高三数学下学期第五次适应性考试试题 理
四川省成都市2024届高三下学期5月高考适应性考试(一)理科数学试题含答案
成都高2024届高考适应性考试（一）理科数学（答案在最后）（全卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,1,20A B xax =-=+=∣，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为（）A.{}2-B.{}2 C.{}2,2- D.{}2,0,2-2.复数2i1ia z -+=-在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数a 的值为（）A.1B.2C.-1D.-23.已知,a b 为实数，则使得“0a b >>”成立的一个必要不充分条件为（）A.11a b> B.()()ln 1ln 1a b +>+C.330a b >>>4.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（）A.33B.34C.35D.365.函数()()1ln 1f x x x =+-的大致图象是（）A. B.C. D.6.在区间[]2,4-上随机地取一个数x ，使2sin x x 恒成立的概率是（）A.13B.12C.23D.347.设抛物线24y x =的焦点为F ，过抛物线上一点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠= ，则PQ =（）A.23B.233C.438.变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩则目标函数3z x y =+-的取值范围是（）A.3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]1,69.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为()0146V h S S S =+'+，其中,S S '分别是上､下底面的面积，0S 是中截面的面积，h 为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米､宽10米，堆高1米，上底面的长､宽比下底面的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）A.51车B.52车C.54车D.56车10.设锐角ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,2c B C ==，则a b +的取值范围为（）A.()2,10 B.()2+ C.(24++ D.()4+11.已知菱形ABCD 中，π3A =，现将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，当AC =时，三棱锥A BCD -的体积为92，则此时三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A.28πB.7πC.3D.40π12.在同一平面直角坐标系中，,M N 分别是函数()f x =()()e ln xg x ax ax =-图象上的动点，对任意0,a MN >的最小值为（）A.2B.12-1 D.1+第II 卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为__________.14.若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线π6x =-对称，则a =__________.15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为左支上一点，12122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为I ，直线PI 与x 轴交于点Q ，若双曲线的离心率为54，则PI IQ=__________.16.已知数列{}n a 满足1ln 1n n a a +=+，函数()ln 1xf x x =+在0x x =处取得最大值，若()420ln 1a a x =+，则12a a +=__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，4,5,3PA BC AC PB AB =====，异面直线PA 与BC 所成角为60 ，点,M N 分别是线段,PA BC 的中点.（1）求线段PC 的长度；（2）求直线PC 与平面BMN 所成角的余弦值.18.（本小题满分12分）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是12.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权.（1）求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率；（2）已知5个问题回答完后乙获胜，设在前三个问题中乙回答问题的个数为X ，求X 的分布列和期望.19.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足121,1a a ==，当3n 时，122,,21,.n n n n a a n a a n ---+⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）求4a 和6a ，并证明当n 为偶数时{}1n a +是等比数列；（2）求13529a a a a ++++ .20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(1)E x py p =>的焦点为F ，过点()1,1P -作抛物线E 的两条切线，切点分别为,,5M N FM FN +=.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点P 作两条倾斜角互补的直线12,l l ，直线1l 交抛物线E 于,A B 两点，直线2l 交抛物线E 于,C D 两点，连接,,,AD BC AC BD .①设,,AC AB BD 的斜率分别为,,AC AB BD k k k ，问：AC AB BD AB k k k k +是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由；②设DBC DAC ∠λ∠=，求λ的值.21.（本小题满分12分）设()()21e sin 3xf x a x =-+-.（1）当a =时，求函数()f x 的零点个数；（2）函数()()2sin 22h x f x x x ax =--++，若对任意0x ，恒有()0h x >，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线22:1C mx ny +=的渐近线方程为(),3,0y x D =±-，直线l 过点()1,0B ，且倾斜角为60 .以点D 为极点，以从点D 出发与x 轴正方向同方向的射线为极轴，建立极坐标系，点5π6,3A ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线C 上.（1）写出曲线C 在第二象限的一个参数方程和直线l 的极坐标方程；（2）曲线C 与直线l 相交于点,M N ，线段MN 的中点为Q ，求DBQ 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设()22123f x x x =---.（1）解不等式：()4f x >-；（2）设()f x 的最大值为M ，已知正数a 和b 满足a b M +=，令2222a bZ a b b a=+++，求Z 的最小值.答案及解析1.【答案】D 【解析】当B =∅时，0a =；当B ≠∅时，2a =±.故选D.2.【答案】D【解析】因为()()()()()2i 1i 22i2i 1i 1i 1i 2a a a a z -++--+--+===--+在复平面上对应的点位于虚轴上，所以20,20,a a --=⎧⎨-≠⎩即2a =-.故选D.3.【答案】B【解析】对于A ，若11a b >，则不能推出0a b >>；若0a b >>，则必定有11a b<，所以既不是充分条件也不是必要条件，故A 错误.对于B ，若()()ln 1ln 1a b +>+，则根据对数函数的单调性可知1101a b a b +>+>⇒>>-，但不能推出0a b >>，但是01a b a b >>⇒>>-，故B 正确.对于C ，因为330a b >>等价于0a b >>，所以是充分必要条件，故C 错误.对于D>，则必有10a b >> ，所以是充分不必要条件，故D 错误.故选B.4.【答案】B【解析】据条件可得，符号为“”表示的二进制数为100010，则其表示的十进制数是01234502120202021234⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选B.5.【答案】B 【解析】因为()()1ln 1f x x x =+-，所以113ln 0222f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，故排除C ，D ；当2x >时，()()()1ln 10f x x x =+->恒成立，排除A.故选B.6.【答案】A 【解析】设函数()2sin f x x x =-，则()2cos 0f x x =->'，所以()f x 为递增函数，且()0f =0，所以当0x >时，()()00f x f >=；当0x 时，()()00f x f = ，所以不等式2sin x x 的解集为(],0∞-.又因为[]2,4x ∈-，所以不等式2sin x x 的解集为[]2,0-.由长度比的几何概型的概率计算可得，使2sin x x 恒成立的概率是()()021423P --==--.故选A.7.【答案】C 【解析】由题易知，PF 的倾斜角为120 ，从而2411cos120312p PQ PF ====-+ .故选C.8.【答案】B 【解析】不等式组22,24,41x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示，三个交点的坐标分别为()()10,1,,3,2,02⎛⎫⎪⎝⎭，目标函数33z x y x y =+-=-+，即3y x z =+-，当目标函数过点()2,0时z 取得最大值为5，过点1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭时z 取得最小值为12，所以目标函数3z x y =+-的取值范围是1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选B.9.【答案】B 【解析】由条件可知，上底面长18米､宽8米，中截面长19米､宽9米，则上底面面积188144S =⨯=（平方米），中截面面积0199171S =⨯=（平方米），下底面面积2010200S =⨯='（平方米），所以这堆建筑材料的体积()15141144417120063V =⨯⨯+⨯+=（立方米），所以这堆建筑材料约重5141.52573⨯=（吨），需要的卡车次为257551.4÷=，所以至少需要运52车.故选B.10.【答案】C【解析】在ABC 中，由2,ππ3,2B C A B C C c ==--=-=及正弦定理，得()()22sin3sin224cos 2cos 1sin C C a b C C C++==+-.又ABC 为锐角三角形，所以ππ0,022B A <<<<，即ππ02,0π322C C <<<-<，所以ππ64C <<，则(24a b +∈++.故选C.11.【答案】A 【解析】如图1，连接AC 交BD 于点E ，不妨设菱形ABCD 的边长为a ，则32AE CE a ==.将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，如图2所示，12,O O 分别为正,ABD CBD 的中心，过点12,O O 分别作平面ABD 和平面CBD 的垂线交于点O ，则121233,63O E O E a AO CO ====.在等腰AEC 中，,2AE CE a AC ===BD ⊥平面AEC ，则11193322A BCDAEC V S BD a -=⋅=⨯⨯= ，所以429360a a --=，即212a =（23a =-舍去），得a =.在AEC 中，由余弦定理，得2π3AEC ∠=，则在直角1OO E 中，1π6O OE ∠=，所以11OO E ==设三棱锥A BCD -外接球的半径为R ，则222117R OO AO =+=，故外接球的表面积为24π28πR =.故选A.12.【答案】B【解析】令()y f x ==，整理得()22(2)10x y y -+= ，即点M 在圆心为()2,0，半径为1的半圆上.()()()ln e1ln 11x ax g x x ax x x +⎡⎤=-+++++⎣⎦ ，当且仅当()ln 0x ax +=时等号成立，所以曲线()g x 的一条切线为1y x =+.通过数形结合可知，当,M N 分别为对应切点，且.MN 与两切线垂直时，MN 取得最小值，即MN 的最小值为圆心()2,0到直线1y x =+的距离减去半径，即MN112=-.过圆心()2,0与1y x =+垂直的直线方程为2y x =-+，与直线1y x =+平行的函数()f x的切线方程为2y x =-+.设()(),,,M M N N M x y N x y，所以当且仅当()2,2ln 021,M M M MN N N N N N y x y x x ax y x y x ⎧⎪⎪=-+⎪⎪=-+⎨⎪+=⎪⎪=-+⎪=+⎩即121,22,32,,2,22eN M N M x x y y a -⎧⎧=⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩时，MN 取到最小值.综上所述，12MN - .故选B.13.【答案】-160【解析】二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66621661C (2)2C (1)(06kk k k kk k k T x x k x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭且)k ∈N .令620k -=，解得3k =，故常数项为333462C (1)T =⨯⨯-=-160.14.【答案】3-【解析】因为()()sin cos f x a x x x ϕ=+=+的周期2πT =且直线π6x =-为对称轴，所以点π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的对称中心，所以π310322f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得3a =-.15.【答案】2【解析】设PI IQλ=，则1212PF PF F QF Q λ==，所以1122PF F Q PF F Q λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又因为21122,2,PF PF a F Q F Q c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩所以12,.PF c a PF c a λλ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩在12PF F 中，由余弦定理，得2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F ∠=+-⋅⋅，即()2221()()(2)222c a c a c c a c λλλ⎛⎫+=-+--⋅⋅-⎪⎝⎭，所以()()24242e e λλ+=+，即()212e λλ+=+.又因为54e =，所以2λ=.16.【答案】-2【解析】因为()21ln (1)x x x f x x '+-=+，所以令()11ln 1ln x u x x x x x +=-=+-，则()u x 在()0,∞+上单调递减，且()()22312ln20,e 102eu u =->=-<.由零点存在定理可知，存在唯一的()202,e x ∈，使得()00u x =，即0001ln x x x +=，即()0000ln 11x f x x x ==+①，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减.由1ln 1n n a a +=+，得433221ln 1,ln 1,ln 1a a a a a a =+=+=+.又()420ln 1a a x =+，得()323043ln 11ln 1a a f a x a a +===+②.由①②可知，()()0301f x f a x ==，则30a x =，所以2301ln ln a a x +==，即2001ln 1a x x =-=，所以1201ln ln a a x +==-，所以()()2111a a +++=0，即122a a +=-.17.解：（1）如图1，过点A 作AD BC ∥，连接,PD CD .因为AD ∥BC ，异面直线PA 与BC 所成角为60 ，所以60PAD ∠= .又因为4AD BC PA ===，所以PAD 为正三角形，所以4PD =.因为在ABC 中，222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以AB AD ⊥.因为在ABP 中，222AB AP BP +=，所以AB AP ⊥.又因为,,AD AP A AD AP ⋂=⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD .因为AD BC ∥，所以四边形ABCD 为平行四边形，所以3,CD AB AB ==∥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥，所以222222435PC PD CD =+=+=，所以5PC =.（2）如图2，将三棱锥P ABC -补形到长方体中，以点A 为坐标原点，,AB AD 所在直线为,x y 轴，以过点A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(()()(0,2,,3,0,0,3,4,0,P B C M ，所以(()(,0,4,0,3,2,BM BC PC =-==-.连接MC ，则平面BMN 即为平面BMC .设平面BMC 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n BM n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得30,40,x y y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩取z =1,0x y ==，所以(n =.设直线PC 与平面BMN 所成角为θ，易得θ为锐角，所以3sin cos ,10PC n PC n PC n θ⋅=== ，所以直线PC 与平面BMN所成角的余弦值为10=.18.解：（1）设“甲回答问题且得分”为事件A ，“甲回答问题但对方得分”为事件A ，“乙回答问题且得分”为事件B ，“乙回答问题但对方得分”为事件B .记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件C ，则()()()()11178163232P C P AAA P AAAB P AAABB =++=++=，即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为732.（2）X 的所有可能取值为0,1,2.已知5个问题回答完后乙获胜，则由（1）可知，这5个问题回答的情况有六种：,,,,,AAABB AABBA AABAB ABBAA ABAAB ABABA ，其中()()()111,,323232P AAABB P AABBA P AABAB ===，()()()111,,323232P ABBAA P ABAAB P ABABA ===，所以()()()11646212163260,1,2661636323232P X P X P X =========，所以X 的分布列为：X012P 162316则()1210121636E X =⨯+⨯+⨯=.19.解：（1）由已知，得4264213,217a a a a =+==+=.当3n 且n 为偶数时，221n n a a -=+，即()2121n n a a -+=+.又212a +=，所以当n 为偶数时，数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可知，当n 为偶数时，12122n n a -+=⋅，即221nn a =-.当n 为奇数时，设()*21n k k =+∈N，则21221k k k a a a +-=+2121k k a -=-+222321k k k a a --=-++1232121k k k a --=-+-+=111212121k k a -=-+-++-+ ()121212kk a ⋅-=-+-121k k +=--所以当n 为奇数时，12122n n n a ++=-，所以()()()()1231513529212223215a a a a ++++=-+-+-++- ()()1521211515122⨯-+⨯=--162122.=-20.解：（1）设切点221212,,,22x x M x N x p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以M 为切点的切线方程为()21112x x y x x p p-=-.因为切线过点()1,1P -，所以211220x x p --=.同理，222220x x p --=，所以12122,2x x x x p +==-.又因为()2221212122522222x x x x x x p p FM FN p p p p +-+=+++=+=，所以2320p p -+=，即()()120p p --=.又因为1p >，所以2p =，所以抛物线E 的方程为24x y =.（2）①设直线1l 的方程为()11y k x +=-.联立直线1l 和抛物线E 的方程，得()21,4,y kx k x y ⎧=-+⎨=⎩所以()24410x kx k -++=.设()()()(),,,,,,,A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ，则4A B x x k +=.同理，4C D x x k +=-，所以C A D B AC BD C A D By y y y k k x x x x --+=+--22224444C A D B C A D Bx x x x x x x x --=+--44C AD B x x x x ++=+()()4A B C D x x x x +++=0=所以()0AC AB RD AB AC BD AB k k k k k k k +=+⋅=，所以AC AB BD AB k k k k +等于定值0.②由①可得，11A B PA PB x ⋅=-⋅-()1A B A B x x x =-++()141k k =+-+=同理，()141PC PD k k ⋅=-+++=，所以PA PB PC PD ⋅=⋅，所以点,,,A B C D 共圆，所以DBC DAC ∠∠=，所以1λ=.21.解：（1）当a =()()e sin 3,e cos x x f x x f x x =+-=+'.①当(),0x ∞∈-时，()[]e 0,1,sin 1,1x x ∈∈-，则()0f x <，所以()f x 在(),0∞-上无零点.②当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>，则()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增.又因为()πln 22π020,e 2e 202f f ⎛⎫=-<=->-= ⎪⎝⎭，所以()00π0,,02x f x ⎡⎤∃∈=⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有一个零点.③当π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()πln42e 13e 40f x >-->-=，所以()f x 在π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上无零点.综上所述，当a =()f x 在(),∞∞-+上只有一个零点.（2）对任意0x ，恒有()0h x >，即()221e 210x a x ax --+->恒成立，即22211ex x ax a -+<-恒成立，即()222110e x x ax a -+--<恒成立.设()()[)22211,0,e x x ax g x a x ∞-+=--∈+，则()()()()21212221e e x x x x a x a x a g x '⎡⎤---+-++--⎣⎦==.①当12a - 时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以只需()()2max 22()110e a g x g a -==--<，即()()e e 210,a a ++->解得()e 2,1,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭.又因为12a - ，所以e 2,e a ∞+⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.②当102a -<<时，()g x 在()0,21a +上单调递减，在()21,1a +上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以只需()()00,10.g g ⎧<⎪⎨<⎪⎩由()()()2222110,020e a g a g a -=--<=-<，解得)e 2,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭，这与102a -<<矛盾，舍去.③当0a =时，()g x 在()0,∞+上单调递减，所以只需()00g <，得22a >，这与0a =矛盾，舍去.