12.1_实数的概念
初中数学必修——实数基础知识与应用
初中数学必修——实数基础知识与应用数学作为一门基础学科，在我们的学习中占据着至关重要的位置。
而在数学中，实数基础知识是我们学习的重点和难点之一。
在初中阶段，我们接触到的最多的就是实数这个概念。
由此，本文将从实数基础知识的概念、性质、应用三个方面进行阐述，希望能对初中生的学习有所帮助。
一、实数基础知识的概念1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数的数集，用符号R表示。
其中，有理数是能表示为分数形式的数，如正整数、负整数、分数、小数等；而无理数则是不能表示为分数形式的数，如根号2、圆周率等。
2. 实数的数轴表示我们可以利用数轴来表示实数，其中左边为负无穷，右边为正无穷，0点为原点，实数集中的数都被标在数轴上。
在数轴上，实数的“绝对值”表示的是该数到0点的相对距离。
例如，-3和3到数轴0点的距离是相等的，它们的绝对值都是3。
二、实数基础知识的性质1. 实数的顺序性实数满足的是“简单正性”，即任何一个实数都可以和0相比较，将其分为正数、负数和0。
另外，实数还满足“三角不等式”，即对于任意的实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
2. 实数的有理数和无理数分类实数可以分为有理数和无理数两种类型。
有理数可以用分数表示，而无理数则不能化为分数形式。
其中，无理数还可以分为代数无理数和超越无理数两类。
3. 实数的区间表示可以用小括号、中括号和分号表示区间，如(0,1)表示0到1之间的实数，开区间；[0,1]表示0到1之间的实数，闭区间；(a,b]表示大于a小于等于b的实数。
三、实数基础知识的应用1. 实数在几何学中的应用实数在几何学中有着广泛的应用，比如点、线和面等图形中的坐标点都可以用有序实数对来表示。
在坐标系中，我们可以计算两点之间的距离，求解线段的长度、斜率等。
2. 实数在物理学中的应用实数在物理学中也有着重要的应用，如长度、温度、时间、速度、力等物理量都可以用实数来表示。
在物理学中，我们可以通过实数的计算来求解物理问题，如速度、加速度、力与物体运动状态等。
《12.1实数的概念》作业设计方案-初中数学沪教版上海七年级第二学期
《实数的概念》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本节课的作业设计，旨在让学生巩固实数的基本概念，理解实数与数轴的关系，掌握实数的性质及运算规则，为后续学习实数运算及实际问题解决打下坚实的基础。
二、作业内容1. 基础知识练习（1）实数的基本概念：请学生根据课本内容，总结实数的定义及分类，并举例说明各类实数的特点。
（2）数轴与实数：要求学生熟练掌握数轴的基本概念，能够准确地在数轴上表示正数、负数和零。
并理解数轴上任意一点与实数之间的对应关系。
（3）实数的性质：要求学生掌握实数的性质，如可比较性、有序性等，并能运用这些性质解决实际问题。
2. 技能提升训练（1）实数的运算法则：要求学生熟练掌握实数的加减乘除、乘方及开方运算，并能在实际运算中正确运用。
（2）应用题练习：设计几道与实数相关的应用题，如温度的表示、长度的测量等，让学生运用所学知识解决实际问题。
3. 拓展延伸学习（1）请学生查阅资料，了解实数在日常生活中的应用，如科学计算、工程设计等。
（2）引导学生思考实数与复数的关系，为后续学习复数打下基础。
三、作业要求1. 基础知识练习部分，要求学生认真总结并记录在作业本上，对于不理解的地方要及时向老师请教。
2. 技能提升训练部分，要求学生独立完成运算及解答应用题，并在解题过程中注意运算步骤的规范性及答案的准确性。
3. 拓展延伸学习部分，要求学生查阅相关资料并做好笔记，以便在课堂上进行交流与讨论。
同时，引导学生主动思考，发现实数学习的乐趣。
四、作业评价1. 教师将根据学生完成作业的情况进行评分，主要评价学生在基础知识掌握、技能运用及拓展延伸学习方面的表现。
2. 对于学生的优点和不足，教师将在课堂上进行点评和指导，帮助学生改进学习方法，提高学习效果。
五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行批改，针对学生的错误进行讲解和指导。
2. 学生应根据教师的反馈，及时订正错误，巩固所学知识。
同时，教师应鼓励学生互相交流学习心得和解题方法，以提高学习效率。
沪教版 七年级下数学12.1节-- 实数的概念【优秀课件】浦东外国语学校 励一敏
解：（1） S正方形ABCD 62 =36
36 S正方形EFGH 2 =18 EF 18
（2）这个值不是有理数。
Hale Waihona Puke AHDEGBF C
[提示]在后续课程中，我们将进一步学习 18 可化简 为3 2 。
[小结] 1、无理数的概念及举例； 2、实数的分类。
【提示】 1、由于后续课程得需要，同学们须熟记500以内 的平方数。例如，192= ，202= ，212=
12.1
实数的概念
从本章起，数的范围将从有理数
