上海市2019届高三竞赛数学试题Word版含答案

上海市2019届高三竞赛数学试题
一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是 ．
2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为
()f x = ．
3．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ∆面积的最大值
为 ． 4．设集合111111
{,
,,,,}
2711131532
A =的非空子集为1263,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为
(1,2,,63)i p i =（单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p ++
+= ．
5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ．
6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记a b b c c a ++的最大值和最小值分别为M 和m ，则
M m -= ．
7．在三棱锥P ABC -中，已知1,A B A C P B
P ===，则22
ABC PBC S S ∆∆+的取值范围
是 ．
8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为2
1(,)4
k k k A a a ，半径为
2
1(1,2,,2018)4
k a k =，这里122
18
1
2018
a a a
>>
>=，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,
,20k =，则1a = ．
二、解答题（本大题满分60分，每小题15分） 9．已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =∅．
（1）求证：1
()2
A
B C A B C ≥++（这里，X 表示有限集合X 的元素个数）
； （2）举例说明（1）中的等号可能成立．
10．求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数．
11．设,,,a b c d 是实数，求2222
a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d +++++++++++++的最小值．
12．设n 为给定的正整数，考虑平面直角坐标系xoy 中的点集{(,),,}T x y x y n x y Z ==≤∈对T 中的两
点,P Q ，当且仅当PQ =
PQ 与两条坐标轴之一平行时，称,P Q 是“相邻的”
，将T 中的每个点染上红、蓝、绿三种颜色之一，要求任意两个相邻点被染不同的颜色，求染色方式的数目．
上海市2019届高三竞赛数学试题答案
一、填空题
1.317
2.1
3.
4.79
65
5.(2，
6.
32 7.17(]44， 8.22019
二、解答题
9.解：（1）∵A B C =∅∴()()A B A C =∅
∴集合A 可以拆分成三部分：A B ，A C ，A A B A C A '--=
（如图） 则A A A
B A
C '=++
B ，
C 集合同理.
∵A
B
C A B C =++A
B B
C C
A A
B
C ---+
∴命题⇔证1
()2A B C ++A
B B
C C A ≥++
而A B C ++A B C '''++222A
B B
C C
A +++
∴1
()2
A B C A B B C C
A ++---1
()02
A B C '''=++≥
（2）当A B C '''===∅时取等号，如{}12A =，，{}23B =，
，{}31C =， 10.令Y X α-=，*N α∈
则225x z w α+++=
当x 取遍1~11时，252z w x α++=-的正整数解组数为2
242x C -
∴总共22
22
24622946C C C C ++++=
2
2(21)n C n n =-，∴2222n C n n =-∑∑∑(1)(21)(1)(1)(41)
326
n n n n n n n n ++++-=
-=
11.210210
210210
F
a b c d a F b a c d b
F c a b d c F d a b c d
∂⎧=++++=⎪∂⎪∂⎪=++++=⎪∂⎨∂⎪=++++=⎪∂⎪∂⎪=++++=∂⎩
∴当15a b c d ====-时，min 2
()5
F a b c d =-，，，
12.从(00)，点向外一共有n 层正方形，染色要求：正方形相邻顶点颜色不同与上一层相邻点，也不同 记(00)，点染了③号色，第1个正方形四个顶点
①②②①
染色
A 类：①②②①（一共用了2色）上层A 类，之后一层的染色情况：A
B ⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩②①③①②③三种
①②①③③②②①②①②①②③四种
①③①②③②①②
B 类：①②③①（一共用了3色）上层为B 类，则下层的染色情况：A B ⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
②①③①两种
①②①③
②③②①③①③①四种
①②①③①②②③
构建数列，n O 表示第n 层为A 类染色方法，n b 表示第n 层为B 类染色方法 11
3244n n n
n n n a a b b a b ++=+⎧⎨
=+⎩11a =，10b =
∴1111))n n n n n n n n a a a a ++++⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
构造λ：11(34)(24)n n n n a J b a d b λ+++⋅=+++
满足22442034d
d
λλλ+=
⇒--=
+λ=
又11a =，10b =
，∴1
1
n n n n n n a a --⎧+
=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
解得11
11n n n n n n a b ----⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
∴11
n n n n a b --+=
+ 最后，①、②、③色号与红绿蓝之间有336P =种排法
∴染色方式有6()n n n n a b ⎡⎤
+=-⎥⎦
种.。