【最新】人教版九年级数学上册22-1二次函数的图象和性质1 导学案(无答案)
新人教版初中数学九年级上册《22.1二次函数的图象和性质》公开课导学案_2
《二次函数的定义》----人教版九年级上册第22章第1节一、教材分析二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础，二次函数和以前学过的一元二次方程及后继学习的一元二次不等式都有着密切的联系。
进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。
本节课内容“二次函数的定义”是在学生学习了一次函数的基础上进行的，是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象，研究其性质做铺垫。
所以这节内容在整个教材中的重要作用也就显然易见了。
二、教学目标根据本课内容的特点及课标要求，结合学生已有的“数学现实”和认知特点，我将本课教学目标定位为：知识技能：1．使学生理解二次函数的概念；2、会判断一个给定函数是否为二次函数；3. 会根据实际问题列出二次函数关系式，体会函数模型思想．过程与方法：复习旧知，引入新问题，让学生经历二次函数概念的形成过程，从中提高学生解决问题的能力情感态度：通过观察、探究、归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，增强学好数学的愿望与信心，体会并实践从特殊到一般的思维方法．三、教学重点、难点教学重点：二次函数概念的理解（包括它的形成、表述、辨析、应用过程）教学难点：由实际问题确定函数解析式及确定简单自变量的取值范围。
四、教学方法本节课我采用由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略和启发式探索发现法,五、教学过程教学环节（一）教师活动1、引导学生欣赏有关学生活动欣赏图片设计意图1、从生活中漂亮的图图片欣赏引入课题（二）创设情境探究关系（三）归纳抽象形成概念（四）运用新知深刻理解抛物线的图片，引入二次函数的学习。
2、知识回顾接下来请同学们思考几个问题：问题1：（课件）问题2：（现在握手）问题3：（课件）1、观察上面3个问题反映的函数关系式有何共同特点。
2、二次函数的定义3、对定义的两点理解（突破重难点）1．判断题2.选择题3．填空题4．解答题5．开放题（题目看附1）主要复习已学函数的定义形式：问题1学生独立思考并直接回答。
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质(1)》教学设计
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.1节《二次函数的图象和性质（1）》是本册教材的重要内容，主要介绍二次函数的一般形式、图象特点以及一些基本性质。
通过本节内容的学习，学生可以掌握二次函数的基本知识，为后续学习二次函数的应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，具备一定的函数知识基础。
但二次函数相对复杂，学生对其理解和掌握可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察、思考、探索等方式，自主发现和总结二次函数的性质。
三. 教学目标1.理解二次函数的一般形式和图象特点。
2.掌握二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的概念。
3.能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特点。
2.二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的理解与应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探索等方式自主学习。
2.利用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图象和性质。
3.注重数学语言的训练，引导学生规范表达。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学模型来描述这些问题。
例如，抛物线运动、物体抛掷等。
从而引出二次函数的概念。
2.呈现（10分钟）利用多媒体课件，呈现二次函数的一般形式和图象特点。
引导学生观察并总结二次函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过计算器或者绘图软件，自己动手绘制一些二次函数的图象，并观察其性质。
同时，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用所学的二次函数知识解决问题。
教师及时批改并给予反馈，帮助学生巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，例如抛物线射门、跳水运动等。
(新人教版) 数学 九年级上册 22.1 二次函数的图象和性质 (导学案)
22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系．重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系．难点：理解二次函数的有关概念．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空．总结归纳：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__．A．y＝(x－3)2－1B．y＝1－2x2C．y＝13(x＋2)(x－2)D．y＝(x－1)2－x22．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是__2__，常数项是__0__．3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1若y＝(b－2)x2＋4是二次函数，则__b≠2__．探究2某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？解：(1)y＝－10x2＋1400x－40000(50<x<100)．(2)由题意得：－10x2＋1400x－40000＝8000，化简得x2－140x＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？2．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与1x成反比例，则y与x的函数关系是(A)A．二次函数B．一次函数C．正比例函数D．反比例函数3．已知，函数y＝(m－4)xm2－m＋2x2－3x－1是关于x的函数．(1)m为何值时，它是y关于x的一次函数？(2)m为何值时，它是y关于x的二次函数？点拨精讲：第3题的第(2)问，要分情况讨论．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2，试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式．点拨精讲：1.二次函数不要忽视二次项系数a≠0.2．有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)22．1.2二次函数y＝ax2的图象和性质1．能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解其性质．2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感．重点：描点法作出函数的图象．难点：根据图象认识和理解其性质．一、自学指导．(7分钟)自学：自学课本P30～31“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法作出函数的图象，理解其性质，完成填空．(1)画函数图象的一般步骤：取值－描点－连线；(2)在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝12x2和y＝2x2的图象；点拨精讲：根据y≥0，可得出y有最小值，此时x＝0，所以以(0，0)为对称点，对称取点．(3)观察上述图象的特征：形状是抛物线，开口向上，图象关于y轴对称，其顶点坐标是(0，0)，其顶点是最低点(最高点或最低点)；(4)找出上述三条抛物线的异同：__________．(5)在同一坐标系中画出函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2和y ＝－2x 2的图象，找出图象的异同． 点拨精讲：可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律．总结归纳：一般地，抛物线的对称轴是y 轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．a 越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．教材P 41习题22.1第3，4题．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 填空：(1)函数y ＝(－2x)2的图象形状是______，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______．(2)函数y ＝x 2，y ＝12x 2和y ＝－2x 2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式． 解：(1)抛物线，(0，0)，y 轴，向上；(2)根据抛物线y ＝ax 2中，a 的值来判断，在x 轴上方开口小的抛物线为y ＝x 2，开口大的为y ＝12x 2，在x 轴下方的为y ＝－2x 2. 点拨精讲：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y ＝ax 2中，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；|a|越大，开口越小．