扩大到实数。为此，需要先引入 “无理数”的概念。
整数 有理数
？？
分数
[问题引入]小正方形的边长是1。
？？？
大正方形的面积是2，它的边长是多少？
[无理数举例] 1、带“ ”的数； 2、与 π 有关的数； 3、某些带省略号形式的小数。 0.1010010001…(每两个1之间0的个数依次多1个)
……。 2、请同学们课后阅读《课本》-P36上关于无理数 的拓展知识。
作业：《练习册》-习题12.1。 【说明】《一课一练》暂时不做统一要求，如 果已经有这本书，可以按照教学进度完成，并 批、订。
[注意]此类小数不要与无限循环小数混淆！
[练习]请举出3个介于4~5之间的无理数。
实数的分类（P4）：
[实数还有其他分类方法]
整数
有理数
？实？数？
分数
无？理？数？
3
2
2
[例1]将下列各数放入图中适当的位置：
9
0，-2 4， 9
练习：P5/2
2, 5 ,
0.3737737773…
[例2]如图，已知正方形ABCD的边长是6，在各边 上依次取中点连成正方形EFGH。借助图形面积的 方法我们能否求出线段EF的长？这个值是不是有 理数？
实数知识点
实数知识点实数是数学中重要的概念之一，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将从实数的概念、性质、分类以及实数在数学和实际生活中的应用等方面进行详细介绍。
一、实数的概念及性质实数是数学中最基本的数集之一，包括有理数和无理数。
它们可以用数轴来表示，数轴上的每个点都对应着一个实数。
实数具有以下性质：1. 实数的有序性：对于实数集中的任意两个数a、b，必定存在三种关系：a＜b，a＝b或a＞b。
这个性质使得实数可以进行大小比较。
2. 实数的稠密性：对于任意两个实数a、b (a＜b)，必定存在一个实数c (a＜c＜b)，即实数集中不存在空隙。
这个性质可以用来证明实数集的连续性。
3. 实数的无穷性：实数集是无界的，即没有最大和最小值。
无论给定多大或多小的数，总可以找到比它更大或更小的数。
4. 实数的完备性：实数集中满足某个性质的数列必定收敛于一个实数。
这个性质使得实数集可以用来描述物理量的测量结果。
二、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和有限小数。
有理数可以表示为无限循环小数，例如1/3＝0.3333...。
2. 无理数：无理数是不能表示为两个整数的比值的数，无理数的小数表示无限不循环。
常见的无理数有开方数（如√2）和圆周率π。
无理数在数轴上是无限不重复的。
三、实数的应用实数在数学中有着广泛的应用，同时也贯穿于实际生活的各个领域。
1. 几何学：实数可以用来度量和描述几何图形的属性，例如线段的长度、角的度数等。
实数的大小和比较关系可以帮助我们确定图形的大小和位置。
2. 物理学：实数可以用来表示物理量的不同数值，例如速度、质量和能量等。
实数的运算规律可以帮助我们进行物理量的计算和分析。
3. 经济学：实数可以用来表示货币的数额、价格的变动等经济指标。
实数的运算可以用于货币的兑换和经济指标的计算。
4. 统计学：实数可以用来表示数据的测量结果，例如年龄、身高、体重等。
实数的概念
实数的概念
实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两种数的集合。
实数可以用来表示数量、度量、顺序和比较。
在实数集合中，包含了所有可能的数，无论是整数、分数还是无限不循环小数。
实数的定义相对简单，但却蕴含着丰富的数学道理。
根据Cauchy序列或Dedekind划分的定义，一个实数可以被表示为所有比它小的数的集合。
这个定义确保了实数的连续性和完备性。
实数的集合可以表示为R，其中R是实数的拉丁字母缩写。
R包含了有理数和无理数，有理数是可以表示为两个整数的比值，而无理数则是不能表示为有理数的比值。
无理数包括了诸如根号2、π和自然常数e等数。
实数集合的特性很多，其中最重要的是实数的稠密性、有序性和连续性。
实数的稠密性意味着在任意两个实数之间都存在一个实数，这保证了实数的无限性和密集性。
实数的有序性则意味着任意两个实数之间都可以比较大小。
实数的连续性则意味着在实数集合中没有任何间断。
实数在数学中具有广泛的应用领域，如代数、几何、分析学和概率论等。
实数的加法、减法、乘法和除法运算规则成为数学的基础。
实数的顺序关系使我们能够进行比较和排序。
实数的连续性帮助我们解决方程和证明定理。
总之，实数是数学中一个非常重要的概念。
它包含了所有的有理数和无理数，具有稠密性、有序性和连续性等特性。
实数的定义使用Cauchy序列或Dedekind划分，它在数学的各个领域中具有广泛的应用。
对于理解数学和解决实际问题，实数是一个必不可少的概念。
实数的定义和性质是什么
实数的定义和性质是什么
实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
实数的定义和性质是什么
什么是实数
实数释义：有理数和无理数的统称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
