人教A版高中数学必修五课件3.4基本不等式(一)ppt

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2020版高中数学第3章不等式3.4基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修5

『规律总结』在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”．
一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解．
〔跟踪练习 1〕下列结论中正确的是( C ) A．若 a>0，则(a＋1)(1a＋1)≥2 B．若 x>0，则 lnx＋ln1x≥2 C．若 a＋b＝1，则 a2＋b2≥12 D．若 a＋b＝1，则 a2＋b2≤12
新课标导学
数学
必修⑤ ·人教A版
第三章
不等式
3.4 基本不等式 ab≤a＋2 b
第1课时基本不等式
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
如图是第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
〔跟踪练习 2〕
(1)已知 a>0，b>0，则1a＋1b＋2 ab的最小值是( C )
A．2
B．2 2
C．4
D．5
(2)已知 f(x)＝x＋1x－2(x<0)，则 f(x)有( C )
A．最大值为 0
B．最小值为 0
C．最大值为－4
D．最小值为－4
[解析] (1)因为 a>0，b>0，
所以1a＋1b＋2 ab≥2 a1b＋2 ab≥4
[解析] (1)∵m，n>0 且 m＋n＝16，所以由基本不等式可得 mn≤(m＋2 n)2＝(126)2＝64，当且仅当 m＝n＝8 时，mn 取到最大值 64.∴12mn 的最大值为 32. (2)∵x>2，∴x－2>0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6，当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立．所以 x＋x－4 2的最小值为 6.

高中数学人教A版《基本不等式》教学课件1

a b 叫做正数a，b的几何平均数；
代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
探究几何意义
D
ab
A
a OC b
AC = DC E
DC BC
如图,AB是圆的直径，C是 AB上与A、B不重合的一点，
A于aCA=Ba2的,CB弦b=Db≥ ,E过，点连CA作Da垂,Bb直D,
B 则OD=a＿＿b ,CD=＿＿＿＿ 2
高中数学人教A版《基本不等式》教学课件1
2高.2中基数本学不人等教式A-版【《新基教本材不】等人式教》A版教（学课20件19） 1 高中数学必修第一册课件( 共19张P PT)
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019）高中数学必修第一册课件( 共19张P PT)
例 6.已知 0x,求函数 ysinx 1
sinx 的最小值 .
解：0x 0sinx1
ysinx 1 2 sinx 1 2
sinx
sinx
当且仅当sinxsin1x，即x2时，ymin 2
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019）高中数学必修第一册课件( 共19张P PT)
2.2基本不等式-【新教材】人教A版（ 2019）高中数学必修第一册课件( 共19张P PT)
课堂小结
a2+1与b、2初≥本2步a节应b课用主。（要１学）习了若基a,本b∈不等R，式的那证么明
例 7 若 0 x 1 ，求函数 y x ( 1 - x ) 的最大值 .

人教A版高中数学必修5《三章不等式 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)%2》示范课课件_4

2
3. 基本不等式变形公式
a b 2 ab
ab (a b)2 4
作业
1.预习课本第99页例1和例2 2.思考：基本不等式有什么作用？在利用基本不等式时需要满足什么条件？
3.4基本不等式： ab a b
2
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究1：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C 2.四个直角三角形的
当 a 0,b 0 时， a b≥ ab , 当且仅当
a = b时，等号成立.
2
基本不等式的几何解释是什么？
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过
点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、 BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
x
等号成立的条件.
2.已知 0 x 1，求证：x(1 x) 1 ，并推导出式中等
4
号成立的条件.
小结：
1. 重要不等式
当 a, b R时，a2 b2 2ab，当且仅当 a b 时等号成立.
2. 基本不等式
当 a, b R时，a b ab ，当且仅当 a b 时等号成立.
面积和 S=＿2a＿b
３、S与 S有什么
样的不等关系？
B
S>S′ 即 a2 b2 2ab
问：那么它们有相等的情况吗？
D

高中数学第三章不等式 3.4 基本不等式：ab≤a+b2课件新人教A版必修5

所以(x＋y)1x＋3y＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，即 x＝2( 3－1)，y＝2(3－ 3)时取等号．
又 x＋y＝4，所以1x＋3y≥1＋ 23，
故1x＋3y的最小值为
1＋
3 2.
探究三用基本不等式求解实际应用题 [典例 3] 某公司欲建连成片的网球场数座，用 128 万元购买土地 10 000 平方米，每座球场的建筑面积均为 1 000 平方米，球场总建筑面积的每平方米的平均建筑费用与球场数有关，当该球场建 n 个时，每平方米的平均建筑费用用 f(n)表示，且 f(n)＝m1＋n2－05(其中 n∈N)，又知建五座球场时，每平方米的平均建筑费用为 400 元，为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应建几个球场？
探究一利用基本不等式证明不等式 [典例 1] 已知 a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
[解析] 由基本不等式可得： a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理：b4＋c4≥2b2c2， c4＋a4≥2a2c2， ∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和” 式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为 “和”式，从而达到放缩的效果． (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
证1．明已：知∵aa，>0b，是b正>0数，，求证1a＋2 1b≤ ab.
∴1a＋1b≥2 a1b>0，
[证明] (1)∵a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c① ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.…………………4 分当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．②…………………………6 分