探究2 已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数．(1)求满足条件的m 的值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)m 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－3，m ≠－2.∴当m ＝2或m ＝－3时，原函数为二次函数． (2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m ＋2>0，即m>－2，∴只能取m ＝2. ∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y 随x 的增大而增大．(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m ＋2<0，即m<－2，∴只能取m ＝－3.∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，∴m ＝－3时，函数有最大值为0.∴x>0时，y随x的增大而减小．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．二次函数y＝ax2与y＝－ax2的图象之间有何关系？2．已知函数y＝ax2经过点(－1，3)．(1)求a的值；(2)当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况．3．二次函数y＝－2x2，当x1>x2>0，则y1与y2的关系是__y1＜y2__．4．二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是(B)点拨精讲：1.二次函数y＝ax2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取5～7个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；2．抛物线y＝ax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(1)1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．了解抛物线y＝ax2上下平移规律．重点：会作函数的图象．难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P32～33“例2”及两个思考，理解y＝ax2＋k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空．总结归纳：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是(0，0)，开口方向由a的符号决定：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向__下__．当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．抛物线有最__低__点，函数y有最__小__值．当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．抛物线有最__高__点，函数y有最__大__值．抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到，当k>0时，向__上__平移；当k<0时，向__下__平移．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．在抛物线y＝x2－2上的一个点是(C)A．(4，4)B．(1，－4)C ．(2，2)D ．(0，4)2．抛物线y ＝x 2－16与x 轴交于B ，C 两点，顶点为A ，则△ABC 的面积为__64__． 点拨精讲：与x 轴的交点的横坐标即当y 等于0时x 的值，即可求出两个交点的坐标．3．画出二次函数y ＝x 2－1，y ＝x 2，y ＝x 2＋1的图象，观察图象有哪些异同？点拨精讲：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)探究1 抛物线y ＝ax 2与y ＝ax 2±c 有什么关系？解：(1)抛物线y ＝ax 2±c 的形状与y ＝ax 2的形状完全相同，只是位置不同；(2)抛物线y ＝ax 2向上平移c 个单位得到抛物线y ＝ax 2＋c ；抛物线y ＝ax 2向下平移c 个单位得到抛物线y ＝ax 2－c.探究2 已知抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y ＝－2x 2＋4，试求a ，c 的值．解：根据题意，得⎩⎨⎧a ＝－2，c －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，c ＝6. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(13分钟)1．函数y ＝ax 2－a 与y ＝ax －a(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )2．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为( B )A ．y ＝x 2－4B ．y ＝－34x 2＋3 C ．y ＝32(2－x)2 D ．y ＝32(x 2－2) 3．二次函数y ＝－x 2＋4图象的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，4)，当x<0，y 随x 的增大而增大．4．抛物线y ＝ax 2＋c 与y ＝－3x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，5)，则其表达式为y ＝－3x 2＋5，它是由抛物线y ＝－3x 2向__上__平移__5__个单位得到的．5．将抛物线y ＝－3x 2＋4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y ＝3x 2＋4．6．已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝5x2＋1的图象关于x轴对称，则a＝__－5__，c＝__－1__．点拨精讲：1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律．(可结合图象理解)2．抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长，有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(2)1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．难点：能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P33～34“探究”与“思考”，掌握y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2的相关性质，完成填空．画函数y＝－12x2、y＝－12(x＋1)2和y＝－12(x－1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物线y＝－12x2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？点拨精讲：观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况．总结归纳：二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴为直线x＝h．当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，抛物线有最低点，函数y有最小值；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x的增大而减小，抛物线有最高点，函数y有最大值．抛物线y＝ax2向左平移h个单位，即为抛物线y＝a(x＋h)2(h>0)；抛物线y＝ax2向右平移h个单位，即为抛物线y＝a(x－h)2(h>0)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．教材P35练习题；2．抛物线y＝－12(x－1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是x＝1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线y＝－1 2x2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)探究1在直角坐标系中画出函数y ＝12(x ＋3)2的图象． (1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)根据图象回答，当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 取最大值或最小值？(3)怎样平移函数y ＝12x 2的图象得到函数y ＝12(x ＋3)2的图象？ 解：(1)对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标(－3，0)；(2)当x<－3时，y 随x 的增大而减小；当x>－3时，y 随x 的的增大而增大；当x ＝－3时，y 有最小值；(3)将函数y ＝12x 2的图象沿x 轴向左平移3个单位得到函数y ＝12(x ＋3)2的图象． 点拨精讲：二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点． 