④当0a >时，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,21a +上单调递增，在()21,a ∞++上单调递减，所以只需()()210,00.g a g ⎧+<⎪⎨<⎪⎩因为()()()()2222121(21)22112221110e e a a a a a a g a a a +++-++++=--=--<，且10a +>，所以2121e a a +->.又()2020,0g a a <=->，所以a >所以212110.4e a a +->->>，所以)a ∞∈+满足条件.综上所述，实数a的取值范围是)e 2,e ∞∞+⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.22.解：（1）设曲线C 的方程为221x y λλ-=.点5π6,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(0,-.将点A 的直角坐标代入曲线C的方程，得2201λλ-=，所以27λ=-，所以曲线C 的普通方程为2212727y x -=，所以曲线C在第二象限的一个参数方程为,33,cos x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩参数π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（参数方程不唯一）设在x 轴上方直线l 上任意一点E 的极坐标为(),ρθ，连接ED .在BED 中，4DB =，由正弦定理，得sin sin DB ED BED EBD∠∠=，即()()4sin 60sin 18060ρθ=-- ，所以()4sin60sin 60ρθ=-，所以()sin 60ρθ-= 经验证，在x 轴上及x 轴下方直线l 上的点也满足上式，所以直线l 的极坐标方程为()sin 60ρθ-=（2）设直线l的参数方程为11,22x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.联立直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程，得22560t t --=.设,BM BN 对应的参数为12,t t ，则1212t t +=.，所以1BQ =.在DBQ中，11sin 41sin12022DBQ S DB BQ DBQ ∠=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= .23.解：（1）因为()f x 是偶函数，所以只需针对0x 时()f x 的情况展开讨论.当[)0,1x ∈时，()()2221235f x x x x=---=-，此时不等式化为254x ->-，得21x >，舍去；当x ⎡∈⎣时，()()22212337f x x x x =---=-，此时不等式化为2374x ->-，，所以(;x ∈当)x ∞∈+时，()()2221235f x x x x =---=-+，此时不等式化为254x -+>-，得29x <，所以)x ∈.综上所述，所求不等式的解集为()()1,33,1⋃--.（2）由（1）可知，当[)0,1x ∈时，()f x 的值域为[)5,4--；当(),x f x ⎡∈⎣的值域为[)4,2-；当)(),x f x ∞∈+的值域为(],2∞-.因此，当x ∈R 时，()f x 的值域为(],2∞-，所以()f x 的最大值为2，则2a b +=，所以()()222233222221111()2222a b a b a b a b a b a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即22211()4222a b a b b a ++=⨯= ①，当且仅当1a b ==时等号成立.因为2a b =+ 1ab ，所以222()2422a b a b ab ab +=+-=- ，即222a b + ②，当且仅当1a b ==时等号成立.由①+②，得22224a b a b b a+++ ，当且仅当1a b ==时等号成立，所以Z 的最小值为4.。
皖豫联盟体2025届高三适应性调研考试数学试题含解析
皖豫联盟体2025届高三适应性调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cm +D ．()2454cm +2．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．74-D ．121-3．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．164814．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．1695．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．2B ．23 C ．23-D ．36．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ） A ．4πB ．38π C ．2π D ．58π 8．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度9．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.3510．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ） A ．1B 3C ．±1D ．311．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)12．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省赣州市2023-2024学年高三下学期5月适应性考试数学试题含答案
赣州市2024年高三年级适应性考试数学试卷2024年5月一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等差数列{}n a 中．2a ，5a 是方程280x x m -+=的两根，则{}n a 的前6项和为（）A ．48B ．24C ．12D ．82．已知甲、乙两组数据分别为：22，21，24，23，25，20和25，22，a ，26，23，24．若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2，则（）A ．甲、乙两组数据的极差不同B ．乙组数据的中位数为24C ．甲、乙两组数据的方差相同D ．甲组数据的第一四分位数为21.53．记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝1，()211a c c -=-，则A ＝（）A ．3πB ．23πC ．6πD ．56π4．已知直线()()():200l m n x m n y m mn ++--=≠．圆()()22:228C x y -+-=，则（）A ．l 过定点()1,1-B ．l 与C 一定相交C ．若l 平分C 的周长，则m ＝1D ．l 被C 截得的最短弦的长度为45．由0和1组成的序列称为0－1序列，序列中数的个数称为这个序列的长度，如01011是一个长度为5的0－1序列．在长度为8的0－1序列中．所有1互不相邻的序列个数为（）A ．20B ．54C ．55D ．2806．已知1F ，2F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，M 为C 左支上一点．设12MF F α∠=，21MF F β∠=，且sin22αβαβ+-=，则C 的离心率为（）A ．B ．3C ．2D 7．已知球O 内切于正四棱锥P －ABCD ，PA ＝AB ＝2，EF 是球O 的一条直径，点Q 为正四棱锥表面上的点，则QE QF ⋅的取值范围为（）A ．[]0,2B ．42⎡⎤-⎣⎦C ．0,4⎡⎣D ．0,4⎡-⎣8．已知函数()e 1kxf x =+，()11lng x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．若()()kf x g x ≥，则k 的取值范围为（）A ．(]0,eB ．[)e,+∞C ．1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知i 为虚数单位，C z ∈，则（）A ．202220232024ii i i++=-B ．()()22z zz z z z +-=-=C ．若1z =，则34i z -+的最大值为6D ．若22i +是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则q ＝810．已知函数()()cos cos cos 03322x x f x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．若()f x 相邻两条对称轴的距离为2π，则2ω=B ．当()f x 的最小正周期为2π，212x ππ-≤≤时，()1f x ≤≤C ．当2ω=时，()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到函数解析式为2cos 2y x=-D ．若()f x 在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，则1117ω≤<11．函数()f x 及其导函数()g x 的定义域均为R ，()1f x +和()21g x -都是奇函数，则（）A ．()g x 的图象关于直线1x =-对称B ．()f x 的图象关于点()1,0对称C ．()g x 是周期函数D ．()202412024i g i ==∑三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．若集合{A y y ==，{}2log 2B x x =≤，则()A B =R ð______．13．已知某正三棱柱外接球的体积为36π，则该正三棱柱体积的最大值为______．14．已知0y x >>，则42y xy x x y--+的最小值为______．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）《中国诗词大会》是中央广播电视总台联合中华人民共和国教育部、国家语言文字工作委员会共同推出的语言文化类节目，节目以诗词描绘中国精神，用诗意书写时代篇章，尽展中华民族历史之美、山河之美、文化之美．随着《中国诗词大会》的播出，赣州市某学校掀起了学习唐诗和宋词的热潮，该校团委组织了校内诗词大会，赛前准备了两组题，第一组题中含有2道唐诗和3道宋词，第二组题中含有6道唐诗和4道宋词．（1）先等可能地抽取一组题，再从这组题中抽出2道题，若抽出的两道题恰是1道唐诗和1道宋词，求这两道题出自第一组题的概率；（2）某同学从两组题中按照分层抽样共抽取3道题，记X 为抽到的是宋词的题数，求X 的分布列及数学期望．16．（15分）．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为正方形，底面ABC 为等边三角形．（1）证明：1A BC △为等腰三角形；（2）若11A C A B ⊥，求平面1A BC 与平面11A BC 夹角的正弦值．17．（15分）已知数列{}n a 满足114a =，n a ，+132n a ，12n n a a +成等差数列．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，证明：31518312nn S ⎡⎤⎛⎫-≤<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．18．（17分）如图，曲线1C 是以原点O 为中心，1F ，2F 为焦点的椭圆的一部分，曲线2C 是以O 为顶点，2F 为焦点的抛物线的一部分，()A 是1C 和2C 的交点，我们把1C 和2C 合成的曲线W 称为“月蚀圆”．（1）求1C 所在椭圆和2C 所在抛物线的标准方程；（2）过2F 作与y 轴不垂直的直线l ，l 与W 依次交于B ，C ，D ，E 四点，P ，Q 为2C 所在抛物线的准线上两点，M ，N 分别为CD ，BE 的中点．设1S ，2S ，3S ，4S 分别表示PCD △，2PMF △，QBE △，2QNF △的面积，求1423S S S S ．19．（17分）给出以下三个材料：①若函数()f x 的导数为()f x '，()f x '的导数叫做()f x 的二阶导数，记作()f x ''．类似地，二阶导数()f x ''的导数叫做()f x 的三阶导数，记作()()3f x ，三阶导数()()3f x 的导数叫做()f x 的四阶导数…，一般地，n －1阶导数的导数叫做()f x 的n 阶导数，即()()()()1n n fx f x -'⎡⎤=⎣⎦，4n ≥；②若*n ∈N ，定义()()!12321n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯ ；③若函数()f x 在包含0x 的某个开区间(),a b 上具有n 阶的导数，那么对于(),x a b ∀∈有()()()()()()()()()()()230000000001!2!3!!nnf x f x f x f xg x f x x x x x x x x x n ''''''=+-+-+-++- ，我们将()g x 称为函数()f x 在点0x x =处的n 阶泰勒展开式．例如，e x y =在点0x =处的n 阶泰勒展开式为21112!n x x x n ++++ ．根据以上三段材料，完成下面的题目：（1）若()1cos f x x =，()2sin f x x =在点0x =处的3阶泰勒展开式分别为()1g x ，()2g x ，求出()1g x ，()2g x ；（2）比较（1）中()1f x 与()1g x 的大小；（3）证明：e sin cos 22xx x x ++≥+．赣州市2024年高三年级适应性考试数学参考答案一、选择题题号1234567891011答案BCABBDACACDACDBC三、填空题12．(]2,413．2714．2314．解：442222222y x y x y y y y y x x y y x x y y x x y+--=-=+--+-+-+1222222222y y y x x y y x x y ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()12222223222y x x y y x x y ⎛⎫⎡⎤=-+++- ⎪⎣⎦-+⎝⎭2222282222223222333x y y x y x x y ⎛⎛⎫+-=++-≥+-=-= ⎪ -+⎝⎭⎝当且仅当222222x y y xy x x y+-=-+，即222x y y x +=-，即4y x =时等号成立．四、解答题15．解：（1）记“抽出的两道题恰是1道唐诗和1道宋词”为事件A ，“抽到第一组题”为事件1B ，“抽到第二组题”为事件2B 则()()1212P B P B ==，()1123125C C 3C 5P A B ==，()11642210C C 8C 15P A B ==()()()()()121211172230P A P B A P B A P B P B =+=+=由贝叶斯公式知，若抽出的两道题恰是1道唐诗和1道宋词且这两道题出自第一组题的概率为()()()()()()111113925171730P A B P B P B A P B A P A P A ⨯====（2）由题意得，抽取的3道题中有1道来自第一题组，2道来自第二题组，X 的可能值为0，1，2，3()1020236412510C C C C 21520C C 54515P X ==⨯=⨯=()01201011236423641212510510C C C C C C C C 315224311C C C C 54554575P X ==⨯+⨯=⨯+⨯=()10020111236423641212510510C C C C C C C C 26324282C C C C 54554575P X ==⨯+⨯=⨯+=()0102236412510C C C C 3623C C 54525P X ==⨯=⨯=所以X 的分布列为X 0123P21531752875225所以()23128231570123157575252255E X =⨯+⨯+⨯+⨯==16．解：（1）设BC ，11B C 的中点分别为O ，M ，连接OM ，AO ，1AO ，由于侧面11BB C C 为正方形，所以1BC BB ⊥，∵1OM BB ∥，∴BC OM⊥由于底面ABC 为等边三角形，所以BC AO ⊥又AO OM O = ，,AO MO AOM ⊂平面，所以BC AOM⊥平面由于1AA OM ∥，1AA OM =，故四边形1AOMA 为平行四边形，又1AO AOM ⊂平面，故1BC AO ⊥由于O 是BC 中点，所以11A B AC =，则1A BC △为等腰三角形（2）不妨设AB ＝2，则AO =CO ＝BO ＝1，又11A B AC =，且11AC A B ⊥，则11AO =则22211AO AO A A +=，从而12AOA π∠=，而1BC AO ⊥，BCAO ⊥，则1OA ，OA ，OB 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()10,0,1A ，)A，()0,1,0B ，()0,1,0C -，则()10,1,1A B =- ，()113,1,0C A CA ==设平面11A BC 的一个法向量为(),,n x y z =，则11130,0,C A n x y A B n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩取1x =，则()1,3,3n =-- 由于平面1A BC 的一个法向量为()3,0,0OA =，故17cos ,77n OA n OA n OA⋅===⋅设所求角为θ，7cos 7θ=，2742sin 177θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，故平面1A BC 与平面11A BC 的夹角的正弦值为42717．证明：（1）由于n a ，132n a +，12n n a a +成等差数列，所以1132n n n n a a a a ++=+即1132n n a a +=-，可得111131n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭表示是以1113a -=为首相，3为公比的等比数列所以111333n n n a --=⨯=，即131n n a =+（2）因为11313n n<+所以123122111333n n nS a a a a a =++++<++++1221111111151159314333412231213n n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++=+=-⋅<- 由于211131111113111834433313nnn -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=⋅=++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，且1114331n n -≤⋅+所以12301111114333n n n S a a a a -⎛⎫=++++≥+++ ⎪⎝⎭11113131148313n -⎡⎤⎛⎫=⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-（当n ＝1时等号成立）故31518312nn S ⎡⎤⎛⎫-≤<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦18．解：（1）由题知，设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，抛物线的标准方程为()220x py p =>由于曲线经过()A，所以(232p =⨯，解得p ＝4所以22:8C x y =，所以()20,2F ，所以(222231a b +=，且2c ==，解得236a =，232b =，所以221:13632y x C +=（2）由题意可知直线l 的斜率必存在且不为0，设:2l y kx =+，()11,B x y ，()22,C x y ，()33,D x y ，()44,E x y 联立222,1,3632y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2289322560k x kx ++-=可得14214232,8925689k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩联立22,8,y kx x y =+⎧⎨=⎩可得28160x kx --=，可得23238,16x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩记PCD △，2PMF △，QBE △，2QNF △的高分别为1h ，2h ，3h ，4h ，由于12h h =，34h h =，所以12421423222311221122CD h NF h CD NFS S S S MF BEMF h BE h ⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅1423231422x x x x x x x x +-⋅===+⋅-13===19．解：（1）∵()1sin f x x '=-，()1cos f x x ''=-，()()31sin f x x =∴()100f '=，()101f ''=-，()()3100f =，∴()()()()23210101cos 000011!2!3!2g x x x x x -=+-+-+-=-同理可得：()3216g x x x =-（2）由（1）知：()1cos f x x =，()21112g x x =-，令()()()2111cos 12h x f x g x x x =-=-+，则()sin h x x x '=-+，∴()1cos 0h x x ''=-≥，∴()h x '在R 上单调递增又()00h '=，∴()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，∴()()00h x h ≥=，即21cos 12x x ≥-故()()11f x g x ≥（3）令()()()3221sin 6x f x g x x x x ϕ=-=-+，则()21cos 12x x x ϕ'=-+由（2）知，()0x ϕ'≥，所以()x ϕ在R 上单调递增，又()00ϕ=，所以当0x <时，()()22f x g x <，31sin 6x x x <-；当0x =时，()()22f x g x =，31sin 6x x x =-；当0x >时，()()22f x g x >，31sin 6x x x >-∴e xy =在点0x =处的4阶泰勒展开式为：23411112624x x x x ++++，∴2342311111e 11262426x x x x x x x x =++++≥+++，当且仅当x ＝0时取等号①当0x ≥时，31sin 6x x x ≥-，当且仅当x ＝0时取等号，所以23321111e sin cos 11222662x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥++++-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②当0x <时，设()e sin cos 22xF x x x x =++--，()00F =，()e cos sin 2e 24x x F x x x x π⎛⎫'=+--=++- ⎪⎝⎭，()e sin cos x F x x x ''=--，若()1,0x ∈，由于31sin 6x x x <-，所以，()233111e sin cos 1cos 266x F x x x x x x x x x ''=-->++++--，()211cos 3206x x x =-++>，从而()()00F x F ''<=若(],1x ∈-∞-，()11e 22204e 2x F x x π⎛⎫'=++-<+<+< ⎪⎝⎭，所以，0x <时，()F x 单调递减，从而()()00F x F >=，即e sin cos 22x x x x ++>+．综上：e sin cos 22xx x x ++≥+．。
2024湖北省宜荆荆高三下学期5月高考适应性考试数学试题及答案
宜荆荆五月高考适应性考试数学试题本试卷共2页,共19题。
满分150分,考试用时120分钟。
