第三章二阶电路讲课
《电路基本分析》课程教学大纲 石生版
«电路基本分析»课程教学大纲课程编号：总学时：80学时适用专业：应用电子技术专业，计算机通信与网络专业。
一．课程性质与任务本课程的任务:研究电路中的电磁现象,探讨电路分析基本规律,介绍电路网络的分析与计算的方法。
适用高职高专“够用”“自学”为原则的教学特点，给后续的技术基础课和专业课打下必要的理论基础。
本课程通过讲课、习题课、课外作业和实验等环节,使学生掌握一定的电工基本技能训练,并培养学生分析解决电路工程问题的能力。
二.教学内容基本要求第一章电路的基本概念和定律[基本要求]1.了解电路的基本功能和电路模型的概念;2.理解并掌握电流和电压关联参考方向得意义与应用;3.理解欧姆定律的物理意义与欧姆定律只适用与线性电阻元件;4.掌握电容、电感元件的伏安关系;5.理解电动律和能量转换的物理意义;6.理解和掌握源理想电压源得定义，电路符号，功能，端口电压，电流关系及其性质;7.掌握基尔霍夫定律(KCL和KVL)。
[重点与难点]1. 重点: （1）电压、电流的参考方向;（2）电阻、电容，电感元件的伏安关系;（3）基尔霍夫定律。
2. 难点：（1）参考方向；（2）功率计算；第二章电阻电路的等效变换法[基本要求]1. 理解电路等效的概念和的变换条件；2. 了解电阻串,并联的等效变换,熟记电阻串联分压公式和并联分流公式;3. 了解电阻星形联结与三角形联结的等效变换,熟记三个电阻的星形和三角形等效变换公式;4. 掌握实际电压源和实际电流源的等效变换;5. 理解受控源的定义, 分类,能够分析和计算和受控源的简单电阻;6. 掌握叠加原理,并会用叠加原理求解电路,了解替代定理;7. 理解和掌握戴维宁定理与诺顿定理并会用两定理求解电路.[重点与难点]1.重点:(1)熟悉电阻串、并、联的等效变换;(2)掌握电阻Y-----△等效互换;(3)熟悉叠加定理.。
2.难点：（1）受控源电路得计算；（2）叠加定理的应用。
9-二阶电路
iL (0 ) iL (0 ) 1A
di L 1 1 1 (0 ) u L (0 ) uC (0 ) 0 0 dt L L L
二阶微分方程求解 对于方程：
d 2 uC duC LC RC uC 0 dt dt
uC (0 ) U 0
du C I0 1 (0 ) iL (0 ) dt C C
u c 的确定，根据回路的方程有
uc u L u R u S ( ) *
duc 将 u R Ri ， i C 和 dt di uL L 代入上式得 dt
LC
d uc dt
2
2
duc RC uc uS dt
考虑初始条件
u c (0) U 0
可以求出。
和
duc dt
di uL L dt
d 2 uC du LC RC C uC 0 dt dt
uC (0 ) uC (0 ) 25V
du C 1 5 (0 ) iL (0 ) 4 5 10 4 dt C 10
对下图电路，列二阶方程及初始值
K 闭合
iL (0 ) 1A
9.3 全响应
二阶电路的全响应是电路在外加激励和初始状态共同作用 下产生的响应。二阶电路的全响应从产生的物理过程来看可
以分解为零输入响应和零状态响应，从数学的角度也可分解
为齐次解和特解。
如图所示串联电路，设电压源在时接入电路，电容、电感的 初始值分别为 u c (0 ) U 0 ，i(0 ) I 0 。 对状态变量
L di iR uC (t ) dt
d 2uC duC LC RC uC (t ) dt dt
电路分析-二阶电路
i(t) C
t
t=0
=
i(0) =?
C
t
iR +
uS
-
L +
C uC
-
两个初始条件 uS = 0 ，uC(0) = ?
