九年级数学上册第1章一元二次方程单元综合测试题(含解析)(新版)苏科版

第1章一元二次方程一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列方程中是一元二次方程的是( )A．（x﹣1）（3+x）=5B．x2+﹣=0C．y2+2x+4=0D．4x2=（2x﹣1）22．已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4=0是一元二次方程，则k的值应为( ) A．±3B．3C．﹣3D．不能确定3．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于( )A．1B．2C．1或2D．04．一元二次方程（x﹣2）2=9的两个根分别是( )A．x1=1，x2=﹣5B．x1=﹣1，x2=﹣5C．x1=1，x2=5D．x1=﹣1，x2=55．用配方法解方程x2﹣6x+5=0，配方的结果是( )A．（x﹣3）2=1B．（x﹣3）2=﹣1C．（x+3）2=4D．（x﹣3）2=46．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )A．m＜2且m≠1B．m＞2C．m＜﹣2D．m＜27．某种药品经过两次降价由原来的每盒12.5元降到每盒8元，如果2次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，可列出的方程为( )A．12.5（1+x）2=8B．12.5（1﹣x）2=8C．12.5（1﹣2x）=8D．8（1+x）2=12.58．对于一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0），下列说法中错误的是( )A．当a＞0，c＜0时，方程一定有实数根B．当c=0时，方程至少有一个根为0C．当a＞0，b=0，c＜0时，方程的两根一定互为相反数D．当abc＜0时，方程的两个根同号，当abc＞0时，方程的两个根异号二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．若x=2是方程x2+3x﹣2m=0的一个根，则m的值为__________．10．若方程（x+3）2+a=0有解，则a的取值范围是__________．11．当x=__________时，代数式（3x﹣4）2与（4x﹣3）2的值相等．12．方程x（x+2）=（x+2）的根为__________．13．写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是__________．14．若一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等实数根，则m的取值范围__________．15．已知x=﹣1是方程x2﹣2mx+3m﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是__________．16．已知α、β是方程x2+2x﹣1=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为__________．17．若x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两实根，则的值等于__________．18．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是__________．三、解答题（本大题共10小题，共86分）19．用指定方法解下列一元二次方程（1）3（2x﹣1）2﹣12=0（直接开平方法）（2）2x2﹣4x﹣7=0（配方法）（3）x2+x﹣1=0（公式法）（4）（2x﹣1）2﹣x2=0（因式分解法）20．选择适当的方法解下列一元二次方程（1）（3y﹣2）2=（2y﹣3）2（2）（x+）（x﹣）=0（3）﹣3x2+4x+1=0（4）（2x﹣1）2﹣2x+1=0．21．k为何值时，方程x2﹣（k﹣2）x+9=0有两个相等的实数根；并求出这时方程的根．22．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．23．已知关于x的方程（1+k）x2﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若α、β是方程（1+k）x2﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0的两个不相等的实数根，试求2α+2β﹣3α•β的值．24．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12=0，求m的值．25．已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2﹣1=0，②x2+x﹣2=0，③x2+2x﹣3=0，④x2+3x﹣4=0，…，⑪，…（1）上述一元二次方程的解为①__________，②__________，③__________，④__________．（2）猜想：第n个方程为__________，其解为__________．（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．26．如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？27．某商场销售一批进价为120元的名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件可盈利40元．经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，每天就可多售出2件衬衫．这种衬衫的单价应降价多少元？才能使商场通过销售这批衬衫平均每天盈利1200元．28．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC 向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为S cm2．在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．