§4 功和能

二、 保守力和非保守力： 保守力和非保守力：
1、定义：保守力做功大小与路径无关。 定义：保守力做功大小与路径无关。
a c ha mg b
∆Wi = mg cosθ ∆si = mg ∆hi W = ∑ mg ∆hi = mg ∑ ∆hi = mg ( ha − hb )
∆hi
n n
Σ∆hi
i =1
W外 + W保守内力 + W非保守内力 = Ek − Ek0 W保守内力 = EP 0 − EP 则 W外 + W非保守内力 = Ek + EP） Ek0 + EP 0） （ − （
W ＋ 非保守内 = E − E0 外 W
三、机械能守恒
如果 W外 + W非保守内力 = 0， 则
E = cons.
x2 x2
解：
v v v 2 dr = 5t dti + 2dtj 2w v v d r F = m 2 = ti dt v v 3 dW = F ⋅ dr = 5t dt
2 3 0
W = ∫ 5t dt = 20( J )
二、质点的动能定理： 质点的动能定理：
F 2 2 v − v 0 = 2ax = 2 x m 1 1 2 2 ∴ Fx = mv − mv 0 2 2
合外力所作的功等于 质点动能的增量。 质点动能的增量。
动能定理把过程量功和两个状态的状态量动能联系在一起。
[例题 例题] 一个外力作用在 m=3 kg的物体上，其运动方程为 x=3t的物体上， 的物体上 4t2+t3 （SI）求最初 秒内该力所做的功。 秒内该力所做的功。 ）求最初4秒内该力所做的功
1 2 1 2 = kxa − kxb 2 2
1 2 c = − kxa 2
1 2 ∴U ( x ) = kx 2 1 2 1 2 U ( x ) = kx − kxa 2 2
： 竖 悬 的 簧 劲 系 为 端 一 体， 例 一 直 挂 弹 （ 度 数 k)下 挂 物 ， 以 体 平 体 若 物的 位 为轴 原 ， 作 弹势 和 力 能 零， 证 物 点， 衡 置 Y 的 点 并 为 性能 重 势 的 点试 ： 1 y时 其 性 能 重 势 的 和 ky2 体 位 坐 为 的 置 标 ， 弹 势 和 力能 总 为 2
x1 y1 z1
x2
y2
z2
v dr
1
2
一维时
v v dW F ⋅ dr v v 3、 率 p = 、 率： 功 ： = = F⋅v dt dt
W = ∫ F x dx
x1
x2
[例题 一物体在外力 Fx=3x+2 （SI）作用下，从 x=0 移动到 例题] 移动到x=4m ）作用下， 求该力对物体所做的功。 处，求该力对物体所做的功。 解：这是一维变力做功的问题
解法一：在直角坐标系中 GMm ∂U Fx = − =− r2 ∂x ∂U GMm Fy = − =− r2 ∂y
x r y r
v v ∂U v ∂U v v GMm r ∂U F = −( i+ j+ k) = - 2 r r ∂y ∂z ∂x
解法二：在球面坐标系中
GMm z ∂U Fz = − =− 2 r r ∂y
Fx = − ∂E p ∂x , Fy = − ∂E p ∂y , Fz = − ∂E p ∂z
v ∂E p v ∂E p v ∂E p v F = −( i+ j+ k) ∂x ∂y ∂z
例:已知万有引力势能为 已知万有引力势能为
U(r ) = −G
M m r
应用保守力与势能的微分关系， 应用保守力与势能的微分关系，求万有引力
四、能量守恒定律
能量既不能产生，也不能消灭， 能量既不能产生，也不能消灭，它只能从一种形式转换到 另一种形式，但总能量是守恒的。 另一种形式，但总能量是守恒的。
例题：一质量为M的小车与地面光滑接触，初始静止，一质 例题：一质量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱM的小车与地面光滑接触，初始静止， 量为m物体以初速度v 滑到小车上， 量为m物体以初速度v0滑到小车上，物体与小车间摩擦系数 小车长为d 当物体碰到小车前挡板时速度为v 为µ，小车长为d，当物体碰到小车前挡板时速度为v，此时 小车移动了距离为l 试问系统动量守恒吗？机械能守恒吗? 小车移动了距离为l。试问系统动量守恒吗？机械能守恒吗? 解：系统水平方向所 受合外力为零， 受合外力为零， 动 量守恒。 量守恒。 外力作功为零， 外力作功为零， 内力（摩擦力） 内力（摩擦力）作功 不为零， 不为零，故动能不守 恒。
保守力作功等于系统势能的减少。 保守力作功等于系统势能的减少。
1、重力势能 、
W = ∑ mg ∆hi = mg ∑ ∆hi = mg ( ha − hb )