注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后,用2 B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效.3.填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=3x上,则角α的取值集合是A.α| α=2kπ+π3,k∈ZB.α| α=2kπ+2π3,k∈ZC.α| α=kπ+2π3,k∈ZD.α| α=kπ+π3,k∈Z2.从一个容量为m(m≥3,m∈N)的总体中抽取一个容量为3的样本,当选取简单随机抽样方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的可能性是1,则选取分层随机抽样方法抽取样本时,总体5中每个个体被抽中的可能性是A.15B.14C.12D.133.复数z1,z2在复平面内分别对应点A,B,z1=3+4i,将点A绕原点O按顺时针方向旋转90∘得到点B,则z2=A.3−4iB.−4−3iD.−3−4i4.如果一个等差数列前10项的和为54,最后10项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有A.36项B.37项C.38项D.39项5.直线y=kx与圆(x−1)2+(y−1)2=1交于M.N两点,O为坐标原点,则OM⋅ON=A.11+k2B.k21+k2C.1D.26.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x>y>z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用（单位:元）是A.ax+by+czB.az+by+cxC.ay+bz+cxD.ay+bx+cz7.互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,现要摆成一排,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法A.24种B.36种C.42种D.48种8.设D=(x−a)2+(e x−2a)2+a+1,其中e≈2.71828,则D的最小值为22+13+1二、选择题:本题共3小题,每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.设U为全集,集合A、 B、C满足条件A∪B=A∪C,那么下列各式中不一定成立的是A.B⊆AB.C⊆AC.A∩(C v B)=A∩(C u C)D.(C U A)∩B=(C U A)∩C10.在△ABC中,A、B、C所对的边为a、b、c,设BC边上的中点为M,△ABC的面积为S,其中a =23,b2+c2=24,下列选项正确的是A.若A=π3,则S=33B.S的最大值为33C.AM=3D.角A的最小值为π311.对于正整数n,φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目.函数φ(n)以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,例如φ(9)=6(1,2,4,5,7,8与9互质),则A.若n为质数,则φ(n)=n−1B.数列{φ(n)}单调递增C.1D.数列{φ(3n)}为等比数列三、填空题:本题共3小题,每小题5分.共15分.12.若函数f(x)=ln(e2x−a)−x(x∈R)为偶函数,则a= .13.已知椭圆:x2a2+y25=1(a>5),M(3,6),若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点p1(x1,y1),p2(x2,y2),有MP1⋅MP2≥1恒成立,则实数a的取值范围是 .14.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线x24−y23=1,y=±32x,y=±4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V,则V= .四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)设{a n}是正数组成的数列,其前n项和为S n,已知a n与2的等差中项等于S n与2的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=+n∈N∗),求{b n}的前n项和.16.(本小题15分)如图,在三棱锥P−ABC中,侧面PAC⊥底面ABC,AC⊥BC,△PAC是边长为2的正三角形,BC= 4,E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为l.(1)证明:直线l⊥平面PAC;(2)设点Q在直线l上,直线PQ与平面AEF所成的角为α,异面直线PQ与EF所成的角为θ,求当AQ 为何值时α+θ=π2.17.(本小题15分)已知函数f(x)=e x−lnx−a,g(x)=e x−ln(x+a),,其中a为整数且a≥1.记x0为f(x)的极值点,若f(x)存在两个不同的零点x1,x2(x1<x2):(1)求a的最小值;(2)求证:g(ln x1)=g(ln x2)=0;18.(本小题17分)已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F,H为E上任意一点,且|HF|的最小值为1.(1)求抛物线E的方程;(2)已知P为平面上一动点,且过P能向E作两条切线,切点为,M,N,记直线PM,PN,PF的斜率分别为k1,k2,k3,且满足1k1+1k2=2k3.(1)求点P的轨迹方程;(2)试探究:是否存在一个圆心为Q (0,λ)(λ>0),半径为1的圆,使得过P 可以作圆Q 的两条切线l 1,l 2,切线l 1,l 2分别交抛物线E 于不同的两点A (s 1,t 1),B (s 2,t 2)和点C (s 3,t 3),D (s 4,t 4),且s 1s 2s 3s 4为定值?若存在,求圆Q 的方程,不存在,说明理由.19.(本小题17分)龙泉游泳馆为给顾客更好的体验,推出了A 和B 两个套餐服务,顾客可选择A 和B 两个套餐之一,并在App 平台上推出了优惠券活动,下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况.日期t 12345678910销售量y (千张) 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.70.4经计算可得:y =110∑10i =1y i =2.2,∑10i =1t i y i =118.73,∑10i =1t 2i =385.(1)因为优惠券购买火爆,App 平台在第10天时系统出现异常,导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少,已知销售量y 和日期t 呈线性关系,现剔除第10天数据,求y 关于t 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示);（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14,选择B 套餐的概率为34,并且A 套餐可以用一张优惠券,B 套餐可以用两张优惠券,记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为P n ,求P n ;(3)记(2)中所得概率P n 的值构成数列{P n }(n ∈N ∗).(1)求P n 的最值:(2)数列收敛的定义:已知数列{a n },若对于任意给定的正数ε,总存在正整数N 0,使得当n >N 0时,|a n −a |<ε,(a 是一个确定的实数),则称数列{a n }收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{P n }收敛.参考公式:。
安徽省合肥市部分学校2024届高三下学期高考适应性考试数学试题含答案
安徽省合肥市部分学校2024届高三下学期高考适应性考试数学试题考生注意：（答案在最后）1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4．本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24A x x ∈≤=N ∣，{}1,0,1,2,3B =-，则A B = （）A.{}1,2 B.{}0,1,2C.{}2,1,0,1,2,3-- D.{}1,0,1,2-【答案】B 【解析】【分析】解不等式可得集合A ，进而可得A B ⋂.【详解】{}{}240,1,2A x x ≤=∈=N∣,{}1,0,1,2,3B =-，所以{}0,1,2A B = ，故选：B ．2.已知(i 3)2z z -=+，则z =（）A.42i 99+ B.42i 99-C.42i99-+ D.42i99--【答案】D 【解析】【分析】设i(,)z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，根据题意，结合复数的乘法运算和相等复数建立方程组，解之即可求解.【详解】设i(,)z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，因为(i 3)2z z -=+，所以(i)(i 3)i 2a b a b +-=-+，即3a b --+(3)i 2i a b a b -=+-，所以323a b a a b b --=+⎧⎨-=-⎩，解得4929a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以42i 99z =--．故选：D ．3.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆，则该圆锥的体积为（）A.48π B.16πC. D.643π3【答案】D 【解析】【分析】设圆锥的底面半径，结合侧面展开图可知底面半径与高，进而可得体积.【详解】设圆锥的底面圆半径为r ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2π8πr =，解得4r =，又侧面展开图是半径为8的半圆，即圆锥的母线长为8，则圆锥的高h ==，所以该圆锥的体积为2211ππ4333V r h ==⨯⨯，故选：D ．4.为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从(70,64)N ，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（）参考数据：()0.6827,(22)0.9545,(3P X P X P X μσμσμσμσμσ-<<+≈-<<+≈-<<3)0.9973μσ+≈A.0.135% B.0.27%C.2.275%D.3.173%【答案】A 【解析】【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.【详解】依题意70,8,943μσμσ===+，所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为10.9973100%2-⨯=0.135%．故选：A ．5.某银行大额存款的年利率为3%，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（）（单位：万元，结果保留一位小数）A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9【答案】B 【解析】【分析】根据复利可知每年末本息和构成等比数列，利用等比数列通项公式及二项式定理求解即可.【详解】存入大额存款10万元，按照复利计算，每年末本利和是以10为首项，13%+为公比的等比数列，所以本利和811227788888810(13%)10C C 0.03C 0.03C 0.03C 12.7S ⎡⎤=+=+⨯+⨯++⨯+≈⎣⎦ ．故选：B ．6.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()01f =且()()24f x f x +-=，则()20240i f i ==∑（）A.4049B.2025C.4048D.2024【答案】A 【解析】【分析】根据函数的周期性与对称性可得解.【详解】由()()24f x f x +-=，令1x =，得()12f =，又令0x =得()23f =，再令=1x -，()()134f f -+=，又()()112f f -==，所以()32f =，又()()()()42424f x f x f x f x ++--=+++=，()()()()224f x f x f x f x -++=++=，所以()()4f x f x +=，4为()f x 的一个周期，()()401f f ==，即()()()()()()()202405061234150623214049i f i f f f f f =⎡⎤=+⨯+++=+⨯+++=⎣⎦∑，故选：A ．7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，圆222:O x y a +=与C 的渐近线在第二象限的交点为P，若tan FPO ∠=C 的离心率为（）A.2B.C.3D.【答案】C 【解析】【分析】由222b y x a x y a ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩解得2(,a abP c c -，根据三角函数的定义知sin ,cos b a POF POF c c ∠=∠=-，利用同角的三角函数关系求得3cos 3FPO ∠=，6sin 3FPO ∠=，由诱导公式、两角和的正弦公式和正弦定理计算可得ba=，结合离心率的概念即可求解.【详解】如图，由题意知，双曲线的渐近线方程为b y x a=-，则222b y x a x y a⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得4222222a x c a b x c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2(,)a abP c c -,由三角函数的定义知sin ,cos b aPOF POF c c∠=∠=-，又tan FPO ∠=FPO ∠为锐角，s in os FPO FPO ∠=∠，又22cos 1sin FPO FPO ∠+∠=，解得3cos 3FPO ∠=，sin 3FPO ∠=，则sin sin()33a b PFO OPF POF c c ⎛⎫∠=∠+∠=-+⨯ ⎪⎝⎭3c-=，在POF 中，由正弦定理可得||||sin sin OP OF PFO OPF=∠∠，即=化简得b a=，所以C的离心率为3c e a ===．故选：C ．8.如图，正四面体ABCD 的棱长为2，点E 在四面体ABCD 外侧，且AED △是以E 为直角顶点的等腰直角三角形．现以AD 为轴，点E 绕AD 旋转一周，当三棱锥E BCD -的体积最小时，直线CE 与平面BCD 所成角的正弦值的平方为（）A.13B.23C.26-D.212【答案】D 【解析】【分析】取BC 中点F ，取AD 中点M ，确定点E 的轨迹，从而结合三棱锥E BCD -的体积最小，确定E 点所处位置，进而作出直线CE 与平面BCD 所成角，解三角形，求出相关线段长，即可求得答案.【详解】在正四面体ABCD 中，取BC 中点F ，连接,DF AF ，则DF AF =，取AD 中点M ，连接,FM EM ，则FM AD ⊥，AED △是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，正四面体ABCD 的棱长为2，则EM AD ⊥，且112EM AD ==，点E 绕AD 旋转一周，形成的图形为以M 为圆心，以1EM =为半径的圆，设该圆与MF 的交点为1E ，当三棱锥E BCD -的体积最小时，即E 点到底面BCD 的距离最小，即此时E 点即位于1E 处，因为正四面体ABCD 的棱长为2，则DF AF ==，又AD 中点为M，则FM ==11FE =-，设点1E 在底面BCD 上的射影为H，则1111sin MD E H E F E FH E F FD =⋅∠=⋅=又MB MC =，BC 中点为F ，故MF BC ⊥，故1E C ==，由于点1E 在底面BCD 上的射影为H ，故1E CH ∠即为直线1CE 与平面BCD 所成角，故222112111)()23sin ()12E H E CH E C --∠==，故选：D【点睛】关键点睛：本题考查在四面体中求解线面角的正弦值问题，解答时要发挥空间想象，明确空间的点、线、面的位置关系，解答的关键在于确定E 点的轨迹，从而确定三棱锥E BCD -的体积最小时E 点的位置，由此作出直线CE 与平面BCD 所成角，解三角形，求得答案.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知12,x x 是函数π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的两个零点，且12x x -的最小值是π2，则（）A.()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B.()f x 的图象关于直线π6x =-对称C.()f x 的图象可由()2sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位长度得到D.()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有1个零点【答案】ABD【解析】【分析】依题意可得()f x 的最小正周期πT =，即可求出ω，从而得到()f x 解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期π2π22T ω=⨯=，2ω∴=，()2sin 26πf x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭．对于A ，当x ∈π0,3⎡⎤⎢⎣⎦时，πππ2,662x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，因为sin y x =在ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故A 正确；对于B ，因为πππ2sin 22sin 2π6662f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--=-⎛⎫-= ⎪=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线π6x =-对称，故B 正确；对于C ，将()2sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位长度得到：ππ2sin 22sin 2()63y x x f x ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π5π11π2,666x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，仅当2x -ππ6=，即7π12x =时，()0f x =，即()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有1个零点，故D 正确．故选：ABD ．10.已知实数,a b 满足01a b <<<，则（）A.11b b a a -<- B.a b ab+>C .baa b< D.112222log log a b a b -<-【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用作差比较法，结合不等式的性质，可判定A 错误，B 正确；令ln ()xf x x=，利用导数求得函数的单调性，得到ln ln a ba b<，进而判定C 正确；结合12()2log x g x x =-在()0,+∞上单调递增，可判定D 正确．【详解】对于A 中，由01a b <<<，可得101(1)b b a b a a a a ---=>--，所以A 错误；对于B 中，由(1)0a b ab a b a +-=+->，则a b ab +>，所以B 正确；对于C 中，令ln ()xf x x=，可得21ln ()x f x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，因为01a b <<<，则()()f a f b <，所以ln ln a ba b<，即ln ln ,ln ln b a b a a b a b <<，所以b a a b <，所以C 正确；对于D 中，由函数12()2log xg x x =-在()0,+∞上单调递增，因为01a b <<<，则()()g a g b <，即11222log 2log a ba b -<-，所以112222log log a ba b -<-，所以D 正确．故选：BCD ．11.椭圆222:1(0)4x y C m m+=>的两个焦点分别为12,F F ，则下列说法正确的是（）A.过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF 的周长为8B.若C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则m 的取值范围为()⎡⋃+∞⎣C.若直线10kx y -+=与C 恒有公共点，则m 的取值范围为[)1,+∞ D.若1,m P =为C 上一点，()1,0Q -，则PQ 的最小值为63【答案】BD 【解析】【分析】对于A ：根据椭圆的定义结合焦点所在的位置分析判断；对于B ：分析可知当P 位于短轴顶点时，12F PF ∠最大，此时2212b a ≤，分类讨论焦点所在位置分析求解；对于C ：因为直线10kx y -+=过定点(0,1)，可知定点(0,1)在椭圆内或椭圆上，列式求解即可；对于D ：设()2cos ,sin P θθ，根据两点间距离公式结合二次函数分析求解.【详解】对于选项A ：由椭圆定义可得1ABF 的周长为121122AF BF AB AF BF AF BF ++=+++4a =，但焦点不一定在x 轴上，故A 错误；对于选项B ：若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⊥，当P 位于短轴顶点时，12F PF ∠最大，此时1cos cos 452OPF ∠≤︒=，可知22b a ≤，即2212b a ≤，当02m <<时，由2142m ≤，解得0m <≤；当m>2时，由2412m ≤，解得m ≥；综上所述：m 的取值范围为()∞⎡⋃+⎣，故B 正确；对于选项C ：因为直线10kx y -+=过定点(0,1)，则211m≤，即21m ≥，又因为24m ≠，且0m >，所以m 的取值范围为[)()1,22,∞⋃+，故C 错误；对于选项D ：若1m =，即椭圆22:14x C y +=，设()2cos ,sin P θθ，可得||PQ ==，当2cos 3θ=-时，min 6||3PQ =，故D 正确．故选：BD ．【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解；（2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解；（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知ππ20,,tan tan 243θθθ⎛⎫⎛⎫∈+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ=______.【答案】34-【解析】【分析】利用两角和差的正切公式计算1tan 2θ=-，再使用二倍角的正切公式即可.【详解】由π2tan tan 43θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且π(0,)2θ∈，得tan 12tan 1tan 3θθθ+=--，整理得22tan 5tan 30θθ--=，解得1tan 2θ=-（舍）或tan 3θ=，所以222tan 233tan 21tan 134θθθ⨯===---．故答案为：34-.13.在ABC 中，若3BA BC CA CB AC AB ⋅=⋅=⋅ ，则||||AB BC =______.【答案】3【解析】【分析】根据题意，求得BA CA = 和13044BA CB CA ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，设D 为线段AB 上靠近A 的四等分点，得到CD AB ⊥，设AD t =，求得,CD BC ==，即可求解.【详解】由BA BC CA CB =⋅⋅，可得()0BC BA CA ⋅+=，即()()0BA AC BA AC +⋅-= ，可得220BA AC -= ，所以BA CA = ，又由3BA BC AC AB ⋅=⋅，可得(3)0BA BC AC ⋅+= ，即13044BA CB CA ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，设D 为线段AB 上靠近A 的四等分点，则CD AB ⊥，设AD t =，则3,4BD t AC t ==，所以CD ==，则BC ==，所以||3||AB BC == .故答案为：3.14.已知实数0a >，对2x ∀>，()e 2ln 2xa a ax a +->恒成立，则a 的取值范围为____.【答案】()30,e 【解析】【分析】将不等式变形可得()()22ln2e 222e ln e e a x x ax a x ---⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭>，利用函数同构可令函数()e xf x x =，得出其单调性可判断得出222ln e x ax a -⎛-⎫⎪⎝⎭>，由参变分离可求得min e 2x a x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭<，利用导数求出函数()e 2xg x x =-的最小值即可得出a 的取值范围.【详解】根据题意将不等式()e 2ln 2xa a ax a +->变形可得()e ln 22xa ax a a -->，即()222e ln 2ln e ln e x ax a a ax a a -⎛⎫⎡⎤--=⎪⎣⎦⎝⎭>，所以222e 2ln e e e x a ax a ->，即2222e ln e e x a ax a --⎛⎫ ⎪⎝⎭>，又2x >，可得()()22222e2ln e e x a ax a x x --⎛⎫-- ⎪⎝⎭>，也即()()22ln2e 222e ln e e a x x ax a x ---⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭>；构造函数()e x f x x =，则()()1e xf x x '=+；不等式等价于()2l e 22n f f ax x a ⎛⎫- ⎪⎝-⎛⎫⎪⎝⎭⎭>，易知当22ln 0e ax a -⎛⎫⎪⎝⎭<时，原不等式显然成立；当22ln 0e ax a -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭时，易知()0f x ¢>在[)0,x ∈+∞上恒成立，即函数()e x f x x =在[)0,∞+上单调递增，所以222ln e x ax a -⎛-⎫ ⎪⎝⎭>，可得e 2xa x -<；令()e 2xg x x =-，则()()()23e 2xx g x x -'-=，所以可得()g x 在()2,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，即()g x 在3x =处取得极小值，也是最小值()33e g =，因此可得30e a <<；即a 的取值范围为()30,e .