数模竞赛中部分几何物理问题解析
数学建模实验题目解答
数学建模实验题目解答题目一:慢跑者与狗一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的常速v=1跑步,设椭圆方程为: x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻击他. 这只狗从原点出发,以恒定速率w 跑向慢跑者.狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹,并分析狗是攻击到慢跑者. 一,建立模型.设时刻t 慢跑者的坐标为(X(t)，Y(t))，狗的坐标为(x(t)，y(t)), 又X=10+20cost, Y=20+15sint. 由于狗的运动方向始终指向慢跑者,故此时狗与人的坐标连线就是此时狗的轨迹曲线弧处的切线， 即dy/dx=(Y-y)/(X-x), y ’=(dy/dt)/(dx/dt) 又运动时间相同:,解得可得参数方程为:二,求解模型w=20时,建立m-文件xy1.m 如下: function dy=xy1 (t,y) dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = - + - + + - + =- + - + + - + = 0) 0 ( ,0 ) 0 ( )sin 15 20 ( )sin 15 20 ( ) cos 20 10 ( )cos 20 10 ( )sin 15 20 ( ) cos 20 10 ( 22 2 2 y x y t y t x t wdtdy x t y t x t wdtdxdy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2); 取t0=0，tf=6.0，建立主程序fangcheng1.m如下:t0=0;tf=6.0;[t,y]=ode45('eq3',[t0 tf],[0 0]);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'-')hold onplot(y(:,1),y(:,2),'*')轨迹线如下图:发现狗没有攻击到慢跑者,于是,从4.0开始,不断的更改tf的值,发现当tf=3.15时, 刚好追上慢跑者.其轨迹线如下图所示:W=5时, 建立m-文件xy2.m如下:function dy=xy2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)- y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);取t0=0，tf=30立主程序fangcheng2.m如下:t0=0;tf=30[t,y]=ode45('eq4',[t0 tf],[0 0]); T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'-')hold onplot(y(:,1),y(:,2),'*')轨迹线如下图:发现狗没有攻击到慢跑者,当tf=50,轨迹线如下图:在fangcheng2.m不断修改tf的值,分别取tf=60.70…1000…. 可以看出,狗永远追不上慢跑者.。
中考数学模拟试题物理问题的数学建模与解决
中考数学模拟试题物理问题的数学建模与解决物理问题在中考数学试题中经常出现，如何进行数学建模和解决这些问题是考察学生综合运用多学科知识的能力。
本文将探讨如何在中考数学模拟试题中应对物理问题，并提供一些解决方法。
问题一：小明站在离地面20米高的平台上，向下抛出一个小球，小球落地时的速度是多少？解决方法：1. 分析题意：小明站在离地面20米高的平台上，把小球向下抛出。
我们需要求解小球落地时的速度。
2. 建立模型：考虑小球的竖直自由落体运动，根据重力加速度的定义，可得到小球落地时的速度公式为v = g * t，其中v为速度，g为重力加速度，t为时间。
3. 寻找关系：由于小球的速度和时间之间的关系式中含有时间，我们需要找到时间的表达式。
根据物理学的知识，小球落地时的速度实际上是由平衡高度的下落时间决定的。
根据公式s = 1/2 * g * t^2 + v0 * t，其中s为下落的距离，v0为小球初始速度。
代入已知条件，可得到20 = 1/2 * 10 * t^2 + 0 * t，整理得到t = 2秒。
4. 计算速度：代入t = 2秒到速度公式v = g * t，可得到v = 10 * 2 = 20m/s。
5. 答案：小球落地时的速度为20m/s。
问题二：一条直线盘坐着一辆汽车和一个自行车，汽车的速度是每小时60公里，自行车的速度是每小时20公里，汽车从起点出发，自行车在汽车后面50公里的地方出发，经过多少时间自行车才能追上汽车？解决方法：1. 分析题意：汽车速度为每小时60公里，自行车速度为每小时20公里，自行车在汽车后方50公里处出发，我们需要求解自行车追上汽车所需要的时间。
2. 建立模型：考虑自行车的追及问题，根据相对速度的定义，可得自行车追上汽车所需要的时间公式为t = s / (v1 - v2)，其中t为时间，s 为自行车与汽车的距离，v1为汽车速度，v2为自行车速度。
3. 寻找关系：根据题意，自行车在汽车后方50公里处出发，那么自行车与汽车的距离为50公里。
物理竞赛极值问题解法例谈
物理竞赛极值问题解法例谈极值问题，是物理竞赛中较为常见的一类问题。
解答这类问题，除了用到相关的物理知识，一般都要借助一定的数学知识才能完成。
现将初中物理竞赛中，常见的几类极值问题的解答方法，举例介绍如下。
一．利用“三角形两边之和大于第三边”求解例1．某中学举办了一次别开生面的“物理体育比赛”。
比赛中有个项目：运动员从如图1（a）所示的A点起跑，到MN槽线上抱起一个实心球，然后跑到B点。
比赛时，谁用的时间最少谁胜。
试问运动员比赛时，应沿着什么路线跑最好？图1（a）图1（b）析与解：假设某运动员在槽线上抱起一个实心球所用的时间、运动员跑步的速度是一定的，那么，他跑过的路程如果最短，则他所用的时间最少。
因此，本题实际上是一道路程极值问题。
如图1（b）所示，作B关于槽线MN的对称点B′，图中、、等，都是可能的路线。
显然，、路线，分别与、、等长，而由“三角形两边之和大于第三边”的结论可知，图中的（直线段）最短，即路线最短。
故，运动员比赛时，应沿着路线跑最好。
二．利用“正弦函数sinθ的最大值为1”求解例2．如图2（a）所示，某人站在离平直公路垂直距离为60m的A处，发现公路上有一汽车，从B处以v0＝10m/s的速度沿公路匀速行驶，B与人相距100m。
问此人最少要以多大的速度，沿什么方向奔跑才能与汽车相遇？析与解：设人以速度v，沿与AB成θ角的方向奔跑，如图2（b）所示，并在C处与汽车相遇，所用的时间为t。
则有BC＝v0t，AC＝vt。
作BE⊥AC，由三角形AOC与三角形BEC相似得：又：，故：BE＝AB sinθ，所以：整理得：代入数值计算得：上式中，要使v最小，应使sinθ最大，即sinθ＝1，θ＝90°时，v最小为v min＝6m/s。
故，此人最少要以6m/s的速度，沿与AB成90°的方向向公路奔跑，才能与汽车相遇。
