2021高考数学一轮复习考点通关练第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试39复数课件苏教版

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2021年高考数学一轮复习第五章第2讲知能训练轻松闯关

2021年高考数学一轮复习第五章第2讲知能训练轻松闯关1．(xx·高考重庆卷)在等差数列{a n}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( ) A．5 B．8C．10 D．14解析：选B.法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.法二：由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.2．(xx·潍坊质检)已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3＝6，S3＝12，则公差d＝( )A．1 B．2C．3 D.5 3解析：选B.在等差数列{a n}中，S3＝3（a1＋a3）2＝3（a1＋6）2＝12，解得a1＝2，又a3＝a1＋2d＝2＋2d＝6，解得d＝2.3．(xx·新乡许昌平顶山第二次调研)设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，a3＝5，S k＋2－S k＝36，则k的值为( )A．8 B．7C．6 D．5解析：选A.设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得2d＝a3－a1＝4，得d＝2，所以a n＝1＋2(n－1)＝2n－1.S k＋2－S k＝a k＋2＋a k＋1＝2(k＋2)－1＋2(k ＋1)－1＝4k＋4＝36，解得k＝8.4．已知函数f(x)＝2x，等差数列{a n}的公差为2.若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)＝( )A．0 B．2－6C．2－2 D．－4解析：选B.依题意得a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝2－5×2＝－8，所以f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)＝2a1＋a2＋…＋a10＝2－6，故选B.5．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S10>0并且S11＝0，若S n≤S k对n∈N*恒成立，则正整数k构成的集合为( )A．{5} B．{6}C．{5，6} D．{7}解析：选C.在等差数列{a n}中，由S10>0，S11＝0，得S 10＝10（a1＋a10）2>0⇒a1＋a10>0⇒a5＋a6>0，S 11＝11（a1＋a11）2＝0⇒a1＋a11＝2a6＝0，故可知等差数列{a n}是递减数列且a6＝0，所以S5＝S6≥S n，其中n∈N*，所以k＝5或6.6．(xx·高考北京卷)若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{a n}的前n项和最大．解析：∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<－a8<0.∴数列的前8项和最大，即n＝8.答案：87．(xx·湖北荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．解析：设数列{a n}为该等差数列，依题意得a1＋a n＝124＋1564＝70.∵S n＝210，S n ＝n（a1＋a n）2，∴210＝70n2，∴n＝6.答案：68．设数列{a n}的通项公式为a n＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．解析：由a n＝2n－10(n∈N*)知{a n}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n＝2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，a n≤0，当n>5时，a n>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.答案：1309．各项均为正数的数列{a n}满足a2n＝4S n－2a n－1(n∈N*)，其中S n为{a n}的前n项和．(1)求a1，a2的值；(2)求数列{a n}的通项公式；解：(1)当n＝1时，a21＝4S1－2a1－1，即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.当n＝2时，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．(2)a2n＝4S n－2a n－1，①a2n＋1＝4S n＋1－2a n＋1－1.②②－①得a2n＋1－a2n＝4a n＋1－2a n＋1＋2a n＝2(a n＋1＋a n)，即(a n＋1－a n)(a n＋1＋a n)＝2(a n＋1＋a n)．∵数列{a n}各项均为正数，∴a n＋1＋a n>0，a n＋1－a n＝2，∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n＝2n－1.10．(xx·南昌模拟)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝an－12a n－1＋1(n∈N*，n≥2)，数列{b n}满足关系式b n＝1an(n∈N*)．(1)求证：数列{b n}为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)证明：∵b n＝1an，且a n＝an－12a n－1＋1，∴b n＋1＝1an＋1＝1an2a n＋1＝2a n＋1an，∴b n＋1－b n＝2a n＋1an－1an＝2.又b1＝1a1＝1，∴数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知数列{b n}的通项公式为b n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又b n＝1an，∴a n ＝1bn＝12n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝12n－1.1．已知函数y＝a n x2(a n≠0，n∈N*)的图象在x＝1处的切线斜率为2a n－1＋1(n≥2，n∈N*)，且当n＝1时其图象过点(2，8)，则a7的值为( )A.12B．7C．5 D．6解析：选C.由题意知y′＝2a n x，∴2a n＝2a n－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴a n－a n－1＝12.又n ＝1时其图象过点(2，8)，∴a 1×22＝8，得a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公差为12的等差数列，a n ＝n 2＋32，得a 7＝5.2．(xx·高考辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列{a nn }是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：选D.因为d >0，所以a n ＋1>a n ，所以p 1是真命题．因为n ＋1>n ，但是a n 的符号不知道，所以p 2是假命题．同理p 3是假命题．由a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n －3nd ＝4d >0，所以p 4是真命题．3．(xx·东北三校联考)已知正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n a n ＋1＋a na n －1＝2，则a 12＝________．解析：∵a n a n ＋1＋a n a n －1＝2，∴1a n ＋1＋1a n －1＝2a n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 为等差数列，且首项为1a 1＝12，公差为1a 2－1a 1＝12，∴1a n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，∴a n ＝2n ，∴a 12＝16.答案：164．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 答案：19415．(xx·高考湖北卷)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n ＜60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0，解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.6．(选做题)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10. (1)求证：{lg a n }是等差数列；(2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3（lg a n ）（lg a n ＋1）的前n 项和，求T n ；(3)求使T n >14(m 2－5m )对所有的n ∈N *恒成立的整数m 的取值集合．解：(1)证明：依题意，a 2＝9a 1＋10＝100，故a 2a 1＝10.当n ≥2时，a n ＋1＝9S n ＋10，a n ＝9S n －1＋10，两式相减得a n ＋1－a n ＝9a n ，即a n ＋1＝10a n ，a n ＋1a n＝10，故{a n }为等比数列，且a n ＝a 1q n －1＝10n (n ∈N *)， ∴lg a n ＝n .∴lg a n ＋1－lg a n ＝(n ＋1)－n ＝1，即{lg a n }是等差数列．(2)由(1)知，T n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝3－3n ＋1. (3)∵T n ＝3－3n ＋1， ∴当n ＝1时，T n 取最小值32.依题意有32>14(m 2－5m )，解得－1<m <6，故所求整数m 的取值集合为{0，1，2，3，4，5}．7f31468 7AEC 竬20306 4F52 佒Q23516 5BDC 寜22538 580A堊33339 823B 舻|r&TZJ25579 63EB 揫。

专题11 不等式、推理与证明、复数、算法初步-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(解析)

专题11不等式、推理与证明、复数、算法初步考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：线性规划问题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题高考对本节的考查相对稳定，每年必考题型，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算与不等式是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主．考点2：不等式大小判断问题2024年北京高考数学真题考点3：利用基本不等式求最值2022年新高考全国II卷数学真题考点4：解不等式2024年上海高考数学真题考点5：程序框图2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点6：复数加减乘除运算2022年新高考天津数学高考真题2023年天津高考数学真题2024年天津高考数学真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2022年新高考全国I卷数学真题2022年新高考全国II卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（理）真题考点7：模运算2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年新高考北京数学高考真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题考点8：复数相等2024年上海高考数学真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点9：复数的几何意义2023年北京高考数学真题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题考点1：线性规划问题1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若,x y满足约束条件43302202690x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y=-的最小值为（）A．12B．0C．52-D．72-【答案】D【解析】实数,x y满足4330220 2690 x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y=-可得1155y x z=-，即z的几何意义为1155y x z=-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z有最小值，此时直线1155y x z=-过点A，联立43302690x yx y--=⎧⎨+-=⎩，解得321xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A⎛⎫⎪⎝⎭，则min375122z=-⨯=-.故选：D.2．（2022年新高考浙江数学高考真题）若实数x，y满足约束条件20,270,20,xx yx y-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则34z x y=+的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线340x y z +-=过A 时z 有最大值.由2270x x y =⎧⎨+-=⎩可得23x y =⎧⎨=⎩，故()2,3A ，故max 324318z =⨯+⨯=，故选：B.3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为．【答案】15【解析】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322z y x =-+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=.故答案为：154．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为.【答案】8【解析】作出可行域如下图所示：2z x y =-，移项得2y x z =-，联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8z =，故答案为：8.5．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（）A ．2-B ．4C ．8D ．12【答案】C【解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.考点2：不等式大小判断问题6．（2024年北京高考数学真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（）A ．12122log 22y y x x ++C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+【答案】B【解析】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得1212122222·222x x x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误；对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误，故选：B.考点3：利用基本不等式求最值7．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥【答案】BC【解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x θθ-==，所以cos ,sin 33x y θθθ=+=，因此2222511cos sin sin cos 1sin 2cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=++++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当3333x y ==221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．考点4：解不等式8．（2024年上海高考数学真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．【答案】{}|13x x -<<【解析】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =，故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<，故答案为：{}|13x x -<<.考点5：程序框图9．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）执行下面的程序框图，输出的B =（）A ．21B ．34C ．55D ．89【答案】B【解析】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=；当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=；当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=；当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.10．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）执行下边的程序框图，输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】执行第一次循环，2123b b a =+=+=，312,12a b a n n =-=-==+=，222231220.0124b a -=-=>；执行第二次循环，2347b b a =+=+=，725,13a b a n n =-=-==+=，222271220.01525b a -=-=>；执行第三次循环，271017b b a =+=+=，17512,14a b a n n =-=-==+=，2222171220.0112144b a -=-=<，此时输出4n =.故选：B考点6：复数加减乘除运算11．（2022年新高考天津数学高考真题）已知i 是虚数单位，化简113i1+2i-的结果为．【答案】15i -/51i -+【解析】()()()()113i 12i 113i 11625i15i 1+2i 1+2i 12i 5-----==--．故答案为：15i -．12．（2023年天津高考数学真题）已知i 是虚数单位，化简514i23i++的结果为．【答案】4i +/4i +【解析】由题意可得()()()()514i 23i 514i 5213i4i 23i 23i 23i 13+-++===+++-.故答案为：4i +.13．（2024年天津高考数学真题）已知i 是虚数单位，复数)()5i 52i ⋅=．【答案】75i 【解析】))5i 52i 55i 25i 275i ⋅-=-+=.故答案为：75i .14．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（）A ．i -B ．i C ．0D ．1【答案】A 【解析】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----===-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．15．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设2i z =，则z z ⋅=（）A ．2-B 2C ．2-D ．2【答案】D【解析】依题意得，2i z =-，故22i 2zz =-=.故选：D16．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．2【答案】A【解析】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A17．（2024年北京高考数学真题）已知1i iz=--，则z =（）．A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】C【解析】由题意得()i 1i i 1z =--=-.故选：C.18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若1i 1zz =+-，则z =（）A ．1i --B ．1i -+C ．1i-D ．1i+【答案】C 【解析】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设252i1i i z +=++，则z =（）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i+【答案】B【解析】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故选：B.20．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）()()()351i 2i 2i +=+-（）A ．1-B ．1C ．1i-D ．1i+【答案】C 【解析】()()351i 51i 1i (2i)(2i)5+-==-+-故选：C.21．（2022年新高考全国I 卷数学真题）若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D22．（2022年新高考全国II 卷数学真题）(22i)(12i)+-=（）A ．24i -+B ．24i --C ．62i+D ．62i-【答案】D【解析】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.23．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若13i z =-，则1zzz =-（）A ．13i -B ．13i-C ．133-+D ．133--【答案】C【解析】13i,(13i)(13i)13 4.z zz =-=--=+=13i 131333z zz -==--故选：C考点7：模运算24．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C 2D ．2【答案】C【解析】若1i z =--，则()()22112z -+-=故选：C.25．（2022年新高考北京数学高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．25【答案】B【解析】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故()()223|54|z -+-==．故选：B ．26．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．45B ．42C ．25D ．22【答案】D【解析】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 34422z z +=+=故选：D.27．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）232i 2i ++=（）A ．1B ．2C 5D ．5【答案】C【解析】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则()22322i 2i 12i 125++=-+-=故选：C.考点8：复数相等28．（2024年上海高考数学真题）已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为．【答案】2【解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+-+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m ∈R ，22323101b mb b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，解得2m =，故答案为：2.29．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （）A ．-1B ．0·C ．1D ．2【答案】C【解析】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =．故选：C.30．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（）A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==【答案】B【解析】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.31．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-【答案】A【解析】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-．故选：A.32．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-【答案】A【解析】12z i=-12i (12i)(1)(22)iz az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩故选:A考点9：复数的几何意义33．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3)-，则z 的共轭复数z =（）A ．13i +B ．13i-C ．13i -D ．13i-【答案】D【解析】z 在复平面对应的点是(3)-，根据复数的几何意义，13i z =-，由共轭复数的定义可知，13i z =-.故选：D34．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.。

2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试33不等关系

第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试33 不等关系与不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.了解现实世界和日常生活中的不等关系2．了解不等式(组)的实际背景 3．掌握不等式的性质及应用一、基础小题1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A B答案 B解析由题意，得B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B .故选B. 2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2|a ＋b |答案 D解析 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，∴b 2>a 2，ab 0，则下列不等式中不成立的是( ) A.c a >cbB ．ca －b >c aC ．|a |c >－bcD ．－ac>－bc答案 B解析由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a ，又因为c >0，所以c a －b <c a，所以B 中式子不成立．4．已知a ，b ∈R ，若a >b ，1a <1b同时成立，则( )A ．ab >0B ．ab <0C ．a ＋b >0D ．a ＋b <0答案 A解析因为1a <1b ，所以1a －1b ＝b －aab<0，又a >b ，所以b －a <0，所以ab >0.5．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <n D ．m <－n <n <－m答案 D解析解法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验，可知D 正确．解法二：m ＋n <0⇒m <－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立．故选D. 6．已知a 0 C ．ab <0 D ．|a |<|b |答案 A解析解法一：由a 0时，|b |＝b <|a |＝－a ，|b |<－a 成立；当b <0时，－b <－a ，则|b |<－a 成立．综上，|b |<－a .解法二：因为a 0，b 的符号不确定，对于a <b ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．故选D.8．已知a ，b ，c ∈R ＋，若ca ＋b <ab ＋c <ba ＋c，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a 0，所以c －a <0，所以c <a ，同理，由ab ＋c <ba ＋c，得a <b ，所以c <a b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4答案 A解析结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4.故选A.11．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a 0，故ax ＋by ＋cz >az ＋by ＋cx ；同理，ay ＋bz ＋cx －(ay ＋bx ＋cz )＝b (z －x )＋c (x －z )＝(x －z )(c －b )<0，故ay ＋bz ＋cx <ay ＋bx ＋cz .因为az ＋by ＋cx －(ay ＋bz ＋cx )＝a (z －y )＋b (y －z )＝(a －b )(z －y )<0，故az ＋by ＋cx <ay ＋bz ＋cx .故最低费用为az ＋by ＋cx .故选B.12．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅱ)若a >b ，则( )A ．ln (a －b )>0B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b |答案 C解析解法一：不妨设a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，可验证A ，B ，D 错误，只有C 正确．解法二：由a >b ，得a －b >0.但a －b >1不一定成立，则ln (a －b )>0 不一定成立，故A 不一定成立．因为y ＝3x 在R 上是增函数，当a >b 时，3a >3b ，故B 不成立．因为y ＝x 3在R 上是增函数，当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 成立．因为当a ＝3，b ＝－6时，a >b ，但|a |<|b |，所以D 不一定成立．故选C.14．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，∴1a ＋1b＝log 0.30.4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1，又a >0，b <0，∴ab <0，∴ab <a ＋b <0.故选B.15．(2018·北京高考)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2,1)∉A答案 D解析若(2,1)∈A ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2－1≥1，2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32.结合四个选项，只有D 说法正确．故选D.16．(2017·山东高考)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b )B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a答案 B解析 (特殊值法)令a ＝2，b ＝12，可排除A ，C ，D.故选B.17．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0答案 C解析 ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，∴当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；令x ＝1,0<y <1，则x >y >0，而ln x ＋ln y ＝ln y <0，故D 错误．18．(2016·浙江高考)已知实数a ，b ，c .( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 答案 D解析利用特殊值法验证．令a ＝3，b ＝3，c ＝－11.5，排除A ；令a ＝4，b ＝－15.5，c ＝0，排除B ；令a ＝11，b ＝－10.5，c ＝0，排除C.由1≥|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≥|a 2＋a＋b 2＋b |得－1≤a 2＋a ＋b 2＋b ≤1，即－12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122≤32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122≤32，－2<－12－62≤a ≤－12＋62<1.同理－2|c |－2－4，得|c |<7.所以a 2＋b 2＋c 2<4＋4＋49＝57<100.故选D.19．(2015·湖北高考)设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析若n ＝3，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤t <2，2≤t 2<3，3≤t 3<4，即⎩⎪⎨⎪⎧1≤t 6<64，8≤t 6<27，9≤t 6<16，得9≤t 6<16，即当33≤t <34时，有[t ]＝1，[t 2]＝2，[t 3]＝3，∴n ＝3符合题意．若n ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧ 33≤t <34，4≤t 4<5，即⎩⎪⎨⎪⎧34≤t 12<44，43≤t 12<53，得34≤t 12<53，即当33≤t <45时，有[t ]＝1，[t 2]＝2，[t 3]＝3，[t 4]＝4，故n ＝4符合题意．若n ＝5，则⎩⎪⎨⎪⎧33≤t <45，5≤t 5<6，即⎩⎨⎧33≤t <45，55≤t <56，①∵63<35，∴56<33，故①式无解，即n ＝5不符合题意，则正整数n 的最大值为4. 三、模拟小题20．(2019·山东省烟台市高三上学期期末)若a 1bC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D ．a 3>b 3答案 C解析若a 1b，A 错误；因为a －b <0，则a －b 与b 大小关系不确定，B 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 成立，C 正确；a 3<b 3，D 错误．故选C. 21．(2019·河南百校联盟模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由(a －b )a 2≥0，解得a ≥b 或a ＝0，b ∈R .因为a 2≥0，a ≥b ，所以(a －b )a 2≥0，故“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的必要不充分条件．故选B.22．(2019·安徽淮北一中模拟)若a b 2；②|1－a |>|b －1|；③1a ＋b >1a >1b.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析由于a |b |>0，a 2>b 2，故a 2＋1>b 2，①正确；－a >－b >0，－a ＋1>－b ＋1>1，故|1－a |>|b －1|，②正确；因为a ＋b <a 1a >1b，③正确．故选D. 23．(2019·福建模拟)已知a ＝2，b ＝55，c ＝77，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．b >c >a答案 A解析 a ＝2，b ＝55，c ＝77，则a 70＝235＝(25)7＝327＝(27)5＝1285，b 70＝514＝(52)7＝257，c 70＝710＝(72)5＝495，∴a >b >c ，故选A.24．(2019·九江期末)已知a ，b ，c >0，则b a ，c b ，ac的值( ) A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于1答案 D解析令a ＝b ＝c ，则b a ＝c b ＝a c ＝1，排除A ，B ；令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则b a ＝c b ＝2，a c＝14，排除C ；对于D ，假设b a <1，c b <1，ac <1，则b <a ，c c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1ca ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1nB ．m ＝nC ．m <nD ．大小不确定答案 C解析 ∵a ≥3，m ＝a －a －2＝2a ＋a －2，n ＝a －1－a －3＝2a －1＋a －3，又0<a －1＋a －3<a ＋a －2，∴2a ＋a －2<2a －1＋a －3，∴m <n .27．(2019·广州二模)设a ≥b ≥c ，且1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个实根，则ca的取值范围为( ) A ．[－2,0] B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 答案 C解析 ∵1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个实根，∴a ＋b ＋c ＝0，得b ＝－a －c ，∵a ≥b ≥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－a －c ，－a －c ≥c ，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－c ，－a ≥2c .若a >0，则不等式等价为⎩⎪⎨⎪⎧ 2≥－ca，－1≥2ca ，即⎩⎪⎨⎪⎧ c a ≥－2，c a ≤－12，得－2≤c a ≤－12；若a <0，则不等式等价为⎩⎪⎨⎪⎧2≤－c a，－1≤2ca，即⎩⎪⎨⎪⎧c a ≤－2，c a ≥－12，此时不等式无解．综上，c a 的取值范围为－2≤c a ≤－12，故选C.28．(2019·武汉二中检测)若a >b >0，给出以下几个不等式： ①b a b ＋1a；④a －b >a －b . 其中正确的是________(请填写所有正确的序号)．答案 ①③解析对于①，b a －b ＋5a ＋5＝b a ＋5－a b ＋5a a ＋5＝5b －a a a ＋5<0，所以b a ab ，所以lga ＋b2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，故②错误；对于③，因为a >b >0，所以0<1a <1b ，所以a ＋1a <a ＋1b ，b ＋1a <a ＋1a ，所以a ＋1b >b ＋1a ，故③正确；对于④，取a ＝4，b ＝1，而a －b ＝1，a －b ＝3，所以a －b >a －b 不成立，故④错误．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2020·郑州一中高三月考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12.记f (x )>－1的解集为M .(1)求集合M ；(2)已知a ∈M ，比较a 2－a ＋1与1a的大小．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12.由f (x )>－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，3x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，－x ＋1>－1，解得0<x <2，故M ＝{x |0<x <2}． (2)由(1)知0<a <2，因为a 2－a ＋1－1a ＝a 3－a 2＋a －1a＝a －1a 2＋1a，当0<a <1时，a －1a 2＋1a<0，所以a 2－a ＋1<1a；当a ＝1时，a －1a 2＋1a ＝0，所以a 2－a ＋1＝1a；当1<a <2时，a －1a 2＋1a>0，所以a 2－a ＋1>1a.综上所述，当0<a <1时，a 2－a ＋1<1a；当a ＝1时，a 2－a ＋1＝1a ；当1<a <2时，a 2－a ＋1>1a.2．(2020·海南中学月考)(1)已知－3<a <b <1，－2<c <－1，求证：－16<(a －b )c 2<0； (2)已知a ≠b ，试比较a 4－b 4与4a 3(a －b )的大小．解 (1)证明：因为－3<a <b <1，所以－1<－b <3，－3<a <1，所以－4<a －b <4，又a <b ，所以a －b <0，所以－4<a －b <0，所以0<b －a <4，又－2<c <－1，所以1<c 2<4，所以0<(b －a )c 2<16，所以－16<(a －b )c 2<0. (2)a 4－b 4－4a 3(a －b )＝(a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)－4a 3·(a －b ) ＝(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3－4a 3)＝(a －b )[(a 2b －a 3)＋(ab 2－a 3)＋(b 3－a 3)] ＝－(a －b )2(3a 2＋2ab ＋b 2) ＝－(a －b )2[2a 2＋(a ＋b )2]，因为2a 2＋(a ＋b )2≥0(当且仅当a ＝b ＝0时取等号)，且a ≠b ，所以(a －b )2>0,2a 2＋(a ＋b )2>0，所以－(a －b )2[2a 2＋(a ＋b )2]<0，故a 4－b 4<4a 3(a －b )．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2021高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试33一元二次不