故答案为：()30,e【点睛】方法点睛：在求解不等式恒成立问题时，常用的方法是将不等式通过合理变形并根据已知条件利用函数同构思想进行构造函数，利用导数判断出单调性求出相应最值即可得出结论.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知16a =，2n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是公差为2的等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若14n n n b a a +=，设数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：11156n T ≤<．【答案】（1）42n a n =+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由2n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是公差为2的等差数列，求得2(2)n S n n =+，结合n a 和n S 的关系，即可求解；（2）由（1）知14114246n n n b a a n n +==-++，求得11646n T n =-+，结合11646n T n =-+关于n 单调递增，以及1046n >+，即可求解．【小问1详解】解：因为16a =，所以1621212S ==++，又因为2n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是公差为2的等差数列，所以2(1)222n S n n n =+-⨯=+，即2(2)n S n n =+，当2n ≥时，12(2)2(1)(1)42n n n a S S n n n n n -=-=+--+=+，又由16a =，适合上式，所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+．【小问2详解】证明：由（1）知144111114(42)(46)442464246n n n b a a n n n n n n +⎛⎫===⨯-=- ⎪++++++⎝⎭，所以1111111111610101414184246646n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又由1114046410(46)(410)n n T T n n n n +=-=>++++-，所以11646n T n =-+关于n 单调递增，所以1115n T T ≥=，又因为1046n >+，所以1116466n T n =-<+，所以11156n T ≤<．16.在平时的日常生活中游泳对锻炼身体有很多的好处，大致有以下几个方面：一、游泳可以让身体更加苗条，达到减肥的效果；二、游泳能够增加人体的肺活量，提高人体的呼吸系统能力，也可以预防心脑血管系统疾病，包括冠心病、不稳定型心绞痛以及脑血栓等疾病；三、游泳可以保护关节，让关节避免受到损伤．下面抽取了不同性别的高中生共100人，并统计了他们游泳的水平如下表：合格不合格合计男性1050女性20合计70100（1）根据此表依据0.05α=的独立性检验判断：是否可以认为高中生游泳水平与性别有关?（2）游泳教练从成绩不合格的高中生中抽取了2名女生和1名男生进行游泳示范指导．已知经过一段时间指导后，女生成绩合格的概率为23，男生合格的概率为12，求这3人经过指导后成绩合格总人数X的分布列和数学期望．参考公式：①相关性检验的临界值表：α0.100.050.10ax 2.706 3.8416.635②22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++．【答案】（1）高中生游泳水平与性别有关（2）分布列见解析，()11 6E X=．【解析】【分析】（1）完善22⨯列联表，计算出卡方，即可判断；（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，根据相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】完成表格如下：合格不合格合计男性401050女性302050合计7030100零假设0H：高中生游泳水平与性别无关，220.05100(40203010) 4.762 3.84170305050x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，依据0.05α=的独立性检验，我们有充分的理由认为0H 不成立，即高中生游泳水平与性别有关．【小问2详解】依题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，2211(0)11,3218P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212221215(1)C 111,3323218P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2122212184(2)C 11,33232189P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2212(3)329P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X0123P1185184929数学期望154211()01231818996E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，2BC =，沿AC 将ADC △折起，使点D 到达点P 的位置，点P 在平面ABC 的射影H 落在边AB 上.（1）求AH 的长度；（2）若M 是边PC 上的一个动点，是否存在点M ，使得平面AMB 与平面PBC 的夹角余弦值为34？若存在，求CM 的长度；若不存在，说明理由.【答案】（1）1（2）83【解析】【分析】（1）利用投影性质以及线面垂直性质可得AC EH ⊥，再利用三角形相似可求得1AH =；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1CM CP λλ=∈，并根据坐标分别求得平面AMB 与平面PBC 的法向量，由两平面夹角的余弦值列方程解得23λ=，可得83CM =.【小问1详解】作PE AC ⊥，垂足为E ，连接EH，如下图所示：由点P 在平面ABC 的射影H 落在边AB 上可得PH ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，所以PH AC ⊥，因为PH PE E ⋂=，且,PH PE ⊂平面PHE ，所以AC ⊥平面PHE ，又EH ⊂平面PHE ，所以AC EH ⊥，又因为ABCD 为矩形，AB BC ⊥，可得ABC AEH ，由4AB =，2BC =可得2,4,AP PC AC ===，所以5AP PC PE AC ⋅==，5AE ==；由ABC AEH 可得AE AB AH AC=，即25514AE AC AH AB ⨯⋅===；即AH 的长度为1.【小问2详解】根据题意，以点H 为坐标原点，以过点H 且平行于BC 的直线为y 轴，分别以,HB PH 所在直线为,x z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()(()()1,0,0,,3,0,0,3,2,0A P B C -，并设[],0,1CM CP λλ=∈，可得(()3,3,2CM CP λλλλ==--=--，所以()33,22M λλ--；易知()()4,0,0,3,22,AB MB λλ==-，(()3,0,,0,2,0PB BC ==，设平面AMB 的一个法向量为()111,,m x y z = ，所以()1111403220AB m x MB m x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，解得10x =，取1y =，则122z λ=-，即(),22m λ=-，设平面PBC 的一个法向量为()222,,n x y z =，所以2123020PB n x BC n y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得20y =，取21x =，则2z =，即(n =，因此可得cos ,4m nm n m n ⋅==，整理可得23840λλ-+=，解得2λ=（舍）或23λ=；因此23CM CP = ，即可得2833CM CP == .所以CM 的长度为83.18.已知平面上一动点P 到定点(01)F ,的距离比到定直线2024y =-的距离小2023，记动点P 的轨迹为曲线1C ．（1）求1C 的方程；（2）已知直线1(0)y kx k =+≠与曲线1C 交于M ，N 两点，T 是线段MN 的中点，点A 在直线1y =-上，且AT 垂直于x 轴．设点B 在抛物线22:1C y x =--上，BP ，BQ 是1C 的两条切线，P ，Q 是切点．若//AB MN ，且A ，B 位于y 轴两侧，求||||||||TM TN TP TQ 的值．【答案】（1）24x y=（2）||||1||||TM TN TP TQ =【解析】【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义，得到P 的轨迹是以定点(0,1)F 为焦点，定直线1y =-为准线的抛物线，即可求解；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程组，切点12124,4x x k x x +==-，得到(2,1)A k -，由//AB MN ，得到AB 的方程为221y kx k =--，联立方程组，求得()22,41B k k ---，再求得点()00,x y 处的切线方程00220x x y y --=，设()()3344,,,P x y Q x y ，得到()33,P x y 与()44,Q x y 处的切线方程，根据两条切线都过点B ，求得PQ 的方程2410kx y k +--=，再由()22,21T k k +，得到214TM TN MN =，联立方程组，结合TP TQ TP TQ =-⋅，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：设(,)P x y 是所求轨迹1C 上的任意一点，因为点P 到定点(0,1)F 的距离比到定直线2024y =-的距离小2023，所以点P 到定点(0,1)F 的距离与到定直线1y =-的距离相等，由抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以定点(0,1)F 为焦点，定直线1y =-为准线的抛物线，所以1C 的方程为24x y =．【小问2详解】解：设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2440x kx --=，则216160k ∆=+>且12124,4x x k x x +==-，所以()()2122121212242,116x x y y k x x k y y +=++=+==，所以()22,21T k k +，则(2,1)A k -，因为//AB MN ，所以直线AB 的方程为1(2)y k x k +=-，即221y kx k =--，联立方程组22211y kx k y x ⎧=--⎨=--⎩，整理得2220x kx k +-=，解得2x k =-或x k =，又因为,A B 两点位于y 轴两侧，可得()22,41B k k ---，设点()00,x y 在抛物线1C 上，又由24x y =，可得12y x '=，则001|2x x y x ='=，则在1C 点()00,x y 处的切线方程为()00012y y x x x -=-，整理得00220x x y y --=，设()()3344,,,P x y Q x y ，则1C 在()33,P x y 与()44,Q x y 处的切线方程分别为：33220x x y y --=与44220x x y y --=，又由两条切线都过点B ，则()233(2)24120x k k y -----=，()244(2)24120x k k y -----=，则直线PQ 的方程为()2(2)24120k x k y -----=，即2410kx y k +--=，由()22,21T k k +，点T 的坐标适合方程2410kx y k +--=，所以点T 在直线PQ 上，又由T 是线段MN 的中点，可得214TM TN MN =，因为()241MN k ==+，则()2241TM TN k =+，联立方程组224104kx y k x y⎧+--=⎨=⎩，整理得2241640x kx k +--=，可得280160k '∆=+>且234344,164x x k x x k +=-=--，()()2233442,212,21TP TQ TP TQ x k y k x k y k =-⋅=----⋅---()()()()223434222121x k x k y k y k =--------()()()()2234342222x k x k k kx k kx =------()()()()2222343412141k x x k k xx k k =-++++-+()()223434124k x x k x x k ⎡⎤=-+-++⎣⎦()()2222211642(4)441k k k k k k ⎡⎤=-+----+=+⎣⎦，所以1TM TN TP TQ=.【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略：1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.19.已知函数()e sin xf x a x a =--．（注：e 2.718281=⋅⋅⋅是自然对数的底数）．（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0a >时，函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一的极值点1x ．①求实数a 的取值范围；②求证：()f x 在区间()0,π内有唯一的零点0x ，且012x x <．【答案】（1）20x y -=（2）()0,1a ∈；证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）①利用导数研究函数的极值，分离参数计算函数的单调性计算即可求实数a 的取值范围；②结合①的结论先判定()f x 的单调性与最值，根据零点存在性定理即可判定零点个数，再根据函数的单调性结合构造函数来证明()120f x >即可证明结论.【小问1详解】当3a =时，()()3e sin 33e cos xxf x x f x x =--⇒=-'，所以()()00,02f f '==，即切点()0,0，故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为：20x y -=；【小问2详解】①.函数()e sin xf x a x a =--，()e cos xf x a x '=-，（ⅰ）当1a ≥时，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e 1xa >，()cos 0,1x ∈，()0f x ∴'>，则()y f x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；（ⅱ）当01a <<时，设()e cos x x a x ϕ=-，则()e sin 0x x a x ϕ=+>'在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()x ϕ在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，即()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，又()010f a -'=<，π2πe 02f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭'，所以()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点1x ，当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以函数()y f x =在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一极值点，符合题意，综上，a 的取值范围是()0,1．②由①知01a <<，当,ππ2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()e cos 0x f x a x =->'，当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,πx x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；所以()10,x x ∈时，()()00f x f <=，则()10f x <，又因为()()πππe e 10f a a a =-=->，所以()f x 在()1,πx 上有唯一零点0x ，即()f x 在()0,π上有唯一零点0x ．因为()12112e sin2x f x a x a =--，由①知()10f x '=，所以11cos x ae x =，则()1112111111cos 2e sin2e cos 2sin cos e x x x x f x a x a x x x =--=--11111cos e 2sin e x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭设()e 2sin e x x h x x -=--，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()e 2cos e x xh x x -=+'-，e e 2x x -+> ，2cos 2x <，所以()e e 2cos 0x x h x x -='+->()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增，又()00h =，所以()0h x >，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 0x >，所以()1111112cos e 2sin 0e x x f x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭．所以()()1020f x f x >=．由前面讨论知112πx x <<，10πx x <<，()f x 在()1,πx 单调递增，所以012x x <．【点睛】1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
陕西省西工大附中2022届高三下学期第五次适应性训练数学(理)试题 Word版含答案
2022年一般高等学校招生全国统一考试西工大附中第五次适应性训练数 学（理科）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知1,()(1),x x Rf x i x x R+∈⎧=⎨+∉⎩,则[](1)f f i -等于（ ）A ．2i -B ．1C ．3D ．3i +2．设随机变量2(2,3)X N ,若(0)0.1P X ≤=,则(24)P X ≤<=（ ） A ．0.1 B ．0.2 C ．0.4 D ．0.8 3．对具有线性相关关系的变量,x y ，测得一组数据如右表所示，由最小二乘法求得回归方程为0.95 2.6y x =+，则表中看不清的数据为（ ）A ．4.8B ．5.2C ．5.8D ．6.24．若两个正实数x,y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(1,4)-B ．(4,1)-C ．(,1)(4,)-∞-+∞D ．(,0)(3,)-∞+∞5．61()a x x-的开放式中2x 的系数为-192，则实数a =（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．46．已知函数()sin 3cos (0),()()062f x x x f f ππωωω=+>+=，且()f x 在区间(,)62ππ上递减，则ω等于（ ）A ．3B ．2C ．6D ．57．若一个双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距依次成等差数列，则该双曲线的离心率是（ ）A ．43B ．53C ．65D ．748．在ABC ∆中，AB=3，BC=2，3AB BC ⋅=，则AC 等于（ ） A ．3 B ．7 C ．19 D ．239．已知{}(,)1,1A x y x y =≤≤，B 是曲线2y x =与y x =围成的封闭区域，若向区域A 上随机投一点P ，则点P 落入区域B 的概率为（ ）A ．13B ．14C ．18D ．11210．数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2016a 的值是（ ）A ．67B ．57C ．37D ．1711．已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．13B ．23C ．16D ．5612．已知函数2,0()3ln 2,0xa x f x x x a x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1ln 2,3+ B ．(]ln 2,3 C ．(0,1ln 2)+ D ．(]0,3第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应的位置）13．若命题“0x R ∃∈，20390x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是 ； 14．执行如下图所示的程序框图，若输入的a 值为2，则输出的P 值是 ；15．过抛物线24y x =焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点，O 为坐标原点，若3AF =,则AOB ∆的面积为 ；16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为____；三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分） 17（本小题满分12分）．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =，且212a -，3a ，612a -成等比数列．（Ⅰ）求n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18（本小题满分12分）．某权威机构发布了2021年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”，随后，该市某校同学会组织部分同学用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度。
湖北省高中六校2025届高三适应性调研考试数学试题含解析
湖北省高中六校2025届高三适应性调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．2．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1B ．)31±C ．)31±D ．53．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．344．下列结论中正确的个数是（ ）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1B ．2C ．3D ．05．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．49B ．49-C ．43D ．43-6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为 A ．2B ．3C 2D 37．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8．已知集合{}2230A x x x =--≤{}2B x x =＜，则A B =( )A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-9．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-10．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ） A ．4B ．8C．D．11．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省六安2024届高三适应性考试数学试题含答案
