根轨迹绘制的基本准则
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4-2根轨迹绘制的基本法则
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同学们，头昏了吧？
j
j
j
0
j j 0 0
14
0
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
作业
• • • • 4 －1 4－3（1）（2） 4—4（1） 4-8(1)
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
15
4 3 2 * s 5 s 8 s 6 s k 0 2）渐近线。由于n m 4 ，故有四条渐近线， a 1.25 a 45 , 135 应用劳思判据
3）确定分离点。
1 0 i 1 d pi
n
s4 1 s3 5 s 2 34 / 5 s1 (204 25 K * ) / 34 s0 K*
R( s )
K * ( s 1) s( s 2)( s 3)
C ( s)
j
a (2k 1)180o / (3 1) 90o
a (0 2 3) (1) / (3 1) 2
（4）分离点（用试探法求解）
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3 d 2.47
5)利用模值条件，可得分离点的根轨迹增益
2 4 . 75 7 . 25 K d* i 1 16.37 |d z| 15 .25 i
| d p |
3
所以，当
2015-1-28
K * 16.37
系统输出产生振荡
4-2根轨迹绘制的基本法则 13
根轨迹示例
j
j j 0
j
j j
4-2根轨迹绘制的基本法则
12
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3, K * (s 20) G( s) z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2 s ( s 24 s 144 ) 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线. 180 12 12 (20) 90 2 2 2 1 2 1 4）确定分离点。 d d 12 d 20 试探法：d=-4.75
4-2 绘制根轨迹的基本法则.
6
证明：角度的简单证明
sK 无穷远处的一个闭环特征根
与有限零点和有限极点所成
角度相同，都设为
a a
a atga
相角条件
ma na (2k 1)
a
(2k 1)
mn
根轨迹对称于实轴，也可写为
(2k 1)
nm
交角有n-m个，交点只有一个
7
【例4.2.1】一个系统开环传递函数为
135
根轨迹的复平面部分是以 零点到分离点距离为半径 的圆周的一部分
Imaginary Axis
例4.2.3 2.5
2
1.5
1
135°
0.5
d=-3.414
p1=-1+j
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
23
法则7：根轨迹与虚轴的交点
j
j 1
i 1
s z1 s z2 360 或0 s z1 s p1
s p1 s p2 360 或0
z1
p1
s p3 180 s z3 0
z3
z2
s
p3 0
s p2
s z2 p2
5
开环零点用○表示
一条根轨迹起于p1, 终止于z1
其他三条终止于无 穷远处
Imaginary Axis
=-1.67
p3=-1+j
0
p2=-4
z1=-1 p1=0 p4=-1-j
2绘制根轨迹的基本法则
K
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
绘制根轨迹的基本法则
虚根。故可在闭环特征方程中令 s = jω ，然后分别令方程的实部和虚部均为零，从中求得 交点的坐标值及其相应的 K ∗ 值。此外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应 K ∗ 值下处于临 界稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的 K ∗ 值。此处的根轨迹
增益称为临界根轨迹增益。
例 4-4 某单位反馈系统开环传递函数为
1221)π n−m
⎨ ⎪
n
m
∑ p j − ∑ zi
⎪σ ⎩
a
=
j =1
i =1
n−m
（ k =0，±1，±2，… n − m − 1）
（4-12）
证明 （1）渐近线的倾角ϕa ：假设在无穷远处有闭环极点 s* ，则 s 平面上所有从开 环零点 zi 和极点 p j 指向 s* 的向量相角都相等，即 ∠(s* − zi ) = ∠(s* − p j ) = ϕa ，代入相角
件式（4-9）改写为
∏ ∏ K * =
n
| (s −
j =1
pj)|
=
s n−m
n
|1−
j =1
pj s
|
m
∏| (s − zi ) |
i =1
∏m | 1 − zi |
i =1
s
(4-11)
可见，当 s = p j 时，K * = 0 ；当 s = zi 时，K * → ∞ ；当| s | → ∞ 且 n ≥ m 时，K * → ∞ 。 法则 2 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数 m 、开环
（4-16） （4-17）
于是有
∑ ∑ n
1
m
=
1
