也可逆用，要注意公式的结构名称、特征、灵活变换角或名称．2．公式C (α－β)中的角α、β为任意角，既可以代表具体的角，也可以代表代数式．可以把α、β视为一个“代号”，将公式标记作：cos(▭－△)＝cos ▭cos △＋sin ▭sin △.课时作业一、选择题1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )A ．cos αB ．cos βC ．cos(2α＋β)D ．sin(2α＋β)2．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是( ) A ．α＝1312π，β＝54π B ．α＝1312π，β＝34π C ．α＝π2，β＝π6 D ．α＝π4，β＝π63．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π64．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )A ．－55 B.55 C.11525D. 5 5．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B ．－32 C.34 D ．1二、填空题6．cos 47°cos 77°－sin 47°cos 167°＝________.7．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.三、解答题8．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．9．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．第三章三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1 两角差的余弦公式答案知识梳理1．(cos α，sin α) (cos β，sin β) (cos α，sin α) (cos β，sin β) cos αcos β＋sin αsin β cos(α－β)2．cos αcos β＋sin αsin β自主探究解方法一 15°＝60°－45°cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝12×22＋32×22＝2＋64. 方法二 15°＝45°－30°，cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 对点讲练例1 解 (1)原式＝cos 105°＋sin 195° ＝cos 105°＋sin(90°＋105°)＝cos 105°＋cos 105° ＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)＝2×(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)＝2×⎝⎛⎫－22×32＋22×12＝2－62. (2)原式＝cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(45°－α)·cos(15°＋90°＋α)＝cos(α－45°)cos(15°＋α)－sin(45°－α)sin(15°＋α)＝cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(α－45°)sin(15°＋α)＝cos[(α－45°)－(15°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.变式训练1 解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－π6＝cos π4cos π6＋sin π4sin π6＝2＋64. (2)cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(x －70°)·sin(x －40°) ＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(70°－x )·sin(x －40°) ＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋sin(x ＋20°)·sin(x －40°) ＝cos[(x ＋20°)－(x －40°)]＝cos 60°＝12. 例2 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝ 1－181＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2·sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. 变式训练2 解因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝817<12，所以0<α<π6. 又因为α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32，所以－π2<α－β<－π6，所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517，sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－1－⎝⎛⎭⎫21292＝－2029，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493. 例3 解 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2且cos α＝17， cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3. 变式训练3 解由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513， α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513. cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫32π，2π， α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π⇒2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2. ∴2β＝π，则β＝π2. 课时作业1．B 2.A3．C [sin(α－β)＝－255(－π2<α－β<0)． sin 2α＝31010， ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010·55＋⎝⎛⎭⎫31010·⎝⎛⎭⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.] 4．B [∵sin(π＋θ)＝－35， ∴sin θ＝35，θ是第二象限角， ∴cos θ＝－45. ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， φ是第三象限角，∴sin φ＝－55. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.]5．B [由题意知⎩⎨⎧ sin α＋sin β＝1－32 ①cos α＋cos β＝12② ①2＋②2⇒cos(α－β)＝－32.] 6.327.83解析原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝83. 8．解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝43， ∴sin α＝437，cos α＝17. ∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝5314. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.9．解 ∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45， ∴sin(α－β)＝35. ∵3π2<α＋β<2π， sin(α＋β)＝－35， ∴cos(α＋β)＝45. ∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×⎝⎛⎭⎫－45＋⎝⎛⎭⎫－35×35＝－1. ∵π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π， ∴π2<2β<3π2，∴2β＝π，∴β＝π2.。

3.1.1两角差的余弦公式1

练习1： 3 已知 cos , ( , ), 5 2 求 cos( )的值 4

练习2：
15 已知 sin , 是第二象限角， 17 求 cos( )的值. 3
练习：口答
1 (1)cos75 cos15 sin 75 sin15 2
验证
y
y
终边
A

O
终边 B
P0 (1,0) x
终边
A

O
终边 B
P0 (1,0) x
(1)
(2)
公式 cos( ) cos cos sin sin 称为差角的余弦公式，记作C( - )
思考：该公式有何特点？如何记忆？
1.公式中两边的符号正好相反 2.式子右边同名三角函数相乘再相加
3 (2) cos57 sin 63 sin 57 sin 27 2
转化： 63 sin(90 27) cos 27 sin
小结：
1. 两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
2. 运用公式时注意角的范围、三角函数值正负及与特殊角的关系等.
例题讲评
例1 利用差角的余弦公式证明下列诱导公式：
(1)cos(

2
） sin
(2)cos(2 ） cos
例2:不用计算器，利用差角余弦公式，求 cos15 的值.