探究2 已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝－2x 2平移后的顶点与点A 重合．(1)求平移后的抛物线l 的解析式；(2)若点B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)在抛物线l 上，且－12<x 1<x 2，试比较y 1，y 2的大小．解：(1)∵y ＝x ＋1，∴令y ＝0，则x ＝－1，∴A(－1，0)，即抛物线l 的顶点坐标为(－1，0)，又抛物线l 是由抛物线y ＝－2x 2平移得到的，∴抛物线l 的解析式为y ＝－2(x ＋1)2.(2)由(1)可知，抛物线l 的对称轴为x ＝－1，∵a ＝－2<0，∴当x>－1时，y 随x 的增大而减小，又－12<x 1<x 2，∴y 1>y 2. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．不画图象，回答下列问题：(1)函数y ＝3(x －1)2的图象可以看成是由函数y ＝3x 2的图象作怎样的平移得到的？(2)说出函数y ＝3(x －1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．(3)函数有哪些性质？(4)若将函数y ＝3(x －1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象？点拨精讲：性质从增减性、最值来说．2．与抛物线y ＝－2(x ＋5)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y ＝2(x ＋5)2．3．对于函数y ＝－3(x ＋1)2，当x>－1时，函数y 随x 的增大而减小，当x ＝－1时，函数取得最大值，最大值y ＝0．4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位长度得到y ＝x 2－2x ＋1的图象，则b ＝－6，c ＝9．点拨精讲：比较函数值的大小，往往可根据函数的性质，结合函数图象，能使解题过程简洁明了．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质(3)1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象．2．能正确说出y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的平移规律．重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象．难点：能正确说出y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的平移规律．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 35～36“例3、例4”，掌握y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2之间的关系，理解并掌握y ＝a(x －h)2＋k 的相关性质，完成填空．总结归纳：一般地，抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2的形状相同，位置不同，把抛物线y ＝ax 2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a(x －h)2＋k ，平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定：当h>0时，表明将抛物线向右平移h 个单位；当k<0时，表明将抛物线向下平移|k|个单位．抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的特点是：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x ＝h ；顶点坐标是(h ，k)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟1．教材P 37练习题2．函数y ＝2(x ＋3)2－5的图象是由函数y ＝2x 2的图象先向左平移3个单位，再向下平移5个单位得到的；3．抛物线y ＝－2(x －3)2－1的开口方向是向下，其顶点坐标是(3，－1)，对称轴是直线x ＝3，当x>3时，函数值y 随自变量x 的值的增大而减小．一、小组讨论：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 填写下表：探究2 已知y ＝a(x －h)2＋k 是由抛物线y ＝－12x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a ，h ，k 的值；(2)在同一坐标系中，画出y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝－12x 2的图象；(3)观察y ＝a(x －h)2＋k 的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 的增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察y ＝a(x －h)2＋k 的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？解：(1)∵抛物线y＝－12x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是y＝－12(x－1)2＋2，∴a＝－12，h＝1，k＝2；(2)函数y＝－12(x－1)2＋2与y＝－12x2的图象如图；(3)观察y＝－12(x－1)2＋2的图象可知，当x<1时，y随x的增大而增大；x>1时，y随x的增大而减小；(4)由y＝－12(x－1)2＋2的图象可知，对于一切x的值，y≤2.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．将抛物线y＝－2x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是y＝－2(x－3)2＋2．点拨精讲：抛物线的移动，主要看顶点位置的移动．2．若直线y＝2x＋m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝(x－m)2＋1的顶点必在第二象限．点拨精讲：此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别．3．把y＝2x2－1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是y＝2(x－1)2－3．4．已知A(1，y1)，B(－2，y2)，C(－2，y3)在函数y＝a(x＋1)2＋k(a>0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y2<y3<y1．点拨精讲：本节所学的知识是：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象画法及其性质的总结；平移的规律．所用的思想方法：从特殊到一般．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(1)1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．2．能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．3．会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题．重点：会画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．难点：能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 37～39“思考、探究”，掌握将一般式化成顶点式的方法，完成填空． 总结归纳：二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的顶点坐标是(h ，k)，对称轴是x ＝h ，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x>h 时，y 随x 的增大而增大，当x<h 时，y 随x 的增大而减小；当a<0时，开口向下，此时二次函数有最大值，当x<h 时，y 随x 的增大而增大，当x>h 时，y 随x 的增大而减小；用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c 化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，则h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b 24a ；则二次函数的图象的顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a )，对称轴是x ＝－b 2a ；当x ＝－b 2a时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大(最小)值，当a<0时，函数y 有最大值，当a>0时，函数y 有最小值．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．求二次函数y ＝x 2＋2x －1顶点的坐标、对称轴、最值，画出其函数图象．点拨精讲：先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 将下列二次函数写成顶点式y ＝a(x －h)2＋k 的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴．(1)y ＝14x 2－3x ＋21；(2)y ＝－3x 2－18x －22. 