j=1 s − p j i=1 s − zi
增益称为临界根轨迹增益。
例 4-4 某单位反馈系统开环传递函数为
1221)π n−m
⎨ ⎪
n
m
∑ p j − ∑ zi
⎪σ ⎩
a
=
j =1
i =1
n−m
（ k =0，±1，±2，… n − m − 1）
（4-12）
证明 （1）渐近线的倾角ϕa ：假设在无穷远处有闭环极点 s* ，则 s 平面上所有从开 环零点 zi 和极点 p j 指向 s* 的向量相角都相等，即 ∠(s* − zi ) = ∠(s* − p j ) = ϕa ，代入相角
件式（4-9）改写为
∏ ∏ K * =
n
| (s −
j =1
pj)|
=
s n−m
n
|1−
j =1
pj s
|
m
∏| (s − zi ) |
i =1
∏m | 1 − zi |
i =1
s
(4-11)
可见，当 s = p j 时，K * = 0 ；当 s = zi 时，K * → ∞ ；当| s | → ∞ 且 n ≥ m 时，K * → ∞ 。 法则 2 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数 m 、开环
（4-16） （4-17）
于是有
∑ ∑ n
1
m
=
1
j=1 s − p j i=1 s − zi
根轨迹绘制的基本法则
i =1
m
(1− qz j ) = 0
j =1
m
当 K → 时，等价方程为： qn−m (1− qz j ) = 0 j =1
qi = 0, i = 1, 2, n − m
qj
=
1 zj
,
j = 1, 2,
m
上述等价方程的根对应于
si → , i = 1, 2, n − m s j = z j , j = 1, 2, m
第四章 根轨迹法（第二讲）
绘制根轨迹的基本法则
1
根轨迹法则介绍
1、首先讨论负反馈系统在开环增益 K 或根轨迹增益 K 变 化时的根轨迹的绘制法则，又称常规根轨迹的绘制法则; 2、当其他参数变化时，只要适当变换，常规根轨迹的法 则仍然可用；
3、虽然用这些法则绘制的根轨迹不够精确，但基本可以 满足工程上的应用；
i =1
s = pi , i = 1, 2, n
即当根轨迹增益为零时，开环极点就是闭环极点，所以，根轨迹
起始于开环极点。
5
(2) 根轨迹的终点
n
m
(s − pi ) + K (s − z j ) = 0
i =1
j =1
令s = 1， 得等价方程： q
1 K
n
(1− qpi ) + qn−m
R(s)
0 K
1. 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数
C(s) G(s)
H (s)
当开环根轨迹增益变化时，共有n个极点在复平面上移动， 共形成n条轨迹。所以，根轨迹的分支数等于开环极点的个数。
2. 根轨迹是连续的且对称于实轴
在开环零、极点确定的情况下，闭环特征根是开环根轨迹 增益的连续函数。由于特征方程的系数是实数，所以特征根或 是实数，或是共轭复数，即根轨迹对称于实轴。
m
(1− qz j ) = 0
j =1
m
当 K → 时，等价方程为： qn−m (1− qz j ) = 0 j =1
qi = 0, i = 1, 2, n − m
qj
=
1 zj
,
j = 1, 2,
m
上述等价方程的根对应于
si → , i = 1, 2, n − m s j = z j , j = 1, 2, m
第四章 根轨迹法（第二讲）
绘制根轨迹的基本法则
1
根轨迹法则介绍
1、首先讨论负反馈系统在开环增益 K 或根轨迹增益 K 变 化时的根轨迹的绘制法则，又称常规根轨迹的绘制法则; 2、当其他参数变化时，只要适当变换，常规根轨迹的法 则仍然可用；
3、虽然用这些法则绘制的根轨迹不够精确，但基本可以 满足工程上的应用；
i =1
s = pi , i = 1, 2, n
即当根轨迹增益为零时，开环极点就是闭环极点，所以，根轨迹
起始于开环极点。
5
(2) 根轨迹的终点
n
m
(s − pi ) + K (s − z j ) = 0
i =1
j =1
令s = 1， 得等价方程： q
1 K
n
(1− qpi ) + qn−m
R(s)
0 K
1. 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数
C(s) G(s)
H (s)
当开环根轨迹增益变化时，共有n个极点在复平面上移动， 共形成n条轨迹。所以，根轨迹的分支数等于开环极点的个数。
2. 根轨迹是连续的且对称于实轴
在开环零、极点确定的情况下，闭环特征根是开环根轨迹 增益的连续函数。由于特征方程的系数是实数，所以特征根或 是实数，或是共轭复数，即根轨迹对称于实轴。
第四章 (2)根轨迹法(绘制法则)
mn mn
为偶数
为奇数
l 0,1,2,
⑸ 与实轴交点：
dk 0 ds
以
⑹ 出射角、入射角：
(2l 1)
替换 (2l 1)
⑺ 与虚轴交点： s j 代入相角条件
PP.149 例19 主根轨迹，辅助根轨迹 PP.151 例20 多环反馈系统根轨迹：PP.155
Re[1 G( j ) H ( j )] 0 1 G( j ) H ( j )] 0 Im[
② 劳斯判据第二种特殊情况
法则10:闭环极点和与积
si a1
(1) si an
n i 1
n
i 1
n
例1 负反馈
GH
K ( s 2) s 2 ( s 3)(s 2 2s 2)
k 1
n
A
k
K ( s k zi ) s k ( s k si )
i 1 ik i 1 n
闭环系统的阶跃响应由什么决定?
