【勾股定理】之专题—能力提升训练与解析

【典型例题】类型一、勾股定理的应用例1、如图所示，在多边形ABCD 中，AB ＝2，CD ＝1，∠A ＝45°，∠B ＝∠D ＝90°，求多边形ABCD 的面积．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，∠A ＝45°，2AC =，31AB =+，求BC的长．例2、已知直角三角形斜边长为2，周长为26+，求此三角形的面积．例3、如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6例4、如图所示，在一棵树的10m 高的B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另外一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【巩固练习】 一.选择题1．如图，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（ ）A ．51-B ．51-+C ．51+D ．52．若直角三角形的三边长分别为3，4，x ，则x 的值为( )A.5B.7C.5或7D.73. 如图所示，折叠矩形ABCD 一边，点D 落在BC 边的点F 处，若AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，EC 的长为（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，矩形AOBC 中，点A 的坐标为（0，8)，点D 的纵坐标为3，若将矩形沿直线AD 折叠，则顶点C 恰好落在边OB 上E 处，那么图中阴影部分的面积为（ ） A. 30 B ．32 C ．34 D ．165．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线1l ，2l ，3l 上，且1l ，2l 之间的距离为2 , 2l ，3l 之间的距离为3 ,则AC 的长是（ ）A ．172B ．52C ．24D ．76.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12则, △ABC的周长为（）A.42B.32C.42或32D.37或33二.填空题7．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．8. 如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为__________cm.5 的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，这样的点C 9．如图，在5共个．10.如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为__________.11. 已知长方形ABCD，AB＝3cm，AD＝4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_______________.12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是1234S S S S ，，，，则1234S S S S +++=______．三.解答题13. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的中线，AD ＝210，BE ＝5，求AB 的长．14. 现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求： 在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.15. 将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB ＝2，P 是AC 上的一个动点． （1）当点P 在∠ABC 的平分线上时，求DP 的长； （2）当点PD ＝BC 时，求此时∠PDA 的度数.一.选择题1.【答案】A ；【解析】－1所表示的点到点A 的距离为5，OA 的距离为51-.2.【答案】C ；【解析】x 可能是直角边，也可能是斜边.3.【答案】A ； 【解析】设CE ＝xcm ，则DE ＝(8－x )cm ．在Rt △ABF 中，由勾股定理，得BF ＝2222108AF AB -=-=6cm ．∴ FC ＝10－6＝4(cm )．在Rt △EFC 中，由勾股定理，得222EF EC FC =+，即222(8)4x x -=+．解得3x =．即EC 的长为3cm ．4.【答案】A ；【解析】由题意CD ＝DE ＝5，BE ＝4，设OE ＝x ，AE ＝AC ＝4x +，所以()22284x x +=+，6x =，阴影部分面积为1168433022⨯⨯+⨯⨯=.5.【答案】A ；【解析】如图，分别作CD ⊥3l 交2l 于点E ，作AF ⊥3l ，则可证△AFB ≌△BDC ，则AF ＝3＝BD,BF ＝CD ＝2＋3＝5，∴DF ＝5＋3＝8＝AE ，在直角△AEC 中，勾股定理得AC ＝.6. 【答案】C ；【解析】高在△ABC 内部，第三边长为14；高在△ABC 外部，第三边长为4，故选C.二.填空题 7. 【答案】13或119；【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12也可能是斜边.8. 【答案】25；【解析】设AE ＝EC ＝x ，EB ＝8x -，则()22284x x -+=，解得5x =，过E 点作EH ⊥DC 于H ，EH ＝4，FH ＝5－3＝2，EF ＝224225+=.9. 【答案】8；【解析】如图所示：有8个点满足要求.10.【答案】262；【解析】由勾股定理解得AC ＝32，BC ＝22，222AB AC BC =+，12CD AB =. 11.【答案】78cm ；【解析】连接BE ，设AE ＝x ，BE ＝DE ＝4x -，则()22234x x +=-，78x =. 12．【答案】4；【解析】123413S S S S +=+=，故12344S S S S +++=.三.解答题13.【解析】解：设AE ＝CE ＝x ，CD ＝BD ＝y ，利用Rt △ACD 和Rt △BCE 列方程：2222440425x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得32x y =⎧⎨=⎩， ∴AC ＝6，BD ＝4，∴AB ＝213.14.【解析】解：如图所示：15.【解析】解：（1）连接DP ，作DH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠CAB ＝30°，∴BC ＝１，AC ＝3.∵BP 是∠ABC 的角平分线，∴∠CBP ＝30°，CP ＝33.在Rt △ADC 中，DH ＝AH ＝HC ＝12AC ＝32，HP ＝333236-=，DP＝22223330()()266DH HP +=+=.（2）当PD ＝BC ＝1时，P 点的位置可能有两处，分别为1P ，2P ，在Rt △1DHP 中，221311()22HP =-=，所以∠1HDP ＝30°，∠1P DA ＝30°＋45°＝75°； 同理，∠2P DA ＝45°－30°＝15°. 例一：【答案与解析】解：延长AD 、BC 相交于点E∵ ∠B ＝90°，∠A ＝45°∴ ∠E ＝45°，∴ AB ＝BE ＝2 ∵ ∠ADC ＝90°，∴ ∠DCE ＝45°，∴ CD ＝DE ＝1 ∴ 12222ABE S =⨯⨯=△，111122DCE S =⨯⨯=△． ∴ 13222ABE DCE ABCDS S S =-=-=△△四边形变式练习：【答案】解：过点C 作CD ⊥AB 于D ， 则△ACD 和△BCD 均为直角三角形．在Rt △ACD 中，∠A ＝45°，∴ △ACD 为等腰直角三角形，∴ AD ＝CD ， 由勾股定理，得222AD CD AC +=．又∵2AC =，∴ AD ＝CD ＝1．∴ BD ＝AB －AD ＝3．在Rt △BCD 中，由勾股定理，得222CD BD BC +=，即2221(3)4BC =+=，∴ BC ＝2．例二：【答案与解析】解：设这个直角三角形的两直角边长分别为a b 、，则2222262a b a b ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩ 即2264a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②将①两边平方，得2226aab b ++= ③③－②，得22ab =，所以1122ab =因此这个直角三角形的面积为12．例三：【答案】D ；【解析】解：设AB ＝x ，则AF ＝x ， ∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE ，∴ △ABE ≌△AFE ．BE ＝EF ，EC ＝BC －BE ＝8－3＝5，在Rt △EFC 中，由勾股定理解得FC ＝4， 在Rt △ABC 中，()22284xx +=+，解得6x =.例四【答案与解析】解：设树高CD 为x ，则BD ＝x －10，AD ＝30－(x －10)＝40－x ，在Rt △ACD 中，22220(40)x x +=-，解得：x ＝15．答：这棵树高15m ．举一反三：【答案】解：如图②所示，由题意可得：12AA '=，12392A B π'=⨯⨯= 在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得：22222129225AB AA A B ''=+=+=则AB ＝15cm ． 所以需要爬行的最短路程是15cm ．。