解：(1)y ＝14x 2－3x ＋21 ＝14(x 2－12x)＋21 ＝14(x 2－12x ＋36－36)＋21 ＝14(x －6)2＋12 ∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，12)，对称轴是x ＝6.(2)y ＝－3x 2－18x －22＝－3(x 2＋6x)－22＝－3(x 2＋6x ＋9－9)－22＝－3(x ＋3)2＋5∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，5)，对称轴是x ＝－3.点拨精讲：第(2)小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．探究2用总长为60 m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？(1)S与l有何函数关系？(2)举一例说明S随l的变化而变化？(3)怎样求S的最大值呢？解：S＝l(30－l)＝－l2＋30l(0＜l＜30)＝－(l2－30l)＝－(l－15)2＋225画出此函数的图象，如图．∴l＝15时，场地的面积S最大(S的最大值为225)．点拨精讲：二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．y＝－2x2＋8x－7的开口方向是向下，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，1)；当x＝2时，函数y有最大值，其值为y＝1．2．已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)有最大值，且ac＝4，则二次函数的顶点在第四象限．3．抛物线y＝ax2＋bx＋c，与y轴交点的坐标是(0，c)，当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，交点坐标是(－b2a，0)；当b2－4ac＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，交点坐标是2a，0)；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，若抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则y＝ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)．点拨精讲：与y轴的交点坐标即当x＝0时求y的值；与x轴交点即当y＝0时得到一个一元二次方程，而此一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，所以二次函数与x轴的交点情况也分三种．注意利用抛物线的对称性，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可先用交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，x1，x2为两交点的横坐标．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(2)能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．重难点：能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 39～40，自学“探究、归纳”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，完成填空．总结归纳：若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为y ＝a(x －h)2＋k ，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)，可设函数的关系式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，把另一点坐标代入式中，可求出解析式．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．二次函数y ＝4x 2－mx ＋2，当x<－2时，y 随x 的增大而减小；当x>－2时，y 随x 的增大而增大，则当x ＝1时，y 的值为22．点拨精讲：可根据顶点公式用含m 的代数式表示对称轴，从而求出m 的值．2．抛物线y ＝－x 2＋6x ＋2的顶点坐标是(3，11)．3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象大致如图所示，下列判断错误的是( D )A ．a<0B ．b>0C ．c>0D ．ac>0第3题图 第4题图 第5题图4．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的对称轴是直线x ＝1，且经过点P(3，0)，则a －b ＋c 的值为( A )A ．0B ．－1C ．1D ．2点拨精讲：根据二次函数图象的对称性得知图象与x 轴的另一交点坐标为(－1，0)，将此点代入解析式，即可求出a －b ＋c 的值．5．如图是二次函数y ＝ax 2＋3x ＋a 2－1的图象，a 的值是－1．点拨精讲：可根据图象经过原点求出a 的值，再考虑开口方向．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，求函数的关系式和对称轴．解：设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－3，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴函数的解析式为y ＝x 2－2x －3，其对称轴为x ＝1.探究2 已知一抛物线与x 轴的交点是A(3，0)，B(－1，0)，且经过点C(2，9)．试求该抛物线的解析式及顶点坐标．解：设解析式为y ＝a(x －3)(x ＋1)，则有a(2－3)(2＋1)＝9，∴a ＝－3，∴此函数的解析式为y ＝－3x 2＋6x ＋9，其顶点坐标为(1，12)．点拨精讲：因为已知点为抛物线与x 轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单．而顶点可根据顶点公式求出．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．已知一个二次函数的图象的顶点是(－2，4)，且过点(0，－4)，求这个二次函数的解析式及与x 轴交点的坐标．2．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1，0)，且关于直线x ＝12对称，那么它的图象还必定经过原点．3．如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．点拨精讲：二次函数解析式的三种形式：1.一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ；2.顶点式y ＝a(x －h)2＋k ；3.交点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)．利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)。
新人教版九年级数学上册22-1二次函数的图象和性质1 导学案(无答案)
顶点坐 对称轴 标 点 或最低 最值
当 x＝____时，y 有最_______值， 是______
y＝－8x
2．若二次函数 y＝ax 的图象过点（1，－2） ，则 a 的值是___ ________． 3．二次函数 y＝(m－1)x 的图象开口向下，则 m____________． 4．函数 y＝— 3x 的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当 x＝___________时，有最_________值是_________． 5．已知 a<－1，点（a－1，y1） ， （a，y2） ， （a+1，y3）都 在函数 y=x 的图象上，则（ ） A．y1<y2<y3 B．y1<y3<y2
2 k 4
m2 m
开口向下，求 m 的值．
是二次函数，且当 x 0 时，y 随 x 的增大而增大．
（2）求顶点坐标和对称轴．
k 2 k 10
中，当 x 0 时，y 随 x 的增大而增大．
（1）求 k 的值； （2）作出函数的图象（草图） ． 例 4．一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过 M（-2，2） ． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象； （2）写出抛物线上与点 M 关于 y 轴对称的点 N 的坐标，并求出 MON 的面积． 五、课堂训练 1．填表： 开 有最高 口 方 向 2 2 y＝ x 3 当 x＝____时，y 有最_______值， 是______．
2
„ „ „ „
－3
－2
－1
0
1
2
3
„ „
－4
－3
－2
－1
0
1
新人教版九年级数学上册22-1二次函数的图象和性质2 导学案(无答案)
四、布置作业 1.练习册第 4、5、6、7 题 2.课本第 33 页练习
课后反思
新人教版九年级数学上册 22-1 二次函数的图象和性质 2 导学案
1．会画二次函数 y＝ax ＋k 的图象； 学习目标 2．掌握二次函数 y＝ax ＋k 的性质，并会应用； 3．知道二次函数 y＝ax 与 y＝的 ax ＋k 的联系． 学习重点 学习难点 学习方法 学习准备 备 课 组 补 充 一、探索新知： 探究 1. 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y＝x ＋1，y＝x －1 的图象． 解：先列表 x y＝x ＋1 y＝x －1 描点并画图 观察图象得 ： 教 学 流 开口 程 方向 y＝x
2 2 2 2 2 2 2 2
2
当 x＝______时;k（a≠0）的性质
1．抛物线 y＝ax +k 关于
2
对称，顶点是
.