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
设 解为 uC(t) = Kest 代入微分方程
d2u LC Cdt2
+
RC
duC d
+
uC
=
0
LCs2Kest + RCsKtest + Kest = 0
=0
i +
uS
-
R
i=
C
duC dt
L +
C uC
-
LC
d2i dt2
+ RC
di d
+i=0
s1 = -2 s2 = -4
t
1 8
d2i dt2
+
3 4
d di
+i=0
d2i dt2
+6
di d
+ 8i = 0
t
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
例 解：(2) 若以iL(t)为求解变量 i R
( LCs2 + RCs + 1 ) Kest = 0
特征方程 LCs2 + RCs + 1 =
特 征0方 程 的 根 （ 固 有 频 率 ）
ax2 + bx +c = 0
- RC (RC)2 s1、 2= ± 24LLC
= -
R 2L
±
(
R 2L
)2
-
《阶电路和二阶电路》课件
详细描述
由于二阶电路具有丰富的动态特性，它被广 泛应用于各种工程领域，如电子、通信和控 制工程。例如，在通信系统中，二阶电路可 以用于滤波、信号处理和振荡器设计；在控 制工程中，二阶电路可以用于模拟控制系统 和自动控制装置。此外，二阶电路还在音频 处理、图像处理和生物医学工程等领域有所
应用。
03
阶电路和二阶电路的比较
阶电路实例分析
01
RC电路的时间常数决定了输出信号达到稳态值的时 间。
02
实例二：RL电路
03
RL电路是阶电路的另一种，由电阻R和电感L组成。
阶电路实例分析
01
当输入信号加在RL电路时，输出 信号同样会随着时间的变化而变 化，最终达到稳态值。
02
RL电路的时间常数决定了输出信 号达到稳态值的时间。
阶电路与二阶电路的未来发展
交叉融合
随着科技的不断发展，阶电路和 二阶电路之间的界限逐渐模糊， 两者之间的交叉融合将成为一个
重要的发展趋势。
绿色环保
随着环保意识的不断提高，未来的 电路将更加注重绿色环保，采用更 加环保的材料和工艺，减少对环境 的负面影响。
智能化升级
随着人工智能和物联网技术的不断 发展，未来的电路将更加智能化， 能够实现更加复杂的功能和应用。
二阶电路实例分析
当输入信号加在RLC并联电路时，输 出信号同样会产生振荡，振荡的频率 和幅度由电路参数决定。
RLC并联电路的阻尼比和自然频率同 样决定了振荡的幅度和频率。
阶电路与二阶电路的实例比较
相同点
阶电路和二阶电路都会对输入信号进行时间上的处理，使输出信号随时间变化而 变化。
不同点
阶电路的输出信号最终会达到稳态值，而二阶电路的输出信号会产生振荡。此外 ，二阶电路具有两个特征频率，分别是自然频率和阻尼比，这些参数决定了振荡 的幅度和频率。
20-二阶电路_741101785
2. 求齐次方程的通解（自由分量）
d 2 uC R duC 1 + + uC = 0 dt 2 L dt LC
0.04H iL uC +
-
R=5Ω
Δ = 5625 > 0
p1 = −25 p2 = −100
+
-
Δ = 625 R 2 − 10000
0.04H iL (t =0) 0.01F R
(t =0) 0.01F R R=4Ω
R=1Ω
Δ = −9375 < 0
p1, 2 = −12.5 ± j48.4
判别式 Δ = b 2 − 4ac = 625 R 2 − 10000
uC ( t ) = Ke −12.5 t sin(48.4t + θ )
3. 求 0+ 初值 uC (0-) = 3V iL (0-) = 0
根据换路定理，有
iL
衰减振荡 非振荡放电 临界阻尼
欠阻尼
tm
讨 论 半 个 周 期 中 能 量 的 关 系
0 ≤ 48.4t ≤ 75.5o
uC 减小， iL 增加
uC
C
L R
75.5o ≤ 48.4t ≤ 104.5o
uC 减小，iL 减小
L C R
周 而 复 始 电 阻 不 断 消 耗 能 量
R＝ 0 + uC LC
uC ( t ) = A1e −50 t + A2 t e −50 t
uC ( t ) = Ke −12.5 t sin( 48.4t + θ )
R=1Ω
⎧ K sin θ = 3 ⇒ K = 3.1 θ = 75.5o ⎨ ⎩ −12.5 K sin θ + 48.4 K cos θ = 0 uC ( t ) = 3.10e −12.5 t sin( 48.4t + 75.5o )V t ≥ 0
二阶电路.ppt
p2e p2t )
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5
湖北工业大学
可以看出电容电压是衰减的指数函数，且因为 p1 ， 所p2以随