考点测试33 一元二次不等式及其解法高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3．会解一元二次不等式一、基础小题1．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤0或1≤x <32 B ．{x |x ≤0或x ≥1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <32D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥32答案 A解析不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x x －1≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.故选A.2．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <14，则ab ＝( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26答案 C解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.3．不等式3x －1x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x ≤2 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >2或x ≤13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x <2 D ．{x |x <2}答案 C解析不等式3x －1x －2≤0等价于(3x －1)(x －2)≤0，且x －2≠0，解得13≤x <2.故选C.4．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，－∞) B ．(－∞，－6]C ．[－6,2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)答案 D解析由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.5．若函数f (x )＝kx 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( ) A ．{k |0＜k ≤1} B ．{k |k ＜0或k ＞1} C ．{k |0≤k ≤1} D ．{k |k ＞1}答案 C解析当k ＝0时，8＞0恒成立；当k ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，36k 2－4k k ＋8≤0，则0＜k ≤1.综上，0≤k ≤1.6．不等式|x 2－x |<2的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－2,1) D ．(－2,2)答案 A解析由|x 2－x |<2，得－2<x 2－x <2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <2， ①x 2－x >－2. ②由①，得－1<x <2.由②，得x ∈R .所以解集为(－1,2)．故选A.7．存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．14 C ．12 D ．－1答案 C解析若对于任意x ∈[－1,1]，不等式x 2＋mx －3m <0恒成立，则由函数f (x )＝x 2＋mx －3m 的图象可知⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1－m －3m <0，f1＝1＋m －3m <0，解得m >12.所以若存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx－3m ≥0，则m ≤12，所以m 的最大值为12.故选C.8．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115 B ．⎝⎛⎭⎪⎫1，115C.⎝⎛⎭⎪⎫2，115D ．[－1,3]答案 A解析设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4a ＋2≥0，f 1≥0，f 3≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A. 9．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．答案 {x |0<x <2}解析不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2，故不等式的解集为{x |0<x <2}．10．已知三个不等式：①x 2－4x ＋3<0，②x 2－6x ＋8<0，③2x 2－9x ＋m <0.要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则实数m 的取值范围为________．答案 m ≤9解析由①②得2<x <3，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2x 2－9x ＋m <0在x ∈(2,3)上恒成立，即m <－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上恒成立，又－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上大于9，所以实数m ≤9.11．若关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，则实数a 的取值范围是________．答案 [45,80)解析因为关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，所以a >0，解不等式得x 2≤a5，所以－a5≤x ≤ a5，所以3≤a5<4，所以9≤a5<16，即45≤a <80，所以实数a 的取值范围是[45,80)．12．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________．答案 (a ，－a )解析因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a )．二、高考小题13．(2019·天津高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，23解析 3x 2＋x －2<0变形为(x ＋1)(3x －2)<0，解得－1<x <23，故使不等式成立的x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，23. 14．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)．答案 (－4,1)解析不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.15．(经典江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，等价于⎩⎪⎨⎪⎧fm ＝2m 2－1<0，f m ＋1＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 16．(经典四川高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．三、模拟小题17．(2019·武汉二模)若a 0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．d <a <c <bB ．a <d <c <bC ．a <d 0，所以d <a <b 或a <b <d ，又d <c ，所以d <a <b .综上，d <a <c <b .18．(2019·石家庄二中月考)在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 B解析根据定义得x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2,1)．故选B.19．(2019·山东实验中学诊断)不等式－x 2＋|x |＋2<0的解集是( ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |x <－2或x >2} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或x >1}答案 B解析原不等式化为|x |2－|x |－2>0，所以(|x |－2)·(|x |＋1)>0.因为|x |＋1>0，所以|x |－2>0，即|x |>2，解得x <－2或x >2.故选B.20．(2019·鄂尔多斯第一中学模拟)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.154B ．72C ．52D ．152答案 C解析因为x 2－2ax －8a 2<0(a >0)，所以(x ＋2a )·(x －4a )<0(a >0)，得－2a <x <4a .又x 2－x 1＝15，所以6a ＝15，解得a ＝52.故选C.21．(2019·新疆高三一模)已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最大值是( ) A.63B ．233C ．433D ．－433答案 D解析 ∵不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，∴在方程x 2－4ax ＋3a 2＝0中，由根与系数的关系知x 1x 2＝3a 2，x 1＋x 2＝4a ，则x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a .∵a <0，∴－⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋13a ≥2－4a ·－13a ＝433，即4a ＋13a ≤－433，故x 1＋x 2＋a x 1x 2的最大值为－433.故选D.22．(2019·苏北四市、苏中三市三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ≤0，则不等式f (x )>f (－x )的解集为________．答案 (－2,0)∪(2，＋∞)解析若x ≥0，则f (x )＝x 2－2x ，f (－x )＝－x 2＋2x ，由f (x )>f (－x )得x 2－2x >－x 2＋2x ⇒x >2，故x >2.若x <0，则f (x )＝－x 2－2x ，f (－x )＝x 2＋2x ，由f (x )>f (－x )得，－x 2－2x >x 2＋2x ⇒－2<x <0，故－2<x <0.综上，不等式f (x )>f (－x )的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2019·广州模拟)对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g －1＝x －2×－1＋x 2－4x ＋4>0，g 1＝x －2＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． 2．(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围．解因为函数f (x )是偶函数，故函数f (x )的图象关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立，从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立，设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧h a ＝0≤0，ha ＋1＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34.故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34. 3．(2019·沈阳八校联考)已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＞0.(1)若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，求实数a 的值；(2)若a ∈R ，解这个关于x 的不等式．解 (1)∵不等式(ax －1)(x ＋1)＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，∴方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两根是－1，－12；∴－12a －1＝0，∴a ＝－2.(2)∵(ax －1)(x ＋1)＞0，∴当a ＜0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＜0.若a ＜－1，则1a ＞－1，解得－1＜x ＜1a；若a ＝－1，则1a＝－1，不等式的解集为∅；若－1＜a ＜0，则1a ＜－1，解得1a＜x ＜－1；当a ＝0时，不等式为－(x ＋1)＞0，解得x ＜－1.当a ＞0时，不等式为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＞0，∵1a ＞－1，∴解不等式得x ＜－1或x ＞1a.综上，当a ＜－1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜1a ；当a ＝－1时，不等式的解集为∅；当－1＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a＜x ＜－1；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞1a .4．(2019·河北正定中学月考)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若不等式f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的x ∈[－1,1]恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若a <0，解不等式f (x )>1.解 (1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的x ∈[－1,1]恒成立，设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1，x ∈[－1,1]， ①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，无解；②当－1≤a ≤1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1； ③当a >1时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ＋2a ＋1>0，得a >1. 综上，实数a 的取值范围为(1－2，＋∞)． (2)f (x )>1，即ax 2＋x －a －1>0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0，因为a <0，所以(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a <0，因为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a ＝2a ＋1a ，所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <－a ＋1a ；当a ＝－12时，不等式可化为(x －1)2<0，不等式无解；当a <－12时，1>－a ＋1a，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－a ＋1a <x <1. 5．(2019·天津河东一模)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0. 当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0,1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2021新高考版大一轮复习用书数学第五章 5.4

→→→ ∵OC＝xOA＋yOB，
∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)， ∴Error!解得Error!故 x＋y＝5.
1．(2019·葫芦岛模拟)设 i 是虚数单位，若复数 z＝1＋2i，则复数 z 的模为( )
A．1 B．2 2 C. 3 D. 5
答案 D
解析依题意，|z|＝ 12＋22＝ 5，故选 D.
z2 z1 1－i 1＋i 2 2 思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
跟踪训练 1 (1)已知 a∈R，i 是虚数单位，若 z＝ 3＋ai，z·z＝4，则 a 为( )
A．1 或－1
B．1
C．－1
D．不存在的实数
－2i
解析 ∵z＝＋2i＝
＋2i＝＋2i＝i，
1＋i
1＋i1－i
2
∴|z|＝1.故选 C.
i
2
4．已知复数 z＝，则 z＋在复平面内对应的点位于( )
1－i
2
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 A
i
i1＋i
11
解析 ∵ z＝＝
＝－＋ i，
1－i 1－i1＋i 2 2
2 2－1 1 ∴ z＋＝＋ i，
10
2
思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、模等，在解题过程中
要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．
复数的运算
命题点 1 复数的乘法运算
例 1 (1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于( )
A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i

高考数学考点通关练第五章不等式、推理与证明、算

＝2－a＋52a＋1i为纯虚数，所以 2－a＝0，a＝2.
解法二：令12＋－aii＝mi(m≠0)， ∴1＋ai＝(2－i)mi＝m＋2mi. ∴ma＝＝21m，， ∴a＝2.
8．在复平面内，向量A→B对应的复数是 2＋i，向量C→B对
应的复数是－1－3i，则向量C→A对应的复数为(
C．4
D．5
解析由题意知 x＋yi＝3＋i 4i＝4－3i，所以|x＋yi|＝|4
－3i|＝ 42＋－32＝5.
4．若复数 z 满足1＋z 2i＝i(i 为虚数单位)，则 z 的虚部为
(
)
A．－2
B．2
C．1
D．－1
解析由1＋z 2i＝i，可得 z＝1＋i 2i＝i＋i22i2＝－－2＋ 1 i＝2－ i，所以 z 的虚部为－1，故选 D.
解析设 z＝a＋bi(a、b∈R)，则 2z＋ z ＝2(a＋bi)＋a －bi＝3a＋bi＝3－2i，∴a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i，故选
B.
17．[2016·四川高考]设 i 为虚数单位，则(x＋i)6 的展开
式中含 x4 的项为(
)
A．－15x4
B．15x4
D.12＋12i
解析
i2＋ i3＋ 1－i
i4＝－1＋ 1－－i i＋1＝1－－ii
＝1－－ii1＋ 1＋ii＝1－ 2 i＝12－12i.
7．设 i 是虚数单位，复数12＋－aii为纯虚数，则实数 a 为
(
)
A．2
B．－2
C．－12
1 D.2
解析解法一：因为12＋－aii＝12＋－aii22＋＋ii
第一部分考点通关练第五章不等式、推理与证明、

2021新高考版大一轮复习用书数学第五章 5.3

§5.3　平面向量的数量积1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA → ＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义：设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b .3．向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模|a |＝a ·a|a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 2＋y 2a ⊥b 的充要条件a ·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 2＋y 2)概念方法微思考两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示　不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是[0，π2].(　×　)(2)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.(　×　)(3)(a ·b )c ＝a (b ·c )．(　×　)(4)若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．(　×　)题组二　教材改编2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________.答案　12解析　∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.3．已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ＝________.答案　5π6解析　cos θ＝a ·b|a ||b |＝－632×6＝－32，又因为0≤θ≤π，所以θ＝5π6.题组三　易错自纠4．已知a ，b 为非零向量，则“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案　B解析　根据向量数量积的定义可知，若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或零角，若a 与b 的夹角为锐角，则一定有a ·b >0，所以“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.5．已知矩形ABCD 中，|AB → |＝6，|AD → |＝4，若点M ，N 满足BM → ＝3MC → ，DN → ＝2NC → ，则AM → ·NM→等于( )A ．20B ．15C ．9D ．6答案　C解析　因为ABCD 为矩形，建系如图．A (0,0)，M (6,3)，N (4,4)．则AM → ＝(6,3)，NM →＝(2，－1)，AM → ·NM →＝6×2－3×1＝9.6．(多选)在△ABC 中，AB → ＝c ，BC → ＝a ，CA →＝b ，在下列命题中，是真命题的为( )A ．若a ·b >0，则△ABC 为锐角三角形B ．若a ·b ＝0，则△ABC 为直角三角形C ．若a ·b ＝c ·b ，则△ABC 为等腰三角形D ．若(a ＋c －b )·(a ＋b －c )＝0，则△ABC 为直角三角形答案　BCD解析　①若a ·b >0，则∠BCA 是钝角，△ABC 是钝角三角形，A 错误；②若a ·b ＝0，则BC →⊥CA → ，△ABC 为直角三角形，B 正确；③若a ·b ＝c ·b ，b ·(a －c )＝0，CA → ·(BC → －AB → )＝0，CA → ·(BC →＋BA → )＝0，取AC 的中点D ，则CA → ·BD →＝0，所以BA ＝BC ，即△ABC 为等腰三角形，C 正确；④若(a ＋c －b )·(a ＋b －c )＝0，则a 2＝(c －b )2，即b 2＋c 2－a 2＝2b ·c ，即b 2＋c 2－a 22|b ||c |＝－cos A ，由余弦定理可得cos A ＝－cos A ，即cos A ＝0，即A ＝π2，即△ABC 为直角三角形，D 正确，综上真命题为BCD.7．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.答案　23解析　方法一　|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝23.方法二　(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝23.平面向量数量积的基本运算例1　如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB → ·AC → ＝2AB → ·AD → ，则AD → ·AC→＝________.答案　12解析　方法一　(几何法)因为AB → ·AC → ＝2AB → ·AD →，所以AB → ·AC → －AB → ·AD → ＝AB → ·AD → ，所以AB → ·DC → ＝AB → ·AD →，因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，所以2|AB → |＝|AB → |·|AD →|cos π4，化简得|AD →|＝22.故AD → ·AC → ＝AD → ·(AD → ＋DC → )＝|AD → |2＋AD → ·DC → ＝(22)2＋22×2cos π4＝12.方法二　(坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n ,0)，其中m >0，n >0，则由AB → ·AC → ＝2AB → ·AD →，得(n ,0)·(m ＋2，m )＝2(n ,0)·(m ，m )，所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD → ·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12.思维升华　平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．跟踪训练1　(1)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若AB ＝3，BD ＝1，则AB → ·AD → ＝________.答案　152解析　如图所示，AB → ·AD → ＝AB → ·(AB → ＋BD →)＝9＋3×cos 120°＝152.(2)已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，且∠DAB ＝90°，AB ＝2，AD ＝1，若点Q 满足AQ → ＝2QB → ，则QC → ·QD →等于( )A ．－109 B.109 C ．－139 D.139答案　D解析　以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)，又AQ → ＝2QB →，∴Q (43，0)，∴QC → ＝(－13，1)，QD →＝(－43，1)，∴QC → ·QD → ＝49＋1＝139.故选D.平面向量数量积的应用命题点1　求向量的模例2　(1)(2020·遵义统考)已知两个单位向量a 和b 的夹角为120°，k ∈R ，则|k a ＋b |的最小值为( )A.34B.32 C ．1 D.32答案　B解析　|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2因为a 和b 是单位向量，且夹角为120°，所以|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝k 2|a |2＋2k |a ||b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝k 2－k ＋1＝(k －12)2＋34≥34，所以|k a ＋b |≥32，所以|k a ＋b |的最小值为32.(2)(2020·四川双流中学诊断)如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，AB →与AC → 的夹角为60°，则|MA →|＝________.答案　132解析　∵M 为BC 的中点，∴AM → ＝12(AB → ＋AC → )，∴|MA → |2＝14(AB → ＋AC → )2＝14(|AB →|2＋|AC → |2＋2AB → ·AC → )＝14(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝134，∴|MA → |＝132.命题点2　求向量的夹角例3　(1)(2020·昆明一中检测)已知向量a ＝(12，32)，|b |＝2，且a ·b ＝1，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案　C 解析　|a |＝(12)2＋(32)2＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12，∴a 与b 的夹角为60°.(2)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．答案　33解析　由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 2＝3－0＋1＝2.同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.思维升华　(1)求解平面向量模的方法①利用公式|a |＝x 2＋y 2.②利用|a |＝a 2.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b |，θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 2＋y 2.③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．跟踪训练2　(1)(2019·江西省临川一中模拟)已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－1，k )，且a ⊥b ，则a ＋4b 与a 的夹角为________．答案　π4解析　因为a ⊥b ，故a ·b ＝0，所以－3＋4k ＝0，故k ＝34，故a ＋4b ＝(－1,7)，设a ＋4b 与a 的夹角为θ，则cos θ＝－3＋2850×25＝2552×5＝22，因θ∈[0，π]，故θ＝π4.(2)(2019·日照模拟) 已知向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝22，〈a ，b 〉＝π4，(c －a )·(c －b )＝－1，则|c －a |的最大值为________．答案　2＋1解析　设OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC →＝c ，以OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，∵|a |＝4，|b |＝22，a 与b 的夹角为π4，则A (4,0)，B (2,2)，设C (x ，y )，∵(c －a )·(c －b )＝－1，∴x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0，即(x －3)2＋(y －1)2＝1，∴点C 在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|c －a |表示点A ，C 的距离，即圆上的点与A (4,0)的距离，∵圆心到A 的距离为2，∴|c －a |的最大值为2＋1.平面向量与三角函数、解三角形例4　(2019·石家庄模拟)已知向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(3cos x ，cos x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )＝a ·b 的最小正周期；(2)在△ABC 中，BC ＝7，sin B ＝3sin C ，若f (A )＝1，求△ABC 的周长．解　(1)f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12，f (x )＝sin (2x ＋π6)＋12，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由题意可得sin (2A ＋π6)＝12，又0<A <π，所以π6<2A ＋π6<13π6，所以2A ＋π6＝5π6，故A ＝π3.设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .所以a 2＝b 2＋c 2－bc ＝7，又sin B ＝3sin C ，所以b ＝3c .故7＝9c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝1.所以b ＝3，△ABC 的周长为4＋7.思维升华　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．跟踪训练3　在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，2cos 2C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0.(1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD → ＝DB → ，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积．解　(1)因为m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，所以c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得，sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0，sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0，所以cos C ＝12，而C ∈(0，π)，所以∠C ＝π3.(2)由AD → ＝DB → 知，CD → －CA → ＝CB → －CD →，所以2CD → ＝CA → ＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.①又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ，所以a 2＋b 2－ab ＝12.②由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝23.1．(2019·江西省临川第一中学模拟)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，且a ⊥(a －b )，则m 的值为( )A ．1B ．3C ．1或3D ．4答案　B解析　因为a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，所以a －b ＝(2－m ,2)，因为a ⊥(a －b )，则a ·(a －b )＝2(2－m )＋2＝0，解得m ＝3.故选B.2．(2019·全国Ⅱ)已知AB → ＝(2,3)，AC → ＝(3，t )，|BC → |＝1，则AB → ·BC →等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案　C解析　因为BC → ＝AC → －AB → ＝(1，t －3)，所以|BC → |＝1＋(t －3)2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1,0)，所以AB → ·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.3．(2020·拉萨模拟)已知向量a ，b 的夹角为π2，且a ＝(2，－1)，|b |＝2，则|a ＋2b |等于( )A ．23B ．3 C.21 D.41答案　C解析　由已知|a |＝22＋(－1)2＝5，a ·b ＝|a ||b |cos π2＝0，∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(5)2＋4×22＝21，∴|a ＋2b |＝21.故选C.4．(2019·湖南省桃江县第一中学模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且|b ＋a |＝2，则向量a 与b 的夹角的余弦值为( )A.22 B.23 C.28 D.24答案　D解析　由题意可知，|b ＋a |2＝b 2＋2a ·b ＋a 2＝3＋2a ·b ＝4，解得a ·b ＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝122＝24，故选D.5．(2019·东莞模拟)已知非零向量m ，n 满足|n |＝4|m |，且m ⊥(2m ＋n )，则m ，n 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案　D解析　∵|n |＝4|m |，且m ⊥(2m ＋n )，∴m ·(2m ＋n )＝2m 2＋m ·n ＝2|m |2＋|m ||n |cos 〈m ，n 〉＝0，且|m |≠0，|n |≠0，∴2|m |＋|n |cos 〈m ，n 〉＝0，∴cos 〈m ，n 〉＝－2|m ||n |＝－12，又0≤〈m ，n 〉≤π，∴〈m ，n 〉＝2π3.故选D.6．已知向量a ＝(sin θ，3)，b ＝(1，cos θ)，|θ|≤π3，则|a －b |的最大值为( )A ．2 B.5 C ．3 D ．5答案　B解析　由已知可得|a －b |2＝(sin θ－1)2＋(3－cos θ)2＝5－4sin(θ＋π3).因为|θ|≤π3，所以0≤θ＋π3≤2π3，所以当θ＝－π3时，|a －b |2的最大值为5－0＝5，故|a －b |的最大值为5.7．(多选)设a ，b 是两个非零向量．则下列命题为假命题的是( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |答案　ABD解析　对于A ，若|a ＋b |＝|a |－|b |，则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |，得a ·b ＝－|a ||b |≠0，a 与b 不垂直，所以A 为假命题；对于B ，由A 解析可知，若a ⊥b ，则|a ＋b |≠|a |－|b |，所以B 为假命题；对于C ，若|a ＋b |＝|a |－|b |，则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |，得a ·b ＝－|a ||b |，则cos θ＝－1，则a 与b 反向，因此存在实数λ，使得b ＝λa ，所以C 为真命题．对于D ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则a ·b ＝λ|a |2，－|a ||b |＝λ|a |2，由于λ不能等于0，因此a ·b ≠－|a ||b |，则|a ＋b |≠|a |－|b |，所以D 不正确．故选ABD.8．(多选)设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是( )A ．(a ·b )c －(c ·a )b ＝0B ．|a |－|b |＜|a －b |C ．(b ·c )a －(a ·c )b 不与c 垂直D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2答案　BD解析　由于b ，c 是不共线的向量，因此(a ·b )c 与(c ·a )b 相减的结果应为向量，故A 错误；由于a ，b 不共线，故a ，b ，a －b 构成三角形，因此B 正确；由于[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，故C 中两向量垂直，故C 错误；根据向量数量积的运算可以得出D 是正确的．故选BD.9．(2020·景德镇模拟)已知两个单位向量a ，b 的夹角为30°，c ＝m a ＋(1－m )b ，b ·c ＝0，则m ＝________.答案　4＋23解析　b ·c ＝b ·[m a ＋(1－m )b ]＝m a ·b ＋(1－m )b 2＝m |a ||b |cos 30°＋(1－m )|b |2＝32m ＋1－m ＝0，所以m ＝4＋23.10．(2019·天津模拟)已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，点E ，F 分别在边AD ，DC 上，BE → ＝12(BA → ＋BD → )，DF → ＝13DC →，则BE → ·BF →＝________.答案　223解析　连接AC ，BD 交于点O ，以O 为原点，以OC → ，OD →的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立直角坐标系，如图所示，∵菱形边长为2，∠ABC ＝60°，∴A (－1,0)，B (0，－3)，C (1,0)，D (0，3)，∵BE → ＝12(BA →＋BD →)，∴E 为AD 的中点，∴E (－12，32)，∵DF → ＝13DC →，∴F (13，233)，∴BE →＝(－12，332)，BF → ＝(13，533)，∴BE → ·BF →＝－16＋152＝223.11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB → ＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解　(1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61，所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB → 与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB → |＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB → ||BC →|·sin ∠ABC＝12×4×3×32＝33.12．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解　(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0，于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos (x ＋π6).因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈[π6，7π6]，从而－1≤cos (x ＋π6)≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－23.13．(2019·衡阳模拟)在△ABC 中，∠A ＝120°，AB → ·AC → ＝－3，点G 是△ABC 的重心，则|AG →|的最小值是( )A.23 B.63 C.23 D.53答案　B解析　设BC 的中点为D ，因为点G 是△ABC 的重心，所以AG → ＝23AD → ＝23×12(AB → ＋AC → )＝13(AB → ＋AC →)，再令|AB → |＝c ，|AC →|＝b ，则AB → ·AC →＝bc cos 120°＝－3，所以bc ＝6，所以|AG → |2＝19(|AB → |2＋2AB → ·AC → ＋|AC → |2)＝19(c 2＋b 2－6)≥19(2bc －6)＝23，所以|AG →|≥63，当且仅当b ＝c ＝6时取等号，故选B.14．(多选)如图所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2，CD ＝1，BC ＝a (a ＞0)，P 为线段AD (含端点)上一个动点，设AP → ＝xAD → ，PB → ·PC →＝y ，对于函数y ＝f (x )，以下四个结论中正确的是( )A ．当a ＝2时，函数的值域为[1,4]B ．∀a ∈(0，＋∞)，都有f (1)＝1成立C ．∀a ∈(0，＋∞)，函数f (x )的最大值都等于4D ．若f (x )在(0,1)上单调递减，则a ∈(0，2]答案　BCD解析　如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2，CD ＝1，BC ＝a (a ＞0)，∴B (0,0)，A (－2,0)，D (－1，a )，C (0，a )．∵AP → ＝xAD →(0≤x ≤1)．∴BP → ＝BA → ＋AP →＝(－2,0)＋x (1，a )＝(x －2，xa )，PC → ＝PB → ＋BC →＝－(x －2，xa )＋(0，a )＝(2－x ，a －xa )．∴y ＝f (x )＝PB → ·PC →＝(2－x ，－xa )·(2－x ，a －xa )＝(2－x )2－ax (a －xa )＝(a 2＋1)x 2－(4＋a 2)x ＋4(0≤x ≤1)．当a ＝2时，y ＝f (x )＝5x 2－8x ＋4＝5(x －45)2＋45，∵0≤x ≤1，∴当x ＝45时，f (x )取得最小值45；又f (0)＝4，f (1)＝1，∴f (x )max ＝f (0)＝4.综上可得，函数f (x )的值域为[45，1]，因此A 不正确．由y ＝f (x )＝(a 2＋1)x 2－(4＋a 2)x ＋4.可得∀a ∈(0，＋∞)，都有f (1)＝1成立，因此B 正确；由y ＝f (x )＝(a 2＋1)x 2－(4＋a 2)x ＋4.可知对称轴x 0＝4＋a 22(a 2＋1).当0＜a ≤2时，x 0≥1，∴函数f (x )在[0,1]上单调递减，因此当x ＝0时，函数f (x )取得最大值4.当a ＞2时，0＜x 0＜1，函数f (x )在[0，x 0)上单调递减，在(x 0，1]上单调递增．又f (0)＝4，f (1)＝1，∴f (x )max ＝f (0)＝4.因此C 正确．f (x )在(0,1)上单调递减，则a ∈(0，2]，因此D 正确．故选BCD.15．若向量a ，b ，c 满足a ≠b ，c ≠0，且(c －a )·(c －b )＝0，则|a ＋b |＋|a －b ||c |的最小值是( )A.3 B ．22 C ．2 D.32答案　C解析　设向量a ＝OA → ，b ＝OB → ，c ＝OC →，则由(c －a )·(c －b )＝0得AC → ·BC →＝0，即C 的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 的中点M ，半径为12|AB →|，因此|c |＝|OC → |≤|OM →|＋r ＝12|OA → ＋OB → |＋12|AB → |＝12|OA → ＋OB → |＋12|OA →－OB →|＝12|a ＋b |＋12|a －b |，从而|a ＋b |＋|a －b ||c |≥2，故选C.16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝3π4，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC → ＋OD →|的最小值；(2)若θ∈[0，π2]，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．解　(1)设D (t ,0)(0≤t ≤1)，由题意知C (－22，22)，所以OC → ＋OD →＝(－22＋t ，22)，所以|OC → ＋OD → |2＝(t －22)2＋12，所以当t ＝22时，|OC → ＋OD →|最小，最小值为22.(2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin (2θ＋π4)，因为θ∈[0，π2]，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin (2θ＋π4)取得最大值1，即m ·n 取得最小值1－2.π8.所以m·n的最小值为1－2，此时θ＝。