2.(1)当 a＞0 时，抛物线的开口_______，顶点是抛物线的最
点，当 x=
时，y 有最小值
，在 y 轴 的左侧，y 随 x 的增大而 ； ，顶点是抛物线的最
有最高 最值 （低）点 当 x＝___时， y 有最____值为 ____；
y＝x －1 ____； y＝x ＋1 _____； 2．可以发现，把抛物线 y＝x 向______平移______个单位，就得到抛物线 y＝x ＋1；
2 2 2
2
当 x＝___时， y 有最____值为
当 x＝__时，y 有最____值为
把抛物线 y＝x 向_______平移____个单位，就得到抛物线 y＝x －1． 3．抛物线 y＝x ，y＝x －1 与 y＝x ＋1 的形状_____________． 探究 2. 在同一直角坐标系中， 画出二次函数 y＝—x 象． 解：先列表 x y＝—x
人教版九年级上册数学二次函数的图象和性质-22.1.1二次函数(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体抛射运动的情况？”（如抛篮球）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的图象和性质的奥秘。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了二次函数的图象和性质，我发现学生们对于这个新概念的理解程度各有不同。有的同学能迅速抓住二次函数的定义，通过图象直观地看出它的性质，但也有一些同学在理解对称轴和顶点坐标的计算上遇到了困难。
我意识到，在讲解对称轴和顶点坐标的计算时，需要更具体、更直观的例子来说明。可能的话，我可以借助一些教具，比如坐标系模型，让学生们亲手操作，感受二次函数图象的变化，从而更深刻地理解这些性质的计算过程。
人教版九年级上册数学二次函数的图象和性质-22.1.1二次函数（教案）
一、教学内容
人教版九年级上册数学第22章第一节“二次函数”的第一课时，主要内容包括：
1.二次函数的定义：y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）；
2.二次函数的图象：抛物线，探讨a、b、c对图象的影响；
3.二次函数的性质：
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的图象特征和性质这两个重点。对于难点部分，如对称轴和顶点坐标的计算，我会通过具体例子和图象来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如物体抛射的最高点计算。
人教版初中数学课标版九年级上册第二十二章22.1二次函数的图象和性质导学案(无答案)(00002)
人教版初中数学课标版九年级上册第二十二章22.1二次函数的图象和性质导学案（无答案）22.1.2 二次函数 y=ax 2的图象和性质一、学习目标1．知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数y ＝ ax 2的图象；3．掌握二次函数y ＝ ax 2的性质，并会灵活应用。
二、重难点重点：二次函数y ＝ ax 2的性质；难点：通过画图观察得到二次函数y ＝ ax 2的性质。
三、学习过程 （一）小测（二）探究活动一1、在平面直角坐标系中，画出二次函数y = x 2的图像。
（1）列表x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 2……（2）描点 （3）连线 （4）写解析式2、性质总结：当a >0时，y = ax 2的图像是一条 ，开口向 ，关于 对称，顶点坐标是 ，有最 值。
在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴右侧，y 随x 的增大而 。
3、即时练习：函数y=3x 2的图像是 线，开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
在对称轴左侧，y 随x 增大而 ，在对称轴右侧，y 随x 增大而 。
当x= 时，y 有最 值。
（三）探究活动二1、在平面直角坐标系中，画出二次函数y= - x 2的图像。
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y= - x 2 ……2、性质总结：当a<0时，y=a x 2的图像是一条 ，开口向 ，关于 对称，顶点坐标是 ，有最 值。
在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴右侧，y 随x 的增大而 。
3、即时练习：二次函数y= mx 2的图像如图所示，则m 0，开口向 ，xxyy6、若抛物线y=41x 2上点P 的坐标为(2 ，a)，则抛物线与点P 关于y 轴对称的点P ＇的坐标为 。
（六）课堂小结1、这节课你学了什么？2、还有什么疑惑？（七）课后作业1、关于“性质总结表格”，随意发挥。
2、画二次函数y=（x-1）2的图像（A 、B 组）。
九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质导学案5(无
二次函数的图象和性质学习目标 1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象；2．掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质；3．会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题． 学习重点 掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质 学习难点 会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题 学习方法 分析比较归纳学习准备对二次函数特殊形式的性质的归纳左 ，右 ；上下平移，上 ，下y ＝2x 2y ＝2x 2＋1y ＝2 (x-1)2y ＝2 (x －1)2＋1开口方向 顶点坐标 对称轴有最 值是____ 有最 值是____ 最 值，是____最 值，是____左 ，右 ；上下平移，上 ，下左 ，右 ；上下平移，上 ，下例1：二次函数4)1(-2++=x y 的图象的开口方向________，顶点坐标是________， 对称轴是_________. 当x ______时,y 随着x 的增大而增大, 当x ______时, y 随着x 的增大而减少.当x =_____时，函数有最_______值是_________.例2：二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到.例3：利用配方法求二次函数的顶点坐标及对称轴 . (1)225y x x =-+ (2)2y x x =-+(3)225y x x =++例4：用待定系数法求二次函数解析式.例1、已知一个二次函数的图像的顶点在原点，且经过点（1，3），求这个二次函数的表达式.例2、已知抛物线的顶点坐标是(-1,-2)，且经过点（0，1），求这个二次函数的表达式.例3、已知二次函数当x=3时有最大值4，并且图象经过点（4，－3），求这个二次函数的表达式. 三、练习检测：1将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．22(1)y x =+B ．22(1)y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-2抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3） 3二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ．234二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ）A ．(18)-，B ．(18)，C ．(12)-，D ．(14)-，5、将函数2y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46、两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值 7、在抛物线2y x =-上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（ ） A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ≠0 D ．x ≥08、知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（ ）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >9.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的形式，则n m ⋅=__________ 10二次函数52-+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。
