2019届高三数学课标一轮复习课件：4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
【课件】第一课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
巩固与练习 例 1 为了得到函数 y＝sinx－π5的图象，只需要将正弦曲线上的所
有点( )
（A）向左平行移动π5个单位长度 （B）向右平行移动π5个单位长度 （C）向左平行移动15个单位长度 （D）向右平行移动15个单位长度 分析 由 sinx1＝sinx2－π5＝0 x1＝x2－π5 x2＝x1＋π5＝π5 故选答案 B
数 新教材人教版·高中必修第一册 学
第五章 三角函数 5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
要求
掌握y＝sin x与y＝sin(x＋φ)图象间的变换 关系，并能正确地指出其变换步骤．
通过整体代换和图象的变换提升学生的直观 想象、逻辑推理和数学抽象素养．
复习引入
5.6 函数y=Asin(ωx +φ)
我们知道，单位圆上的点，以（1，0） 为起点，以单位速度按逆时针方向运 动，其运动规律可用三角函数加以刻 画，对于一个一般的匀速圆周运动可 以用怎样的数学模型刻画呢？下面先 看一个实际问题.
情景引入
问题 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉 工具，因其经济又环保，至今还在农业生产 中得到使用（图5.6-1）.明朝科学家徐光启 在《农政全书》中用图画描绘了简车的工作 原理（图5.6-2. ）
一般地，当动点 M 的起点位置 Q 所对应的角为 φ 时，对应的函数是 y=sin(x＋φ)（φ≠0），把正弦曲线上的所有点向左（当 ω>0 时）或向右 （当 φ<0 时）平移|φ|个单位长度，就得到函数 y=sin(x＋φ)的图象.
高三数学一轮复习 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
π 3
的图象. ( × )
(3)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为 A,最小值为-A.( × )
(4)如果 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个
相邻对称中心之间的距离为���2���. ( √ )
(5)若函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则 φ=2kπ+π2(k∈Z). ( × )
3.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)
������>0,-Fra bibliotekπ 2
<
������
<
π 2
的部分图象如图所
示,则 ω,φ 的值分别是( A )
A.2,-π3 B.2,-π6 C.4,-π6 D.4,π3
解析 ∵34T=51π2 −
-
π 3
,∴T=π,∴ω=2.
∴2×51π2+φ=2kπ+π2,k∈Z,∴φ=2kπ-π3,k∈Z.
-9-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
2.将函数 y=2sin
2������
+
π 3
的图象向左平移14个周期后,所得图象
对应的函数解析式为( B )
A.y=2sin
2������-
π 6
C.y=2sin
2������
+
π 12
B.y=2sin
2������
+
5π 6
D.y=2sin
2������
高三数学一轮复习课件
第四章 三角函数、解三角形
4.4 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象及应用
-4-
函数y=Asin(ωx+φ)图像变换优质课课件
在振动控制领域，函数y=asin(ωx+φ)可以用于设计振动控制器。通过调整控制器的参数， 可以实现振动的有效抑制或放大，提高机械设备的稳定性和可靠性。
振动信号处理
在振动信号处理中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于信号的调制和解调。通过对信号进行变换， 可以实现信号的增强、降噪和特征提取，为故障诊断和状态监测提供依据。
控制系统稳定性分析
利用函数y=asin(ωx+φ)可以分析控制系统的稳定性。通过分析系统的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性和动态性 能，为控制系统校正和优化提供指导。
控制系统校正与优化
在控制系统设计中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于控制系统校正与优化。通过调整控制器的参数，可以提 高系统的性能指标，如响应速度、超调和稳态误差等，使系统更好地适应实际应用需求。
ω<0的周期变换
无界周期
当ω<0时，函数y=asin(ωx+φ)的周 期是无界的，这意味着函数在x轴上的 移动是无限循环的。
波形变化
随着ω的减小，函数的波形会变得更加 平缓或尖锐，这取决于绝对值的大小。
04 振幅变换
A>1的振幅变换
总结词
当振幅系数A大于1时，函数y=asin(ωx+φ)的图像将呈现放大 的效果。
φ=0的相位变换
总结词
当相位φ等于0时，函数图像不发生平移。
详细描述
当相位φ的值等于0时，函数y=asin(ωx+φ)就变成了标准正弦函数y=asin(ωx)，图 像没有发生平移。这是因为此时函数的周期性没有改变，所以图像在x轴方向上没有 移动。
03 周期变换
ω>1的周期变换
周期缩短
高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
/目录
01
目录
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）
（A＞0，ω＞0）
振幅
周期
频率
A
2
T＝
ω
1
ω
f＝ ＝
T 2
相位
初相
ωx＋φ
φ
目录
2.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找
区间.如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.