二、系统零、极点分布与阶跃响应的关系 1 、稳定性 :
闭环极点应分布在S平面的左半. 2 、快速性: 1)极点远离虚轴; 3 、平稳性: 2)极点之间的距离较大;
z (2l 1) ( zk zi ) ( zk p j )
k
m
n
i 1 ik
j 1
法则7 根轨迹的分离点：
n 1 1 i 1 d z i i 1 d p i m
法则9
根轨迹与虚轴交点
① s j 代入 G(s) H (s) 1 0
6. 时滞系统根轨迹
G (s)
H (s)
e s
绘制根轨迹的基本原则
绘制根轨迹的基本原则绘制根轨迹是控制工程中常用的一种方法，它可以帮助我们分析系统的稳定性，相当于一个工程师的眼睛。
根轨迹是由根的轨迹组成的，而系统的根是指其特征方程的根。
特征方程是由系统的传递函数确定的，因此我们可以通过绘制特征方程的根轨迹来分析系统的动态性态。
绘制根轨迹的基本原则有以下几点。
1. 系统根轨迹的数量等于系统特征方程的根的数量。
这是因为每个根对应着系统中一个极点。
2. 根轨迹的起点和终点都在实轴上。
这是因为特征方程的根只有实数或成对的共轭复数根。
3. 根轨迹要从左侧的极点开始。
如果存在多个极点，则从最左侧的极点开始。
如果没有极点，则从传递函数的实轴交点开始。
4. 根轨迹要向右边的极点或者方向稳定，如果两个虚根前后交叉，则会出现不稳定性。
在解决此问题是，需要重新绘制，或者调整参数，使出现前后交叉的根跑到不相交的区域。
5. 当相邻两根的虚部相等时，其插值点在实轴上。
这个时候，由于两个根的插值点处于实轴上，因此根轨迹向这个点的方向发生了变化。
6. 根轨迹需要跨越系统的实轴部分。
无论极点的数量、位置以及根轨迹的线路，都必须穿过右半平面。
7. 根轨迹的末端，必须落到无限远点。
<1>｛1｝</1>因此，通过这几个基本原则，我们可以绘制出系统的根轨迹。
然而，在实际的工程中，我们会遇到许多不同的情况，例如系统传递函数变化、加入控制器等。
这时候，我们需要灵活应对，对基本原则进行微调，以便更好地分析系统的动态特性。
总结来说，根轨迹能够帮助工程师更好地了解控制系统的动态特性，这有助于他们进行有效的控制和优化。
在绘制根轨迹的过程中，需要严格遵循基本原则，同时对特殊情况进行灵活调整。
自动控制_04c根轨迹绘制的基本法则
→
d s( s 1)( s 2)s d 0 ds
d 3 s 3s 2 2s s d 0 ds
→
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
→
(3s 2 6s 2)sd 0
从而得
d1 0.422, d 2 1.578
由第4点知 d 2 不是根轨迹上的点，故舍去。因此我们可 最后画出根轨迹如图4-9所示。
a1 b1 (1 ) s
→
1 nm
a1 b1 1 ( n m) s
1 1 a1 b1 n a b s(1 ) m s[1 1 1 ] ( K ) nm s (n m) s
→
a1 b1 s K (n m)
1 nm
e
( 2 k 1) j nm
必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件，也就是 说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。
实轴上分离点的位置可用重根法和极值法求得。
1）重根法
N (s) G ( s) H ( s) K 1 K D( s) ( s pi )
* j 1 n i 1 *
(s z j )
时，可得
( j 1,2,, m) 所以根轨迹必终于开环零点。
实际系统中，m n ，因此有 n m 条根轨迹的终点将 在无穷远处。的确，当 s 时，
s zj
K lim
i 1 s m
s pi s zj
j 1
n
lim s
s
nm
具有有限值的零点为有限零点，处于无穷远处的零点叫无限零点,则 根轨迹必终于开环零点。这时，开环零点数和开环极点数相等。
4.2根轨迹的绘制原则
，分别
当
时，特征方程根的极限位置就是根轨迹的终点。
根据根轨迹的基本方程：
（1）根轨迹有m支的终点在m个有限零点处。
（2）n-m 条根轨迹终止于无穷远处。
4、实轴上的根轨迹
结论：实轴上某试验点右侧的的开环实数零、 极点的个数为奇数时，则它在根轨迹上。
例1：系统的开环传函为 试绘制系统根轨迹图。
例2：系统的开环传函为
试绘制系统根轨迹图。