三．利用“”求解例3．如图3所示，一根均匀杠杆，每米长重λ＝30N，现以杆的A端为支点，在杆的B端施一竖直向上的力F，在距杆的A端a＝0.2m处挂一个重G＝300N的重物，要使杠杆在水平位置平衡，求：杠杆为多长时，加在B端的力F有最小值？最小力F是多大?图3析与解：如不考虑杆重，则杠杆越长，力F就越小。
数学建模国赛物理题
数学建模国赛物理题题目：水滴在竖直电场中的运动轨迹背景描述：在实验室中，研究人员将一块亲水性材料悬挂在竖直电场中，并在材料上滴下水滴，观察水滴的运动轨迹。
通过研究水滴在电场中的运动，可以了解电场对水滴的运动轨迹产生的影响，进而应用于液滴操控、液滴传感等领域。
问题陈述：已知在竖直电场中，一个水滴从某固定高度自由下落。
假设电场以垂直向上的方向施加竖直电场力。
我们需要对水滴的运动轨迹进行建模，并分析不同参数对运动轨迹的影响。
问题分析：1. 水滴：将水滴视为一个质点，忽略其形状和内部力。
2. 电场力：竖直电场力大小为 F = qE，其中 q 为水滴的电荷量，E 为电场强度。
3. 空气阻力：假设水滴在空气中运动，考虑由于空气阻力产生的影响。
4. 运动轨迹：水滴的运动轨迹可表示为函数 y(x)，描述水滴的垂直运动。
5. 初始条件：已知水滴自由落体的初始速度和初始高度。
模型假设：1. 忽略水滴的蒸发和凝结；2. 忽略水滴之间的相互作用。
模型建立：对于水滴的竖直运动，可以利用牛顿第二定律对其运动进行描述。
在竖直方向上，模型可表示为以下方程：m(d2y/dt2) = mg - Fd - bv - fas其中：m 为水滴的质量；g 为重力加速度；F 为电场力大小；d 为水滴的直径；b 为空气阻力系数；v 为水滴的速度；fas 为电场力和空气阻力的合力。
由于水滴在竖直电场中运动，考虑竖直方向上的运动轨迹，模型可简化为二阶常微分方程：d2y/dt2 = g - (qE + bv)/m模型求解：利用数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）对二阶常微分方程进行数值求解，可以得到水滴的运动轨迹 y(x)。
模型分析：根据上述模型，可以进行以下分析：1. 不同初始条件下，水滴的运动轨迹如何变化？2. 水滴电荷量 q 对轨迹的影响如何？3. 电场强度 E 对轨迹的影响如何？4. 空气阻力系数 b 对轨迹的影响如何？通过对以上问题的研究和分析，可以对水滴在竖直电场中的运动轨迹有更深入的理解，并为相关领域的设计和应用提供参考。
数学建模--数学物理定解问题
第九章 数学建模——数学物理定解问题习题及解答 长为l 的均匀细弦，两端固定于0,x x l ==，弦中的张力为. 在点处，以横向力拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件.【答案 00000(), [0,]|(), [,]t F l h x x h T l u F h l x x h l T l =-⎧∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩】长为l 的均匀杆两端受拉力作用而作纵振动，写出边界条件.【答案000|, |x x x x l YSu F YSu F ====】 长为的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为，写出这个热传导问题的边界条件.【答案 000|,|x x x x L ku q ku q ==-==】一根长为的均匀细弦，两端固定于0,x x L ==，用手将弦于处朝横向拉开距离h ，然后放手任其振动，试写出其定解问题.【答案 20;(0,)0(,);(,0)0,(0)(,0)() ()tt xx t u a u u t L t u x h x x l l u x H L x l x L L l -====⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪-⎩】有一均匀细杆，一端固定，另一端受到纵向力0()sin F t F t ω=作用，试写出其纵振动方程与定解条件.【答案 20sin 0;(0,)0,(,);(,0)0,(,0)0tt xx x t t u a u u t u l t F u x u x Ys ω-=====】有一均匀细杆，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长ε而静止（设拉长在弹性限度内）.突然放手任其振动，试推导其其纵振动方程与定解条件.【答案 20;(0,)0(,);(,0),(,0)0tt xx x t u a u u t u l t u x x u x l ε-=====】长为l 的理想传输线，一端接于交流电源，其电动势为0sin E t ω，另一端开路。
试写出线上的稳恒电振荡方程和定解条件.【答案22i 0010,(),|,|0t tt xx x x l a a E e i LC ω==-====v v v 】研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端与外界绝热，试写出细杆上温度的变化所满足的方程，及其定解条件.【答案 2200,(/);(0,)0,(,)0;(,0)/,(0,)t xx x u a u a k c u t u l t u x T x l x l ρ-=====∈】9.9试推导均匀弦的微小横振动方程.【答案 具有类型：2tt xx u a u f -=，详细自行讨论】9.10 试推导出一维和三维热传导方程.【答案 具有类型：22;()t xx t xx yy zz u a u f u a u u u f -=-++=，详细自行讨论】9.11 试推导静电场的电势方程.【答案 具有类型：xx yy u u f +=，详细自行讨论】9.12 推导水槽中的重力波方程. 水槽长为l ，截面为矩形，两端由刚性平面封闭.槽中的水在平衡时深度为h .【提示：取x 沿槽的长度方向，取u 为水的质点的x 方向位移】【答案 取x 沿槽的长度方向，u 为水的质点的x 方向位移，则tt xx u ghu =】9.11. 有一长为l 的均匀细弦,一端固定,另一端为弹性支撑,设弦上各点受有垂直于平衡位置的外力,外力线密度已知,开始时.弦12处受到冲量I 作用,试写出其定解问题. 答 ()()()()()()()[]22222,0,,0,0.,00,00,00,2t u u a f x t x l t t x u l t u t hu l t t x u x I l u x x x l δρ⎧∂∂=+∈>⎪∂∂⎪∂⎪=+=≥⎪∂⎨⎪=⎪⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩9.14由一长为l 的均匀细杆,侧面与外界无热交换,杆内有强度随时间连续变化的热源,设在同一截面上具有同一热源强度及初始温度,且杆的一端保持零度,另一端绝热,试推导定解问题.(答()()()()()()[]222,,0,,0,0,0,0,0,0,u u a f x t x l t t x u l t u t t x u x x x l ϕ⎧∂∂=+∈>⎪∂∂⎪∂⎪==≥⎨∂⎪=∈⎪⎪⎩) 9.15 设有高为h 半径为R 的圆柱体,圆柱体内有稳恒热源,且上下底面温度已知,圆柱侧面绝热,写出描述稳恒热场分布的定解问题.答 ()[)[)()2222222011,, 0,,0,2,0,, 0z z h r R u u u u f r z r R z h r r r r z u A u B ur θθπθ===⎧∂∂∂∂+++=∈∈∈⎪∂∂∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪=⎪∂⎩9.16 设有定解问题()()222222000,0,0;00,0,0,,,,0,0x x a y y b t t t u u u x a y b t t x y u u u u t u x y u x y x a y b ϕψ======⎧∂∂∂=+<<<<>⎪∂∂∂⎪⎪==⎪⎨==≥⎪⎪=⎪⎪=<<<<⎩给出与其对应的物理模型.答 边界固定的矩形膜的自由振动,其初始位移于初始速度已知本章计算机仿真编程实践9.18 试求泊松方程2223y xy x u ++=∆的一般解，并尝试用计算机仿真的方法求解。