2018年高考考点完全题数学(文)考点通关练习题第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数34Word版含答案

考点测试34 二元一次不等式组与简单的线性规划一、基础小题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32 B ．23 C ．43 D ．34答案 C解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，即△ABC .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4，得交点A 的坐标为(1,1)．又B 、C 两点的坐标分别为(0,4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，故S △ABC ＝12·|BC |·|x A |＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43×1＝43，故选C.2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤2，x －y ≥0，则x ＋3y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 D解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)，易知z ＝x ＋3y 过点B (2,1)时取得最大值，z max ＝2＋3×1＝5.故选D.3．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －7≤0，x ≥1，y ≥1，则|y －x |的最大值是( )A ．2 2B ．322C ．4D ．3答案 D解析画出不等式组表示的平面区域(如图)，计算得A (1,2)，B (4,1)，当直线z ＝x －y 过点A 时z min ＝－1，过点B 时z max ＝3，则－1≤x －y ≤3，则|y －x |≤3.4．若点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，y ≤－x ＋4，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．10B ．8C ．16D ．10答案 D解析画出不等式组对应的可行域如图所示，易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)，|OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10，故|OP |的最大值为10，即x 2＋y 2的最大值等于10.故选D.5．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ． B ．(22，32] C ．(32，25] D ．(0,22)∪(25，＋∞)答案 D解析圆C 不经过区域D 有两种情况：①区域D 在圆外；②区域D 在圆内．由于不等式组中的一个不等式对应的直线y ＝x 正好经过圆的圆心，故利用圆的性质即可求解出r 的取值范围．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y －x ≥0，x －1≥0表示的平面区域，得到如图所示的△MNP 及其内部，其中M (1,1)，N (2,2)，P (1,3)，且MN ⊥PN .∵圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)表示以C (－1，－1)为圆心，r 为半径的圆．∴由图可得，当半径满足r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点．又∵CM ＝＋2＋＋2＝22，CP ＝＋2＋＋2＝25，∴当0<r <22或r >25时，圆C 不经过区域D 上的点．12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．答案 92解析目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92.二、高考小题13．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12答案 C解析作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示，x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A (3，－1)到原点的距离最大，所以x 2＋y 2的最大值是10，故选C.14．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A ．355B ． 2C ．322D ． 5答案 B解析作出可行域如图．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0，得A (2,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0，得B (1,2)．斜率为1的平行直线l 1，l 2分别过A ，B 两点时它们之间的距离最小，且最小值为A 、B 两点之间的距离|AB |＝ 2.故选B.15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．答案－10解析可行域如图所示(包括边界)，直线2x －y ＋1＝0与x －2y －1＝0相交于点(－1，－1)，当目标函数线过(－1，－1)时，z 取最小值，z min ＝－10.16．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．答案 4解析由线性约束条件画出可行域，如图．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A 点坐标为(1,1)．当动直线3x ＋y －z ＝0经过点A (1,1)时，z 取得最大值，z max ＝3×1＋1＝4.17．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．答案 216000解析设生产产品A x 件，产品B y 件，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，设生产产品A ，产品B 的利润之和为E 元，则E ＝2100x＋900y .画出可行域(图略)，易知最优解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝60，y ＝100，此时E max ＝216000.18．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32解析作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z .作直线l 0：y ＝－ax ，平移l 0，最优解可在A (1,0)，B (2,1)，C ⎝⎛⎭⎪⎫1，32处取得．故由1≤z ≤4恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.三、模拟小题19．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．32D ．2答案 B解析约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝2x得A 点坐标为(1,2)，∴m 的最大值是1，故选B.20．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0.则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5B ．C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5 答案 D解析画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5.21．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43答案D解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1、l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．故选D.22．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(1,1)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 答案 B解析约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：ax ＋y ＝0，过点(1,1)作l 的平行线l ′，要满足题意，则直线l ′的斜率介于直线x ＋2y －3＝0与直线y ＝1的斜率之间，因此，－12<－a <0，即0<a <12.故选B.23．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，4x ＋3y －12≤0，y －2≥0，则z ＝2x －y ＋1x ＋1的最大值为( )A ．54 B ．45 C ．916 D ．12答案 B解析因为z ＝2x －y ＋1x ＋1＝2x ＋2－y －1x ＋1＝2－y ＋1x ＋1，所以要求z 的最大值，只需求u ＝y ＋1x ＋1的最小值，画出可行域(图略)可知，使u ＝y ＋1x ＋1取得最小值的最优解为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，代入z＝2x －y ＋1x ＋1，可求得z 的最大值为45，故选B.24．一个平行四边形的三个顶点的坐标为(－1,2)，(3,4)，(4，－2)，点(x ，y )在这个平行四边形的内部或边上，则z ＝2x －5y 的最大值是( )A ．16B ．18C ．20D ．36答案 C解析平行四边形的对角线互相平分，如图，当以AC 为对角线时，由中点坐标公式得AC 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫32，0，也是BD 的中点，可知顶点D 1的坐标为(0，－4)．同理，当以BC 为对角线时，得D 2的坐标为(8,0)，当以AB 为对角线时，得D 3的坐标为(－2,8)，由此作出(x ，y )所在的平面区域，如图阴影部分所示，由图可知当目标函数z ＝2x －5y 经过点D 1(0，－4)时，取得最大值，最大值为2×0－5×(－4)＝20，故选C.一、高考大题1．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.所以生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．二、模拟大题2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．3．为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知：甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加GDP 260万元；乙项目每投资百万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加GDP 200万元．已知该地为甲、乙两项目最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个，如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的GDP 最大？解设甲项目投资x (单位：百万元)，乙项目投资y (单位：百万元)，两项目增加的GDP 为z ＝260x ＋200y ，依题意，x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤30，2x ＋4y ≤100，24x ＋32y ≥800，x ≥0，y ≥0，所确定的平面区域如图中阴影部分．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，2x ＋4y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝20，即A (10,20)；解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，24x ＋32y ＝800，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝10，即B (20,10)．设z ＝0，得y ＝－1.3x ，将直线y ＝－1.3x 平移至经过点B (20,10)，即甲项目投资2000万元，乙项目投资1000万元，两项目增加的GDP最大．。

2021届高考数学一轮温习推理与证明、算法初步、复数专题训练(1)

推理与证明、算法初步、复数一、基础知识要记牢 (1)复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2.(2)复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．专门地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(3)复数的除法一样是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．二、经典例题领会好[例1] (1)(2021·安徽高考)设i 是虚数单位，假设复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，那么a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2021·陕西高考)设z 1，z 2是复数，那么以下命题中的假命题是( ) A ．假设|z 1－z 2|＝0，那么z 1＝z 2 B ．假设z 1＝z 2，那么z 1＝z 2 C ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 1·z 1＝z 2·z 2D ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 21＝z 22[解析] (1)因为a －103－i ＝a －103＋i3－i 3＋i ＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的概念，知a －3＝0，因此a ＝3.(2)A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．[答案] (1)D (2)D1与复数z 有关的复杂式子为纯虚数，可设为m i m ≠0，利用复数相等去运算较简便.2在有关复数z 的等式中，可设出z ＝a ＋b i a ，b ∈R ，用待定系数法求解.3熟记一些常见的运算结果可提高运算速度：1±i2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ，设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.三、预测押题不能少1．(1)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，那么|(1－z )·z |＝( ) B ．2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝－32＋12＝10.(2)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为________．解析：z ＝1＋i ，那么z 2z＝1＋i 21－i＝2i 1－i＝2i 1＋i 1－i1＋i＝－1＋i ，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)合情推理一、基础知识要记牢 (1)类比推理的一样步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．(2)归纳推理的一样步骤：①通过观看个别事物发觉某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一样性命题．一样情形下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推行的一样性结论也就越靠得住．二、经典例题领会好[例2] (2021·陕西高考)观看以劣等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……照此规律，第n个等式可为________．[解析] 12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，……12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1n n＋12.[答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n n＋12合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先依照已知的部份个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一样结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理进程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．三、预测押题不能少2．(1)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，….依此类推，第n 个等式为__________________________．解析：由归纳推理可知，第n 个等式为2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×...×2n . 答案：2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)× (2)(2)关于命题：假设O 是线段AB 上一点，那么有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，那么有S △OBC ·OA ＋S △O CA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间的情形应该是：假设O 是四面体ABCD 内一点，那么有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，一般是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：假设O 为四面体ABCD 内一点，那么有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0程序框图一、经典例题领会好[例3] (2021·新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，若是输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！[解析] 当输入N ＝10时，由于k ＝1，S ＝0，T ＝1，因此T ＝11＝1，S ＝1，k ＝2，现在不知足k >10；当k ＝2时，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，现在不知足k >10；当k ＝3时，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，k ＝4，现在不知足k >10；当k ＝4时，T ＝11×2×3×4＝14！，S ＝1＋12！＋13！＋14！，k ＝5，现在不知足k >10 ； ……当k ＝10时，T ＝11×2×3×4×…×10＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！，k ＝11，现在知足k >10.因此输出S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！. [答案] B1解答有关程序框图问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构.2利用循环结构表示算法要注意：①要选择准确的表示累计的变量；②要注意在哪一步结束循环；③执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误.二、预测押题不能少3．(1)程序框图如图，若是程序运行的结果为S ＝132，那么判定框中可填入( ) A ．k ≤10 B ．k ≥10 C ．k ≤11D ．k ≥11解析：选A 输出的S 值是一个逐次积存的结果，第一次运行S ＝12，k ＝11；第二次运行S＝132，k＝10.若是现在输出结果，那么判定框中的k的最大值是10.(2)假设某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的值是( ) A．2 B．3C．4 D．5解析：选C 逐次运行的结果是n＝3，i＝2；n＝4，i＝3；n＝2，i＝4.故输出的值是4.程序框图与概率的交汇算法是新课标高考中的一大热点，专门体此刻算法的交汇性问题上，这些问题题目背景新颖，交汇自然，要紧表此刻算法与函数、数列、不等式、概率及统计的交汇．一、经典例题领会好[例] (2021·四川高考节选)某算法的程序框图如下图，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)别离求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同窗依据自己对程序框图的明白得，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部份数据．甲的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………2 100 1 027376697乙的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………2 100 1 051696353当n＝2 100时，依照表中的数据，别离写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判定两位同窗中哪一名所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的散布列及数学期望． (1)学审题——审条件之审视图表和数据程序框图――→审图计算输出y 的值为1,2,3的数的个数―――――――→古典概型公式概率． (2)学审题频数统计表――→审表各小组频数―→频率―――――→与1比较结论．(3)学审题条件―→确信y 的取值13−−−−−−→每次发生的概率为求出散布列―→期望值． [解] (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.因此，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：输出y 的值为1的频率输出y 的值为2的频率输出y 的值为3的频率甲1 0272 1003762 1006972 100 乙1 0512 1006962 1003532 100比较频率趋势与概率，可得乙同窗所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29， P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127，故ξ的散布列为因此，E (ξ)＝3×13＝1.即ξ的数学期望为1.此题要紧考查算法与程序框图、古典概型、频数、频率、随机变量的散布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方式解决实际问题的能力，考查数据处置能力、应用意识和创新意识.解答此题的易错点为：一是错读程序框图使此题在求解第一步时就显现错误，二是处置频数散布表中数据时运算错误. 二、预测押题不能少某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如下图的长方体ABCD EFGH 材料切割成三棱锥H ACF .(1)假设点M ，N ，K 别离是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，依照艺术品加工需要，工程师必需求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如下图，那么运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？解：(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC . ∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ，同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊂平面MNK，故MG∥平面ACF.(2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ， ∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ，∴e ＝12bc1－d 2＝12AC ·AF ·sin∠CAF ＝S △ACF .又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF ＝V 三棱锥H ACF .∵三棱锥H ACF 为将长方体ABCD EFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得， ∴V 三棱锥H ACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.1．(2021·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 因为x ＋y i 的共轭复数是x －y i ，应选B.2．(2021·福建质检)执行如下图的程序框图，假设输入的x 值为2，那么输出的x 值为( ) A ．3 B ．126C ．127D ．128解析：选C 假设输入的x ＝2，那么x ＝22－1＝3，而3<126，故x ＝23－1＝7，而7<126，故x ＝27－1＝127.因为127>126，因此输出的x 值为127. 3．(2021·郑州质量预测)假设复数z ＝2－i ，那么z ＋10z＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．4＋2iD ．6＋3i解析：选D ∵z＝2－i，∴z＋10z＝(2＋i)＋102－i＝(2＋i)＋102＋i2－i2＋i＝6＋3i.4．(2021·江西高考)阅读如下程序框图，若是输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i －2 ＝2*i －1C ．S ＝2*i ＝2*i +4解析：选C 此框图依次执行如下循环：第一次：i ＝1，S ＝0，i ＝1＋1＝2，i 是奇数不成立，S ＝2*2＋1＝5，继续循环；第二次：i ＝2＋1＝3，i 是奇数成立，继续循环；第三次：i ＝3＋1＝4，i 是奇数不成立，S ＝2*4+1=9，继续循环；第四次：i ＝4+1=5，i 是奇数成立，由题意知现在应跳出循环，输出i ＝5，即S ＜10不成立. 故应填S =2*i (现在S =10＜10不成立).假设填S ＝2*i ＋4，那么在第二次循环中就跳出循环．应选C. 5．(2021·河南洛阳模拟)执行如下图的程序框图，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，那么能输出数对(x ，y )的概率为( )解析：选B 依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1表示的平面区域的面积等于12＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，y ≤x2表示的平面区域的面积等于∫10x 2d x ＝13x 310＝13，因此所求的概率为13.6．假设数列{a n }是等差数列，那么数列{b n }b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也为等差数列．类比这一性质可知，假设正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，那么d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：选D 假设{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；假设{c n }是等比数列，那么c 1·c 2·…·c n＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q 12n n (-)，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q12n -，即{d n }为等比数列，应选D.7．已知复数z ＝1－i ，那么z 2－2z z －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i－i·i＝－2i.答案：－2i8．(2021·山东高考)执行下面的程序框图，假设输入的ε的值为，那么输出的n 的值为________．解析：逐次计算的结果是F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；F 1＝5，F 0＝3，n ＝3，现在输出，故输出结果为3. 答案：39．(2021·福建质检)观看以劣等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……那么当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)．解析：由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1,1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4,12＝42－22；由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8,39＝82－52；………依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案：n 2－m 210．已知复数z 1知足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.11．(2021·郑州质量预测)每一年的3月12日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)：甲：137,121,131,120,129,119,132,123,125,133；乙：110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(1)依照抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并依照你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；(3)假设小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率散布估量整体散布，求小王领取到的“良种树苗”的株数X的散布列．解：(1)茎叶图如下图：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为；④甲种树苗的高度大体上是对称的，而且大多数集中在均值周围，乙种树苗的高度散布较为分散．(2)依题意，x ＝127，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度的离散程度的量． S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越良莠不齐．(3)由题意可知，领取一株甲种树苗取得“良种树苗”的概率为12，那么X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，因此随机变量X 的散布列为12．(2021·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右极点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的极点时，判定四边形OABC 是不是可能为菱形，并说明理由．解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右极点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，因此AC 与OB 彼此垂直平分．因此可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.因此菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝3.(2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的极点，且直线AC 只是原点，因此可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，那么x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2.因此AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，因此直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，因此AC 与OB 不垂直．因此四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．因此当点B 不是W 的极点时，四边形OABC 不可能是菱形．。