5.根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点。
（1）倾角：设 为根轨迹上无穷远处的一点 ，则s平面上所
有的开环有限零点和极点到
角
的相角都相等，即为渐近线的倾
。代入根轨迹的相角条件得：
(2k 1) a , (k 0,1, n m 1) nm
六、根轨迹的分离点、会合点；
结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和 终点等性质画出根轨迹。
例5：系统的开环传函为 试绘制该系统完整的根轨迹图。
例6：系统的开环传函为 试绘制该系统完整的根轨迹图。
j 1 i 1 i l
m
n
zl 180 zl pi zl z j
i 1 j 1 j l
n
m
根轨迹作图步骤
一、标注开环极点和零点，确定分支数；
二、实轴上的根轨迹； 三、n-m条渐近线； 四、根轨迹的出射角、入射角； 五、根轨迹与虚轴的交点；
方程至少有一对共轭虚根。
பைடு நூலகம்
在闭环特征方程中令
为零即可求出 和 。
，然后使特征方程的实、虚部
例4：开环传递函数为：
，试求根轨迹与
虚轴的交点和
根轨迹基本法则
根轨迹基本法则
根轨迹基本法则是指描述系统根轨迹的一些基本规律和性质。
以下是根轨迹基本法则的几个方面：
1. 根轨迹的数量：系统的根轨迹的数量等于系统开环传递函数的极点数目。
2. 根轨迹的起点和终点：系统的根轨迹始于开环传递函数的极点，终于开环传递函数的零点。
3. 根轨迹在实轴上的分布：系统的根轨迹在实轴上的分布与开环传递函数的极点有关。
具体规律为，对于系统的每个开环传递函数的极点，根轨迹在实轴上的分布有一个部分位于左侧，一个部分位于右侧，并且左侧的根轨迹数量减去右侧的根轨迹数量等于极点的数量。
4. 根轨迹的稳定性：系统的根轨迹稳定性与开环传递函数的极点有关。
如果系统的开环传递函数的极点都位于左半平面（实轴的左侧），则根轨迹是稳定的；如果系统的开环传递函数存在极点位于右半平面（实轴的右侧），则根轨迹是不稳定的。
5. 根轨迹的方向：根轨迹通常从一个极点开始，然后按照一定方向延伸。
具体方向取决于开环传递函数的极点和零点的相对位置。
总的来说，根轨迹基本法则描述了系统的根轨迹的数量、起点和终
点、在实轴上的分布、稳定性和方向等基本性质。
这些规律可以帮助我们分析和设计控制系统的稳定性和动态性能。
根轨迹绘制的基本原则
上有一分离点：d
1
2
d
1 1
1 j d 1 j
即 d 2 4d 2 0 解得：d 3.414 ，d 0.586 （舍去）
作出该系统的根轨迹如下图所示：
2020/7/10
15
复数根轨迹图在复平面上是圆的一部分
-3.414 -2
2020/7/10
-1+j
-1-j
16
【法则6】 根轨迹的起始角和终止角
2020/7/10
3
• 【法则2】 根轨迹的分支数与开环零点 数 m、开环极点数 n 中的大者相等，连 续并对称于实轴。
2020/7/10
4
•【法则3】.根轨迹的渐近线：
• 当n>m时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角
为 a , 交点为 a 的一组渐近线趋向无穷远处。
根轨迹的渐进线可由下式而定：
4.2 绘制常规根轨迹的法则（不证明）
一般来说，绘制根轨迹时可以选择系统的任意参数作为可 变参数，但实际系统中最常用的可变参数是系统的开环根轨 迹增益 K *，因此以系统开环根轨迹增益为可变参数绘制的跟 轨迹就称为常规根轨迹。
本节讨论绘制常规根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法。 熟练地掌握这些法则，可以方便快速地绘制系统的根轨迹。 当然，这些法则同样也适应于系统其他参数作为可变参数时 的情况。
9
【法则5】 根轨迹的分离点与分离角：
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点， 称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d 是下列方程的解：
m
1
n
1
i1 d zi j1 d p j
分离点
B
z p2 Ap1
实轴上的分离点有以下两个特点: (1) 若实轴上两个相邻的极点或两个相邻的零点之间的区段有 根轨迹, 则这两相邻点之间必有一个分离点。这两个相邻的极 点或两个相邻的零点中有一个可以是无限极点或零点.