一道竞赛题的三种解法
对一道竞赛题解法的探讨浙江海盐元济高级中学（314300） 王建峰 魏俊枭 周明第22届全国中学生物理竞赛预赛的最后一题，是一个有关电磁感应的问题，问题立足于教材所学知识，但对学生的解题提出了较高的能力要求，它着重考查了学生建立物理模型、应用数学处理物理问题的能力，是一道体现学生综合能力的竞赛题。
原题如下：如图所示，水平放置的金属细圆环半径为a ，竖直放置的金属细圆柱（其半径比a 小得多）的端面与金属圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心O ．一质量为m ，电阻为R 的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑，棒的一端有一小孔套在细轴O 上，另一端A 可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为μ．圆环处于磁感应强度大小为Kr B =、方向竖直向上的恒定磁场中，式中K为大于零的常量，r 为场点到轴线的距离．金属细圆柱与圆环用导线ed 连接．不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场．问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度ω 匀速转动．注：()()()32233ΔΔ3Δ3Δx x x x x x x x +++=+此题的难点为：①导体棒切割磁感线，其磁感强度跟r 有关即Kr B =，在这样的磁场中如何求感应电流？②使导体棒匀速转动的外力大小如何求解？从学生解题情况来看，大多数学生能明确题意，也有基本的解题思路：导体切割磁感线运动产生感应电流——通电导体在磁场中受力——外力克服摩擦力、安培力使其匀速转动。
但大多数学生不能变换模型，缺乏应用数学方法解决物理问题的能力，很难正确解答。
本文着重对此题作进一步的探讨。
解法一（原解）：微元法将整个导体棒分割成n 个小线元，小线元端点到轴线的距离分别为r 0(=0)，r 1，r 2，……，r i -1，r i ，……，r n -1，r n (= a )，第i 个线元的长度为1Δ--=i i i r r r ，当i r Δ很小时，可以认为该线元上各点的速度都为i i r ω=v ，该线元因切割磁感应线而产生的电动势为i i i i i i i i r r K r r Kr r B ΔΔΔΔ2ωω===v E （1）整个棒上的电动势为∑∑====ni iini ir r K 121ΔΔωE E （2）由()()()32233ΔΔ3Δ3Δr r r r r r r r +++=+，略去高阶小量(Δr )2及(Δr )3，可得])[(31332r r r r r -∆+=∆代入(2)式，得331331323031131i 3i 31)]()()[(31)(31a K r r r r r r K r r K n n ni ωωω=-++-+-=-=-=-∑E （3）导体棒通过的电流为Ra K R I 33ω==E （4） 第i 个线元i r ∆受到的安培力为i i i Ai r I Kr r BI f ΔΔΔ== （5）作用于该线元的安培力对轴线的力矩i i i Ai i r KIr r f M ΔΔΔ2=⋅=则R a K KIa r r KI r r KI M M ni i i ni i i ni i 931)(31ΔΔ6231313121ω==-===∑∑∑=-== （6）因棒A 端对导体圆环的正压力为21mg ，所以摩擦力为mg μ21，对轴的摩擦力矩为mga M μμ21= （7）设在A 点施加垂直于棒的外力为f ，由力矩平衡得： μM M fa += (8)由(6)、(7)、（8）式得 μmg R ωa K f 21952+=由于导体棒切割磁感线时，各处的磁感强度不同，给解决问题带来了困难。
物理竞赛典型题目解析
物理竞赛典型题目解析物理竞赛一直是考察学生物理基础知识和解题能力的重要方式之一。
本文将针对一些典型的物理竞赛题目进行解析，帮助同学们更好地理解和应对物理竞赛。
题目一：弹簧振子的周期小明做了一个弹簧振子实验，发现当弹簧的劲度系数为k时，振动周期为T。
那么当弹簧的劲度系数变为2k时，振动周期会怎么变化？解析：根据弹簧振子的周期公式T=2π√(m/k)，其中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数。
现在假设质量m保持不变，劲度系数变为2k，即k变为原来的2倍。
代入公式可得新的振动周期T'=2π√(m/2k) = 2π/√2π√(m/k) = √2T因此，当弹簧的劲度系数变为2k时，振动周期将变为原来的√2倍。
题目二：抛体运动的最大高度小明在物理课上学习了抛体的运动规律，他想知道一个物体从地面抛出后能够达到的最大高度是多少。
已知抛物线的最高点与抛出点相距20m，初始速度为10m/s，重力加速度为10m/s^2。
求解这个问题。
解析：首先我们需要找到物体达到最高点时的速度，此时速度为垂直向上的初速度，记作V。
由于物体的下落过程与反弹上升过程对称，所以V = 10m/s。
然后我们可以利用物体在垂直方向的运动规律来计算物体达到最高点的高度H。
根据v^2 = u^2 + 2as的运动规律，将s取为最大高度H，初速度u 为V，加速度a为重力加速度10m/s^2，可得：0 = V^2 - 2aH代入数值可得H = V^2 / (2a) = (10^2) / (2*10) = 5m因此，物体从地面抛出后能够达到的最大高度为5m。
题目三：电阻和电流的关系小红用电池组、导线和电阻连成电路，通过测量电路中的电流和电阻，发现它们存在一定的关系。
当电流为I，电阻为R时，测得电压为U。
问电流和电阻的关系式是什么？解析：根据欧姆定律，电流I与电压U、电阻R之间存在以下关系：U = IR根据电阻的定义，电阻R等于电压U与电流I的比值：R = U/I因此，电流和电阻之间的关系式为：R = U/I通过上述解析，我们可以看到物理竞赛题目通常涉及到基本概念的运用和公式的应用。
历年物理竞赛中常见的物体平衡分析