六安2024届高三年级适应性考试数学试卷（答案在最后）命题人：高三数学学科组（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据16，20，21，24，22，14，18，28的75%分位数为（）A.16B.14C.23D.22【答案】C 【解析】【分析】由百分位数的定义求解即可.【详解】由小到大排列为14，16，18，20，21，22，24，28，一共有8个数据，80.756⨯=，所以75%分位数为()12224232⨯+=．故选：C ．2.已知复数z 满足2i1iz =+，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数除法求出复数z ，再求出z 即可得解.【详解】依题意，2i (1i)22i1i (1i)(1i)2z ⋅-+===++-，所以1i z =-在复平面内对应的点(1,1)-位于第四象限.故选：D3.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A.若//m α,//n α,则//m n ；B.若m α⊂,n β⊂,//m n ,则//αβ；C.若m α⊥，//n α，则m n ⊥；D.若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β,则//αβ．【答案】C 【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．【详解】若//m α，//n α，则//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故A 错误；若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβ或α与β相交，故B 错误；若m α⊥，//n α，由直线与平面垂直的性质可得m n ⊥，故C 正确；若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，当m 与n 相交时，有//αβ，否则，α与β不一定平行，故D 错误．故选：C ．4.已知直线:2l y m =+与双曲线22:1(0)2x y C m m m -=>+的一条渐近线平行，则C 的右焦点到直线l 的距离为（）A.2B.C.1D.4【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线方程求出渐近线，解得m 的值，从而求得右焦点到直线l 的距离即可.【详解】双曲线22:1(0)2x y C m m m -=>+的渐近线方程为y =，因为直线:2l y m =+与双曲线C 的一条渐近线平行，=1m =，所以双曲线C 的右焦点坐标为(2,0)，所以C 的右焦点到直线l 1=.故选：C.5.某电子竞技队伍由1名队长、1名副队长与3名队员构成，按需要担任第1至5号位的任务，由于队长需要分出精力指挥队伍，所以不能担任1号位，副队长是队伍输出核心，必须担任1号位或2号位，则不同的位置安排方式有（）A.36种 B.42种C.48种D.52种【答案】B 【解析】【分析】按：“特殊元素（位置）优先法”解决.先分类：按副队长担任1号位和2号位分成两类；再分步：副队长担任1号位时，其余4个位置没有任何限制，副队长担任2号位时，先从3名队员中选1人担任1号位，其他3个位置无任何限制.【详解】若副队长担任1号位，其他位置就没有任何限制，有44A 24=种安排方式；若副队长担任2号位，则从3名队员中选1人担任1号位，后面的3个位置无限制条件，有1333A A 3618=⨯=种安排方式.所以一共有：241842+=种安排方式.故选：B6.已知数列{}n a 为等比数列，且11a =，916a =，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若55b a =，则9S =（）A.－36或36B.－36C.36D.18【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式求得44q =，继而求得55b a =的值，利用等差数列前n 项和公式进行计算即可.【详解】数列{}n a 为等比数列，设公比为q ，且11a =，916a =，则89116a q a ==，则44q =，则45514b a a q ===，则()199599362b b S b +⨯===，故选：C .7.在平面直角坐标系xOy 中，设()2,4A ，()2,4B --，动点P 满足1PO PA ⋅=-，则tan PBO ∠的最大值为（）A.21B.29C.41D.2【答案】C 【解析】【分析】设出点(),P x y ，利用数量积的坐标表示得到点P 的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可.【详解】设(),P x y ，则(),PO x y =-- ，()2,4PA x y =--，则()()241PO PA x x y y ⋅=----=-，即222410x x y y -+-+=，化为()()22124x y -+-=，则点P 的轨迹为以()1,2D 为圆心，半径为2的圆，又44222OB OD k k -====-，所以,,B O D三点共线，显然当直线PB 与此圆相切时，tan PBO ∠的值最大.又2BD PD ===,则PB ===则tan PD PBO PB ∠==故选：C .8.设椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的焦距，它们的离心率分别为1e ，2e ，椭圆1C 的焦点为1F ，2F ，1C ，2C 在第一象限的交点为P ，若点P 在直线y x =上，且1290F PF ∠=︒，则221211e e +的值为（）A.2B.3C.D.【答案】A 【解析】【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c ，先根据题意得出点P的坐标(),022c c c ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，再将点P分别代入椭圆和双曲线的方程中，求离心率，即可得解.【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c ，则2222221122,a b c a b c -=+=，又1290F PF ∠=︒，所以1212OP F F c ==，又点P 在第一象限，且在直线y x =上，所以(),022P c c c ⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭，又点P 在椭圆上，所以222211221c c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即22222112c c a a c +=-，整理得422411240a a c c -+=，两边同时除以4c ，得22211112410e e ⎛⎫⋅-⋅+= ⎪⎝⎭，解得2114242e ±±==，因为101e <<，所以21122e +=，同理可得点P在双曲线上，所以222222221c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，即22222222c c a c a -=-，解得222122(1)2e e -=>，所以22121122222e e +-+=+=，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A 表示事件“取出的两球不同色”，B 表示事件“第一次取出的是黑球”，C 表示事件“第二次取出的是黑球”，D 表示事件“取出的两球同色”，则（）A.A 与D 相互独立.B.A 与B 相互独立C.B 与D 相互独立D.A 与C 相互独立【答案】BCD 【解析】【分析】根据相互独立事件的概念进行判定.【详解】不放回依次取出两个，基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43，共12种，事件A =“13,14,23,24,31,41,32,42”；事件B =“12,13,14,21,23,24”；事件C =“12,21,31,41,32,42”；事件D =“12,21,34,43”.事件AD =∅，事件AB =“13,14,23,24”，事件BD =“12,21,”，事件AC =“31,41,32,42”，则()()8261,123122P A P B ====，()61122P C ==，()41123P D ==，()0P AD =，()41123P AB ==，()21126P BD ==，()41123P AC ==，所以()()()P AD P A P D ≠，所以A 与D 不相互独立；()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立；()()()P BD P B P D =，所以B 与D 相互独立；()()()P AC P A P C =，所以A 与C 相互独立；故选：BCD10.已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，则下列关于函数()f x 的说法，正确的是（）A.()f x 的一个周期为π2B.()f x 的图象关于π2x =对称C.()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()f x 的值域为2⎤⎦【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A 、B ，再根据A 、B 结论及三角函数的图象与性质可判定C 、D.【详解】对于A ，根据诱导公式可知：πππππsin cos sin cos 22222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin cos sin cos x x x x f x =-++=，故()f x 的一个周期为π2，即A 正确；对于B ，根据诱导公式可知：()()()()()πsin πcos πsin πcos πf x x x x x -=-+-+---()sin cos sin cos x x x x f x =-++=，所以()f x 的图象关于π2x =对称，即B 正确；对于C ，易知()()()()()sin cos sin cos f x x x x x -=-+-+---()sin cos sin cos x x x x f x =-++=，即()f x 为偶函数，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()sin cos cos sin 2cos f x x x x x x =++-=，显然此时函数单调递减，由偶函数的对称性可知π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时函数单调递增，故C 错误；由B 结论可知ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为()f x 的一个周期，此区间上()()()max min π02,4f x f f x f ⎛⎫===±= ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD11.在三棱锥D ABC -中，平面ABC⊥平面ABD ，2AB AC BC BD AD =====，则（）A.三棱锥D ABC -的体积为1B.点C 到直线AD 的距离为154C.二面角B AD C --的正切值为2D.三棱锥D ABC -外接球的球心到平面ABD 的距离为33【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：取AB 的中点G ，面面垂直的性质定理及等体积法计算即可得；对B 、C ：结合中位线的性质构造出点C 到直线AD 的距离CF ，结合勾股定理计算即可得其长度，亦可得二面角B AD C --的平面角，即可得其正切值；对D ：设出外接球球心及ABD △，ABC 的外心M ，K ，结合线面垂直的性质定理可得四边形OMGK 为矩形，从而可计算出OM ，即可得解.【详解】对A ：如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，因为平面ABC⊥平面ABD ，且平面ABC ⋂平面ABD AB =，CG ⊂平面ABC ，又因为AB AC =，所以CG AB ⊥，所以CG ⊥平面ABD ，因为3232CG =⨯=所以111322313322D ABC ABD V S CG -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故A 正确；对B 、C ：取AD 的中点E ，连接BE ，取AE 的中点F ，连接FG ，CF ，因为F ，G 分别为AE ，AB 中点，则FG//BE ，又因为AB BD =，所以BE AD ⊥，所以FG AD ⊥，因为CG ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以CG AD ⊥，又CG FG G ⋂=，CG ，FG ⊂平面CFG ，所以AD ⊥平面CFG ，又因为CF ⊂平面CFG ，则AD CF ⊥，则点C 到直线AD 的距离为152CF ==，则CFG ∠为二面角B AD C --的平面角，tan 2CGCFG FG∠==，B 错误，C 正确；对D ：设ABD △，ABC 的外心分别为M ，K ，则GK AB ⊥，又平面ABD ⊥平面ABC ，GK ⊂平面ABC ，所以GK ⊥平面ABD ，设三棱锥D ABC -外接球的球心为O ，则OK ⊥平面ABC ，OM ⊥平面ABD ，所以四边形OMGK 为矩形，则13OM GK CG ===3，故三棱锥D ABC -外接球的球心到平面ABD 的距离为3，D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为______（用数字作答）.【答案】120【解析】【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.【详解】由于()22522x y x y x =⋅⋅，所以()522x x y +-的展开式中含52x y 的项为()()222211252532C 2C C 120x x y x y ⨯⨯-=，所以()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为120.故答案为：12013.已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且6a =，4sin 5sin B C =，当2A C =时，ABC 的周长为________.【答案】15【解析】【分析】运用正弦定理可得45b c =，再次根据正弦定理以及()2sin 3sin 4cos 1C C C =-可得cos C 的值，进而得sin C 和sin A ，再次运用正弦定理即可得到所求周长.【详解】由6a =，4sin 5sin B C =，2A C =，可得3B C π=-，由正弦定理可得45b c =，可得54c b =，而()sin 3sin 2cos cos 2sin C C C C C =+()2sin cos cos cos 2sin C C C C C =+()()22sin 2cos cos 2sin 4cos 1C C C C C =+=-由sin sin b c B C =，可得()25544sin(3)sin sin 4cos 1c cc C C C C π==--，由sin 0C ≠，可得：254cos 41C -=，解得：3cos 4C =或34-（舍去），sin 4C ==，可得3737sin 2sin cos 2448A C C ==⨯⨯=，4c =，5b =，则15a b c ++=，故答案为：15.【点睛】本题考查三角形的正弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题14.用[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 满足：143a =，()211n n n a a a λμ+=--，*n ∈N .若0λ=，2μ=-，则n a =________；若1λμ==，则202411i i a =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑________.【答案】①.223n-，②.2【解析】【分析】当0λ=，2μ=-时，利用构造法可得出数列{}2n a -是等比数列，求出12223n n a --=-⨯，进而得出n a ；当1λμ==时，由题目中的递推关系式可得1n n a a +>，111111n n n a a a +=---，20252a >，即可求解.【详解】当0λ=，2μ=-时，()121n n a a +=-，即()1222n n a a +-=-，则数列{}2n a -是以1223a -=-为首项，2为公比的等比数列.所以12223n n a --=-⨯，即223nn a =-.当1λμ==时，()211n n n a a a +=--，即()111n n n a a a +-=-，且()2110n n n a a a +-=-≥，故1n n a a +≥，故1413n a a ≥=>，故()2110n n n a a a +-=->，∴111n n a a a +>>>，10n a -≠，所以()11111111n n n n n a a a a a +==----，所以111111n n n a a a +=---.因为143a =，所以202411220241111i ia a a a ==+++∑ 122320242025111111111111a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 120251111a a =---2025131a =--由143a =，()211n n n a a a +=--可得：2139a =，313381a =，46916126561a +>=.因为1n n a a +>，所以20252a >，20251011a <<-，则2024112i i a =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑.故答案为：223n-；2.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合，数列的通项公式及前n 项和.利用构造法即可求解第一空；借助递推关系式得出1n n a a +>，111111n n n a a a +=---，20252a >是解答第二空的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.有5个型号和形状完全相同的纳米芯片，已知其中有两件是次品，现对产品随机地逐一检测.（1）求检测过程中两件次品不相邻的概率；（2）设检测完后两件次品中间相隔正品的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）35（2）分布列见解析，()1E X =【解析】【分析】（1）用插空法求出符合条件的事件数，再由古典概型计算可得；（2）依题意X 的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】记检测过程中两件次品不相邻为事件B ，依题意即将5个芯片排列，其中两件次品不相邻的概率，所以()323455A A 3A 5PB ==.【小问2详解】依题意X 的可能取值为0、1、2、3，所以()242455A A 20A 5P X ===，()12332355A A A 31A 10P X ===，()22232255A A A 22A 10P X ===，()232355A A 13A 10P X ===，所以X 的分布列为：X123P2531015110所以()2321012315101010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16.已知函数()ln f x x ax =-，()2g x ax=，0a ≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若0a >且()()f x g x ≤恒成立，求a 的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）32e .【解析】【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对0a >与0a <分类讨论即可得；（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.【小问1详解】()11axf x a x x'-=-=（0a ≠），当0a <时，由于0x >，所以()0f x '>恒成立，从而()f x 在()0,∞+上递增；当0a >时，10x a<<，()0f x '>；1x a >，()0f x '<，从而()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭递减；综上，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，没有单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】令()()()2ln h x f x g x x ax ax=-=--，要使()()f x g x ≤恒成立，只要使()0h x ≤恒成立，也只要使()max 0h x ≤.()()()221212ax ax h x a x ax ax-+-=-+='，由于0a >，0x >，所以10ax +>恒成立，当20x a <<时，()0h x '>，当2x a<<+∞时，()0h x '<，所以()max 22ln 30h x h a a ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，解得：32e a ≥，所以a 的最小值为32e .17.如图，ACDE 为菱形，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，平面ACDE ⊥平面ABC ，点F 在AB 上，且2AF FB =，,M N 分别在直线,CD AB 上．（1）求证：CF ⊥平面ACDE ；（2）把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若60EAC ∠=︒，MN 为直线,CD AB 的公垂线，求ANAF的值.【答案】（1）证明见解析（2）913【解析】【分析】（1）由余弦定理可求得3AB =，可得1233CF CA CB =+，两边平方可求得CF ，由勾股定理的逆定理可证CF AC ⊥，利用面面垂直的性质可证CF ⊥平面ACDE ；（2）建立空间直角坐标系，设23(2,,0)3AN AF λλλ==- ，CM CD μ= ，则(3)M μμ-，利用公垂线可得·22304·44203MN CD MN AF λμμλμλ⎧=---=⎪⎨=--+=⎪⎩，求解即可.【小问1详解】222222cos 22222cos12012AB AC BC AC BC ACB =+-∠=+-⨯⨯⨯︒= ，所以23,2AB AF FB ==，所以433AF =，所以1233CF CA CB =+ ，22214449993CF CA CB CA CB =++= ，222416433AC CF AF +=+==，则CF AC ⊥，又因为平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE 平面ABC AC CF =⊂，平面ABC ，故CF ⊥平面ACDE ；【小问2详解】在平面ACDE 中过C 作直线z AC ⊥，以C 为原点，CA 的方向为x 轴正方向，CF的方向为y 轴正向，直线z 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，由60EAC ∠=︒，可得120DCA ∠=︒，2DC =，所以()(()30,0,0,3,2,0,0,0,,03C D A F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以23(2,,0),(3)3AF CD =-=- ，设23(2,,0)3AN AF λλλ==-，则2322,,03N λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设CM CD μ= ，则(3)M μμ-，3(22,,3)3MN λμλμ=-+ ，由题知·22304·44203MN CD MN AF λμμλμλ⎧=---=⎪⎨=--+=⎪⎩，解得913λ=，213μ=-，故913AN AF =.18.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，3,2M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭为C 上一点，且32MF =.（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 且斜率存在的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点Q .（i ）求点Q 的坐标；（ii ）求OAQ 与OAB 的面积之和的最小值.【答案】（1）23y x =（2）（i ）(4,0)Q -；（ii ）86【解析】【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求,p m ，由此可得抛物线方程；（2）（i ）设l 的方程为4x my =+，联立方程组并化简，设112222(,),(,),(,)A x y B x y D x y -，应用韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AD 方程，求出它与x 轴的交点坐标即得；（ii ）由（i ）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值．【小问1详解】由题意可得322924p m pm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得32p =，所以C 的方程为：23y x =；【小问2详解】（i ）由已知可得直线l 的斜率不为0，且过点()4,0，故可设的直线l 的方程为4x my =+，代入抛物线23y x =的方程，可得23120y my --=，方程23120y my --=的判别式2Δ9480m =+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)D x y -不妨设10y >，则12123,12y y m y y +==-,所以直线AD 的方程为：121112()y y y y x x x x +-=--，即121112()()y y y y x x m y y +-=--即()11123y y x x y y -=--，令0y =，可得()()212113y y y x y -⋅-=-，所以()()2121112312x y y y y y y =-⋅-+==-，所以4x =-所以(4,0)Q -；（ii ）如图所示，可得111114222OAQ S OQ y y y =⋅⋅=⨯⨯= ，121211442222OAB S y y y y =⨯⨯+⨯⨯=+ ，所以OAQ 与OAB 的面积之和1121222242OAQ OAB S S S y y y y y =+=++=+11111224424y y y y -=+=+≥=当且仅当11244y y =时，即1y =时，等号成立，所以OAQ 与OAB的面积之和的最小值为【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。