高考数学考点练习第五章不等式推理与证明算法初步与复数35基本不等式试题文

考点测试35 基本不等式一、基础小题 1．“a >0且b >0”是“a ＋b2≥ab ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a >0且b >0⇒a ＋b2≥ab ，但a ＋b2≥ab ⇒/ a >0且b >0，只能推出a ≥0且b ≥0.2．函数f (x )＝x ＋1x(x <0)的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2－x ·1－x＝－2.3．设0<x <2，则函数y ＝x 4－2x 的最大值为( )A ．2B ．22C ． 3D ． 2答案 D解析 ∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x ≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号．4．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象的最低点的坐标是( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2)答案 D解析 y ＝x ＋12＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2，当x ＝0时取最小值．5．设0<a 0，即ab >a ，D 错误，故选B.6．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.应选C. 7．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C 解析 ∵xy ≤x ＋y24，x >0，y >0，∴1xy≥4x ＋y2，x ＋y xy ≥4x ＋y ，∴x ＋y ＋4x ＋y≤5. 设x ＋y ＝t ，即t ＋4t≤5，得到t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.8．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a a .又1a ＋1b >21ab，∴v <ab .故a <v <ab ，故选A.9．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 1x ＋1y ＝(4x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝16，y ＝13时等号成立，此时x ，y 值存在，所以1x ＋1y的最小值为9，故选C.10．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均存储时间为x8天，且每件产品每天的存储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与存储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B解析若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，存储费用是x8元，总的费用y ＝800x ＋x8≥2800x ·x8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，得x ＝80(件)，故选B.11．设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．2 5D ．5答案 B 解析 2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＝2a 2＋a －b ＋b ab a －b －10ac ＋25c 2＝2a 2＋1ba －b－10ac ＋25c 2≥2a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22－10ac ＋25c 2(b ＝a －b 时取“＝”)＝2a 2＋4a2－10ac ＋25c 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋4a 2＋(a －5c )2≥4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝2，b ＝22，c ＝25时取“＝”，故选B.12．设M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1，且a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则M 的取值范围是________．答案 [8，＋∞) 解析 M ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．二、高考小题13．[2015·福建高考]若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 C解析因为直线x a＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2 a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 14．[2015·湖南高考]若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 C解析依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立．因为1a ＋2b＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22，所以ab 的最小值为22，故选C.15．[2014·重庆高考]若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3答案 D解析由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a >0，b >0，∴a ＝4bb －3，由a >0，得b >3.∴a ＋b ＝b ＋4b b －3＝b ＋4b －3＋12b －3＝(b －3)＋12b －3＋7≥212＋7＝43＋7，即a＋b 的最小值为7＋4 3.16．[2014·福建高考]要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案 160解析设底面的边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160.(当且仅当x ＝y 时取等号) 故该容器的最低总造价是160元．17．[2015·重庆高考]设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．答案 3 2解析令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋1＋b ＋3＋2a ＋1·b ＋3 ≤9＋a ＋1＋b ＋3＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时，即a ＝72，b ＝32时，等号成立．即t 的最大值为3 2.18．[2015·山东高考]定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案2解析由x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy .因为x >0，y >0，所以x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．三、模拟小题19．[2016·兰州一模]在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x＋4e x －2答案 D解析当x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错误；因为0<x <π2，所以0<cos x <1，所以y ＝cos x＋1cos x >2，故B 错误；因为x 2＋2≥2，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号取不到，故C 错误；因为e x >0，所以y ＝e x＋4e x －2≥2e x ·4e x －2＝2，当且仅当e x ＝4ex ，即e x＝2时等号成立，故选D.20．[2017·长春质检]设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A ．1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值12C ．a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值22答案 C解析由于a >0，b >0，由基本不等式得1＝a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴ab ≤12，∴ab ≤14，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，因此1a ＋1b 的最小值为4，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab＝1－2ab ≥1－12＝12，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋1＝2，所以a ＋b 有最大值2，故选C.21．[2017·浙江金丽衢联考]若函数f (x )＝2x 2－ax －1(a <2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a 的值为( )A ．0B ．32C ．1D ．12答案 B解析由题意得f (x )＝2x 2－a x －1＝2x －12＋4x －1＋2－ax －1＝2(x －1)＋2－ax －1＋4≥22x －1·2－ax －1＋4＝24－2a ＋4，当且仅当2(x －1)＝2－ax －1，即x ＝1＋2－a 2时，等号成立，所以24－2a ＋4＝6，即a ＝32，故选B. 22．[2016·广州一模]设a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，若对任意的正实数x ，y ，都存在以a ，b ，c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2]C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 答案 A解析对任意的正实数x ，y ，由于a ＝x 2－xy ＋y 2≥2xy －xy ＝xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，所以xy ＋2xy >p xy ，且p xy ＋xy >2xy ，且p xy ＋2xy >xy ，解得1b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．答案 3解析令log a b ＝t ，由a >b >1，得0<t <1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2 a －1·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．24．[2016·杭州一模]设x >0，y >0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1y2＝________.答案 12解析 ∵x >0，y >0，∴当x ＋1y取最小值时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2取得最小值，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝x 2＋1y 2＋2xy，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x ，∴x 2＋1y 2＝2x y ＋16y x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝4x y ＋16y x ≥24x y ·16y x ＝16，∴x ＋1y≥4，当且仅当4x y＝16y x，即x ＝2y 时取等号，∴当x ＋1y取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2x y ＝16，即x 2＋1y2＋2×2y y ＝16，∴x 2＋1y2＝16－4＝12.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[2016·湖南浏阳月考]已知lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解由lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1. ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0. ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0.∴xy ≥1，∴xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1.(2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22. ∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0.∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0.∴x ＋y ≥2. 当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.2．[2017·河南驻马店月考]某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？解 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x ) ＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x()x 2＋x＝96000x＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x <240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96000x＋240x －160(0<x <240)．(2)y ＝96000x＋240x －160≥296000x·240x －160＝2×4800－160＝9440，当且仅当96000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万元．3．[2017·保定月考]某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0，解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝⎛⎭⎪⎫81n＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)，当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.4．[2016·南京质检]为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4<x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1.4)．解 (1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f (x )＝4y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x－4，0≤x ≤4，20－2x ，4<x ≤10.则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4. 当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综合得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天． (2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度g (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－x －6－1＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x－a －4≥214－x ·16a14－x－a －4＝8a －a －4.因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4. 令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.。

2021年高考数学一轮复习第五章第1讲知能训练轻松闯关

2021年高考数学一轮复习第五章第1讲知能训练轻松闯关1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n解析：选C.根据定义，属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项C.2．(xx·海南三亚模拟)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第( )A．16项 B．24项C．26项 D．28项解析：选C.因为a1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，…，所以a n＝3n－2.令a n＝3n－2＝219＝76，得n＝26.故选C.3．数列{a n}满足a n＋a n＋1＝12(n∈N*)，a2＝2，S n是数列{a n}的前n项和，则S21＝( )A．5 B.7 2C.92D.132解析：选B.∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n＝⎩⎨⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋10×2＝72.故选B.4．(xx·吉林普通中学摸底)已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]解析：选B.数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2×（－2）≤1，即λ≤4.5．(xx·云南昆明一中开学考试)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 100＝－1，S 100＝5B ．a 100＝－3，S 100＝5C ．a 100＝－3，S 100＝2D ．a 100＝－1，S 100＝2解析：选A.因为数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，所以a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，a 7＝1，a 8＝3，…，由此可知数列中各项满足a n＋6＝a n，且a n＋a n＋1＋…＋a n＋6＝0.故a100＝a4＝－1，S100＝a1＋a2＋a3＋a4＝5.6．在数列－1，0，19，18，…，n－2n2，…中，0.08是它的第________项．解析：令n－2n2＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，即(2n－5)(n－10)＝0.解得n＝10或n＝52(舍去)．∴a10＝0.08.答案：107．已知数列{a n}满足a s·t＝a s a t(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________．解析：令s＝t＝2，则a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，则a8＝a2×a4＝8.答案：88．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积，已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．解析：依题意得数列{a n}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：289．已知a n＝a n－1＋1n（n－1）(n≥2)，a1＝1.(1)写出这个数列的前5项；(2)由(1)中前5项推测数列的通项公式并证明．解：(1)a1＝1，a2＝a1＋11×2＝32，a 3＝a2＋12×3＝53，a4＝a3＋13×4＝74，a5＝a4＋14×5＝95.(2)猜想a n＝2n－1n.证明如下：由已知得a2－a1＝12×1，a 3－a2＝13×2，…a n －a n－1＝1n（n－1），所以a n－a1＝11×2＋12×3＋…＋1n（n－1）.从而a n＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝2－1n＝2n－1n.10．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋1－2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n＋a n＋1，求数列{b n}的通项公式．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.因为a1也适合此等式，所以a n＝2n(n∈N*)．(2)因为b n＝a n＋a n＋1，且a n＝2n，a n＋1＝2n＋1，所以b n＝2n＋2n＋1＝3·2n.qr 33053 811D 脝33861 8445 葅39835 9B9B 鮛 37880 93F8 鏸-36987 907B 遻31713 7BE1 篡37156 9124 鄤30289 7651 癑28588 6FAC 澬M。

2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试41复数含解

考点测试41 复数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，低难度考纲研读1.理解复数的基本概念2．理解复数相等的充要条件3．了解复数的代数表示法及其几何意义4．会进行复数代数形式的四则运算5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义一、基础小题1．(－1＋i)(2i＋1)＝( )A．1－i B．1＋iC．－3－i D．－3＋i答案 C解析由题意，得(－1＋i)(2i＋1)＝－2i－1－2＋i＝－3－i，故选C.2．已知m为实数，i为虚数单位，若m＋(m2－4)i>0，则m＋2i2－2i＝( ) A．i B．1C．－i D．－1答案 A解析因为m＋(m2－4)i>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，m2－4＝0，可得m＝2，故m＋2i2－2i＝21＋i21－i＝i.故选A.3．已知复数z＝1－i3＋4i(其中i为虚数单位)，则|z|的值为( )A.225B．225C．25D．25答案 D解析解法一：因为z＝1－i3＋4i＝1－i3－4i3＋4i3－4i＝－1－7i25，所以|z|＝⎝⎛⎭⎪⎫－1252＋⎝⎛⎭⎪⎫－7252＝25.故选D.解法二：因为z ＝1－i 3＋4i ，所以|z |＝|1－i 3＋4i |＝|1－i||3＋4i|＝25.故选D.4．已知复数z ＝(1＋a i)(1－2i)(a ∈R )为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12答案 D解析 z ＝(1＋2a )＋(a －2)i ，由已知得1＋2a ＝0且a －2≠0，解得a ＝－12，故选D.5．下列各式的运算结果为实数的是( ) A ．－i(1＋i) B ．i(1－i) C ．(1＋i)－(1－i) D ．(1＋i)(1－i) 答案 D解析对于A ，－i(1＋i)＝1－i ；对于B ，i(1－i)＝1＋i ；对于C ，(1＋i)－(1－i)＝2i ；对于D ，(1＋i)(1－i)＝2.故选D.6．已知复数z ＝31－2i (i 是虚数单位)，则z 的实部为( )A ．－35B ．35 C ．－15D ．15 答案 B解析 ∵z ＝31－2i＝31＋2i 1－2i 1＋2i ＝35＋65i ，∴z 的实部为35.故选B.7．若复数z ＝i 1＋i (i 为虚数单位)，则z ·z －＝( )A.12i B ．－14C ．14D ．12答案 D解析解法一：∵z ＝i 1＋i＝i1－i 2＝1＋i 2＝12＋12i ，∴z －＝12－12i ，∴z ·z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12i ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12i ＝12，故选D. 解法二：∵z ＝i 1＋i ，∴|z |＝1|1＋i|＝22，∴z ·z －＝|z |2＝12，故选D.8．复数z ＝21＋i (i 为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(－1，－1)答案 B解析 z ＝21＋i ＝21－i 1＋i 1－i ＝1－i ，故复数z ＝21＋i 在复平面内对应的点的坐标是(1，－1)，故选B.9．已知复数z ＝i ＋i 2020，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A 解析 ∵i ＋i 2020＝1＋i ，∴i ＋i2020在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，所以该点在第一象限．故选A.10．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z 1＝3＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．10 B ．－10 C ．－9＋i D ．－9－i答案 B解析因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z 1＝3＋i ，所以z 2＝－3＋i ，所以z 1z 2＝(3＋i)·(－3＋i)＝－9－1＝－10，故选B.11．在复平面内表示复数im －i(m ∈R ，i 为虚数单位)的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)答案 C 解析由题意，得i m －i ＝i m ＋i m 2＋1＝－1m 2＋1＋mm 2＋1i ，因为在复平面内该复数对应的点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1m 2＋1<0，mm 2＋1>0，解得m >0，即m ∈(0，＋∞)，故选C.12．下面四个命题中，正确的是( ) A ．若复数z 1＝z －2，则z 1·z 2∈RB ．若复数z 1，z 2满足z 1－z 2∈R ，则z 1∈R ，z 2∈RC ．若复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2或z 1＝－z 2D ．若复数z 1，z 2满足z 1＋z 2∈R ，则z 1∈R ，z 2∈R 答案 A解析若复数z 1＝z －2，则z 1·z 2＝z －2·z 2＝|z 2|2∈R ，故A 中命题正确；取z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i ，则z 1－z 2＝－1∈R ，而z 1∉R ，z 2∉R ，故B 中命题错误；取z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，不满足z 1＝z 2或z 1＝－z 2，故C 中命题错误；取复数z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，满足z 1＋z 2∈R ，不满足z 1∈R ，z 2∈R ，故D 中命题错误．故选A.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1答案 C解析由已知条件，可得z ＝x ＋y i.∵|z －i|＝1，∴|x ＋y i －i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C.14．(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内 z －对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 z －＝－3－2i ，故z －对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C. 15．(2019·全国卷Ⅲ)若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i 答案 D解析由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i 1－i 1＋i 1－i ＝2i1－i2＝i(1－i)＝1＋i.故选D.16．(2019·北京高考)已知复数z ＝2＋i ，则z ·z －＝( ) A. 3 B ． 5 C ．3 D ．5答案 D解析 ∵z ＝2＋i ，∴z －＝2－i.∴z ·z －＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D. 17．(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( )A ．0B ．12C ．1D ． 2答案 C解析因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝1－i 21＋i 1－i ＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ，所以|z |＝0＋12＝1，故选C.18．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i答案 D 解析 ∵1＋2i1－2i＝1＋2i 25＝－3＋4i 5，∴选D.19．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－i D ．3＋i答案 D解析 (1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，故选D. 20．(2018·浙江高考)复数21－i(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 B 解析 ∵21－i＝21＋i 1－i 1＋i ＝1＋i ，∴21－i的共轭复数为1－i.21．(2018·北京高考)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D 解析 ∵11－i＝1＋i 1－i 1＋i ＝12＋12i ，∴其共轭复数为12－12i ，又12－12i 在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12在第四象限，故选D.22．(2017·北京高考)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案 B解析 ∵复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i 在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，∴a ＜－1.故选B.23．(2017·山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B ．7或－7 C ．－ 3 D ． 3答案 A解析 ∵z ＝a ＋3i ，∴z －＝a －3i.又∵z ·z －＝4，∴(a ＋3i)(a －3i)＝4，∴a 2＋3＝4，∴a 2＝1，∴a ＝±1.故选A.24．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4答案 B解析对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R成立，故正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i ∈R ，得a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 为实数或纯虚数，故错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z －2，故错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z －＝a ∈R 成立，故正确．故选B.25．(2019·天津高考)i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i 的值为________．解析 ∵5－i1＋i＝5－i 1－i 1＋i1－i ＝2－3i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝13.26．(2019·浙江高考)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝________.答案22解析 z ＝11＋i ＝1－i 1＋i 1－i ＝1－i 1－i 2＝12－12i ，易得|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.27．(2019·江苏高考)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．答案 2解析 (a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ，因为其实部为0，故a ＝2. 28．(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝________.答案 4－i 解析6＋7i 1＋2i ＝6＋7i1－2i 1＋2i1－2i ＝20－5i5＝4－i.29．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.答案 5 2解析解法一：∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，a ，b ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a 2＝3，ab ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＝2.∴a 2＋b 2＝2a 2－3＝5，ab ＝2. 解法二：由解法一知ab ＝2，又|(a ＋b i)2|＝|3＋4i|＝5，∴a 2＋b 2＝5.30．(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．答案 2解析由(1＋i)(1－b i)＝a ，得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以ab＝2.31．(2019·新乡一模)若复数z 满足z (2－i)＝18＋11i ，则z 的实部为( ) A ．－5 B ．5 C ．－8 D ．8答案 B解析因为z ＝18＋11i2－i＝5＋8i ，所以z 的实部为5.32．(2019·湖南湘潭一模)若复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则复数z －的虚部为( ) A ．－i B ．1 C ．－1 D ．i 答案 C解析由题意可知，z ＝2i 1＋i＝1＋i ，故z －＝1－i ，所以其虚部为－1. 33．(2019·山西吕梁一模)已知复数z ＝3＋4i 1＋2i ，则|z －|＝( )A. 5 B ．10 C ．2 5 D ．5答案 A解析解法一：因为z ＝3＋4i1＋2i ＝3＋4i 1－2i 1＋2i1－2i ＝11－2i 5，所以z －＝11＋2i 5，|z －|＝|11＋2i 5|＝15112＋22＝ 5.解法二：|z －|＝|z |＝|3＋4i||1＋2i|＝55＝ 5.故选A.34．(2019·开封一模)已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则复平面内与复数z 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D 解析由(1＋3i)z ＝1＋i ，得z ＝1＋i 1＋3i＝1＋i 1－3i 1＋3i1－3i＝1＋3＋1－3i1＋3＝1＋34＋1－34i ，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋34，1－34，在第四象限．故选D.35．(2019·吉林市调研)欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，ie π4i 表示的复数对应的点位于复平面内( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A 解析 ∵eπ4i ＝cos π4＋isin π4＝22＋22i ，∴i e π4i ＝i 22＋22i ＝i ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i ＝22＋22i ，此复数在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22位于第一象限，故选A.本考点在近三年高考中未涉及此题型．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数40算法初步课件理