总体概述物体平衡可以分两大类即：1、共点力作用下物体的平衡,2固定转动轴物体的平衡，结考点1:共点力作用下物体的平衡一、共点力作用下物体的平衡条件几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫作共点力。
当物体可视为质点时，作用在其上的力都可视为共点力。
当物体不能视为质点时，作用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。
物体的平衡包括静平衡与动平衡，具体是指物体处于静止、匀速直线运动和匀速转动这三种平衡状态。
共点力作用下物体的平衡条件是；物体所受到的力的合力为零。
如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡，用力的图示表示，则这些力必组成首尾相接的闭合力矢三角形或多边形；力系中的任一个力必与其余所有力的合力平衡；如果物体只在两个力作用下平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且在同一条直线上，我们常称为一对平衡力；如果物体在三个力作用下平衡，则此三力一定共点、一定在同一个平面内，如图1所示，且满足下式（拉密定理）：二、推论物体在n（n >3）个外力作用下处于平衡状态，若其中有n-1个力为共点力，即它们的作用线交于O点，则最后一个外力的作用线也必过O点，整个外力组必为共点力。
这是因为n-1个外力构成的力组为共点（O点）力，这n-1个的合力必过O点，最后一个外力与这n-1个外力的合力平衡，其作用线必过O点。
或其分量式;sin tz sin 0百in 厂特例，物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线必相交于一点且一定共面。
考点2:固定转动轴物体的平衡—・力矩力的三共素是力大小、方向和作用点。
由作用点耳功的方向所确定的射线称为力的作用线。
力作用于物体，常能便物体发生转动』这时外力的作用敬果不仅取决于外力瞅小和方向,而且取决于外力作用^与轴的距离——力臂力与力臂的乘禅称为力拒$记为儿则肛FX 4如图冇0为垂直干纸面的固走轴，力F在纸面內-力距罡改变物体轻动状态的原因。
数模竞赛中部分几何物理问题解析解析
谭劲英 14/07/18
1. CUMCM-1995A： 一个飞行管理问题
2. CUMCM-2000D： 空洞探测
3. CUMCM-2010A： 储油罐的变位识别与罐容表标定
CUMCM-1995A：一个飞行管理问题
在约10000m高空的某边长160km的正方形区域内，经常有 若干架飞机作水平飞行，区域内每架飞机的位置和速度向量均 由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区 域的飞机到达边界区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并 判断是否会与其区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计 算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角，以避免碰撞。 现假设条件如下：
若0 ti*j Tij
fij(t) 大于等于０等价于
fij
(t* ij
)
0
最后，优化模型为
bi2j 4cij 0,
其他目标：
初始位置与方向角：
(
xi0
,
yi0
),
0 i
调整后的方向角：i i0 i
6
总的调整量最小：Min i . i 1
最大调整量最小：Min max i 1,...,6
(k,l)
(j - i）y = 6(x-40(i-1))
单元(k,l)下边缘直线方程 y = 40(l-1)
波线与单元(k,l)下边缘对应交点的y坐标为
y3ijkl = 40(l-1)， 其中 0≤ 6(i-k)-(i-j)(l-1)≤ 6
波线与网格交线长度的计算
i=j 以外的情况
PiQj 决定的直线方程：
设该区域4个顶点坐标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。 记录数据为：
物理竞赛解题实例分析
物理竞赛解题实例分析近年来，物理竞赛在学生中越来越受欢迎。
不仅能锻炼学生的逻辑思维和问题解决能力，还能展示他们对物理知识的理解和运用。
本文将通过解析一个物理竞赛的实例来探讨解题策略和技巧。
题目描述：一辆质量为m的小车以初速度v0匀速行驶，突然受到一个作用力F，使其在经过一段时间t后速度变为v。
试推导小车受到的作用力F 的大小。
解题思路：要求推导小车受到的作用力F的大小，我们需要运用牛顿第二定律和基本的运动方程来解决问题。
解题步骤：1. 确定物理量：- 质量m- 初速度v0- 时间t- 速度v2. 分析问题：小车受到的作用力F是一个未知量，我们需要通过已知条件来推导出它的大小。
3. 运用牛顿第二定律：根据牛顿第二定律，力F等于质量m乘以加速度a，即F = m ×a。
4. 计算加速度：运用基本的运动方程v = v0 + at，我们可以得到加速度a = (v -v0)/t。
5. 代入已知条件：将步骤4中计算得到的加速度代入步骤3的公式中，可以得到作用力F = m × (v - v0)/t。
6. 化简和求解：对公式进行化简，可以得到F = (mv - mv0)/t。
7. 结论：小车受到的作用力F的大小为(mv - mv0)/t。
通过以上的步骤，我们成功推导出小车受到的作用力F的大小。
在解题过程中，关键是运用了牛顿第二定律和基本的运动方程，并合理地代入已知条件进行计算。
这种方法适用于类似的物理竞赛题目，可以帮助学生更好地理解并运用物理知识。
总结：物理竞赛解题实例分析中，我们通过解析一个小车受到作用力问题，探讨了解题的思路和步骤。
这个例子展示了运用牛顿第二定律和基本的运动方程，在已知条件下推导未知物理量的方法。
在物理竞赛中，学生可以运用类似的思路和方法解决各种复杂的题目。
通过不断的练习和思考，他们能够提高解题的能力和水平。
物理竞赛不仅是检验学生物理知识掌握程度的考核工具，更是培养学生逻辑思维和问题解决能力的重要途径。
例析中学物理在数学建模中的应用共3页word资料
例析中学物理在数学建模中的应用现实中有许多问题是中学生感兴趣的，如：汽车前照灯的反光镜镜面为什么要做成抛物面？跳伞员从高空下落时其速度如何变化？第二宇宙速度是怎样计算出来的？一个处于平衡状态的弹簧推或拉一下后能否无限次地振动下去？等等.这些问题都可通过应用中学物理理论建立数学模型而得到解决.本文将通过实例说明中学物理在数学建模中的应用.1基于力学及运动学的数学建模例1设降落伞从跳伞塔下落后，所受的空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时（t=0）速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系.解降落伞下落速度为v（t），降落伞在空中下落时，同时受到重力P=mg 和阻力R=kv（k为比例系数）的作用（图1）.根据牛顿第二定律，得数学模型这就是通常所说的第二宇宙速度，又称脱离速度.例3设在铅直悬挂的弹簧下系一质量为m的物体.该物体在重力与弹簧弹性力的作用下处于平衡位置.若将物体拉离平衡位置后突然松开，则物体将在平衡位置附近上下振动.