人教版九年级上册数学导学案：22.1.1二次函数(无答案)
课题：22.1.1二次函数 主备： 审核： 班级： 姓名：【核心目标】1、经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，理解并掌握二次例函数的概念2、能判断一个给定的函数是否为二次例函数3、能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式。
【课前自学】回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？1.设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2.形如___________y =（ ）的函数是一次函数，图像是经过 、 两点的直线；当______0=时，它是 函数，图像是经过 的直线。
3．正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,写出y 与x 的关系。
4.n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系? 即5.某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示? 即6.观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 【课堂导学】一、交流展示1.小组展示二次函数的定义：2.小组讨论二次函数的二次项系数a 、一次项系数b 和常数项c 的取值。
.二、知识点拔1.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1） y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2（4）y ＝3x 3＋2x 2（5）2. 是二次函数，则m 的值为______________． 3．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数；（2）当m__________时，该函数为一次函数．三、达标训练1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10cm 。
人教版九年级数学上册第22章二次函数22.1.1.二次函数(第1课)(导学案 无答案)
22.1.1二次函数目标导航】了解并掌握二次函数的意义；【新课讲授】探究一：1．圆的半径是R ，它的面积为S ，写出S 与R 之间的函数关系式．2．多边形边数为n ，对角线数为d ，写出d 与n 之间的函数关系式．3．把一根长为50 cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x (cm)，它的面积为y (cm 2)，则y 与x之间的函数关系式为4.某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，写出y 与x 之间的函数关系式． 观察提问：比较这三个函数，都是用自变量的几次式来表示的？定义：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．注意①一个函数是二次函数的条件：一是 ；二是 ．②二次函数的一般式是 ，其中 是变量，a 、b 、c 是常数；自变量x 的取值范围是 ，b 和c 可以取 ，但要注意 ．③任何一个二次函数的解析式都可以整理为y=ax 2+bx+c 形式，当变量y 取定一个常数时，这个二次函数就是关于x 的一元二次方程．练习一1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数？（1）y =5x ＋1 （2）y =4x 2－1 （3）y =2x 3－3x 2（4）23x y =- （5）2(1)y x =-- （6）232y x x x=-+ （7）(1)y x x =- （8）22(12)y x x x =+- 2.二次函数y ＝ －x 2－2x ＋1的二次项系数是____，一次项系数是_____ ，常数项是_____.3.二次函数y ＝2 (x ＋2)2－3的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_______.4．等腰直角三角形的斜边长为x ，面积为S ，则S 与x 之间满足的解析式为____________．5.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10米)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的一边长AB 为x 米，面积为S 平方米，则S 关于x 的函数解析式为________________，自变量x 的取值范围为________________．例1已知y 与x 2成正比例关系，并且当x ＝－1时，y ＝－3.求：(1)函数y 与x 的函数关系式；(2)当x ＝－4时，y 的值；(3)当y ＝－13时，x 的值． 例2（1）若22()m m y m m x -=+是二次函数，求m 的值．（2）当k 为何值时，函数221(1)(3)kk y k x k x k --=++-+是二次函数？练习二1．若y＝(2－m)xm2－3是二次函数，则m的值为( )A．± 5 B． 5 C．－ 5 D．02.若y＝ (m＋2)x m2＋m是关于x二次函数，则常数m的值为( )A．1 B．2 C．－2 D．1或－23.若y＋2与x2成正比例，且当自变量x为3时，函数值y为25，则这个二次函数的解析式是________．4.二次函数y＝－x2 ＋x＋1当x＝－1时，y＝_______，当________时，_________.5.观察下列各图中小球的摆放规律，若第n个图中小球的个数为y，则y与n的函数关系式为________.【课堂反馈】1.下列各式中，y是x的二次函数的是( )A．y＝8x2＋1 B．y＝2x－4 C．y＝3x2＋1x2D．y＝3x2.在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆，剩下圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为( ).A．y＝πx2－4 B．y＝π(2－x)2 C．y＝－(x2＋4) D．y＝－πx2＋16π3.为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价的百分率是x，该药品原价是m元，两次降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式是( ).A．y＝2m(1－x) B．y＝2m(1＋x) C．y＝m(1－x)2D．y＝m(1＋x)24.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC.设CD长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )A．y＝225x2 B．y＝425x2 C．y＝25x2 D．y＝45x25.