安徽池州市东至二中2025届高三适应性调研考试数学试题含解析
安徽池州市东至二中2025届高三适应性调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．842．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（ ）A ．3?k <B ．3?kC ．5?kD ．5?k <3．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( ) A 21B 31C ．2D 54．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤5．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23B ．25C ．28D ．297．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．1368．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS =，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为（ ） A ．73123+B ．12C ．43D ．53124+9．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ） A ．2B ．2C ．10D ．1010．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103 11．将函数2()322cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ）A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 12．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，则直线l 的斜率为（ ） A ．1 B ．3 C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年北京市大兴精华学校高三下学期5月高考适应性考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市大兴精华学校高三下学期5月高考适应性考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为纯虚数，则实数()A.0B.1C.D.2.若集合，，则()A. B. C. D.3.已知平面向量，，则下列结论一定错误的是()A. B.C. D.4.下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是()A. B. C. D.5.已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则()A.1B.C.2D.6.在的展开式中，x的系数为()A.9B.15C.D.7.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是A.是最小正周期为的偶函数B.点是的对称中心C.在区间上的最大值为D.在区间上单调递减8.已知直线与圆，则“，直线l与圆C有公共点”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴.则正方体的旋转轴共有()A.7条B.9条C.13条D.14条10.已知函数，则下列命题不正确的是()A.当时，有唯一极小值B.存在定直线始终与曲线相切C.存在实数a，使为增函数D.存在实数a，使为减函数二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知，若，则__________.12.双曲线的焦点坐标是__________.13.已知，若对任意实数x都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为__________.14.在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被2除余数为1，被3除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为__________.15.在棱长为6的正方体中，E为棱上一动点，且不与端点重合，F，G分别为，的中点，给出下列四个结论：①平面平面EFG；②平面EFG可能经过的三等分点；③在线段AC上的任意点不与端点重合，存在点E使得平面EFG；④若E为棱的中点，则平面EFG与正方体所形成的截面为五边形，且周长为其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。
湖北省武汉市2024届高三五月适应性考试数学试卷含答案
2024届高三年级五月适应性考试数学试题（答案在最后）时限：120分钟满分：150分命审题：高三数学备课组一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知{}(){}42,lg 10A x x B x x =-≤≤=-<，则A B = （）A.{}42x x -≤<B.{}42x x -≤≤C.{}12x x << D.{}12x x <≤【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的性质和交集的定义可得【详解】()()()lg 10,011,12,1,2,1,2x x x B A B -<∴<-<∴<<∴== ，故选:C2.函数()()ln e 12xxf x =+-（）A.是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增B.是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递㺂C.是奇函数，且在区间()0,∞+上单调递增D.既不是奇函数，也不是偶函数【答案】A 【解析】【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性.【详解】()f x 的定义域为R ，()()()()()ln e 1ln e 1ln e 1222xx x x x xf x x f x --=++=+-+=+-=，()f x \为偶函数；当0x >时，()()()e 1e 10,e 122e 1x x x xf x f x '-=-=>∴++在区间()0,∞+上单调递增.故选：A.3.如图，一个电路中有,,A B C 三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为12，这个电路是通路的概率是（）A.18B.38C.58D.14【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即得.【详解】元件,B C 都不正常的概率1111(1)224p =--=，则元件,B C 至少有一个正常工作的概率为1314p -=，而电路是通路，即元件A 正常工作，元件,B C 至少有一个正常工作同时发生，所以这个电路是通路的概率133248p =⨯=.故选：B4.已知数列{}n a ，则“()2223n n n a a a n n *-++=≥∈N ，”是“数列{}na 是等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先判断充分性：由已知可得22n n n n a a a a +--=-，数列{}n a 的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，举例可知数列{}n a 不一定是等差数列，再判断必要性：数列{}n a 是等差数列，可得222n n n a a a -+=+，可得结论.【详解】先判断充分性：22222,n n n n n n n a a a a a a a -++-+=∴-=- ，令()2n k k *=∈N，则22222242,k k k k aa a a a a +--=-==-∴ 数列{}n a 的偶数项成等差数列，令()*21n k k =-∈N，则2121212331,k k k k a a a a a a +----=-==-∴ 数列{}n a 的奇数项成等差数列，但数列{}n a 不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3，∴“()*2223,n n n a a a n n -++=≥∈N”不是“数列{}na 是等差数列”的充分条件；再判断必要性：若数列{}n a 是等差数列，则22221122222n n n n n n n n n n a a a a a aa a a a -+-+-+++=+=+=+，222n n n a a a -+∴=+，∴“()*2223,n n n a a a n n -++=≥∈N ”是“数列{}n a 是等差数列”的必要条件；综上，“()*2223,n n n a a a n n N -++=≥∈”是“数列{}na 是等差数列”的必要不充分条件.故选：B.5.已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若32a b =，2B A =，则cos B =（）A.716-B.716C.18-D.18【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理将边化为角，利用题设将B 换为A ，从而求出cos A ，再利用二倍角公式求出cos B .【详解】因为32a b =，所以3sin 2sin 2sin24sin cos A B A A A ===，因为()0,πA ∈，所以sin 0A >，所以34cos A =，即3cos 4A =，所以2231cos cos22cos 12148B A A ⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D ．6.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线在第一象限交于点A ，与y 轴交于点C ，若AF FC =，则直线l 的斜率为（）A.3B.3C. D.【答案】C 【解析】【分析】由题意可求得,AA p A '=的坐标为()p ，进而可求的l 的斜率.【详解】AF FC F =∴，为AC 的中点，过点A 作AA '垂直于y 轴于点,A OF '∴为AA C '△的中位线，则,AA p A '=∴的坐标为()p ，而,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线l的斜率为212k p ==.故选：C ．7.若函数()sin f x x x ωω=+(0)>ω在区间[,]a b 上是减函数，且()1f a =，()1f b =-，πb a -=，则ω=（）A.13B.23C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，确定π3a ω+与π3b ω+的值，两式相减，即可求出ω的值.【详解】由题知()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为()1f a =，()1f b =-，所以π1sin 32a ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 32b ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭又因为()f x 在区间[,]a b 上是减函数，所以()π5π2π36a k k ω+=+∈Z ，()π7π2π36b k k ω+=+∈Z 两式相减，得()π3b a ω-=，因为πb a -=，所以13ω=.故选：A.8.已知ABC是边长为P 是ABC 所在平面内的一点，且满足3AP BP CP ++=，则AP的最小值是（）A.1 B.2C.3D.83【答案】C 【解析】【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点P 的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解.【详解】法一：设ABC 的重心为G ，则33AP BP CP AG BG CG GP GP ++=+++=，3,1,AP BP CP GP ++=∴=∴点P 的轨迹是以G 为圆心，1为半径的圆，又23432AG =⨯⨯= ，AP ∴ 的最小值是13AG -= .法二：以AC 所在直线为x 轴，以AC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，则()()(),0,6,A B C -，设(),,3P x y AP BP CP ++=，即3，化简得22(2)1x y +-=，∴点P 的轨迹方程为22(2)1x y +-=，设圆心为G ，()0,2G ，由圆的性质可知当AP 过圆心时AP最小，又4AG ==，故AP得最小值为1413AG -=-=.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10.已知复数12,z z 满足：1z 为纯虚数，22124z z -=-，则下列结论正确的是（）A.2211z z =- B.237z ≤≤C.12z z -的最小值为3 D.123i z z -+的最小值为3【答案】ABD 【解析】【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得A ；借助复数的几何意义计算可得B ；借助圆与直线的距离可得C 、D.【详解】对A ：1z 为纯虚数，∴可设()222111i 0,,z b b z b z =≠∴=-=-∴选项A 正确；对B ：设()2i ,R z m n m n =+∈，22124z z -=- ，则()()22221444m n m n -+=-+，即()2254m n -+=，则2z 所对应点的轨迹是以()5,0为圆心，以2为半径的圆，237z ∴≤≤，∴选项B 正确；对C ：1z 为纯虚数，1z ∴对应点在y 轴上（除去原点），2z 所对应点的轨迹是以()5,0为圆心，以2为半径的圆，12z z ∴-的取值范围为()3,+∞，12z z ∴-无最小值，选项C 错误；对D ：()1223i 3i z z b z -+=+- ，表示点()0,3b +到以()5,0为圆心，以2为半径的圆上的点的距离，()()3i 0b b +≠ 为纯虚数或0，()0,3b +在y 轴上（除去点()0,3），∴当3b =-时123i z z -+取得最小值3，∴选项D 正确.故选：ABD ．11.已知函数()f x 的定义域为R ，对()()()(),,21x y f x y f x y f x f y ∀∈+--=-R ，且()()11,f f x ='为()f x 的导函数，则（）A.()f x 为偶函数B.()20240f =C.()()()1220250f f f +++'''= D.()()2211f x f x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：令0x =，()()f y f y =--可判断A ；对于B ：令0x y ==，()()11,f x f x +=--进而计算可判断B ；对于C ：()f x 为奇函数，可得()f x '为偶函数；进而可得()()()11,f x f x f x '=--'+'关于()1,0对称，可判断C ；对于D ：令1x y =-，可得()()()21122f f x fx --=，令1y x =-，则()()()212121f f x fx --=-，两式相加可判断D .【详解】对于A ：令0x =，则()()()()()()()212,f y f y f f y f y f y f y --==∴=--，()f x \为奇函数，故选项A 不正确；对于B ：令0x y ==，则()00f =，令1y =，则()()()()()()1121121,f x f x f x f f x f x +--=-=- 为奇函数，()()()()()()()1111,24()f x f x f x f x f x f x f x f x ∴-=--∴+=--∴+=-∴+=，，，()f x \的周期为4，()()202400f f ∴==，故选项B 正确；对于C ：()f x 为奇函数，()()()()(),,f x f x f x f x f x ∴=--∴-'∴'='为偶函数；()()11f x f x +=-- ()()()()()()11,24(),f x f x f x f x f x f x f x ''''∴+=--+=-∴+='∴''，的周期为4，()f x ' 为偶函数，()()11f x f x ∴'-'=-，()()()11,f x f x f x ∴+=--∴'''关于()1,0对称，所以()10f '=，令2x =，可得()()310f f ''=-=，令3x =，可得()()42f f ''=-，所以()()420f f ''+=，故()()()()12340f f f f ''''+++=，()()()()122025506010f f f f ∴+++=⨯+''''= ，故选项C 正确；对于D ：令1x y =-，则()()()21122f f y f y --=，即()()()21122f f x f x --=①，令1y x =-，则()()()212121f f x f x --=-②，由①+②得()()()()()()()()222222121122121211fx f x f f x f x f f x f x +-=----==∴+-=，故选项D 正确.故选：BCD ．【点睛】关键点睛：本题综合考查函数性质的应用，涉及到函数的奇偶性、周期性以及导数的知识，解答的关键是根据题意采用变量代换推出函数为周期为4的周期函数，进而求得一个周期内的函数值，即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分．12.已知圆锥曲线221mx ny +=的焦点在y 轴上，且离心率为2，则mn=______．【答案】13-【解析】【分析】由圆锥曲线是双曲线，方程表示成标准方程，由离心率求mn的值.【详解】圆锥曲线的离心率为2，则该圆锥曲线是双曲线，将方程化成焦点在y 轴上的标准形式22111y x n m-=-，由离心率2e =，有21141m nn m e m n⎛⎫+- ⎪-⎝⎭===，得13m n =-．故答案为：13-13.已知矩形ABCD中2AB BC ==，以AC 所在直线为旋转轴，将矩形ABCD 旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为______．【答案】56π9【解析】【分析】以AC 所在直线为旋转轴，ABC 旋转一周形成两个共底面的圆锥，ADC △旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为1V ，这两个几何体重叠部分是以圆O 为底面，,A C 为顶点的两个小圆锥，其体积记为2V ，计算可求矩形ABCD 旋转一周形成的面所围成的几何体的体积.【详解】如图，以AC 所在直线为旋转轴，ABC旋转一周形成两个共底面的圆锥，ADC △旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为1V ，这两个几何体重叠部分是以圆O 为底面，,A C 为顶点的两个小圆锥，其体积记为2V ，则所求几何体体积2212112356224π4π3339V V V ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：56π9.14.一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n 次()*n ∈N ，且每次取1只球，X 表示2n 次取球中取到红球的次数，0X X Y X ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则Y 的数学期望为______（用n 表示）．【答案】233n n n+【解析】【分析】由题知12,,0,1,0,3,0,21,03X B n Y n ⎛⎫~=- ⎪⎝⎭ ，()E Y =()12132321122221C 23C 221C 23n n n n n n n n ---⎡⎤+++-⎣⎦ ，利用1221C 2C k k n n k n --=，可求得()233n n n E Y =+.【详解】由题知12,,0,1,0,3,0,21,03X B n Y n ⎛⎫~∴=- ⎪⎝⎭，()()12132321113212221212121C 3C 21C 333333n n n n n n n E Y n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12132321122221C 23C 221C 23n n n n n n n n ---⎡⎤=+++-⎣⎦ ()()102122322122121212122C 2C ,C 2C 2C 23k k n n n n n n n n nn k n E Y --------=∴=+++ ，210211222232212102121212121(21)22C C 2C 2C 2C n n n n n n n n n n n -----------+=+++++ ，210211222232212102121212121(C 21)222C C C 2C 2n n n n n n n n n n n ------------=-+++- ，()21210212232212121212231231C2C2C2,23233n n n n n n n n n nn n n E Y --------++∴+++=∴=⋅+ .故答案为：233n n n+.二、解答题：本题共5小题，共77分．15.已知函数()(0)ax f x x =>．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有最大值12，求实数a 的值．【答案】（1）答案见解析（2）2e-【解析】【分析】（1）求导得()(0)ax f x x =>'，分类讨论可求单调区间；（2）利用（1）的结论可求实数a 的值．【小问1详解】()e (0)ax ax ax f x x =+=>'1°当0a ≥时()()0,f x f x >'∴在区间()0,∞+上单调递增。
2025届安徽省滁州市高三适应性调研考试数学试题含解析
2025届安徽省滁州市高三适应性调研考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ） A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或92．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>3．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A ．B ．CD ．204．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ） A ．156B ．124C ．136D ．1805．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）A ．6481B ．3227C ．89D ．16276．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心7．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 211B ．525-C ．5D ．518．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米9．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种10．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20B ．50C ．40D ．6011．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．21π2C ．41π4D ．10π12．函数cos ()22x xx x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A ． B ． C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期5月高考适应性考试理科数学试题
2．D
【分析】
根据复数运算，即可容易求得结果.
【详解】
.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的四则运算，属基础题.
3．C
【分析】
通过图表所给数据，逐个选项验证.
【详解】
根据图示数据可知选项A正确；对于选项B： ，正确；对于选项C： ，故C不正确；对于选项D： ，正确.选C.
A．2B． C． D．5
6．已知函数 的图像向右平移 个单位长度后，得到的图像关于 轴对称， ，当 取得最小值时，函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．在菱形 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，则 （）
A． B． C．5D．
8．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）
（1）求曲线G的方程;
（2）设直线l与曲线G交于M,N两点,点D在曲线G上, 是坐标原点 ,判断四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.
21．已知函数 .
（1）证明：函数 在 上存在唯一的零点；
（2）若函数 在区间 上的最小值为1，求 的值.