若以平衡位置为原点建立x轴（图3），则物体的位移x随时间t的变化而变化，要知道物体的运动规律，就需求出函数x=x（t）.现假设物体在t=0时的位置为x=x0，初始速度为dxdtt=0=v0，试求x（t）.解由虎克定律知，弹簧使物体回到平衡位置的弹性恢复力为f=-cx，其中c是弹性系数，负号表示弹性恢复力的方向和物体的运动方向相反，重力mg已与物体在平衡位置时弹簧的弹性力相抵消.此外，物体在运动过程中还受到阻尼介质（如空气、油等）的阻力作用.由实验知道，阻力R 的方向总与运动方向相反，当运动速度不大时，其大小与物体运动的速度成正比.若设比例系数为μ，则R=-μdxdt.根据牛顿第二定律得mdxdt2=-cx-μdxdt，移项，并记2n=μm，k2=3m，便得到有阻尼情况下描述物体自由振动的数学模型这是一条以x轴为对称轴、焦点在坐标原点的抛物线.说明当汽车的前照（远光）灯的反光镜的镜面为旋转抛物面时，才能将点光源发射出的光反射成平行光，使其照明效果达到最佳.4基于其他物理学的数学建模例6放射性元素镭由于不断地有原子放射出微粒子而变为其它元素，镭的含量就不断减少，这种现象称作衰变.由原子物理学知镭的半衰期是1600年，即经过1600年质量变为原来的一半.在任何时刻镭的衰变速度与当时镭的质量成正比，设开始时有m0克镭，问经过时间t（年）后还剩多少克镭？解设在时刻t时镭的质量是m（t），则衰变的速度是dmdt，由题设得数学模型dmdt=-km，m|t=0=m0.其中k（k>0）为常数，称作衰变系数，负号表示当t增大时，镭的质量单调减少.上述模型的解为m（t）=m0e-kt.再由半衰期是1600年（即m（1600）=m02）得k=ln21600≈0.000433，所以任何时刻t时镭的质量为m（t）=m0e-0.000433t.根据放射性物质的衰变规律以及半衰期的测定，可以大致判断古文物的年代，该模型是鉴定某些文物时代特征的重要科学依据.上述几例均是利用中学物理知识结合一些数学理论来建立数学模型，从而解决实际问题的例子，目的是让学生知道能够用学过的中学物理来解决许多实际问题，从而激发他们学习物理的兴趣.这体现了新课改的理念，值得物理老师给予高度重视.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。
数学竞赛的几何题解析
数学竞赛的几何题解析引言：数学竞赛中的几何题目一直以来都是难点和热点，尤其是对于初学者来说更是如此。
本文将以几何题解析为主题，分为几个小节进行论述，希望能通过深入的解析和详细的步骤，为广大数学爱好者提供一些解题的思路和方法。
第一部分：平面几何题解析1. 直线与平面的相交关系解析：直线与平面的相交有三种情况，即直线与平面相交于一点、直线包含在平面内和直线与平面平行。
通过构造平面方程和直线方程，我们可以求解直线与平面的交点，进而合理解答相关题目。
2. 三角形的性质与判定解析：三角形作为几何学的基础形状之一，其性质和判定方法是我们解题的关键。
通过研究三角形的内角和外角、边长之间的关系，我们可以灵活运用正弦定理、余弦定理和面积公式等工具，解答关于三角形的角度、边长和面积等相关问题。
3. 圆的性质与判定解析：圆是几何学中的重要对象，它具有独特的性质和判定方法。
在解题过程中，我们可以利用圆心角和弧度、切线和弦的关系，运用圆心角定理和弧长公式等工具，解答关于圆的周长、面积和弧长等相关问题。
第二部分：立体几何题解析1. 空间几何图形的投影解析：在空间几何题目中，我们常常需要求解某个图形在某个平面上的投影问题。
通过确定平面方程和图形的投影点，我们可以计算出图形在该平面上的投影长度或面积等相关信息。
2. 空间几何图形的体积和表面积解析：对于空间几何题目，常常需要求解图形的体积和表面积等问题。
通过运用棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体的相关公式，我们可以灵活计算出图形的体积和表面积，帮助我们解答相关的几何题目。
3. 空间几何图形的位置关系解析：空间几何题目中，图形的位置关系是解题的重点。
我们需要研究图形之间的平行、垂直和相交等关系，通过构造线段、向量和面积的相关等式和不等式，求解图形之间的位置关系和长度比例等问题。
第三部分：解题技巧与综合应用1. 利用对称性简化问题解析：在解决几何题目时，利用图形的对称性可以大大简化问题。
数学竞赛中的几何分析
数学竞赛中的几何分析在数学竞赛中，几何分析一直是一个重要的考察内容。
几何分析不仅对于提高数学水平有很大的帮助，而且还是计算机、物理等各个领域不可或缺的基础。
本文将从几何分析的基本概念，几何分析的应用，几何分析的训练方法等几个方面探讨几何分析在数学竞赛中的重要性。
一、几何分析的基本概念几何分析是基于几何图形的运算分析，其中最基本的概念是几何图形的性质和关系。
几何图形包括线段、角、三角形、四边形等等。
在几何分析中，最关键的是掌握几何图形的性质和定理。
比如，掌握好三角形的三边关系、内角和、高度、中线、垂线定理等，就能更好地解决几何分析题目。
同时，还需要掌握几何图形的构造和判定方法，如如何判定两条直线平行、两条直线垂直等。
二、几何分析的应用几何分析在现实生活中应用广泛，如建筑、地理勘察、机械、天文学等领域都需要应用几何分析。
在数学竞赛中，几何分析也有着广泛的应用。
许多竞赛试题都涉及到几何分析，比如平面几何、立体几何等。
在解决数学竞赛中的几何分析题目时，需要掌握几何图形的相关定理和技巧，同时注意归纳总结，在实践中不断提高自己的几何分析能力。
三、几何分析的训练方法要在数学竞赛中发挥几何分析的能力，需要通过不断练习来提高自己。
首先，需要对几何图形的性质和定理进行全面的复习和总结。
通过大量的例题练习，加深对几何分析的理解和掌握。
同时，在解决竞赛试题时，需要注意分析题目，找出其中的重点和难点，通过对题目的归纳总结来提高自己的几何分析能力。
其次，在训练中应重视技巧的积累，比如掌握构造图形的技巧、对应几何图形的变化方法等。
最后，需要更多地参加数学竞赛，通过竞赛获得实践经验和灵活应用知识的机会，提高自己的几何分析能力。
总之，在数学竞赛中，几何分析是一个重要的考察内容。
只有通过全面的学习、反复练习和应用，才能够提高自己的几何分析水平，在竞赛中取得更好的成绩。
高中物理竞赛题目解析与讲解
高中物理竞赛题目解析与讲解物理竞赛作为一项重要的学科竞赛，对于学生的物理知识掌握、问题解决能力以及创新思维都有着较高的要求。
因此，在备战物理竞赛时，不仅需要对各种题型有一定的了解，还需要有系统化的解题方法和技巧。
本文将为大家解析和讲解一些常见的高中物理竞赛题目，帮助读者在竞赛中取得更好的成绩。
一、选择题解析选择题是物理竞赛中常见的题型，通过给出多个选项，考察学生对于物理知识的理解和判断能力。
1.题目：在磁场中，带电粒子受到的洛伦兹力与哪些因素有关？(A) 磁感应强度的大小(B) 电荷的大小(C) 速度的大小(D) 以上都正确解析：对于带电粒子在磁场中受力的相关性，可以利用洛伦兹力公式F=qvBsinθ来进行分析。
其中，F表示洛伦兹力，q为电荷大小，v 为速度大小，B为磁感应强度大小。
由此可知，选项(A)、(B)、(C)都正确，因此选项(D)为正确答案。
2.题目：甲、乙两个平行金属导线，电流方向相同。