下列各式：①y＝x＋2；②y＝2x2；③y＝2x；④y＝21x；⑤y＝(x－1)(x＋2)；⑥y＝2(x－1)2＋2；⑦y＝(2x ＋1)(x－2)－2x2；其中y是x的二次函数的有_________(只填序号)6.已知函数y＝(m－3)x2－x＋5是二次函数，则常数m的取值范围是______.7.若y＝－2xm2－1＋x－5是二次函数，则m的值为________；若y＝(k－2)x2－3x是二次函数，则k的取值范围是________．8.函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图像经过y轴上一点，则这个点的坐标是_____.9. 多边形的对角线的条数y与边数n的关系式是 _______ .10.若物体运动的路程s(m)与时间t(s)之间的关系为s＝5t2＋2t，则当物体运动时间为4 s时，该物体所经过的路程为________．11.下列函数中，哪些是二次函数？①y＝x2；②y＝－1x2；③y＝2x2－x－1；④y＝x(1－x)＋x2.12.正方形铁片的边长为15 cm，在四个角上各剪去一个边长为x cm的小正方形，用剩下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式；⑴⑵⑶⑷（5)···(2)当小正方形的边长为3 cm 时，求盒子的表面积．13.如图，一块草地是长80m ，宽60m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm 的小路，这时草坪面积为ym 2，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.14．某商场经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，若销售单价每涨1元，则月销售量下降10千克，针对这种水产品的销售情况，请探索以下问题：(1)当销售价格定为每千克55元时，月销售利润为多少元？(2)设月销售价格为每千克x 元，月销售利润为y 元，写出y 与x 之间的函数关系式．(不必写x 的取值范围)15. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m )的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，其他三边用总长为60m 栅栏围住(如图)，若设绿化带的BC 边长为xm ，绿化带的面积为y 平方米.(l )求y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；⑵是否存在绿化带BC 的长的某个值，使得绿化带的面积为450平方米？若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由.16.如图.点P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上的一个动点(P 不与A ，C 重合)且PE ＝P B ．⑴求证PE ⊥P D ．⑵设AP ＝x ，四边形PECD 的面积为y ，求出y 与x 的关系式，并写出自变量的取值范围.c。
数学九年级上册《二次函数的图像与性质(1)》导学案
第5章第2节 二次函数的图像与性质（1）班级______学号_____姓名___________［学习目标］1．能用描点法画二次函数2ax y =的图像；2．能画y=-ax 2的图像，并说出它与y=ax 2图像的共同特征。
［活动方案］活动一 根据二次函数式y=x 2，你能想象它的图像特征吗？回顾“一次函数、反比例函数的图像的画法”，类似地，研究二次函数图像画法。
填表并观察，“由数想形”，尝试解决新问题。
尝试1:填表尝试2、画出二次函数式y=x 2的图像活动二 画出二次函数y=x 2的图像后，再尝试画出y =－x 2的图像。
思考1：通过1中的表和画出的图像，你能否概括出函数2x y =、y =－x 2的共同点和不同点？记录下来（注意记录的条理性）x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2x y =……思考2：你能有哪些画y =－x 2图像的方法？活动三 画出二次函数y=21x 2、y=2x 2、y =－21x 2、y =－2x 2的图像，并探讨这些函数图像的共同点和不同点根据图象填空： 抛物线221x y =的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， 抛物线22x y =的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， 归纳：对于二次函数2ax y =图像具有什么特征呢？你是怎样理解和记忆这些特征的呢？ ［检测反馈］ 1.根据函数关系式y=31x 2填空：（1）图像开口向 ，顶点坐标 ，对称轴 ； 2. 说出y=-3x 2的图像的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 3、已知二次函数y=5x 2的图像，如果另一个函数的图像与该函数关于x 轴对称，那么这个函数的关系式是 .4、对于函数y=x 2，由其图像可知，下列判断中，正确的是（ ） A 、若m 、n 互为相反数，则x=m 与x=n 对应的函数值相等； B 、对于同一自变量x ，有两个函数值与之对应； C 、对于任意一个实数y ，有两个x 值与之对应； D 、对于任何实数x ，都有y>0.4.已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A. B.C .D.【巩固提升】1.在同一坐标系中画出函数y=23x 2、y=3x 2、y =－23x 2、y =－3x 2的图像。
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„
y＝x2 的图象刚画过，再把它画出来． 归纳： 抛物线 y＝ 1 2 x， y＝x2， y＝2x2 的二次项系数 a___ ____0； 顶点都是__________； 2
对称轴是_________；顶点是抛物线的最______点（填“高”或“低” ） ． 1 例 2 在同一直角坐标系中画出 y＝－x2，y＝－ x2， y＝－2x2 的图象． 2 解：列表： x y＝-x x y=－ 1 2 x 2
2
顶点坐 对称轴 标 点 或最低 最值
当 x＝____时，y 有最_______值， 是______
y＝－8x
2．若二次函数 y＝ax 的图象过点（1，－2） ，则 a 的值是___ ________． 3．二次函数 y＝(m－1)x 的图象开口向下，则 m____________． 4．函数 y＝— 3x 的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当 x＝___________时，有最_________值是_________． 5．已知 a<－1，点（a－1，y1） ， （a，y2） ， （a+1，y3）都 在函数 y=x 的图象上，则（ ） A．y1<y2<y3 B．y1<y3<y2
2
„ „ „ „
－3
－2
－1
0
1
2
3
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－4
－3
－2
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0
1
2
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x y＝－2x
2
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－4
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0
1
2
3
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1 归纳：抛物线 y＝－x2，y＝－ x2， 2 y＝－2x2 的二次项系数 a______0， 顶点都是________，对称轴是_________， 顶点是抛物线的最_______点（填“高”或“低” ） ． 三、理一理 抛物线 y＝ax （a≠0）的性质 1．抛物线 y＝ax 关于
时，
，在 y 轴的左侧，y 随 x 的增大而 .