着时间的增长，uc中第一项比第二项衰减慢， uc一直为正。图 9-2画出了电容电压、电流和电感电压随时间变化规律的波形。
图9-2 变化波形
动画演示：二阶电路的零 输入响应(RLC串联) 1
duc iL (0 ) I0
dt t0
C
C
对于线性常系数的二阶齐次微分方程，解为二阶电路的零输
入响应，令 uc ，A得e p特t 征方程为
LCp2 RCp 1 0
特征方程的根为
p1,2
R 2L
R
2
1
2L LC
2 2
方程的通解为 uc A1e p1t A2e p2t p1 p2
RLC电路在单位冲激信号作用下的零状态响应叫做冲激响应。 串联电路的冲激响应的求解方法：
方法一 直接利用描述电路的二阶常系数线性非齐次微分方程 求解，即从冲激信号的定义出发，直接计算冲激响应。 t=0瞬 间冲激施加于电路，在t=0＋时建立了初始值，而冲激信号消失， 求零状态响应转换为求零输入响应。
图9-7 二阶阶跃响应电路
根据波形可知，电容电压从单调地衰减为零，说明电容一直 处于放电状态。故这种情况下为非振荡放电过程，或过阻尼情 况。
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6
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i在变化的过程中具有一个极大值imax，设出现在t=tm,时刻， 令
di dt
0,即uL
0
p1e p1tm
p e p2tm 2
0
tm
ln( p2 / p1 ) p1 p2
解 （1） 换路前电路已达稳态，则有
电工学(上)第三章电路的暂态分析讲解
教学要求： 1. 理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状 态响应、全响应的概念，以及时间常数的物 理意义。 2. 掌握换路定则及初始值的求法。 3. 掌握一阶线性电路分析的三要素法。
稳定状态： 在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。
暂态过程： 电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。
一阶电路暂态过程的求解方法 一阶电路
仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性 电路, 且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。
求解方法 1. 经典法: 根据激励(电源电压或电流)，通过求解 电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。
2. 三要素法 求
初始值
稳态值 （三要素） 时间常数
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t =0+时的电流方程中 iL = iL ( 0+)。
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例1．暂态过程初始值的确定
S C R2
已知：换路前电路处稳态，
+ t=0
U
R1
-
L
C、L 均未储能。
试求：电路中各电压和电
流的初始值。
(a)
解：(1)由换路前电路求 uC (0 ), iL(0 )
由已知条件知 uC (0 ) 0, iL(0 ) 0
当电容元件两端加以恒定电压时，其中电 流i为零，故电容元件可视为开路。
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当电容元件两端加以恒定电压时，其中电
流i为零，故电容元件可视为开路。
将式: i dq C du dt dt
两边乘以u，并积分，则得：
t uidt
u Cudu 1 Cu2
二阶电路课件PPT
例7-3 电路如图7-1所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流
的零输入响应。
图7－1 RLC串联二阶电路
解：将R，L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值
s1，2
R 2L
R
2
1
3
2L LC
32 52 3 j4
uC
0
其特征方程为
LCs2 RCs 1 0
其特征根为
s1，2
R 2L
R 2L
2
1 LC
电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当
R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况
1.
R2
L C
时， s1, s2
为不相等的实根。过阻尼情况。
2.