当通过甲导线的电流减小时，乙导线中的感应电流的方向是？(A) 不变(B) 与甲导线中的电流方向相同(C) 与甲导线中的电流方向相反(D) 无法确定解析：根据法拉第电磁感应定律，当甲导线中的电流改变时，将在乙导线中产生感应电动势，从而产生感应电流。
根据右手螺旋法则，可以得出甲导线中的电流减小时，乙导线中的感应电流方向与甲导线中的电流方向相反，因此选项(C)为正确答案。
二、计算题解析计算题是物理竞赛中需要对物理知识进行运用和计算的题型，通过计算和推导，考察学生的物理思维能力和运算技巧。
1.题目：一个物体以初速度v0沿着水平地面滑动，经过一段距离d之后停下来，摩擦系数为μ。
如果将该物体放在与地面成θ角的斜面上，则物体停下来所需滑动距离为多少？解析：根据题意，当物体在水平地面上停下来时，其滑动距离与初速度、摩擦系数和重力有关。
而当物体放在斜面上时，其滑动距离还与斜面的倾角θ有关。
根据物体在斜面上的加速度计算公式a=g*sinθ，可以得到物体在斜面上停下来所需的滑动距离为d/(sinθ)。
第37届全国中学生物理竞赛预赛题目与参考解答
第37届全国中学生物理竞赛预赛题目与参考解答题目一题目描述一个质量为m的小球以速度v水平地向右运动，碰到一固定在水平光滑面上的质量为M的小车，小球和小车发生弹性碰撞后，小球以速度v'向左弹开，小车的速度变为V。
求小车的质量M与小球的质量m的比值。
参考解答由动量守恒定律，可以得到以下方程：$$mv = mv' + MV$$由于小球和小车发生弹性碰撞，根据动能守恒定律，可以得到以下方程：$$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}MV^2$$将第一个方程中的$v'$用第二个方程中的$v'$表示，代入第一个方程中，可以得到：$$mv = \frac{m}{m+M}\sqrt{\frac{m+M}{m}}v + MV$$化简上述方程，可以得到：$$\frac{M}{m} = \frac{2(m+M)}{m}$$进一步化简，可以得到：$$M = 2m$$因此，小车的质量M与小球的质量m的比值为2:1。
题目二题目描述有一个质量为M的小球，从高度h自由落下，落到地面后反弹，反弹高度为h'。
忽略空气阻力和能量损失，请计算小球反弹高度与初始高度的比值。
参考解答由机械能守恒定律，可以得到以下方程：$$\frac{1}{2}Mv^2 = Mgh$$其中，v为小球落地时的速度，g为重力加速度，h为初始高度。
由于小球反弹后，其速度大小不变，只是方向相反，因此，可以得到以下方程：$$\frac{1}{2}Mv^2 = Mgh'$$将上述两个方程相除，可以得到：$$\frac{h'}{h} = \frac{v^2}{gh}$$根据自由落体运动的公式，可以得到：$$v^2 = 2gh$$将上述公式代入前面的方程中，可以得到：$$\frac{h'}{h} = \frac{2gh}{gh}$$化简上述方程，可以得到：$$\frac{h'}{h} = 2$$因此，小球反弹高度与初始高度的比值为2:1。
浅析一道以物理为背景的数学建模题
假设我们要求解一道物理题，例如求解一个物体从初始高度下自由落体时，它经过的时间和距离。
我们可以建立一个数学模型来解决这个问题。
首先，我们可以假设物体的运动遵循牛顿运动定律，即加速度为常数g，初始速度为0。
由于物体的加速度是常数，因此我们可以使用加速度的一阶差分方程来描述物体的速度变化，即v=gt。
同时，我们也可以使用位移的一阶差分方程来描述物体的位移变化，即s=vt-gt^2/2。
通过对上述方程进行积分，我们可以得到物体的位移与时间的函数关系，即s=gt^2/2。
同时，我们也可以得到物体的速度与时间的函数关系，即v=gt。
最后，我们可以根据物体的初始高度和加速度g，解出物体的落地时间和落地距离。
例如，如果物体的初始高度为h，加速度g=9.8 m/s^2，则物体的落地时间为t=sqrt(2h/g)，落地距离为s=gt^2/2=h。
通过这种方式，我们就可以使用数学建模的方法，通过结合物理
继续讨论上述物理题的数学建模过程，我们可以考虑如何求解一些更加复杂的问题。
例如，我们可以考虑将物体的运动轨迹分成多个时间段，每个时间段内物体的加速度可能不同。
在这种情况下，我们可以使用积分的方法来求解每个时间段内物体的位移和速度。
例如，假设我们要求解一个物体在第一个时间段内从初始高度h落地所需的时间和距离。
我们可以假设物体的加速度在第一个时间段内为g1，则物体的速度和位移的变化关系为v=g1t，s=g1t^2/2。
同样的，我们也可以求解物体在第二个时间段内从初始高度h落地所需的时间和距离。
我们可以假设物体的加速度。
数学建模在物理问题中的应用
数学建模在物理问题中的应用数学建模是将实际问题转化为数学模型来描述和分析的过程。
在物理领域中，数学建模起着举足轻重的作用。
本文将探讨数学建模在物理问题中的应用。
I. 初始条件的建模和求解物理问题中，我们往往需要确定初始条件，才能进行进一步的研究。
数学建模提供了一种定量的方法来描述初始条件，并通过数学分析来求解。
例如，考虑一个抛掷物体的问题。
我们可以通过建立抛体运动的数学模型来求解物体的轨迹。
首先，我们假设物体的初始位置为(x0, y0)、初始速度为(v0x, v0y)。
通过运动方程和初值条件，我们可以得到物体的位置函数x(t)和y(t)。
II. 物理规律的建模和验证物理问题中，我们还需要建立数学模型来描述物理规律，并验证这些规律是否符合实际情况。
例如，考虑一个简单的弹簧振动问题。
假设弹簧的振动满足胡克定律，即弹性力与位移成正比。
我们可以通过建立弹簧振动的微分方程来描述这一规律，并通过数值模拟或实验来验证模型的准确性。
III. 物理系统的优化和控制数学建模还可以帮助我们优化和控制物理系统，使其达到最佳状态。
例如，考虑一个光学问题，我们希望设计一种透镜，使得光线能够聚焦到一个点上。
通过建立透镜的数学模型，我们可以确定透镜的形状和参数，以使得光线聚焦效果最好。
IV. 物理问题的预测和模拟数学建模还可以用于预测物理问题的发展趋势和模拟实际情况。
例如，考虑一个天气预报的问题。
我们可以建立气象模型，通过分析大气运动、温度分布等因素，预测未来几天的天气情况。
这种数学建模在气象学中得到广泛应用。
V. 物理问题的解释和理解数学建模还可以帮助我们解释和理解物理问题，从而深入探究其背后的本质。
例如，考虑一个经典的力学问题——行星运动。
通过建立行星运动的数学模型，我们可以解释行星的椭圆轨道、开普勒定律等现象，并深入理解行星运动的机制。
综上所述，数学建模在物理问题中的应用广泛而重要。
它不仅可以帮助我们建立数学模型，解决实际问题，还可以深化对物理规律的理解和应用。
利用数学建模方法解析几个物理问题
数学不仅是解决物理问题的工具，数学方法更是物理学研究方法之一。
下面通过对中职物理几个具体问题的解析，让大家来体会数学建模这个物理素养的重要性。
一、函数模型函数模型就是建立所求量或所研究量与已知量或决定量之间的函数关系，然后运用函数的运算或性质进行运算或判断。
这是物理解题中最常用的数学模型，一般用来解决最值问题或变量问题比较方便。