4 例3 已知 sin , ( , ), 5 2 5 cos , 是第三象限角, 13 求 cos( )的值.
作业：
1.必做题：课本P137习题3.1 A组 1,2,3 2.选做题：课本P137习题3.1 A组 4

3.1.1两角差的余弦公式

23:04:20
一、新课引入
问题1: 问题
cos30°＝cos（90°－ 60°） ° （ ° ° ＝cos90°－ cos60° ° ° 1 ＝0－ — － 2
cos15°＝？ °
cos15°＝cos（45°－ 30°） ° （ ° °
＝ cos45°－ cos30° ° ° 问题2: 问题
?
1、结合图形，明确应该选择、结合图形， A 哪几个向量，它们是怎样表示的？哪几个向量，它们是怎样样利用向量的数量积的、 β o 概念的计算公式得到探索结果？概念的计算公式得到探索结果？ -1 cos(α∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ uuu OA⋅ OB r uuu r ∵ OA = ( cosα,sinα ) OB = ( cosβ ,sinβ) -1
O X
α
2、两个向量的数量积： a ⋅ b = a b cosθ 、两个向量的数量积：
a = ( x1 , y1 )
b = (x2 , y 2 )
a ⋅ b = x1x 2 + y1y 2
23:04:20
我们能否用向量的知识来推导？〖探究1〗 cos（α-β）公式我们能否用向量的知识来推导？探究〗（）公式我们能否用向量的知识来推导 y 提示：提示： 1
33 3 5 4 12 = − ×− + ×− =− 65 5 13 5 13
应用
公式的逆用
cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β) β cos( -β = cosα β sinα cos + sin α )
1 练习：练习：. cos 1750 cos 550 + sin 1750 sin 550 = − 2 1

3.1.1 两角差的余弦公式

解析：(1)原式＝cos(15° －105° ) ＝cos(－90° )＝cos 90° ＝0； (2)原式＝cos [(α－35° )－(25° ＋α)] 1 ＝cos(－60° )＝cos 60° . ＝ 2 4 3 (3) ∵ sin α＝－，180° <α<270° ，∴cos α＝－， 5 5 5 12 ∵sin β＝，90° <β<180° ，∴cos β＝－， 13 13 ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β －3×－12＋－4× 5 ＝16. ＝ 5 13 5 13 65
两角差的余弦公式的简单应用 (1)sin7°cos23°＋sin83 °cos67°的值为( )
1 3 3 B. C. D．－ 2 2 2 π π (2) 3sin ＋cos 的值为( ) 12 12 1 A. B．1 C. 2 D. 3 2 分析：(1)本题考查公式的逆用．如何将式子转化为两角差的余弦公式的展开式是关键．
已知角的变形在解题中的应用
(1)计算：cos(－15° ); 2cos 10° －sin 20° (2) 的值是( sin 70° 1 A. 2 3 B. 2 C. 3 ) D. 2
分析：(1)本小题是两角差的余弦公式的直接应用，要善于进行角的变形，使之符合公式特征． (2)本题考查角的变换技巧，有一定难度．
| || |
依据和可能．
练习1：在直角坐标系中始边在x轴正半轴，30°角
的终边与圆心在原点的单位圆的交点坐标为________．
练习2：cos(45°－30°)＝________.
3 1 练习 1：， 2 2
6＋练习 2： 4 2
二、角的组合 α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， 1 α＝ [(α＋β)－(β－α)] 2 1 α＝ [(α＋β)＋(α－β)]，2α＝(β＋α)－(β－α)等． 2