苏科新版九年级上册《第1章一元二次方程》2015年单元测试卷（江苏省徐州市沛县新华中学）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列方程中是一元二次方程的是( )A．（x﹣1）（3+x）=5B．x2+﹣=0C．y2+2x+4=0D．4x2=（2x﹣1）2【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、是一元二次方程，故A正确；B、是分式方程，故B错误；C、是二元二次方程，故C错误；D、是一元一次方程，故D错误．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4=0是一元二次方程，则k的值应为( ) A．±3B．3C．﹣3D．不能确定【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．【解答】解：由关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4=0是一元二次方程，得|k|﹣1=2且k﹣3≠0．解得k=﹣3．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于( )A．1B．2C．1或2D．0【考点】一元二次方程的一般形式．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．【解答】解：根据题意，知，，解方程得：m=2．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．4．一元二次方程（x﹣2）2=9的两个根分别是( )A．x1=1，x2=﹣5B．x1=﹣1，x2=﹣5C．x1=1，x2=5D．x1=﹣1，x2=5【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】两边直接开平方可得x﹣2=±3，然后再解一元一次方程即可．【解答】解：（x﹣2）2=9，两边直接开平方得：x﹣2=±3，则x﹣2=3，x﹣2=﹣3，解得：x1=﹣1，x2=5．故选：D．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．5．用配方法解方程x2﹣6x+5=0，配方的结果是( )A．（x﹣3）2=1B．（x﹣3）2=﹣1C．（x+3）2=4D．（x﹣3）2=4【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】把常数项5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣6x+5=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣6x=﹣5，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+9=﹣5+9，配方得（x﹣3）2=4．故选D．【点评】本题考查了配方法，解题的关键是注意：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )A．m＜2且m≠1B．m＞2C．m＜﹣2D．m＜2【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】由关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，可得△＞0且m﹣1≠0，解此不等式组即可求得答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×（m﹣1）×1=8﹣4m＞0，解得：m＜2，∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴m的取值范围是：m＜2且m≠1．故选A．【点评】此题考查了根的判别式．注意△＞0⇔方程有两个不相等的实数根．7．某种药品经过两次降价由原来的每盒12.5元降到每盒8元，如果2次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，可列出的方程为( )A．12.5（1+x）2=8B．12.5（1﹣x）2=8C．12.5（1﹣2x）=8D．8（1+x）2=12.5【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是12.5（1﹣x），第二次后的价格是12.5（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：根据题意得：12.5（1﹣x）2=8．故选B．【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．8．对于一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0），下列说法中错误的是( )A．当a＞0，c＜0时，方程一定有实数根B．当c=0时，方程至少有一个根为0C．当a＞0，b=0，c＜0时，方程的两根一定互为相反数D．当abc＜0时，方程的两个根同号，当abc＞0时，方程的两个根异号【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac的符号分别判断方程根的情况即可．【解答】解：A、当a＞0，c＜0时，△=b2﹣4ac＞0，则方程一定有实数根，故本选项错误；B、当c=0时，则ax2+bx=0，则方程至少有一个根为0，故本选项错误；C、当a＞0，b=0，c＜0时，方程两根为x1，x2，x1+x2=﹣=0，则方程的两根一定互为相反数，故本选项错误；D、当abc＜0时，方程的两个根同号，当abc＞0时，方程的两个根异号，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9．若x=2是方程x2+3x﹣2m=0的一个根，则m的值为5．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=2代入已知方程得到关于m的新方程，通过解新方程求得m的值即可．【解答】解：把x=2代入，得22+3×2﹣2m=0，解得：m=5．故答案是：5．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．10．若方程（x+3）2+a=0有解，则a的取值范围是a≤0．