R2
L C
时， s1, s2
为两个相等的实根。临界阻
uC (t) K1est K2test
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。 t=0得到
uC (0) K1
求导，再令得到
duC (t) dt
t 0
K1s K2
iL (0) C
联立求解以上两个方程，可以得到
K1 uC (0)
K2
iL (0) C
s1uC (0)
将 K1, K2的计算结果，代入得到电容电压的零输入
3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出 现在s平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的 正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数 越大，衰减越快。衰减振荡的角频率d 越大，振荡周 期越小，振荡越快。
图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅 的变化范围。
chapter二阶电路gxsPPT课件
在图示电路中，已知
uC(0–)=U0 iL(0–)=I0 求：t≥0时的uC(t) 和i(t)。
(t=0) + uR -
+
uc -
C
i R+ uL L
-
根据KVL，回路电压方程为 uL +uR- uC=0
电路微分方程为:
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
t
uL
0
U
0e
t
13
能量转换关系
U0
uc uC
i
0
U
0e
t
+
0 -
2- 2
0
U
0e
t
0 < t<
uC减小，i 增大
< t < -
uC减小，i 减小
dt
e t [Asin t Bcos Байду номын сангаас]
duC dt
(0
)
0
A
B
0
A U0
B U0
uC
e tU0 (cos
t
sin
t)
ω0
ω
或
uC
0 0
e U0
tU0
(
0
cos
e t sin( t
t
)
0
sin t)
12
uC
0
U 0e t
sin( t
)
i C duC U 0 e t sin t dt L
duC dt
t 0
iL (0 ) C
iL (0 C
电工基础教学大纲
系统化培养技能型人才《电工基础》教学大纲一课程性质与任务《电工基础》是中等职业校电气类、机电类、电子类等专业的一门重要的基础课程。
无论对学生的思维素质、创新能力、科学精神以及用电工技术解决实际问题的能力的培养, 还是对后继课程的学习, 都具有十分重要的作用。
实现机电类专业的培养目标, 《电工基础》教学是必不可少的重要环节。
它的任务是: 使学生具备高素质劳动者和中高级专门人才所需的电工技术的基本知识和基本技能；为学生学习专业知识和职业技能, 提高全面素质, 增强适应职业变化的能力和继续学习的能力打坚实的基础。
二课程教学目标学生经过该课程的学习在熟悉电路的基本概念、基本定律和定理, 熟悉通用电路的组成与特性；初步具备识读电路图、计算电路基本物理量的能力；初步具备分析电路一般问题的能力；初步具备学习和应用电子信息产业新知识、新技术的能力。
三教学内容与要求第一章电路基础知识教学要求1.了解电路的组成;掌握电流、电压、电位的基本概念和一般计算。
2.了解电阻和电导的概念, 以及电阻与温度的关系。
一__3.理解电源电动势的概念, 掌握欧姆定律, 了解电路的3种基本状态。
4.理解电能与电功率的概念, 掌握电功率的计算。
5.掌握万用表的使用方法。
教学内容;(一)电流和电压1.电路2.电流3.电压、电位和电动势实验与实训练习使用测电笔和万用表(二)电阻1.电阻与电阻率2.电阻与温度的关系3.用万用表测量电阻(三)欧姆定律1.部分电路欧姆定律2.全电路欧姆定律3.电源的外特性(四)电功和电功率1.电功2.电功率3.电流的热效应4.负载的额定值第二章直流电路教学要求1.掌握电阻串、并联电路的特点和作用。
2.了解直流电桥的平衡条件及其应用。
3, 掌握基尔霍夫定律, 能运用支路电流法、路;掌握负载获得最大功率的条件。
4.建立电压源与电流源的概念,教学内容(一)串联电路1.电阻的串联叠加原理和戴维南定理分析计算两个网孔的电了解它们的特性及等效变换。
二阶电路
电路原理
串联电路的响应求解– 4. RLC串联电路的响应求解–例子分析
uC (t) = 2.066e−0.25t cos(0.9682t − 0.08π )V t ≥ 0+
duC i(t) = −C = 2.066e−0.25t sin(0.9682t)A dt t ≥ 0+
uC，i
2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