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ），点 .以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
19．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：
组别
男
2
3
5
2023-2024学年四川省成都市高三适应性考试(理科)数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高三适应性考试（理科）数学模拟试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【正确答案】A【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.若集合{}2560A x x x =--≤，{}7B x x =>，则()R A B ⋂=ð（）A.(]1,7- B.(]1,6- C.()7,+∞ D.()6,+∞【正确答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由2560x x --≤，即()()610x x -+≤，解得16x -≤≤，所以{}{}256016A x x x x x =--≤=-≤≤，()()R ,16,A ∴=-∞-+∞ ð，又{}7B x x =>，()()R 7,A B +∞∴= ð．故选：C ．3.构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）A.高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B.除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C.高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D.各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大【正确答案】C【分析】利用极差的概念，平均数的概念以及根据统计图表的相关知识判断选项即可.【详解】对于A，高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，所以极差为9.58.51-=，A错误；对于B，两班的德育分相等，B错误；对于C，高三（1）班的平均数为9.59.259.599.59.355++++=，（2）班的平均数为9.58.599.599.15++++=，故C正确；对于D，两班的体育分相差9.590.5-=，而两班的劳育得分相差9.258.50.75-=，D错误，故选：C．4.某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角形构成，则该四面体六条棱长最长的为（）A.B. C.5 D.4【正确答案】A【分析】根据三视图还原四面体，该四面体的四个面都是直角三角形，确定最长的棱，利用勾股定理可以计算其长度.【详解】：四面体如图所示，其中SB ⊥平面ABC ，且ABC 中，90ACB ∠=︒.由SB ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC 得到SB AB ⊥，同理SB BC ⊥，所以棱长最大为SA ，则SA ===故选：A5.设π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（）A.-2B.2C.-4D.4【正确答案】C【分析】先用两角差的正切公式可求出tan α的值，再用两角和的正切公式即可求解【详解】因为πtan 11tan 41tan 4ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以5tan 3α=，故πtan 1tan 441tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，故选：C ．6.函数22sin 3()cos x xf x x x+=+在[,]-ππ的图像大致为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】先利用定义判断出函数是奇函数，可排除A ，再求出()f π判断正负，可排除BD.【详解】()()()()()222sin 32sin 3()cos cos x x x xf x f x x xx x -+-+-==-=-+-+- ，()f x \是奇函数，故A 错误；222sin 33()0cos 1f πππππππ+==>+- ，故BD 错误.故选：C.思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7.从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a ，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b = 与向量(2,1)n =-垂直的概率为（）A.19B.29C.13D.23【正确答案】B【分析】求出组成向量(,)m a b = 的个数和与向量(2,1)n =-垂直的向量个数，计算所求的概率值．【详解】解：从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a ，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b ，可以组成向量(,)m a b =的个数是339⨯=（个)；其中与向量(2,1)n =- 垂直的向量是(1,2)m = 和(2,4)m = ，共2个；故所求的概率为29P =．故选：B ．8.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为31.2mg /cm ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg 20.3≈，lg 30.477)≈（）A.8B.9C.10D.11【正确答案】A【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为 1.2(10.2)n y =-，在根据题意列出不等式解出即可．【详解】过滤第一次污染物的含量减少20%，则为1.2(10.2)-；过滤第两次污染物的含量减少20%，则为21.2(10.2)-；过滤第三次污染物的含量减少20%，则为31.2(10.2)-；过滤第n 次污染物的含量减少20%，则为1.2(10.2)-n ；要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，则1.2(10.2)0.2-≤n ，即5(64≥n，两边取以10为底的对数可得5lg(lg 64≥n，即52lg()lg 2lg 38⨯≥+n ，所以lg 2lg 313lg 2n +≥-，因为lg 20.3,lg 30.477≈≈，所以lg 2lg30.30.4777.7713lg 2130.3++≈=--⨯，所以7.77n ≥，又*n ∈N ，所以min 8n =，故排放前需要过滤的次数至少为8次．故选：A ．9.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为（）A.y 2＝9xB.y 2＝6xC.y 2＝3x D.y 2【正确答案】C【分析】过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解．【详解】如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由抛物线定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1，|FC |＝3a ＝3，所以p ＝|FG |＝12|FC |＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x ，故选：C.10.已知5log 2a =，0.7log 0.1b =，0.40.7c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b<<【正确答案】A【分析】由55log 1log 2log <<，0.70.7log 0.1log 0.71>=，10.400.70.70.7<<即可判断出大小．【详解】55log 1log 2log <<，即102a <<，0.70.7log 0.1log 0.7>，即1b >，10.400.70.70.7<<，即0.71c <<，所以a c b <<，故选：A ．11.当π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()πcos 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是31,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（）A.π7π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.2π7π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.π5π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2π5π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】D【分析】解法一：画出函数的图象，由x 的范围求出π33x +的范围，根据()f x 的值域可得答案；解法二：由x 的范围求出π33x +的范围，根据cos y x =的图象性质和()f x 的值域可得答案．【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可知5πππ33633x m ≤+≤+，因为π5πcos 662f ⎛⎫==-⎪⎝⎭且2π19f cos π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，要使()f x 的值域是1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，只要2π5π918m ≤≤，即2π5π,918m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；解法二：由题π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可知5πππ33633x m ≤+≤+，由cos y x =的图象性质知，要使()f x 的值域是1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则π7ππ336m ≤+≤，解之得2π5π,918m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：D .12.如图，圆台12O O 的上、下底面圆半径分别为1、2，高12O O =S 、A 分别为其上、下底面圆周上一点，则下列说法中错误的是（）A.该圆台的体积为1423B.直线SA 与直线12O O 所成角最大值为π3C.该圆台有内切球，且半径为D.直线1AO 与平面12SO O 所成角正切值的最大值为2【正确答案】B【分析】对于A ，根据圆台的体积公式，可得答案；对于B ，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案；对于C ，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案；对于D ，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案.【详解】对于A 选项，()π124π33V =++⋅=，则A 选项正确．对于B 选项，如图（1），过S 作SD 垂直于下底面于点D ，则12//O O SD ，所以直线SA 与直线12O O 所成角即为直线SA 与直线SD 所成角，即ASD ∠为所求，而tanAD ASD SD ∠==，由圆的性质得，13AD ≤≤，所以232tan ,44AD ASD SD ∠==⎣⎦，因为πtan 43<=，则B 选项错误．对于C 选，设上底面半径为1R ，下底面半径为2R ，若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为22221(22)3+=，假设等腰梯形有内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为123R R +=，所以圆台存在内切球，2，则C选项正确；对于D 选项，如图（3），平面12SO O 即平面12SO O C ，过点A 做AH BC ⊥交BC 于点H ，因为SD 垂直于下底面，而AH 含于下底面，所以SD AH ⊥，又SD BC D = ，且,BC SD ⊂平面12SO O C ，所以AH ⊥平面12SO O C ，所以直线1AO 与平面12SO O C 所成角即为1AO H ∠，且11tan AH AO H O H∠=．设AH x =，则222224O H R AH x =-=-，所以222211228412O H O O O H x x =+=+-=-，其中[]0,2AH x =∈，所以121tan 12AH xAO H O H x∠==-当0x =时，1tan 0AO H ∠=，当(]0,2x ∈时，21221tan 12121x AO H x x ∠==--可知函数y =(]0,2上单调递增，所以当2x =时，1tan AO H ∠有最大值，最大值为2，所以D选项正确．故选：B .本题考查立体几何的内切球问题，线面角的最值求解，异面直线所成角的求解，圆台的体积的求解.对于D 选项这样的动点问题求最值，如果不能从图形中找到最值对应的点的位置，那么可以通过求函数最值的方法求解.第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某高中在校学生有2000人．为了响应“光体育运动”号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级跑步a b c 登山xyz其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________．【正确答案】36人【详解】根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×3235＋＋＝36.14.二项式24(1)(1)x x +-展开式中4x 的系数为______．【正确答案】7【分析】利用二项式定理直接求解.【详解】因为4(1)x -的二项展开式的通项公式为()14C rr r T x +=-，所以二项式24(1)(1)x x +-展开式中4x 的项为()()424224441C C 7x x x x ⨯-+⨯-=，故二项式24(1)(1)x x +-展开式中4x 的系数为7.故7.15.已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且3b =，2a c -=，23A π=.则ABC 的面积为______.【正确答案】4【分析】由余弦定理结合已知条件可求出5c =，即可由面积公式求出面积.【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 3b =，2a c -=，23A π=，()222123232c c c ⎛⎫∴+=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得5c =，则ABC 的面积为11sin 352224S bc A ==⨯⨯⨯=.故答案为.153416.已知点()4,0F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若2AF FB =，则双曲线C 的方程为______．【正确答案】221124x y -=【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令点A 在直线0bx ay -=上，2216a b +=，如图，因为AF OA ⊥，则4||4bAF b ===，而2AF FB =，即有||2||2,||3FB AF b AB b ===，||OA a ===，sin 4bAOF ∠=，由2AF FB =知，点,A B 在y 轴同侧，于是π2(0,2AOB AOF ∠=∠∈，22cos 12sin 108b AOB AOF ∠=-∠=->，28b <，在Rt AOB △中，||OB ===由cos OA OB AOB =∠得：2(18ba =-，整理得：22228(16)(2)(8)b b b -=+-，化简得4214400b b -+=，解得24b =或210b =（舍去），所以24b =，212a =，所以双曲线方程为221124x y -=．故答案为.221124x y -=三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列{}n a 的公差为正数，且11a =，若26114,2,a a a a -分别是等比数列{}n b 的前三项．（1）分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求数列11{}n n a a +的前n 项之和n S ．【正确答案】（1）21,3nn n a n b =-=（2）21n n S n =+【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，然后由已知可得()()()2111513d a a d a d -=++，解方程组可求出d 的值，从而可求得数列{}n a 的通项公式，进而根据题意可求出{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得11111()22121n n a a n n +=--+，再利用裂项相消法求出n S .【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，因为2a ，612a a -，14a 是等比数列{}n b 的前三项，所以()2612142a a a a -=，即()()()2111513d a a d a d -=++，化简得12d a =，又11a =，所以2d =．得()12121n a n n =+-=-．由（1），可得数列{}n b 的前三项分别为13b =，29b =，327b =，显然该等比数列{}n b 的公比为3，首项为3．所以3nn b =．综上，两数列的通项公式分别为21,3nn n a n b =-=．【小问2详解】111111((21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+．则11111111(1...)(1)2335212122121n n S n n n n =-+-++-=-=-+++18.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷．现从使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图，如图所示．（1）试估计使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：①能否认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?②如果你要从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．【正确答案】（1）40（分钟）（2）①可以认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%；②选B 款订餐软件，理由见解析【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算即可求得平均数；（2）①计算出使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分的频率，比较即可得解；②计算出使用B 款订餐软件商家的“平均送达时间”的平均数，与使用A 款订餐软件商家的“平均送达时间”的平均数进行比较即可得解.【小问1详解】依题意可得：使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为：15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40（分钟）．【小问2详解】①使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%＞75%．故可以认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%．②使用B 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40．所以选B 款订餐软件．19.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的菱形，120ABC ∠=︒，1PB =，PB AB ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小．【正确答案】（1）证明见解析（2）60︒【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证AC PB ⊥，再根据题意，结合面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）根据题意可建立以点B 为原点，以直线BA BP BE 、、为x y z 、、轴的空间直角坐标系，再利用空间向量法，即可求出二面角的大小．【小问1详解】证明：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，且PB AB ⊥，PB ⊂面PAB ，∴PB ⊥平面ABCD ，∵AC ⊂面ABCD ，∴AC PB ⊥，由菱形性质知AC BD ⊥，∵PB BD B ⋂=，∴AC ⊥平面PBD ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PBD ⊥平面PAC ．【小问2详解】解：如图，设CD 的中点为E ，∵112CE CD ==，60BCE ∠=︒，2BC =，BE CE ∴⊥∴BE AB ⊥，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，且BE AB ⊥，BE ⊂平面ABCD ∴BE ⊥面PAB ，又PB AB ⊥，所以,,BE PB AB 两两互相垂直，所以以点B 为原点，以直线BA BP BE 、、为x y z 、、轴，如图所示建立空间直角坐标系，可得()0,0,0B ，()2,0,0A ，()0,1,0P，(C -，(D ，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =，而(AD =- ，()2,1,0AP =-，由00m AD m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020x x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取x =得)=m ，设平面PBC 的一个法向量为(),,n a b c = ，且()0,1,0BP =，(BC =- ，由0n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00b a =⎧⎪⎨-=⎪⎩，取a =)n = ，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，则1cos cos ,2m n m n m nθ⋅===⋅，所以60θ=︒，故平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为60︒．20.如图．已知圆22:(2)81M x y -+=，圆22:(2)1N x y ++=．动圆S 与这两个圆均内切．（1）求圆心S 的轨迹C 的方程；（2）若()2,3P 、()2,3Q -是曲线C 上的两点，A B 、是曲线C 上位于直线PQ 两侧的动点．若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值．【正确答案】（1）2211612x y +=（2）123【分析】（1）设动圆S 与两个已知圆的切点分别为12,T T ，根据椭圆的定义可得点S 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，求出,a b 可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为12yx t =+，代入椭圆方程，由0∆>得t 的范围，利用韦达定理得四边形APBQ 的面积()2121234S x x x x =+-【小问1详解】如图，设动圆S 与两个已知圆的切点分别为12,T T ，由12ST ST =，91,8224SM SN SM SN ∴-=+∴+=>+=，所以点S 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，所以22228,4,24,2,16412a a c c b a c =====-=-=，所以点S 的轨迹方程为：2211612x y +=；【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为12y x t =+，代入2211612x y+=中，整理得22120x tx t ++-=，()224120t t ∆=-->，解得44t -<<，12x x t +=-，21212x x t =-，四边形APBQ 的面积121632S x x =⨯⨯-==当0=t 时，max S =APBQ面积的最大值为关键点点睛：第二问关键点是利用韦达定理表示四边形APBQ 的面积再求最值，能较好的考查学生思维能力、分析问题及解决问题的能力.21.若函数()()211ln 022f x a x x a x =-++>有两个零点12,x x ，且12x x <.（1）求a 的取值范围；（2）若()f x 在()1,0x 和()2,0x 处的切线交于点()33,x y ，求证.()312221x x x a <+<+【正确答案】（1）()0,∞+（2）证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求函数单调性，根据单调性及函数图象的变化趋势结合零点个数求解；（2）构造函数()()ln 1g x x x =--，利用单调性证明ln 1≤-x x 证明右边，再利用导数求切线方程得出()22121212ln ln x x a x x -=-，左边可转化为()11ln 12t t t t ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，利用导数证明即可.【小问1详解】()2a x af x x x x-+'=-=当0a ≤，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减，不可能两个零点；当0a >时，令()0f x '=得x =(0,x ∈，()0f x ¢>，()fx 单调递增，)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，∵0x →，()f x →-∞；()10f f a ≥=>；x →+∞，()f x →-∞∴(x ∈有唯一零点且)x ∈+∞有唯一零点，满足题意，综上：()0,a ∈+∞；【小问2详解】先证右边：令()()ln 1g x x x =--则()1xg x x-'=，∴()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，∴()g x 的最大值为()10f =，∴()0g x ≤，即ln 1≤-x x ，∴()()()()22111121ln 212122102222f a a a a a a a a a a +=+-+++≤⋅-+++=-<且21a +>∴221x a <+，又∵()10f >，∴11<x ，∴()1221121x x a a +<++=+；再证左边：曲线()y f x =在()1,0x 和()2,0x 处的切线分别是()1111:a l y x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()2222:a l y x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭联立两条切线得123121x x x ax x +=+，∴123121x x ax x x +=+，由题意得()222111221222111ln 022211ln ln ln 022a x x a x x a x x a x x a ⎧-++=-⎪⎪⇒=⎨-⎪-++=⎪⎩，要证3122x x x <+，即证1232x x x +>，即证121a x x >，即证122112121ln x x x x xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭>，令121x t x =<，即证()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭，令()11ln 2h t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()22102t h t t -'=-<，∴()h t 在()0,1单调递减，∴()()10h t h >=，∴()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭得证.综上.()312221x x x a <+<+关键点点睛：导数题目中的证明题，主要观察所证不等式，直接构造函数，或者将不等式转化变形后，利用导数判断函数的单调性及最值，利用函数的单调性或有界性求证，对观察、运算能力要求较高，属于难题.（二）选考题[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知直线l的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），曲线C 是以点(0,2)C 为圆心，且过坐标原点的圆．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若M ，直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求||||||||MB MA MA MB +的值．【正确答案】（1）:4sin C ρθ=，()π:R 3l θρ=∈（2）3312-【分析】（1）根据直角坐标方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==即可化成极坐标方程，由参数方程消参即可得普通方程，再由普通方程化为极坐标.（2）联立直线与曲线的方程，由韦达定理，结合直线的参数方程中参数的几何意义即可求解，或者由两点坐标公式求解.【小问1详解】由曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=，由cos ,sin x y ρθρθ==得其极坐标方程为4sin ρθ=．又由直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得直线y =，所以直线l 的极坐标方程为()πR 3θρ=∈．【小问2详解】解法一：将直线l的参数方程代入曲线可得，22133140222t t ⎫⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭，整理可得，()2440t +--=．设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,t t 是方程的两个根．由韦达定理可得，121244t t t t ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩．所以，1221||||||||t t MB MA MA MB t t +=+()22212121212122t t t t t t t t t t +-+==242412----=解法二：联立直线l 与曲线C 的方程2240y x y y⎧=⎪⎨+-=⎪⎩可得，20x -=，解得10x =，2x =．代入y =可得，10y =，23y =．不妨设()0,0A ，)B，则2MA ==，)21MB ==．所以，)21||||331||||22MB MA MA MB -+==．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()12f x x x a =--+.（1）当12a =时，求不等式()0f x 的解集；（2）当1a - 时，若函数()12g x xb =+的图象恒在()f x 图象的上方，证明.232b a ->【正确答案】（1）{2xx -∣ 或0}x（2）证明见解析【分析】（1）分类讨论x 的范围得到()f x 的解析式，然后列不等式求解即可；（2）根据()f x 的单调性得到max ()1f x a =+，然后根据函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方得到()112g a a b a -=-+>+，即可证明232b a ->.【小问1详解】当12a =时，()12,211123,1222,1x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=--≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩，所以当12x <-时，20x +≤，解得2x ≤-；当112x -≤≤时，30x -≤，解得01x ≤≤；当1x >时，20x --≤，解得1x >.综上，不等式()0f x ≤的解集为{2xx ≤-∣或0}x ≥.【小问2详解】证明：当1a ≥-时，()21,12321,121,1x a x a f x x x a x a a x x a x ++<-⎧⎪=--+=--+-≤≤⎨⎪--->⎩，所以当x a =-时，()f x 取得最大值，且max ()1f x a =+.要使函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方，由数形结合可知，必须满足()112g a a b a -=-+>+，即232b a ->，原不等式得证.。