目录
1.如图，函数y＝ 3tan 2 +
△DEF的面积为
（
π
A.
4
π
B.
2
C.π
D.2π
π
6
的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则
）
解析：A 在y＝ 3tan 2 +
π
6
中，令x＝0，可得y＝1，所以D（0，1）；令y＝
π
π
0，解得x＝ － （k∈Z），故E
,0
6
2
12
12
D. −
5π
,0
12
.
A.8π
π
−
2 6
1
图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ，则所得函数的最
2
）
B.4π
C.2π
解析：C 所得函数解析式为y＝sin
π
−
6
D.π
，周期为2π.
目录
1
3
4.函数y＝ sin
3
2
1
答案：
高三数学y=Asin(ωx+φ)的图象(2019年新版)
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文采节奏 举事不当 有扈氏不服 辟阳侯闻之 ”任王后绝欲得之 使乐毅为上将军 赵亦奉子楚夫人及子政归秦 魏安釐王亦薨 赡足万物 而君欲请徙之 为孝文立太宗庙 所杀略数千人 请立为赵王 ”项王令壮士出挑战 与雨偕下；而匈奴攻代 汾阴巫锦为民祠魏脽后土营旁 是章君之恶； 未有患也 群臣固且请立赵後 後宫以百数 吕后女主 独柰何予女乎 亦自危 率彼旷野” 尚可得乎 嵩高也 至重王 攻爰戚及亢父 出食给军 硃公以为陶天下之中 秦穆公辟远 知我者其天乎 自昊穹兮生民 走 学道而不能行者谓之病 而内行章义之难 今吾已见三公九卿朝士大夫 欲诛诸吕告 产 遂如齐 大怒 未知所以报 病已 以元封三年为左将军击朝鲜 伐楚未可破也 安敢望汉天子 始皇出游 以占病 行日一度半 发尽白 皆王僚之亲也 成礼然後去 於是皇帝辇出房 怜故太子 焉逢淹茂三年 ”武丁从之 其实憎齐乎 因上书请朝 豹有丧而止 封为南窌侯 约斩赵 假相田角亡走 赵 吴王诈病不朝 百姓便之 日以益甚 橘柚芬芳 秦因留楚王 入于勃海九川既疏 而具归天子 弗能用也 其与太白俱出西方 宁可以马上治之乎 足开而死者 齐桓公始霸 杀汉卒十馀万人 ”赵高曰：“五帝、三王乐各殊名 及叱秦王左右 与世更始 ” 虞卿闻之 必曰‘破齐 都受天下委输 句践之困会稽也 宰相得之若得一敌国云 夫物不产於秦 哲人萎乎 地入于汉 缪公素服郊迎 此亦各欲南面而王 犯请後可而复之 乃可使通言於神人 是上有天子也 杜私门 不然 今与朝鲜私善而又不降 商容贤者 不齐 更以列侯为主计四岁 十二年 今智伯知我 我今破齐还报 击胡 都中都 不以不睹故失人子
2019届高考理科数学一轮复习学案：第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像
第19讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用课前双击巩固1.y=A sin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)AT=f==2.用五点法画y=A sin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:xωx+φy=A sin(ωx+φ)0A0-A03.函数y=sin x的图像经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图像的步骤图3-19-1题组一常识题1.[教材改编]函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.[教材改编]某函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin,则原函数的解析式是.3.[教材改编]若函数f(x)=sinωx(0<ω<2)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,则ω=.4.[教材改编]已知简谐运动f(x)=2sin x+φ的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为.题组二常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos的图像,只需将函数y=sin2x的图像向平移个单位长度.6.设ω>0,若函数f(x)=sin cos在区间上单调递增,则ω的取值范围是.7.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f=f,且f=-3,则实数m=.8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-2所示,则φ=.图3-19-2课堂考点探究探究点一函数y=A sin(ωx+φ)的图像变换1(1)[2016·全国卷Ⅰ]将函数y=2sin2x+的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为()A.y=2sin2x+B.y=2sin2x+C.y=2sin2x-D.y=2sin2x-(2)[2018·安徽江南十校联考]函数y=cos2x的图像可以由函数y=sin2x的图像经过平移而得到,这一平移过程可以是()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度[总结反思]由y=sin x的图像变换到y=A sin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx 加减多少值.式题(1)[2017·雅安三诊]把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移个单位长度,所得图像的函数解析式为()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin(2)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图像,可以将函数y=cos3x的图像()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度探究点二函数y=A sin(ωx+φ)的图像与解析式2(1)[2017·马鞍山三模]已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图像如图3-19-3所示,则φ=.