①
A1 =A3ejm, A2= A3e-jm
uC (t) = A3e jme(−α+ jωd )t + A3e− jme(−α− jωd )t
uC (t) = 2A3e−αt [e j (m+ωdt ) + e− j (m+ωdt ) ] uC (t) = 2A3e−αt cos(ωd t + m)
R
uR
+
uC
uL
-
L
t≥0+
初始条件
i (0 + ) = i (0 − ) u C (0 + ) − Ri (0 + ) u C (0 − ) − Ri (0 − ) di = (0 + ) = L L dt
电路原理
1. RLC 串联电路 微分方程 串联电路—微分方程
i + + C – R
§4-2 二阶电路的动态响应
R + us C L
什么是二阶电路？ 什么是二阶电路？
RLC串联电路 串联电路
（a） ）
R
L
C
RLC并联电路 并联电路
电路原理
（b） ）
1. RLC 串联电路 串联电路为例 零输入响应的求解 以RLC串联电路为例，讨论其零输入响应的求解。 串联电路为例，讨论其零输入响应的求解。
电路分析课件-二阶电路
+
R
-C
L
(2) R 2 L C
P R ( R )2 1 2L 2L LC
特徵根為一對共軛複根
令： R (衰减系数)
2L
0
1 (谐振角频率) LC
则
2 0
2
(固有振荡角频率)
P j
uc的解答形式： uc A1e p1t A2e p2t e (t)( A1e jt A2e jt )
1 ，
LC
2
uc U0 sin(t 900 ) uL
i U0 sint L
+
-C
t
等幅振盪
L
(3) R 2 L C
P1
P2
R 2L
uc A1e t A2te t
由初始条件duc dt
uc (0 ) U0 A1 U0
(0 ) 0 A1( ) A2
0
解出：
A1 A2
(4)定常數
1 Asin 2
iL (0 )
100 A cos
100Asin
0
uL (0 )
45
A 2
iL 1 2e100t sin(100 t 45 )
50 W
50 V
R iR
0.5H L C
100 μF
iL
iC
(5)求iR
iR iL iC
iL
LC
d2iL dt 2
或設解答形式為： iR 1 Ae100t sin(100t )
A
2
小結：
(1)二階電路含兩個動態元件，用二階常微分方程描述。
(2)二階電路的性質取決於特徵根，特徵根取決於電路 的結構和參數，與激勵和初值無關。
二阶电路
重点掌握
二阶电路
二阶电路的零输入响应 学习方法 1. 掌握求解二阶电路的方法、步骤。 2. 了解二阶电路在不同参数条件下，电路的不 同状态：过阻尼、欠阻尼、临界阻尼；振荡 与非振荡。
§6.1 二阶电路的零输入响应
(t=0) uc + C i R + uL L RLC串联电路的零输入响应 已知 uC(0-)=U0 i(0-)=0
U 0 e [cos t sin t ] 0 U 0 e t sin( t )V Ke t sin( t )
t
A U0 P2 P1 B j U0 U0 P2 P1
同前
也可直接求A、B 由初始条件
例1
100μ F
20Ω +u - c
iL
+ 0.5H 10Ω 10Ω
50V -
电路所示如图 t = 0 时打开开关。 5Ω 求 : 电容电压uC , 并画 波形图。
20Ω
+ i L uC
解
50V + 10Ω 10Ω
(2) uc(0+)=25V iC(0+)= -5A duC duC d ( 3) 0.5 [ C ] 25C uC 0 dt dt dt 特征方程为 50P2+2500P+106=0
uC A 1e p1t A 2 e p2 t e t ( A 1e j t A 2 e j t )
e t [( A1 A 2 ) cos t j ( A1 A 2 ) sin t ]
实数 虚数
e t [ A cos t B sin t ]
U0 uC ( P2 e p1t P1e p2 t ) P2 P1 U 0 t e ( P2 e jt P1e jt ) 2 j
二阶电路课用.ppt
t 1
t 2
C
1
2
1
2
1 2
1 2
1 LC
e e t 1
t 2
衰减慢 衰减快
式中：待定系数（积分常数）K1、K2 由 uC(0) 和 u'C(0) 确定。
即
uC (0) k1 k2
u/ (0) C
k1s1
k 2 s2
1k1
2k2
i(0) C
∴
k1
s2
1
s1
[s2uC (0)
i(0)] C
R 2L
2
)
1 LC
,
即 R 2 L 时的临界阻尼非振荡情况
C
此时，固有频率S 为一对相等的负实数，即 S1 = S2 = –
R 2L
=－α
从高数知：这时齐次微分方程的解答形式为：