绘制根轨迹的基本法则
时，
【例5.6】计算开环传递函数
的根轨迹在实轴上的分离点 解：1.由系统特征方程：
2.求
，即
得：
不在实轴上的根轨迹段内， 舍去。
在实轴上的根轨迹段内， 继续判断；位于两开环极 点间，是分离点。
3. 求对应的根轨迹增益：
将
代入K式：
4. 分离角： 5. 根轨迹：
Im
3
2
K 3.0789
1
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
三、根轨迹与虚轴的交点
根轨迹可能跨过虚轴进入S右半平面；系统 从稳定变为不稳定；
根轨迹在虚轴上的交点，对应闭环系统的 临界稳定；
交点处是一对纯虚根，利用劳斯判据第二 种特例的原理计算。
3
2
1
Im
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
【例5.8】计算开环传递函数
一、根轨迹的渐近线
渐近线的数量：系统有n个开环极点，m个 开环零点时，需要n-m条渐近线。 渐近线和根轨迹一样，关于实轴对称。 渐近线在实轴上有一个共同的交点：
所有开环极点的和 - 所有开环零点的和 n-m
渐近线的发散角度： 小窍门：
【例5.5】已知3阶系统的开环传递函数，
请绘制根轨迹的起点和终点、根轨迹在实轴上 的段落、根轨迹的渐近线。 解：1. 根轨迹的起点，对应开环极点，n=3：
1.分离点：根轨迹相遇后离开实轴的点 如a点，对应根轨迹增益局部最大值；
2.会合点：根轨迹相遇后回到实轴的点 如b点，对应根轨迹增益的局部最小值
【例5.6】计算开环传递函数
的根轨迹在实轴上的分离点 解：1.由系统特征方程：
2.求
，即
得：
不在实轴上的根轨迹段内， 舍去。
在实轴上的根轨迹段内， 继续判断；位于两开环极 点间，是分离点。
3. 求对应的根轨迹增益：
将
代入K式：
4. 分离角： 5. 根轨迹：
Im
3
2
K 3.0789
1
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
三、根轨迹与虚轴的交点
根轨迹可能跨过虚轴进入S右半平面；系统 从稳定变为不稳定；
根轨迹在虚轴上的交点，对应闭环系统的 临界稳定；
交点处是一对纯虚根，利用劳斯判据第二 种特例的原理计算。
3
2
1
Im
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
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1
Re
【例5.8】计算开环传递函数
一、根轨迹的渐近线
渐近线的数量：系统有n个开环极点，m个 开环零点时，需要n-m条渐近线。 渐近线和根轨迹一样，关于实轴对称。 渐近线在实轴上有一个共同的交点：
所有开环极点的和 - 所有开环零点的和 n-m
渐近线的发散角度： 小窍门：
【例5.5】已知3阶系统的开环传递函数，
请绘制根轨迹的起点和终点、根轨迹在实轴上 的段落、根轨迹的渐近线。 解：1. 根轨迹的起点，对应开环极点，n=3：
1.分离点：根轨迹相遇后离开实轴的点 如a点，对应根轨迹增益局部最大值；
2.会合点：根轨迹相遇后回到实轴的点 如b点，对应根轨迹增益的局部最小值
自动控制原理根轨迹绘制的基本准则
G (s) = K (τ s + 1) s (Ts + 1) (τ > T > 0)
试确定根轨迹的分支数及起点、终点。 解：将开环传递函数改写成
) K (τ s + 1) τ G (s) = = 1 s (Ts + 1) s(s + ) T
Thursday, August 26, 2010
k (s +
1
其中
k＝
τK T
6
开环传递函数分母多项式最高阶次n=2，所以根轨迹分支数为2。 开环极点有两个： P1 = 0 开环零点有一个：
1 P2 = T 1
Z1 =
1 。其中一条根轨迹终 根轨迹起始于开环极点，即起始于0和 T 1 ，另一条终止于无穷远处。 止于开环零点，即
τ
τ
j
×
Thursday, August 26, 2010
Thursday, August 26, 2010
8
③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的 相角为0°；
z1
p2
说明：左侧实数极点的存在不影响相角条件。
④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量 的相角为180°；
× s s
2
× × p
p3
1
× p
4
1
s
3
z2
所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[p2 , p1]为实轴上的根轨迹。 再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。 同样s3点也不是根轨迹上的点。
(2k + 1)π θd = l
(k = 0,1,L , l 1)
Thursday, August 26, 2010
15
试确定根轨迹的分支数及起点、终点。 解：将开环传递函数改写成
) K (τ s + 1) τ G (s) = = 1 s (Ts + 1) s(s + ) T
Thursday, August 26, 2010
k (s +
1
其中
k＝
τK T
6
开环传递函数分母多项式最高阶次n=2，所以根轨迹分支数为2。 开环极点有两个： P1 = 0 开环零点有一个：
1 P2 = T 1
Z1 =
1 。其中一条根轨迹终 根轨迹起始于开环极点，即起始于0和 T 1 ，另一条终止于无穷远处。 止于开环零点，即
τ
τ
j
×
Thursday, August 26, 2010
Thursday, August 26, 2010
8
③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的 相角为0°；
z1
p2
说明：左侧实数极点的存在不影响相角条件。
④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量 的相角为180°；