)
A．0.5 C．2
B．1 D．4
解析当 x＝－4 时，|－4|>3，所以 x＝|－4－3|＝7. 又|7|>3，所以 x＝|7－3|＝4. 又|4|>3，所以 x＝|4－3|＝1. 又|1|<3，所以输出 y＝21＝2. 故选 C.
10．如图，程序框图中的算法输出的结果为(
)
1
2
A.2
B.3
3
4
C.4
D.5
解析分别计算 i 与相应的 m，n 取值依次为 i＝2，m＝
1，n＝12；i＝3，m＝2，n＝23；i＝4, m＝3，n＝34，此时由判
断框可知程序结束，故输出 n＝34，故选 C.
11．为了求满足 1＋2＋3＋…＋n<2013 的最大的自然数
n，程序框图如图所示，则输出框中应填输出(
)
A．i－2
B．i－1
C．i
D．i＋1
解析依次执行程序框图：
S＝0＋1，i＝2；
S＝0＋1＋2，i＝3；
S＝0＋1＋2＋3，i＝4；
……
由此可得
S＝1＋2＋3＋…＋n 时，i＝n＋1；
经检验知当 S＝1＋2＋3＋…＋62＝1953 时，i＝63，满足条件进入循环；
S＝1＋2＋3＋…＋62＋63＝2016 时，i＝64，不满足条件，退出循环．
角 θ＝(
)
π A.6
B．－π6
π C.3
D．－π3
解析由输出 y＝－ 3<0，排除 A，C，又当 θ＝－π3时，
输出 y＝－ 3，故选 D.
3．已知一个算法：
①m＝a；
②如果 b<m，则 m＝b，输出 m，结束算法；否则执行

2021高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试37直接证明与

考点测试37 直接证明与间接证明高考概览高考在本考点的常考题型为解答题，分值12分，中、高等难度考纲研读1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2．了解反证法的思考过程和特点一、基础小题1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个答案 D解析由综合法，分析法，反证法的定义知①②③④⑤都正确．2．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a，b大小不定答案 B解析因为a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1，而m＋1＋m>m＋m－1>0(m>1)，所以1m＋1＋m<1m＋m－1，即a<b.故选B.3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a”索的因应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案 C解析要证b2－ac<3a，只需证b2－ac<3a2，即证(a＋c)2－ac<3a2，即证2a2－ac－c2>0，即证(2a＋c)(a－c)>0，即证[2a－(a＋b)](a－c)>0，即证(a－b)(a－c)>0，故索的因应是(a －b)(a－c)>0.4．用反证法证明命题①：“已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2”时，可假设“p＋q>2”；命题②：“若x2＝4，则x＝－2或x＝2”时，可假设“x≠－2或x≠2”．以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确答案 C解析用反证法证明时，其假设应否定命题的结论．证明①：“已知p 3＋q 3＝2，求证：p ＋q ≤2”时，可假设“p ＋q >2”；证明②：“若x 2＝4，则x ＝－2或x ＝2”时，可假设“x ≠－2且x ≠2”．故选C.5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负答案 A解析由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，所以f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)<0.6．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．答案 ③解析若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，下面用反证法证明：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型．三、模拟小题7．(2020·天津月考)用反证法证明命题“a ，b ∈N ，若ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不都能被5整除D ．a 能被5整除答案 B解析由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立从而进行推证．命题“a ，b ∈N ，若ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”的否定是“a ，b ∈N ，若ab 可被5整除，那么a ，b 都不能被5整除”，故选B.8．(2019·焦作模拟)用分析法证明不等式(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)时，最后得到的一个显然成立的不等式是( )A ．(ac ＋bd )2≥0 B ．a 2＋b 2≥0 C ．(ad －bc )2≥0 D ．c 2＋d 2≥0答案 C解析要证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，只要证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2，即证2abcd ≤a 2d 2＋b 2c 2，即证(ad －bc )2≥0，该式显然成立．故选C.9．(2019·武汉模拟)已知a ，b ，c ∈R ，若b a ·c a ＞1且b a ＋c a≥－2，则下列结论成立的是( )A ．a ，b ，c 同号B ．b ，c 同号，a 与它们异号C ．a ，c 同号，b 与它们异号D ．b ，c 同号，a 与b ，c 的符号关系不确定答案 A解析由b a ·c a ＞1知b a 与c a 同号，若b a ＞0且c a ＞0，不等式b a ＋c a ≥－2显然成立，若b a ＜0且c a＜0，则－b a ＞0，－c a ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－ca ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a ＞2，即b a ＋c a ＜－2，这与b a ＋c a ≥－2矛盾，故b a＞0且c a＞0，即a ，b ，c 同号．故选A.10．(2019·四川省凉山州高中毕业班第一次诊断性检测)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数n >2时，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是( )A ．存在至少一组正整数组(x ，y ，z )使方程x 3＋y 3＝z 3有解 B ．关于x ，y 的方程x 3＋y 3＝1有正有理数解 C ．关于x ，y 的方程x 3＋y 3＝1没有正有理数解D ．当整数n ＞3时，关于x ，y ，z 的方程x n＋y n＝z n没有正实数解答案 C解析由于B ，C 两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个．假设关于x ，y 的方程x 3＋y 3＝1有正有理数解，故x ，y 可写成整数比值的形式，不妨设x ＝m n ，y ＝ba ，其中m ，n 为互质的正整数，a ，b 为互质的正整数．代入方程得m 3n 3＋b 3a3＝1，两边乘以a 3n 3得(am )3＋(bn )3＝(an )3，由于am ，bn ，an 都是正整数，这与费马大定理矛盾，故假设不成立，所以关于x ，y 的方程x 3＋y 3＝1没有正有理数解．故选C.11．(2019·黄冈、华师一附中等八校第一次联考)已知各项均为正数的两个无穷数列{a n }和{b n }满足：a n ＋1＝a n ＋b n a 2n ＋b 2n，b n ＋1＝2·b n a n ，n ∈N *，且{a n }是等比数列，给定以下四个结论：①数列{a n }的所有项都不大于2；②数列{b n }的所有项都大于2；③数列{a n }的公比等于1；④数列{b n }一定是等比数列．其中正确结论的序号是________．答案 ①③④ 解析因为a n ＋b n22≤a 2n ＋b 2n ＜(a n ＋b n )2，所以1<a n ＋1≤ 2.①下证等比数列{a n }的公比q ＝1. 若q >1，则a 1<a 2≤ 2，则当n >log q2a 1时，a 1q n>2，此时a n ＋1>2，与①矛盾；若0<q <1，则a 1>a 2>1，则当n >log q 1a 1时，a 1q n<1，此时a n ＋1<1，与①矛盾．故q ＝1，故b n ＋1＝2a 1b n .下证a 1＝2，若a 1≠2，则2a 1>1，于是b 1<b 2<b 3，由a 1＝a 1＋b n a 21＋b 2n得b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1，所以b 1，b 2，b 3中至少有两项相同，矛盾．所以a 1＝2，所以b n ＝2，所以正确的序号是①③④.一、高考大题1．(2018·北京高考)设n 为正整数，集合A ＝{α|α＝(t 1，t 2，…，t n )，t k ∈{0,1}，k ＝1,2，…，n }．对于集合A 中的任意元素α＝(x 1，x 2，…，x n )和β＝(y 1，y 2，…，y n )，记M (α，β)＝12[(x 1＋y 1－|x 1－y 1|)＋(x 2＋y 2－|x 2－y 2|)＋…＋(x n ＋y n －|x n －y n |)]．(1)当n ＝3时，若α＝(1,1,0)，β＝(0,1,1)，求M (α，α)和M (α，β)的值； (2)当n ＝4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，M (α，β)是奇数；当α，β不同时，M (α，β)是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；(3)给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，M (α，β)＝0.写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．解 (1)因为α＝(1,1,0)，β＝(0,1,1)，所以M (α，α)＝12×[(1＋1－|1－1|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＋0－|0－0|)]＝2，M (α，β)＝12×[(1＋0－|1－0|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＋1－|0－1|)]＝1.(2)设α＝(x 1，x 2，x 3，x 4)∈B ，则M (α，α)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4.由题意知x 1，x 2，x 3，x 4∈{0,1}，且M (α，α)为奇数，所以x 1，x 2，x 3，x 4中1的个数为1或3.所以B ⊆{(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)，(0,1,1,1)，(1,0,1,1)，(1,1,0,1)，(1,1,1,0)}．将上述集合中的元素分成如下四组：(1,0,0,0)，(1,1,1,0)；(0,1,0,0)，(1,1,0,1)；(0,0,1,0)，(1,0,1,1)；(0,0,0,1)，(0,1,1,1)．经验证，对于每组中两个元素α，β均有M (α，β)＝1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以集合B 中元素的个数不超过4.又集合{(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)}满足条件，所以集合B 中元素个数的最大值为4.(3)设S k ＝{(x 1，x 2，…，x n )|(x 1，x 2，…，x n )∈A ，x k ＝1，x 1＝x 2＝…＝x k －1＝0}(k ＝1,2，…，n )， S n ＋1＝{(x 1，x 2，…，x n )|x 1＝x 2＝…＝x n ＝0}，所以A ＝S 1∪S 2∪…∪S n ＋1.对于S k (k ＝1,2，…，n －1)中的不同元素α，β，经验证，M (α，β)≥1. 所以S k (k ＝1,2，…，n －1)中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以B 中元素的个数不超过n ＋1.取e k ＝(x 1，x 2，…，x n )∈S k 且x k ＋1＝…＝x n ＝0(k ＝1,2，…，n －1)．令B ＝{e 1，e 2，…，e n －1}∪S n ∪S n ＋1，则集合B 的元素个数为n ＋1，且满足条件．故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．2．(2018·江苏高考)记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数，若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”．(1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”； (2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值；(3)已知函数f (x )＝－x 2＋a ，g (x )＝b e xx，对任意a >0，判断是否存在b >0，使函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)内存在“S 点”，并说明理由．解 (1)证明：函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2，由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解．因此，f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”． (2)函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝1x，设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”，由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1，(*)得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12e －122＝e2. 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)，即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”，因此，a 的值为e 2.(3)f ′(x )＝－2x ，g ′(x )＝b e x x －1x 2，x ≠0，f ′(x 0)＝g ′(x 0)⇒b e x 0＝－2x 3x 0－1>0⇒x 0∈(0,1)，f (x 0)＝g (x 0)⇒－x 2＋a ＝b e x 0x 0＝－2x 2x 0－1⇒a ＝x 20－2x 2x 0－1，令h (x )＝x 2－2x 2x －1－a ＝－x 3＋3x 2＋ax －a1－x，x ∈(0,1)，a >0，设m (x )＝－x 3＋3x 2＋ax －a ，x ∈(0,1)，a >0，则m (0)＝－a <0，m (1)＝2>0⇒m (0)·m (1)<0，又m (x )的图象在(0,1)上连续不断，∴m (x )在(0,1)上有零点，则h (x )在(0,1)上有零点．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)内存在“S 点”．二、模拟大题3．(2019·武汉模拟)已知等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d >0. (1)若a 1＝1，d ＝2，且1a 21，1a 24，1a 2m成等比数列，求正整数m 的值；(2)求证：对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列．解 (1)由题意，得1a 21·1a 2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 242，(a 24)2＝(a 1a m )2，因为a 1＝1，d ＝2，所以a 24＝a 1a m ，即49＝1＋(m －1)·2，解得m ＝25. (2)证明：假设1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2成等差数列，则1a 2n ＋1a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，即1a 2n ＋2－1a 2n ＋1＝1a 2n ＋1－1a 2n，a n ＋2＋a n ＋1－d a 2n ＋2a 2n ＋1＝a n ＋1＋a n －da 2n ＋1a 2n，所以a 2n (a n ＋2＋a n ＋1)＝a 2n ＋2(a n ＋1＋a n )，a 2n (2a n ＋3d )＝(a n ＋2d )2(2a n ＋d )，即2d (3a 2n ＋6a n d ＋2d 2)＝0，(*) 因为a 1＞0，d ＞0，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＞0，故2d (3a 2n ＋6a n d ＋2d 2)＞0，与(*)式矛盾，所以假设不成立．即对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列．4．(2020·北京市西城区高三年级月考)给定数列{a n }，若满足a 1＝a (a ＞0且a ≠1)，对任意的n ，m ∈N *，都有a n ＋m ＝a n ·a m ，则称数列{a n }为“指数型数列”．(1)已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝5×3n －1，b n ＝4n，试判断{a n }，{b n }是不是“指数型数列”；(2)若数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＝2a n a n ＋1＋3a n ＋1(n ∈N *)，判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(3)若数列{a n }是“指数型数列”，且a 1＝a ＋1a ＋2(a ∈N *)，证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列．解 (1)对于数列{a n }，a n ·a m ＝5×3n －1×5×3m －1＝53×(5×3n ＋m －1)≠a n ＋m ，所以{a n }不是“指数型数列”．对于数列{b n }，对任意n ，m ∈N *，因为b n ＋m ＝4n ＋m＝4n ·4m＝b n ·b m ，所以{b n }是“指数型数列”．(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋1是“指数型数列”．证明：a n ＝2a n a n ＋1＋3a n ＋1⇒1a n ＋1＝3a n＋2⇒1a n ＋1＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋1是等比数列，1a n＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1×3n －1＝3n，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a m ＋1＝3n ·3m ＝3m ＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋m ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋1是“指数型数列”．(3)证明：因为数列{a n }是“指数型数列”，故对于任意的n ，m ∈N *，有a n ＋m ＝a n ·a m ⇒a n ＋1＝a n ·a 1⇒a n ＝a n1＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2n ，假设数列{a n }中存在三项a u ，a v ，a w 构成等差数列，不妨设u ＜v ＜w ，则由2a v ＝a u ＋a w ，得2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2u ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2w ，所以2(a ＋2)w －v(a ＋1)v －u＝(a ＋2)w －u＋(a ＋1)w －u，当a 为偶数时，2(a ＋2)w －v (a ＋1)v －u是偶数，而(a ＋2)w －u是偶数，(a ＋1)w －u是奇数，故2(a ＋2)w －v(a ＋1)v －u＝(a ＋2)w －u＋(a ＋1)w －u不能成立；当a 为奇数时，2(a ＋2)w －v(a ＋1)v －u是偶数，而(a ＋2)w －u是奇数，(a ＋1)w －u是偶数，故2(a ＋2)w －v(a ＋1)v －u＝(a ＋2)w －u＋(a ＋1)w －u也不能成立．所以，对任意a ∈N *,2(a ＋2)w －v(a ＋1)v －u＝(a ＋2)w －u＋(a ＋1)w －u不能成立，即数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试39数学归纳

考点测试39 数学归纳法高考概览高考在本考点的常考题型为解答题，分值12分，中等以上难度考纲研读1.了解数学归纳法的原理2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题一、基础小题1．在应用数学归纳法证明“凸n 边形的对角线为12n (n －3)条”时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析边数最少的凸n 边形是三角形，故选C.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n＝1－a n ＋11－a，a ≠1，n ∈N *”，在验证n ＝1时，左边是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 B解析当n ＝1时，代入原式有左边＝1＋a .故选B.3．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生利用数学归纳法的证明过程如下： ①当n ＝1时， 12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即 k 2＋k ≤k ＋1，则n ＝k ＋1时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1检验不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确答案 D解析 n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求，故选D.4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项答案 D解析 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k项．5．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立答案 C解析假设n ＝4时该命题成立，由题意可得n ＝5时，该命题成立，而n ＝5时，该命题不成立，所以n ＝4时，该命题不成立；n ＝5时该命题不成立，不能推得n ＝6时该命题是否成立，故选C.6．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.7．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k)答案 D解析 ①当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．②假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n)－36，这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由①②可知，命题对任何k ∈N *都成立．故选D.8．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n，n ∈N ＋，那么f (n ＋1)－f (n )＝( ) A.12n ＋1B ．12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2D ．12n ＋1－12n ＋2答案 D解析 f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋…＋1n ＋1＋n＋1n ＋1＋n ＋1－1n ＋1－1n ＋2－…－1n ＋n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.9．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N *) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N *) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N *) D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N *) 答案 B解析因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1时正确．10．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3，为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)2展开，让其出现k 3即可．故选A.11．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________．答案 2(2k ＋1)解析当n ＝k 时，式子左边＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，式子左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，故左边应增乘的因式为k ＋1＋k k ＋1＋k ＋1k ＋1＝2(2k ＋1)．12．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明“f (2n )>n 2”时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.答案12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 解析 ∵f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1，f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ，∴f (2k ＋1)－f (2k)＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型．三、模拟小题13．(2019·甘肃省静宁县第一中学高三上学期第三次模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2D.k ＋14＋k ＋122答案 C解析当n ＝k 时，等式左端＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋k 2＋1＋k 2＋2＋…＋(k ＋1)2，增加的项为(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.故选C.14．(2019·山东淄博质检)设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：当f (k )≥k ＋1成立时，总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立，那么下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<2成立，则f (10)<11成立B ．若f (3)≥4成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k ＋1成立C ．若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立D ．若f (4)≥5成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立答案 D解析当f (k )≥k ＋1成立时，总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立，说明如果当k ＝n 时，f (n )≥n ＋1成立，那么当k ＝n ＋1时，f (n ＋1)≥n ＋2也成立，所以如果当k ＝4时，f (4)≥5成立，那么当k ≥4时，f (k )≥k ＋1也成立．一、高考大题1．(2017·浙江高考)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln (1＋x n ＋1)(n ∈N *)．证明：当n ∈N *时， (1)0<x n ＋1<x n ； (2)2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12；(3)12n －1≤x n ≤12n －2. 证明 (1)用数学归纳法证明：x n >0. 当n ＝1时，x 1＝1>0. 假设n ＝k 时，x k >0，那么n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0<x k ＝x k ＋1＋ln (1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1>0. 因此x n >0(n ∈N *)．所以x n ＝x n ＋1＋ln (1＋x n ＋1)>x n ＋1. 因此0<x n ＋1<x n (n ∈N *)． (2)由x n ＝x n ＋1＋ln (1＋x n ＋1)得x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln (1＋x n ＋1)．记函数f (x )＝x 2－2x ＋(x ＋2)ln (1＋x )(x ≥0)， f ′(x )＝2x 2＋x x ＋1＋ln (1＋x )>0(x ≥0)，所以函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0，因此x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln (1＋x n ＋1) ＝f (x n ＋1)≥0，故2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12(n ∈N *)．(3)因为x n ＝x n ＋1＋ln (1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1＝2x n ＋1，所以x n ≥12n －1.由x n x n ＋12≥2x n ＋1－x n 得1x n ＋1－12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －12>0，所以1x n －12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －1－12≥…≥2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－12＝2n －2，故x n ≤12n －2.综上，12n －1≤x n ≤12n －2(n ∈N *)．2．(2015·江苏高考)已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2，3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }．令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．解 (1)f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋1－13，结论成立；c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1－23，结论成立；d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋13，结论成立；e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1－13，结论成立；f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋1－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．二、模拟大题3．(2019·江苏省清江中学高三第二次教学质量调研)已知函数f 1(x )＝sin x2，x ∈R ，记f n ＋1(x )为f n (x )的导数，n ∈N *.(1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )，n ∈N *的表达式，并证明你的猜想．解 (1)f 1(x )＝sin x 2，f 2(x )＝12cos x2，f 3(x )＝－14sin x2，(2)猜想：f n (x )＝12n －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12π＋x 2.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f 1(x )＝sin x2，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即f k (x )＝12k －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12π＋x 2.当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x )＝f ′k (x )＝12×12k －1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12π＋x 2＝12k sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12π＋π2＋x 2＝12k ＋1－1sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ＋1－12π＋x 2.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．所以由①②可知对任意的n ∈N *结论成立．4．(2019·江苏省苏锡常镇四市高三模拟)已知在数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝a 2n －a n ＋1对任意n ∈N *恒成立．(1)求证：a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1(n ∈N *)； (2)求证：a n ＋1＞n n ＋1(n ∈N *)．证明 (1)①当n ＝1时，a 2＝a 21－a 1＋1＝22－2＋1＝3，满足a 2＝a 1＋1成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＋1＝a k a k －1a k －2…a 2a 1＋1成立．下证：当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝a k ＋1a k a k －1…a 2a 1＋1成立．因为a k ＋2＝a 2k ＋1－a k ＋1＋1＝a k ＋1(a k ＋1－1)＋1 ＝a k ＋1(a k a k －1a k －2…a 2a 1＋1－1)＋1 ＝a k ＋1a k a k －1a k －2…a 2a 1＋1.即当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝a k ＋1a k a k －1…a 2a 1＋1成立．由①②可知，a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1(n ∈N *)成立． (2)①当n ＝1时，a 2＝22－2＋1＝3＞11＋1成立，当n ＝2时，a 3＝a 22－a 2＋1＝a 2(a 2－1)＋1＝3×2＋1＝7＞22＋1成立， ②假设n ＝k (k ≥3)时，结论正确，即a k ＋1＞k k＋1成立．下证：当n ＝k ＋1时，a k ＋2＞(k ＋1)k ＋1＋1成立．因为a k ＋2＝a 2k ＋1－a k ＋1＋1＝a k ＋1(a k ＋1－1)＋1＞(k k＋1)k k＋1＝k 2k＋k k＋1. 要证a k ＋2＞(k ＋1)k ＋1＋1，只需证k 2k＋k k＋1＞(k ＋1)k ＋1＋1.只需证k 2k＞(k ＋1)k ＋1，只需证ln k 2k ＞ln (k ＋1)k ＋1，即证2k ln k －(k ＋1)ln (k ＋1)＞0(k ≥3)．记h (x )＝2x ln x －(x ＋1)ln (x ＋1)，则h ′(x )＝2(ln x ＋1)－[ln (x ＋1)＋1]＝2ln x －ln (x ＋1)＋1 ＝lnx 2x ＋1＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2＋1.当x ＋1≥2时，ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2＋1≥ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－2＋1＝ln 12＋1＞ln 1e ＋1＝0. 所以h (x )＝2x ln x －(x ＋1)ln (x ＋1)在[1，＋∞)上单调递增，又h (3)＝2×3ln 3－4ln 4＝ln 36－ln 44＝ln 729－ln 256＞0. 所以，当x ≥3时，h (x )≥h (3)＞0恒成立．即当k ≥3时，h (k )≥h (3)＞0恒成立．即当k ≥3时，2k ln k －(k ＋1)ln (k ＋1)＞0恒成立．所以当k ≥3时，a k ＋2＞(k ＋1)k ＋1＋1恒成立．由①②可得，对任意的n ∈N *，不等式a n ＋1＞n n＋1恒成立，命题得证．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2021高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试35基本不等式

