常数项级数审敛法

n 1 n 1
绝对收敛与收敛 有以下重要关系 :
n1

定理7 若级数 un 绝对收敛 , 则级数 un 必定收敛.
n 1
证
( 即绝对收敛的级数必定收敛 )
1 vn ( un un ) ( n 1 , 2 , ) 2 显然 v n 0 , 且 v n un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
n 1 n 1 n 1 n 1
(1) 若 vn 收敛, 则 un 收敛. (2) 若 un 发散, 则 vn 发散.

证
(1)
设 v n , 因为 un v n
n 1

且 sn u1 u2 un v1 v2 vn
n
则级数收敛, 且和 s u1 ,其余项rn的绝对值 | rn | un1 . 莱布尼茨 (Leibniz) (德) 1646–1716
注

用莱布尼茨定理判别交错级数
n 1 ( 1 ) un( un 0) 是否收敛时, 要考察un与un+1大小, n 1
比较un与un+1大小的方法有三种:
v
n 1 n 1
n
收敛

u
n 1
n
收敛

(3) 当 时，
v
n
发散
u
n 1
n
发散
1 例3. 判别级数 sin 的收敛性 . （P258,例3） n n 1
解:
1 sin n lim
n

1 n
1 比较审敛法的极限形式,
级数发散.
π 判定级数 1 cos 的敛散性 . n n 1 π 1 cos x0 n 2 解 lim 1 x n π 2 1 cos x～ n 2 2 p 2的p 级数 2 1 π 1 2 1 而级数 π 2 收敛 2 n 1 n 2 n 1 n
n 1
(2) 若{sn}有上界, 即sn (正常数 ) lim sn s .
n
定理1
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
正项级数收敛 部分和所成的数列 sn 有界.
1 例 判定 2 n 1 的敛散性. n 1

1 1 解 由于 2n 1 n , 故级数的部分和 2
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
4. 比较审敛法的极限形式 定理3
un , 设 un与 v n都是正项级数 , 若 lim n v n 1 n 1 n




(1) 当 0 时， 级数 具有相同的敛散性

u
n 1
n
与
v
n 1
n

(2) 当 0 时，
即部分和数列有界.
所以 un 收敛.
n 1
证 (2)
设 sn ( n )
且 un vn
则 n sn 不是有界数列

所以
vn 发散 n 1
定理证毕.
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 讨论 p 级数 1 1 1 1 p p p 的收敛性. ( p 0) 2 3 n （P257,例1） 1 1 用比较审敛法 解 (1) 设p 1, p n n 1 1 1 则p 级数 p 发散. 当k 1 x k时, 有 p p k x n 1 n k k 1 1 1 (2) 设p 1, p k 1 p dx p dx ( k 2, 3,) k 1 k k x 前n项的和 前n项的和 n n n 1 k 1 1 sn 1 p 1 d x 1 p dx p k 1 1 x x k 2 k k 2 2 1 3 1 n 1 1 p dx p dx dx p 1 x 2x n 1 x
1 调和级数 发散 n 1 n

正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界
1 1 1 1 sn 1 p d x 1 (1 p1 ) 1 1 x p1 n p1 ( n 2,3,) 1 即sn有界, 则p 级数 p 收敛.( p 1) n 1 n
§12. 2 常数项级数的审敛法
正项级数及其审敛法 交错级数及其审敛法
绝对收敛与条件收敛
一、正项级数及其审敛法
1. 定义

un n 1
un 0 正项级数
2. 收敛的充要条件
s1 s2 sn
这时, 只可能有两种情形:
单调增加数列

(1) 当n 时, sn . 级数 un必发散 .
un1 1 (1) 比值法 ? un
0 (2) 差值法 un un1 ?
(3) 由un找出一个连续可导函数 f (x),
使un f ( n) ( n 1,2,) 考察 f ( x ) ?0
例8 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 ( 1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1 1n 1 1) ! 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 n 收敛 1n 2) 1 (1) n 10 2! 3! 4! n! n!
令
un 2 vn un

n 1


n 1
un ,
2v
n 1
n
收敛

u 也收敛
n n 1
任意项级数 sin n 例10 判别级数 2 的敛散性. （P265,例9） n 1 n

当p 1时, 收敛 , 当p 1时, 发散 .

例2. 证明级数 证: 因为

n 1
1 n( n 1)
发散 . （P257,例2）
1 n ( n 1)


1 = ( n 1, 2,） 2 n 1 ( n 1)
1
1 1 发散 而级数 n 1 n 1 k 2 k
1 1 1 1 2 n! n n 1 1 1 . n! 1 1 ( n 1)( n 1)! n
n! 例5. 判定级数 n 的收敛性. n 1 10

（P260,例5）
解
un1 ( n 1)! 10n lim lim n 10 n 1 n u n! n
则
(1) ρ < 1时, 级数收敛； (2) ρ > 1 ( 包括 ρ = ) 时, 级数发散； (3) ρ = 1 时, 可能收敛也可能发散.
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
1 例 级数 发散, n 1 n ( 1) 1 级数 2 收敛 , n 1 n
1 1 1 sn 2 n 21 2 1 2 1 1 1 1 1 2 n 1 n 1 2 2 2 2 由定理1知, 该正项级数收敛.
这个例启示我们:判定一个正项级数的敛散性, 可与另一个已知敛散性的正项级数比较来确定.
3. 比较审敛法 定理2
若 0 un vn , 则
n
当p 1时, 收敛 , p 级数 当p 1时, 发散 .
使用正项级数的比较判定法时, 需要知道 一些级数的敛散性, 作为比较的标准. 常用的比较级数
当 q 1时, 收敛 , (1) 几何级数 aq n 0 当 q 1时, 发散 .
n
1 (2) p-级数 p n 1 n
任意项级数 un , un可正, 可负, 可0.
n 1
思想是:
n 1

任意项级数

正项级数
若| un |收敛 , 则称 un为 绝对收敛.
n 1

若 | un | 发散 , 而 un 收敛 则称 un为 条件收敛.
n 1
n 1
n 1



若 | un | 收敛 , 则称 un为 绝对收敛.
π 故级数 1 cos 收敛. n n1


达朗贝尔,1717–1783, 法国数学家、力学家、哲学家 5.比值审敛法(达朗贝尔 D, Alembert判定法) 利用级数本身来进行判别.

定理4
设 un ( un 0)
n 1
un1 lim n u n
级数收敛.

例7. 判别级数 n 1(1 cos
n 1பைடு நூலகம்

n
) 的收敛性. （P261,例8）
解:
n 1(1 cos lim
n

n
)
1 n
3 2
1 2 ～ 1 cos x x 2 12 n1 2 1 2 2 n lim n 1 2
n
3 2
级数收敛.
1 2 3 4 n 1 n 3) (1) 收敛 10 10 2 103 10 4 10 n
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散

1 2) ; n 1 n !
收敛

n 3) n . n 110
收敛

( 1)n n 的收敛性. 例9 判别级数 n1 n 2
二 、交错级数及其审敛法
定义

正、负项相间的级数称为 交错级数.
n 1
n 1 n ( 1 ) u 或 ( 1 ) un (其中un 0) n n 1
定理6 (莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件: (1) un un 1 ( n 1,2,3, );