虚数不是实数。
|a|表示的是a的绝对值。
虚数的定义：在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b
是实数，且b≠0,i²= - 1。
实数性质
封闭性
实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
有序性
实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足并且只满足下列三个关系之一：a＜b，a=b，a＞b。
传递性
实数大小具有传递性，即若a＞b，且b＞c，则有a＞c。
阿基米德性质
实数具有阿基米德性质，即（倒A）a，b∈R ，若a＞0，则
∃正整数n，na＞b。
稠密性
R实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。
完备性
作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间。
实数的概念
实数的概念
实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，它们能把数轴“填满”。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n 为正整数，包括整数）。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
[1]相反数（只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数，叫做互为相反数）实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。
[2]绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离）实数a的绝对值是：|a|
①a为正数时，|a|=a（不变），a是它本身；
②a为0时，|a|=0，a也是它本身；
③a为负数时，|a|= -a（为a的绝对值），-a是a的相反数。
(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负数。
)
[3]倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a （a≠0）
[4]数轴
定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。
（2）数轴上的点与实数一一对应。
特别规定0的算术平方根是根号0
实数分类
按性质分类是：正数、0、负数；
按定义分类是：有理数、无理数。
沪教版(上海)数学七年级下册-12.1《实数的概念》 教案
《实数的概念》教案【教学目标】1、通过动手操作，回顾历史，经历发现无理数的过程，能通过二分法的原理对已知无理数进行估值，了解无理数的客观存在，以及在数轴上和有理数是稠密排列共存的。
2、通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，能够辨析一个数是不是无理数。
3、了解熟悉从整数到有理数，再到实数的一个扩充的过程，理解实数系统的构成结构，感受数学中严谨的分类思想。
【教学重点】对无理数简单的估值方法，理解无理数在数轴上是存在的。
【教学难点】理解无理数是无限不循环小数，以及实数与数轴上的点一一对应的关系【教学过程设计】一、复习引入我们对数的研究经历了一个漫长的过程，小时候自然数帮我们解决了数数的问题，直到学习了数轴我们知道了与正整数相对的还有负整数，它们与0统称为整数，至此我们学习的数的范围扩展了。
随着学习的深入我们发现在实际运算中：例如6÷3=2能整除，5÷3不能整除，因此我们有对数的学习进行了扩展，加入了分数的概念，我们知道分数可写成pq 形式，其中对p 、q 有没有什么要求呢？（p 、q 为整数，p 、q 互素，且P 不为0）。
平时为了感受分数的大小，又能够将分数p q 化为有限小数或者无限循环小数。
特别的当P=1时，p q 可以表示一个整数。
由此，我们将分数和整数统称为有理数，它们均可用pq 来表示。
问题1：数扩充至此，是不是我们生活中的所有数都是有理数，都能够表示成p q （p 、q 为整数，且P 不为0）的形式？即：有没有不是有理数的数？【分析】不是所有的数都能用这个形式表示，例如我们学的圆周率 即是一个无限不循环小数。
二、新课讲授 【活动一】正方形剪拼，引出2。
我们将桌面上的两个边长为1的正方形，分别沿着它的一条对角线剪开，得到四个形状大小相同的直角三角形，他们的面积都是21，再把这四个直角三角形拼成一个正方形。
问题1：新的这个正方形的面积是多少？（21121=+=+=S S S 正）问题2：这个正方形的边长是我们学过的有理数么？（不是，若设边长为x ，则可以得到22=x 。
实数的知识点总结人教版