考点测试35 基本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1.了解基本不等式的证明过程2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题1．下列说法正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2 B ．若x <0，则x ＋4x≥－2x ·4x＝－4 C ．若ab ≠0，则b 2a ＋a 2b≥a ＋bD ．若x <0，则2x＋2－x>2 答案 D解析对于A ，当ab <0时不成立；对于B ，若x <0，则x ＋4x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋4－x ≤－2－x ·4－x＝－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立，因此B 项不成立；对于C ，取a ＝－1，b ＝－2，b 2a ＋a 2b ＝－92<a ＋b ＝－3，所以C 项不成立；对于D ，若x <0，则2x ＋2－x>2成立．故选D. 2．不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－2,1) D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)答案 C解析根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a min，因为a b ＋b a ≥2a b ·b a＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2,1)．3．已知m >0，n >0,2m ＋n ＝1，则14m ＋2n的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．92D ．16答案 C解析由于m >0，n >0,2m ＋n ＝1，则14m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2n ＝52＋n 4m ＋4m n ≥52＋2n 4m ·4m n＝92，当且仅当n ＝23，m ＝16时取等号．故选C. 4．设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1 D ．32答案 A解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 5．已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16答案 B解析由4x ＋y ＝xy ，得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.6．若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．2 D ．2 2答案 A解析 ∵3x ＋2y ＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥223x·22y＝223x ＋2y＝4，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立，∴8x ＋4y 的最小值为4.故选A.7．已知向量a ＝(1，x －1)，b ＝(y,2)，其中x >0，y >0.若a ⊥b ，则xy 的最大值为( )A.14 B ．12 C ．1 D ．2答案 B解析因为a ＝(1，x －1)，b ＝(y,2)，a ⊥b ，所以a ·b ＝y ＋2(x －1)＝0，即2x ＋y ＝2.又因为x >0，y >0，所以2x ＋y ≥22xy ，当且仅当x ＝12，y ＝1时等号成立，即22xy ≤2，所以xy ≤12，所以当且仅当x ＝12，y ＝1时，xy 取到最大值，最大值为12.故选B.8．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y 的最大值为( )A.14 B ．15 C ．19 D ．112答案 C 解析 2x ＋yxy＝2y ＋1x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋1x (x ＋2y )＝5＋2y x ＋2xy≥5＋22y x ·2xy＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝2x y ，x ＋2y ＝1，即x ＝y ＝13时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫xy 2x ＋y max ＝19.9．已知函数f (x )＝cosπx (0<x <2)，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则1a ＋4b的最小值为( )A.92 B ．9 C ．18 D ．36答案 A解析函数f (x )＝cosπx (0<x <2)的图象的对称轴为直线x ＝1.因为a ≠b ，且f (a )＝f (b )，所以a ＋b ＝2，所以1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )×12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥12×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92，当且仅当a ＝23，b ＝43时取等号，故1a ＋4b 的最小值为92.故选A.10．若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为________．答案 4解析 ∵正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，∴x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0.设x ＋2y ＝t＞0，∴t ＋14t 2－8≥0，∴t 2＋4t －32≥0，即(t ＋8)(t －4)≥0，∴t ≥4，即x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值为4.11．正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝2a 1，且a 6＝a 5＋2a 4，则1m ＋9n的最小值是________．答案 4解析由于数列{a n }是正项等比数列，由a 6＝a 5＋2a 4得q 2＝q ＋2，解得q ＝2(负根舍去)．由a m ·a n ＝2a 1，得2m ＋n －2＝22，m ＋n ＝4.故1m ＋9n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋9n ·(m ＋n )＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋9＋n m ＋9m n ≥14⎝⎛⎭⎪⎫10＋2n m ·9m n ＝14×(10＋6)＝4，当且仅当m ＝1，n ＝3时等号成立，所以1m ＋9n 的最小值为4.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c sin B ＋bsin C ＝2a ，则△ABC 是________三角形．答案等腰直角解析 ∵c sin B ＋b sin C ＝2a ，∴sin C sin B ＋sin B sin C ＝2sin A ，又sin C sin B ＋sin Bsin C ≥2sin C sin B ·sin Bsin C＝2，当且仅当sin C sin B ＝sin B sin C 时，等号成立，∴sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，故A ＝π2，b ＝c ，∴△ABC 是等腰直角三角形．二、高考小题13．(2019·天津高考)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy的最小值为________．答案 4 3解析 ∵x >0，y >0，∴xy >0.∵x ＋2y ＝5，∴x ＋12y ＋1xy＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy ≥212＝4 3.当且仅当2xy ＝6xy ，且x ＋2y ＝5，即x ＝2，y ＝32或x＝3，y ＝1时取等号．∴x ＋12y ＋1xy的最小值为4 3.14．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析由已知，得2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝14，当且仅当2a ＝2－3b时等号成立，由a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，得a ＝－3，b ＝1，故当a ＝－3，b ＝1时，2a＋18b 取得最小值14.15．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析设总费用为y 万元，则y ＝600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋900x ≥240，当且仅当x ＝900x，即x＝30时，等号成立．16．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)，∴a 4＋4b 4＋1ab≥4a 2b 2＋1ab＝4ab ＋1ab，由于ab ＞0，∴4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立，故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.17．(2015·重庆高考)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．答案 3 2解析令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋1＋b ＋3＋2a ＋1·b ＋3≤9＋a ＋1＋b ＋3＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时，即a ＝72，b ＝32时，等号成立，所以t 的最大值为3 2.三、模拟小题18．(2019·山东日照模拟)若实数x ，y 满足xy >0，则xx ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4－2 2答案 D 解析x x ＋y ＋2y x ＋2y ＝x x ＋y ＋x ＋2y －x x ＋2y ＝1＋x x ＋y －xx ＋2y＝1＋xy x ＋yx ＋2y＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋13＋x y＋2y x，因为xy >0，所以x y >0，y x >0.由基本不等式可知x y ＋2yx≥22，当且仅当x ＝2y 时等号成立，所以1＋13＋x y ＋2y x≤1＋13＋22＝4－2 2.故选D.19．(2019·重庆模拟)设a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，若对任意的正实数x ，y ，都存在以a ，b ，c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2]C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 答案 A解析对任意的正实数x ，y ，由于a ＝x 2－xy ＋y 2≥2xy －xy ＝xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，所以xy ＋2xy >p xy ，且p xy ＋xy >2xy ，且p xy ＋2xy >xy ，解得10，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为( )A ．3－2 2B ．5C ．3＋2 2D ．3＋ 2答案 C解析令x ＋3＝1，得x ＝－2，故A (－2，－1)．又点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，所以－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋n m ＋2mn≥3＋2n m ·2mn＝3＋2 2.当且仅当m ＝1－22，n ＝2－1时等号成立，所以1m ＋1n的最小值为3＋22，故选C. 21．(2019·惠州市高三第三次调研)在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且AC →＝4AD →，P 为BD 上一点，向量AP →＝λAB →＋μAC →(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2答案 A解析由题意可知AP →＝λAB →＋4μAD →，其中B ，P ，D 三点共线，由三点共线的充分必要条件可得，λ＋4μ＝1，则4λ＋1μ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋1μ(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋216μλ·λμ＝16，当且仅当λ＝12，μ＝18时等号成立，即4λ＋1μ的最小值为16.故选A.22．(2019·衡阳市高三第一次联考)设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2019＝6057，则1a 2＋4a 2018的最小值为( )A ．1B ．23C ．136D ．32答案 D 解析依题意，20192(a 1＋a 2019)＝6057⇒a 1＋a 2019＝a 2＋a 2018＝6，1a 2＋4a 2018＝16(a 2＋a 2018)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4a 2018＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a 2a 2018＋a 2018a 2≥32.当且仅当a 2＝2，a 2018＝4时取等号．所以1a 2＋4a 2018的最小值为32.23．(2019·浙江省名校联考)已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，则1abc ＋1d的最小值是( )A ．10B ．9C ．4 2D ．3 3答案 B解析 ∵a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，∴1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．则1abc ＋1d≥4·1c ＋1d＝(c ＋d )⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋1d ＝5＋4d c ＋c d≥5＋24dc ·cd ＝9，故当且仅当a ＝b ＝12且c ＝23，d ＝13时，1abc ＋1d的最小值为9.故选B.24．(2019·山东省济宁市期末)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝(n ＋1)cosn π2(n ≥2，n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2021＋m ＝1012，且a 1·m >0，则1a 1＋1m的最小值为( )A ．2B ． 2C ．2 2D ．2＋ 2答案 A解析由a n ＋1＋a n ＝(n ＋1)cosn π2(n ≥2，n ∈N *)得，a 3＋a 2＝－3，a 4＋a 3＝0，a 5＋a 4＝5，a 6＋a 5＝0，a 7＋a 6＝－7，a 8＋a 7＝0，a 9＋a 8＝9，a 10＋a 9＝0，…，∴a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝…＝a 2018＋a 2019＋a 2020＋a 2021＝2，∴S 2021＝505(a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＋a 1＝1010＋a 1，又S 2021＋m ＝1012，∴a 1＋m ＝2，∴1a 1＋1m ＝12(a 1＋m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1m ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a 1m ＋m a 1≥2，当且仅当a 1＝m ＝1时，取等号．∴1a 1＋1m的最小值为2.一、高考大题1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1. 证明：(1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33a ＋b3b ＋c3c ＋a3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. 二、模拟大题2．(2019·湖北宜昌一中7月起点检测)设a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，求证：a ＋2b ≥ 3＋12.证明设2a ＋b ＝x ，b ＋1＝y ，则x >0，y >1，1x ＋1y ＝1，则a ＝x －y ＋12，b ＝y －1，所以a ＋2b ＝x －y ＋12＋2y －2＝x 2＋3y 2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y －32＝3y 2x ＋x 2y ＋12≥23y 2x ·x 2y ＋12＝3＋12，当且仅当3y 2x ＝x 2y ，即a ＝12＋33，b ＝33时等号成立．故a ＋2b ≥3＋12. 3．(2019·河北唐山模拟)已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y的最小值；(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解 (1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2. 从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1＋y ＋122≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.4.(2019·攀枝花模拟)如图，将宽和长都分别为x ，y (x ＜y )的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为5.(注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形)(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)当x ，y 取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．解 (1)由题意可得，2xy －x 2＝5，则y ＝x 2＋52x，∵y ＞x ，∴x 2＋52x＞x ，解得0＜x ＜45.∴y 关于x 的函数解析式为y ＝x 2＋52x(0＜x ＜45)．(2)设正十字形的外接圆的直径为d ，由图可知，d 2＝x 2＋y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋52x2＝5x24＋54x 2＋52≥52＋52，当且仅当x ＝1，y ＝5＋12时，正十字形的外接圆的直径d 最小，最小值为 5＋52＝10＋252，则半径的最小值为10＋254，所以正十字形的外接圆面积的最小值为π×⎝⎛⎭⎪⎫10＋2542＝5＋58π. 5．(2019·河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x 2＋x )万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？解 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x ) ＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x(x 2＋x )＝96000x＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x ≤240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96000x＋240x －160(0<x ≤240)．(2)y ＝96000x＋240x －160≥296000x·240x －160＝2×4800－160＝9440，当且仅当96000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万元．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2021年高考数学一轮总复习基础回扣练推理证明、算法、复数理苏教版

2021年高考数学一轮总复习基础回扣练推理证明、算法、复数理苏教版一、填空题1．(xx·北京卷改编)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于第________象限．解析因为i(2－i)＝1＋2i ，所以对应的点的坐标为(1,2)，该点在第一象限．答案一2．(xx·辽宁卷改编)复数z ＝1i －1的模为________．解析 z ＝1i －1＝－1－i －1＋i －1－i＝－12－12i ，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.答案223．(xx·韶关调研)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋52－i，则a ＋b ＝________. 解析由已知得a i ＋i 2＝b ＋(2＋i)，即－1＋a i ＝(b ＋2)＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2＝－1，a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，∴a ＋b ＝1－3＝－2. 答案－24．(xx·佛山二模)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是________．解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知a ＝1， ∴1＋b 2＝4，∴b 2＝3，∴b ＝± 3. 答案 ± 35．(xx·青岛一模)某流程图如图所示，若a ＝3，则该程序运行后，输出的x 值为________．解析第一次循环：x＝2×3＋1＝7，n＝2；第二次循环：x＝2×7＋1＝15，n＝3；第三次循环：x＝2×15＋1＝31，n＝4.此时不满足条件，输出x＝31.答案316．(xx·徐州一模)执行如图所示的流程图，则输出n的值为________．解析第一次循环，n＝1，S＝1＋2＝3；第二次循环，n＝2，S＝2×3＋2＝8；第三次循环，n＝3，S＝3×8＋2＝26；第四次循环，n＝4，S＝4×26＋2＝106，此时满足条件，输出n＝4.答案 47. (xx·绍兴模拟)已知某流程图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y的值恰好是1，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是________．3①y ＝x 3；②y ＝x 13；③y ＝3x ；④y ＝3－x.解析由流程图可知，当输入的x 的值为5时，第一次运行，x ＝5－2＝3；第二次运行，x ＝3－2＝1；第三次运行，x ＝1－2＝－1，此时x ≤0，退出循环，要使输出的y 的值为13，只有③中的函数y ＝3x符合要求．答案 ③8. (xx·咸阳模拟)某算法的流程图如图所示，如果输出的结果为5,57，则判断框内应为________．①k ≤6；②k ＞4；③k ＞5；④k ≤5.解析当k ＝1时，S ＝2×0＋1＝1；当k ＝2时，S ＝2×1＋2＝4；当k ＝3时，S ＝2×4＋3＝11；当k ＝4时，S ＝2×11＋4＝26；当k ＝5时，S ＝2×26＋5＝57，由题意知此时退出循环．答案 ②9．(xx·福州质检)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是第________列．解析正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．答案四10．(xx·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O －ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则S ，S 1，S 2，S 3满足的关系式为________．①S 2＝S 21＋S 22＋S 23；②S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23；③S ＝S 1＋S 2＋S 3；④S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3.解析如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，由立体几何知识知，AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12OC ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23.答案 ①11．(xx·湛江二模)已知i 是虚数单位，则21＋i ＝________.解析21＋i＝1－i. 答案 1－i12．(xx·无锡一模)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a ＝________.解析1＋a i 2－i ＝1＋a i2＋i2－i2＋i＝2－a 5＋2a ＋15i ，由题意知：2－a5＝0，∴a ＝2.答案 213．(xx·浙江卷)若某流程图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．解析第一步：S ＝1＋12＝32，k ＝2；第二步：S ＝32＋12×3＝53，k ＝3；第三步：S ＝53＋13×4＝74，k ＝4；第四步：S ＝74＋14×5＝95，k ＝5，结束循环．输出S ＝95.答案9514．(xx·泰安一模)若流程图如图所示，则该程序运行后输出k 的值为________．解析第一次：n ＝3×5＋1＝16，k ＝1；第二次：n ＝162＝8，k ＝2；第三次：n ＝82＝4，k ＝3；第四次：n ＝42＝2，k ＝4；第五次：n ＝22＝1，k ＝5，此时满足条件，输出k ＝5. 答案 515．(xx·陕西卷)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________．解析观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋12.答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋1216．(xx·兰州质检)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A －BCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以V 1V 2＝127.答案127二、解答题17．在单调递增数列{a n }中，a 1＝2，不等式(n ＋1)a n ≥na 2n 对任意n ∈N *都成立． (1)求a 2的取值范围；(2)判断数列{a n }能否为等比数列，并说明理由．解 (1)因为{a n }是单调递增数列，所以a 2＞a 1，即a 2＞2.又(n ＋1)a n ≥na 2n ，令n ＝1，则有2a 1≥a 2，即a 2≤4，所以a 2∈(2,4]． (2)数列{a n }不能为等比数列．用反证法证明：假设数列{a n }是公比为q 的等比数列，由a 1＝2＞0，得a n ＝2q n －1.因为数列{a n }单调递增，所以q ＞1. 因为(n ＋1)a n ≥na 2n 对任意n ∈N *都成立，所以对任意n ∈N *，都有1＋1n≥q n .①因为q ＞1，所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n＞2. 因为1＋1n≤2(n ∈N *)．所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n＞1＋1n，与①矛盾，故假设不成立．18．(xx·常德模拟)设a ＞0，f (x )＝ax a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．解(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝a1＋a ；a3＝f(a2)＝a2＋a；a4＝f(a3)＝a3＋a.猜想a n＝an－1＋a(n∈N*)．(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．②假设n＝k时猜想正确，即a k＝ak－1＋a，则a k＋1＝f(a k)＝a·a ka＋a k＝a·ak－1＋aa＋ak－1＋a＝ak－1＋a＋1＝a[k＋1－1]＋a.这说明，n＝k＋1时猜想正确．由①②知，对于任何n∈N*，都有a n＝an－1＋a.20834 5162 兢27532 6B8C 殌30657 77C1 矁22535 5807 堇 b)/•R m36908 902C逬U39056 9890 颐。