图3-19-3(2)已知函数f(x)=M sin(ωx+φ)M>0,|φ|<的部分图像如图3-19-4所示,其中A(2,3)(点A为图像的一个最高点),B-,0,则函数f(x)=.图3-19-4[总结反思]利用图像求函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)根据函数图像上的某一特殊点求出φ的值.式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-19-5所示,且A,1,B(π,-1),则φ值为.图3-19-5探究点三函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质3(1)[2017·惠州模拟]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后所得图像过点P(0,1),则函数f(x)=sin(ωx+φ) ()A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增(2)[2017·西宁二模]函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图像如图3-19-6所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=2,则该函数图像的一条对称轴为()图3-19-6A.x=B.x=-C.x=2D.x=1[总结反思]求y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的一般步骤.(1)求A,B.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.(2)求ω.确定函数的周期T,则ω=.(3)求φ.常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.式题[2017·长安一中质检]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-7所示,若f(0)=,且·=-8,B,C分别为最高点与最低点.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若将f(x)的图像向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.图3-19-7探究点四三角函数模型的简单应用4有一个半径为4m的水轮(如图3-19-8),水轮的圆心O距离水面2m,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈,当水轮上的点P从水中浮现(即到达图中点P)时开始计时.(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数;(2)在水轮转动一圈的过程中,有多长时间点P距水面的高度超过4m.图3-19-8[总结反思](1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=A sin(ωx+φ)+k中的待定系数.(2)把实际问题“翻译”为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论,最后把数学结论“翻译”为实际问题的答案.式题某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的月平均气温为℃.。
人教a版高考数学(理)一轮课件：4.4函数y=asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
例 1 设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是
【解】(1)∵ x= 是函数 y=f(x)图象的对称轴, ∴ sin 2 × + φ =± 1.∴ +φ=kπ+ ,k∈Z. ∵ -π<φ<0,∴ φ=- . (2)由(1)知 φ=- ,因此 y=sin 2x������ 2 3������ 4 ������ 2 3������ 4 3������ 4 3������ 4 ������ 8 ������ 4 ������ 2
π 0
ωx+φ y=Asin(ωx+φ)
ω 3������ 2
ω
2π 0
A
-A
3.由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤:
4.解三角函数应用题的一般步骤: (1)阅读理解材料:将文字语言转化为符号语言; (2)建立变量关系:抽象成数学问题,建立变量关系; (3)讨论变量性质:根据函数性质讨论变量性质; (4)作出结论.
π 6 π 6
的图象,则 φ 等于( B.
5π 6
) C.
7π 6
D.
11π 6
【答案】D 【解析】 将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ≤2π)个单位长度得到函数 y=sin(x+φ)的图象,在 A,B,C,D 四个选项中,只有 φ=
11π 6 11π 时有 6
y=sin ������ +
5π 8
1
7π 8
0
π
2 2
y
-
-
2019届高三数学(理)一轮课件：第19讲-函数y=Asin(ωx+φ)的图像
教学参考
3.[2015·全国卷Ⅱ] 如图 3-19-1,长方形 A
AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 DA 运动,记∠BOP=x.将动点 P
教学参考
4.[2016·全国卷Ⅲ] 函数 y=sin x- 3cos x 的
函数 y=sin x+ 3cos x 的图像至少向右平 个单位长度得到.
π
课堂考点探究
[答案] (1)D (2)C
[解析] (1)函数 y=2sin 2x+π6 的周期为22π
即平移π
4
个单位,所得图像对应的函数为
课堂考点探究
[总结反思] 由 y=sin x 的图像变换到 y 平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度 特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针