【解析】陕西省西工大附中2014届高三下学期第五次适应性训练数学(理)试题
【解析】陕西省西工大附中2014届高三下学期第五次适应性训练数学（理）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合{}2|560S x x x =--<，{}|2|3T x x =+≤，则S T =（ ）A. {|51}x x -≤<-B. {|55}x x -≤<C. {|11}x x -<≤D. {|15}x x ≤<【答案】C【 解析】因为集合{}{}2|560|16S x x x x x =--<=-<<，{}{}|2|3|51T x x x x =+≤=-≤≤，所以S T ={|11}x x -<≤。
2．已知函数()f x 在R 上可导，且2()2'(2)f x x x f =+⋅，则(1)f -与(1)f 的大小关系为（ ）A ．(1)(1)f f -=B ．(1)(1)f f ->C ．(1)(1)f f -<D ．不确定【答案】B【 解析】因为2()2'(2)f x x x f =+⋅，所以()22'(f x x f '=+，所以(2)42'(2),'(f f f '=+=-即，所以2()8,(1)7,(1)9f x x x f f =-=--=所以，所以(1)(1)f f ->。
3．将函数sin y x = 的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）A. sin(2)10y x π=-B.sin(2)5y x π=-C.1sin()210y x π=-D.1sin()220y x π=- 【答案】C【 解析】将函数sin y x = 的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，得到函数sin 10y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210y x π=-。
白城市重点中学2024届高三下学期适应性考试数学试题试卷
白城市重点中学2024届高三下学期适应性考试数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝2．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC 的面积为（ ）A B C ．154D 3．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．324．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ） A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种5．设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．12B 1C ．12D 16．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=AB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =B ．y x =C ．=±y x D ．)1=±y x7．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1213-B ．1213C ．613-D ．6138．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．2nn a =C ．21nn S =-D ．121n n S -=-9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．7310．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．111．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．512．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省2024届高三下学期5月适应性考试 数学含答案
2024届高三年级五月适应性考试数学试题（答案在最后）时限：120分钟满分：150分命审题：高二数学备课组一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}42A x x =-≤≤，(){}lg 10B x x =-<，则A B = （）A.{}42x x -≤< B.{}42x x -≤≤ C.{}12x x << D.{}12x x <≤2.函数()()ln e 12x x f x =+-（）A.是偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增B.是偶函数，且在区间()0,+∞上单调递减C.是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递增D..既不是奇函数，也不是偶函数3.如图，一个电路中有A ，B ，C 三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为12，这个电路是通路的概率是（）A.18B.38C.58D.144.已知数列{}n a ，则“222n n n a a a -++=（3n ≥，*n ∈N ）”是“数列{}n a 是等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知ABC △的三个角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若32a b =，2B A =，则cos B =（）A.716-B.716C.18-D.186.设抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线在第一象限交于点A ，与y 轴交于点C ，若AF FC =，则直线l 的斜率为（）A.3B.3C.7.若函数()sin f x x x ωω=+（0ω>）在区间[],a b 上是减函数，且()1f a =，()1f b =-，πb a -=，则ω=（）A.13 B.23C.1D.28.已知ABC △是边长为点P 是ABC △所在平面内的一点，且满足3AP BP CP ++=，则AP的最小值是（）A.1B.2C.3D.83二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得．．．．．．2．分．，有选错的得0分9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别为棱1AA ，11A D ，AB ，DC 的中点，点P 是面B ，C 的中心，则下列结论正确的是（）A.E ，F ，M ，P 四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF ⊥平面PMN10.已知复数1z ，2z 满足：1z 为纯虚数，22124z z -=-，则下列结论正确的是（）A.2211z z =- B.237z ≤≤C.12z z -的最小值为3D.123i z z -+的最小值为311.已知函数()f x 的定义域为R ，对x ∀，y ∈R ，()()()()21f x y f x y f x f y +--=-，且()11f =，()f x '为()f x 的导函数，则（）A.()f x 为偶函数B.()20240f =C.()()()1220250f f f ++⋅⋅⋅'+'=' D.()()2211f x f x +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.12.已知圆锥曲线221mx ny +=的焦点在y 轴上，且离心率为2，则mn=______.13.已知矩形ABCD 中，AB =2BC =，以AC 所在直线为旋转轴，将矩形ABCD 旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为______.14.一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球名1只，现从口袋中先后有放回地取球2n 次（*n ∈N ），且每次取1只球，X 表示2n 次取球中取到红球的次数，,0,X X Y X ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则Y 的数学期望为______.（用n 表示）四、解答题：本题共5小题，共77分.15.（本小题满分13分）已知函数()ax f x =（0x >）（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有最大值12，求实数a 的值.16.（本小题满分15分）（1）假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()11,x y ，()22,x y …(),n n x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()20,Y bx e E e D e σ=+⎧⎨==⎩，请写出参数b 的最小二乘估计；（2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果。
湖南省岳阳市岳阳县2023届高三下学期新高考适应性测试数学试题(含解析)
湖南省岳阳市岳阳县2023届高三下学期新高考适应性测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．3B．5C．7D二、多选题三、填空题四、双空题(1)求()f x 的最小正周期及解析式；(2)将函数()y f x =的图象向右平移在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC (2)若E 是PB 的中点，且二面角成角的正弦值．20．汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企(1)若点M 的坐标为()(1,0m m >(2)若点M 的坐标为()0,1，且直线MA MB ⋅为定值，并求出该定值；(3)如图，设点M 的坐标为(),s t参考答案：8．D【分析】设内层椭圆方程为22x a +221(1)x y m +=>，再根据直线与椭圆的位置关系可求出当2π3t =时，2π2sin1313y =+=+，由图可知，当313m +≤<时，直线y =交点，因此，实数m 的取值范围是)31,3⎡+⎣，故选：BCD.故选：ACD 12．AC所以双曲线E的方程为2213yx-=对A，由题可得双曲线E的渐近线方程为对B，由双曲线的性质可知过点(11又过点()11，的直线斜率不存在时，即故过点()11，的直线存在三条直线与双曲线因为PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂所以AC PC ⊥，又AD CD =设AB 的中点为G ，连接CG 所以CG AB ⊥，且2BC =则()()()0,0,0,1,1,0,1,1,0C A B -，设 ()0,0,,0P a a >，则 11,22E ⎛- ⎝所以 ()()1,1,0,0,0,,CA CP a CE === 因为 ,,BC AC BC PC AC PC ⊥⊥⋂所以 BC ⊥平面PAC ，则 m CB =。
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贵州省贵阳市第一中学2017届高三数学下学期第五次适应性考试试题理（扫描版）贵阳第一中学2017届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由于{|01}M x x x =<>或，{|1}N y y =-≥，∴{|01}M x x =R ≤≤ð，(){|01}M N x x =R ≤≤ð，故选A ．2．((2i))(5)7f f f -==，故选B ．3．∵“函数2211()cos sin 22f x x x ωω=-的最小正周期为4π”1||2ω⇔=，故选A ．4．π()sin3n f n =的最小正周期为6，而(1)(2)(6)f f f +++=，当2017n =时，0336S =⨯=，故选B ． 5．要求三个数字排四位数，且同一数字不能相邻出现，千位数字有3种选法，百位有2种，十位有2种，个位有2种，共322224⨯⨯⨯=种，故选C ． 6．由题意，1098101(12)22222112⨯-++++==--，故选C ．7．由已知，1a b ==，，双曲线的渐近线方程为y =，直线030l x +=：与渐近线1l y =：平行，要让双曲线右支上的动点P 到直线30x +=的距离大于c 恒成立，即c 恒小于动点P 到该直线的距离，即c 小于平行直线0l 与直线1l 之间的距离，故选D ． 8．由已知，可得cos(π)cos(π)cos(π)321ac B ab C bc A k ---===，则22223a c b acac +-= 2222222221a b c b c a ab bcab bc k +-+-==-，222222222642a c b k a b c k b c a k ⎧+-=-⎪+-=-⎨⎪+-=-⎩，，，得25a k =-， 23b k =-，24c k =-，（k <0），∴222435c b a =：：：：，∴2c b a =：：C ． 9．由已知，(23)0.50.15870.341P X =-=≤≤，(13)20.34130.6826P X =⨯=≤≤，所以1σ=，1(01)(0.95440.6826)0.13592P X =⨯-=≤≤，∴阴影区域内估计有10000−1359=8641个点，故选B ． 10．如图1，目标函数52z x y =+在直线522zy x =-+与1x =的交点A 处取得最小值4，代入得点A 坐标为112A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，52z x y =+在直线522zy x =-+与24x y +=的交点B 处取得最大值16，代入得点B 坐标为132B ⎛⎫⎪⎝⎭，，点A ，B在直线0ax by c ++=上，代入得22c a b a =-⎧⎨=-⎩，，∴3a b ca ++=-，故选A ．11．由已知，该四面体的对棱相等，补形为长方体，四面体的六条棱恰为该长方体的面对角线，如图2．则22222251132310x y x y z y z x z ⎧+==⎧⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩，，，，，该四面体的外接球即为该长方体的外接球，2RR =24π14πS R ==表，故选C ． 12．当0x >时，()()(())0xf x f x xf x ''+=>，故函数()()g x xf x =在(0)+∞，上递增，又()f x 是定义域为R 的连续奇函数，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，()y g x =∴是R 上的偶函数，且在(0)+∞，上递增，在(0)-∞，上递减，要使()(12)(21)0xf x x f x +-->成立，即使()(21)g x g x >-成立，即要|||21|x x >-，解得113x <<，故选D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．52x y 的项为22222152531C C ()C ()30y x x x y -=-．图1图214．由已知，得c =，2a =，1b =，由椭圆定义，得12||||4PF PF +=，由余弦定理得222221212121212(||||)||||2||||(2)2||||(1cos )4PF PF PF PF PF PF c PF PF F PF +=++=++∠=，得12122||||1cos PF PF F PF =+∠，又1212121||||sin 2F PF S PF PF F PF =∠△，解得122π3F PF ∠=，12||||4PF PF =，故122PF PF =-．15．该四面体如图3，则112122323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．16．由已知21n nn a a a +=+，得210n n n a a a +-=>，故数列{}n a 为递增数列．又2111111(1)1n n n n n n n a a a a a a a +===-+++，得11111n n n a a a +=-+，则20171120181111n n a a a ==-+∑ 201812a =-，又234a =，321116a =>，那么201831a a >>，故20171120182018111121n n a a a a ==-=-+∑ (12)∈，，故整数部分为1．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知，得22⨯列联表如下：120……………………………………………………………………………（3分）22120(10703010)3 2.706408020100K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯∵，所以有90%的把握认为能否连续战胜五名对手与年龄有关． ……………（6分）（Ⅱ）这9名选手中年龄在21~30岁的有3人，31~40岁的有6人． 从中抽3人，记年龄在21~30岁的人数为随机变量X ，则X =0，1，2，3．……………………………………………………………（8分）X 服从超几何分布H (9，3，3)，X 的分布列为图3……………………………………………………………（11分）∴()1E X =. ……………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图4，设M 为AB 中点，连接DM ， 则DM ∥AC且12DM AC ==．在△ADM 中， 由余弦定理，得2222cos AD AM DM AM DM AMD =+-∠，因为ADcos BAC ∠=，可得1AM =，故2AB =， ………………（3分） 从而2222cos 16BC AC AB AC AB BAC =+-∠=，∴4BC =，……………（4分）∴222cos 2BC AC AB C BC AC +-==． …………………………………………（6分）（Ⅱ）∵BE 是ABC ∠的角平分线，记ABE CBE θ∠=∠=， 由正弦定理，得sin sin AE AB BEA θ=∠①，sin sin CE BCBECθ=∠②， 且sin sin BEA BEC ∠=∠， 由①②得：12AE AB EC BC ==， …………………………………………（9分）∴AE∴2222cos 4BE AB AE AB AE BAC =+-∠=， ……………………（11分）∴2BE =． …………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：设1AB =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，B (1，1，0)，E (1，1，1)，A (1，0，0)，D 1(0，0，2)，1002F ⎛⎫⎪⎝⎭，，， …………………………………………（2分） 1102BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，1(102)AD =-，，，(011)AE =，，， 设平面AD 1E 的法向量()n x y z =，，，图4图5则1200n AD x z n AE y z ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，， 取2x =，得(211)n =-，，，…………………………………………………（4分）1100BF n =-++=∵， …………………………………………………………（5分）且BF ⊄平面AD 1E ，∴BF ∥平面AD 1E ．…………………………………（6分）（Ⅱ）解：C (0，1，0)，(011)AE =，，，(110)AC =-，，， 设平面AEC 的法向量()m a b c =，，，则00m AE b c m AC a b ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩，， 取1a =，得(111)m =-，，，…………………………………………………（9分）又平面AD 1E 的法向量(211)n =-，，，2110m n =--=，故m n ⊥，∴二面角D 1−AE −C 的大小为90︒． ……………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知，过椭圆C 的右焦点的直线与椭圆C 相交所得的弦长最小值为通径长，即223b a=，又椭圆的离心率12c e a ==，所以21a c ==，，22222413a c b a c ===-=，，．椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ……………………………………………（4分）（Ⅱ）直线l 的方程为(2)y k x =-．设点B 坐标为()B B x y ，，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，化简得2222(43)1616120k x k x k +-+-=，B x 和2是它的两实根， 由韦达定理，得221612243B k x k -=+，故228643B k x k -=+，21243B k y k -=+． …………（6分） 点F 坐标为(10)，，设点H 坐标为(0)H y ，， 则(1)H FH y =-，，22249124343k k FB k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，， 又BF HF ⊥，故0FH FB =，得2224912104343Hk ky k k ---+=++，解得29412H k y k-=．………………………………………………………（8分）又1l l ⊥，所以1l 的方程为294112k y x k k--=-，设点M 坐标为()M M x y ，，2(2)19412y k x k y x k k =-⎧⎪⎨-=-+⎪⎩，由， 得2220912(1)M k x k +=+． ……………………………………（10分） 在△MAO 中，||||MOA MAO MA MO ∠∠⇔≤≤，即2222(2)M M M Mx y x y -++≤， 即22(2)M M x x -≤，化简得1M x ≥，即22209112(1)k k ++≥，解得k k ≤所以直线l 的斜率k的取值范围是6⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭，，．…………………（12分） 21．（本小题满分12分） （Ⅰ）解： 0a ≠，21()2121a f x x x ax a x a'=--=--++． …………………（1分）由已知，函数()f x 在0x =处取得极值，故(0)0f '=，得1a =， ………………（2分） ∴2()ln(1)(1)f x x x x x =+-->-，1(23)()2111x x f x x x x -+'=--=++， 由下表：…………………………………………………………（3分） ∴函数()f x 的单调增区间为(10)-，，单调减区间为(0)+∞，． ………………（4分） （Ⅱ）解：方程5()2f x b x =-在区间(02)，上有两个不等实根，等价于方程2()52f x x b +=在区间(02)，上有两个不等实根．记2()2()52ln(1)23g x f x x x x x =+=+-+，2(45)(1)()4311x x g x x x x -+-'=-+=++，∴在区间(02)，上，而(0)0(1)2ln 21(2)2ln320g g g ==+=->，，， 所以2ln 3222ln 21b -<<+，1ln31ln 22b -<<+， ∴1ln 31ln 22b ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，．…………………………………………………（8分）（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当0x >时，函数()f x 单调递减，(0)0f =， ∴2ln(1)0x x x +--<，2ln(1)x x x +<+，取1()x n n *=∈N ，得211ln n n n n ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，累加得222231231ln ln ln1212n n n n+++++<+++， 所以222231ln(1)12n n n++++>+对n *∈N 成立． …………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为0)y x x =-00y -=， ………（1分） 曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，即22(1)1x y +-=， ………………（2分） 因为|MN |=2，所以直线l 过圆心(01)，， ……………………………（4分）代入l 的方程得0x =． ……………………………（5分）（Ⅱ）曲线C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，，（θ为参数），则(cos 1sin )P θθ+，， ……………………………………………………………（7分）则πsin cos 114x y θθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，……………………………（9分）所以[11x y +∈．…………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）22221()222p q r p q r pq qr rp =++=+++++∵ …………………（2分） 222222422pq r pq qr rp pq r qr rp ++++=+++≥，当且仅当p q =时等号成立，………………………………………………………………………………………（4分）21422pq r qr rp -++∴≥． ………………………………………………………（5分） （Ⅱ）222222222q r p r p q qr pr pqp q r p q r+++++++≥ ……………………………（7分） qr pq pq pr pr qr r p q r p q q p r p r r q q p p r r q q p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……（9分） 2222q p r ++=≥，当且仅当p q r ==时等号成立． …………………………（10分）。