2021版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第五章数列学案

2021版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第五章数列学案第1课时数列的概念及其简单表示法明白得数列的概念，认识数列是反映自然规律的差不多数学模型，探究并把握数列的几种简单表示法(列表、图象、通项公式)；了解数列是一种专门的函数；发觉数列规律，写出其通项公式．① 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.③会利用数列的前n项和求通项公式．1. (必修5P34习题3改编)已知数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3，且a1＝0，则a5＝________．答案：255解析：a2＝4a1＋3＝3，a3＝4a2＋3＝4×3＋3＝15，a4＝4a3＋3＝4×15＋3＝63，a5＝4a4＋3＝4×63＋3＝255.2. (必修5P34习题2改编)数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是________．答案：a n＝(－1)nn22n－1解析：－1＝－11，数列1，4，9，16，…对应通项n2，数列1，3，5，7，…对应通项2n－1，数列－1，1，－1，1，…对应通项(－1)n，故a n＝(－1)nn22n－1.3. (必修5P48习题9改编)若数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n，则a4＋a5＋a6a1＋a2＋a3＝________．答案：2解析：∵ 数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n，∴ a1＋a2＋a3＝S3＝32＋3×3＝18，a4＋a5＋a6＝S6－S3＝36，∴a4＋a5＋a6a1＋a2＋a3＝2.4. (必修5P34习题9改编)已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2－8n＋5，则那个数列的最小项是________．答案：－11解析：由a n＝(n－4)2－11，可知n＝4时，a n取最小值为－11.5. (必修5P34习题5改编)已知数列2，5，22，11，14，…，则42是那个数列的第________项．答案：11解析：易知该数列的通项为2＋3（n－1），则有2＋3（n－1）＝42，得n＝11，则42是那个数列的第11项．1. 数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做那个数列的项．排在第一位的数称为那个数列的第1项，通常也叫做首项．2. 数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列．项数无限的数列叫做无穷数列． 3. 数列与函数的关系从函数观点看，数列能够看成是以正整数或其子集为定义域的函数a n ＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．反过来，关于函数y ＝f(x)，假如f(i)(i ＝1，2，3，…)有意义，那么能够得到一个数列{f(n)}．4. 数列的通项公式假如数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系能够用一个公式a n ＝f(n)(n ＝1，2，3，…)来表示，那么那个公式叫做那个数列的通项公式．通项公式能够看成数列的函数解析式．5. 数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[备课札记], 1 由数列的前几项求数列的通项), 1) 依照下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) －1，7，－13，19，…；(2) 23，415，635，863，1099，…；(3) 1，0，－13，0，15，0，－17，0，…；(4) 112，245，3910，41617，….解：(1) 偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观看各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2) 这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项差不多上两个相邻奇数的乘积．故所求数列的一个通项公式为a n＝2n（2n －1）（2n ＋1）. (3)将数列改写为11，02，－13，04，15，06，－17，08，…，则a n ＝sinn π2n.(4) 观看不难发觉112＝1＋12，245＝2＋45＝2＋2222＋1，3910＝3＋910＝3＋3232＋1，…，一样地，a n ＝n ＋n 2n 2＋1.则a n ＝n ＋n2n 2＋1.变式训练(1) 数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝__________；(2) 该数列45，910，1617，2526，…的一个通项公式为________．答案：(1) (－1)n1n （n ＋1） (2) （n ＋1）2（n ＋1）2＋1解析：(1) 那个数列前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，因此它的一个通项公式为a n ＝(－1)n1n （n ＋1）.(2) 各项的分子为22，32，42，52，…，分母比分子大1，因此该数列的一个通项公式为a n ＝（n ＋1）2（n ＋1）2＋1. , 2 由a n 与S n 关系求a n ), 2) 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项a n .(1) S n ＝3n－1；(2) S n ＝2n＋1.解：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1. 当n ＝1时，a n ＝2符合上式．∴ a n ＝2·3n －1.(2) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1)＝2n －2n －1＝2n －1.当n ＝1时，a n ＝3不符合上式．综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n≥2）.变式训练(1) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则a n ＝__________；(2) 若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝__________．答案：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2 (2) (－2)n －1解析：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1.∵ a 1＝4不适合上等式，∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. (2) 由S n ＝23a n ＋13得，当n≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴ 当n≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴ a n ＝(－2)n －1., 3 由数列的递推关系求数列的通项公式), 3) (1) 设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________；(2) a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n≥2，n ∈N *)，通项公式a n ＝________；(3) 在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n ，则{a n }的通项公式为a n ＝________．答案：(1) n （n ＋1）2＋1 (2) 2－1n (n∈N *) (3) n （n ＋1）2解析：(1) 由题意得，当n≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝1×（1＋1）2＋1＝2，符合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.(2) 由a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n≥2)，得a n －a n －1＝1n －1－1n (n≥2)．则a 2－a 1＝11－12，a 3－a 2＝12－13，…，a n －a n －1＝1n －1－1n .将上述n －1个式子累加，得a n ＝2－1n.当n ＝1时，a 1＝1也满足，故a n ＝2－1n(n∈N *)．(3) 由题设知，a 1＝1.当n>1时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，∴ a n a n －1＝n ＋1n －1， ∴ a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3. 以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n （n ＋1）2.∵ a 1＝1，∴ a n ＝n （n ＋1）2.备选变式（教师专享）(1) 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1(n≥2)，则a n ＝________．(2) 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n≥2)，则a n ＝________．答案：(1) a n ＝3n－12 (2) 1n解析：(1) 由a 1＝1，a n －a n －1＝3n －1(n≥2)，得a 1＝1，a 2－a 1＝31，a 3－a 2＝32，…，a n－1－a n －2＝3n －2，a n －a n －1＝3n －1，以上等式两边分别相加得a n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12.当n ＝1时，a 1＝1也适合，∴ a n ＝3n－12.(2) a n ＝n －1n ·a n －1 (n≥2)，a n －1＝n －2n －1·a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴ a n ＝1n .1. (2021·太原模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n∈N *)，则a n ＝________．答案：2n 2－n ＋2解析：由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1得1a n ＋1－1a n ＝n ，则由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n 2.因为a 1＝1，因此1a n ＝n 2－n 2＋1＝n 2－n ＋22，因此a n ＝2n 2－n ＋2. 2. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．若关于任意的m∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，则k 的值为________．答案：0或1解析：∵ S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，∴ 数列{a n }是首项为k ＋1，公差为2k 的等差数列，a n ＝2kn ＋1－k.又关于任意的m∈N *都有a 22m ＝a m a 4m ， a 22＝a 1a 4，(3k ＋1)2＝(k ＋1)(7k ＋1)，解得k ＝0或1.又k ＝0时，a n ＝1，明显关于任意的m∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列；k ＝1时，a n ＝2n ，a m ＝2m ，a 2m ＝4m ，a 4m ＝8m ，明显关于任意的m∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 也成等比数列．综上所述，k ＝0或1.3. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝2n (n∈N *)，则a 10等于________．答案：32解析：∵ a n ＋1a n ＝2n ，∴ a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.又a 1a 2＝2，a 1＝1，∴ a 2＝2，则a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2＝24，即a 10＝25＝32.4. 关于数列{a n }，定义数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n (n∈N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n∈N *)，a 3＝1，a 4＝－1，则a 1＝________．答案：8解析：b 3＝a 4－a 3＝－1－1＝－2，由b 3－b 2＝1，得b 2＝－3，而b 2＝a 3－a 2＝－3，得a 2＝4.又b 2－b 1＝1，则b 1＝－4，而b 1＝a 2－a 1＝4－a 1＝－4，则a 1＝8.5. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式a n ＝__________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋23，∴ a 1＝1.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n －1，∴a n a n －1＝－12.∴ 数列{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝－12的等比数列，故a n ＝(－12)n －1.1. 若a n ＝n 2＋λn＋3(其中λ为实常数)，n ∈N *，且数列{a n }为单调递增数列，则实数λ的取值范畴是________．答案：(－3，∞)解析：(解法1：函数观点)因为{a n }为单调递增数列，因此a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n＋1)＋3>n 2＋λn＋3，化简为λ>－2n －1对一切n∈N *都成立，因此λ>－3.故实数λ的取值范畴是(－3，＋∞)．(解法2：数形结合法)因为{a n }为单调递增数列，因此a 1<a 2，要保证a 1<a 2成立，二次函数f(x)＝x 2＋λx＋3的对称轴x ＝－λ2应位于1和2中点的左侧，即－λ2<32，亦即λ>－3，故实数λ的取值范畴为(－3，＋∞)．2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝13S n ，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．解：由已知得a 2＝13，a 3＝49，a 4＝1627.由a 1＝1，a n ＋1＝13S n ，得a n ＝13S n －1，n ≥2，故a n ＋1－a n ＝13S n －13S n －1＝13a n ，n ≥2，得a n ＋1＝43a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝13，故该数列从第二项开始为等比数列，故a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥2.3. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n2＋n)＝0，n ∈N *.(1) 求a 1的值；(2) 求数列{a n }的通项公式．解：(1) 由题设，S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n)＝0，n ∈N *.令n ＝1，有S 21－(12＋1－3)S 1－3×(12＋1)＝0，可得S 21＋S 1－6＝0，解得S 1＝－3或2，即a 1＝－3或2. 又a n 为正数，因此a 1＝2.(2) 由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n)＝0，n ∈N *可得，(S n ＋3)(S n －n 2－n)＝0，则S n ＝n 2＋n 或S n ＝－3.又数列{a n }的各项均为正数，因此S n ＝n 2＋n ，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)，因此当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n. 又a 1＝2，因此a n ＝2n.4. 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a(a≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1) 设b n ＝S n －3n，求数列{b n }的通项公式；(2) 若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范畴．解：(1) 依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n)，即b n ＋1＝2b n .又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2) 由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，因此，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3.当n≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3>a 1，综上，所求的a 的取值范畴是[－9，3)∪(3，＋∞)．1. 数列中的数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同，数列能够看成是一个定义域为正整数集或其子集的函数，因此在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的专门性．2. 依照所给数列的前几项求其通项，需要认真观看分析，抓住特点：分式中分子、分母的独立特点，相邻项变化的特点，拆项后的特点，各项的符号特点和绝对值特点，并由此进行归纳、联想．3. 通项a n 与其前n 项和S n 的关系是一个十分重要的考点，运用时不要不记得讨论a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n≥2）.[备课札记]第2课时等差数列(对应学生用书(文)、(理)84～85页)明白得等差数列的概念，把握等差数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中用等差数列的有关知识解决相应的问题．① 明白得等差数列的概念.②把握等差数列的通项公式与前n项和公式.③明白得等差中项的概念，把握等差数列的性质．1. (必修5P47习题5改编)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6＝________．答案：12解析：设等差数列{a n}的公差为d，由题意知，3×2＋3d＝12，得d＝2，则a6＝2＋(6－1)×2＝12.2. (必修5P48习题7改编)在等差数列{a n}中，(1) 已知a4＋a14＝2，则S17＝________；(2) 已知S11＝55，则a6＝________；(3) 已知S8＝100，S16＝392，则S24＝________．答案：(1) 17 (2) 5 (3) 876解析：(1) S17＝17（a1＋a17）2＝17（a4＋a14）2＝17.(2) S11＝11（a1＋a11）2＝11×2a62＝55，∴ a6＝5.(3) S8，S16－S8，S24－S16成等差数列，∴ 100＋S24－392＝2×(392－100)，∴ S24＝876.3. (必修5P44练习6改编)设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5＝5，S9＝27，则S7＝________．答案：14解析：由S5＝(a1＋a5)×52＝2a3×52＝5a3＝5，得a3＝1.由S9＝(a1＋a9)×92＝2a5×92＝9a5＝27，得a5＝3.从而S7＝(a1＋a7)×72＝(a3＋a5)×72＝4×72＝14.4. (必修5P48习题11改编)已知数列{a n}为等差数列，若a1＝－3，11a5＝5a8，则使其前n项和S n取最小值的n＝________．答案：2解析：∵ a1＝－3，11a5＝5a8，∴ d＝2，∴ S n＝n2－4n＝(n－2)2－4，∴当n＝2时，S n最小．5. (必修5P43例2改编)在等差数列{a n}中，已知d＝12，a n＝32，S n＝－152，则a1＝________．答案：－3解析：由题意，得⎩⎨⎧a1＋322×n＝－152①，a1＋（n－1）×12＝32②，由②得a 1＝－12n ＋2，代入①得n 2－7n －30＝0，∴ n ＝10或n ＝－3(舍去)，∴ a 1＝－3.1. 等差数列的定义 (1) 文字语言：假如一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么那个数列就叫做等差数列．(2) 符号语言：a n ＋1－a n ＝d(n∈N *)． 2. 等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．推广：a n ＝a m ＋(n －m)d. 3. 等差中项假如三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫a 和b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2．4. 等差数列的前n 项和公式(1) S n ＝na 1＋n （n －1）2d ．(2) S n ＝n （a 1＋a n ）2．5. 等差数列的性质(1) 等差数列{a n }中，对任意的m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．专门的，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ．(2) 等差数列{a n }中，依次每m 项的和仍成等差数列，即S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列．6. 当项数为2n(n∈N ＋)，则S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n；当项数为2n －1(n∈N ＋)，则S 奇－S 偶＝a n ，S 偶S 奇＝n －1n., 1 数列中的差不多量的运算), 1) (1) 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝__________；(2) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝__________．答案：(1) －6 (2) 30解析：(1) 设公差为d ，则8a 1＋28d ＝4a 1＋8d ，即a 1＝－5d ，a 7＝a 1＋6d ＝－5d ＋6d ＝d ＝－2，因此a 9＝a 7＋2d ＝－6.(2) 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，即S 6＝6a 1＋15d ＝30. 变式训练(1) 已知{a n }是公差不为0 的等差数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝1，则a 1的值是________；(2) 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝7，S 7＝－7，则a 7的值为________．答案：(1) －527(2) －13解析：(1) 设等差数列{a n }的公差为d(d≠0)． ∵ a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝（a 1＋3d ）（a 1＋4d ），9a 1＋9×82d ＝1，解得a 1＝－527.(2) 设等差数列{a n }的公差为d.∵ a 2＝7，S 7＝－7，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝7，S 7＝7a 1＋7×62d ＝－7，解方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－4， ∴ a 7＝a 1＋6d ＝11－6×4＝－13., 2 判定或证明一个数列是否是等差数列), 2) 已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4.(1) 求证：{a n }为等差数列； (2) 求{a n }的通项公式．(1) 证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去)．当n≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5.又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1，而a 1＝3，因此a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，因此a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此{a n }为等差数列．(2) 解：由(1)知a 1＝3，d ＝1，因此数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.变式训练已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n.设b n ＝a n －2n3n .(1) 证明：数列{b n }为等差数列； (2) 求数列{a n }的通项公式．(1) 证明：∵ b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n 3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n3n ＋1＝1， ∴ 数列{b n }为等差数列．(2) 解：∵ b 1＝a 1－23＝0，∴ b n ＝n －1，∴ a n ＝(n －1)·3n ＋2n.备选变式（教师专享）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判定⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 与{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．解：因为a n ＝S n －S n －1(n≥2)，又a n ＋2S n S n －1＝0，因此S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n≥2)，因此1S n －1S n －1＝2(n≥2)．因为S 1＝a 1＝12，因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．因此1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.因此当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），因此a n ＋1＝－12n （n ＋1），而a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）. 因此当n≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．综上可知，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，{a n }不是等差数列．, 3 等差数列的性质), 3) (1) 已知{a n }是等差数列，{S n }是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________；(2) 在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________；(3) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________．答案：(1) 20 (2) 10 (3) 60解析：(1) 由S 5＝10得a 3＝2，因此2－2d ＋(2－d)2＝－3⇒d ＝3，a 9＝2＋3×6＝20. (2) 因为{a n }是等差数列，因此a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(3) 因为S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，因此2×20＝10＋S 30－30，因此S 30＝60. 变式训练(1) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若2a 8＝6＋a 11，则S 9的值等于__________； (2) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝__________．答案：(1) 54 (2) 45 解析：(1) 依照题意及等差数列的性质，知2a 8－a 11＝a 5＝6，依照等差数列的求和公式，知S 9＝a 1＋a 92×9＝2a 52×9＝6×9＝54.(2) 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列．即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，则a 7＋a 8＋a 9＝45.备选变式（教师专享）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝3，S 10＝40，求nS n 的最小值．解：设等差数列{a n }的公差为d.∵ a 5＝3，S 10＝40，∴ a 1＋4d ＝3，10a 1＋10×92d ＝40，解得a 1＝－5，d ＝2.∴ S n ＝－5n ＋n （n －1）2×2＝n 2－6n ，则nS n ＝n 2(n －6)．n ≤5时，nS n ＜0；n≥6时，nS n ≥0.可得n ＝4时，nS n 取得最小值－32., 4 等差数列中的最值问题), 4) (1) 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，当n 取何值时，{a n }的前n 项和最大？(2) 已知数列{a n }为等差数列．若a 7a 6<－1，且{a n }的前n 项和S n 有最大值，求使S n >0时n 的最大值．(3) 在等差数列{a n }中，a 1>0，公差d<0，a 5＝3a 7，其前n 项和为S n ，求S n 取得最大值时n 的值．解：(1) 由等差数列的性质，得a 7＋a 8＋a 9＝3a 8，a 8>0.又a 7＋a 10<0，∴ a 8＋a 9<0，∴ a 9<0，∴ S 8>S 7，S 8>S 9，故数列{a n }的前8项和最大．(2) ∵ a 7a 6<－1，且S n 有最大值，∴ a 6>0，a 7<0，且a 6＋a 7<0，∴ S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6>0，S 12＝12（a 1＋a 12）2＝6(a 6＋a 7)<0，∴ 使S n >0的n 的最大值为11.(3) 在等差数列{a n }中，a 1>0，公差d<0.∵ a 5＝3a 7，∴ a 1＋4d ＝3(a 1＋6d)，∴ a 1＝－7d ，∴ S n ＝n(－7d)＋n （n －1）2d ＝d 2(n 2－15n)，∴ n ＝7或8时，S n 取得最大值．备选变式（教师专享）已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. (1) 求S n ；(2) 那个数列的前多少项的和最大，并求出那个最大值．解：(1) ∵ S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，S 10＝S 22，∴ a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，12（a 11＋a 22）2＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又a 1＝31，∴ d ＝－2，∴ S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝31n －n(n －1)＝32n －n 2.(2) (解法1)由(1)知S n ＝32n －n 2，∴ 当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256.(解法2)由S n ＝32n －n 2＝n(32－n)，欲使S n 有最大值，应有1<n<32，从而S n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋32－n 22＝256，当且仅当n ＝32－n ，即n ＝16时，S n 有最大值256.1. (2021·北京卷)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝__________．答案：6解析：设等差数列{a n }的公差为d.因为a 3＋a 5＝0，因此6＋2d ＋6＋4d ＝0，解得d ＝－2，因此S 6＝6×6＋6×52×(－2)＝36－30＝6.2. (2021·南京、盐城一模)已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝________．答案：63解析：由a 4＋a 5＋a 6＝21得a 5＝7，因此S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝63.3. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为__________．答案：179解析：S 5S 3＝a 1×5＋12×5×4da 1×3＋12×3×2d＝5a 1＋10d 3a 1＋3d ＝3，则d ＝4a 1，则a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179.4. (2021·南通、泰州三调)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若公差d ＝2，a 5＝10，则S 10的值是________．答案：110解析：∵ a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋8＝10，∴ a 1＝2，∴ S 10＝10a 1＋10×92d ＝110.5. (2021·南通一模)《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升．答案：1322解析：设最上面一节的容积为a 1，由题设知⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫9a 1＋9×82d －⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 1＋6×52d ＝4，解得a 1＝1322.1. (2021·新课标Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则＝________．答案：2nn ＋1解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，4a 1＋4×32d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，数列的前n 项和S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n×1＋n （n －1）2×1＝n （n ＋1）2.裂项有：1S k ＝2k （k ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1，据此，2. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则a n ＝________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n （n －1），n ≥2 解析：由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1·S n ，两边同时除以S n ＋1·S n ，得1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，因此S n ＝－1n .则当n ＝1时，a 1＝－1；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－1n ＋1n －1＝1n （n －1），因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n （n －1），n ≥2.(或直截了当带入a n ＋1＝S n S n ＋1，但要注意分类讨论) 3. 已知等差数列{a n }的首项为1，公差为2，若a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1≥tn 2对n∈N *恒成立，则实数t 的取值范畴是__________．答案：(－∞，－12]解析：a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－4(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－4×a 2＋a 2n 2×n ＝－8n 2－4n ，因此－8n 2－4n ≥tn 2，因此t≤－8－4n 对n∈N *恒成立，t ≤－12. 4. (2021·南京、盐城二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足(n ＋1)b n＝a n ＋1－S n n ，(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n，其中n∈N *.(1) 若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；(2) 若存在实数λ，使得对一切n∈N *，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．(1) 解：∵ 数列{a n }是公差为2的等差数列，∴ a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn＝a 1＋n －1.∴ (n ＋2)c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2（n ＋1）2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，解得c n ＝1.(2) 证明：由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，可得n(n ＋1)b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1＝(n＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减可得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2)b n ＋1－nb n ，可得(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1)b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1)b n ＝（n ＋2）b n ＋1－nb n 2＋(n ＋1)b n ＝n ＋22(b n ＋b n ＋1)，因此c n ＝12(b n ＋b n ＋1)．∵ b n ≤λ≤c n ，∴ λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ.∴ (n ＋1)λ＝a n ＋1－S n n ，(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S nn，相减可得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ(n≥2)．又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ(n≥1)，∴ 数列{a n }是等差数列．1. 等差数列问题，第一应抓住a 1和d ，通过列方程组来解，其他也就迎刃而解了．但若恰当地运用性质，能够减少运算量．2. 等差数列的判定方法有以下几种：① 定义法：a n ＋1－a n ＝d(d 为常数)；② 等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2；③ 通项公式法：a n ＝pn ＋q(p ，q 为常数)；④前n 项和公式法：S n＝An 2＋Bn(A ，B 为常数)．3. 注意设元，利用对称性，减少运算量．4. 解答某些数列问题，有时不必(有时也不可能)求出某些具体量的结果，可采纳整体代换的思想．[备课札记]第3课时等比数列(对应学生用书(文)、(理)86～87页)明白得等比数列的概念，把握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能用有关知识解决相应的问题．① 明白得等比数列的概念.②把握等比数列的通项公式与前n项和公式.③明白得等比中项的概念，把握等比数列的性质．1. (必修5P61习题2改编)设S n是等比数列{a n}的前n项和，若a1＝1，a6＝32，则S3＝________．答案：7解析：q5＝a6a1＝32，q＝2，S3＝1×（1－23）1－2＝7.2. 若－1，x，y，z，－3成等比数列，则y的值为________．答案：－ 3解析：由等比中项知y2＝3，∴ y＝± 3.又∵ y与－1，－3符号相同，∴ y＝－ 3.3. (必修5P54习题10改编)等比数列{a n}中，a1>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，则a3＋a5＝________．答案：6解析：a2a4＋2a3a5＋a4a6＝(a3＋a5)2＝36.又a1>0，∴ a3，a5>0，∴ a3＋a5＝6.4. (必修5P61习题3改编)在等比数列{a n}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q＝________．答案：1或－12解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a1q2＝7，a1＋a1q＋a1q2＝21，化简得1＋q＋q2q2＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q ＝1或q＝－12.5. (必修5P56例2改编)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S6＝________．答案：63解析：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，易知q≠1，依照题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a1（1－q2）1－q＝3，a1（1－q4）1－q＝15，解得q2＝4，a11－q＝－1，因此S6＝a1（1－q6）1－q＝(－1)(1－43)＝63.1. 等比数列的概念(1) 文字语言：假如一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么那个数列叫做等比数列．(2) 符号语言：a n＋1a n＝q(n∈N*，q是等比数列的公比)．2. 等比数列的通项公式设{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则第n 项a n ＝a 1q n －1．推广：a n ＝a m q n －m. 3. 等比中项若a ，G ，b 成等比数列，则G 为a 和b 的等比中项且G 4. 等比数列的前n 项和公式 (1) 当q ＝1时，S n ＝na 1．(2) 当q≠1时，S n ＝a 1（1－q n）1－q ＝a 1－a n q1－q．5. 等比数列的性质(1) 等比数列{a n }中，对任意的m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ．专门的，若m ＋n ＝2p ，则a m a n ＝a 2p ．(2) 等比数列{a n }中，依次每m 项的和(非零)仍成等比数列，即S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等比数列，其公比为q m(q≠－1)．(其中S m ≠0)[备课札记], 1 等比数列的差不多运算), 1) (1) 设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________；(2) 等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________；(3) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________．答案：(1) －8 (2) 32 (3) 28解析：(1) 设等比数列的公比为q ，专门明显q≠－1，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 1（1＋q ）＝－1 ①，a 1－a 3＝a 1（1－q 2）＝－3 ②，由②除以①可得q ＝－2 ，代入①可得a 1＝1，由等比数列的通项公式可得a 4＝a 1q 3＝－8.(2) 当q ＝1时，明显不符合题意；当q≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝74，a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，则a 8＝14×27＝32. (3) 设等比数列的公比为q ，首项为a 1，则a 6a 3＝q 3＝27.S 6S 3＝a 1＋a 2＋…＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝1＋q 3＋q 4＋q 51＋q ＋q 2＝1＋q 3＝28. 变式训练(1) 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________； (2) 设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2a 3…a n 的最大值为________．答案：(1) 4 (2) 64解析：(1) 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4得q 6＝q 4＋2q 2，q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2，则a 6＝a 2q 4＝4.(2) 因为a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，因此公比q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝12，因此a 1＋a 1×14＝10⇒a 1＝8，a 1a 2a 3…a n ＝8n ⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2＋…＋n －1＝23n·2－n （n －1）2＝23n －n （n －1）2＝2－n 2＋7n2 ，因此当n ＝3或4时，取最大值64., 2 等比数列的判定与证明), 2) 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，3S n ＝a n －1(n∈N *)． (1) 求a 1，a 2；(2) 求证：数列{a n }是等比数列； (3) 求a n 和S n .(1) 解：由3S 1＝a 1－1，得3a 1＝a 1－1，因此a 1＝－12.又3S 2＝a 2－1，即3a 1＋3a 2＝a 2－1，得a 2＝14.(2) 证明：当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，因此{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．(3) 解：由(2)可得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .备选变式（教师专享）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n∈N *)． (1) 求证：数列{a n }是等比数列；(2) 若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．(1) 证明：依题意S n ＝4a n －3(n∈N *)，当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n≥2)，因此当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，因此{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2) 解：由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n≥2)．当n ＝1时也满足，因此数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n∈N *)．, 3 等比数列的性质), 3) 已知等比数列{a n }的各项均为正数，且满足a 1a 9＝4，则数列{log 2a n }的前9项之和为________．答案：9解析：∵ a 1a 9＝a 25＝4，∴ a 5＝2，∴ log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 9＝log 2(a 1a 2…a 9)＝log 2a 95＝9log 2a 5＝9. 变式训练(1) 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝2，S 30＝14，则S 40＝________；(2) 等比数列{a m }的前n 项积为T n (n∈N *)，已知a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m ＝________．答案：(1) 30 (2) 4解析：(1) 依题意有S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30仍成等比数列，2·(14－S 20)＝(S 20－2)2，得S 20＝6.因此S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，即为2，4，8，16，因此S 40＝S 30＋16＝30.(2) 因为{a m }为等比数列，因此a m －1·a m ＋1＝a 2m .又由a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，得a m ＝2.则T 2m －1＝a 2m －1m，因此22m －1＝128，m ＝4. , 4 等比数列的应用), 4) 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1) 设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：数列{b n }是等比数列； (2) 求数列{a n }的通项公式．(1) 证明：由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2.∴ a 2＝5，∴ b 1＝a 2－2a 1＝3. 又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2 ①，S n ＝4a n －1＋2（n≥2） ②， ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴ a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． ∵ b n ＝a n ＋1－2a n ，∴ b n ＝2b n －1，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列．(2) 解：由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴ a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34. 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴ a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，故a n ＝(3n －1)·2n －2. 备选变式（教师专享）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n . (1) 求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2) 设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n≥3时，c n ＋1<c n .(1) 解：a 1＝S 1＝4，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n(n ＋1)－2(n －1)n ＝4n.又a 1＝4适合上式，∴ a n ＝4n(n∈N *)．将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，∴ T 1＝b 1＝1. 当n≥2时，T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ， ∴ b n ＝T n －T n －1＝b n －1－b n ，∴ b n ＝12b n －1，∴ b n ＝21－n.(2) 证明：(证法1)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 2·25－n，得c n ＋1c n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2. 当且仅当n≥3时，1＋1n ≤43<2，即c n ＋1<c n .(证法2)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 2·25－n，得c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]．当且仅当n≥3时，c n ＋1－c n <0，即c n ＋1<c n .1. (2021·南京、盐城二模)记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________．答案：31解析：若等比数列的公比等于1，由a 1＝1，得S 4＝4，5S 2＝10，与题意不符．设等比数列的公比为q(q≠1)，由a 1＝1，S 4＝5S 2，得a 1（1－q 4）1－q ＝5a 1(1＋q)，解得q ＝±2.∵ 数列{a n }的各项均为正数，∴ q ＝2.则S 5＝1－251－2＝31.2. (2021·苏北四市三模)在公比为q ，且各项均为正数的等比数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和．若a 1＝1q2，且S 5＝S 2＋2，则q 的值为________．答案：5－12解析：由题意可知q≠1，又S 5＝S 2＋2，即a 1（1－q 5）1－q ＝a 1（1－q 2）1－q ＋2，∴ q 3－2q ＋1＝0，∴ (q －1)(q 2＋q －1)＝0.又q>0，且q≠1，∴ q ＝5－12. 3. (2021·苏锡常镇二模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝533，则a 3＝________．答案：3解析：∵ 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝533，∴ a 1（33－1）3－1＋a 1（34－1）3－1＝533，解得a 1＝13.则a 3＝13×32＝3.4. (2021·南通四模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝4，a 3＝10.若{a n ＋1－a n }是等比数列，则∑i ＝1na i ＝________．答案：3×2n－2n －3解析：a 2－a 1＝4－1＝3，a 3－a 2＝10－4＝6，∵ {a n ＋1－a n }是等比数列，∴ 首项为3，公比为2，∴ a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴ a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋3＋3×2＋…＋3×2n －2＝1＋3×2n －1－12－1＝3×2n －1－2.则∑i ＝1na i ＝3×2n－12－1－2n ＝3×2n－2n －3.1. (2021·新课标Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大伙儿学习数学的爱好，他们推出了“解数学题猎取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是________．答案：440解析：由题意得，数列如下： 1， 1，2， 1，2，4， …1，2，4，…，2k －1，…则该数列的前1＋2＋…＋k ＝k （k ＋1）2项和为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫k （k ＋1）2＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2k －1)＝2k ＋1－k －2，要使k （k ＋1）2＞100，有k≥14，现在k ＋2＜2k ＋1，因此k ＋2是之后的等比数列1，2，…，2k ＋1的部分和，即k ＋2＝1＋2＋…＋2t －1＝2t－1，因此k ＝2t －3≥14，则t≥5，现在k ＝25－3＝29，对应满足的最小条件为N ＝29×302＋5＝440.2. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝λa 2n ＋μa n ＋4a n ＋2，其中n∈N *，λ，μ为非零常数．(1) 若λ＝3，μ＝8，求证：{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2) 若数列{a n }是公差不等于零的等差数列，求实数λ，μ的值．(1) 证明：当λ＝3，μ＝8时，a n ＋1＝3a 2n ＋8a n ＋4a n ＋2＝3a n ＋2，化为a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴ {a n ＋1}为等比数列，首项为2，公比为3.∴ a n ＋1＝2×3n －1，可得a n ＝2×3n －1－1. (2) 解：设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn －d ＋1.由a n ＋1＝λa 2n ＋μa n ＋4a n ＋2，可得a n ＋1(a n ＋2)＝λa 2n ＋μa n ＋4，∴ (dn －d ＋3)(dn ＋1)＝λ(dn－d ＋1)2＋μ(dn－d ＋1)＋4. 令n ＝1，2，3，解得λ＝1，μ＝4，d ＝2. 通过检验满足题意，∴ λ＝1，μ＝4.3. 已知各项不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝pa n a n ＋1(n∈N *)，p ∈R . (1) 若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数p 的值；(2) 若a 1，a 2，a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式．解：(1) 当n ＝1时，a 1＝pa 1a 2，a 2＝1p ；当n ＝2时，a 1＋a 2＝pa 2a 3，a 3＝a 1＋a 2pa 2＝1＋1p .由a 22＝a 1a 3得a 1a 3＝1p 2，即p 2＋p －1＝0，解得p ＝－1±52.(2) 由2a 2＝a 1＋a 3得p ＝12，故a 2＝2，a 3＝3，因此S n ＝12a n a n ＋1，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12a n a n ＋1－12a n －1a n .因为a n ≠0，因此a n ＋1－a n －1＝2，故数列{a n }的所有奇数项组成以1为首项2为公差的等差数列，其通项公式是a n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12－1×2＝n.同理，数列{a n}的所有偶数项组成以2为首项2为公差的等差数列，其通项公式是a n ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1×2＝n ，因此数列{a n }的通项公式是a n ＝n.4. 已知数列{a n }的首项a 1＝2a ＋1(a 是常数，且a≠－1)，a n ＝2a n －1＋n 2－4n ＋2(n≥2)，数列{b n }的首项b 1＝a ，b n ＝a n ＋n 2(n≥2)．(1) 求证：{b n }从第2项起是以2为公比的等比数列；(2) 设S n 为数列{b n }的前n 项和，且{S n }是等比数列，求实数a 的值； (3) 当a>0时，求数列{a n }的最小项．(1) 证明：∵ b n ＝a n ＋n 2，∴ b n ＋1＝a n ＋1＋(n ＋1)2＝2a n ＋(n ＋1)2－4(n ＋1)＋2＋(n ＋1)2＝2a n ＋2n 2＝2b n (n≥2)．。