课堂考点探究
变式题 (1)[2017·雅安三诊] 把函数 y=s
课堂考点探究
[思路点拨] (1)利用函数 y=Asin(ωx+φ) 的单调性,求出所给函数的单调性.(2)根
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)D
[解析] (1)∵函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0
函数 f(x)的图像向左平移π个单位长度
课堂考点探究
(2)由函数 y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为
教师备用例题
例 2 [配合例 3 使用] [2017·宜春四校 联考] 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) 其中 ω>0,|φ|<π2 ,若将函数图像向左平移1π2
教师备用例题
例 3 [配合例 4 使用] 如图所示,某市政府 楼 O 为中心,正北方向和正东方向的马路 域内建造一座图书馆.为了充分利用这块
【课件】函数y=Asin(wx φ)的图象 课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
到函数 = ( + )的图像；然后把图像上个点的横坐标变为原来的倍
（纵坐标不变），得到函数 = ( + )的图像；最后把曲线上各点的
纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数
探索“”
= ( + )的图像。
操作步骤
探索“”
试一试
一般地
从解析式上看，函数 = 就是函数 = ( + )在 = ， = ， =
时的特殊情形。
那么我们是否可以通过研究三个参数， ， 对函数 = ( + )的影响来确
定这两个函数图像之间的关系？
导入：筒车模型
试一试
y=sin(x+)
的图象
y=sinx
1.（2021全国乙理）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再
把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 = ( − ) 图象，则
f(x)=(
C
)
7
B、 = sin(2 − 12 )
D、 = sin(2 + 12)
A、 = sin(2 − 12 )
7
探索“”
C、 = sin(2 + 12)
试一试
一般地
2.要得到函数 = 3sin(2 + 4 )的图像，只需将函数 = 3sin(2)的图像（ C ）
A、向左平移个单位长度
B、向右平移个单位长度
探索“”
C、向左平移个单位长度
D、向右平移个单位长度
小结：本节课通过研究三个参数，，对函数
2
y=sinx 与y=sin(x+)
高考数学一轮总复习课件：函数y=Asin(ωx+φ)
sin
π
x＋
4
图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝
sin12x＋π4 的图象；再将图象上各点的纵坐标都伸长到原来的2倍(横坐标
不变)，得到y＝2sin12x＋π4 的图象，即y＝2cos－12x＋π4 的图象．
【答案】 见解析
(2)如何由y＝13sin2x＋π3 的图象得y＝sinx的图象．
例1
用五点法作出y＝2sin
2x＋π3
在[－
π 3
，
2π 3
]内的图
象．
【解析】 2·－π3 ＋π3 ＝－π3 ，2·2π 3 ＋π3 ＝5π 3 ，
令2x＋π3 ＝0，解得x＝－π6 .
ππ
π
2x＋ 3 ＝ 2 ，解得x＝12.
π
π
2x＋ 3 ＝π，解得x＝ 3 .
2x＋π3 ＝3π 2 ，解得x＝71π2 .
(2)变换作图．
相位
周期
振幅
①y＝sinx―变―换→y＝sin(x＋φ)―变―换→y＝sin(ωx＋φ)―变―换→y＝
Asin(ωx＋φ)
周期
相位
振幅
②y＝sinx―变―换→y＝sinωx―变―换→y＝sin(ωx＋φ)―变―换→
y＝Asin(ωx＋φ)
【说明】 前一种方法第一步相位变换是_向_左__(φ_>_0_)_或_向__右_(_φ_<_0_)
π
π
则ω＝ 3 －2kπ(k∈Z)，结合0<ω<2，得ω＝ 3 ，
所以f(x)＝sinπ3 x＋π6 ＝cosπ2 －π3 x－π6
＝cosπ3 （x－1），
所以只需将函数g(x)＝cos
π 3
高三数学一轮复习 第3章 三角函数第4课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象精品课件
解析： (1)由图象可知，函数的最大值 M＝3，最小值 m＝－1， 则 A＝3－2－1＝2，b＝3－2 1＝1， 又 T＝223π－π6＝π，∴ω＝2Tπ＝2ππ＝2， ∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1， 将 x＝π6，y＝3 代入上式，得 sinπ3＋φ＝1，
答案：
4π
1 4π
10
12t－π4
－π4
5．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如 图所示，则 f(x)的解析式为________．
解析： 由图知：T＝8， ∴2ωπ＝8.∴ω＝π4，A＝2. ∴f(x)＝2sinπ4x＋φ，令 x＝2， ∴2＝2sinπ2＋φ. ∴sin2π＋φ＝1. ∵|φ|＜π2， ∴φ＝0，∴f(x)＝2sinπ4x.
列表，并描点画出图象：
x
－π6
π 12
π 3
7π 12
5π 6
X
0
π 2
π
3π 2
2π
y＝sin X 0
1
0
－1
0
y＝
2sin
0
2
0
－2
0
2x＋π3
(3)方法一：把 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到 y ＝sinx＋π3的图象，再把 y＝sinx＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来 的12倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x＋π3的图象，最后把 y＝sin2x＋π3上 所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y＝ 2sin2x＋π3的图象．
3 2.