例1一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s 2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s 的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。
（1）求汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？（2）何时再次相遇？解析：建立自行车与汽车之间距离的函数关系式。
第（1）问就是求二次函数的最值问题；第（2）问就是解一元二次方程问题。
设汽车起动后经时间t ，则汽车的位移x 1=12at 2=32t 2，自行车的位移x 2=vt=6t ，追上之前二者间距函数为Δx =x 2-x 1=6t -32t 2.（1）对距离函数配方有：Δx =6t -32t 2=-32（t -2）2+6显然，当t=2s 时，Δx 最大为6m 。
即汽车从路口开动后，在追上自行车之前2s 两车相距最远，最远距离是6m 。
（2）相遇就是距离Δx =0，6t -32t 2=0，t 1=0，t 2=4s.t 1=0，实际意义就是刚开始是相遇；t 2=4s 实际意义就是再次相遇的时间。
二、三角模型涉及位移、速度、加速度、力等矢量的问题，可以用三角形法则画出矢量三角形，运用三角形的构成条件、三角函数的定义、正弦定理和余弦定理、点到直线的距离等几何知识进行解析。
例2如图1所示，用细绳AB 悬吊一质量为m 的物体，现在AB 中的某点O 处再结一细绳，用力F 拉细绳，使细绳的AO 部分偏离竖直方向的夹角为θ后保持不动，则F 的最小值是多少？解析：以O 点为研究对象，则它在拉力F AO 、拉力F BO =mg 和拉力F 作用下处于静止平衡三个力矢量，构成封闭三角形。
数学建模在物理问题中的应用
数学建模在物理问题中的应用数学建模是指将现实世界的复杂问题抽象为数学模型，通过计算机模拟和数学分析来解决问题的方法。
它在物理学中有着重要的应用。
物理学是研究自然界中最基本的现象和规律的学科。
随着科学技术的不断发展，物理学的应用已经涉及到了生物医学、天文学、工程技术等领域。
而数学建模在物理学的应用极大地推动了物理学的发展和进步。
一、物理学中的常见物理问题物理学中常见的物理问题有很多。
比如，从物理角度分析自由落体、摆、弹簧振子等简谐运动问题；研究电、磁、电磁学、几何光学等领域；物理力学领域中的运动学、动力学等；热力学的研究等等。
这些问题都是与自然界中的现象和规律息息相关，但是由于它们的复杂性，直接用实验观察和分析是很困难的，因此需要用数学建模的方法来研究和解决。
二、数学建模在物理问题中的应用非常广泛，下面简单介绍一些实例：1.热传导热传导是指物体内部不同温度区域之间的热量传输。
数学建模通过建立热传导方程来描述物体内部温度的分布。
这个模型通常包括热源、热导率、温度场以及边界条件等因素。
在此基础上可以预测物体在不同条件下的热传输情况，为优化物体的设计和材料的选择提供重要依据。
2.流体力学流体力学研究的是流体内部的运动和相应的相互作用现象。
数学建模发挥了流体力学研究的重要作用。
它提供了一种模拟流体运动的有效手段，以及研究流体力学问题的理论基础。
例如，空气动力学中的空气阻力和飞机的升力问题，人体心血管中的心脏血流问题等。
3.量子力学量子力学是研究微观领域中物质和辐射相互作用的理论。
物质微观结构的研究离不开数学建模。
数学建模通过建立粒子波模型、玻尔兹曼方程、薛定谔方程等数学模型，刻画了量子力学中纠缠态、湍流等领域。
三、数学建模的意义数学建模对于物理学的发展和进步是至关重要的。
通过数学建模与计算机模拟，研究人员可以模拟和分析实验难以达到的现象和情况；同时可以通过数学建模，模拟和分析在不同环境下的物理过程，从而优化物体的设计和材料的选择，以及预测物体在不同条件下的行为情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
波线与网格交线长度的计算
i=j 以外的情况 PiQj 决定的直线方程：
(j - i）y = 6(x-40(i-1))
单元(k,l)右边缘直线方程 x = 40k
(k,l)
波线与单元(k,l)右边缘对应交点的y坐标为 y2ijkl = 240(k+1-i)/(j-i)， 其中 l-1≤ 6(k+1-i)/(j-i)≤ l
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型。列出计 算步骤，对以下数据进行计算 ( 方向角误差不超过 0.01度 )，要求 飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。 设该区域4个顶点坐标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。 记录数据为： 飞机编号 横坐标x 纵坐标y 方向角(度) 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新进入 0 0 52 注：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。
数模竞赛中部分几何物理问题解析
谭劲英
14/07/18
1. CUMCM-1995A： 一个飞行管理问题 2. CUMCM-2000D： 空洞探测
3. CUMCM-2010A： 储油罐的变位识别与罐容表标定
CUMCM-1995A：一个飞行管理问题
在约 10000m 高空的某边长 160km 的正方形区域内，经常有 若干架飞机作水平飞行，区域内每架飞机的位置和速度向量均 由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区 域的飞机到达边界区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并 判断是否会与其区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计 算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角，以避免碰撞。 现假设条件如下： 1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km； 2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度； 3)所有飞机飞行速度均为每小时为800km； 4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距 离应在 60km以上； 5)最多考虑6架飞机； 6)不必考虑飞机离开此区域后的状况。
优化模型（拟合／回归）
若没有误差： tij =pij /v1+qij/v2
同理：
7 7 t ij aij bijkl xkl / v1 bijkl xkl / v 2 k,l 1 k,l 1
7 7 ij aij cijkl xkl / v1 cijkl xkl / v2 k,l 1 k,l 1
i 1 6
| i | 最大调整量最小： Min imax 1,..., 6
CUMCM-2000D：空洞探测