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【专题】计算题．【分析】这个式子先移项，变成（x+3）2=﹣a，再根据方程（x+3）2+a=0有解，则﹣a是非负数，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵方程（x+3）2+a=0有解，∴﹣a≥0，则a≤0．【点评】本题考查了解一元二次方程，一个数的平方一定是非负数．11．当x=x1=﹣1，x2=1时，代数式（3x﹣4）2与（4x﹣3）2的值相等．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】因式分解．【分析】代数式（3x﹣4）2与（4x﹣3）2的值相等，则可得到一个一元二次方程，然后移项，套用公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）进行因式分解，利用因式分解法即可得到x的值．【解答】解：由题意得，（3x﹣4）2=（4x﹣3）2移项得，（3x﹣4）2﹣（4x﹣3）2=0分解因式得，[（3x﹣4）+（4x﹣3）][（3x﹣4）﹣（4x﹣3）]=0解得，x1=﹣1，x2=1．故答案为：x1=﹣1，x2=1．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．12．方程x（x+2）=（x+2）的根为x1=1，x2=﹣2．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】将x+2看作整体，先移项，再提公因式，求解即可．【解答】解：x（x+2）﹣（x+2）=0，（x+2）（x﹣1）=0，x+2=0或x﹣1=0，x=﹣2或1．故答案为：x1=﹣2，x2=1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，是基础知识比较简单．13．写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是x2﹣5x+6=0．【考点】根与系数的关系．【专题】开放型．【分析】由方程的根为3和2，得到两根之和为5，两根之积为6，写成方程即可．【解答】解：根据题意得到两根之和为2+3=5，两根之积为2×3=6，则所求方程为x2﹣5x+6=0．故答案为：x2﹣5x+6=0．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．14．若一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等实数根，则m的取值范围m＜且m≠1．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】由一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等实数根，可得△=b2﹣4ac＞0且m≠0，解此不等式组即可求得答案．【解答】解：∵一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等实数根，∴△=b2﹣4ac=42﹣4×m×5=16﹣20m＞0，解得：m＜，∵m≠0，∴m的取值范围为：m＜且m≠1．故答案为：m＜且m≠1．【点评】此题考查了根的判别式．注意△＞0⇔方程有两个不相等的实数根．15．已知x=﹣1是方程x2﹣2mx+3m﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是3．【考点】根与系数的关系．【分析】把x=﹣1代入方程x2﹣2mx+3m﹣6=0得出关于m的方程，求得m，进一步利用根与系数的关系得出方程的另一根即可．【解答】解：把x=﹣1代入方程x2﹣2mx+3m﹣6=0得1+2m+3m﹣6=0，解得：m=1，原方程为x2﹣2x﹣3=0，∵﹣1+x2=2，则x2=3，∴方程的另一个根是3．故答案为：3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程根的定义．16．已知α、β是方程x2+2x﹣1=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为﹣1．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】根据方程的根的定义，以及根与系数之间的关系，即可得到α2+2α﹣1=0，α+β=﹣2，根据α2+3α+β=α2+2α+α+β即可求解．【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣1=0的两个实数根，∴α2+2α﹣1=0，α+β=﹣2．∴α2+2α=1∴α2+3α+β=α2+2α+α+β=1﹣2=﹣1．故答案是：﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程根的定义．17．若x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两实根，则的值等于﹣5．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系得到x1+x2=﹣3，x1•x2=﹣3，然后变形原代数式为原式==，再代值计算即可．【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两实根，∴x1+x2=﹣3，x1•x2=﹣3．∴原式====﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．18．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是无实数值．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先根据判别式的意义可判断m＜，再根据根与系数的关系得到α+β=﹣（2m﹣3），αβ=m2，接着由+=﹣1变形得到（α+β）2=αβ，则（2m﹣3）2=m2，解得m=3或m=1，然后根据m＜，可判断m无实数值．【解答】解：根据题意得△=（2m﹣3）2﹣4m2＞0，解得m＜，α+β=﹣（2m﹣3），αβ=m2，∵+=﹣1，∴α2+β2=﹣αβ，∴（α+β）2=αβ，∴（2m﹣3）2=m2，解得m=3或m=1，∵m＜，∴m无解．