方法二：因区间0，34关于 x＝1 对称区间为23，2， 且 y＝g(x)与 y＝f(x)的图象关于 x＝1 对称，
高考数学(理科)第一轮复习课件和练习：函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
课时提升作业(二十)一、选择题1.要得到函数y=sinx的图像,只需将函数y=cos(x-)的图像( )(A)向右平移个单位(B)向右平移个单位(C)向左平移个单位(D)向左平移个单位2.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像( )(A)关于直线x=对称(B)关于点(,0)对称(C)关于直线x=-对称(D)关于点(,0)对称3.(2018·上饶模拟)已知函数f(x)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式可能为( )(A)f(x)=2cos(-)(B)f(x)=cos(4x+)(C)f(x)=2sin(-)(D)f(x)=2sin(4x+)4.(2018·新余模拟)已知函数f(x)=sin(2x+),其中x∈R,则下列结论中正确的是( )(A)f(x)是最小正周期为π的偶函数(B)f(x)的一条对称轴是x=(C)f(x)的最大值为2(D)将函数y=sin2x的图像左移个单位得到函数f(x)的图像5.(2018·咸阳模拟)设函数f(x)=sin(ωx+φ+)(ω>0,|φ|<)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( )(A)y=f(x)在(0,)是减少的(B)y=f(x)在(,)是减少的(C)y=f(x)在(0,)是增加的(D)y=f(x)在(,)是增加的二、填空题6.在函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一个周期内,当x=时,有最大值,当x=时,有最小值-,若φ∈(0,),则函数解析式f(x)= .7.(2018·宜春模拟)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图像如图所示,则ω·φ= .8.(能力挑战题)设函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(-,))的最小正周期为π,且其图像关于直线x=对称,则在下面四个结论中:①图像关于点(,0)对称;②图像关于点(,0)对称;③在[0,]上是增加的;④在[-,0]上是增加的.正确结论的编号为.三、解答题9.(2018·安庆模拟)已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,|φ|<π,b为常数)的一段图像(如图所示).(1)求函数的解析式.(2)求这个函数的单调区间.10.(能力挑战题)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期为2,且当x=时,f(x)的最大值为2.(1)求f(x)的解析式.(2)在闭区间[,]上是否存在f(x)的对称轴?如果存在求出其对称轴.若不存在,请说明理由.答案解析1. 【解析】选A.y=sinx=cos(-x)=cos(x-)=cos(x--),故只需将y=cos(x-)的图像向右平移个单位即得.2.【解析】选B.由T=π,∴=π,得ω=2.故f(x)=sin(2x+).当x=时,2×+=π,此时sinπ=0,故f(x)=sin(2x+)的图像关于点(,0)对称.【变式备选】(2018·赣州模拟)为得到函数y=cos(2x+)的图像,只需将函数y=sin2x的图像( )(A)向左平移个长度单位(B)向右平移个长度单位(C)向左平移个长度单位(D)向右平移个长度单位【思路点拨】先将两函数化为同名函数,再判断平移方向及平移的长度单位.【解析】选A.y=cos(2x+)=sin[+(2x+)]=sin(2x+)=sin2(x+)故将函数y=sin2x的图像向左平移个单位可得函数y=cos(2x+)的图像.3.【思路点拨】将图中特殊点的坐标代入解析式中验证即可.【解析】选A.对于选项C,D,点B(0,1)的坐标不满足;对于选项B,点A(,2)的坐标不满足;对于选项A,点A,B,C的坐标都满足,故选A.4.【解析】选D.f(x)=sin(2x+)=sin 2(x+),故A错,不是偶函数;B错,x=不是对称轴;C错,最大值为.D正确.5.【思路点拨】先确定y=f(x)的解析式,再判断.【解析】选A.由周期为π知ω==2;又f(-x)=f(x),故函数为偶函数,所以φ+=kπ+(k∈Z).又|φ|<,所以φ=.从而f(x)=sin(2x+)=cos2x.所以f(x)在(0,)是减少的.6.【解析】由最大值,最小值得A=,且T=-=,故T=,∴ω=3.由sin(3×+φ)=得,sin(+φ)=1,又∵0<φ<,故φ=,所以f(x)=sin(3x+).答案:sin(3x+)7.【解析】由图形知=-=,∴T=π,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ).方法一:由五点作图法知,2×+φ=,∴φ=-,∴ω·φ=2×(-)=-.方法二:把点(,1)的坐标代入f(x)=sin(2x+φ)得, sin(+φ)=1,∴+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,∴φ=-,∴ω·φ=2×(-)=-.答案:-8.【解析】∵y=sin(ωx+φ)最小正周期为π,∴ω==2.又其图像关于直线x=对称,∴2×+φ=kπ+(k∈Z).∴φ=kπ+,k∈Z.由φ∈(-,),得φ=,∴y=sin(2x+).令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z).∴y=sin(2x+)关于点(,0)对称,故②正确.令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数y=sin(2x+)的递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).∵[-,0][kπ-,kπ+](k∈Z),∴④正确.答案:②④9.【解析】(1)由条件知解得A=b=,又==-(-)=,∴ω=.∴y=sin(x+φ)+,将点(,0)坐标代入上式,得sin(+φ)=-1,∴+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z).又|φ|<π,∴φ=π,∴y=sin(x+)+.(2)由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),得-≤x≤-(k∈Z).