2月22日数学必修五3.4基本不等式(新课)

试找出图中哪条线段表示a, b的算术平均值？
哪条线段表示a, b的几何平均值？
�� + ��
(1)由射影定理可知,CD= �� ,而OD= 2 ;
(2)因为OD ≥ CD,所以��+2�� ≥ a=b 时,等号成立;
��,当且仅当C与O 重合 ,即
.
例2.已知a,b,c为不全相等的正实数.求证:a+b+c> ��+ ��+ ��.
知识方法小结
运用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等
，
所
以
函数Βιβλιοθήκη f(x) 的最小值是
x 2 x－1.( )
(4)y＝x＋1x的值域为[2，＋∞)．(
)
(5)因为，所以 .( y

x2

2

1 x2
2

2
(x2

2)
1 x2
2

2
ymin 2
)
典型例题
考点二利用基本不等式比较大小
例1 若0<a<1,0<b<1,且a≠b,试找出a+b,a2+b2,2 ��,2ab中的最大者.
��与 ��+��
2
2
≥ab是等价的吗?
解:不等价,前者条件是a>0,b>0,后者是a,b∈R.
3、两个不等式的结构特点：左式为和结构，右式为积的结构式，揭示两个数的和或者平方和与两数的积之间的大小关系，运用该不等式可完成和与积之间的不等关系相互转换。

2015年新课标A版高中数学必修五课件：3-4 基本不定式

几何平均数．
第十页，编辑于星期五：十点三十九分。
②定理的证明可以用作差比较法：
a＋b 2
－
ab ＝
a＋b－2 2
ab ＝
a－ 2
b2
≥0，即
a＋b 2
≥
ab .也可用重要不等式
进行推导：∵a，b∈R＋，则( a )2＋( b )2≥2 ab ，即有a＋
b≥2 ab.
第十一页，编辑于星期五：十点三十九分。
第四页，编辑于星期五：十点三十九分。
课前热身 1.基本不等式． (1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋ b2________2ab，当且仅当________时，等号成立． (2)基本不等式：如果a>0，b>0，那么 ab______a＋2 b，当且仅当________时，等号成立．
第五页，编辑于星期五：十点三十九分。
【解】 (1)∵x>0，y>0，xy＝3，
∴2x＋5y≥2
2x·5y＝2
30，当2x＝5y，即x＝
230，y＝
30 5
时，等号成立，即x＝ 230，y＝ 530时，(2x＋5y)min＝2 30.
第十八页，编辑于星期五：十点三十九分。
(2)∵21x＋1y＝2x2＋xyy＝23xy，又∵2x＋y＝3≥2 2xy，∴2xy ≤94. ∴21x＋1y≥39＝43.当且仅当2x＝y＝32，
2．应用基本不等式求最值．已知x，y都为正数，则 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当________时，积xy取得最大值________． (2)若xy＝p(积为定值)，则当________时，和x＋y取得最小值________.
第六页，编辑于星期五：十点三十九分。

人教版高中数学必修五基本不等式课件PPT

第三章不等式
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a＞0,b＞0) 2
“a=b”时取“=”
第三章不等式
第三章不等式
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。
——郁达夫
1.你能在这个图案中找出一些相等关系
第三章不等式
D
提示: 设AE=a,BE=b,
GF HE A
则正方形ABCD的面积 C 是__a_2_+_b_2__，
这4个直角三角形的面积之和是___2_a_b____，
B
S> 正方形ABCD
4S直角三角形，
即a2 b2 2ab.
第三章不等式
【提升总结】基本不等式：注意：（1）a,b均为正数；（2）当且仅当a=b时取等号.
第三章不等式
D
如图,AB是圆的直径，C
是AB上任一点，
AC=a,CB=b,过点C作垂
A
C
B
直于AB的弦DE，连接
AD,BD,
E
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
第三章不等式
CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦.
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．

高中数学必修五课件：3.4-1《基本不等式》(人教A版必修5)

D
y
x
C
当且仅当 x=2y 时，等号成立即x=12，y=6
因花此园解，面x这积x个最2y矩大2y2形，4，的最可长大得为面积1xy2是m162、72宽m为2 6m时，
18
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
-1
=1,
当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.
26
2.
若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
分析:2 x+(1-2x) 不=1是为常数.
配凑系数
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
8
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