2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试40算法初步

考点测试40 算法初步高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.了解算法的含义，了解算法的思想2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环3．了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义一、基础小题1．图中所示的程序的作用是( )INPUT A，BX＝AA＝BB＝XPRINT A，BENDA．输出两个变量A和B的值B．把变量A的值赋给变量B，并输出A和B的值C．把变量B的值赋给变量A，并输出A和B的值D．交换两个变量A和B的值，并输出交换后的值答案 D解析模拟程序的运行，可得该程序的作用是交换两个变量A和B的值，并输出交换后的值．故选D.2．为了计算S＝1－12＋13－14＋…＋12019－12020，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4答案 B解析由模拟程序的运行过程知，该程序运行后输出的是S ＝N －T ＝1＋13＋ (12019)12－14－…－12020＝1－12＋13－14＋…＋12019－12020；累加步长是2，则在空白框中应填入i ＝i ＋2.故选B.3．执行如图所示的程序框图，则输出的S ＝( )A ．25B ．9C ．17D ．20答案 C解析初始条件为S ＝1，T ＝0，n ＝0，按照程序框图依次执行，可得S ＝9，n ＝2，T ＝0＋4＝4；S ＝17，n ＝4，T ＝4＋16＝20>S ，退出循环，输出S ＝17.故选C.4．执行下边的程序框图，如果输出的y 值为1，则输入的x 值为( )A ．0B ．eC ．0或eD ．0或1答案 C解析程序对应的函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，2－ln x ，x >0.若x ≤0，由y ＝1，得e x＝1，得x ＝0，满足条件；若x ＞0，由y ＝2－ln x ＝1，得ln x ＝1，即x ＝e ，满足条件．综上，输入的x 值为0或e ，故选C.5．下面的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的( )A ．c >x?B ．x >c?C ．c >b?D ．b >c?答案 A解析由流程图可知a ，b ，c 中的最大数用变量x 表示并输出，先将a 的值赋给变量x . 第一个判断框是判断x 与b 的大小关系，若b >x ，则将b 的值赋给变量x ，得到x 的值是a ，b 中的较大者．∴第二个判断框一定是判断a ，b 中的较大者x 与c 的大小关系，并将最大数赋给变量x ，故第二个判断框内应填入c ＞x ？.6．执行如图所示的程序框图，则输出的x等于( )A．16 B．8C．4 D．2答案 B解析执行一次循环体y＝－2，x＝2；执行两次循环体y＝3，x＝4；执行三次循环体y ＝1，x＝8，此时输出x＝8.故选B.7．根据如图算法语句，当输入x的值为60时，输出y的值为( )A．25 B．30C．31 D．61答案 C解析当x＝60时，y＝25＋0.6×10＝31.故选C.8．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为3，则输出的x的值是( )A．6 B．21C．156 D．231答案 D解析执行一次循环体x＝6＜100，执行二次循环体x＝21＜100，执行三次循环体x＝231＞100，此时输出231，故选D.9．阅读如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A．计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n＋1＋2n)的值B．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)的值C．计算(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)的值D．计算[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值答案 C解析初始值k＝1，S＝0，第1次进入循环体时，S＝1＋20，k＝2；第2次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21，k＝3；第3次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21＋3＋22，k＝4；…；给定正整数n，当k＝n时，最后一次进入循环体，则有S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1，终止循环体，输出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)．10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n是( )A ．168B ．169C ．337D ．338答案 C解析初始值n ＝0，k ＝1，开始循环，sin π6＝12，n ＝1，k ＝2；sin 2π6＝32，n ＝1，k＝3；sin 3π6＝1，n ＝1，k ＝4；sin 4π6＝32，n ＝1，k ＝5；sin 5π6＝12，n ＝2，k ＝6；sin6π6＝0，n ＝2，k ＝7；sin 7π6＝－12，n ＝2，k ＝8；sin 8π6＝－32，n ＝2，k ＝9；sin 9π6＝－1，n ＝2，k ＝10；sin10π6＝－32，n ＝2，k ＝11；sin 11π6＝－12，n ＝2，k ＝12；sin 12π6＝0，n ＝2，k ＝13；…；由此可知sink π6的值是以12为周期出现的，又2019＝12×168＋3，所以输出的n 的值为168×2＋1＝337，故选C.11.计算机在处理数据时使用的是二进制，例如十进制数1,2,3,4的二进制数分别表示为1,10,11,100，二进制数…dcba 化为十进制数的公式为…dcba ＝a ·20＋b ·21＋c ·22＋d ·23＋…，例如二进制数11等于十进制数1·20＋1·21＝3，又如二进制数101等于十进制数1·2＋0·21＋1·22＝5，如图是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．i ≤5?B ．i >5?C ．i ≤4?D ．i >4?答案 D解析 11111(2)＝1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝16＋8＋4＋2＋1＝31(10)．初始条件S ＝1，i ＝1，执行循环体，可得S ＝3，i ＝2，判断否；S ＝7，i ＝3，判断否；S ＝15，i ＝4，判断否；S ＝31，i ＝5，判断是，输出S ＝31，故填i >4？，故选D.12．《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序，则输出的n为(3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)()A．6 B．12C．24 D．48答案 C解析模拟执行程序，可得n＝3，S＝12×3×sin120°＝334，不满足条件S＞3；执行循环体，n＝6，S＝12×6×sin60°＝332，不满足条件S＞3；执行循环体，n＝12，S＝12×12×sin30°＝3，不满足条件S＞3；执行循环体，n＝24，S＝12×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S＞3，退出循环．输出n的值为24.故选C.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅰ)如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入( )A．A＝12＋AB．A＝2＋1AC．A＝11＋2AD．A＝1＋12A答案 A解析对于选项A，第一次循环，A＝12＋12；第二次循环，A＝12＋12＋12，此时k＝3，不满足k≤2，输出A＝12＋12＋12的值．故A正确；经验证选项B，C，D均不符合题意．故选A.14．(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于( )A．2－124B．2－125C．2－126D．2－127答案 C解析＝0.01，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝12，x<不成立；s＝1＋12，x＝14，x<不成立；s ＝1＋12＋14，x ＝18，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18，x ＝116，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116，x ＝132，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132，x ＝164，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132＋164，x ＝1128，x <成立，此时输出s ＝2－126.故选C.15．(2019·天津高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A ．5B ．8C ．24D ．29答案 B解析 i ＝1，S ＝0，i 不是偶数；第一次循环：S ＝1，i ＝2<4；第二次循环：i 是偶数，j ＝1，S ＝5，i ＝3<4；第三次循环：i 不是偶数，S ＝8，i ＝4，满足i ≥4，输出S ，结果为8.故选B.16．(2019·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 k ＝1，s ＝1；第一次循环：s ＝2，判断k <3，k ＝2；第二次循环：s ＝2，判断k <3，k ＝3；第三次循环：s ＝2，判断k ＝3，故输出2.故选B.17．(2019·江苏高考)如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．答案 5解析第一次循环，S ＝12，x ＝2；第二次循环，S ＝12＋22＝32，x ＝3；第三次循环，S ＝32＋32＝3，x ＝4；第四次循环，S ＝3＋42＝5，满足x ≥4，结束循环．故输出的S 的值是5. 三、模拟小题18．(2019·咸阳一模)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析执行程序框图，可得a ＝32，b ＝1，i ＝1不满足条件i ≥3，i ＝2；a ＝52，b ＝32，i＝2不满足条件i ≥3，i ＝3；a ＝4，b ＝52，i ＝3满足条件i ≥3，退出循环，输出a 的值为4.故选D.19．(2019·贵阳模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．0B ．12 C ．1 D ．－1答案 A解析第一次循环，k ＝1，S ＝cos0＝1，k ＝1＋1＝2，k ＞4不成立；第二次循环，k ＝2，S ＝1＋cos π3＝1＋12＝32，k ＝2＋1＝3，k ＞4不成立；第三次循环，k ＝3，S ＝32＋cos 2π3＝32－12＝1，k ＝3＋1＝4，k ＞4不成立；第四次循环，k＝4，S＝1＋cosπ＝1－1＝0，k＝4＋1＝5，k＞4成立．此时退出循环，输出S＝0，故选A.20．(2019·南昌一模)执行如图所示的算法框图，当输入的x为1时，输出的结果为( )A．3 B．4C．5 D．6答案 C解析执行程序框图，i＝0，输入的x为1时，y＝1＋1＝2，i＝1，y＝2<20，则x＝2；y＝4，i＝2，y＝4<20，则x＝4；y＝8，i＝3，y＝8<20，则x＝8；y＝16，i＝4，y＝16<20，则x＝16；y＝32，i＝5，y＝32>20，退出循环．故输出的结果为5，选C.21．(2019·开封一模)已知数列{a n}中，a1＝12，a n＋1＝1－1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是( )A．n≤2012 B．n≤2015C．n≤2017 D．n≤2018答案 C解析通过分析，本程序框图为“当型”循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A ＝12，n ＝1；第1次循环，A ＝1－2＝－1，n ＝1＋1＝2；第2次循环，A ＝1＋1＝2，n ＝2＋1＝3；第3次循环，A ＝1－12＝12，n ＝3＋1＝4；…所以，程序运行时计算A 的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A ＝2时，n 能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，可知应选C.本考点在近三年高考中未涉及此题型．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

【高中数学】2021高考数学一轮复习不等式知识点解析

【高中数学】2021高考数学一轮复习不等式知识点解析通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为f(x，y，，z)g(x，y，，z)。

以下是数学网整理的不等式知识点解析，请考生学习。

不等式不等式这部分科学知识，扩散在中学数学各个分支中，有著十分广为的应用领域。

因此不等式应用领域问题彰显了一定的综合性、有效率多样性，对数学各部分科学知识融会贯通，起著了较好的促进作用。

在解决问题时，必须依据题设与结论的结构特点、内在联系、挑选适度的解决方案，最终归咎于不等式的解或证明。

不等式的应用领域范围十分广为，它始终铺陈在整个中学数学之中。

诸如子集问题，方程(组)的求解的探讨，函数单调性的研究，函数定义域的确认，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有著紧密的联系，许多问题，最终都可以归咎于不等式的解或证明。

知识整合1。

求解不等式的核心问题就是不等式的同解变形，不等式的性质则就是不等式变形的理论依据，方程的木、函数的性质和图象都与不等式的数学分析密切相关，必须擅于把它们有机地联系出来，互相转化。

在求解不等式中，换元法和图解法就是常用的技巧之一。

通过换元，可以将较繁杂的不等式化后归入较直观的或基本不等式，通过构造函数、数形融合，则可以将不等式的解化归入直观、形象的图形关系，对所含参数的不等式，运用图解法可以使分类标准明确。

2。

整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。

方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。

3。

在不等式的解中，换元法和图解法就是常用的技巧之一，通过换元，可以将较繁杂的不等式化后归入较直观的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归入直观、形象的图象关系，对所含参数的不等式，运用图解法，可以并使分类标准更加明确。