由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得-≤x≤+(k∈Z).∴所求递增区间为[-,-](k∈Z),递减区间为[-,+](k∈Z).【方法技巧】由图像求解析式和性质的方法和技巧(1)给出图像求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的难点在于ω,φ的确定,本质为待定系数,基本方法是①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图像变换法,即考察已知图像可由哪个函数的图像经过变换得到,通常可由平衡点或最值点确定周期T,进而确定ω.(2)由图像求性质的时候,首先确定解析式,再根据解析式求其性质,要紧扣基本三角函数的性质.例如,单调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点.【变式备选】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图像如图所示.(1)求f(x)的最小正周期及解析式.(2)设g(x)=f(x)-cos2x,求函数g(x)在区间[0,]上的最大值和最小值. 【解析】(1)由图可得A=1,=-=,所以T=π,所以ω=2.当x=时,f(x)=1,可得sin(2×+φ)=1,因为|φ|<,所以φ=.所以f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+).(2)g(x)=f(x)-cos2x=sin(2x+)-cos2x=sin2xcos+cos2xsin-cos2x=sin2x-cos2x=sin(2x-).因为0≤x≤,所以-≤2x-≤.当2x-=,即x=时,g(x)取最大值为1;当2x-=-,即x=0时,g(x)取最小值为-.10.【解析】(1)由T=2知=2得ω=π.又因为当x=时f(x)的最大值为2,所以A=2.且π+φ=2kπ+(k∈Z),故φ=2kπ+(k∈Z).∴f(x)=2sin(πx+2kπ+)=2sin(πx+),k∈Z,故f(x)=2sin(πx+).(2)令πx+=kπ+(k∈Z),得x=k+(k∈Z).由≤k+≤.得≤k≤,又k∈=5.故在[,]上存在f(x)的对称轴, 其方程为x=.。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象ppt课件
探究新知识
探究二 探索参数A(A>0)对函数 y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响
新课引入
探究新知识
探究二 探索参数A(A>0)对函数 y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响
函数 y=Asinx(A>0且A1) 的图象可以看作是把y=sinx的图象上 所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0< A<1时)到原来的A倍
y=sinx 或向右( <0)平移 y=sin(x+)
| | 个单位
左加右减
注意：这里平移的对象都是相对于x平移！
新课引入
探究新知识
探究二 探索参数ω(ω>0)对函数 y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
新课引入
探究新知识
探究二 探索参数ω(ω>0)对函数 y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
新课引入
有多个参数的函数，你认为应该按怎样的思路进行研究？ ●答案：类比对二次函数y=a(x－h)²+k图象的研究过程，用的是“控制变量
法”．
具体的研究过程是：先给两个参数赋特值，依次探究第三个参数变化对函数图
象的影响，再综合考虑三个参数的情况．
新课引入
探究新知识
●问题3 :首先从研究参数φ对函数y=sin(x＋φ)的影响开始，即探究函数 y=sinx与y=sin(x＋φ)之间图象的关系.对与单一参数的问题我们怎么研 究呢？
所有点的横坐标缩短(>1)
y=sinx
或伸长(0< <1) 1/倍 纵坐标不变
y=sinx
决定函数的周期:
新课引入
探究新知识
探究二 探索参数A(A>0)对函数 y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响
高考数学一轮总复习课件第四章 第三节y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及其综合应用
►两类求解：三角方程、三角不等式. (4)[解三角方程，只需在一个周期内找出与三角函数值对应的
角，利用终边相同角的集合表示和角的整体思想代入求解]方
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，ω，b 已知)
或代入曲线与直线 y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升 区间上还是在下降区间上).
②五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点 为突破口.具体方法如下：
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时，ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)时，ωx＋φ＝π2 ； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时，ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)时，ωx＋φ＝3π 2 ； “第五点”时，ωx＋φ＝2π.
(5)形如 y＝bacsoins xx＋＋cd型的函数的最值，可考虑数形结合(常用到
直线斜率的几何意义).
►一个易错点：求φ值考虑不全面致误. (1)[求 φ 值时，一般利用函数最值点或图象的对称中心求解， 选择其它点时，所得三角方程的解有两种形式，容易遗漏] 已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ)π2 ≤φ＜π的图象过点π 12， 23， 则 φ＝________.
(3)函数y＝sin x＋cos x＋2sin xcos x的最大值是______.
解析 令 sin x＋cos x＝t，则－ 2≤t≤ 2， 平方得 1＋2sin xcos x＝t2， 所以 2sin xcos x＝t2－1， 则 y＝t＋t2－1＝t＋122－54， 函数图象对称轴为 t＝－12， 所以当 t＝ 2时，ymax＝ 2＋( 2)2－1＝ 2＋1.