山体隧道坝体等的某些内部结构可用弹性波测量 来确定。简化问题可叙述为，一块均匀介质构成的矩 形平板内有一些充满空气的空洞。 在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源，在 他们的对边对等地安放同样多的接收器，记录弹性波 由每个波源到达对边上每个接收器的时间。根据弹性 波在介质和在空气中不同的传播速度来确定板内空洞 的位置。
两架飞机不碰撞的条件
初始位置：( x
0 i
, y ),
0 i
0 i
i i0 i
t 0 x x i i vt cos i , 时刻t飞机的位置： t 0 y y i , i vt sin i
2 两架飞机的距离（平方）：rij (t ) ( x ti x tj )2 ( y ti y tj )2
D
Q4
C
S6
R3
A
P2
B
TP=(tij)
tij P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 Q1 Q2 Q3 .0611 .0895 .1996 .0989 .0592 .4413 .3052 .4131 .0598 .3221 .4453 .4040 .3490 .4529 .2263 .3807 .3177 .2364 .4311 .3397 .3566 Q4 .2032 .4318 .4153 .0738 .1917 .3064 .1954 Q5 .4181 .4770 .4156 .1789 .0839 .2217 .0760 Q6 .4923 .5242 .3563 .0740 .1768 .0939 .0688 Q7 .5646 .3805 .1919 .2122 .1810 .1031 .1042
波线与网格交线长度的计算
记波源Pi与接收器Qj 决定的 波线与每个单元（ k ， l ）的 交线长度为bijkl
6 5
4 3 2
(k,l)
i=j 时，
1 1 2 3 4 5 6
bijkl
40, 如果k i j 1 或 k 1 i j 7; 20, 如果k i j 或 k 1 i j，且2 k 5;
波线与网格交线长度的计算
i=j 以外的情况 PiQj 决定的直线方程：
(k,l)
(j - i）y = 6(x-40(i-1))
单元(k,l)下边缘直线方程 y = 40(l-1)
波线与单元(k,l)下边缘对应交点的y坐标为 y3ijkl = 40(l-1)， 其中 0≤ 6(i-k)-(i-j)(l-1)≤ 6
波线与网格交线长度的计算
i=j 以外的情况 PiQj 决定的直线方程：
(k,l)
(j - i）y = 6(x-40(i-1))
单元(k,l)上边缘直线方程 y = 40l
波线与单元(k,l)上边缘对应交点的y坐标为 y4ijkl = 40l， 其中 0≤ 6(i-k)-(i-j)l≤ 6
波线与网格交线长度的计算
Ri Sj A Pi Pj B
2
bijkl
D E F
Qj G
C dyijkl
(k,l)
a
ij
240 (i j ) 240 6
2
波线与网格交线长度的计算
由对称性，RiSj与单元(k,l)的交线长度 ci,j,k,l= bj,i,l,7-k
优化模型（拟合／回归）
参量、变量：
i=j 以外的情况 交线在y轴的投影长度 (交点条件最多只有2个成立) dyijkl= max(y1ijkl ,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl) - min(y1ijkl ,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl) 由相似三角形关系 bijkl = aij dyijkl / 240 i=j 也成立
题目中已假设“弹性波沿板边缘的传播速度与 在介质中的传播速度相同”。观测数据的最大绝对 误差为d=0.025秒。可以认为，0.025*320 = 8 (米） 以下的空洞是探测不出的。
假设
1. 观测数据有测量误差。观测数据除测量误差外是可 靠的。 2. 波在传播过程中沿直线单向传播，且不考虑波的反 射、折射以及干涉等现象。 3. 空气密度和介质密度都均匀。 4. “弹性波”在传播过程中没有能量损失。其波速仅与 介质有关，且在同一均匀介质中波速不变。弹性波 沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。 5. 假设平板可划分化为网格，空洞定位于每个网格单 元内，空洞大小大致相同。
xkl：单元(k,l)是否为空洞(1：是；0：否)
aij：波源 Pi与接收器 Qj，或 Ri与Sj 之间的距离
Pij：经过介质的长度,
pij aij qij aij bijkl xkl
k,j
k,l 1
b
7
ijkl
xkl
tij (同样 ij): 传播时间观测值
i
0
整理： f ij (t ) zij bij zij cij . 其中：
2
fij(t)的最小值 (- bij2 / 4 + cij ) ；此时
t bij 4v si n
* ij
i j
2
.
不碰撞条件的等价表述
* 若tij 0
fij(t) 大于等于０肯定成立
* 若tij Tij fij(t) 大于等于０等价于 fij (Tij ) 0
具体问题： 一块 240(米)×240(米) 的平板ABCD： 在AB 边等距地设置 7 个波源Pi (i=1,…,7)，在 CD 边等距地设置7个接收器Qj (j=1,…,7)，记录由 Pi 发出的弹性波到达 Qj 的时间 tij(秒) ； 在AD 边等距地设置 7 个波源Ri (i=1,…,7)，在 BC 边等距地设置7个接收器Sj (j=1,…,7)，记录由 Ri 发出的弹性波到达 Sj 的时间 τij(秒)。 已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为 2880(米 /秒 )和 320(米 /秒 )，且弹性波沿板边缘的传播 速度与在介质中的传播速度相同。
若0 t Tij fij(t) 大于等于０等价于 f ij (t ij ) 0
* ij
*
2 bij 4cij 0,
最后，优化模型为
其他目标： 初始位置与方向角： ( xi0 , yi0 ),i0 调整后的方向角：i i0 i 总的调整量最小： Min i .
不碰撞条件： f ij (t ) rij2 (t ) 64 0 （0 ≤ t ≤Tij） Ti为第i架飞机飞出区域的时刻：
飞机飞出区域的时刻
不必考虑在区域外的碰撞！
两架飞机都在区域中的时间：Tij min( Ti , Tj ) 具体来看，第i架飞机在区域内的时间：
D x i0 D yi0 yi0 3 , if 0 i , tan i or i 2 , tan i , 0 0 v cos 2 D x 2 D x i i i D y0 D yi0 D yi0 i , if 0 i , tan i or i , tan i , 0 0 v si n 2 D x 2 x i i i Ti 0 0 0 x i , if , tan D yi or 3 , tan yi , i i i i v cos i 2 x i0 2 x i0 yi0 yi0 3 3 yi0 v si n , if i 2 , tan i x 0 or 2 i 2 , tan i D x 0 i i i