× s s
2
× × p
p3
1
× p
4
1
s
3
z2
所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[p2 , p1]为实轴上的根轨迹。 再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。 同样s3点也不是根轨迹上的点。
(2k + 1)π θd = l
(k = 0,1,L , l 1)
Thursday, August 26, 2010
15
第2讲根轨迹绘制的基本原则
解：开环零点为-1.5，-2+j，-2-j 开环极点为 0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.5
1). 实轴上(-，-2.5]，[-1.5，0]为根轨迹
2). 根轨迹有4条分支： 始于0，-2.5， -0.5+j1.5，-0.5-j1.5； 终于-1.5，-，-2+j，-2-j；
3). 无分离点。
求K1 =8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程：
34 5
s2
K1
0
令 s j
得： 1.1
[例]开环传递函数为：
的交点和 K gp 。
Gk(s)s(s1K)g(s5)，试求根轨迹与虚轴
方法一：闭环系统的特征方程为：
F ( s ) s ( s 1 )s ( 5 ) K g s 3 6 s 2 5 s K g 0
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
p3
根据对称性，可知 p2 点的出射角为：2c 26.6
请根据相角条件自行计算。
[注意]： 相角要注意符号：逆时针为正，顺时针为负。
注意矢量的方向。p 2 p 1 , p 1
例.设系统开环传递函数为：
G (s) K *(s 1 .5 )s(2j)s(2j) s(s2 .5 )s( 0 .5j1 .5 )s( 0 .5j1 .5 )
所以 3 1 ( 2 k 8 1 ) 0 ( 1 1 3 . 4 8 5 9 ) 0 7 . 6 1
同理不难求得极点-p4处的起始角：4 71.6 终止角在无穷远处。
(5) 根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求
特征方程 ：s4 5 s3 8 s26 sK 10
s j (4 82 K 1) j(-5 3 6) 0
1). 实轴上(-，-2.5]，[-1.5，0]为根轨迹
2). 根轨迹有4条分支： 始于0，-2.5， -0.5+j1.5，-0.5-j1.5； 终于-1.5，-，-2+j，-2-j；
3). 无分离点。
求K1 =8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程：
34 5
s2
K1
0
令 s j
得： 1.1
[例]开环传递函数为：
的交点和 K gp 。
Gk(s)s(s1K)g(s5)，试求根轨迹与虚轴
方法一：闭环系统的特征方程为：
F ( s ) s ( s 1 )s ( 5 ) K g s 3 6 s 2 5 s K g 0
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
p3
根据对称性，可知 p2 点的出射角为：2c 26.6
请根据相角条件自行计算。
[注意]： 相角要注意符号：逆时针为正，顺时针为负。
注意矢量的方向。p 2 p 1 , p 1
例.设系统开环传递函数为：
G (s) K *(s 1 .5 )s(2j)s(2j) s(s2 .5 )s( 0 .5j1 .5 )s( 0 .5j1 .5 )
所以 3 1 ( 2 k 8 1 ) 0 ( 1 1 3 . 4 8 5 9 ) 0 7 . 6 1
同理不难求得极点-p4处的起始角：4 71.6 终止角在无穷远处。
(5) 根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求
特征方程 ：s4 5 s3 8 s26 sK 10
s j (4 82 K 1) j(-5 3 6) 0
根轨迹法4.2
其一: s zi (i 1, 2...m)
其二: 是在n>m时,只有当s →∞时
结论: 根轨迹的起点为系统的开环极点或无穷远点;
根轨迹的终点是系统的开环零点或无穷远点
Monday, February 24,
2
2020
法则2. 根轨迹的分支数和对称性
根轨迹分支数等于开环极点数和开环零
点数中的大者,根轨迹连续且对称实轴.
线方向的夹角称为分离角
(2k 1)
l
k 0,1L l 1
(1)若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或 开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。 （2）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。
Monday, February 24,
4
2020
法则6 根轨迹的起始角和终止角
-8 -6 -4 -2 0 2
12
2020
[例]开环传递函数为：
Gk
(s)
s[( s
Kg 4)2
，画根轨迹。
1]
解：⒈求出开环零极点，即： p1 0，p2,3 4 j
⒉实轴上的根轨迹：(－∞，0]
⒊渐近线
0 4 4 j 4 4 j 8 2.67
60 ，2c 60
s3
8s2
64 3
s
Kg
0
将 s j 代入得：82 Kgp 0
，
3 64 0
3
Monday, Februar0y ,24,
2020
64 4.62 3
K gp 0 ,
512 3
15
⒍求分离会合点：由特征方程 8
其二: 是在n>m时,只有当s →∞时
结论: 根轨迹的起点为系统的开环极点或无穷远点;
根轨迹的终点是系统的开环零点或无穷远点
Monday, February 24,
2
2020
法则2. 根轨迹的分支数和对称性
根轨迹分支数等于开环极点数和开环零
点数中的大者,根轨迹连续且对称实轴.