人教高中数学-必修五-3.4-基本不等式(第一课时)赛课一等奖(共14张PPT)

正数负数
其实这样的相等关系和不相等关系还有很多，今天，让我们一起去探索两个非常重要的不等式。
探索新知
正方形ABCD
四个直角三角形
结论交给你，解释靠自己！动手吧！回答问题！
探索新知
证明：
“作差法”
把已有的知识进行变形，是我们数学研究中推陈出新的重要方法
探索新知
快快动手吧！
探索新知
剖析新知
比对分析、加深理解基本不等式1：基本不等式2：相同点：
不同点：两个不等式适用的范围不同
学以致用，小试牛刀
例：请判断下列表述的正误。
（基本不等式的灵活使用）（基本不等式的适用范围）（基本不等式的取等条件）
× ×
学以致用，小试牛刀
强调环证境明：
取等条件
温习回顾
今天你学到了什么？
3. 教材 98页习题3 再来欣赏另一种利用几何图形来证明定理2的方法吧！
数无形不直观形无数难入微
—华罗庚
剖析新知
我们把这个基本不等式也经常称作均值不等式
不等式说明：
多角度理解不等式：
1.从平均数的角度：两正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数 2.从数列的角度：两正数的等差中项大于或等于它们的等比中项
生活背景、引入新课
10元钱吃早饭，你会怎么选？
A.两个肉松面包 + 一杯牛奶（8元） B.一份米粉（6元） C.麦当劳的一份早餐套餐（10元）
比较：价钱谁贵谁便宜？营养谁多谁少？
同学们：比较事物间的相等关系和不相等关系是我们一种天生的非常重要的逻辑思维能力，在我们的数学中存在许许多多的相等关系和不相等的关系，例如：
1.两个非常重要的基本不等式

高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式课件新人教A版必修5

一二三
二、基本不等式
【问题思考】 1.填空: (1)基本不等式
①当 a>0,b>0 时,有��+2�� ≥ ��,当且仅当 a=b 时,等号成立;
②对于正数 a,b,常把��+2��叫做 a,b 的算术平均数,把 ��叫做 a,b 的几
解(1)由题意知 x>0,由基本不等式得 f(x)=3x+1��2≥2 3��·1��2=2 36=12. 当且仅当 3x=1��2,即 x=2 时,f(x)取得最小值 12.故 f(x)的最小值是 12. (2)由 lg a+lg b=2,得 lg ab=2,即 ab=100,且 a>0,b>0, 因此由基本不等式可得 a+b≥2 ��=2 100=20, 当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20.故 a+b 的最小值是 20. (3)由于 x,y 是实数,所以 2x>0,2y>0,于是
提示填表略,(1)当 x+y 是定值时,xy 有最大值,且最大值等于
��+�� 2
2
;(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2
��.
2.填空: 基本不等式与最值已知x,y都是正数. (1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值. (2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值.
变式训练 2(1)已知 a,b,c,d 都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.

人教版高中数学必修五同课异构课件：3.4 基本不等式.1 探究导学课型

好像天天在玩，上课没事儿还调皮气老师，笔记有时让人看不懂，但一考试就挺好…… 小B
目录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是比别人学得慢
一看就懂一做就错
看得懂，但不会做
总是比别人学得差不会举一反三
2
2
2
(2)当a，b异号时，不等式 a b ab 成立吗？ 2
提示：一定不成立，因为当a，b异号时，ab<0，所以无意
ab
义，故不等式一定不成立.
【探究总结】对基本不等式的四点说明
(1)“当且仅当”的含义是a=b⇔ a b ab. (2)基本不等式的几何意义是：圆的2半径不小于垂直于直径的
半弦长.
(3)基本不等式亦可表述为：两个正数的算术平均数不小于它
们的几何平均数.
(4)基本不等式
与不等式a2+b2≥2ab成立的条件不
同，前者是a，ba∈Rb+，后ab者是a，b∈R. 2
【拓展延伸】基本不等式的常用结论
(1)当x>0时，x+ 1 ≥2；当x<0时，x+ 1 ≤－2.
(2)当ab>0时， x
【拓展延伸】基本不等式的推广
设ai∈R+(i=1，2，…，n)，这n个数：
(1)算术平均数An= (2)几何平均数Gn=
a1
a2
n
an
.
(3)调和平均数Hn= n a1 a2 an .
n
.
(4)平方平均数Qn= 1 1 1
a1 a2
an
则以上平均值的关系a是12 ：aH22n≤Gn≤anA2n.≤Qn. n