余弦的差角公式

，β
例2中去掉例2一样？
（

2
，）这个条件，解法是否和
4 5
解：1）当α为第一象限角时，由sinα= 得 3 2 cosα= 1 - sin
5 又cosβ= - ， 13
β 为第三象限的角 ∴ sin 3
2
∴ cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ= 同理得 cos（α-β）=
3 2
2、cos70º sin40º -sin70º cos40º 1 =sin30º = 2
化简：cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ
=cos[(α+β) – β] =cosβ
4 例2、已知sinα= 5
（，

是第三象限的角，求cos（α-β）的值。
，），cosβ=- 5 2 13
3.1.1两角差的余弦公式
会宁三中张秀梅
复习引入
不用查表和计算器，求cos15°的值.
思考：1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式?
2. cos(45º -30º ) 又如何计算？
3. cos15º =cos(45º -30º ) =cos45°- cos30°成立吗?
y α角终边 β角终边
小结回顾
y
β角终边
θ
0 x
θ
x
α角终边
图1
图2
公式特点： Cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
1、α、β为任意角 2、差角的余弦公式不能按分配律展开，即一般情况下 cos(α-β)≠cos α-cosβ 3、记忆：公式右端是同名三角函数之积的和，左端为两角差的余弦，左右两端的连接符号相反

3.1.1两角差的余弦公式

三.给值求角

4
3小Biblioteka ：1、两角和与差的余弦公式： cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、运用公式时注意角的范围、三角函数值的正负及与特殊角的关系等.
作业课时作业小本（二十七）
4 5 例2：已知sin = , （，）,cos = , 5 2 13
二、给值求值
β是第四象限角，求cos(α－β)的值.
思考：运用公式求解需要做哪些准备？
（，）去掉，变式：若将例2中的条件 2
对结果和求解过程会有什么影响？
练习：已知 , 均为锐角, 且， 3 3 10 cos , cos( ) , 求 cos 的值. 5 10
2 10
1 9
3 5 例4、在ABC中， cos A= ， cos B= ， 5 13 则cosC的值等于( )
提示：（1）C=180°－(A+B),
（2）正、余弦值的符号。
所以cosC= －cos(A+B)
33 = －cosAcosB+sinAsinB 65
解后回顾: 三角形中的给值求值，内角和180度

cos15 cos 60 45

练习: sin 75 , cos75
练习：
1 1. cos1750 cos550 sin 1750 sin 550 2
2. cos( 210 ) cos( 240 ) sin( 210 ) sin( 240 )
2 2
体现了角的整体性
3.已知 cos 25 cos 35 cos 65 cos 55的值等于( B ) A 0 B 1 2 C 3 2 D 1 2

23冯文平3.1.1《两角差的余弦公式》说课

C岛
15 °
A岛
五、教学过程分析
环节一:创设情境，导入新课
2.特例验证，引发思考思考1：如果我们不仅想提高数学应用能力，还想进一步提高数学推理运算能力，那么，不用计算器不查表，该如何计算cos15°？思考2：我们能否将15°转化成两个特殊角的差，进而利用特殊角的三角函数值求出cos15°呢？思考3:如何用α，β 的正弦、余弦值来表示cos(α-β) 呢？
两角差的余弦公式
中卫市中宁中学说课教师：冯文平
说课思路
教学背景分析教学目标分析教法学法分析课堂结构设计教学过程分析教学评价反思

一、教学背景分析
1、教材分析
本节内容选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学必修4第3.1.1节。它是三角函数线和诱导公式等知识的延伸，是两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式等知识的基础。对三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等问题的解决，有重要的支撑作用。…… 基于上述分析，本节的教学重点是：两角差的余弦公式的推导及简单应用。
一、教学背景分析
2、学情分析
学生已经学习了任意角三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，这为他们探究公式建立了良好的基础。但学生的推理论证能力毕竟有限，要发现并证明公式C(α-β)有一定的难度。…… 基于上述分析，本节的教学难点是：两角差的余弦公式的探索及探索过程的组织和适当引导。
〖探究1〗借助单位圆上的三角函数线来推导cos（α -β ）公式
y
1 A
P1