线方向的夹角称为分离角
(2k 1)
l
k 0,1L l 1
(1)若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或 开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。 （2）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。
Monday, February 24,
4
2020
法则6 根轨迹的起始角和终止角
-8 -6 -4 -2 0 2
12
2020
[例]开环传递函数为：
Gk
(s)
s[( s
Kg 4)2
，画根轨迹。
1]
解：⒈求出开环零极点，即： p1 0，p2,3 4 j
⒉实轴上的根轨迹：(－∞，0]
⒊渐近线
0 4 4 j 4 4 j 8 2.67
60 ，2c 60
s3
8s2
64 3
s
Kg
0
将 s j 代入得：82 Kgp 0
，
3 64 0
3
Monday, Februar0y ,24,
2020
64 4.62 3
K gp 0 ,
512 3
15
⒍求分离会合点：由特征方程 8
绘制根轨迹的基本法则
4.2 绘制根轨迹的基本法则本节讨论根轨迹增益*K （或开环增益K ）变化时绘制根轨迹的法则。
熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。
法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有)(m n -条根轨迹终止于无穷远处。
根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益0=*K 和∞→时的根轨迹点。
将幅值条件式（4-9）改写为∏∏∏∏==-==--=--=mi inj j mn m i i nj jsz sp sz s ps K 1111*|1||1||)(||)(|(4-11)可见当s=j p 时，0*=K ；当s=i z 时，∞→*K ；当|s|∞→且m n ≥时，∞→*K 。
法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m 、开环极点数n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在s 平面上的变化轨迹。
因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。
实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有m n ≥。
所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。
实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。
因此根轨迹必然对称于实轴。
由对称性，只须画出s 平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。
特征方程中的某些系数是根轨迹增益*K 的函数，*K 从零连续变到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。
法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
设系统开环零、极点分布如图4-5 所示。
图中，0s 是实轴上的点，)3,2,1(=i i ϕ是各开环零点到0s 点向量的相角，)4,3,2,1(=j j θ是各开环极点到0s 点向量的相角。
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有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。
Sunday, September
22, 2019
2
根轨迹的起点和终点
当 Kg 时，① s zi (i 1 ~ m) ，上式成立。 zi 是开环传递
函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m
个有限零点处。②若n>m，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在
Moive)代数定理(cosq +j sinq )n= cos(nq )+j sin(nq )，上式可写为
x
jy an1 bm1 nm
K
1 nm g
cos
(2k n
1)
m
j
sin
(2k n
1)
m
x
an1 bm1 nm
1
K
nm g
cos (2k 1)
数。
4、根轨迹的起点和终点：
根轨迹方程为：m (s zi )
i 1
n
(s p j )
1 Kg
j 1
K g 0 时为起点，Kg 时为终点。
当 Kg 0 时，只有 s p j ( j 1 ~ n) 时，上式才能成立。而 p j
是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统
j 1 m
Kg
(s zi )
n
i 1
(s p j )
j 1
m
(s zi )
sn an1sn1 a1s a0 sm bm1sm1 b1s b0
Kg
i 1
n
式中 Sunday, Seapntem1ber
nm
nm
m
an1 bm1
p j zi
j 1
i1
p j zi
j 1
i1
nm
nm
nm
这是与实轴交点为－，斜率为 tg (2k 1) 的直线方程。也就
nm
是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角为
bm1
)
Kg
两边开n-m次方
s(1
an1
bm1
1
) nm
s
1
(Kg ) nm
利用二项式定理
(1 x)K 1 Kx K (K 1) x2 K (K 1)(K I 1) xI
2!
I!
(1 x 1)
当 x 1时，(1 x)K 1 Kx ，令 x an1 bm1 ， K 1
s
nm
s(1
Sunday, September
1 nm
an1
bm1 ) s
1
(K g ) nm
22, 2019
5
根轨迹的渐近线
s
an1 bm1 nm
1
(K g ) nm
设s=x+jy, 利用－1=cos(2k+1)π+j sin(2k+1)π，并根据德莫弗(De
nm
y
1
K
nm g
sin
(2k 1)
nm
y
tg (2k 1)
x an1 bm1
nm
nm
Sunday, September
22, 2019
6
根轨迹的渐近线
y tg (2k 1) x an1 bm1 tg (2k 1) x
无穷远处。 由根轨迹方程知：当 s 时
m
(s zi )
根轨迹方程左边 lim
s
i1 n
lim
s
nm
1
0
(s p j )
(s pj )
j 1
根轨迹方程右边 lim 1 0
j 1
Kg K g
我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点 的个数等于极点数。
nm
30
渐近线与实轴的倾角： q (2k 1) 60,180
2、根轨迹的对称性：
一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭 复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。
Sunday, September
22, 2019
1
根轨迹的支数和起始点
3、根轨迹的支数： n阶特征方程有n个根。当 Kg 从0到无穷大变化时，n个根在
复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶
根轨迹的连续性和对称性
用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通 过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线 和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨 迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数 Kg 的180度 根轨迹的性质。
1、根轨迹的连续性：
闭环系统特征方程的某些系数是增益 K g的函数。当K g从0到 无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续 变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。
