弯曲应力

1m 1
2m 1 2 120
qL2 8
180 30
e求曲率半径
M
x
ρ1 =
EI z 200 × 5.832 = × 10 = 194.4m M1 60
M1 Mmax
+
§5－3 梁横截面上的剪应力 一、 矩形截面梁横截面上的剪应力 x y M(x) FS (x) dx dx 图a FS(x)+d FS(x) 图b 1、两点假设： n剪应力与剪力平行； o矩中性轴等距离处，剪应力 相等。
1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z D z a
W z1 =
πD 3
32
τ max
4Q = 1.33τ m = 3A
当
π D12
4
= a 2时 , a = π R ; ( D1 / 2 )
a
Wz2
bh 2 ( π R ) 3 = = = 1.18 W z 1 6 6
τ max = 1.5τ m
结论： 翼缘部分τmax«腹板上的τmax，只计算腹板上的τmax。 铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且τmax≈ τmin FS 故工字钢最大剪应力 τmax ≈ ; Af
②圆截面：
τ max
4 FS 4 = = τ 3 A 3
③ 薄壁圆环：
τ max
FS =2 = 2τ A
④槽钢：
FS
dx 图a FS (x)+dFS (x) 图b M(x)+d M(x)
FN 2
( M + d M ) S z∗ = Iz
FS S z∗ d M S z∗ τ1 = = d x bI z bI z
由剪应力互等
z
b
τ1 σ
τ
y
x
σ1
h +y 2 h b h ∗ ∗ S z∗ = y c A = 2 b( − y ) = ( − y 2 ) 2 2 2 4
a
c
形后仍为直线，但有转动； 纵向线变为曲线，且上缩 下伸；横向线与纵向线变 形后仍正交。
2.两个概念 c中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 d中性轴：中性层与横截面的交线。 3 . 推论
c平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。 d横截面上只有正应力。 （可由对称性及无限分割法证明）
b 英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为
h h = 2 时, 强度最大; = 3 时, 刚度最大。 b b
其它材料与其它截面形状梁的合理截面 强度：正应力： σ =
M ≤ [σ ] Wz
* FS S z ≤ [τ ] 剪应力： τ = bI z
1m
2.5kNm
Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 x 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：c画弯矩图并求危面内力
A1 G y1 y2 A2
A3
4kNm
RA = 2.5kN ↑; RB = 10.5kN ↑
M C = 2 .5 kNm (下拉、上压 )
M B = − 4 kNm （上拉、下压）
A4
1m 1
2m 1 2 120 y 2
180 30
（2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求1—1截 面的曲率半径。
z
M
qL 8
x
M1 Mmax
+
解：c画M图求截面弯矩
qLx qx 2 − ) M1 = ( 2 2
x =1
= 60 kNm
1
A
FS=60kN/m
Wz
… …(5)
Wz =
d D
Iz ymax
⇒ 抗弯截面模量。
α=d D
I z πD3 圆环 − − Wz = = (1−α 4 ) ymax 32
b
Iz BH 2 bh3 回字框 − − Wz = = (1− ) 3 6 ymax BH
h
B
H
1
A
FS=60kN/m
B
例1 受均布载荷作用的简支梁如 图所示，试求： （1）1——1截面上1、2两点的 正应力；
A1 G y1 y2 A2 A3 G y2 y1 A4
A3
σA y =
4
=
e校核强度 A4
σ L max = 28.2 < [σ L ]
σ y max = 46.2 < [σ y ]
fT字头在上面合理。
二、梁的合理截面 （一）矩形木梁的合理高宽比 h
R
北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
AL
2
M C y2 2.5 × 88 = = = 28.2MPa −8 763 × 10 Iz
x
4kNm
σAL =
3
M B y1 Iz
M B y2 Iz
=
4 × 52 = 27.2MPa −8 763 ×10
4 × 88 = 46.2MPa −8 763 ×10
纵向对称面
a A FS
P
P B
a
纯弯曲(Pure Bending): 某段梁的内力只有弯矩 没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 x
M
x
§5－2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 纵向对称面 中性层 一、 纯弯曲时梁横截面 上的正应力 中性轴 （一）变形几何规律： 1.梁的纯弯曲实验 横向线(a b、c d）变 b M a b c d d M
qL2 3600 × 32 = = = 4050 Nm 8 8
x
+
q=3.6kN/m
d求最大应力并校核强度
σ max
qL 2
M max 6 M max 6 × 4050 = = = 2 Wz bh 0.12 × 0.182 = 6.25MPa < 7MPa = [σ ]
FS +
M
qL2 8
FS max 1.5 × 5400 τ max = 1.5 = – x A 0.12 × 0.18 qL = 0.375MPa < 0.9MPa = [τ ] 2
第五章
§5–1 §5–2 §5–3 §5–4 引言
弯曲应力
平面弯曲时梁横截面上的正应力 梁横截面上的剪应力 梁的正应力和剪应力强度条件⋅ 梁的合理截面
1
§5－１ 引言
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力 剪力FS 内力 弯矩M 正应力σ 剪应力τ
2、研究方法 平面弯曲时横截面σ 平面弯曲时横截面τ 例如： P1 纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况) 剪切弯曲(横截面上既有FS又有M的情况) P2
FS S ∗ τ = τ ( y) = τ 1 = bI z
图c
FS
∴τ 矩
FS h 2 = ( − y2) 2I z 4
3 FS τ max = = 1.5τ 2 A τ方向：与横截面上剪力方向相同；
τ大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。 二、其它截面梁横截面上的剪应力 1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：
B
M max = qL2 / 8 = 60 × 32 / 8 = 67.5kNm
d求应力
bh3 120×1803 Iz = = ×10−12 = 5.832×10−5 m4 12 12
1m 1
2m 1 2 120 y 2
180 30
z
Wz = I z / 2 = 6.48 ×10−4 m3
σ1 = σ 2 =
σx
σx
σ x = Eε x =
Ey
ρ
...... (2)
（三）静力学关系： Ey E ES z ∑ FN x = ∫ σ dA = ∫ dA = ∫ ydA = = 0
A A
ρ
ρ
A
ρ
S z = 0 ∴ z (中性)轴过形心
∑M
∑M
1
y
=
∫
∫
A
(σ d A ) z =
∫
∫
Eyz
A
M1 y Iz − 60 × 60 ×105 = 61.7 MPa 5.832
M
qL 8
x
M1 Mmax
+
=
1
A
FS=60kN/m
B
σ 1max
σ max
60 M1 = = × 10 4 = 92.6MPa Wz 6.48
M max 67.5 = = × 10 4 = 104.2MPa 6.48 Wz
3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
校核强度： n、校核强度：
σ max ≤ [σ ]; τ max ≤ [τ ]
M max o 设计截面尺寸： Wz ≥ [σ ]
p 设计载荷： M max ≤ Wz [σ ]; [ P ] = f ( M max ) 4、需要校核剪应力的几种特殊情况： n梁的跨度较短，M 较小，而 FS 较大时，要校核剪应力。 o铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相 应比值时，要校核剪应力。 p各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。
τ max = 1.5τ m
2a1
z
a1
当
πD12
4
2 2 = 2a2 − 0 .8 × 1 .6 a 2 时, a2 = 1.05 D1
Wz 5 = 4.57Wz1
2a2 1.6a2 z
τ max = 2.3τ m (= Q A )