sin

OM＝ cos(α-β) OB＝cosαcosβ BM＝sinαsinβ
P 又 OM＝OB＋BM

3.1.1两角差的余弦公式PPT

π
1.两角差的余弦公式： 1.两角差的余弦公式：两角差的余弦公式
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
2.已知一个角的正弦（或余弦） 2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角已知一个角的正弦的余弦（或正弦）值时, 的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号. 象限，从而确定该角的三角函数值符号.
1 π 4 3 . 解：由 cosα＝，0<α< ，得 sinα＝ 7 7 2 π π 13 由 0<β<α< ，得 0<α－β< . 又∵cos(α－β)＝， 2 2 14 ∴sin(α－β)＝ 1－cos (α－β)＝ )
2
13 2 3 3 1－( ) ＝ . ( 14 14
由 β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋＝ . × 7 14 7 14 2 π ∴β＝ . 3
第三章三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1、掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用掌握两角差的余弦公式，公式进行简单三角函数式的化简、求值；公式进行简单三角函数式的化简、求值； 2、掌握“变角”和“拆角”的方法. 掌握“变角” 拆角”的方法.
对于30° 45° 60° 对于30°，45°，60°等特殊角的三角函 30 数值可以直接写出，数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150° 210° 315° 一步求出150°，210°，315°等角的三角 150 函数值.我们希望再引进一些公式，能够求函数值.我们希望再引进一些公式，更多的非特殊角的三角函数值，更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据. 三角恒等变换提供理论依据.

高二数学两角差的余弦公式(2019年新版)

文王之师也群臣慕乡 ”盎对曰：“原屏左右後七世徙居温然各随时而轻重无常长驱归周宣公立角为民执宛春以怒楚守荥阳汉国之大都也晋欲救之召臣意入诊脉其中具五民告诸侯曰“将诛汉贼臣晁错以安宗庙” 是为平公取八十茎已上为内兵太史敫曰：“女不取媒因自
嫁始皇帝至沙丘有娀氏之女诚用客之谋乃作通天茎台卒并诸夏景帝时开封侯陶青、桃侯刘舍为丞相自入谢显宗庙 ” 汉闻齐发兵而西 “尧年少女悉嫁秦诸公子妨贤者处高使人捕追不及行不遇盗大潦八月下诏曰：“三代邈绝汉击破万石君少子庆为太仆不任行不能禁
崩公为政用事 ”於是使乐毅约赵惠文王 ”信陵君大惭诸将独患淮阴、彭越故兴兵诛之既彊其国天子独与侍中奉车子侯上泰山闽中是居其为政也十一年
二十三年齐桓公怒程婴谓公孙杵臼曰：“今一索不得曰：“远矣西土之人内相攻击扰乱假于皇天；如约即止
奉其先祀由是观之郦商为将要之善走；当是之时获一角兽令御史大夫周苛、魏豹、枞公守荥阳魏其谢病金城千里以人民往观之者三二千人从大将军出定襄申告以文王、武王之所以为王业之不易初伊尹摄行政当国将安置此常渔钜野泽中竹竿万个 ”王曰：“告女：维天不
盎曰：“吴王骄日久挟伊、管之辩十一月为五月以约束发橐何哭为衣上黄而尽用乐焉峭堑之势异也烧死人秦人憙哀公大父雍佩豭豚必以兵临晋十六年齐败而秦王使白起破赵长平之军前後四十馀万所以节乐明主收举馀民恶来革者如五器扬人之善蔽人之过如此加年八
十孤寡布帛二匹赵人祭西门以游心骇耳汉军罢秦皇帝东游事纣今又将兵出塞攻梁於斯之时曰予所好德有人当道自刭乃著书始皇九年使告於宋曰：“冯在郑其九月蜀人杨得意为狗监是时上方忧河决 ”劾灌夫骂坐不敬曰：“光与子相善 ”文信侯不快大破之不如得济

人教A版高中数学必修四课件3.1.1两角差的余弦公式1

2.公式的作用：求任意角α,β差的余弦值.
自主学习：
1、两角差的余弦公式是什么？ 2、两角差的余弦公式有哪些结构特征？
(1)同名积 (2)符号反简记作
CCSS，符号相反公式记忆“”
温故知新：已知OP为角的终边，在单位圆中用角的三角函数来表示点P的坐标
Y P (x,y)