那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？
Sunday, September
22, 2019
3
根轨迹的渐近线
5.根轨迹的渐近线：
若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益 Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹 趋向无穷远的方位可由渐近线决定。
由根轨迹方程可得： n
(s p j )
pj
m
，bm1 zi
22, 2019
j 1
i 1
4
根轨迹的渐近线
snm (an1 bm1)snm1 Kg
当Kg→∞，由于m<n，故s→∞满足根轨迹方程，上式近似为
snm (an1 bm1)snm1 Kg
snm
(1
an1
s
q (2k 1)
nm
k 0,1,2
180
0
n m 1
Sunday, September 22, 2019
90
90 0 nm2
180 60
0
n m 3 60
180
45
45 0
nm4
7
[例4-2]系统开环传递函数为：Gk (s)
s(s
Kg 1)( s
5)
，试确定根
轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴
的交点和倾角。
[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点 p1 0, p2 1, p3 5, 无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。
渐近线与实轴的交点： pi zi 1 5 2
Sunday, September
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2
根轨迹的起点和终点
当 Kg 时，① s zi (i 1 ~ m) ，上式成立。 zi 是开环传递
函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m
个有限零点处。②若n>m，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在
Moive)代数定理(cosq +j sinq )n= cos(nq )+j sin(nq )，上式可写为
x
jy an1 bm1 nm
K
1 nm g
cos
(2k n
1)
m
j
sin
(2k n
1)
m
x
an1 bm1 nm
1
K
nm g
cos (2k 1)
数。
4、根轨迹的起点和终点：
根轨迹方程为：m (s zi )
i 1
n
(s p j )
1 Kg
j 1
K g 0 时为起点，Kg 时为终点。
当 Kg 0 时，只有 s p j ( j 1 ~ n) 时，上式才能成立。而 p j
是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统
j 1 m
Kg
(s zi )
n
i 1
(s p j )
j 1
m
(s zi )
sn an1sn1 a1s a0 sm bm1sm1 b1s b0
Kg
i 1
n
式中 Sunday, Seapntem1ber
nm
nm
m
an1 bm1
p j zi
j 1
i1
p j zi
j 1
i1
nm
nm
nm
这是与实轴交点为－，斜率为 tg (2k 1) 的直线方程。也就
nm
是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角为
bm1
)
Kg
两边开n-m次方
s(1
an1
bm1
1
) nm
s
1
(Kg ) nm
利用二项式定理
(1 x)K 1 Kx K (K 1) x2 K (K 1)(K I 1) xI
2!
I!
(1 x 1)
当 x 1时，(1 x)K 1 Kx ，令 x an1 bm1 ， K 1
s
nm
s(1
Sunday, September
1 nm
an1
bm1 ) s
1
(K g ) nm
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根轨迹的渐近线
s
an1 bm1 nm
1
(K g ) nm
设s=x+jy, 利用－1=cos(2k+1)π+j sin(2k+1)π，并根据德莫弗(De
nm
y
1
K
nm g
sin
(2k 1)
nm
y
tg (2k 1)
x an1 bm1
nm
nm
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根轨迹的渐近线
y tg (2k 1) x an1 bm1 tg (2k 1) x
无穷远处。 由根轨迹方程知：当 s 时
m
(s zi )
根轨迹方程左边 lim
s
i1 n
lim
s
nm
1
0
(s p j )
(s pj )
j 1
根轨迹方程右边 lim 1 0
j 1
Kg K g
我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点 的个数等于极点数。
nm
30
渐近线与实轴的倾角： q (2k 1) 60,180
2、根轨迹的对称性：
一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭 复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。
Sunday, September
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根轨迹的支数和起始点
3、根轨迹的支数： n阶特征方程有n个根。当 Kg 从0到无穷大变化时，n个根在
复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶
根轨迹的连续性和对称性
用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通 过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线 和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨 迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数 Kg 的180度 根轨迹的性质。
1、根轨迹的连续性：
闭环系统特征方程的某些系数是增益 K g的函数。当K g从0到 无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续 变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。
那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？
Sunday, September
22, 2019
3
根轨迹的渐近线
5.根轨迹的渐近线：
若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益 Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹 趋向无穷远的方位可由渐近线决定。
由根轨迹方程可得： n
(s p j )
pj
m
，bm1 zi
22, 2019
j 1
i 1
4
根轨迹的渐近线
snm (an1 bm1)snm1 Kg
当Kg→∞，由于m<n，故s→∞满足根轨迹方程，上式近似为
snm (an1 bm1)snm1 Kg
snm
(1
an1
s
q (2k 1)
nm
k 0,1,2
180
0
n m 1
Sunday, September 22, 2019
90
90 0 nm2
180 60
0
n m 3 60
180
45
45 0
nm4
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[例4-2]系统开环传递函数为：Gk (s)
s(s
Kg 1)( s
5)
，试确定根
轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴
的交点和倾角。
[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点 p1 0, p2 1, p3 5, 无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。
渐近线与实轴的交点： pi zi 1 5 2