＋Bcos 2x＋c＝ A2＋B2sin(2x＋φ)＋c.其中 tan
用有界性处理.
高考数学(文)一轮课件【第19讲】函数y=asin(ωx+φ)的图像与性质
周期 2π T＝ ω
频率 1 f＝T
相位 ωx＋φ
初相 φ
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• 双 向 固 基 础
第19讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质及三角函 数模型的简单应用
3.函数y＝sinx的图像经平移变换得到y＝Asin(ωx＋ φ)(A>0，ω>0)的图像的步骤 方法一：先画出函数y＝sinx的图像，再把正弦曲线向左 |φ| ＝sin(x＋φ) 的图 (右)平移________ 个单位长度，得到函数y ____________ 1 像；然后使曲线上各点的横坐标都变为原来的________倍， ω y ＝ sin( ωx ＋ φ ) 得到函数_________________的图像；最后把曲线上各点的 纵坐标 变为原来的________ A ________ 倍，这时的曲线就是函数y＝ Asin(ωx＋φ)的图像． 方法二：先画出函数y＝sinx的图像，再使曲线上各点的 1 y＝sin ωx 的 横坐标都变为原来的________倍，得到函数___________ ω φ 个单位长度， 图像；然后把正弦曲线向左(右)平移________ ω 得到函数______________ 的图像；最后把曲线上各点的 y＝sin(ωx＋φ)
• 双 向 固 基 础 • 点 面 讲 考 向 • 多 元 提 能 力 • 教 师 备 用 题
第19讲 函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图像与性质及三角 函数模型的简单应用
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考试说明
1．理解函数 y＝Asin (ωx＋φ)的图像和性质． 2．理解三角函数模型的简单应用．
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• 双 向 ＋φ)的图像与性质及三角函 数模型的简单应用
2019高考数学(全国、理科)一轮复习课件：第19讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
真题再现
π π 1．[2016· 全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤ 2 ，x＝－ 4 为 f(x) π π 5π 的零点，x＝ 4 为 y＝f(x)图像的对称轴，且 f(x)在(18， 36 )单调，则 ω 的最大 值为( ) A．11 B．9 C．7 D．5
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
真题再现
2π [答案] 3
4． [2016· 全国卷Ⅲ] 函数 y＝sin x－ 3cos x 的图像 可由函数 y＝sin x＋ 3cos x 的图像至少向右平移 ________个单位长度得到．
[解析] 函数 y＝sin x－ π 3cos x＝2sinx－ 3 的图 像可由函数 y＝sin x＋ 3 π cos x＝2sinx＋ 的图像 3 2π 至少向右平移 个单位 3 长度得到．
[解析] B 平移后的图 像对应的解析式为 y＝
π 2sin 2 x ＋ 12，令 π 2 x＋12＝kπ
π ＋2
(k∈Z)， 得对称轴方程为 kπ π x＝ 2 ＋ 6 (k∈Z)．
栏目 、函数与导数、不等式
真题再现
[ 解析 ] B 当点 P 在 BC 上时， PB 3．[2015· 全国卷Ⅱ] 如图，长方形 ABCD 的边 AB＝2， BC＝1，O 是 AB 的中点，点 P 沿 ＝tan x，PA＝ tan2x＋4，PA＋ 着边 BC， CD 与 DA 运动， 记∠BOP 2 PB＝tan x＋ tan x＋4，即 f(x)＝ ＝x.将动点 P 到 A， B 两点距离之和 π 2 表示为 x 的函数 f(x)，则 y＝f(x)的 tan x＋ tan x＋4，x∈ 0 ， ，由 4 图像大致为( ) 正切函数的性质可知，函数 f(x)在 π 上单调递增，所以其最大 0 ， 4
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函数y=Asin(ωx+φ)的
图象及应用
第四章
4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
考情概览
知识梳理
核心考点
学科素养
2017 2016
2015 2014
2013
年份
函数
10,6 分(理)
4,5 分(理) 4,5 分(理)
y=Asin(ωx+φ)
6,5 分(文)
的图象及应用
1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的实际意义.
象的函数解析式是 .
关闭
π
∵向右平移8 个单位长度,
π
∴用 - 8 代替 y=8sin x 中的 x.
∵各点横坐标变为原来的 4 倍,
1
π
∴用4x 代替 y=8sin - 8 中的 x,
π π
∴
y=8sin
y=8sin 4 -48- 8
关闭
.