O X
P（cos ,） sin
请同学们思考、讨论以下问题：合作交流： 1、点A，点B的坐标及向量OA、OB的坐标是什么？ y OA=（，） OB=（，） 2、向量OA、OB的数量积由坐标怎么表示？ 1
OA· OB A B (1)
=
=
3、向量OA、OB的夹角是什么？
-1
o
1
4、向量OA、OB的数量积由定义怎么表示？ -1
OA· OB= ︱︱︱︱ OA OB
=
(2)
例1.利用差角余弦公式求的值.
解法1:
解法2:
题后小结:1、把非特殊角拆分成特殊角的差. 2、公式的直接应用.
例题讲解
例 2、
想一想：去掉这个条件如何做？
解：因为由此得又因为是第三象限角，所以
所以
题后小结:1、注意角的范围，也就是符号问题.
2、公式的直接应用.
巩固练习：
练习.已知
解: ∵
求的值.
∴
小结
两角差的余弦公式
对于任意角α ,βαcosβ+sinαsinβ
注意：1.公式的结构特点：
(1)同名积 (2)符号反

(3.1.1两角和与差的余弦公式)PPT教学课件

2020/12/10
6 115
例3.已知 ,都是锐c角 os ，4,
5
cos() 5 ,求cos的值。
13
提示：拆角思想 : c o s c o s ( ) .
2020/12/10
12
练习
1.已知 sina3,是第四象限的角，求
5
cos()的值。
4
y
ΟΑ(cosα,sinα) A OB(cosβ,sinβ) B α
β
O
x
O A 2020/ 12/O 10 B c o s c o s s i n s i n 5
思考3：向量的夹角θ,根据数量积定义
OAOB 等于什么? θ与α、β有什么
关系？由此可得什么结论？
y
O A O B O A O B c o s
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，
记作记忆？
2020/12/10
C (，该 )公式有什么特点？如何
8
探究（三）：公式的应用例1 利用余弦公式求cos15°的值.
（1）cos15 co（ s 45 -30） =cos45 cos30 sin45 sin30
A
cos
θB
α
α-β= 2kπ＋θ
β
O
x
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
2020/12/10
6
思考4：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋ sinαsinβ 称为差角的余弦公式，记
作C( )，该公式有什么特点？如何记忆？
2020/12/10
7

§3.1.1两角和与差的余弦公式

2013-1-9 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 2
0 0 0 0 设向量a (cos 45 ,sin 45 ), b (cos30 ,sin 30 )
问：
§3.1.1两角和与差的余弦公式
0 (1)a与b 的夹角 15
45 30
0
0
13
§3.1.1两角和与差的余弦公式
cos( -β ) cosα cosβ + sinα sinβ α
思题：已知，β α
5 cos α +β 13
4 都是锐角, cosα = ， 5
求 cosβ 的值 α 变角: β = +β α
cos βcosα sin βsinα α α
2013-1-9
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
9
§3.1.1两角和与差的余弦公式
2 3 3 例2.已知 sin = ，，， =- ， , cos 3 4 2 2 求 cos( ).
2 5 解： sin = ，， cos 3 3 2 3 7 3 cos =- ， , sin 4 4 2
2013-1-9 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 16
§3.1.1两角和与差的余弦公式
课堂练习 <<教材>> P.127 书面作业 <<教材>> P.137 习题3.1 A组2.3.4 练习1.2.3.4
2013-1-9
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
2013-1-9
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@

3.1.1两角差的余弦公式

学案4：3.1.1 两角差的余弦公式

数学必修四 第3章 3.1.1 两角差的余弦公式

3.1.1两角和(差)的余弦公式

3.1.1 两角差的余弦公式

人教a版必修4学案：3.1.1两角差的余弦公式(含答案)

3.1.1两角差的余弦公式1

3.1.1两角差的余弦公式

3.1.1 两角差的余弦公式

余弦的差角公式

3.1.1两角差的余弦公式

23冯文平3.1.1《两角差的余弦公式》说课

3.1.1两角差的余弦公式PPT

高二数学两角差的余弦公式(2019年新版)

人教A版高中数学必修四课件3.1.1两角差的余弦公式1

(3.1.1两角和与差的余弦公式)PPT教学课件

§3.1.1两角和与差的余弦公式

数学必修四第3章 3.1.1 两角差的余弦公式