实数的知识点总结人教版一、实数的概念实数是数学中的一个基本概念，它是有理数和无理数的总称。
有理数指的是可以用整数分数表示的数，包括正整数、负整数、零以及所有的分数。
无理数指的是不能用整数分数表示的数，如根号2、π等。
实数的概念包括有理数和无理数两个部分，它是数学中最基础、最广泛的一个概念。
在数学的学习中，实数是很多数学问题的基础，比如代数方程、不等式、函数、数列等问题都离不开实数。
实数的概念也是数学分析、微积分等高级数学学科的基础。
二、实数的性质1. 实数的大小比较实数之间可以进行大小比较，实数集合是一个有序集合。
对于任意两个实数a、b，可以根据它们的大小关系判断出a>b、a<b或者a=b。
2. 实数的稠密性实数集合具有稠密性，即在任意两个不相等的实数之间，都存在着无穷多的实数。
这是因为实数可以用有理数逼近，而有理数又是稠密的，所以实数也是稠密的。
3. 实数的代数结构实数集合具有良好的代数结构，它是一个域。
实数集合中的元素满足加法封闭性、乘法封闭性、加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律等性质。
4. 实数的有界性实数集合具有有界性，对于任意非空有限实数集合，它必有上界和下界。
5. 实数的连续性实数集合具有连续性，即实数集合中的任何两个数之间都存在着无穷多的实数。
三、实数的运算实数的运算主要包括加法、减法、乘法、除法等。
1. 实数加法实数加法满足交换律、结合律、分配律等性质，对于任意两个实数a、b，它们的和为a+b。
2. 实数减法实数减法是加法的逆运算，对于任意两个实数a、b，它们的差为a-b。
3. 实数乘法实数乘法满足交换律、结合律、分配律等性质，对于任意两个实数a、b，它们的积为a*b。
4. 实数除法实数除法是乘法的逆运算，对于任意两个实数a、b（其中b≠0），它们的商为a/b。
实数的运算是数学中最基础的运算，它是其他数学概念和问题的基础。
在实际的数学运算中，实数的运算是很多数学问题的关键。
实数概念整理
实数实数的概念12.1实数的概念无限不循环小数叫做无理数有理数和无理数统称为实数实数的分类：实数有理数正有理数零负有理数无理数正无理数负无理数数的开方12.2平方根和开平方如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。
正数a的两个平方根可以用“±a”表示，其中a表示a的正平方根又叫算术平方根，读作“根号a”；−a表示a的负平方根，读作“负根号a”。
零的平方根记作0，0=012.3立方根和开立方如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，用“a3”表示，读作“三次根号a”，a3中的a叫做被开方数，“3”叫做根指数。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
任何一个实数都只有一个立方根。
12.4 n次方根如果一个数的n次方根（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根。
当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根。
求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数。
实数的运算12.5用数轴上的点表示实数一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
实数a的绝对值记作a。
绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零，非零实数a的相反数是−a负数小于零；零小于正数。
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。
从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。
12.6实数的运算从左边第一个不是零的数开始，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字。
分数指数幂12.7分数指数幂a mn=a m n a≥0a mn=a−m n a>0其中mn为正整数，n>1。
设a>0，b>0，p、q为有理数，那么1a p·a q=a p+q,a p÷a q=a p−q（2）(a p)q=a pq（3）(ab)p=a p·b p,（a）p=a pp。
沪教版数学七年级下册12.1《实数的概念》教学设计
沪教版数学七年级下册12.1《实数的概念》教学设计一. 教材分析沪教版数学七年级下册12.1《实数的概念》是学生在学习了有理数的基础上，进一步扩大数的概念，认识实数的教材。
这部分内容是整个初中数学的基础，对于学生来说，具有承前启后的作用。
本节内容主要介绍实数的概念，包括实数的定义、性质以及实数与数轴的关系等。
