概率论与数理统计 4.1 数学期望

则 X 的数学期望为
a xb 其它
x ab E( X ) = x f ( x) dx = dx = a ba 2 即数学期望位于[ a , b ] 的中点 .
b
8
二、随机变量函数的数学期望: 1、定理4.1: 设 Y = g(X)是随机变量 X 的函数, (g为连续函数)
=5 (元)
13
三、数学期望的性质:
设 C 为常数, X 和 Y 是随机变量,
且 E(X) 和 E(Y) 都存在 , 则 (1) E(C) = C ; (2) E(CX) = CE(X ) ; (3) E(X +Y ) = E(X ) + E(Y ) ; (4) 若 X 与 Y 相互独立, 则有 E(XY ) = E(X ) E(Y ) .
若广义积分



x f ( x )dx 绝对收敛, 则称这个
积分为随机变量 X 的数学期望, 记为
E( X ) =



x f ( x )dx
7
例2：设 X 服从 [ a , b ] 上的均匀分布, 求 E(X) 解 X 的密度函数为
1 , f ( x) = b a 0 ,
若





g( x , y ) f ( x , y ) dxdy 绝对收敛, 则有
E( Z ) =





g( x , y ) f ( x , y ) dxdy
12
例3： 某商店出售某种小饰物, 每销售一件可赚
5元, 根据以往资料, 每天的销售量 X 是随机
变量, 取值为 0, 1, 2, 3 件的概率分别为0.4, 0.3, 0.2, 0.1 . 试求一天的平均利润 . 解 设一天的利润为 Y , 由题设有 Y = 5 X , 由定理4.1, 有 E(Y) = E(5X) =5×0×0.4+5×1×0.3+5×2×0.2+5×3×0.1
第四章、随机变量 的数字特征
4.1数学期望
4.2方差 4.3协方差与相关系数
1
4.1数学期望
1、数学期望的定义 2、随机变量函数的数学期望 3、数学期望的性质 4、常见的六个分布的数学期望
2
引言 前面讨论了随机变量及其概率分布，可 以看出分布函数可以完整地描述随机变量的概 率分布情况。但是随机变量的分布不容易取得，





x f ( x , y )dxdy +



y f ( x , y )dxdy
= E(X ) + E(Y ) .
15
(5) 数学期望的线性性质:
设 X i ( i = 1, 2, Ci ( i = 1, 2,
, n)是 n 个随机变量, , n)是 n 个常数, 则
n n E Ci X i = Ci E ( X i ) i =1 i =1 例如 E(2X+3Y)=2E(X)+3E(Y)
3.泊松分布的数学期望
已知X ~ P( )，求E ( X )
18
解：E ( X ) k
k 0

k
k! k 1 ( k 1)! 4.前面已求均匀分布数学期望
e e

k 1
e e
5.指数分布的数学期望
已知X ~ E( )，求E ( X ).
16
四、常见的六个分布的数学期望 1.二点分布的数学期望 已知：
X P 0 1-p 1 p
求E( X )。
解：E ( X ) xi pi 0 (1 p) 1 p p
i 0 1
2.二项分布的数学期望
17
已知X ~ B(n, p)，求E ( X )
解：E ( X ) kC p (1 p)
22
2
2
1


|U | e e
U2 2
dU
2
2

0
Ue
U2 2
dU
2
2 2

U2 2
0
U2 d ( ) 2 2
e
U2 2
|
0

例6：从学校乘公交车到火车站途中有三个交通岗， 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的， 并且概率都是2/5，设X是途中遇到红灯的次数，求 随机变量X的数学期望。(97年） 解：X服从二项分布，且 X 0 1 2 3 2
P X = xi , Y = y j = Pi j , i , j = 1, 2,
若
g( x , y ) p
i j i =1 j =1


ij
绝对收敛, 则有 ) pi j
E(Z ) =
11
g( x , y
i i =1 j =1
j
(2) 若( X , Y )是连续型的 , 其密度函数为 f (x , y) ,
（A ）EU EV ( B) EX EY
20
( C) EU EV ( D) EX EV
解：由题意知：
X X Y U max{ X , Y } , Y X Y X X Y V min{ X , Y } , 因此UV XY Y X Y
E(UV ) E( XY ) E( X ) E(Y ) （B ）
例5(96年）：设ξ 和η相互独立,且
, ~ N (0,(
21
1 2
)2 )
则随机变量|ξ-η|的数学期望E(|ξ-η|)=__________
解：由于 ~ N (0,(
1 2
) ), ~ N (0,(
2
1 2
)2 )
令U ,U ~ N (0,1)
E (| U |)
另一方面很多实际问题中，只需求出与分布有
关的二个指标，即随机变量的中心位置，散布 程度。例如：检查一批棉花的质量，主要关心 纤维的平均长度及纤维长度与平均长度的偏离
程度，这二个指标清楚了，棉花的质量也就清 楚了。数学上称之为均值（数学期望）及方差。
3
一、数学期望的定义:
例1：在一次考试中, 10名学生有2人得70分, 5人
解：E ( X )

x e
x
dx

0
x e
x
dx xde
0

x

1

6.正态分布的数学期望
已知X ~ N ( , 2 )，求E ( X )
解：E ( X )
19


x
1 2
e

( x )2 2 2
dx
t
x
得80分, 3人得90分, 问他们的平均成绩是多少? 具体算法: (70×2+80×5+90×3) ÷10 =70×0.2+80×0.5+90×0.3=81
4
推广到一般，设X取有限个或可列无穷多的离 散型随机变量, 它的概率分布为 X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn … …
则X 的均值为 xi pi
14
证 第一、第二个性质显然成立 . 仅证第三个性
质 . 第四个性质可类似证明 .
仅就连续型给出证明, 离散型类似可证 . 设( X , Y ) 的联合密度函数为 f ( x , y ) , 则
E( X + Y ) = =




( x + y ) f ( x , y )dxdy

(1)若 X 是离散型随机变量 , 它的分布律为
P X = xk = Pk , k = 1, 2,
若
g( x
k =1

k
) pk 绝对收敛, 则有

E(Y ) = g( xk ) pk
k =1
9
(2) 若 X 是连续型随机变量 , 其概率 x ) f ( x ) dx 绝对收敛, 则有


1 2



( t )e
t2 2
t2 2
dt
t2 2

1 2
( te dt e dt )



例4(11年考研)设随机变量X与Y相互独立，且E(X),E(Y)
存在，记 U max{ X , Y },V min 求E (UV )=
k 0 k n k n n nk
n! k p k (1 p)nk ( n k )! k ! k 0
n
( n 1)! np pk 1 (1 p)n1( k 1) k 0 ( n 1 ( k 1))!( k 1)!
k 1 k 1 n 1( k 1) n 1 np Cn p ( 1 p ) np ( p ( 1 p )) np 1 k 0 n
X ~ B (3, ) 5
2 6 P 易知E ( X ) np 3 。 5 5
27/ 54/ 36/ 8/1 125 125 125 25
27 54 36 8 6 或E X 0 1 2 3 125 125 125 125 5
23
5
1、定义4.1: (离散型随机变量的期望） 设离散型随机变量 X 的分布律为
P X = xk = pk , ( k = 1, 2, )
若
x
k =1

k
pk 绝对收敛 , 称这个级数为随机变量
X 的数学期望或均值, 记作 E(X) , 即
E( X ) = xk pk
k =1
6