u k e k e k e k e (t)
st 1
t
st 2
t
t t
C
1
2
1
2
式中，待定系数（积分常数）K1、K2 仍由 uC(0) 和 u'C(0) 来确定。
由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构成的电路中，随着储能
在电场与磁场之间的往返转移，电路中的电流和电压将不断地改变大小和方向
（极性），形成周而复始的振荡 。WC WL
注：1）若 R = 0，则为无阻尼等幅振荡；
2）若 R ≠ 0，则为阻尼衰减（减幅）振荡；
3）若 R 很大，则不产生振荡。
4
2
基本要求：
理解二阶电路固有频率、振荡和非振荡的概念， 重点掌握 R L C 串联电路微分方程的建立及相应初 始条件、特征方程及其根，并根据特征根判定电路 的状态及零输入响应的形式，掌握直流 R L C 串联 电路的全响应及 G C L 并联电路的分析。
二阶电路概念
二阶电路概念二阶电路是指由电感、电容和电阻组成的电路，其传输函数中包括二次项的电路。
它是高阶滤波器、振荡电路和放大器设计等领域中常用的电路。
本文将依次介绍二阶电路的基本概念、传输函数推导方法、常见的二阶滤波器、二阶振荡电路和二阶放大器的设计。
希望通过本文的介绍，读者对二阶电路有一个全面的了解。
一、二阶电路的基本概念二阶电路是指由电感、电容和电阻组成的电路，其传输函数中包括二次项的电路。
传输函数是指电路输入和输出之间的关系。
对于一个二阶电路，其传输函数可以表示为：H(s) = N(s) / D(s)其中，H(s)为传输函数，N(s)、D(s)为多项式，s是频率变量。
N(s)和D(s)的次数分别为n和m，如果n=m=2，则表示为二阶电路。
二、二阶电路的传输函数推导方法推导二阶电路的传输函数有多种方法，常用的有电压法和电流法。
下面以电压法为例，介绍二阶电路传输函数的推导。
1. 建立电路方程对于一个二阶电路，首先根据电路元件的特性和串并联关系建立电路方程。
假设电路中的电压和电流分别为v1(t)、v2(t)、v3(t)和i(t)，则根据欧姆定律、基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律，可以得到一组微分方程。
2. 进行拉普拉斯变换将建立的电路方程进行拉普拉斯变换，得到关于复变量s的方程。
3. 求解方程解出拉普拉斯变换后的方程的解析解或数值解，得到传输函数H(s)。
三、常见的二阶滤波器二阶滤波器是指具有二阶传输函数的滤波器。
根据传输函数的形式，可以将二阶滤波器分为低通、高通、带通和带阻滤波器。
下面介绍常见的二阶滤波器。
1. 二阶低通滤波器二阶低通滤波器是一种只允许低于截止频率的信号通过的滤波器。
它在截止频率附近具有典型的衰减特性，可以用于去除高频噪声。
常见的二阶低通滤波器有巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器等。
2. 二阶高通滤波器二阶高通滤波器是一种只允许高于截止频率的信号通过的滤波器。
它在截止频率附近具有典型的增益特性，可以用于去除低频噪声。
二阶电路的定义 二阶电路是含有两个独立储能元件的线性定常电路
二阶电路的定义 二阶电路是含有两个独立储能元件的线性定常电路。
描述这种电路的方程是二阶线性常微分方程。
由电阻器、电感器和电容器串联或并联而成的电路是最简单的二阶电路。
这里将通过RLC 串联电路（见图6.1）来讨论二阶电路的零输入响应。
CK图6.1 RLC 串联电路电容器的周期性放电的物理解释 假设图 6.1所示电路中的电容器已被充过电，v C (0)=V 0。
在t=0时将开关合上后，电容器就开始放电。
起初，电容器正极板上的正电荷通过电阻器、电感器流向负极板，形成放电电流入i ，而电压v C 因正负极板上电荷的互相抵消将逐渐减小；与此同时，其内储存的电场能量也将向外释放而逐渐下降。
减小的能量一部分是用来补偿放电电流i 流经电阻器所产生的损耗，另一都分是作为磁场能量储存在电感器中。
这样一直持续到v C ＝0和电容器中的电场能量全部放完，或者说放电完毕。
但这并不意味着整个电磁过程的结束，因为现在电感器内已储有磁场能量，这部分能量将紧接着释放出来继续维持电路中的电流，并使其保持原来方向不变。
于是，电容器现在开始被反方向充电，其两个极板的极性互换。
另外，在此期间电感器放出的磁场能量除少量消耗于电阻器中，其余的都变成了电容器中的电场能量。
这样又一直持续到电感器的磁场能量全部放光和电流i 变为零。
此时又因电容器内有电场能量和v C ≠0，电路内的电磁过程仍将继续进行，不过现在是电容器开始反方向放电。
以后放电完毕又将充电，反复进行，循环不已。