教材通过丰富的实例和生动的语言，引导学生逐步理解实数的概念，体会实数在数学中的重要性。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的相关知识，具备了一定的数学基础。
但实数的概念相对抽象，需要学生具有一定的抽象思维能力。
此外，实数与生活实际联系紧密，学生需要能够将抽象的数学概念与实际问题相结合。
根据学生的实际情况，我在教学过程中要注重启发学生思维，培养学生的抽象思维能力，同时注重联系生活实际，提高学生的学习兴趣。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解实数的概念，掌握实数的性质，能够运用实数解决一些简单的问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、交流等活动，培养学生的抽象思维能力，提高学生运用数学语言表达和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：实数的概念、性质以及实数与数轴的关系。
2.教学难点：实数的性质的理解和运用，实数与数轴的关系的把握。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、数轴等教学工具，直观展示实数的概念和性质，提高学生的学习兴趣和理解能力。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习有理数的相关知识，引导学生回顾数的概念，为新课的学习做好铺垫。
2.探究实数的定义：引导学生观察实例，思考实数的定义，并通过讨论、交流得出实数的定义。
3.学习实数的性质：学生进行小组合作学习，探讨实数的性质，引导学生发现并证明实数的性质。
实数的知识点
实数是数学中的一种基本概念，它包括有理数和无理数。
实数的概念在数学中具有重要的地位，并且在各个领域都有广泛的应用。
本文将从基本概念、实数的性质、实数的分类以及实数的应用等方面逐步展开。
一、实数的基本概念实数是数学中最基本的一个数系。
从直观上来理解，实数是包括所有可能的数值，无论是整数、分数还是无理数，都被认为是实数。
实数集通常用符号R表示，其中R代表实数的意思。
实数包括有理数和无理数两个部分。
二、实数的性质 1. 实数的有序性：实数集中的任意两个数都可以进行比较大小。
这是实数集的一个重要性质，它使得我们可以进行数字的排序和比较大小操作。
2. 实数的稠密性：在任意两个实数之间，总是可以找到另外一个实数。
这个性质说明实数集中没有任何空隙，每个数都可以用一个区间包围住。
3. 实数的完备性：实数集中的每个非空有上界的子集都有上确界。
这个性质保证了我们能够对实数进行精确的计算和推理。
三、实数的分类实数可以进一步分为有理数和无理数两个部分。
1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。
有理数可以用分数的形式表示，例如1/2、-3/4等。
2. 无理数：无理数是无法表示为两个整数的比值的数，包括无限不循环小数和无限循环小数。
无理数不能用分数的形式表示，例如π和√2等。
四、实数的应用实数在数学中的应用非常广泛，下面列举一些常见的应用领域：1. 几何学：实数被广泛应用于几何学中，用于描述线段的长度、角的度量等。
2.物理学：实数用于描述物理量的大小和关系，例如时间、质量、速度等。
3. 统计学：实数被用于统计学中，用于描述数据的分布、平均值、方差等。
4. 金融学：实数用于描述金融市场中的价格、收益率等。
5. 计算机科学：实数在计算机科学中被广泛使用，用于表示计算机程序中的浮点数和精确计算。
总结：实数是数学中的一个基本概念，包括有理数和无理数两个部分。
实数具有有序性、稠密性和完备性等性质，这些性质使得实数集在数学中具有重要的地位。
沪教版数学七年级下册12.1《实数的概念》教学设计
沪教版数学七年级下册12.1《实数的概念》教学设计一. 教材分析《实数的概念》是沪教版数学七年级下册第12.1节的内容，主要包括实数的定义、性质和运算。
本节内容是学生学习实数系统的开始，对于学生理解数学概念，掌握数学运算具有重要意义。
教材通过实例引入实数的概念，使学生感受实数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析七年级的学生已具备一定的代数基础，对于数学概念和运算有一定的理解。
但实数概念较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从具体实例中发现实数的性质，逐步形成实数的抽象概念。
三. 教学目标1.理解实数的定义，掌握实数的性质。
2.能够进行实数的运算。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学应用意识。
四. 教学重难点1.实数的定义和性质。
2.实数的运算方法。
五. 教学方法1.实例导入：通过生活中的实际问题，引导学生思考实数的概念。
2.小组讨论：让学生在小组内讨论实数的性质，培养学生的合作能力。
3.自主学习：引导学生通过自主学习，掌握实数的运算方法。