，在 y 轴的右侧，y
3.｜a｜越大， 抛物线的开口越________， 反之， ｜a｜越小， 抛物线的开口越________．
｜a｜相等，抛 物线形状相同. 四、例题分析： 例 1．已知抛物线 y=（m＋1）x 例 2．已知 y (k 2) xk （1）求 k 的值； 例 3．已知抛物线 y kx
2
2 2
掌握二次函数 y＝ax 的性质. 掌握二次函数 y＝ax 的性质，并会灵活应用． 让学生在动手画图象的过程中归纳总结 预习本课
2
2
„ „
－3
－2
－1
0
1
2
3
„ „
描点，并连线 ★ 由图象可得二次函数 y＝x 的性质： 1． 二次函数 y＝x 是一条曲线，把这条曲线叫做___________． 2．二次函数 y＝x 中，二次项系数 a＝_ ______，抛物线 y＝x 的图象开口__________． 教 学 流 程 3．自变量 x 的取值范围是____________． 4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数 y 值相等，所描出的各对应点关于 ________对称，从而图象关于___________对称． 5．抛物线 y＝x 与它的对称轴的交点（
2 2
对称，顶点是
. 点，当 x= 时，y
2.(1)当 a＞0 时，抛物线的开口_______，顶点是抛物线的最 有最小值 x 的增大而 ，在 y 轴的左侧，y 随 x 的增大而 ； ，顶点是抛物线的最
，在 y 轴的右侧，y 随
(2 )当 a＜0 时，抛物线的开口 y 有最大值 随 x 的增大而
点，当 x=
新人教版九年级数学上册 22-1 二次函数的图象和性质 1 导学案
1．知道二次函数的图象是一条抛物线； 学习目标 2．会画二次函数 y＝ax 的图象； 3．掌握二次函数 y＝ax 的性质，并会灵活应用． 学习重点 学习难点 学习方法 学习准备 备 课 组 补 充 一、探索新知： 画二次函数 y＝x2 的图象． 【提示：画图象的一般步骤：①列表；②描点；③连线（用 平滑曲线） ． 】 解：列表： x y＝x
m2 2
2
B．它们都关于 y 轴对称; D．点 A（－2，4）在抛物线 y=x 上也在抛
2
的图象有最高点，则 m=______．
9. 二次函数 y=－ 2 x2，当 x1>x2>0 时，则 y1 与 y2 的大小关系是_________． 10.已知直线 y=－2x＋3 与抛物线 y=ax2 相交于 A、B 两点，且 A 点坐标为（－3，m） ． （1）求 a、m 的值； （2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标； （3）x 取何值时，二次函数 y=ax2 中的 y 随 x 的增大而减小； （4）求 A、B 两点及二次函数 y=ax2 的顶点构成的三角形的面积． 六、课堂小结： 二次函数的图象的画法 二次函数的性质及运用 七、布置作业、 1.练习册 19 页第 2、3、6、8 题 2.课本 32 页练习 3.预习二次函数第三节
k 2 2 k 6
2 2 2
2
C．y3<y2<y1
D．y2<y1<y3
6．k 为何值时，y=（k＋2）x 而减小？
是关于 x 的二次函数？x 为何值时 y 随着 x 的增大
7．下列关于抛物线 y=x 和 y=－x 的关系的说法错误的是（ ）
2
2
A．它们有共同的顶点和对称轴; C．它们的形状相同，开口方向相反; 物线 y=－x 上 8．二次 函数 y=mx
2 2 2 2 2
， ）叫做抛物线 y＝x 的_________．因
2
此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线 y＝x 有____________点（填“最高”或“最低” ） ． 三、例题分析 1 例 1 在同一直角坐标系中，画出函数 y＝ x2，y＝2x2 的图象． 2 解：列表并填： x y＝ 1 2 x 2 „ „ „ －2 －1.5 －1 －0.5 0.5 1 1.5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 „ „ 2 „
2 k 4
m2 m
开口向下，求 m 的值．
是二次函数，且当 x 0 时，y 随 x 的增大而增大．
（2）求顶点坐标和对称轴．
k 2 k 10
中，当 x 0 时，y 随 x 的增大而增大．
（1）求 k 的值； （2）作出函数的图象（草图） ． 例 4．一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过 M（-2，2） ． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象； （2）写出抛物线上与点 M 关于 y 轴对称的点 N 的坐标，并求出 MON 的面积． 五、课堂训练 1．填表： 开 有最高 口 方 向 2 2 y＝ x 3 当 x＝____时，y 有最_______值， 是______．