但因电流i 通过电阻器时总耗费掉一部分能量，所以在每次充电过程结束时，电压v C 的最高值总要比前一次低，而且到最后能量将被电阻器耗尽，电路中的全部电流、电压也都衰减为零。
至此，过程才告结束。
在上述的放电过程中，v C 及i 等的方向是不断改变的，称这种放电过程为电容器的周期性放电或振荡性放电。
电容器的非周期性放电的物理解释 若电阻器的电阻值比较大，则电容器放电时消耗于电阻器中的能量就比较多，而转入电感器中的磁场能量也就比较少。
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重点：
电阻电路的一般分析方法
熟练掌握电路方程的列写方法： 支路电流法
网孔电流法
回路电流法 结点电压法
1
§3-1 电路的图
一. 图的基本概念
1、电路的图 定义：不考虑元件性质，仅用点和线段表示电路结构的图。
+ 抽象 支路 电路图 抽象图
-
抽象
i1 i2 i3 i1 i = 0 i2 i3 i = 0
5
有 向 图
60 b 80
150
c Is
a
1 b 2
c 4
4
6
d
3
c. 连通图：如果在图的任意两结点之间至少存在 一条由支路构成的路径，则这样的图称连通图。 反之则称为不连通图。
+ 抽象 连通图
+ -
抽象 不连通图
5
d. 子图：如果图G1中的每个节点和支路都是另 一图G中的一部分节点和支路，则称图G1为图G 的子图。
2
5
8 9
不是回路
基本回路（单连支回路）：仅含有一个连支，其余均为 树支的回路称基本回路。 4 1 5× 6 3 2 7
9
回路: (1、3、4); (2、3、5); (7、9); (1、2、7、8)
基本回路: (7、6、4); (1、3、6、7)
1 3 4 6
2
5 8
7
9
定理：一个具有n个节点和b条支路的连通图G，若任取一个 树T，必有 [b-(n-1)]个基本回路。 证明：一个具有n节点，b条支路的连通图，若任取一个树 后，必有(n-1)个树支、[b-(n-1)]个连支,由于每一个连支唯一 的对应着一个基本回路,故有n个节点、b条支路的连通图G ，必有[b-(n-1)]个基本回路。
22
例2. 列写如图电路的支路电流方程(含理想电流源支路)。 a i1 R1 uS + – i2 1 R2 2 R4 R3 i3 b i4 i5 + – iS
无伴电流源
b=5, n=3 解： KCL方程： n-1=2 - i1- i2 + i3 = 0 (1)
3u
- i3+ i4 - i5 = 0
4
+ u6 uS –
出 为 正 进 为 负 (1)
对n个结点的电路， 独立的KCL方程只 有n-1个 。
18
2 i2 1 R1 i1 4 3 R2 i3 1 R3 2 R5 i5 i6 R4 i4 3
(3) 选定b-n+1个独 立回路， 根据 KVL，列写回路电压方程。 回路1：–u1 + u2 + u3 = 0 回路2：–u3 + u4 – u5 = 0 (2)
令： R11=R1+R2 R22=R2+R3 R12=R21=-R2
网孔电流方程 分别代表网孔1和网孔2的自阻 代表网孔1和网孔2的互阻
25
且有 i R im1 im 2
3
（R1 R2 im1 R2 im 2 us1 ）
R2im1 R2 R3 im 2 us 2 （ ）
us1 R1im1 R（im1 im 2 0 ） 2
+
R1
iR3 R2 us1 im1
R3 im2 +
us2
） 网孔2：R3im 2 us 2 R（im 2 im1 0 2
（R1 R2 im1 R2 im 2 us1 ）
R2im1 R2 R3 im 2 us 2 （ ）
(2)
c KVL方程：b-n+1=3 R1 i1-R2i2 = uS
R2 i2+R3i3 + R4 i4 = 0
(3)
(4) (5)
R1 i1-R2i2 = uS R2 i2+R3i3 + R4 i4 = 0 i5 = iS
(3) (4) (5)
- R4 i4+u = 0
i5 = iS
(6)
结论：含有无伴电流源的支路需列一个附加方程
R11im1 R12 im 2 us11
us11和us22为两个网孔的 总电源电压之和
R21im1 R22 im 2 us 22
当两网孔电流以相反方向流 过公共电阻时取负号，例如 R12=R21=-R2, 反之取正号。 +
R1
us1 im1
R3 im2 +
R2
us2
uS11、uS22分别为各网孔中全部电压源电压的代数和。
各电压源的压降方向与网孔电流相反时取正，反之则取负 号。例如uS11=uS1,uS22=-uS2
26
三、网孔分析法计算举例 例3：
5
+ 6 10 + i2 10V 4
求图示电路中电压源提
i1 供的功率。 15V 解： 用网孔分析法。 标出网孔电流。 (5 10)i1 10i2 15 10 网孔1 10i1 (6 4 10)i2 10 网孔2