4.练习巩固：通过大量练习，使学生熟练掌握实数的运算。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实数的定义和性质。
2.练习题：准备适量练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，如地图上的距离、物体的高度等，引导学生思考实数的概念。
提问：这些实际问题中的数是什么类型的数？它们有什么共同特点？2.呈现（10分钟）介绍实数的定义，通过课件展示实数的性质，如整数、分数、无理数等。
同时，介绍实数在数轴上的表示方法，使学生形成对实数的直观认识。
3.操练（10分钟）让学生进行实数的基本运算，如加、减、乘、除等。
引导学生通过自主学习，掌握实数的运算方法。
在此过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，检查学生对实数概念和运算的掌握情况。
教师及时批改，给予反馈，指导学生纠正错误。
实数的概念与性质
实数的概念与性质实数是数学中最基本和最广泛使用的一种数，包括有理数和无理数。
作为数学的基础，实数具有一些独特的性质和特点。
本文将探讨实数的概念以及它的性质。
一、实数的概念实数是指包括有理数和无理数的全体数的集合。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
无理数是不能表示为有理数的比值的数，它们通常以无限不循环小数的形式存在。
实数可以通过不同的方式表示和描述，例如：1. 十进制表示法：实数可以用十进制数来表示，有限的十进制数是有理数，无限不循环的十进制数是无理数。
2. 小数和分数表示法：实数可以表示为有限小数或者无限循环小数，有理数可以用分数表示。
3. 数轴表示法：通过在数轴上标记实数的位置，可以直观地表示实数的大小关系。
不同表示方法可以相互转换，实数的概念是统一和相互联系的。
二、实数的性质1. 有序性：实数集是有序的，任意两个实数之间可以进行比较大小。
这是实数集比有理数集更加广泛适用的一个重要性质。
2. 稠密性：实数集是稠密的，任意两个实数之间都存在一个实数。
这意味着在实数集中，无论多么接近的两个实数，总是可以找到另一个实数介于它们之间。
3. 完备性：实数集是完备的，任何一个非空有上界的实数集都有最小上界。
这一性质称为实数集的确界性质，它保证了实数集在数学推导中的连续性和完整性。
4. 代数运算性质：实数集上定义了加法和乘法两种代数运算，满足交换律、结合律、分配律等基本性质。
实数集上还具有整除性和唯一因子分解等重要性质。
5. 密度性：实数集中的有理数和无理数彼此之间也是密集的。
这一性质使得实数集成为了展开无限不循环小数的基础。
6. 绝对值性质：实数的绝对值是非负的，它表示一个数到原点的距离。
绝对值具有非负性、正定性、三角不等式等重要的性质。
7. 有限性：实数集是无限的，没有最大实数和最小实数。
实数集的无限性质使得它可以涵盖无数个数值。
总结：实数是数学中最基本和最广泛使用的一种数。
实数概念知识点总结
实数概念知识点总结一、实数的定义实数是指所有的有理数和无理数的总称。
有理数是指可以表示为两个整数之比的数，无理数是指不能表示为有理数的数。
实数包括了所有的有理数和无理数，是数轴上的所有点的集合。
实数的定义还可以从数轴的角度来理解。
数轴是一条无限长的直线，上面标记了所有的实数。
数轴上任意一点都对应着一个实数，数轴上的点是有序的，也就是说数轴上的点按大小顺序排列。
这种对应关系使得我们可以将实数看做是一个有序的集合。
二、实数的性质1.实数的代数性质实数满足加法、减法、乘法和除法运算。
对于任意的实数a、b和c，有以下代数性质成立：（1）交换律：a + b = b + a，ab = ba；（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，(ab)c = a(bc)；（3）分配律：a(b + c) = ab + ac；（4）单位元素：存在0和1，使得a + 0 = a，a · 1 = a；（5）加法逆元：对于任意的实数a，存在一个数-b，使得a + (-b) = 0；（6）乘法逆元：对于任意的非零实数a，存在一个数1/a，使得a · (1/a) = 1。
2.实数的大小比较实数具有大小的比较关系。
对于任意的实数a和b，有以下性质成立：（1）对于任意的实数a，有a > 0，a = 0或a < 0；（2）对于任意的实数a和b，有严格不等式a < b，a > b或者a = b。
3.实数的密度性质实数是一个稠密的集合，它意味着在数轴上，任意两个不相等的实数之间都存在着无限多个实数。
这一性质对于实数的连续性和无限性具有重要意义。
4.实数的有理数与无理数性质（1）有理数的性质：有理数是可以表示为两个整数之比的数，它们在数轴上是分散的、不连续的点。
有理数包括了整数和分数两种类型。
（2）无理数的性质：无理数是不能表示为有理数的数，它们在数轴上是一些孤立的、不连续的点。
实数知识点总结大全