i =1 i =1
n
n
若U(a)=mgha+c, U(b)=mghb +c ，c为任意常数，可 为任意常数， 为任意常数 的值只有c值确定后才能确定 见U(a)的值只有 值确定后才能确定。这就是确定势能 的值只有 值确定后才能确定。 零点。 零点。
=G
r
2
cosα dr
O
M
r rb
b
万有引力的功
r m M dW = G 2 cosα dr r r r r r Q−dr cosα = dr cos(π −α)
a
r r
r F
m
r dr
α
dr
a
= dr
b m M M ∴dW = −G 2 dr r r 1 1 rb m M b M W = ∫ dW = ∫r −G 2 dr= −G m ( − ) ra rb ra a r
dU dU 解：（ ） = 0, 2 > 0 1 dx dx 2a ⇒x=6 b
2
dU 12a 6b F =− = 13 − 7 dx x x
§4.4 机械能守恒定律
一、质点系的动能定理
∑W
i外
+ ∑ Wi内 = ∑ E ik − ∑ E ik 0
W外 + W内 = E k − E k 0
二、功能原理
预备知识
矢量的乘法 1. 矢量与标量相乘
v v v v v v v ca = c(a x i + a y j + a z k ) = ca x i + ca y j + ca z k
b φ a
2. 矢量的点乘（标量积）
v v v v c = a ⋅ b = a b cosφ = abcosφ
按照这个定义，
非稳定平衡点x5：
稳定平衡点在势能极小值处。
例：双原子分子中两原 子的相互作用势能函数 可近似写成 a b U ( x ) = 12 − 6 x x 均为正的常量， 为原子间的距离。 式中a , b均为正的常量， x为原子间的距离。求： 为何值时， 为极小？ （1）x为何值时， U ( x )为极小？ 为多少？ （2）两原子间的力 F为多少？
1
r
v v′ F 21
m2
v r1
xO
v r2
r r r r dW = F ⋅ dr1 + F21 ⋅ dr2 12 r r r r v = F ⋅ dr1 + F21 ⋅ d(r1 + r′) 12 r v dW = F21 ⋅ dr′
y
作用力与反作用力的功不一定为0 （1）一对作用力与反作用力的功不一定为0 ）一对作用力与反作用力的功不一定为 注意： 注意： （2）一对内力作功之和与相对位移有关。 ）一对内力作功之和与相对位移有关。 （3）两质点之间内力作功之和与参照系无关（包括非 ）两质点之间内力作功之和与参照系无关（ 惯性系），可选相对m 静止的参照系来计算。 ），可选相对 惯性系），可选相对 1静止的参照系来计算。
3 2 W = ∫ Fd x = ∫ ( 3 x + 2)d x = ( x + 2 x ) 4 = 32 J 0 x1 x1 2 v v 5 3v 例：质量为0.1kg的质点，沿曲线r = t i + 2tj ( SI )运动，求在t = 0 3 到t＝2 s时间内，作用在该质点的合外力对质点所做的功
M m ra
+c
∴U(ra ) = −G
M m ra
§4.3 保守力和势能函数的微分关系 一、微分关系
v v − dE p = F ⋅ dl = F cos φdl = Fl dl dE p Fl = − dl
在直角坐标系 中，势能为 势能为Ep(x,y,z)
v v − dE p = F • dr = Fx dx + F y dy + Fz dz
i =1
hb
保守力沿闭合路径作功为零。 保守力沿闭合路径作功为零。 v v ∫ F ⋅ ds = 0
三、势能
因为保守力做功与路径无关，只与物体间相互位置有关， 因为保守力做功与路径无关，只与物体间相互位置有关， 叫势能函数。 所以可定义一个位置的函数U(r)，叫势能函数。
W =∫ 保
b
a
v v v v F ⋅ dr = −∆U =U(ra ) −U(rb )
O
r rb
由此可见， 由此可见 ， 万有引力作功也仅仅与质点的始 末位置有关，与具体路径无关。 末位置有关，与具体路径无关。
引力势能
Mm r v Mm Mm ∫ − G r 2 r ⋅ dr = −G ra − (−G rb ) ra
rb
∴U(ra ) = −G
若选无穷远为势能零点， 若选无穷远为势能零点，则c=0， ，
dx 解： v = = 3 − 8t + 3t 2 dt t = 0 v0 = 3 m ⋅ s -1 t = 4 v4 = 19 m ⋅ s -1 1 1 2 2 W = mv 4 − mv 0 = 528 J 2 2