解析
答案
4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
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知识梳理
知识梳理
核心考点
学科素养
-6-
双击自测
π
1.要得到函数 y=sin 4- 的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象
3
(
)
π
π
A.向左平移12个单位长度
B.向右平移12个单位长度
π
π
C.向左平移3 个单位长度
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D.向右平移3 个单位长度
4
5
+ ,得
9π
φ= +2kπ,k∈Z.
10
9
9π
9π
π
∵
φ∈[-π,π),
∴
φ=
.故填
.
10
10
10
关闭
解析
答案
第四章
4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
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知识梳理
知识梳理
核心考点
-9-
学科素养
双击自测
π
8 个单位
4.将函数y=8sin x的图象上所有的点向右平移
长度,再把所得各点的横坐标变为原来的4倍(纵坐标不变),所得图
(3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得函数y=Asin(ωx+φ)
在R上的图象.
-4-
第四章
4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
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知识梳理
知识梳理
核心考点
学科素养
-5-
双击自测
3.由函数y=sin x的图象得函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的
两种方法
第四章
第四章
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知识梳理
知识梳理
核心考点
学科素养
-8-
双击自测
3.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则
φ=
.
关闭
3π
5π
2π
4
3π
=
=
,解得
ω=
.将
,-1 代入
4
2
5
4
3π
3π
3π
sin
+ =-1,则 +φ= +2kπ,k∈Z,即
5
5
2
由图象可得 T=2 2πy=sin
2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式,
主要根据图象五点作图法去确定三个参数的值.
3.有关三角函数性质的题目,要将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)的
形式,最大值、最小值与A的符号有关.函数y=Asin(ωx+φ)的图象的
两个相邻对称轴间的距离是半个周期.
关闭
π
π
∵y=sin 4- 3 =sin 4 - 12 ,
π
∴只需将函数 y=sin 4x 的图象向右平移12个单位即可.
关闭
B
解析
答案
4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
第四章
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知识梳理
知识梳理
-7-
学科素养
双击自测
2.将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移
函数的图象,则φ的一个可能取值为(
知识梳理
知识梳理
核心考点
学科素养
双击自测
1.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念(物理意义)
y=Asin(ωx+φ)
(A>0,ω>0),
x∈[0,+∞)
振幅 周期
A
2
T=
ω
频率
1
ω
T
2
f= =
相位
初相
ωx+φ
φ
-3-
第四章
4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
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知识梳理
知识梳理
考查要求
2.掌握 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A,ω,φ 对
函数图象变化的影响.
本节内容在高考中的命题角度是把函数
考向分析
y=Asin(ωx+φ)的图象、性质与三角恒等变形结
合起来进行综合考查.考查数形结合的数学思想.
-2-
4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
第四章
考情概览
4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
第四章
考情概览
考点一
考点二
考点三
知识梳理
核心考点
学科素养
-12-
考点四
y=Asin(ωx+φ)图象的变换(考点难度★★)
【例1】 (1)(2017课标Ⅰ高考)已知曲线C1:y=cos
x,C2:y=sin 2 + 2π ,则下面结论正确的是(
1
2π
π
× =14-6,所以 ω= .
2
1
8
1
由图可得 A=2 (30-10)=10,b=2 (30+10)=20.
π
8
3π
×10+φ=kπ,k∈Z,又 0<φ<π, ∴当 k=2 时,φ= 4 ,
关闭
π π
3π 3π
∴
y=10sin
+
+20,x∈[6,14].
y=10sin 8 8 + 4 4+20,x∈[6,14]
核心考点
学科素养
双击自测
2.作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图
(1)定点:如下表所示.
3
-φ
2-φ
φ
-φ
-φ
2
x
2
ω
ω
ω
ω
ω
π
3π
ωx+φ
0
π
2π
2
2
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
(2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接
得到函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.
解析
答案
第四章
4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
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知识梳理
知识梳理
核心考点
学科素养
-11-
双击自测
自测点评
1.利用图象变换由函数y=sin x的图象作函数
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,若先平移后伸缩,平移的量
||
是|φ|个单位长度,而先伸缩再平移,平移的量是 个单位长度.
第四章
考情概览
知识梳理
知识梳理
核心考点
-10-
学科素养
双击自测
5.(教材改编)如图,某地一天,从6~14时的温度变化曲线近似满足函
数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π),则这段曲线的函数解析式
为
.
关闭
从图中可以看出,从 6~14 时是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期,又
)
3π
A.
核心考点
π
B.
4
C.0
4
π
8 个单位后,得到一个偶
π
D.-
4
关闭
π
8
把函数 y=sin(2x+φ)沿 x 轴向左平移 个单位后得到函数 y=sin
π
π
π
2 + 2 + 8 =sin 2 + + 4 为偶函数,则 φ 的一个可能取值是4 .
B
解析
关闭
答案
4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用