一、实数的概念及性质1. 实数的定义：实数是指可以用在数轴上表示的数，包括有理数和无理数。
2. 实数的性质：实数具有以下性质：（1）实数集合是一个实数域，它包含了所有实数。
（2）实数是可比较的，即任意两个实数之间可以进行大小比较。
（3）实数是封闭的，对任意两个实数进行加减乘除得到的结果还是实数。
（4）实数满足传递性，即如果a>b，b>c，则a>c。
3. 实数的稠密性：实数的一个重要性质是稠密性，即在任意两个不相等的实数之间，都存在着无穷多个实数。
这意味着实数在数轴上是密密麻麻地分布着的，没有空隙。
4. 实数的有限性：实数作为一种数学对象，是有限的，也就是说，对于任意一个实数，它都可以用有限个操作从某个给定的实数得到。
5. 实数的无限性：实数也具有无限性，例如无理数的小数部分是无限不循环的，这使得实数具有无限性。
二、实数的运算1. 实数的加法：实数的加法满足结合律、交换律和分配律，即对于任意实数a、b、c，有a+(b+c)=(a+b)+c，a+b=b+a，a(b+c)=ab+ac。
2. 实数的减法：实数的减法可以看作加上一个相反数，即a-b=a+(-b)。
3. 实数的乘法：实数的乘法满足结合律、交换律和分配律，即对于任意实数a、b、c，有a(bc)=(ab)c，ab=ba，a(b+c)=ab+ac。
4. 实数的除法：实数的除法满足除法运算的性质，即分子与分母都不为零。
5. 实数的乘方：实数的乘方运算是幂运算的一种特殊形式，即对于实数a和自然数n，有a^n=a*a*...*a（共n个a）。
6. 实数的开方：实数的开方是乘方运算的逆运算，即给定一个实数a，求出另一个实数b，使得b^2=a。
7. 实数的绝对值：实数的绝对值是一个非负的实数，它表示了这个实数到原点的距离，通常用|a|表示。
8. 实数的倒数：对于一个非零实数a，它的倒数是1/a。
1. 实数的大小比较：实数之间可以进行大小比较，对于任意两个实数a和b，有以下比较关系：（1）a>b：表示a大于b。
实数总结归纳
实数总结归纳实数是数学中的一个重要概念，包括有理数和无理数。
本文将对实数进行系统的总结归纳，介绍实数的定义、性质以及实数的分类等内容。
一、实数的定义实数是包括有理数和无理数在内的数的集合。
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，例如分数、整数等；而无理数则是不能表示为两个整数的比值的数，例如根号2、圆周率π等。
实数的定义可以使用数轴上的点表示，数轴上每个点都对应一个实数，实数集合包含了数轴上的所有点。
二、实数的性质1. 实数的封闭性：实数的加法、减法、乘法和除法结果仍为实数。
即，对于任意实数a和b，a+b、a-b、a*b、a/b也是实数。
2. 实数的传递性：对于实数a、b和c，如果a<b，b<c，则必有a<c。
3. 实数的存在性：对于任意两个实数a和b（a<b），总存在一个实数x，使得a<x<b。
这样的实数x称为实数a和b之间的一个有理数。
4. 实数的密度性：在任意两个不同的实数之间，总存在一个无理数。
换言之，实数集合中有无限个有理数和无限个无理数。
5. 实数的无穷性：实数集合是无穷的，没有最大和最小的实数。
三、实数的分类根据实数的性质和特征，可以将实数进一步分类。
1. 有理数：有理数包括整数、分数和循环小数。
整数是正整数、负整数和零的集合；分数是整数的比值；循环小数是具有循环节的无穷小数，可以表示为有限小数或者无限循环小数的形式。
2. 无理数：无理数是不能表示为两个整数比值的数，无理数包括无限不循环小数和无限循环小数的补集。
无限不循环小数是指小数部分无限不循环的无理数，例如根号2、根号3等；无限循环小数是指小数部分有限个数字循环出现的无理数，例如圆周率π等。
3. 代数数和超越数：代数数是指满足多项式方程的实数，代数数包括有理数和无理数，例如整数、分数、根号2、根号3等；超越数是不能满足任何多项式方程的实数，例如圆周率π和自然对数e。
四、实数的运算规则实数的运算遵循一定的规则，包括加法、减法、乘法和除法的性质。
实数是什么
实数是什么
实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。
实数是不可数的。
实数是实数理论的核心研究对象。
所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。
任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。
在保序同构意义下它是惟一的。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列，可以是循环的，也可以是非循环的。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
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12.1实数的概念
教学目标
1．通过动手操作经历发现无理数的过程，了解无理数是客观存在的数，了解无理数的发现是人类理性思维的胜利.