故答案为无实数值．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．三、解答题（本大题共10小题，共86分）19．用指定方法解下列一元二次方程（1）3（2x﹣1）2﹣12=0（直接开平方法）（2）2x2﹣4x﹣7=0（配方法）（3）x2+x﹣1=0（公式法）（4）（2x﹣1）2﹣x2=0（因式分解法）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程利用配方法求出解即可；（3）方程利用公式法求出解即可；（4）方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：（1）3（2x﹣1）2﹣12=0，移项，得 3（2x﹣1）2=12，两边都除以3，得（2x﹣1）2=4，两边开平方，得2x﹣1=±2，移项，得2x=1±2，解得：x1=，x2=﹣；（2）2x2﹣4x﹣7=0，两边都除以2，得x2﹣2x﹣=0，移项，得x2﹣2x=，配方，得x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，解得：x﹣1=±，即x1=1+，x2=1﹣；（3）x2+x﹣1=0，这里a=1，b=1，c=﹣1，∵b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣1）=5，∴x=，解得：x1=，x2=；（4）（2x﹣1）2﹣x2=0，方程左边因式分解，得（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）=0，即（3x﹣1）（x﹣1）=0，解得：x1=，x2=1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．20．选择适当的方法解下列一元二次方程（1）（3y﹣2）2=（2y﹣3）2（2）（x+）（x﹣）=0（3）﹣3x2+4x+1=0（4）（2x﹣1）2﹣2x+1=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】（1）方程利用直接开平方法求出解即可；（2）方程利用因式分解法求出解即可；（3）方程利用因式分解法求出解即可；（4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：（1）（3y﹣2）2=（2y﹣3）2，两边开平方，得3y﹣2=2y﹣3或3y﹣2=3﹣2y，解得：y1=﹣1，y2=1；（2）（x+）（x﹣）=0，可得（x+）（x﹣）=0，即x+=0或x﹣=0，解得：x1=﹣，x2=；（3）﹣3x2+4x+1=0这里a=﹣3，b=4，c=1，∵b2﹣4ac=42﹣4×（﹣3）×1=28，∴x==，解得：x1=，x2=；（4）（2x﹣1）2﹣2x+1=0，原方程可化为（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）=0，左边因式分解，得（2x﹣1）（2x﹣1﹣1）=0，可得2x﹣1=0或2x﹣2=0，解得：x1=，x2=1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．21．k为何值时，方程x2﹣（k﹣2）x+9=0有两个相等的实数根；并求出这时方程的根．【考点】根的判别式．【分析】由方程x2﹣（k﹣2）x+9=0有两个相等的实数根；可得△=b2﹣4ac=0，即可求得k的值，将k代入原方程，解方程即可求得这时方程的根．【解答】解：∵方程 x2﹣（k﹣2）x+9=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=[﹣（k﹣2）]2﹣4×1×9=k2﹣4k+4﹣36=k2﹣4k﹣32=0，∴k1=8，k2=﹣4．当k=8时，原方程为 x2﹣6x+9=0，解得 x1=x2=3．当k=﹣4时，原方程为 x2+6x+9=0，解得 x1=x2=﹣3．【点评】此题考查了根的判别式以及一元二次方程的解法．注意△=0⇔方程有两个相等的实数根．22．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．【考点】一元二次方程的解．【专题】整体思想．【分析】把x=m代入方程中得到关于m的一元二次方程，由方程分别表示出m2﹣m和m2﹣2，分别代入所求的式子中即可求出值．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，∴m2﹣m﹣2=0，∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，∴原式===2×2=4．【点评】此题考查学生理解一元二次方程解的意义，掌握整体代入的数学思想，是一道综合题．23．已知关于x的方程（1+k）x2﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若α、β是方程（1+k）x2﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0的两个不相等的实数根，试求2α+2β﹣3α•β的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）由关于x的方程（1+k）x2﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0有两个不相等的实数根，即可得△＞0且1+k≠0，解此不等式组即可求得答案；（2）由α、β是方程（1+k）x2﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，可得α+β=﹣=，α•β=，继而求得答案．【解答】解：（1）∵关于x的方程（1+k）x2﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×（1+k）×（k﹣1）=﹣4k+5＞0，∴k＜，∵1+k≠0，∴k≠﹣1，∴k的取值范围为：k＜且k≠﹣1；（2）∵若α、β是方程（1+k）x2﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0的两个不相等的实数根，∴α+β=﹣=，α•β=．∴2α+2β﹣3α•β=2（α+β）﹣3α•β=2×﹣3×=﹣===1．