其一，树支：构成树的支路； 其二，连支：除去树支以外的支路。 • 可以证明若电路的节点数为n，尽管树的形式很多， 但树支数为（n-1）。
设图的节点数为n，支路总数为b则：
树支数 bt= n-1 连支数 bl=b-(n-1) 4 1 1 5 6 3 2 7 树支数 4 4 3 7 连支数 3 Nhomakorabea5
2
6
8
2. 回路（Loop）：构成闭合通路的支路集合。 L是连通图G的一个子图。具有下述性质： (1)所有的节点连通； (2)每个节点关联支路数恰好为2。 1 7 6 8 2 5 4 3 3 1 7 5 回路 2
15
§3-3 支路电流法 (branch current method )
一、2b法 对于具有b条支路n个结点的电路，列出的独立方程为：
(n－1)个KCL方程
(b-n+1)个KVL方程
b 个VCR方程
2b方程
得到以b个支路电压和b个支路电流为变量的电路方程 (简称为2b方程)。这是最原始的电路方程，求解2b方程可 以得到电路的全部支路电压和支路电流，称为2b法。
G1
G1
G1
G2
G2
G2
6
二、 回路、树 1 . 树 (Tree)
树T是连通图G的一个子图，具有下述性质： (1)所有的节点连通； (2)包含G的所有节点和部分支路； 树不唯 (3)不包含回路。 一
4个节点 含有3个 支路
不是树
不是树
7
结论： • 在图中，当选定一树后，支路分成两类：
1
KCL
R5
–R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 –R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0 KVL
u6
uS
R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 –uS = 0
共有b个方程 b-n+1个
20
支路电流法的一般步骤： (1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；
(2) 选定(n–1)个结点，列写其KCL方程； (3) 选定b–(n–1)个独立回路，列写KVL方程； (4) 求解上述方程，得到b个支路电流； (5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。
i1
i2 i3
a. 图G（Graph)：是节点和支路的一个集合 即：G={支路，节点}
3
b. 有向图：赋予支路电流或电压参考方向的图称为有 向图，反之则称为无向图。 表示原支路电 无 抽象 压和电流的关 向 联参考方向。 L 图 R2 C uS R1
抽象
24 +Us1 a Us2 + d
17
R1 i1 R6 + 4
R5
u6
2 i2 1 R1 i1 R6 R2 R4
(1) 标定各支路电流、电压的参考方向 (2) 对结点，根据KCL列方程 i4 R3 R5 3 结点 1：i1 + i2 – i6 =0
i3
i5
i6
结点 2：– i2 + i3 + i4 =0
结点 3：– i4 – i5 + i6 =0 结点 4：– i1 – i3 + i5 =0 结点 1：i1 + i2 – i6 =0 结点 2：– i2 + i3 + i4 =0 结点 3：– i4 – i5 + i6 =0
14
结论： 一个具有n个节点、b条支路的连通图G，由 于每条连支唯一地确定着一个基本回路，所以 一组[b-(n-1)]个基本回路即为一组独立回路，必 然能建立起[b-(n-1)]个独立的KVL方程。
综上所述： 一个具有n个节点、b条支路的连通图G，具有 N=n-1个独立节点和L=[b-(n-1)]个独立回路，必能 建立起n-1个独立的KCL方程和[b-(n-1)]个独立的 KVL方程。 由KCL及KVL可以得到的独立方程总数等于支路 数b。
10
3. 平面电路：除去节点外，无任何支路相交叉的电路。 5
a 6 1 b 3
2 4
c
b=6，n=4 l =b-(n-1)=3 非平面电路
d 平面电路
网孔：平面图的一个网孔是它的一个自然的“孔”，它限定 的 区域内不再有支路。 定理：若连通平面电路具有b条支路、n个节点，则它具有 的网孔数为l =b-(n-1)。
回路3： u1 + u5 + u6 = 0
将各支路电压、电流关系代入 方程（2）得： –R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 –R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0 （3）
+ R6 u6 uS – u1 =R1i1， u4 =R4i4， u2 =R2i2， u5 =R5i5， u3 =R3i3，u6 = –uS+R6i6