2. 通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数.
3. 了解数系从整数到有理数、再到实数的扩展过程，理解实数系统的结构，体会分类思想. 教学重点及难点
理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数.
教学过程设计
一,复习引入
教师设问：
(1)我们已经学习了有理数，你能举出几个有理数吗？
(2)有理数都可以表示为哪种统一的形式？
(3)是不是所有的数都能表示为分数)0,(≠q q p q
p 都是整数，且的形式？ [说明]前两个问题带领学生复习已有的相关知识；第三个问题设置疑问，引发学生的思考，带着这样的困惑和好奇学习新知.
二,学习新知
1． 操作剪拼正方形，引出2.
要求：能否将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形？怎样剪拼？它的面积是多少？边长如何用代数符号表示？
师：如果设该正方形的边长为x ，那么22=x ，即x 是这样一个数，它的平方等于2.这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度.由于这个数和2有关，我们现在用
2（读作“根号
2”）来表示.
追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？ 类似的，分别用3（读作“根号3”）、5（读作“根号5”）来表示. 2． 尝试说明2是一个无限不循环小数.
要求学生尝试完成以下填空： 假设2是一个有理数，设)0,(2≠=q q p q
p 表示整数且互素，同时， 等式两边分别平方，可以得到2= ，则2p = ，
由此可知p 一定是一个 （填“奇”或“偶”）数，
再设p=2n(n 表示整数)，代入上式，那么2
q = ，
同理可知q 也是 .这时发现p 、q 有了共同的因数2，
这与之前假设中的“ ”矛盾.因此假设不成立，
即2不是 ，而是无限不循环小数. 师生总结：从以上填空可以说明
2是无限不循环小数. 3． 请你再举出几个无限不循环小数的例子. 除了以上提到的2，我们熟悉的圆周率 也是无限不循环小数.此外，我们还可以构造几个无限不循环小数，如：0.202002000200002……、0.123456789101112131415161718192021222324……等.
三,形成概念
1．无理数
无限不循环小数叫做无理数.无理数也有正、负之分.只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数.(无理数的相反数还是无理数)
2．实数
有理数和无理数统称为实数.实数可以这样分类：
正有理数 有理数 零 ——有限小数或无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 ——无限不循环小数 负无理数 有理数还可以分为整数和分数两类
四,巩固练习
1．将下列各数填入适当的括号内：
0、-3、2、6、3.14159、32.0 、722、5、π、0.3737737773….
有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜；
正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜；
非负数：﹛ ﹜；整 数：﹛ ﹜.
2．判断下列说法是否正确，并说明理由：
(1) 无限小数都是无理数； (2)无理数都是无限小数；
(3)正实数包括正有理数和正无理数； (4)实数可以分为正实数和负实数两类；
(5)一个数不能化为分数，它一定是无限不循环小数； (6)一个实数不是有理数，就是无理数；
(7)一个有理数，不是正，就是负； (8)一个无理数，不是正，就是负；
(9)有的无理数可以用有限小数表示。
3．请构造几个大小在3和4之间的无理数.
五、自主小结
请学生谈谈：你学到了什么?
六、布置作业
布置作业：小卷子 12.1习题
课后小结
本节课的知识形成过程：首先通过操作，得到面积为2的正方形，提出 “正方形的边长怎样表示”的问题，引出边长为“2”.然后通过与有理数比较分析并且说理，推出2只能是一个无限不循环小数，{ { {
即无理数.紧接着再举几个无理数的例子.
动手操作和问题讨论的目的，是让学生感受2的现实意义，本节中“”的出现先于定义，暂只作为一个记号，动手操作可以引起学生的兴趣，抓住他们的注意力。
关于练习2中的判断题，我是采用口头读的形式，让学生自己思考判断。
经过课堂实验后，感觉这样不可行，教室纪律有点乱，学生一遍听不清楚。
下次会采用投影的方式来展现，节约时间，多余的时间让学生充分思考，学生看起来也清晰明了。
课末问到今天学了什么，有个学生回答了根号。
那我就顺着问了“带根号的都是无理数吗？”学生都说是，再说到“根号4”，学生由于没有充分理解根号的含义，这对于下节课的开平方有了引入素材，为下节课的开平方做准备，还顺便再加深他们对“带根号的不一定都是无理数”的判断。