【点评】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．24．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12=0，求m的值．【考点】根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．【专题】压轴题．【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m 的不等式，求出m的取值范围．（2）给出方程的两根，根据所给方程形式，可利用一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2（m+1），代入且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12=0，即可解答．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）=16+8m＞0，解得：m＞﹣2；（2）根据根与系数的关系可得：x1+x2=2（m+1），∵（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12=0，∴[2（m+1）]2﹣2（m+1）﹣12=0，解得：m1=1或m2=﹣（舍去）∵m＞﹣2；∴m=1．【点评】根据方程的根的情况即可得到关于未知系数的不等式，转化为结不等式的问题，另外（2）把求未知系数的问题，根据一元二次方程的根与系数的关系即可转化为方程的问题．25．已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2﹣1=0，②x2+x﹣2=0，③x2+2x﹣3=0，④x2+3x﹣4=0，…，⑪，…（1）上述一元二次方程的解为①x1=1，x2=﹣1，②x1=1，x2=﹣2，③x1=1，x2=﹣3，④x1=1，x2=﹣4．（2）猜想：第n个方程为x2+（n﹣1）x﹣n=0，其解为x1=1，x2=﹣n．（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．【考点】一元二次方程的解．【分析】（1）用十字相乘法因式分解可以求出它们的根．（2）由（1）找出规律，写出方程，解方程求出方程的根．（3）根据（1）、（2）可以写出它们的共同特点．【解答】解：（1）①（x+1）（x﹣1）=0，∴x1=1，x2=﹣1．②（x+2）（x﹣1）=0，∴x1=1，x2=﹣2．③（x+3）（x﹣1）=0，∴x1=1，x2=﹣3．④（x+4）（x﹣1）=0，∴x1=1，x2=﹣4．（2）由（1）找出规律，可写出第n个方程为：x2+（n﹣1）x﹣n=0，（x﹣1）（x+n）=0，解得x1=1，x n=﹣n．（3）这n个方程都有一个根是1；另一个根是n的相反数；a+b+c=0；b2﹣4ac=（n+1）2；都有两个不相等的实数根；两个根异号．故答案是：（1）①x1=1，x2=﹣1．②x1=1，x2=﹣2．③x1=1，x2=﹣3．④x1=1，x2=﹣4．（2）x2+（n﹣1）x﹣n=0；x1=1，x2=﹣n．（3）这n个方程都有一个根是1；另一个根是n的相反数；a+b+c=0；b2﹣4ac=（n+1）2；都有两个不相等的实数根；两个根异号．【点评】本题考查的是用因式分解法解方程，用十字相乘法因式分解求出方程的根，然后找出规律，写出第n个方程，求出第n个方程的根，并写出它们的共同特点．26．如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设宽为xm，则长为m，然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．【解答】解：设宽为x m，则长为m．由题意，得 x•=48，解得 x1=4，x2=6．当x=4时，20﹣2×4=12＞9（舍去），当x=6时，20﹣2×6=8．答：围成矩形的长为8m、宽为6m．【点评】此题是利用一元二次方程解决实际问题，解题关键是找到关键描述语，从而找到等量关系准确的列出方程．27．某商场销售一批进价为120元的名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件可盈利40元．经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，每天就可多售出2件衬衫．这种衬衫的单价应降价多少元？才能使商场通过销售这批衬衫平均每天盈利1200元．【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】设衬衫的单价应下降x元．则每天可售出件，每件盈利（40﹣x）元．再根据相等关系：每天的获利=每天售出的件数×每件的盈利；列方程求解即可．【解答】解：设这种衬衫的单价应降价x元，根据题意，得（40﹣x）=1200，解得：x1=10，x2=20．答：这种衬衫的单价应降价10元或20元，才能使商场平均每天盈利1200元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找到题目的相等关系：每天的获利=每天售出的件数×每件的盈利是解答本题的关键．28．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC 向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为S cm2．在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】在矩形ABCD中求出对角线AC的长度，然后表示出CQ、PC的长度，过点P作PH⊥BC于点H，然后在Rt△PHC中表示出PH的长度，根据面积为3.6cm2，列方程求解．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AB=6cm，BC=8cm，∴AC=10cm，AP=2tcm，PC=（10﹣2t）cm，CQ=tcm，过点P作PH⊥BC于点H，则PH=（10﹣2t）cm，根据题意，得t•（10﹣2t）=3.6，解得：t1=2，t2=3．答：△CQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，表示出CQ、PC的长度，求出三角形的面积，然后解方程．。